talleres para la formación de docentes en el uso didáctico...

Talleres para la Formación de Docentes en el Uso Didáctico de Nuevas Tecnologías en la

Educación Matemática

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Talleres para la Formación de Docentes en el Uso Didáctico de Nuevas Tecnologías en la

Educación Matemática

PROYECTO

Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currí-culo de Matemáticas de la Educación Básica Se-

cundaria y Media de Colombia

Ministerio de Educación NacionalDirección de Calidad de la Educación Preescolar, Básica y Media.

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PROYECTO

Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currículo deMatemáticas de la Educación Básica Secundaria y Media de

Colombia

ANA CELIA CASTIBLANCO PAIBACoordinadora General del Proyecto

Ministerio de Educación Nacional

LUIS MORENO ARMELLAAsesor Internacional

CINVESTAV – IPN, México

EDITOR

Ministerio de Educación NacionalDirección de Calidad de la Educación Preescolar, Básica y Media.

Elaborado por:

ANA CELIA CASTIBLANCO PAIBA. Ministerio de Educación Nacional.

LEONOR CAMARGO URIBE.Departamento de Matemáticas. Universidad Pedagógica Nacional

HENRY URQUINA LLANOS.Universidad de la Amazonía.

FABIOLA RODRÍGUEZ GARCÍA.Instituto Pedagógico Nacional.

ERNESTO ACOSTA GEMPELER.Escuela Colombiana de Ingeniería.

MARTIN EDUARDO ACOSTA GEMPELER.Universidad Joseph Fourier. Grenoble. Francia.

HUGO MARTÍN CUÉLLAR GARCÍA.Instituto Técnico Industrial de Tocancipá.

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Diseño, Diagramación, Preprensa digital, Impresión y terminados:ENLACE EDITORES LTDA.

Primera edición: 3.000 ejemplares

ISBN: 958 - 97413-1-2

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización escrita delMinisterio de Educación Nacional - MEN

Derechos reservados

DISTRIBUCIÓN GRATUITA - PROHIBIDA SU VENTA

Impreso en Colombia

Bogotá, D.C., ColombiaAbril 2004

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XI

Instituciones participantes

La implementación nacional del proyecto “Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currículo de Matemáticas de la Educación Básica Secundaria y Media de Colom-bia”, la construcción y enriquecimiento de los talleres de formación ha sido posible gra-cias al apoyo y participación de las siguientes instituciones educativas que hacen parte integral de la red consolidada en este proceso.

UNIVERSIDADES

Universidad de AntioquiaFacultad de Educación.Gilberto Obando Zapata. Coordinador Departamento de Antioquia.

Universidad del NorteDepartamento de Matemáticas.Margarita Viñas de La Hoz. Coordinadora Departamento del Atlántico.

Universidad Distrital “Francisco José de Caldas”Facultad de Ciencias y Educación.Martha Bonilla Estévez. Coordinadora Departamento de Cundinamarca y Bogotá D.C.Jaime Romero Cruz. Coordinador Departamento de Cundinamarca y Bogotá D.C.

Universidad Pedagógica NacionalFacultad de Ciencia y Tecnología. Departamento de Matemáticas.Leonor Camargo Uribe. Coordinadora Bogotá D.C.

Universidad Pedagógica y Tecnológica de ColombiaFacultad de Ciencias.José Manuel Holguín. Coordinador Departamento de Boyacá.

Universidad de la AmazoníaFacultad de Ciencias de la Educación. Programa Lic. Matemáticas y Física.Javier Martínez Plazas. Coordinador Departamento del Caquetá.

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XII

Universidad Popular del CesarFacultad de Educación. Departamento de Matemáticas.Álvaro de Jesús Solano, Coordinador Departamento del Cesar.

Universidad de CaldasFacultad de Ciencias Exactas y Naturales.Carlos Barco Gómez. Coordinador Departamento de Caldas.

Universidad del CaucaFacultad de Educación. Departamento de Matemáticas.Yenny Rosero Rosero. Coordinadora Departamento del Cauca.Alba Lorena Silva Silva. Coordinadora Departamento del Cauca.

Universidad de la GuajiraFacultad de Ciencias Básicas.Ramón Bertel Palencia. Coordinador Departamento de la Guajira.

