Lógica 2 (2013-1)Mtro. Cristian A. Gutiérrez

http://espanol.groups.yahoo.com/group/logicaUNAM2013/Tarea 6

(Grupo 0004 entrega el jueves 14 de marzo)(Grupo 0022 entrega el viernes 15 de marzo)

Nombre:____________________________________________ Grupo:________________INSTRUCCIONES: La tarea debe estar completamente resuelta, tiene que ser contestada a computadora, tiene

que ser entregada el día que se indica arriba y tiene que estar engrapada. Nuestro sistema de reglas de lógica proposicional es el siguiente:

Reglas de Introducción Reglas de Eliminación

⊃ α sup.....

β α⊃β

α⊃β α

β

∧ α β α∧β

α∧β α

α∧β β

∨ α α∨β

α β∨α

α∨β α sup.

...γ

β sup....γ

γ

≡ [(α⊃β) ∧ (β⊃α)]α≡β

[(α∧β) ∨ (∼α∧∼β)]α≡β

α≡β [(α⊃β) ∧ (β⊃α)]

α≡β [(α∧β) ∨ (∼α∧∼β)]

∼ α sup....

⊥ ∼α

∼α sup....

⊥ α

⊥ α ∼α

⊥

⊥ α

NOTA: Recuerden que la única forma de introducir supuestos (que es lo mismo que hipótesis) es usando una regla que lo permita, de tal forma que no puedes probar cosas simplemente suponiéndolas, tienen que respetar la forma de la regla. Las reglas que requieren de introducir supuestos son la Introducción de la Condicional (I⊃), la Eliminación de la Disyunción (E∨), la Introducción de la Negación (I~) y la Eliminación de la Negación (E~).NOTA 2: Esto son otros nombre usuales para algunas de nuestra reglas.Introducción del Condicional (I⊃): Prueba condicionada, Metateorema de la deducción.Eliminación del Condicional (E⊃): Modus Ponens o Modus Ponendo Ponens.Introducción de la Conjunción (I∧): Conjunción.Eliminación de la Conjunción (E∧): Simplificación.Introducción de la Disyunción (I∨): Adición.Eliminación de la Disyunción (E∨): Prueba por casos.Introducción de la Negación (I~) y Eliminación de la Negación (E~): Prueba por Reducción al Absurdo.

Nuestras reglas para la construcción de árboles de verdad son las siguientes:∧ α∧β

α

β

∼(α∧β)

∼α ∼β

∨ α∨β

α β

∼(α∨β)

∼α

∼β

⊃ α⊃β

∼α β

∼(α⊃β)

α

∼β

≡ α≡β

α ∼α

β ∼β

∼(α≡β)

α ∼α

∼β β

~ Doble Negación α ≡ ~ ~ α

⊥Introducción de la contradicción

α ~ α

⊥

1. Considera la siguiente afirmación: La historia humana culminara en un mundo moralmente perfecto. Da un argumento a favor de esta afirmación y uno en contra (se espera que sean buenos argumentos) los argumentos pueden ser del tipo que quieras, indica de qué tipo de argumento se trata (1/2 punto por cada argumento, en total 1 punto)

Argumento a favor: ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Tipo de argumento:___________________________________________________________________

Argumento en contra:________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Tipo de argumento:___________________________________________________________________

2. Demuestra que los siguientes son argumentos válidos usando deducción natural (puedes usar todas las reglas) (1 PUNTO cada una, en total 7 puntos):

a) 1. P ⊃ (Q ⊃ R) 2. ~P ⊃ ⊥ /∴ ~R ⊃ ~Q3. ~R hip.4. Q hip.5. ~P hip.6. ⊥ E⊃ (2,5)7. P E~ (5-6)8. Q ⊃ R E⊃ (1,7)9. R E⊃ (4,8)10. ⊥ I⊥ (3,9)11. ~Q I~ (4-10)12. ~R ⊃ ~Q I⊃ (3-11)

b) 1. ~R ⊃ T2. R ⊃ (S ∧ ~T)/ ∴ ~R ≡ (S ⊃ T)3. ~R hip.4. S hip.5. T E⊃ (1,3)6. S ⊃ T I⊃ (4-5)7. ~R ⊃ (S ⊃ T) I⊃ (3-6)8. S ⊃ T hip.9. R hip.10. S ∧ ~T E⊃ (2,9)11. S E∧ (10)12. ~T E∧ (10)13. T E⊃ (8,11)14. ⊥ I⊥ (12,13)15. ~R I~ (9-14)16. (S ⊃ T) ⊃ ~R I⊃ (8-15)17. (~R ⊃ (S ⊃ T)) ∧ ((S ⊃ T) ⊃ ~R) I∧ (7,16)18. ~R ≡ (S ⊃ T) I≡ (17)

