tarea 1: mÉtodos cuantitativos 2 9 · 2020. 7. 12. · 1 tarea 1: mÉtodos cuantitativos 2 cuenta:...

1

TAREA 1: MÉTODOS CUANTITATIVOS 2 Cuenta: ________________________ Nombre: ______________________ _______________________________ NIVELACIÓN DESPEJE DE FORMULAS 3 5

48

r mm

p

, Despejar para m

Multiplicamos ambos lados por 8p

8 3 54 (8 )

8

p r mm p

p

Nos queda como si 8p dividía y pasa a multiplicar

3 5 4 (8 )r m m p

3 5 32r m mp

Restamos a ambos lados (-5m)

3 5 ( 5 ) 32 ( 5 )r m m mp m

Queda como si el valor +5m pasa a restar como -5m 3 0 32 5r mp m

3 32 5r mp m

Factor común 3 (32 5)r m p

El factor (32p-5) pasa a dividir 3

(32 5)

rm

p

3

(32 5)

rm

p

VERIFICACIÓN Paso 1: Listamos las variables r, p y m Paso 2: asumimos valores que no sean ni -1, 0, 1 r=2, p=4, m=? Paso 3: calculamos “m”

3(3) 9 9

(32(4) 5) 128 5 123m

Paso 4: Sustituimos todos los valores en ecuación la original 3 5

48

r mm

p

93(3) 5

91234

8(4) 123

459

36123

8(4) 123

123 459

36123 123

32 123

115236123

32 1231

36 36

123 123

Con lo cual se confirma el despeje TAREA

a)5 2

4r pm

rm

, para m

2

b)5 2 3

78

p r k

pm

, para p

c)4 3 7

98

r mp r

p

, para m

3

d)4 3 7

115

r pm rp

pr

, para p

e)9 3 2

97

r k M

Mk

, para m

4

Factorice por tanteo simple dejando constancia de los factores de c, y las combinaciones ab Ejemplo

2 12 864x x Factorizamos

Elaboramos la tabla de opciones

Por los que nos queda ( 36)( 24)x x

Combinaciones -864 = -1*864 = -432*2 = -216*4 = -108*8 = -6*144

a) 2 10 2000x x

864 2

432 2

216 2

108 2

54 2

27 3

9 3

3 3

1

a b a-b

864 1 863

432 2 430

216 4 212

108 8 100

54 16 38

27 32 -5

9 96 -87

3 288 -285

24 36 -12

5

b) 2 81 1568x x

c) 2 11 900x x

d) 2 18 1768x x

e) 2 100 2304x x

6

PLANO CARTESIANO Es un medio para representar gráficamente pares ordenados en papel. Cada par ordenado representa un punto en el papel. Cada par ordenado generalmente en el plano cartesiano se representa así(x, y) A continuación un ejemplo

Características de un plano cartesiano Son las siguientes:

- Representan dos variables - Cada variable se representa por un eje

central, por convención el eje de las “x” es horizontal y el eje de las “y” es vertical.

- Los ejes se colocan a 90 grados entre sí o sea perpendicularmente.

- Los espacios horizontales representan una misma distancia

- Los espacio verticales representa una misma distancia (que no necesariamente es la misma del eje horizontal)

Traficación de un punto Para elaborar graficas en el plano cartesiano lo primero que se debe saber es ubicar un punto. Por ejemplo punto (4,3) representa el par ordenado (x, y), de manera que x=4, y y=3. Se parte del origen, y se mueve 4 unidades en la dirección de x, y 3 unidades en la dirección de y

GRAFICACIÓN DE UNA FORMULA Cuando una formula se puede escribir como Y = alguna expresión algebraica con la variable “x” como por ejemplo:

- 2 3y x

- 2 3 1y x

Cuando se tiene este caso decimos que la variable “y” es función o depende de la variable “x” y lo representamos así; Y = f(x)= 2 3y x

Y = f(x)= 2 3 1y x

El método más sencillo para graficar una función es la técnica de la tabla de valores, Esta técnica consiste:

1. en elaborar un listado de los valores de x que puedan representar mejor a la gráfica, se deben considerar puntos especiales de la gráfica como;

o – infinito o +infinito o Valores prohibidos de “x” que

pueden ser asíntotas verticales, y los puntos faltantes

o Valores cercanos a los valores prohibidos

o Puntos especiales de la gráfica como máximos y mínimos, inicios y finales

2. Para cada valor de “x” calcular su correspondiente valor de ”y” usando la formula indicada

3. Ubicar todos los puntos (x, y) calculados

4. Unir los puntos y esbozar la grafica

Y

40

35

30 (x, y) = (6, 25)

25

20

15

10

5

X

2 4 6 8 10 12

y

(4,3)

x

7

5. Agregar fechas para indicar que la gráfica continua para –infinito o + infinito si fuera el caso.

GRAFICA DE UNA FUNCIÓN LINEAL: Dada la ecuación: Y=f(x) = 3x-3 Elaboramos la tabla de valores, los cuales pueden ser elegidos según su deseo, en general se prueban valores que representen menos infinito y más infinito aunque no se grafiquen para poder ubicar las flechas, y siempre se eligen valores de tal manera que x=0 o y =0, los cuales se llaman intercepto con los ejes Ix= (¿, 0) Iy= (0, ?)

Tipo X Y=3x-3 (x, y)

-00 -100 3(-100)-3=-303 (-100,-303)

Iy 0 3(0)-3=-3 (0, -3)

Ix 1 3(1)-3=0 (1, 0)

+00 +100 3(100)-3=297 (100,+297)

NOTA: En el caso del a función lineal es suficiente graficar dos puntos y trazar una línea que los atraviese y se le agregan las flechas

GRAFICA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA:

Dada la ecuación: 2( ) 2 2 24y f x x x 2( )y f x ax bx c

Calculamos el vértice ( 2) 2 1

2 2(2) 4 2v

bh x

a

2( ) ( ) (1/ 2) 2(1/ 2) 2(1/ 2) 24v vk y f h f x f

2(1/ 4) 1 24 1/ 2 1 24 49 / 2vk y

Vértice

( , ) (1/ 2, 49 / 2)v vx y


-00 -10

Xv-2 -3 2

2 3 2 3 24 (-3, 0)

Xv- 0 2

2 0 2 0 24 (0, -24)

(Xv, Yv)

½ 21 1

2 2 242 2

(1/2, -49/2)

Xv+ 2/2 2

2 1 2 1 24 (1,-24)

+00 +21/2

8

Grafica de valor absoluto Dada la ecuación

( ) 3 2 5 7y f x x

( )y f x a mx b c

Calculamos el vértice : ( ) 0h x cuando mx b

( 5) 5

2 2v

bh x

m

5 5( ) 3 2 5 7

2 2v vk y f x f

5 53 2 5 7 3 0 7 7

2 2f

Vértice (5/2, -7)


h- 0 3 2(0) 5 7

3 5 7

3(5) 7

15 7 8

(0, 8)

(Xv, Yv)

5/2 3 2(5 / 2) 5 7

3 0 7 7

(1/2, -7)

H+ 10/2 3 2(5) 5 7

3 5 7

3(5) 7 8

(1,8)

9

TEORÍA MÉTODOS 2, PARCIAL 1, VERSIÓN 2 FUNCIÓN Explicación General: Si podemos expresar un variable en términos de uno o más variables diremos que una variable es función o depende de una o más variables. Por ejemplo el costo de un pastel, depende de los precios y cantidades de harina, huevos, leche y mantequilla. Por lo cual podemos decir que el costo de un pastel es función de dichas variables, en lenguaje matemático lo podemos expresar así: Costo = f(harina, huevos, leche, mantequilla) Si usáramos variables más comunes en el lenguaje matemático tendríamos Z=f(r, s, l, m) Si lo expresamos como una fórmula matemática podríamos tener algo como f(r, s, l, m)= Z = 7r + 5s + 22l + 50m Como todas las variables tienen exponente 1, diremos que esta es una función lineal, de Z respecto a r, s, l y m. Las funciones tienen una característica muy importante, para cada grupo de valores de las variables independientes (r, s, k, m), solo existe un resultado posible para la variable dependiente (Z) Por ejemplo si r=5 libras de harina, s = 24 huevos. L=2 litro de leche, m=1 libra de mantequilla diremos: Z = f(5, 24, 2, 1) = 7(5) + 5(24) + 22(2) + 50(1) = 35 + 120 + 44 + 50=249 lempiras En esta clase solo trataremos con funciones de una variable independiente. Y al resultado de la función la relacionaremos con la variable

“y” que llamaremos variable dependiente y la independiente será la “x” y esto lo expresaremos así: Y= f(x) Para el caso tenemos la formula Y=3X+2 Podremos decir que Y es función de x y la expresaremos así F(x)=3x+2 Si x=2 Calculamos f(2)= 3(2)+2 = 6+2=8 Y diremos que y=f(2)=8 Representación gráfica: Una función lineal puede ser representada en el plano cartesiano como una línea recta, que cumple con la condición que si trazamos una línea imaginaria vertical, solo toca un punto.