Universidad de los LlanosFacultad de Educación.Luis Tirso Maestre. Coordinador Departamento del Meta.

Universidad del MagdalenaDepartamento de Matemáticas.Pablo Gonzáles. Coordinador departamento del Magdalena.Jesús Tinoco. Coordinador Departamento del Magdalena.

Universidad de NariñoFacultad de Educación. Departamento de Matemáticas.Oscar Fernando Soto. Coordinador Departamento de Nariño.Oscar Alberto Narváez Guerrero. Coordinador Departamento de Nariño.

Universidad “Francisco de Paula Santander”Facultad de Ciencias Básicas.Paulina Gómez Agudelo. Coordinadora Departamento Norte de Santander.Carlos Díaz. Coordinador Departamento Norte de Santander.

Universidad del QuindíoDepartamento de Matemáticas.Julián Marín Gonzáles. Coordinador Departamento del Quindío.Efraín Alberto Hoyos. Coordinador Departamento del Quindío.

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XIII

Universidad Tecnológica de PereiraDepartamento de Matemáticas.Carlos Arturo Mora. Coordinador Departamento de Risaralda.

Universidad de SucreFacultad de Educación. Félix Rozzo. Coordinador Departamento de Sucre.Jesús Cepeda. Coordinador Departamento del Cesar.

Universidad Industrial de SantanderFacultad de Educación & Escuela de Matemáticas.Jorge Enrique Fiallo Leal. Coordinador Departamento de Santander.

Universidad Surcolombiana.Facultad de Ciencias Exactas y Naturales.Gustavo Londoño Betancourt. Coordinador Departamento del Huila. Jaime Polanía Perdomo. Coordinador Departamento del Huila.

Universidad del TolimaFacultad de Educación.Rubén Darío Guevara. Coordinador Departamento del Tolima.Ivonne López. Coordinadora Departamento del Tolima.

Universidad del Valle Instituto de Educación y Pedagogía.Diego Garzón. Coordinador Departamento del Valle.Octavio Augusto Pabón. Coordinador Departamento del Valle.

Universidad Nacional de Colombia.Departamento de Matemáticas y Estadística.Miryam Acevedo de Manrique. Coordinadora Departamento del Amazonas.

Universidad de CórdobaFacultad de Educación.Jhon Jairo Puerta. Coordinador Departamento de Córdoba.

Escuela Colombiana de Ingeniería Julio GaravitoDirección de Ciencias Básicas.Ernesto Acosta Gempeler

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XIV

SECRETARÍAS DE EDUCACIÓN

Secretaría de Educación Departamento del AtlánticoYolima Fernández Felízzola. Coordinadora Departamento del Atlántico.

Secretaría de Educación Departamento del PutumayoEdgar Gilberto Palacios. Coordinador Departamento del Putumayo.

Secretaría de Educación Departamento del HuilaRafael Blanco Fernández. Coordinador Departamento del Huila.

INSTITUCIONES EDUCATIVAS DE BÁSICA Y MEDIA

DEPARTAMENTO DE ANTIOQUIAColegio Santa Teresa. Medellín.Normal Superior. Envigado.Liceo Comercial Pedro Luis Ávarez. Caldas.Normal Superior María Auxiliadora. Copacabana.Normal Superior Pedro Berrío. Santa Rosas de Osos.Instituto Técnico Industrial Simona Duque. Marinilla.Liceo Fé y Alegría la Cima. Medellín.Instituto Técnico Industrial Jorge Eliécer Gaitán. Carmen de Viboral.

DEPARTAMENTO DEL ATLÁNTICOEscuela Normal Superior Nuestra Señora de Fátima. Sabanagrande.Instituto Pestalozzi. Barranquilla.Normal Superior Santa Ana. Baranoa.Normal Superior la Hacienda. Barranquilla.Escuela normal Superior de Manatí. Manatí.Colegio de Bachillerato Técnico. Santo Tomás.Colegio de Bachillerato Masculino. Sabanalarga.

DEPARTAMENTO DE AMAZONASInternado Indígena Femenino María Auxiliadora. Nazareth. Corregimiento de Leticia.INEM “José Eustasio Rivera”. Leticia.

