tarea-05(13-o)

CALCULO DIFERENCIALTarea 5

LIMITES

1. Calcule el siguiente lımite: limx→π+

|x− π|x− π

(a) 0 (b) −1 (c) No existe (d) 1

SOL: (d)

2. Calcule el siguiente lımite: limx→π

|x− π|x− π

(a) 0 (b) −1 (c) No existe (d) 1

SOL: (c)

3. Encuentre el valor de x en el cual la funcion

q(x) =7x

5x− 5tenga una asıntota vertical

(a) 1 (b) −1 (c) 0 (d) 5

SOL: (a)

4. Encuentre el valor de x en el cual la funcion

q(x) =9− x2

x2 + x− 12tenga una asıntota ver-

tical

(a) 3 (b) −3 (c) −4 (d) 3

SOL: (c)

5. Calcule el lımite limx→10

|10− x||4x− 40|

(a) 4 (b) 14 (c) 0 (d) No existe

SOL: (b)


x− 1√x− 1

(a)√2 (b) 1

2 (c) −√2 (d) 2

SOL: (d)

7. Calcule el lımite limx→−2

(1

x+ 2+

4

x2 − 4

)(a) 1

4 (b) −4 (c) −12 (d) −1

4

SOL: (a)


1x − 1

3

x− 3

(a) −9 (b) −16 (c) −1

9 (d) − 112

SOL: (c)


x− 4

x3 − 64

(a) 48 (b) 148 (c) 12 (d) 0

SOL: (b)

10. Calcule el lımite limx→9+

√9− x

(a) 0 (b)√3 (c) 3 (d) No existe

SOL: (d)

11. Calcule el lımite limx→9−

√9− x

(a) 0 (b)√3 (c) 3 (d) No existe

SOL: (a)


√9− x

(a) 0 (b)√3 (c) 3 (d) No existe

SOL: (d)

13. ¿En que puntos x la funcion h(x) =(x+ 2)2

x2 − 4no tiene lımite?

(a) −2 (b) −2 y 2 (c) 0 y 2 (d) 2

SOL: (d)


x1 000 − 1

x− 1

(a) No existe (b) 0 (c) 1 000 (d) 1

SOL: (c)

15. Calcule el siguiente lımite: limx→∞

3− 2x√5x2 + 12 000

(a) 2√5

(b) −∞ (c) ∞ (d) − 2√5

SOL: (d)

16. Calcule limx→∞

senx

(a) 1 (b) 0 (c) No existe (d) −1

SOL: (c)

17. Calcule limx→0−

cotx

(a) No existe (b) ∞ (c) −∞ (d) 0

SOL: (c)

1

CONTINUIDAD

1. ¿Para que valores de x la funcion p(x) =(2x− 3)2

4x2 − 9es discontinua? (a) −3

2 (b) −23

(c) 32 (d) 2

3

SOL: (c)

2. ¿Para que valores de x la funcion p(x) =(2x− 3)2

4x2 − 9no es continua?

(a) −32 (b) −2

3 (c) 32 (d) 2

3

SOL: (a)

3. ¿Para que valor de x la funcion g(x) =|x+ 5|x+ 5

no es continua?

(a) 5 (b) 15 (c) −1

5 (d) −5

SOL: (d)

4. Encuentre la distancia entre los puntos

donde la funcion f(x) =x

x2 − 7x+ 12es dis-

continua.

(a) 1 (b) 3 (c) 4 (d) 7

SOL: (a)

5. Encuentre los valores de a de tal forma quela funcion

f(x) =

{x2 + 1 si x ≤ ax+ 3 si x > a

sea continua en R(a) 0, 1 (b) 1, 2 (c) 1, −2 (d) −1, 2

SOL: (d)

6. ¿Para que valores de x la funcion

g(x) =

x+ 2 si x ≤ −1x2 si − 1 < x < 13− x si x ≥ 1

es discontinua?