Conceptos matemáticas relacionados con la función

A. CONJUNTOS

B. PAR ORDENADO

C. PRODUCTO CARTESIANO

D. RELACION

E. FUNCION

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Como podemos ver para poder llegar al concepto de función debemos comprender varios conceptos previos. A. CONJUNTO Es el concepto más general. Es una colección de elementos que se denota por una letra mayúscula y cuyos elementos se expresan de dos maneras:

a) Por extensión: describiendo todos los elementos: { , }A rojo verde

b) Por comprensión: describiendo la lógica detrás de los elementos

{( , ) , 1}A x y x y x Esto se lee:

A es el conjunto de todos los pares de datos representados por (x, y) que pertenece al producto todos los pares ordenados de los reales, y que cumple la condición que 1y x

B. PARES ORDENADOS Dentro del concepto de conjunto está el de par ordenado que es un conjunto de dos elementos en los cuales importa el orden y se representan por (x, y), de tal maneara que (3,2) no es lo mismo que (2,3). REPRESENTACIÓN GRAFICA DE UN PAR ORDENADO. El punto (4,3) representa el par ordenado (x, y), de manera que x=4, y y=3. Se parte del origen, y se mueve 4 unidades en la dirección de x, y 3 unidades en la dirección de y

C. PRODUCTO CARTESIANO El producto cartesiano A B es un conjunto que resulta de combinar dos conjuntos simples A y B .

{1, 2,3, 4}A

{ , }B a b

El cual se puede graficar así en el plano cartesiano

En el caso de conjuntos que representan intervalos de números

1, 4A x

1,3B y

El producto cartesiano en términos graficos será el siguiente:

D. RELACIÓN Es un subconjunto del producto cartesiano Por ejemplo del producto cartesiano

y

(4,3)

x

B=

AxB a b

1 ( 1,a) ( 1,b)

A= 2 ( 2,a) ( 2,b)

3 ( 3,a) ( 3,b)

4 ( 4,a) ( 4,b)

4

3

2

1

1 2 3 4

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Graficado asi

Tenemos el subconjunto C que llamaremos relación C del producto cartesiano AXB C= relación de AxB = {(1, a), (1, b)} y su grafica es asi

Dado el producto cartesiano

Tenemos dos ejemplos de relaciones

E. Función: es un subconjunto del producto cartesiano que cumple la regla, que todo elemento del dominio solo tiene como pareja un elemento del rango. Por ejemplo del producto cartesiano

Tenemos la función D que llamaremos funcion D del producto cartesiano AXB D= función de AxB = {(1, a), (2, b)} Que graficamos así:

Que cumple la regla que un dato del origen “A” no tiene más de un dato de destino “B” Del producto cartesiano

La grafica de una función seria la siguiente

4

3

2

1

1 2 3 4

4

3

2

1

0

0 1 2 3 4

4

3

2

1

0

0 1 2 3 4

4

3

2

1

1 2 3 4

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Que cumple la regla que si paso una línea vertical imaginaria solo tocaría un punto. El circulo abierto indica que ese punto precisamente no se incluye, y el circulo negro cerrado indica que si se incluye. Otros ejemplos de funciones son las siguientes

Formalmente podemos expresar una función A, es un grupo de puntos (x, y) que cumple la regla de la ecuación.

1/ 3 1/ 3y x Y los valores de “x” están

limitados entre 1 y 4, y los de “y” entre 1 y 3 Se expresa así:

{( , ) , 1 / 3 1 / 3,A x y talque y x

1,4 , 1,3 }x y

Y su grafica es:

APLICACIONES DE PRODUCTO CARTESIANO Y DE LA FUNCIÓN José debe tener una decisión en dos etapas: La primera decisión es si se transporta en auto o en moto. La segunda decisión es si va al cine o aun restaurante. El conjunto de todas las posibilidades resulta ser un producto cartesiano.

Donde A= conjunto de los medios de transporte Donde B = conjunto de los destinos Una relación C seria C = {(auto, restaurante), (auto, cine)} Para la decisión de ir en auto existen dos opciones, restaurante o cine. Por lo que es no es una decisión única. Una función “D” seria D= {(moto, restaurante), (auto, cine)} Como se puede ver la relación produce decisiones ambiguas, pero la función produce decisiones exactas:

si se va en moto se va ira al restaurante

si se va en auto se ira al cine FUNCIONES APLICADAS AL PLANO CARTESIANO. Las funciones en el campo de la matemática se pueden graficar en el plano cartesiano. REGLA GENERAL: Se dice que una gráfica en el plano cartesiano representa una función si se cumple que al

4

3

2

1

1 2 3 4

A X B restaurante cine

moto (moto,restaurante) (moto,cine)

auto (auto,restaurante) (auto,cine)

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trazar una línea vertical solo suceden dos casos. Solo toca un punto, o no toca ningún punto. Si toca dos puntos en algún momento entonces no es una función es una relación.

GRAFICA DE UNA FUNCIÓN: Una función de dos variables se grafica en el plano cartesiano. CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES EN EL PLANO CARTESIANO

1. Variable dependiente “y” 2. Variable independiente x (sola) 3. Expresión algebraica

( ) _ _y f x formula de x

4. Evaluación de una función

Si:

( ) 3 2y f x x

(2) 3(2) 2 8f

(3) 3(3) 2 11f

5. Dominio: es el conjunto de todas las “x”, que forman parte de la gráfica.

6. Rango o Recorrido: es el conjunto de todas las “y” que forman parte de la grafica

Línea vertical solo toca un punto: si se traza una línea vertical en cualquier parte de la función f(x) solo se tocara un punto. CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES EN EL PLANO CARTESIANO Las funciones pueden ser racionales e irracionales a las que también se les llama funciones algebraicas; asimismo, existen las funciones trascendentes dentro de las cuales se ubican las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.

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EJEMPLOS DE FUNCIONES DE POLINÓMICAS Lineal: ( )y f x ax b

Cuadrática:

2( )f x ax bx c

2

( )f x a mx b c

Cubica: 3 2( )f x ax bx cx d

Funciones racionales

( )

ax bf x

x a x b

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INTERPRETACIÓN DE FUNCIONES EN EL CONTEXTO ECONÓMICO: Sean dos conjuntos de datos relacionados por pares cartesianos como ser:

Precio =p

Cantidad = q = quantity (cantidad en inglés)

Si decimos que ambas variables están relacionados por la ecuación: 7p-14q=7 Matemáticamente podemos despejar para p y tendremos la ecuación: 7 14 7p q

2 1p q

Donde podemos decir que p es una función respecto a q expresada como:

( ) 2 1p f q q

Siendo

la variable independiente q

la variable dependiente p Nota: es importante recordar que en el contexto real, normalmente la decisión se toma en el precio, y la cantidad es la consecuencia del precio, por lo que la función debería ser cantidad en términos de precio q= f(p), pero por convención o costumbre en el contexto económico, se grafica la función p=f(q)Pero por

:

En el contexto matemático:

El dominio de p=f(q) son los reales

El rango de p=f(q) también son los reales

Pero en el contexto económico:

El domino de la función: p=f(q) son todos los números positivos y el cero

El rango de la función: son todos los números mayores o iguales a y=1

Esto debido a que los precios ni las cantidades pueden ser negativos

y=precio=lps

4

3

2

1

0

-1

-2

-1 0 1 2 3 4 5 6

f(x)

x=q=quantity=unidades

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FUNCIÓN LINEAL Una función lineal es una función de la forma:

Y=f(x) =mx +b Características de la ecuación:

El exponente de las variables es 1

La función se acostumbra que “y” depende de “x”

Características de la grafica:

Intercepto en x: Ix(?, 0)

Intercepto en y: Iy(0, ?)

Pendiente m, si m= positiva es creciente, si m = negativa es decreciente

b es el valor de y si x vale 0 Características de la función

Variable dependiente = y

Variable independiente = x

Dominio son los valores posibles de x = reales

Rango son los valores posibles de y = reales

Y su representación grafica es

Para calcular la pendiente de una recta se toman dos puntos y se sustituye

2 1

2 1

y yym

x x x

A continuación tipos de pendientes de una función

Nota: una recta vertical la pendiente es

indeterminada, o es un valor cercano a infinito Para determinar la ecucacion se sustituye un punto (x1, y1) en la siguiente formula:

1 1( )y y m x x

LÍNEA RECTA DE PENDIENTE VERTICAL: Cumple que para todo punto y, solo existe un valor en x. De manera que los puntos (2,3), (2,4) pertenecen a la recta, y por tanto no es función. Si aplicamos la formula

2 1

2 1

(4) (3) 1

(2) (2) 0

y ym indefinido

x x

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EJERCICIOS: CASO 1: Dados dos puntos determinar ecuación de la recta (1, 2) y (3,5) Paso 1: determinamos X1=1, y1= 2 X2=3, y2=5 Paso 2: aplicamos la fórmula:

2 1

2 1

y yym

x x x

(5) (2) 3

(3) (1) 2m

Paso 3: determinar la ecuación de la recta aplicando

1 1( )y y m x x

3

( (2)) (1)2

y x

3 32

2 2y x

3 32

2 2y x

3 1

2 2y x

Paso 4: verificación X=3

3 1(3) 10 / 2 5

2 2y

Se cumple (3,5) Paso 5: intercepto en y o sea Iy(0, ¿) Sabemos que x=0 Sustituimos en la ecuación

3 1 1(0)

2 2 2y

Planteamos formalmente

10,

2Iy

Paso 6: Intercepto en x o sea Ix(¿, 0)

Sabemos que y= 0 Sustituimos en

3 1

2 2y x

3 10

2 2x

Y despejamos 1 3

2 2x

1 2

2 3x

1

3x

Plateamos formalmente

1,0

3Ix

Paso 6: tabla de valores

Tipo x y (x, y)

Iy 0 3 1 1(0)

2 2 2

(0,1/2)

Ix -1/3 3 1 1( ) 0

2 3 2

(-1/3,0)

Paso 7: graficamos

Paso 8: las características de la función

Dominio (valores de x) = Reales= ,

Rango (valores de y) = Reales= ,

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TAREA 2: MÉTODOS CUANTITATIVOS 2 Cuenta:________________________ Nombre: ______________________ _______________________________ Datos los puntos (1,3) y (7,4)

1. Determinar la pendiente (m)

2. Determinar le ecuación (Y) y verificar

3. Determinar Intercepto en X

4. Determinar Intercepto en Y

5. Tabla de Valores

6. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)

7. Dominio y Rango

19

2. Dados los puntos (-3,-4) y (-2,5)





5. Tabla de Valores


7. Dominio y Rango

20

3. Dados los puntos (5,6) y (8,2)





5. Tabla de Valores


7. Dominio y Rango

21

4. Dados los puntos (3 ,4) y (9 ,2)





5. Tabla de Valores


7. Dominio y Rango

22

5. Dados los puntos (-3,3) y (3,-3)





5. Tabla de Valores


7. Dominio y Rango

23

DADA LA ECUACIÓN CUADRÁTICA: 2( ) 2 2 24y f x x x

1. Determine el vértice de la ecuación

( , ) ( , )v vh k x y

Igualamos 2 22 2 24y x x ax bx c

Y determinamos: a=2, b=-2 , c=-24 Calculamos el valor en x del vértice con la formula:

( 2) 2 1

2 2(2) 4 2v

bh x

a

Para calcular el valor en y del vértice calculamos la función

( ) ( )v vf h f x k y

2

1/ 2 2 1/ 2 2 1/ 2 24y f

2 2 4924

4 2 2

formalmente

( , ) ( , ) (1/ 2, 49 / 2)v vh k x y

2. Determinar Intercepto en Y El intercepto en y es Iy(0, ¿) Calculamos

2

0 2 0 2 0 24 24y f

Formalmente (0, 24)Ix

3. Determinar los intercepto en “x” o sea Ix ( ¿, 0) y verifique

Para encontrar los intercepto en x hacemos y=0

20 2 2 24y x x

Aplicamos la función cuadrática a=2, b=-2 , c=-24

Discriminante: 2 4b ac 2( 2) 4(2)( 24)