BOGOTÁ D.CCentro Educativo Distrital Rodrigo Lara Bonilla. (J.T).Colegio Distrital Heladia Mejía.Instituto Pedagógico Nacional.

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XV

Colegio Distrital de Educación Básica y Media General Santander.Unidad Básica Rafael Uribe Uribe (J.M).Colegio Distrital Benjamín Herrera (J.M).Colegio República de Costa Rica.

DEPARTAMENTO DE BOYACÁInstituto Técnico Rafael Reyes. Duitama.Instituto Integrado Nalzado Silvino Rodríguez. Tunja.Colegio Nacional Sugamuxi. Sogamoso.Normal Superior Santiago de Tunja. Tunja.Normal Superior Sor. Josefa del Castillo y Guevara. Chiquinquirá.Colegio Julius Sierber. Tunja.

DEPARTAMENTO DE CALDASNormal Superior de Caldas. Manizales.Colegio la Asunción. Manizales.Normal Superior María Escolástica. Salamina.Instituto Nacional Los Fundadores. Riosucio.

DEPARTAMENTO DEL CESARNormal Superior María Inmaculada. Manaure.Colegio Manuel Germán Cuello. Anexo a la Universidad Popular del Cesar. Valledupar.Colegio Nacional Loperena. Valledupar.Instituto Técnico Industrial Pedro Castro Monsalve. ValleduparInstituto Técnico Industrial La Esperanza. Valledupar. DEPARTAMENTO DEL CAQUETÁColegio Juan Bautista la Salle. Florencia.Colegio Nacional La Salle. Florencia.Escuela Normal Superior. Florencia.Colegio Cervantes. Morelia.

DEPARTAMENTO DEL CAUCALiceo Nacional Alejandro Humboldt. Popayán.Instituto Técnico Industrial. Popayán.INEM Francisco José de Caldas. Popayán.Instituto Nacional Mixto. Piendamó.

DEPARTAMENTO DE CÓRDOBANormal Superior. Montería.Normal Superior Lácidez A. Iriarte. Sahagún.Colegio Marceliano Polo. Cereté.

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XVI

DEPARTAMENTO DE CUNDINAMARCAInstituto Técnico Industrial. Tocancipá.Instituto Técnico Industrial Capellanía. Fúquene.Instituto Técnico Industrial. Zipaquirá.Colegio Departamental San Juan de Rioseco.Normal Superior Nuestra Señora de la Encarnación. Pasca.

DEPARTAMENTO DE LA GUAJIRAColegio Helión Pinedo Ríos. Riohacha.Colegio Livio Reginaldo Fishioni. Riohacha.Colegio La Divina Pastora Riohacha.Colegio Santa Catalina de Sena. Maicao. Normal Superior San Juan del Cesar.

DEPARTAMENTO DEL HUILAINEM Julián Motta Salas. Neiva.Liceo Santa Librada. Neiva.Normal Superior. Neiva.Normal Superior. Gigante.

DEPARTAMENTO DEL METANormal Superior María Auxiliadora. Granada.Colegio Enrique Olaya Herrera. Puerto López.INEM Luis López de Mesa. Villavicencio.Unidad Educativa de Cabuyaro. Cabuyaro.

DEPARTAMENTO DEL MAGDALENANormal Superior San pedro Alejandrino. Santa Marta.Colegio de Bachillerato de Bonda. Bonda.Liceo Antonio Nariño. Santa Marta.Normal de Señoritas. Santa Marta.

DEPARTAMENTO DE NARIÑOINEM Mariano Ospina Rodríguez. Pasto.Colegio Ciudad de Pasto. Pasto.Liceo Central Femenino. Pasto.Colegio San Bartolomé de la Florida. La Florida.Colegio Nacional Sucre. Ipiales.Normal Superior. Pasto.Colegio María Goretti. Pasto.

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XVII

DEPARTAMENTO DE NORTE DE SANTANDERColegio Nacional de Bachillerato. Cúcuta.Colegio Departamental Integrado Once de Noviembre. Los Patios.Colegio Femenino Departamental de Bachillerato. Cúcuta.Colegio Departamental Carlos Pérez Escalante. Cúcuta.Normal Superior María Auxiliadora. Cúcuta.