c) 1. ⊥ ≡ R/∴ R ⊃ T2. R hip.3. (⊥ ⊃ R) ∧ (R ⊃ ⊥) E≡ (1)4. R ⊃ ⊥ E∧ (3)5. ⊥ E⊃ (2,4)6. T E⊥ (5)7. R ⊃ T I⊃ (2-6)

d) 1. ~(S ⊃ ((T ⊃ R) ⊃ P))2. (~R ⊃ ~T) ⊃ ~R3. ~T ⊃ (U ∨ R)4. U ≡ R/∴ R ∧ U5. (U ∧ R) ∨ (~U ∧ ~R) E≡ (4)6. U ∧ R hip.7. U E∧ (6)8. R E∧ (6)9. R ∧ U I∧ (7,8)10. ~U ∧ ~R hip.11. (T ⊃ R) ⊃ P hip.12. S hip.13. (T ⊃ R) ⊃ P rep. (11)14. S ⊃ ((T ⊃ R) ⊃ P) I⊃ (12-13)15. ⊥ I⊥ (1,14)16. ~((T ⊃ R) ⊃ P) I~ (11-15)17. ~(T ⊃ R) hip.18. T ⊃ R hip.19. ⊥ I⊥ (17,18)20. P E⊥ (19)21. (T ⊃ R) ⊃ P I⊃ (18-20)22. ⊥ I⊥ (16,21)23. T ⊃ R E~ (17-22)24. T hip.25. R E⊃ (23-24)26. ~R E∧ (10)27. ⊥ I⊥ (25,26)28. ~T I~ (24-27)29. U ∨ R E⊃ (3,28)30. U hip.31. ~U E∧ (10)32. ⊥ I⊥ (30,31)33. R hip.34. ~R E∧ (10)35. ⊥ I⊥ (33,34)36. ⊥ E∨ (29,30-35)37. R ∧ U E⊥ (36)38. R ∧ U E∨ (5,6-37)

e) 1. ~(P ∨ S)2. ~(R ⊃ S)3. (~P ≡ R) ⊃ U/∴~U ≡ S4. S hip.5. P ∨ S I∨ (4)6. ⊥ I⊥ (1,5)7. ~S I~ (4-6)8. P hip.9. P ∨ S I∨ (8)10. ⊥ I⊥ (1,9)11. ~P I~ (8-10)12. ~R hip.13. R hip.14. ⊥ I⊥ (12,13)15. S E⊥ (14)16. R ⊃ S I⊃ (13-15)17. ⊥ I⊥ (2,16)18. R E~ (12-17)19. ~P ∧ R I∧ (11,18)20. (~P ∧ R) ∨ (~~P ∧ ~R) I∨ (19)21. ~P ≡ R I≡ (20)22. U E⊃ (3,21)23. ~U hip.24. ⊥ I⊥ (22,23)25. ~~U I~ (23-24)26. (~~U ∧ ~S) I∧ (7,25)27. (~U ∧ S) ∨ (~~U ∧ ~S) I∨ (26)28. ~U ≡ S I≡ (27)

f) 1. P ≡ (P ⊃ ~T)2. ~P/∴ T3. ~(P ⊃ ~T) E≡2 (1,2)4. ~~T Cond.Falso (3)5. T DN (4)

g) 1. P ≡ (~P ∧ ~T)2. T ≡ (P ∨ ~S)3. Q ⊃ S/ ∴ ~Q4. P hip.5. ~P ∧ ~T E≡2 (1,4)6. ~P E∧ (5)7. ⊥ I⊥ (4,6)8. ~P I~ (4-7)9. ~(~P ∧ ~T) E≡2 (1,8)10. P ∨ T DeMorgan (9)11. T Sil.Dis. (8,10)12. P ∨ ~S E≡2 (2,11)13. ~S Sil.Dis. (8, 12)14. ~Q MT (3,13)

3. Analiza los siguientes argumentos usando el método de árboles de verdad, en cada caso indica si se trata de un argumento válido o inválido, si el argumento es inválido da la asignación de valores que muestra que podemos tener premisas verdaderas y conclusión falsa. (1 punto cada una, en total 4 putos)

h) 1. ~(P ≡ (Q ⊃ ⊥)) El argumento es inválido2. ~(Q ≡ (S ∨ (P ⊃ ⊥)) ~(P ≡ (Q ⊃ ⊥))/∴ ~(P ≡ Q) ∨ S ~(Q ≡ (S ∨ (P ⊃ ⊥))