4 192 196 Calculamos las raíces

2

1 2

4,

2 2

b b ac bx x

a a

1 2

( 2) 196 2 14,

2(2) 4x x

1 2

2 14 2 144, 3

4 4x x

Si queremos presentar la expresión factorizada aplicamos

21 2( )( )ax bx c a x x x x

22 2 24 2( (4))( ( 3))x x x x 22 2 24 2( 4)( 3)x x x x

Ix(¿,0) cuando (x-4)= 0 o sea cuando x=4 (x+3)=0 o sea cuando x=-3 Formalmente Ix1(4, 0) , Ix2(-3, 0)

4. Tabla de Valores

Tipo x y (x, y)

Ix2 -3 0 (-3, 0)

Iy 0 -24 (0, -24)

(h,k) ½ -49/2 (1/2, -49/2)

(2h,f(2h)) 1 -24 (1,-24)

Ix1 4 0 (4,0)


6. Dominio y Rango

Dominio = ]-00, +00 [ = Reales Rango = ]-24.5, +00[ =]-49/2, +00[

24

EJEMPLO DE CUADRATICA:

1) 26 6 72y x x


(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y

a=-6, b=-6, c=+72 ( 6) 6 1

2 2( 6) 12 2

bh

a

K=f(-1/2)

1

2k f

21 1

6 6 722 2

y

= 73.5

(h,k) = (-1/2, 147/2) = (-0.5, 73.5)

2. Determinar Intercepto en Y Iy(0,?)

26(0) 6(0) 72 72y

Iy( 0, 72)

3. Determinar los intercepto en “x” y verifique

Ix(¿, 0)

20 6 6 72x x

a=-6, b=-6, c=+72 2 24 4

2 2 2

b b ac b b acx

a a a

6( 6) ( 6) 4( 6)(72)

2( 6)x

6 36 1728

12x

6 1764 6 42

12 12x

1

6 424

12x

2

6 423

12x

Ix1(-4,0) Ix(3,0)

4. Tabla de Valores

tipo x y (x, y)

Ix -4 0 (-4,0)

(2h,f(2h) -1 72 (-1,72)

(h,k) -1/2 147/2 (-0.5,73.5)

Iy(0,72) 0 72 (0.72)

Ix 3 0 (3,0)

5. Grafica (indicar dominio y rango

gráficamente) X:-4 hasta 3 Y: 0 hasta 72

6. Dominio y Rango Dominio (valores en x) = R = ]-inf, +inf[ Rango (valores en y) = ]-inf, 73.5]

25

DADA LA ECUACIÓN CUADRÁTICA:

1) 25 5 100y x x


(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y

a=5, b=-5, c=-100 ( 5) 5 1

2 2(5) 10 2v

bh x

a

1

2k f h f

21 1 1 405

5 5 100 101.252 2 2 4

y f

(1/2,-405/4) = (-0.5, -101.25)

8. Determinar Intercepto en Y Iy( 0,?)

20 5(0) 5(0) 100 100y f

(0,-100)


2( ) 5 5 100y f x x x

a=5, b=-5, c=-100

22 ( 5) ( 5) 4(5)( 100)4

2 2(5)

b b acx

a

5 25 2000 5 2025

2(5) 2(5)x

5 45

10x

1

5 45 505

10 10x

1

5 45 404

10 10x

Ix1(-4,0) Ix2(5,0)

10. Tabla de Valores

tipo x y (x, y)

Ix -4 0 (-4,0)

Iy 0 -100 (0,-100)

(h,k) 1/2 -405/4 (0.5,-101.25)

(2h,f(2h)) 0 -100 (0,-100)

ix 5 0 (5,0)


gráficamente) X: -4 hasta 5 Y: -101.25 hasta 0

12. Dominio y Rango Dominio = Reales = R = ]-infinito, + infinito[ Rango [-101.25, +infinito[

26


1) 23 6 24y x x


(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y





18. Dominio y Rango

27


2) 25 30 35y x x


(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y



4. Tabla de Valores


6. Dominio y Rango

28


3) 23 17y x x


(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y



4. Tabla de Valores


6. Dominio y Rango

29


4) 27 28 21y x x


(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y



4. Tabla de Valores


6. Dominio y Rango

30


5) 24 2 16y x x


(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y



4. Tabla de Valores


6. Dominio y Rango

31

TAREA 3: MÉTODOS CUANTITATIVOS 2 Cuenta:________________________ Nombre: ______________________ _______________________________ CONCEPTO DE DOMINIO Y RANGO EJEMPLO 1: Sean los conjuntos: A= {1,2,3,4} B={a, b} El producto cartesiano AXB es igual a

En este producto cartesiano al conjunto A lo llamaremos conjunto de origen o dominio. Y al conjunto B lo llamaremos conjunto de destino, o de Rango o de las imágenes. En el ejemplo anterior: El dominio de AXB = {a, b}, que en este caso resulta ser A= {a, b} El rango de AXB = {1,2,3,4}, que en este caso resulta ser B = {1,2,3,4} EJEMPLO 2: De la siguiente relación

Determinamos que El dominio seria {1,4}

Y el rango seria {a,b} Nota: Esta relación no es una función porque el dato del origen “1” tiene dos contrapartes en el conjunto del destino o sea “a” y “b”. EJEMPLO 3: Dada la siguiente función

Observamos que es una función continua: En este caso el Dominio que son los valores validos de x, van desde 1 hasta 8, sin tomar en cuenta el 1 y si tomando encuentra el 8 y lo representamos como un intervalo: Dominio de f(x) = ]1, 8] Para el rango es un poco más complicado Porque tenemos tres grupos de rango

Primera parte = ]1, 8[

Y

8

7

6

5

4

3

2

1

X

1 2 3 4 5 6 7 8

F(x)

Y

8

7

6

5

4

3

2

1

X

1 2 3 4 5 6 7 8

F(x)

32

Segunda parte = [2.5, 8]

Tercera parte = [2.5, 6]

Esto se puede expresar como la unión de todos los intervalos

Rango de f(x) = ]1, 8[ U [2.5, 8] U [2.5, 6]

Si ponemos las tres gráficos al mismo tiempo

Y trazamos líneas verticales imaginarias nos daremos cuenta que al fusionarlos nos queda este intervalo:

Este análisis lo podemos hacer directamente en la gráfica así O sea que nos quedaría si:

EJEMPLO 4:

Si identificamos los grupos de dominio y rango tendríamos los siguientes:

Podemos ver que el dominio y el rango es la unión de dos partes: Dominio de F(x) = ]1, 3 ] U [4, 6[ En el caso del rango podemos ver que hay dos grupos un grupo es [9, 10] El otro es la unión de ]1, 8] U [2.5, 8] U [2.5, 6], si observamos podemos resumirlo a uno solo ]1, 8] que contiene a los tres, por tanto: Rango = ] 1, 8 ] U [9, 10] Y nos queda así:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Y

8

7

6

5

4

3

2

1

X

1 2 3 4 5 6 7 8

Dominio = ]1, 8]

Ran

go =

] 1

, 8 ] F(x)

y

10

9

8

7

6

5

4

3

2

X

1 2 3 4 5 6 7

F(x)

y

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

X

1 2 3 4 5 6 7

F(x)

33

EJEMPLO DE DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN QUE NO ES FUNCIÓN:

Esta relación no es una función porque una línea vertical toca dos puntos.

y

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

X

1 2 3 4 5 6 7

Dominio = ]1, 3 ] U [4, 6[

F(x)

Ran

go =

] 1

, 8 ]

U [

9, 1

0]

y

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

X

1 2 3 4 5 6 7

F(x)

Dominio =[1, 6[

Ran

go =

] 1

, 8 ]

U [

9, 1

0]

34

Identifique el dominio y el rango de las siguientes gráficas, mediante rectas numéricas e intervalos: 1)

2)

3)

4)

y

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

X

1 2 3 4 5 6 7

F(x)

y

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

X

1 2 3 4 5 6 7

F(x)

y

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

X

1 2 3 4 5 6 7

F(x)

y

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

X

1 2 3 4 5 6 7

F(x)

35

5)

6)

7)

8)

y

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

X

1 2 3 4 5 6 7

F(x)

y

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

X

1 2 3 4 5 6 7

F(x)

y

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

X

1 2 3 4 5 6 7

F(x)

y

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

X

1 2 3 4 5 6 7

F(x)

36

Conteste las siguientes preguntas: 1) Que es un producto cartesiano?

2) Que es una relación?

3) Que es una función?

4) Que es un par ordenado?

5) Una función puede ser a la vez un a relación?

6) Cuál es el dominio de una función?

7) Cuál es el rango de una función?

8) En una gráfica continua, si trazamos una recta vertical imaginaria y se tocan dos puntos de la gráfica, como clasificáramos esta grafica

a. Como solo función b. Como función y relación c. Como solo relación

9) En la función y = x+3. Quien es la variable independiente, y quien la variable dependiente?

37

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO Definimos valor absoluto como

, 0

, 0

x xx

x x

Y también como 2x x

Ejemplos

Ecuación

y a mx b c

Si ( )g x mx b

También Tenemos la forma

( )y a g x c

Forma de la grafica

SI a es positivo

Si a es negativo

Característica de la grafica Vértice (xv, yv)

Xv: es igual a x si ( ) 0g x

bXv

m

Yv:

Xv= f(h)= ( )a m h b c

Yv= f(h)= c Intercepto en y = Iy =(0, ?) Intercepto en x = Ix =( ?,0)

Dominio = =Reales Rango

SI a es positivo [ , [k

Si a es negativo

] , ]k

EJERCICIO: Graficar y determinar dominio y rango de

3 6 3y x

Paso 1: determinar vértice (xv, yv)

( ) 0g x

3x-6=0 X=6/3=2

3(2) 6 3y

6 6 3y

0 3y

3y

Paso 2: determinar intercepto en “y” Iy(0, ?) X=0

3(0) 6 3y

6 3y

(6) 3y

3y

Iy(0,-3) Paso 3: determinar el intercepto en “x” Ix(¿ ,0) Y=0

0 3 6 3x

3 3 6x

33 6

1x

3 3 6x

38

+ -

3 3 6x

3 3 6x 3 6 3x 9

3x

3x

3 3 6x

3 3 6x 3 3 6x 3 3x

3

3x

1x Ix(3, 0) Ix(1, 0) Paso 4: elaborar grafica

Paso 5: determinar dominio y rango Dominio = =Reales Rango: Como “a” es negativo ] ,3]

39

DADA LA ECUACIÓN DE VALOR ABSOLUTO:

1) ( ) 9 3 5 2y f x x


(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y

Igualamos a cero lo que esta dentro del valor absoluto 3 5 0x 3 5 5 0 5x 3 0 0 5x 3 5x

1 13 5

3 3x

5

3h x

5( )

3k f h f

5 59 3 5 2

3 3y f

59 5 5 2

3y f

59 0 2

3y f

50 2 2

3y f

Vértice (h,k) = (5/3, 2) =(1.67,2) 2. Determinar Intercepto en Y

Iy( 0,?)