DEPARTAMENTO DEL PUTUMAYOColegio Alvernia. Puerto Asís.Colegio Nacional Pío XII. Mocoa.Colegio Agropecuario Guillermo Valencia. Villagarzón.Colegio Fray Bartolomé de Igualada. Sibundoy.

DEPARTAMENTO DEL QUINDÍOInstituto Técnico Industrial. Armenia.Normal Superior. Armenia.Colegio los Fundadores. Montenegro.Institución Educativa Ciudadela Henry Marín Granada.Circasia.Instituto Tebaida. La Tebaida.Colegio Teresita Montes. Armenia.

DEPARTAMENTO RISARALDAInstituto Técnico Superior. Pereira.Normal Superior de Risaralda. Pereira.Instituto Técnico Industrial Nacional. Santa Rosa.Colegio Pablo Sexto. Dosquebradas.

DEPARTAMENTO DE SUCRELiceo Carmelo Percy Vergara. Corozal.Colegio Antonio Lenis. Sincelejo.Normal Superior de Corozal. Corozal.

DEPARTAMENTO DE SANTANDERINEM Custodio García Rovira. Bucaramanga.Centro Educativo Las Américas. Bucaramanga.Escuela Normal Superior. Bucaramanga.Instituto Santa María Goretti. Bucaramanga.Colegio Vicente Azuero. Floridablanca.Colegio Nacional Universitario. Socorro.

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XVIII

DEPARTAMENTO DEL TOLIMAInstituto Técnico Industrial Jorge Eliécer Gaitán Ayala. Líbano.Colegio Nuestra Señora de las Mercedes. Icononzo.Colegio Nacional San Simón. Ibagué.Normal Superior. Ibagué.INEM Manuel Murillo. Ibagué.Colegio de Bachillerato Comercial Camila Molano. Venadillo.Institución Educativa Santa Teresa de Jesús. Ibagué.

DEPARTAMENTO DEL VALLEColegio Joaquín Caicedo y Cuero. Cali.Normal Superior de Señoritas. Cali.Colegio Manuel María Mallarino. Cali.Colegio Mayor. Yumbo.Instituto Técnico Industrial Humberto Raffo Rivera. Palmira.Escuela Normal Superior Santiago de Cali. Cali.

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XIX

Presentación ................................................................................................................XXIIntroducción ................................................................................................................XXIII

1. Aspectos Generales ..................................................................................................1 2. Introducción al Manejo de la Calculadora TI 92 ........................................................3

3. Introducción al Programa de Geometría Cabri Géometrè ........................................9

4. El Mundo Cabri ................................................................................................................... 13

5. Lugares Geométricos ..............................................................................................17

6. Construcciones Dinámicas en el Programa Cabri Géometrè .................................21

7. Macro Construcciones y Cajas Negras en el Programa de Geometría ..................25

8. Ventana de Graficación y Análisis de Funciones ....................................................29

9. Estudio de los Parámetros de las Funciones ..........................................................39

10. Expresiones Algebráicas .........................................................................................43

11. Solución de un Sistema de Ecuaciones en el Programa de Álgebra y Cálculo ......47

12. Actividades en Sistemas Numéricos .......................................................................51

13. Exploración de Regularidades Numéricas ..............................................................55

14. Regresión Lineal .....................................................................................................59

15. Manejo, Análisis e Interpretación de Datos .............................................................63

16. Un problema de Optimización .................................................................................69

17. CBR – Aproximación a la Gráfica ...........................................................................79

18. Curso de Formación en el Uso de Internet .............................................................83

Bibliografía ...................................................................................................................113

Contenido

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XXI

Presentación

Desde el año 2000 un grupo de educadores matemáticos de 24 Universidades Colom-bianas y de 120 Instituciones educativas de educación básica y media, bajo el lide-razgo de el Ministerio de educación Nacio-nal, ha venido implementando el Proyecto “Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currículo de Matemáticas de la Educación Básica Secundaria y Media de Colombia”.

Gran parte del impacto positivo de este proyecto en el sistema educativo, se ha ba-sado en estrategias y procesos de forma-ción gradual en el conocimiento y manejo técnico de los sistemas computacionales gráficos y algebraicos (en este caso la Calculadora TI 92 Plus) y la reflexión pe-dagógica y didáctica respecto a sus posibi-lidades en la promoción del desarrollo del pensamiento matemático.

