tarea 2
DESCRIPTION
mateTRANSCRIPT
Tarea 2
Facultad de Ingeniería; Escuela de Ingeniería MecánicaMatemáticas Especiales; Ingeniería de Materiales
Universidad del Valle; Cali, Febrero de 2015
Jhonny Pastrana 1324919Camilo Silva 1227051Jefferson Murillo 1329774
Solución
1) Simplifique cada una de las siguientes expresiones:
a)∈ijk δ kn
¿∈ijn
b) ∈ijk δis δ jmδ kn
¿∈sjk δ jm δ kn
¿∈smk δkn
¿∈smn
c) δ ijδ jn
¿δ ¿
d) δ ijδ jn δ¿
¿δ ¿δ ¿
¿δ ii
2) Simplifique y realice las sumatorias indicadas sobre el rango 1,2,3:
a) δ ijδ ij
δ ijδ ij=δ ii
¿δ 11+δ 22+δ33
¿1+1+1=3
b) ∈ijk∈ijk
¿∈1 jk∈1 jk+∈2 jk∈2 jk+∈3 jk∈3 jk
¿+∈12 k∈12 k+∈13k∈13k
+∈21 k∈21 k++∈23k∈23k
+∈31 k∈31 k+∈32 k∈32 k+¿
¿+∈123∈123
++∈132∈132+¿
++∈213∈213
+∈231∈231++¿
++∈312∈312+¿
+∈312∈321++¿
¿1∗1+ (−1 )∗(−1 )+(−1 )∗(−1 )+1∗1+1∗1+ (−1 )∗(−1)
¿6
c)∈ijk δ jk
∈ijk δ jk=¿∈ijj=0¿
d) AiB j δ ji−Bm Anδmn
¿ AiB i−Bm Am=0
3) exprese en notación indicial las siguientes ecuaciones vectoriales:
a) A⃗ ∙( B⃗×C⃗)
sea D⃗=(B⃗× C⃗)n=∈nst bs c t
A⃗ ∙ D⃗=andn
¿an∈nst bs c t
b) A⃗× ( B⃗×C⃗ )
sea D⃗=(B⃗× C⃗)r=∈r st bs c t
( A⃗× D⃗)q=∈qnrandr
¿∈qnr an∈rst bs ct
c) B⃗( A⃗ ∙ C⃗)
sea D⃗= A⃗ ∙ C⃗=amcm
B⃗∙ D⃗=bndn
¿bnamcm
d) B⃗ ( A⃗ ∙C⃗ )−C⃗ ( A⃗ ∙ B⃗ )
sea D⃗= A⃗ ∙ C⃗=amcm y F⃗= A⃗ ∙ B⃗=anbn
B⃗∙ D⃗−C⃗ ∙ F⃗=bsds−c t f t
¿bsamcm−c t anbn
4) pruebe las siguientes expresiones, utilizando notación indicial. Solamente puede utilizar como subíndices las letras n,m,s,t,p,q,r,l.
a) A⃗× ( B⃗×C⃗ )=B⃗ ( A⃗ ∙ C⃗ )−C⃗ ( A⃗ ∙ B⃗ )
sea D⃗=(B⃗× C⃗)r=∈rst bsc t
( A⃗× D⃗)q=∈qnrandr
¿∈qnr an∈rst bs ct
¿(δqs δ nt−δqt δ ns)anbsc t
¿δ qs δnt anbs c t−δqt δ nsanbs c t
¿a tbq c t−asbs cq
¿bq ( A⃗ ∙ C⃗ )−c t ( A⃗ ∙ B⃗ )
¿ B⃗ ( A⃗ ∙ C⃗ )−C⃗ ( A⃗ ∙ B⃗ )
b) A⃗ ∙ (B⃗×C⃗ )=B⃗ ∙ (C⃗× A⃗ )
sea D⃗=(B⃗× C⃗)n=∈nst bs c t
A⃗ ∙ D⃗=andn
¿an∈nst bs c t
¿bs∈ stnct an
¿bs ( C⃗× A⃗ )
¿ B⃗∙ (C⃗× A⃗ )
c)( A⃗× B⃗ )×C⃗=B⃗ ( A⃗ ∙C⃗ )−A⃗ (B⃗ ∙ C⃗ )
sea D⃗=( A⃗ × B⃗)r=∈rnsanbs
(D⃗ ×C⃗)m=∈mrt dr ct
¿∈mrt∈rns anbs c t
¿∈rtm∈rnsanbs ct
=(δ tnδms−δ tsδmn)anbs c t
¿δ tnδmsanbs c t−δts δmnanbs c t
¿a tbmc t−anbsc s
¿bmat c t−anbsc s
¿ B⃗ ( A⃗ ∙ C⃗ )− A⃗ ( B⃗ ∙C⃗ )
d) ( A⃗× B⃗ ) ∙ (C⃗× D⃗ )=( A⃗ ∙ C⃗ ) ( B⃗ ∙ D⃗ )−( A⃗ ∙ D⃗ ) ( B⃗ ∙ C⃗ )
sea M⃗=( A⃗× B⃗)p=∈nmpanbm y N⃗=(C⃗× D⃗)p=∈stpcsd t
M⃗ ∙ N⃗=∈nmp anbm∈stp csdt
¿∈nmp∈stp anbmcsd t
¿(δns δmt−δnt δms)anbmc sd t
¿δ ns δmtanbmcsdt−δnt δmsanbmcsd t
¿anbmcndm−atbs csd t
¿ancnbmdm−atd t bs cs
¿ ( A⃗ ∙ C⃗ ) ( B⃗ ∙ D⃗ )−( A⃗ ∙ D⃗ ) ( B⃗ ∙ C⃗ )
5) utilice la identidad ϵ−δ para simplificar las siguientes expresiones:
a) ∈ijk∈ ji k
¿∈ijk∈ jik
¿δ jk δkj−δ jj δkk
¿δ jj−δ jj δ kk
¿3−(3∗3)
¿−6
b) ∈ijk∈ jki
¿∈ijk∈ijk
¿δ jj δkk−δ jk δkj
¿δ jj δkk−δ jj
¿ (3∗3 )−3
¿6