(0) 9 3(0) 5 2f

9 0 5 2 9 5 2 ,

9(5) 2 45 2 43

Iy(0, -43) 3. Determinar los intercepto en “x” y

verifique Ix(?,0) y=0

0 9 3 5 2x

2 9 3 5x 2

3 59

x

23 5

9x

La definición de valor absoluto dice los siguiente:

, 0

, 0

x xx

x x

+ -

2(3 5)

9x

2 35

9 1x

2 1 15 3

9 3 3x

2 15

9 3x

2 15 47 / 27

9 3x

Ix1(47/27,0) Ix1(1.74,0)

2(3 5)

9x

2(3 5)

9x

25 3

9x

2 593

x

2 59 43/ 273

x

Ix2(43/27,0) Ix2(1.59,0)

4. Tabla de Valores

tipo x y (x, y)

Iy 0 -43 (0,-43)

Ix 43/27 0 (1.59,0)

(h,k) 5/3 2 (1.67,2)

Ix 47/27 0 (1.74,0)

(2h,k) 10/3 -43 (3.33,-43)


X: 0 hasta 3.33 Y:-43 hasta 2

6. Dominio y Rango

Dominio (valores de x) = reales = ]-infinito, +infinito[ Rango =]-infinito, 2]

40


1) 2 7 2 1y x


(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y

Para calcular h se iguala a cero el valor absoluto

7 2 0x

7 0 2x 2

7h x

2

7k f

2 22 7 2 1

7 7f

22 2 2 1

7f

22 0 1 0 1 1

7f

(h,k) = (2/7, 1) = (0.2857, 1)

8. Determinar Intercepto en Y Iy(0, ?)

(0) 2 7(0) 2 1y f

(0) 2 2 1y f

Aplicamos la definición de valor absoluto

, 0

, 0

x xx

x x

(0) 2(2) 1 4 1 3y f

Iy(0, -3) 9. Determinar los intercepto en “x” y

verifique Ix( ?,0)

0 2 7 2 1x

1 2 7 2x

17 2

2x

17 2

2x

+ -

1(7 2)

2x

1(7 2)

2x

12 7

2x

1 12

2 7x

5

14x

Ix(5/14,0) = (0.3571,0)

1(7 2)

2x

17 2

2x

12 7

2x

1 12

2 7x

3

14x

Ix(3/14,0) =(0.2143,0)


tipo x y (x, y)

Iy 0 -3 (0,-3)

Ix 3/14 0 (0.21,0)

(h,k) 2/7 1 (0.29,1)

Ix 5/14 0 (0.36,0)

(2h,f(2h)) 4/7 -3 (0.57,0)


X: 0 hasta 1 Y: -3 hasta 1

12. Dominio y Rango

Dominio = Reales = ]-infinito, +infinito[ Rango ]-infinito, 1]

41


1) 3 2 8 5y x


(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y





18. Dominio y Rango

42


2) 2 6 3 4y x


(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y



4. Tabla de Valores


6. Dominio y Rango

43


3) 3 3 12 7y x


(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y



4. Tabla de Valores


6. Dominio y Rango

44


4) 5 2 5 3y x


(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y



4. Tabla de Valores


6. Dominio y Rango

45


5) 6 3 4 2y x


(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y



4. Tabla de Valores


6. Dominio y Rango

46

TAREA 4: MÉTODOS CUANTITATIVOS 2 Cuenta:________________________ Nombre: ______________________ _______________________________ FUNCIÓN RADICAL Ecuación

y a mx b c

Si ( )g x mx b

Forma de la grafica

SI a es positivo y m positivo

Si a es negativo y m positivo

SI a es positivo y m negativa

Si a es negativo y m negativo

Vértice (h, k)

h: es igual a x si ( ) 0g x

k:

k= f(h)= ( )a m h b c

k= f(h)= c

Intercepto en y = Iy =(0, ?) Intercepto en x = Ix =( ?,0) Dominio

SI m es positivo [h, [

Si m es negativo

] , ]h

Rango

SI a es positivo [ , [k

Si a es negativo

] , ]k

EJERCICIO: Graficar y determinar dominio y rango de

3 6 3y x

Paso 1: determinar vértice (h, k)

( ) 0g x

3x-6=0 X=6/3=2 X=2

3(2) 6 3y

6 6 3y

0 3y

3y (h,k)=(2,3)

Paso 2: determinar intercepto en “y” Iy(0, ?) X=0

3(0) 6 3y

6 3y

En este caso no hay intercepto en y

47

Paso 3: determinar el intercepto en “x” Ix(¿ ,0) Y=0

0 3 6 3x

3 3 6x

22

3 3 6x

9 3 6x

9 6 3x

(9 6)

3x

5x Ix = (5,0) Paso 4: agregar otros puntos para tener 3 puntos graficables Para no tener que probar puntos a ambos lados podemos calcular el dominio cuando

( ) 0g x 0mx b

3 6 0x

3 6x

6

3x

2x Esto nos dice que los puntos crecen al infinito Elaboramos la tabla de valores

x y

-1 No Definido

0 No definido

1 No Definido

2 3

5 0

6 (Nota: este punto fue elegido a

voluntad)

3(6) 6 3y

12 3y

2 3 3 0.46y

Paso 5: determinar dominio y rango Dominio Por simple inspección a la gráfica o sino observando que m es positivo

Rango: Por simple inspección a la gráfica o sino observando que a es positivo ] ,3]

48


1) 2 7 5 3y x


(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y

7 5 0x 7 0 5x

1

0 57

x

5

7h x

(h) 2 7( ) 5 3y f h

(h) 2 7(5 7) 5 3y f

(h) 2 5 5 3y f

(h) 2 0 3y f

(h) 2(0) 3y f

(h) 0 3 3y f

(h, k) = (5/7, 3) 2. Determinar Intercepto en Y

Iy (0, ?) X=0

(0) 2 7(0) 5 3y f

(0) 2 0 5 3y f

(0) 2 5 3y f

(0)y f ND

No hay IY 3. Determinar los intercepto en “x” y

verifique IX (?,0) Y=0

0 2 7 5 3x

3 2 7 5x

37 5

2x

37 5

2x

( ) ( )

2

237 5

2x

97 5

4x ,

9 75

4 1x

9 15

4 7x

,

9 (5)4 1

4 4 7x

9 20 1

4 7x

,

29

28x

Ix(29/28, 0) 4. Tabla de Valores

tipo x y (x, y)

Iy 0 ND

(h,k) 5/7 3 (0.71, 3)

Ix 29/28 0 (1.03, 0)

2 -1 (2, -3)

(2) 2 7(2) 5 3y f

(2) 2 14 5 3y f

(2) 2 9 3y f

(2) 2(3) 3y f

(2) 6 3 3y f


X: 5/7 hasta 2 Y: -3 hasta 3

6. Dominio y Rango

Dominio = [5/7, +infinito[ Rango = ]- infinito, 3]

Opción 2 de dominio 7 5 0x , 7 0 5x

5

7x ,

5

7x

Dominio = [5/7, +infinito[

49


1) 4 9 4 2y x


(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y

9 4 0x 9 4x

4

9h x

4 9(h) 4 2k

4 9(4 / 9) 4 2k

4 4 4 2k

4 0 2k 4(0) 2k

0 2k (h, k) = (4/9, 2)

8. Determinar Intercepto en Y Iy (0, ?) X=0

4 9(0) 4 2y

4 0 4 2y

4 4 2y

Y=ND Iy no existe


Ix(?,0) Y=0

0 4 9 4 2x

2 4 9 4x

29 4

4x

19 4

2x

( ) ( )

2

219 4

2x

19 4

4x

14 9

4x

1 4 14

4 4 9x

1 16 1

4 4 9x

1 16 1

4 9x

17

36x ,

17

36x


tipo x y (x, y)

-1 ND

Iy 0 ND

(h,k) 4/9 2 (0.44,2)

Ix 17/36 0 (0.47,0)

1 4 9(1) 4 2

= 4 5 2

=-6.94

(1,-6.94)


X: 0.44 hasta 1 Y: -6.94 hasta 2

12. Dominio y Rango

Dominio(valores de x) = [4/9, +infinito[ Rango (valores en y) = ]-infinito, 2]

50


1) 6 2 10 5y x


(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y





18. Dominio y Rango

51


2) 2 9 3 1y x


(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y



4. Tabla de Valores


6. Dominio y Rango

52


3) 5 3 2 7y x


(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y



4. Tabla de Valores


6. Dominio y Rango

53


4) 4 2 7 3y x


(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y



4. Tabla de Valores


6. Dominio y Rango

54


5) 5 8 3 2y x


(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y



4. Tabla de Valores


6. Dominio y Rango

55

DADA LA ECUACIÓN RACIONAL (NIVEL 1): R( )

( ) ,Q( ) 0Q( )

xy f x x

x

Conceptos adicionales: Asíntotas: son líneas verticales, horizontales o inclinadas imaginarias a las cuales la gráfica se acerca sin tocar nunca en estos valores en x:

Valores en x hacia menos Infinito

Valores en x hacia mas infinito

Por la izquierda a un punto prohibido

Por la derecha a un punto prohibido Punto faltante: son factores que están en el polinomio de arriba y el polinomio de abajo y se pueden cancelar. Dada la grafica

(3 3)( ) 1

(3 9)

xy f x

x

Fusionamos en una sola fracción (3 3) (1)(3 9)

( )(3 9) (3 9)

x xy f x

x x

(3 3 3 9)( )

(3 9)

x xy f x

x

(6 6)( )

(3 9)

xy f x

x

Debemos lograr esta grafica

1) Determinamos los factores, y los clasificamos arriba y abajo.