El curso que colocamos a consideración de la comunidad de educadores, innovadores e investigadores en educación matemática interesados en la incorporación de nuevas tecnologías en la educación matemática del país, ha sido producto de una madu-ración conceptual sobre el potencial de las

nuevas tecnologías en la educación y el enriquecimiento gradual de las experien-cias de aula mediante el uso de estas. Tie-nen como propósito aportar herramientas pedagógicas y didácticas que contribuyan a impulsar el mejoramiento de la calidad de la educación matemática aprovechan-do estos recursos. Los talleres que lo integran han sido objeto de estudio y reflexión en sucesivos eventos de formación y actualización de maestros de las diferentes regiones del país, lo que ha permitido alcanzar un grado de evolu-ción en su diseño y su articulación sistémi-ca en el presente “Curso Básico”.

Esperamos que este documento constituya una herramienta poderosa para impulsar los procesos de formación y actualización de maestros en el manejo técnico y el uso pedagógico y didáctico de nuevas tecnolo-gías computacionales gráficas y algebrai-cas en la educación matemática de nuestro país.

Los Autores

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XXIII

Introducción

El presente “Curso Básico” se encuen-tra estructurado en talleres que buscan promover un dominio en el manejo de los Sistemas Computacionales Algebraicos (en este caso de la Calculadora TI 92 Plus) y la reflexión sobre sus posibilidades en el desarrollo del pensamiento matemático en contextos escolares.

Los talleres iniciales buscan avanzar en la exploración y conocimiento de los dife-rentes recursos que tiene la calculadora TI 92 Plus en geometría dinámica y plantea situaciones de exploración de objetos y construcciones geométricas que potencian el desarrollo del pensamiento geométrico.

El segundo grupo de talleres se articulan entorno a la exploración y comprensión de las herramientas de álgebra y cálculo a partir de situaciones relacionadas con ven-tanas de graficación, parámetros de funcio-nes polinómicas, expresiones algebraicas y sistemas de ecuaciones.

El tercer grupo de talleres se centran en el trabajo con sistemas numéricos, regulari-dades numéricas, regresión lineal y la sis-tematización e interpretación de datos de tipo estadístico.

En el cuarto grupo de talleres se abordan problemas específicos de optimización y modelación, introduciendo en la modela-

ción el trabajo con el detector sónico de movimiento CBR (Calculador Based Ran-ger), que permite la captura de datos de movimientos que son trasferidos a la calcu-ladora y que pueden ser interpretados con ayuda de los diversos sistemas de repre-sentación que ella posee, posibilitando de esta manera la interacción entre las cien-cias físicas y matemáticas.

Como manera de enriquecer la formación y desempeño de los docentes en el uso de otras herramientas tecnológicas de comu-nicación e información, el curso finaliza con un taller relacionado con el conocimiento y uso de Internet que comprende una ubica-ción en la naturaleza y características de esta herramienta, orientaciones para la na-vegación, apertura y uso de correo electró-nico, búsqueda y bajada de archivos y los procesos de comprensión y descompresión de archivos.

En términos generales cada taller inicia con una ubicación del objeto o campo temático a explorar y conocer, plantea una situación a manera de orientación o pregunta para promover la exploración y reflexión cons-tructiva, da orientaciones para centrar las exploraciones y búsquedas y, finaliza, con algunas actividades complementarias.

Esperamos que quienes accedan y usen el presente material, nos permitan conocer

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XXIV

todas las inquietudes y propuestas que ins-pire, para efectos de enriquecerlo y hacer-lo mejor con el aporte colectivo como ha sido la práctica constante en el proceso

de Implementación nacional del Proyecto “Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currículo de matemáticas de la Educación Básica Secundaria y Media de Colombia”.

Talleres Formacion.indd XXIVTalleres Formacion.indd XXIV 3/30/2004 1:10:52 PM3/30/2004 1:10:52 PM

1

ASPECTOS GENERALES1

Objetivos Generales del Curso

• Lograr un dominio básico en el manejo de la calculadora TI 92 y reflexionar so-bre su uso pedagógico para desarrollar el pensamiento matemático.