(a) Es continua en todos los puntos (b) 1(c) 1, −1, (d) −1

SOL: (b)

7. Determine el valor de la(s) constante(s) parala(s) cual(es) es continua la funcion

f(x) =

{c2 − x2 si x < 22(x+ c) si x ≥ 2

en R

8. (a) −2 (b) −1 (c) −2, 2 (d) No existe

SOL: (c)

DERIVADAS y RAZON DE CAMBIO

1. Dada f(x) = 5− x2 calcule f ′(x)

(a) 2x (b) 5− 2x (c) 5 (d) −2x

SOL: (d)

2. Dada f(x) = 3x− 2x2 calcule f ′(x)

(a) 3−4x2 (b) 3x2−4x3 (c) 3−4x (d)6− 4x

SOL: (c)

3. Calcule f ′(1) para f(x) =1

x2

(a) −2 (b) −12 (c) −1

3 (d) −1

SOL: (a)

4. Si f(x) =√3x, encuentre f ′(3)

(a) 13 (b) 1

2 (c) −13 (d) 1

SOL: (b)

5. Para la funcion p(x) = x|x| calcule p′(0)

(a) No existe (b) 0 (c) 1 (d) −1

SOL: (b)

6. Encuentre el (los) valor(es) de x donde la

funcion f(x) =

|x+ 1| − 1 si x < 0x2 + x si 0 ≤ x < 13− x si 1 ≤ x

no es diferenciable

(a) 0, 1 (b) −1, 1, 0 (c) 0 (d) −1, 1

SOL: (d)

7. Encuentre f ′(1) para f(x) = 5√x− x1.8

(a) 15 (b) −1

5 (c) 85 (d) −8

5

SOL: (d)

8. Calcule f ′(0) para f(x) = (x+ 1)2(x+ 2)

(a) 2 (b) 5 (c) 6 (d) 3

SOL: (b)

9. Para g(x) =x3

(x+ 2)calcule g′(−1)

(a) 5 (b) 10 (c) 8 (d) 4

SOL: (d)

2

10. Calcule h′(4) para h(x) =

√x− 1√x+ 1

(a) 19 (b) 1

24 (c) 118 (d) 1

12

SOL: (c)

11. Calcule h′(0) para h(x) = x2 cosx

(a) 12 (b) 1

4 (c) 1 (d) 0

SOL: (d)

12. Sea q(x) = x tanx. Encuentre h′(π4

)(a) 1+ π

2 (b) 1+ π4 (c) 1− π

2 (d) −1+ π2

SOL: (a)

13. Encuentre f ′ (π4

), si f(x) = sen2 x

(a)√2 (b) 1 (c)

√23 (d)

√22

SOL: (b)

14. Encuentre f ′(2) para la funcion f(x) =

sen

(π√

x2 + 5

)(a) −π

9 (b) π9 (c) − π

27 (d) π27

SOL: (c)

15. Calcule h′(1) si h(x) = (x+ 1)4

(a) 4 (b) 8 (c) 32 (d) 0

SOL: (c)

16. Calcule h′(1) si h(x) = (x2 + 1)4

(a) 4 (b) 8 (c) 32 (d) 0

SOL: (d)

17. Para la funcion p(x) = (x+ 1)2(x+ 2)3 cal-cule p′(0)

(a) 12 (b) 24 (c) 28 (d) 16

SOL: (c)

18. Calcule f ′ (π6

)para f(x) = sen2 2x

(a)√32 (b)

√23 (c) 1√

3(d)

√3

SOL: (d)

19. Calcule g′(1), si g(x) =√

x+√x

(a) 3√2

8 (b)√22 (c)

√2 (d) 1

2

SOL: (a)

20. Para h(x) =

√x+

√x+

√x encuentre

h′(1)

(a)1+ 1√

2

2√

1+√2

(b)1+ 3

4√

2

2√

1+√2

(c) 1√2+√

1+√2

(d)1+ 3√

2

2√

1+√2

SOL: (b)

21. Calcule p′(4) para p(x) = 4√

x−√x

(a) 34√2

(b) 12√2

(c) 32√2

(d) 52√2

SOL: (c)

22. Determine q′(π4

)para la funcion q(x) =

x

senx

(a)√2(1− π

4

)(b)

√2(1− π

2

)(c)√

2(1 + π

4

)(d)

√2(1 + π

2

)SOL: (a)

23. Encuentre la pendiente de la recta tangente

a la curva y =1

1 + xen el punto

(1, 12

)(a) −1

4 (b) 2 (c) −1 (d) 14

SOL: (a)

24. Encuentre la interseccion de la recta tan-gente de la funcion f(x) =

√x+ 3, en el

punto (1, 2), con el eje y

(a) 34 (b) 5

4 (c) 74 (d) 1

4

SOL: (c)