Los factores de arriba solo pueden ser intercepto en x, o puntos faltantes,

Los factores de abajo solo pueden ser valores prohibidos, o puntos faltantes

Los puntos faltantes ocurren cuando el mismo factor está arriba y abajo

En este caso vemos que solo hay un factor arriba (6x-9) que sería el intercepto en x En este caso vemos que solo hay un factor abajo (3x-9) y no esta repetido por lo tanto seria el que define el valor prohibido y la asíntota vertical

Ubicación Factor Valor x Hace 0 el factor

Tipo

Arriba (6x-6) X=1 Intercepto en x

Abajo (3x-9) X=3 Asíntota vertical

2) Calculamos los valores prohibidos que serán candidatos para una asíntota vertical

Vemos que el polinomio (3x-9) no puede ser igual a cero porque se produciría un error matemático. Por lo cual el valor prohibido de x ocurre cuando: 3x-9=0 Despejando nos queda X=9/3=3 Formalmente Asíntota Vertical (AV): x=3

3) Calculamos el intercepto en x, ocurre cuando y=0 o sea:

(6 6)0

(3 9)

x

x

Nos queda 0(3 9) (6 6)x x

0 (6 6)x

Despejando nos queda x=6/6=1 Formalmente Intercepto en x = Ix (1, 0)

56

4) Calculamos el intercepto en y, que ocurre cuando x=0

Sustituimos (6(0) 6) 6 2

( ) 0.67(3(0) 9) 9 6

y f x

Formalmente Intercepto en y = Iy (0, 2/3)

5) Asíntota Horizontal La asíntota horizontal es una línea horizontal imaginaria a la cual la gráfica se acerca en el infinito, puede o no cruzarla la gráfica. Para determinarla se divide el termino principal del polinomio de arriba entre el termino principal del polinomio de abajo

6: 2

3

xAH y

x

Verificación de cruce: Igualamos la ecuación a y=2

(6 6)2

(3 9)

xy

x

Y despejamos 2(3 9) (6 6)x x

6 18 6 6x x 18 6 es falso

Por tanto no cruza la horizontal 6) Elaboramos ahora la tabla de valores

Tipo x y (x, y)

-00 -100 (6( 100) 6)1.96

(3( 100) 9)

(-100, 1.96)

Iy 0 (6(0) 6) 2

(3(0) 9) 3

(0,0.67)

Ix 1 (6(1) 6) 00

(3(1) 9) 6

(1,0)

AV-

3-0.01

(6(2.99) 6)398

(3(2.99) 9)

(2.99, -398)

AV 3 (6(3) 6) 12

(3(3) 9) 0

No definido

No Definido

AV+

3+0.01

(6(3.01) 6)402

(3(3.01) 9)

(3.01, 402)

+00 +100 (6(100) 6)2.04

(3(100) 9)

(100, 2.04)

7) Elaboramos la grafica Primero ubicamos las asíntotas AV: X=3 AH: y=2

Segundo ubicamos las tendencias e interceptos

57

Tercero unimos por el camino mas corto

Y finalmente tenemos la grafica

8) Determinamos el dominio

El dominio lo podemos definir como todos los números reales menos los valores prohibidos, el valor prohibido en este caso es la asíntota vertical.

Dominio = 3

O Dominio = , 3

9) Determinamos el rango

El rango lo podemos definir como todos los reales menos la asíntota horizontal, a menos que la función cruce la asíntota horizontal. AH: y=2

Rango = 2

Rango = , 2

Rango = , 2 2,

58

EJEMPLO DE ECUACION RACIONAL:

1) 3 7

82 3

xy

x

1. Fusione en una fracción 3 7 2 3

82 3 2 3

x xy

x x

8 2 33 7

2 3 2 3

xxy

x x

Nota: las fracciones tienen tres signos 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

3 7 16 24

2 3 2 3

x xy

x x

3 7 16 24

2 3

x xy

x

13 31

2 3

xy

x

2. Determine la asíntota vertical

Sabemos que es prohibido o no definido 1

0

2 3 0x , 2 3x , 3

2x

AV: x=3/2 3. Determine la asíntota horizontal

Se divide el termino principal del polinomio de arriba entre el termino principal del polinomio de abajo

13 13

2 2

xy

x

AH: y =-13/2 4. Verifique que no cruza la asíntota

horizontal Para verificar el cruce igualamos la asíntota horizontal a la ecuación original o simplificada

13 31 13

2 3 2

xy

x

1313 31 (2 3)

2x x

13 1313 31 (2 x) ( 3)

2 2x

3913 31 13

2x x

3913 13 31

2x x

230

2x

230

2

Como es inconsistente la ecuación significa que no cruz

230

2

5. Determinar Intercepto en Y Iy (0,?)

13(0) 31 31 31

2(0) 3 3 3y

Iy(-31/3) 6. Determinar el intercepto en “x”

Ix(?, 0) 13 31

02 3

x

x

0(2 3) 13 31x x

0 13 31x 31 13x 31

13x

,

31

13x

Ix(31/13,0) = 7. Tabla de Valores

tipo x y (x, y)

-inf -100 (-100, -6.55)

Iy 0 -31/3 (0, -10.33)

AV-0.01 1.49 13(1.49) 31

2(1.49) 3

=-581.5

(1.49, -581.5)

AV 3/2 =1.5

ND (1.5,ND)

AV+0.01 1.51 13(1.51) 31

2(1.51) 3

+568.5

(1.51, +568.5)

Ix 31/3 0 ( 2.38, 0)

+inf +100 (100, -6.44)

59


X:-2 hasta 4 Y: -15 hasta 5

9. Dominio y Rango Dominio = R-{3/2} Rango = R-{13/2}

60

DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL:

1) 7 8

39 5

xy

x

10. Fusione en una fracción

7 8 9 53

9 5 9 5

x xy

x x

7 8 3 9 5

9 5 1 9 5

x xy

x x

Una fracción tiene 3 signos 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

7 8 27 15

9 5 9 5

x xy

x x

7 8 27 15

9 5

x xy

x

,

20 23

9 5

xy

x

11. Determine la asíntota vertical AV es cuando el denominador se hace 0

9 5 0x , 9 5x ,5

:9

AV x

12. Determine la asíntota horizontal AH se divide termino principal entre termino principal

20 20:

9 9

xAH y

x

=-2.222

13. Verifique que no cruza la asíntota horizontal

20 23 20

9 5 9

x

x

20 23 9 20 9 5x x

180 207 180 100x x

180 180 100 207x x 0 107x 0 107 Como 0 no puede ser igual a -107 decimos que no cruza

14. Determinar Intercepto en Y Iy(0,?) X=0

20(0) 23 23

9(0) 5 5y

Iy( 0,-23/5)

15. Determinar el intercepto en “x” Ix(?,0) Y=0

20 230

9 5

x

x

0 9 5 20 23x x

0 20 23x 23 20x 23

20x

23

20x


tipo x y (x, y)

-inf -100 20( 100) 23

9( 100) 5

=-2.235

Iy 0 -23/5 (0, -4.60)

AV-0.01 0.545 20(0.545) 23

9(0.545) 5

=-127.4

(0.545, -127.4)

AV 5/9 ND (0.555,ND)

Av+0.01 0.565 20(0.565) 23

9(0.565) 5

= 137.6

(0.545, -+137.6)

Ix 23/20 0 (1.15, 0)

+inf +100 20(100) 23

9(100) 5

=-2.21

(100, -2.21)

61


X: -1 hasta 2 Y: -5 hasta 5

18. Dominio y Rango

Dominio = R-{5/9} Rango = R-{20/9}

62


1) 5 2

14 3

xy

x



21. Determine la asíntota horizontal



24. Determinar el intercepto en “x”



27. Dominio y Rango

63


2) 3 4

22 5

xy

x







7. Tabla de Valores


9. Dominio y Rango

64


3) 2 4

35 3

xy

x







7. Tabla de Valores


9. Dominio y Rango

65


4) 3 7

46 6

xy

x







7. Tabla de Valores


9. Dominio y Rango

66

DADA LA ECUACIÓN RACIONAL:

5) (3 )

56 4

xy

x







7. Tabla de Valores


9. Dominio y Rango

67

TAREA 5: MÉTODOS CUANTITATIVOS 2 Cuenta:________________________ Nombre: ______________________ _______________________________ DADA LA ECUACIÓN RACIONAL (NIVEL 2):

( )( ) , ( ) 0

( )

p xy f x q x

q x

A continuación haremos ejemplos con puntos faltantes Dada la grafica

2

2

( 5 6)( )

( 3 10)

x xy f x

x x

Factorizamos por tanteo ( 3)( 2)

( )( 5)( 2)

x xy f x

x x

Como vemos existe un facto repetido que es (x+2) por lo cual lo podemos cancelar

( 3)( )

( 5)

xy f x

x



Tipo

Arriba (x+3) X=1 Intercepto en x

(x+2) X=-2 Punto faltante

Abajo (x-5) X=5 Asíntota vertical

(x+2) X=-2 Punto faltante


Vemos que el polinomio (x-5) no puede ser igual a cero porque se produciría un error matemático. Por lo cual el valor prohibido de x ocurre cuando: x-5=0 Despejando nos queda X=5 Formalmente

Asíntota Vertical (AV): x=5 En el caso del punto faltante también tenemos un punto prohibido en el factor (x+2) Que nos dice que x=-2 no se puede evaluar. Sin embargo si factorizamos esa limitación es removible y se le llama punto faltante. Podemos calcular el valor de y sustituyendo en

( 2 3) 1( )

( 2 5) 7y f x

Por tanto el punto faltante es (-2, - 1/7)


( 3)0

( 5)

x

x

Nos queda 0( 5) ( 3)x x

0 ( 3)x

Despejando nos queda x=-3 Formalmente Intercepto en x = Ix (-3, 0)


Sustituimos ((0) 3) 3 3

(0) 0.60((0) 5) 5 5

y f

Formalmente Intercepto en y = Iy (0, -3/5)

5) Asíntota Horizontal 2

2: 1

xAH y

x

Verificación de cruce: Igualamos la ecuación a y=2

( 3)1

( 5)

xy

x

Y despejamos 1( 3) ( 5)x x

3 5x x

68

3 5 es falso Por tanto no cruza la horizontal

6) Elaboramos ahora la tabla de valores

Tipo x y (x, y)

-00 -100 (( 100) 3)1.96

(( 100) 5)

(-100, 0.92)

Ix -3 (( 3) 3) 00

(( 3) 5) 8

(1,0)

Iy 0 ((0) 3) 30.60

((0) 5) 5

(0,-0.60)

AV-

5-0.01

((4.99) 3)799

((4.99) 5)

(4.99, -799)

AV 5 ((5) 3) 8

((5) 5) 0

No Def.