• Promover el diseño de situaciones problemáticas que potencien el papel mediador de las nuevas tecnologías computacionales y de la comunicación en la orientación de los procesos forma-tivos en matemáticas.

Metodología

Los talleres se desarrollarán a través de un trabajo interactivo de exploración y re-flexión que propende por el desarrollo de habilidades en el manejo técnico de la cal-culadora y otras herramientas computacio-nales en diferentes aspectos del currículo escolar, así como por estimular la reflexión respecto a su potencial didáctico. Se tra-bajará teniendo en cuenta las experiencias y las actividades que los maestros imple-mentan en el aula de clase.

Programación

Los procesos de formación orientados con apoyo en el presente material se pueden organizar en sesiones de trabajo con una intensidad horaria acorde a los requeri-

mientos particulares de cada grupo de es-tudio. La experiencia ha indicado que cada taller puede ser desarrollado de manera integral en un tiempo que oscila entre 1 y 3 horas de trabaja aproximadamente. En el caso particular del curso de Internet, se puede abordar en un tiempo que va entre 8 y 12 horas.

Primera sesión• Reflexión en torno a la incorporación de

nuevas tecnologías al currículo de mate-máticas.

• Taller 1: Introducción al manejo de la cal-culadora TI-92.

• Taller 2: Introducción al programa de geometría CABRI GÉOMÈTRE.

Segunda sesión• Taller 3: El mundo CABRI.• Taller 4: Lugares Geométricos.• Taller 5: Construcciones dinámicas en el

programa CABRI GÉOMÈTRE.• Taller 6: Macro construcciones y cajas

negras en el programa de geometría.

Tercera sesión• Taller 7: Ventana de graficación y análi-

sis de funciones.• Taller 8: Estudio de parámetros en las

funciones polinómicas.• Taller 9: Expresiones algebraicas.• Taller 10: Solución de un sistema de

ecuaciones en el programa de álgebra y cálculo.

Talleres Formacion.indd Sec1:1Talleres Formacion.indd Sec1:1 3/30/2004 1:13:03 PM3/30/2004 1:13:03 PM

Talleres para la Formación de Docentes en el Uso Didáctico de Nuevas Tecnologías en la Educación Matemática

2

Cuarta sesión• Taller 11: Actividades en sistemas nu-

méricos.• Taller 12: Exploración de regularidades

numéricas.• Taller 13: Regresión lineal.• Taller 14: Manejo, análisis e interpreta-

ción de datos.

Quinto sesión• Taller 15: Un problema de optimización.• Taller 16: CBR - Aproximación a la gráfi-

ca.• Evaluación, Conclusiones, Tareas y

Compromisos.

Sexta sesión• Curso de Formación en el Uso de Inter-

net.

o Correo Electrónico- Que es el Correo electrónico.- Servicios de corro electrónico: insti-

tucional, servicios gratuitos.

- Configuración de un administrador de correo electrónico.

- Enviar y recibir correos electróni-cos.

- Adjuntar un archivo a un correo que se envía.

- Descargar y leer un archivo adjunto a un correo que se recibe.

- Comprimir archivos grandes para enviarlos como archivos adjuntos.

- Descomprimir archivos comprimi-dos que se reciben adjuntos a un correo.

o Navegación por Internet- Que es una página de Internet- Visualizadores de páginas de Inter-

net.- Navegación por Internet: El uso de

los enlaces.- Motores de búsqueda de informa-

ción.- La página del proyecto.- El foro de discusión del proyecto.- Chats.


3

INTRODUCCION AL MANEJO DE LA CALCULADORA TI92 +2

Objetivos

• Reconocer y explorar las herramientas básicas de la calculadora TI92.

• Lograr habilidades y destrezas en el ma-nejo de dichas herramientas a partir del abordaje de algunas situaciones proble-máticas específicas.

Aspectos Generales

La calculadora TI-92 es un micro computa-dor portátil, con seis programas diferentes:• Un programa de álgebra y cálculo (HOME)

para realizar todas las operaciones de una calculadora científica más operacio-nes de álgebra (factorización, solución de ecuaciones) y cálculo (integración, derivación).

• Un programa de geometría dinámica plana (CABRI GÉOMÈTRE), en el que pueden construirse figuras geométricas de acuerdo con las reglas de la geome-tría euclidiana (puntos, segmentos, cir-cunferencias,...), y la geometría analítica (ejes de coordenadas, ecuaciones).