25. Encuentre una ecuacion de la recta tangentea la grafica de la funcion f(x) = x2 − 4x enel punto (3,−3)

(a) 2x − y = 9 (b) x − 2y = 9 (c)y − 2x = 9 (d) 2y − x = 9

SOL: (a)

26. Encuentre una ecuacion de la recta tangente

a g(x) = x+1

xen el punto

(5, 2625

)(a) 24x − 25y = 94 (b) 24x − 25y = −94(c) 25x− 24y = 94 (d) 25x− 24y = −94

SOL: (b)

27. La funcion g(x) = x3 + x2 − x tiene dos rec-tas tangentes horizontales, encuentre sus or-denadas

3

(a) 1, − 527 (b) −1, 5

27 (c) 1, − 527 (d)

−1, − 527

SOL: (a)

28. La funcion g(x) = x3+x2−x tiene dos rectastangentes horizontales, encuentre la distan-cia entre estas rectas

(a) 119 (b) 22

27 (c) 3227 (d) 5

27

SOL: (c)

29. Hay dos rectas tangentes a la grafica de lafuncion h(x) = x2+1 que pasan por el punto(0, 0). Encuentre el valor de la pendientepositiva.

(a) 13 (b) 3 (c) 2 (d) 1

2

SOL: (c)

30. ¿Cuantas rectas tangentes a la grafica def(x) = x3+2x son paralelas a la recta y = x?

(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3

SOL: (a)


a la grafica de h(x) =1− x

1 + xen el punto

(−2,−3)

(a) 2x + 3y + 7 = 0 (b) 3x + 2y + 7 = 0(c) 2x− 3y − 5 = 0 (d) 2x+ 3y + 13 = 0

SOL (a)


a la grafica de h(x) =8√

3x+ 4en el punto

(4, 2)

(a) 2x + 3y = 44 (b) 3x − 4y = 4 (c)4x+ 2y = 20 (d) 3x+ 16y = 44

SOL: (d)

EJERCICIOS DIVERSOSCalcule la derivada de cada una de las funcionesque se dan

1. y =√2x+ 2

√x; Sol:

dy

dx=

1 +√2√

2x

2. f(t) =2√t+

63√t; Sol:f ′(t) = − t1/2 + 2t2/3

t2

3. y = (1− 5x)6; Sol: y′ = −30(1− 5x)5

4. y = (3 + 4x− x2)1/2; Sol: y′ =2− x

y

5. f(x) = (3x− x3 + 1)4;

Sol: f ′(x) = 12(1− x2)(3x− x3 + 1)3

6. θ =3r + 2

2r + 3; Sol:

dθ

dr=

5

(2r + 3)2

7. y =

(x

1 + x

)5

; Sol: y′ =5x4

(1 + x)6

8. f(x) = x√3− 2x2; Sol: f ′(x) =

3− 4x2√3− 2x2

9. s =t2 + 2

3− t2; Sol:

ds

dt=

10t

(3− t2)2

10. y =√

1 +√x; Sol: y′ =

1

4√

x+ x√x

11. y = (x2 + 3)4(2x3 − 5)3; Sol:

y′ = 2x(x2 + 3)3(2x3 − 5)2(17x3 + 27x− 20)

12. y = sen 2x; Sol: y′ = 6 cos 2x

13. y = 4 cos(12x); Sol: y′ = −2 sen (12x)

14. y = 4 tan 5x; Sol: y′ = 20 sec2 5x

15. y = 14 cot 8x; Sol:

dy

x= −2 csc2 8x

16. y = 9 sec 13x; Sol: y′ = 3 sec 1

3x tan13x

17. y = 14 csc 4x; Sol: y′ = − csc 4x cot 4x

18. ρ =√sen θ; Sol:

dρ

dθ=

cos θ

2√sen θ

19. y = senx− x cosx+ x2 + 4x+ 3;

Sol: y′ = x senx+ 2x+ 4

20. y = sen

(2

x

); Sol: y′ = − 2

x2cos

(2

x

)21. y = cos(1− x2); Sol: y′ = 2x sen (1− x2)

22. y = cos(1−x)2; Sol: y′ = 2(1−x) sen (1−x)2

23. y = sen2 (3x− 2); Sol: y′ = 3 sen (6x− 4)

24. y = 12 tanx sen 2x; Sol: y′ = sen 2x

25. y =4√secx

; Sol: y = −2 tanx√secx

26. u = tan θ − θ; Sol:du

dθ= tan2 θ

4

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