AV+

5+ 0.01

((5.01) 3)801

((5.01) 5)

(5.01, 801)

+00 +100 ((100) 3)1.08

((100) 5)

(100, 1.08)

7) Elaboramos la grafica Ubicamos las asíntotas. AV: X=5 AH: y=1

Segundo ubicamos las tendencias, intercepto y punto faltante.

Tercero unimos por el camino más corto

Y finalmente tenemos la grafica

8) Determinamos el dominio El dominio lo podemos definir como todos los números reales menos los valores prohibidos, el valor prohibido en este caso es la asíntota vertical.

Dominio = 2,5

O Dominio = , 2,5

Dominio = , 2 2,5 5,

9) Determinamos el rango El rango lo podemos definir como todos los reales menos la asíntota horizontal, a menos que la función cruce la asíntota horizontal.

Rango = 1/ 7,1

Rango = , 1/ 7,1

69

DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL (NIVEL 2):

1) 2

2

( 2)( 5 6)

( 2 8)

x xy

x x

1. Factorice y clasifique factores






7. Determine el punto faltante

8. Tabla de Valores


10. Dominio y Rango

70


2) 2

2

( 7)( 9 14)

( 4 21)

x xy

x x








8. Tabla de Valores


10. Dominio y Rango

71


3) 2

2

( 7 18)

( 11 18)

x xy

x x








8. Tabla de Valores


10. Dominio y Rango

72


4) 2

2

( 16 55)

( 8 33)

x xy

x x








8. Tabla de Valores


10. Dominio y Rango

73


5) 2

2

( 19 84)

( 10 24)

x xy

x x








8. Tabla de Valores


10. Dominio y Rango

74

DADA LA ECUACIÓN RACIONAL (NIVEL 3): ( )

( ) , ( ) 0( )

p xy f x q x

q x

A continuación haremos ejemplos con dos asíntotas verticales, y asíntota horizontal Y=0 Dada la grafica

2

( 4)( )

( 56)

xy f x

x x

Factorizamos por tanteo ( 4)

( )( 8)( 7)

xy f x

x x

Como vemos el grado del polinomio de arriba es 1, y el de abajo es 2, y no hay factores repetidos para puntos faltantes



Tipo

Arriba (x+4) X=-4 Intercepto en x

Abajo (x-8) X=8 Asíntota vertical

(x+7) X=-7 Asíntota vertical


En este casos los valores prohibidos son -7 y 8, y constituyen las asíntotas verticales cuando x-8=0 x+7=0 Despejando nos queda X=8 X=-7 Formalmente Asíntota Vertical (AV): x= 8 Asíntota Vertical (AV): x= -7


( 4)0

( 8)( 7)

x

x x

Nos queda 0( 8)( 7) ( 4)x x x

0 ( 4)x

Despejando nos queda x=-4 Formalmente Intercepto en x = Ix (-4, 0)


Sustituimos ((0) 4) 4 4 1

( )((0) 8)((0) 7) ( 8)( 7) 56 14

y f x

Formalmente Intercepto en y = Iy (0, -1/14)

5) Asíntota Horizontal Calculamos

2

1:

xAH y

x x

Nota: como no nos queda una constante debemos evaluar que ocurre en – infinito y + infinito Usamos -1000 y nos queda 1/(-1000)=10.001 Usamos +1000 y nos queda 1/(+1000)=+0.001 Lo cual nos dice que tiene a la recta horizontal y=0 REGLA GENERAL: cuando el grado del polinomio del numerador sea menor que el del denominador la asíntota horizontal siempre será y=0 Verificación de cruce: Igualamos la ecuación a y=1

( 4)0

( 8)( 7)

x

x x

Y despejamos ( 8)( 7)0 ( 4)x x x

0 ( 4)x

X=-4, por lo tanto si cruza cuando x=-4

75

6) Elaboramos ahora la tabla de valores

Tipo x y (x, y)

-00 -100 ( 100 4)

( 100 8)( 100 7)

= -0.010

(-100, -0.010)

AV- -7 -0.01

-20.053 (-7.01, -20.053)

AV -7 No definido No Definido

AV+ -7+ 0.01

19.947 (-6.99, 19.947)

Ix -4 0 (-4,0)

Iy 0 =-1/14= -0.071 (0, -0.071)

AV- 8-0.01 -79.987 (7.99, -79.987)

AV 8 No definido No Definido

AV+ 8+ 0.01

80.013 (8.01, 80.013)

+00 +100 +0.011 (100, 0.011)

7) Elaboramos la grafica

Primero ubicamos las asíntotas AV: X=-8, x=7 AH: y=0

Segundo ubicamos las tendencias, interceptoS

Tercero unimos por el camino más corto

Cuarto unimos y logramos la grafica

8) Dominio

Dominio = 8,7

9) Rango

Rango = 0

76


1) 2

( 2)

( 5 24)

xy

x x


2 5 24x x x x

Combinación -24 -24 = -1(24)=-2(12)=-6(4)=-8(3) Sumemos las combinaciones = 23,+10, -2, -5 Nos conviene -8(3) = -24 y -8+3 = -5

2 5 24 8 3x x x x

( 2)

( 8)( 3)

xy

x x

Factores del numerador son Ix Factores del denominador son AV

2. Determine la asíntota vertical (x-8)=0 X=8 AV: x=8 (x+3)=0 X=-3 AV: x=-3

3. Determine la asíntota horizontal ( ) 1

( )( )

xy

x x x

Como no me quedo constante tendré que probar + y – infinito. Probamos x= -10000 y= 1/(-10000) = -0.0001 Probamos x= +10000 y= 1/(10000) = +0.0001 por tanto AH: y=0 como regla general Los casos que queden asi

2 3 4

1 1 1 1, , ,

x x x x

En todos estos casos la AH: y=0


Igualamos ( 2)

( 8)( 3)

xy

x x

a cero

( 2)0

( 8)( 3)

x

x x

Y despejamos 0( 8)( 3) ( 2)x x x

Todo valor que multiplica con 0 es cero 0 ( 2)x

2x El punto de cruce (2,0)

5. Determinar Intercepto en Y Iy(0,?) entonces X=0

2

((0) 2) 2 1

((0) 5(0) 24) 24 12y

IY(0,1/12) 6. Determinar el intercepto en “x”

Ix(?,0) entonces y=0 ( 2)

0( 8)( 3)

x

x x

Y despejamos 0( 8)( 3) ( 2)x x x

Todo valor que multiplica con 0 es cero 0 ( 2)x

2x Ix(2,0)

7. Tabla de Valores Valores de Ix(2,0) AV:x=-3, x=8

tipo x y (x, y)

-infinito -100 ( 100 2)

( 100 8)( 100 3)

=-0.0097

(-100, -0.0097)

AV-0.01 -3.001 -454.595 (-3.001, -454.595)

AV -3 ND

AV+0.01 -2.999 +454.495 (-3.001, +454.495)

Iy 0 1/12 (0, 0.083)

Ix 2 0 (2,0)

AV-0.01 7.999 -545.41 (7.999, -545.41)

AV 8 ND

AV+0.01 8.001 +545.49 7.999, +545.49)

+infinito +100 +0.0103 (100, +0.0103)

77


gráficamente)

Dominio (valores x) Dominio = Reales – {-3,8} Rango = Reales = ]-infinito, +infinito[

7

6

5

4

3

2

1

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1

-2

-3

-4

78


1) 2

( 3)

( 2 35)

xy

x x









17. Dominio y Rango

79


2) 2

( 7)( 2)

( 2 8)

xy

x x







7. Tabla de Valores


9. Dominio y Rango

80


3) 2

( 3)

( 3 10)

xy

x x







7. Tabla de Valores


9. Dominio y Rango

81


4) 2

(2)

( 8 20)y

x x







7. Tabla de Valores


9. Dominio y Rango

82


5) 2

( 1)

( 3 15)

xy

x x







7. Tabla de Valores


9. Dominio y Rango

83

TEORIA DE APLICACIONES Llamamos aplicaciones al proceso de utilizar herramientas matemáticas para poder resolver problemas de la vida real. Los pasos para resolver un problema de la vida real por lo general son estos

1) Observar la realidad 2) Elaborar una versión simplificada de la

realidad 3) Trasladar esa versión simplificada de la

realidad a un modelo matemático 4) Resolver el modelo matemático 5) Interpretar los resultados del modelo

matemático EJEMPLO Resulta que Juan desea poner un negocio para vender relojes, cada reloj lo piensa vender a 600 lempiras, el los compra al proveedor por 350 lempiras, pero para tener trabajando su negocio, al mes gasta 2000 lempiras en celular, 1500 en gasolina para su moto, 500 en publicidad.

1) Simplificar esa realidad (determinar los datos)

Precio de venta = 600 lempiras

Costo unitario = 350 lempiras

Gastos mensuales o 2000 en celular o 1500 en gasolina para la moto o 500 en publicidad

2) Modelo de la realidad en términos matemáticos

q=numero de unidades

quantity = cantidad

MODELO MATEMATICO

Y= Mx +b

Total = Variable + Fija

INGRESO

Ingreso Total=

Ingreso Variable

+ Ingreso Fijo

I= 600(q) + 0

COSTO

Costo Total =

Costo Variable

+ Costo Fijo

C = 350 (q) + 2000 + 1500 + 500

UTILIDAD

HAY (600q)-(350q)

(0) –(2000+1500+500)

250q -4000

Ecuaciones

Ingreso: I = 600q +0

Costo: C= 350q+4000

Utilidad:U = 250q-4000 Otra opción de calculo es la siguiente U = I – C U = (600q+0) – (350q +4000) U = 600q+0 – 350q -4000 U = 250q -4000 Grafica de ingreso y costo

84

EL PUNTO DE EQUILIBRIO En una gráfica de Unidades-Lempiras, el punto de equilibrio nos dice en que unidades “q” los ingresos son iguales a los costos, o, o cuando la utilidad es igual a 0 Formulas

I=C

U=0 GRAFICA DE UTILIDAD

3) Interpretaciones

Con cada reloj que vendo gano 250 lempiras por reloj

Para no tener pérdidas debo vender al menos 16 relojes

El volumen de ventas mínimo (cantidad en lempiras) que debo tener para no tener pérdidas es de 9600 lempiras

Si no vendo nada pierdo 4000 lempiras NOS PREGUNTAMOS ¿Cuanto debo vender para tener utilidades de 6000 lempiras? Recordamos que tenemos la ecuación

U= 250q -4000 Igualamos

6000 = 250q-4000 6000+4000 = 250q 10000/250 = q q=40

RESPUESTA APLICADA Debemos vender 40 relojes para lograr una utilidad de 6000 lempiras.