~(~(P ≡ Q) ∨ S)

~~(P ≡ Q)~S

P ≡ QP ~PQ ~Q

P ~P P ~P~(Q ⊃ ⊥) (Q ⊃ ⊥) ~(Q ⊃ ⊥) (Q ⊃ ⊥)

⊥ ⊥ Q Q

~⊥ ~⊥⊥

Q ~Q ~(S ∨ (P ⊃ ⊥)) (S ∨ (P ⊃ ⊥))

⊥ ~S ~(P ⊃ ⊥)

P~⊥

Por lo tanto el argumento es inválido y la asignación que lo muestra es v(P)=V, v(Q)=V, V(S)=F.

i) 1. P ⊃ ⊥ El argumento es válido2. (S ⊃ ⊥) ⊃ P P ⊃ ⊥/∴ ~S ⊃ ⊥ (S ⊃ ⊥) ⊃ P

~(~S ⊃ ⊥)

~S~⊥

~P ⊥

~(S ⊃ ⊥) P⊥

S ~⊥ ⊥

4. Demuestra que las siguientes son fórmulas, es decir, construye las fórmulas a partir las reglas de formación. (1 PUNTO cada una, en total 4 puntos)

I. ∀x(x=x)1. x es término por (2t)2. (x=x) es fórmula atómica por (1fa)3. (x=x) es fórmula por (1f)4. ∀x(x=x) es fórmula por (4f)

II. R3(a,a',a'') ⊃ (a=a')1. a es término por (1t)2. a' es término por (1t)3. a'' es término por (1t)4. R3(a,a',a'') es fórmula atómica por (3fa)5. R3(a,a',a'') es fórmula por (1f)6. (a=a') es fórmula atómica por (1fa)7. (a=a') es fórmula por (1f)8. R3(a,a',a'') ⊃ (a=a') es fórmula por (3f)

III.~P(f2(a,a'))1. a es término por (1t)2. a' es término por (1t)3. f2(a,a') es término por (3t)4. P(f2(a,a')) es fórmula atómica por (2fa)5. P(f2(a,a')) es fórmula por (1f)6. ~P(f2(a,a')) es fórmula por (2f)

IV. ∃x(P(x) ∧ (x=f1(a)))1. a es término por (1t)2. x es témrino por (2t)3. f1(a) es término por (3t)4. (x=f1(a)) es fórmula atómica por (1fa)5. (x=f1(a)) es fórmula por (1f)6. P(x) es fórmula atómica por (2fa)7. P(x) es fórmula por (1f)8. (P(x) ∧ (x=f1(a))) es fórmula por (3f)9. ∃x(P(x) ∧ (x=f1(a))) es fórmula por (4f)

5. Contesta las siguientes preguntas (1 PUNTO cada una, para un total de 2 puntos)

I. Fernando es amigo del mejor amigo de Esaú. ¿Cuál es la simbolización más adecuada para la oración anterior? (Diccionario: a: Fernando, a': Esaú, f1x: el mejor amigo de x, R2xy: x es amigo de y) a) R2(a',f1(a)) b) R2(a,f1(a')) c) R2(f1(a'),a) d) R2(f1(a),a')

II. El mejor filósofo de todo la historia de acuerdo a Álvaro es Kant. ¿Cuál es la simbolización más adecuada para la oración anterior? (Diccionario: a: Álvaro, a': Kant, f1x: el mejor filósofo de toda la historia de acuerdo a x) a) ( f1(a') = a) b) ( f1(a') = a') c) ( f1(a) = a) d) ( f1(a) = a')

6. Bonus para ñoños (1/2 punto extra para la tarea): Bonus para ñoños: Existe en el Pacífico Sur una isla conocida como la Isla de los caballeros y los bribones. En esta isla existen dos tipos de personas los caballeros que siempre dicen la verdad y los bribones que siempre mienten. ¿Cuál de las siguientes frases no puede ser dicha por ningún nativo de la isla?a) Soy un bribón si y sólo si soy un bribón.b) Soy un caballero si y sólo si soy un bribón.c) Si soy un caballero, entonces soy un bribón.d) Si soy un bribón, entonces soy un caballero.

7. Ejercicio para medio punto extra: Presentar un argumento filosófico deductivo, indicar de dónde fue extraído, indicar de manera clara cuáles son las premisas y cuál es la conclusión. (½ punto para el examen 3)