85

EJEMPLO 2 Maria tiene un negocio de vender celulares en la casa en tiempos de covid, los ofrece a 900 lempiras, y los compra a 600 lempiras, su papa para estimularla solo por tener el negocio al mes le da 1000 lempiras como premio, y Maria es responsable de pagar su celular para hacer negocios y paga 800 lempiras, y también debe pagar el cable por el uso del internet y lo que aporta es de 400 lempiras, además gasta en gasolina para llevar el celular a los vecinos alrededor de 1200 lempiras al mes.

1) Los datos simplificados de la realidad

Precio de venta 900 lempiras por unidad

Costo unitario 600 lempiras por unidad

Ingreso fijo de 1000 lempiras

Costos fijos

800 lempiras de celular

400 lempiras internet

1200 lempiras de gasolina

2) Elaboramos la tabla del modelo

matemático MODELO MATEMATICO

Y= Mx +b


INGRESO

Ingreso Total= Ingreso Variable + Ingreso Fijo

I= 900*q + 1000

COSTO

Costo Total = Costo Variable + Costo Fijo

C = 600*q +800+400+1200 =2400

UTILIDAD

U=I-C (900q)-(600q) = 300q

(1000)-(2400) =-1400

U = 300q -1400

ECUACIONES

Ingreso: I=900q+1000

Costo: C=600q+2400

Utilidad: U = 300q-1400

PUNTO DE EQUILIBRIO I=C U=0 U=300q-1400 = 0 Q=1400/300 = 4.6667 unidades GRAFICAR INGRESO Y COSTO

q Ingreso Costo Utilidad

0 900(0)+1000 =1000

600(0)+2400 =2400

1000-2400 =-1400

4.67

900(4.67)+1000 =5203

600(4.67)+2400 =5202

= 1

10 1000 8400 1600

GRAFICAMOS INGRESO Y COSTO

GRAFICAMOS LA UTILIDAD

UTILIDAD ESPERADA Tenemos U = 300q-1400 Y queremos saber cual es la cantidad de unidades requeridas para lograr un ingreso de 10000, por lo que igualamos 10000 = 300q-1400 10000+1400=300q

86

(10000+1400)/300 =q 11400/300=q Q= 38 unidades Respuesta redactada: se requieren vender 38 unidades para lograr una utilidad de 10000 lempiras EJERCICIO 8: APLICACIÓN LINEAL SIMPLE 1) En el mercado de baleadas se sabe por investigaciones anteriores que si el precio de venta de cada unidad es de L15 la cantidad demandada será de 2500 unidades semanales; asimismo, se sabe que si el precio aumenta en 20% la cantidad demandada disminuirá en 20% unidades semanales. Calcule: a) La función de demanda que exprese esta relación entre el precio y la cantidad demandada. Solución: Vemos Que tenemos los datos de los dos puntos de una recta Armamos la tabla

Momento Unidades (x) Precio (y)

Momento 1 2500 15

Momento 2 2500-20%(2500)

15+20%(15)

Calculamos el momento 2 y nos queda

Momento 2 2500-500 = 2000

15+3 =18

Ahora podemos aplicar la fórmula de la pendiente

2 1

2 2

(18) (15) 3

(2000) (2500) 500

y ym

x x

Calculamos la ecuación

1 1( )y y m x x

3(15) [ (2500)]

500y x

3(15) 15

500y x

315 15

500y x

330

500y x

Verificamos con el punto 2

3(2000) 30 12 30 18

500y

Se cumple (2000,18) Expresando en variables económicas nos queda Respuesta: la ecuación del precio demandado es:

330

500p q

b) Si el precio de venta de cada baleada es de L 16, ¿Cuál es la cantidad demandada? Sustituimos en la ecuación

316 30

500q

500(30 16) 2333.33

3q

Respuesta: la cantidad demanda son 2333.33 unidades c) ¿Cuánto debe ser el precio de cada unidad si desea vender 1800 unidades semanales? Sustituimos en la ecuación

330

500p q

3(1800) 30 19.20

500p

Respuesta: el precio de 19.20 lempiras produce 1800 cantidades demandadas. Iy(0,?) x=0

3(0) 30 30

500y

(0,30) Ix(?,0) y=0

30 30

500x

330

500x

500

303

x

5000 x

Ix(5000,0) Grafique la función de Ingreso

87

DEMANDA Se puede representar asi

La empresa establece una política de precio que permita que todos puedan comprar

Demanda y política de precio

A) Desde el punto de vista de descuento por volumen

Precio = 300 -1/100q

Donde 300 es el precio inicial -1/100 es el descuento por cada unidad adicional

B) Desde el punto de vista de la capacidad de compra

88

EJERCICIO Resulta que la cafetería “buen cafe” hizo dos pruebas de precio y descubrió lo siguiente:

Si ponía el precio del café a 30 lempiras, vendía 2000 unidades al mes

Si ponía el precio del café a 35 lempiras, vendía 1500 unidades al mes

Determine la ecuación de demanda en base a estos datos

Momento Unidades (q) “x”

Precio (p) “Y”

1 2000 30

2 1500 35

Buscamos la siguiente ecuación P=m(q)+b O en términos matemáticos Y=mx+b Aplicamos la formula de pendiente

2 1 2 1

2 1 2 1

y y p pym

x x x q q

(35) (30) 5 1

(1500) (2000) 500 100m

Se interpreta que por cada 100 unidades el precio se reducirá en 1 lempira Calculamos el b

1 1 1 1b y mx p mq

130 (2000)

100b

30 20 50b La ecuación de demanda

150

100p q

Para verificar susituimos el punto 2

1(1500) 50 15 50 35

100p

Como el punto (1500, 35 ) pertenece a la gráfica esta correcta la ecuación Para graficar encontramos los intercepto Ix(?,0) Iq(?, 0)

10 50

100q

150

100q

10050

1q

5000 q

Iy(0,?) Ip(0,?) 1

(0) 50100

p

50p

Graficamos

El dueño del negocio desea saber cuanto vendería si pone el precio de 40 lempiras por tasa p=40

150

100p q

150

100p q

140 50

100q

140 50

100q

89

100

40 501

q

100

101

q

1000 q

Respuesta: Si el precio se pone en 40 lempiras por unidad se venderán 1000 unidades El dueño del negocio desea saber a que precio debería vender para lograr 4000 unidades q=4000

150

100p q

1

4000 50100

p

40 50 10p

Respuesta: Para lograr 4000 unidades se deberán poner el precio de 10 lempiras por unidad.

90

EJERCICIO DE DEMANDA Un negocio de Baleadas tiene el precio a 30 lempiras y vende 1000 baleadas a la semana, y luego puso el precio a 40 lempiras 700 baleadas. Decimos que las unidades son “x”, y los precios son “y” al graficar nos queda así:

Para calcular la ecuación de la demanda que se representa si

Precio= m*q+b

q=unidades

p=precio final

b=precio base En términos matematicos

y=m*x+b

x=unidades

y=precio utilizamos la ecuación de la pendiente{

2 1 2 1

2 1 2 1

y y p pym

x x x q q

(40) (30) 10 1

(700) (1000) 300 30m

Se interpreta que por cada 30 unidades se reduce el precio en un lempira. Calculamos el b

1 1 1 1b y mx p mq

130 (1000)

30b

1000 3 10030 30

30 3 3b

90 100 19063.33

3 3 3

Ecuacion de la demanda queda y mx b

p mq b

1 190

30 3p q

Para verificar usamos el punto 2 q=700, p=40

1 190 700 190(700)

30 3 30 3p

70 190 12040

3 3 3

Como logramos el mismo p=40 con q=700 la ecuación esta correcta. Ix(?,0) Iq(?,0)

1 190

30 3p q

1 1900

30 3q

190 1

3 30q

190 30

3 1q

5700

3q

1900 q

Iq(1900,0) Iy(0,?) Ip(0,?)

1 190

30 3p q

1 190 190(0) 63.33

30 3 3p

Ip(0, 190/3) Ip(0,63.33)

91

Tabla de valores

Tipo Unidades(q) “x”(q) “x”(q)

“x”

Precio(p) “y”

Iy 0 63.33

Ix 1900 0

Graficamos

Cual sería el precio que se necesita poner si queremos vender 1500 unidades

q=1500 1 190 1500 190

(1500)30 3 30 3

p

150 190 150 190 4013.33

3 3 3 3

Respuesta redactada: Para vender 1500 unidades se debería poner el precio de 13.33 lempiras por unidad de baleada Cuanto venderíamos si el precio es de 25 lempiras

p=25

1 190q

30 3p

1 19025 q

30 3

92

APLICACIÓN CUADRATICA Un negocio vende q unidades, con la siguiente

ecuación de demanda 0 500 0.40 2q p

donde q es el número de unidades mensuales y p es el precio en lempiras. Determine: a) Encuentre la ecuación de ingreso mensual Primero calculamos la ecuación del precio despejando para p

2 500 0.40p q

250 0.20p q

Esto nos da el precio unitario, para obtener la ecuación de ingreso debemos calcular el ingreso variable = P*Q Ingreso variable = P*Q = ( 250 0.20q )(q+0)

Q= cantidad demandada = q+0, donde 0 representa si hay cantidades iniciales requeridas.

Ingreso variable = 2250 0.20q q

Ingreso fijo =0 Por tanto la ecuación de ingreso es

2( ) 250 0.20 0I q q q

b) Determine la cantidad de unidades que debe vender para obtener el ingreso máximo. Como la ecuación del ingreso es una ecuación cuadrática podemos aplicar el cálculo del vértice de la formula cuadrática pare encontrar le punto máximo, (nota: es máximo porque la constante que

va con 2x es negativa) 2( ) 0.20 250 0I q q q

a=-0.20; b=250; c=0

(250)625

2 2( 0.20)v

bx h

a

Respuesta: para vender el valor máximo se deben vencer 625 unidades. b) ¿Cuál es el ingreso máximo? Simplemente calculamos el valor de ingreso máximo utilizando las unidades calculadas antes

20.20(625) 250(625)vy

78125vy

Respuesta: el ingreso máximo esperado con la venta de 625 unidades es de 78125 lempiras d) Haga la gráfica de la función de ingreso

Para la gráfica ya tenemos el vértice

(625,78125)

El intercepto en y seria 20.20(0) 250(0) 0y

Iy(0, 0)

El intercepto en x seria 20 0.20( ) 250( )x x

Por factor común

0 ( 0.20 250)x x

Nos da las dos respuestas X=0 -0.20x+250=0 De lo cual nos da que X= 1250 Siendo los interceptos Ix1(0, 0) Ix2(1250, 0) Con esto podemos graficar:

93

APLICACIONES CUADRATICAS La diferencia entre ecuaciones lineales y cuadráticas en el caso de problemas de ingreso, costo y utilidad es la siguiente:

En el caso lineal los precios son constantes

En el caso cuadrático, los precios tienen descuento por volumen, o castigo por volumen

Por ejemplo En el caso lineal Tenemos una pizza con precio constante de 200 lempiras por unidad que se expresa así: p=200 En el caso cuadrático: Tenemos una pizza con precio inicial de 200 lempiras por unidad y un descuento de 1 lempira por cada 50 unidades que se expresa así: p=200-(1/50)*q Entonces si queremos saber los ingresos o la ecuación de ingresos, suponiendo un ingreso fijo de 3000 lempiras por apoyo del gobierno En caso lineal la ecuación seria I.Total = I.Variable+I.Fijo Ingresos = P*Q+IF = (200)(q+0) +3000 P=p=200 Q=q+0 I= 200q+3000 En el caso cuadrático la ecuación seria Ingresos = P*Q +I.Fijo Ingreso= (200-1/50q)(q+0)+3000

200 1/ 50 0 3000I q q

200 1/ 5 3 000 0q qI 2200 1/ 50 3000I q q

21/ 50 200 3000I q q

Porque ponemos (q+0) Porque en algunos casos existe la obligación de comprar cantidad minima de productos. Por ejemplo al alquilar equipo de construcción se exigen 4 horas mínimas de alquiler Si el precio de alquiler por hora es 500

horas Pagadas valores

0 4 500*4=0

1 4 500*4=2000

2 4 500*4=2000

3 4 500*4=2000

4 4 500*4=2000

5 5 500*(4+1)=2500

6 6 500*(4+2)=3000

Resumiendo

Caso Lineal Caso Cuadrático

Ingreso = 200q+3000

Ingreso = P*Q Ingreso = (200-1/50q) (q+0) +3000

2200 1/ 50 3000I q q

En el caso cuadrático hay un descuento se calcula según el número de unidades y este vale

1/ 50q

Se lee o interpreta que por cada 50 unidades se da un descuento de 1 lempiras.

94

EJEMPLO DE LINEAL Y CUADRATICA EN DOS ETAPAS CASO LINEAL Resulta que Juan desea poner un negocio para vender relojes, cada reloj lo piensa vender a 600 lempiras, el los compra al proveedor por 350 lempiras, pero para tener trabajando su negocio, al mes gasta 2000 lempiras en celular, 1500 en gasolina para su moto, 500 en publicidad. PARTE LINEAL

MODELO MATEMATICO

Y= Mx +b

Total = Variable + Fijo

INGRESO


I= P*Q =(600+0q)(q+0) =(600)(q)

+ 0

COSTO


C = 350 (q) + 2000 + 1500 + 500

UTILIDAD

U= (600q)-(350q) (0) –(2000+1500+500)

U= 250q -4000

Graficamos Ingreso y costo

Graficamos la utilidad

CASO CUADRATICO Resulta que el dueño del negocio quiere poner un descuento por volumen en el precio de

venta de 140

que se interpreta un lempira

cada 40 unidades el modelo nos queda asi

MODELO MATEMATICO

Y= Mx +b


INGRESO


I= P*Q =(600-1/40q)*(q+0)

2160040

q q

+ 0

COSTO


C = 350 (q) + 2000 + 1500 + 500

UTILIDAD

HAY 2160040

q q -

350q

(0) –(2000+1500+500)

2125040

q q -4000

DETALLE DEL CALCULO DE UTILIDAD VARIABLE

21600 35040

q q q

21600 35040

q q q

21600 35040

q q q

21(600 350)40

q q

2125040

q q

95

La utilidad quedaría 21250 4000

40U q q

METODO ABREVIADO UTILIDAD=INGRESO-COSTO U=[Pv*Q+IF]-[Pc*Q+CF] U=[(600-1/40q)(q+0)+0]-[350*q+4000]

600 1/ 40 0 0 350* 4000U q q q

2600 1/ 40 0 350 4000U q q q

2600 1/ 40 350 4000q q qU 2600 350 1/ 40 4000q q qU

21 / 42 0 05 0 4 00q qU

Graficamos Ingreso y Costo y utilidad

96

EJEMPLO DE EJERCICIO LINEAL CONVERTIDO EN CUADRATICO El ejercicio lineal es Maria tiene un negocio de vender celulares en la casa en tiempos de covid, los ofrece a 900 lempiras, y los compra a 600 lempiras, su papa para estimularla solo por tener el negocio al mes le da 1000 lempiras como premio, y María es responsable de pagar su celular para hacer negocios y paga 800 lempiras, y también debe pagar el cable por el uso del internet y lo que aporta es de 400 lempiras, además gasta en gasolina para llevar el celular a los vecinos alrededor de 1200 lempiras al mes.

MODELO MATEMATICO

Y= Mx +b


INGRESO

Ingreso Total= Ingreso Variable + Ingreso Fijo

I= (900)*(q+0) 900q

+ 1000

COSTO

Costo Total = Costo Variable + Costo Fijo

C = 600*q +800+400+1200 =2400

UTILIDAD

U=I-C (900q)-(600q) = 300q

(1000)-(2400) =-1400

U = 300q -1400

Graficamos ingreso y costo

Graficamos Utilidad

CASO CUADRATICO Resulta que el dueño del negocio quiere poner un descuento por volumen en el precio de

venta de 120

que se interpreta un lempira

cada 20 unidades, entonces el modelo nos queda asi

MODELO MATEMATICO

Y= Mx +b


INGRESO

Ingreso Total=

Ingreso Variable + Ingreso Fijo

I= P*Q= (900-1/20q)*(q+0)

190020q q

2190020

q q

+ 1000

COSTO

Costo Total =

Costo Variable + Costo Fijo

C = 600*(q+0) +800+400+1200 =2400

UTILIDAD

U=I-C ( 2190020

q q )

-(600q)

(1000)-(2400) =-1400

U 21900 60020

q q q

2130020

q q

-1400

97

ECUACION DE UTILIDAD 21300 1400

20U q q

Graficamos Ingreso, costo y utilidad

98

TAREA DE ECUACION LINEAL DE DEMANDA Una negocio de venta de baleas ha tenido la siguiente experiencia Al tener el precio a 40 lempiras por baleada vendía 500 unidades y al poner el precio de 30 lempiras vendió 1500 unidades.

a) Complete la siguiente tabla

Momento Unidades Precio

1

2

b) Determine la ecuación de la demanda

(valores de m y b) Demanda = m*q+b

c) Determine el intercepto en x

d) Determine el intercepto en y

e) Grafique la demanda (recuerde no

puede tener unidades negativas, ni

precios negativos)

f) Para vender 2000 unidades determine

que precio requiere

g) Cuanto venderá si el precio es de 45

lempiras

99

TAREA: APLICACIONES LINEALES Juan vende Tablet tipo Android a 2400 lempiras y las compra a 1500 lempiras cada una, su padre le ayuda con 1000 lempiras de subsidio, y el debe pagar 2000 de electricidad, 3000 lempiras de alquiler y 500 lempiras de cuenta de celular.

a) Determine los siguientes elementos del problema

Precio unitario de venta

Costo Unitario de venta

Ingreso fijo por subsidio o ayuda

Costo fijo

b) Complete la siguiente tabla según corresponda el modelo lineal del problema

TOTAL VARIABLE FIJO

Y= mx +b

Ingreso =

Costo =

Utilidad =

c) Liste las ecuaciones de ingreso, costo y utilidad

d) Determine el punto de equilibrio cuando

Ingreso =Costo Utilidad =0

e) Determine cual seria la utilidad (perdida) si se venden 50 unidades

f) Determine cual es la cantidad de unidades que debería vender para obtener una utilidad de 10,000 lempiras

100

TAREA: APLICACIÓN CUADRATICA A PARTIR DEL CASO LINEAL En el negocio del caso lineal, resulta que Juan desea establecer un descuento de 10 lempiras cada 50 unidades, y ya no tiene la ayuda o subsidio de su papa

a) Determine los siguientes elementos del problema

Precio unitario de venta

Descuento por cantidad de unidades

Costo Unitario de venta

Ingreso fijo por subsidio o ayuda

Costo fijo

b) Complete la siguiente tabla según corresponda el modelo lineal del problema

TOTAL VARIABLE FIJO

Y= mx +b

Ingreso =

Costo =

Utilidad =

c) Liste las ecuaciones de ingreso, costo y utilidad

d) Determine el punto de equilibrio cuando

Ingreso =Costo (como es cuadrática esto ocurre en dos punto) Utilidad =0

e) Determine cual seria la utilidad (perdida) si se venden 50 unidades

101

f) Determine cual es la cantidad de

unidades que debería vender para obtener una utilidad de 10,000 lempiras

Nota: Como es cuadrática habrán dos respuestas, si en una de ellas la respuesta es negativa, no se tomara porque no existen

g) Determine cuál es el número de unidades que produce la utilidad máxima (vértice de la ecuación cuadrática)

h) Elabore la grafica de la utilidad utilizando los valores de unidades que hacen una utilidad igual a cero, y la utilidad maxima

tarea 1: mÉtodos cuantitativos 2 9 · 2020. 7. 12. · 1 tarea 1: mÉtodos cuantitativos 2 cuenta:...

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