• Un programa de edición y graficación de funciones (Y = , GRAPH, TABLE, WIN-DOW).

• Un editor de texto (Text Editor).• Un editor de programas (Program Editor).• Una hoja de cálculo (Data/Matrix Editor).

Cada uno de esos programas tiene sus propios comandos y funciones. Esta intro-ducción sólo se propone explicar procedi-mientos generales.

Tecla Función

La tecla ENTER sirve para validar cualquier expresión o selección. Observe que hay tres de estas teclas en la calculadora, para mayor comodidad.

La tecla del cursor sirve para desplazarse por la pantalla o por los menús des-plegables. Tiene movimientos en ocho direcciones. Su función es equivalente a la que desempeña el ratón en el computador.

La tecla de aplicaciones APPS sirve para desplegar el menú de aplicaciones y dar acceso a los diferentes programas de la calculadora.

Algunas teclas especiales


4


Tecla Función

La tecla MODE da acceso a la configuración de la calculadora y permite cambiar los formatos de las opciones de gráficas, cálculos, etc.

La tecla MANO representada por una mano se utiliza en el programa CABRI GÉOMÈTRE y es el equivalente al botón izquierdo del ratón del computador. Manteniéndola oprimida se pueden escoger objetos para arrastrarlos.

Teclas de modificación

Hay teclas que dan acceso a diferentes funciones, escritas en tres colores diferentes: blanco, amarillo o verde.

Funciones Teclas de modificaciónFunciones de color blanco Se accede oprimiendo directamente la tecla.

Funciones de color amarillo

Se accede con la combinación 2nd+TECLA.

Por ejemplo, para escribir en la pantalla HOME la expresión

se debe oprimir y luego la tecla x en el teclado qwerty. (Nota: es importante no confundir la letra x con el signo de mul-tiplicación).

Funciones de color verde

Se accede con la combinación ♦+TECLA.

Por ejemplo, para mostrar la gráfica de una función, se debe oprimir y la tecla W del teclado qwerty.

Es importante diferenciar entre la tecla (-), para escribir el signo negativo, (por ejemplo en la expresión y = -3x) y la tecla - para escribir la operación resta (por ejemplo en la expresión y = x - 5).

♦+ Q Entra a la pantalla HOME (aritmética, álgebra, cálculo).

♦+ W Edita ecuaciones (para definir funciones).

♦+ E Define los rangos en la ventana de graficación. Pantalla window.

Combinación de teclas importantes


Introducción al manejo de la calculadora TI92 +

5

♦+ Y Presenta la tabla de valores de las funciones seleccionadas.

♦+ R Presenta la gráfica de las funciones seleccionadas.

♦+ ENTER Presenta el resultado aproximado de una operación.

♦+ “+” Aumenta el contraste.

♦+ “-” Disminuye el contraste.

2nd + ESC Sale del programa al que se entró por accidente.

2nd + “-” Presenta el listado de archivos equivalente al explorador de windows.

2nd + MANO + ON Resetea el sistema cuando se bloquea.

♦+ ON Apaga la calculadora y guarda la última pantalla.

2nd + ON Apaga la calculadora.

2nd + W Activa el símbolo de factorial !

2nd + 5 Activa el menú de probabilidad.

¿Qué vamos a Hacer? Sugerencias

1. Realice las siguientes operaciones:

a. 529* (-478) b. (-64)5 c. 137

d. 3 58 e. )3

cos( f. 30!

Exprese los resultados de c, d, e y f en modo exacto, aproximado y automático.

Escriba la operación. Para obtener el resultado oprima ENTER en lugar de =

Oprima la tecla MODE, escoja la página 2 (puede opri-mir F2), y con el cursor desplácese hasta Exact /Aprox. Luego seleccione el modo (No olvide oprimir ENTER para validar la selección).

Auto: emplea el modo exact siempre que sea posible o el modo aprox. cuando la entrada incluye un punto de-cimal.

Exact: cualquier resultado que no sea número entero lo presenta en forma simbólica o fraccionaria.

Aprox: todos los resultados numéricos aparecen en for-ma de coma flotante.

2. Halle la descomposición prima de los si-guientes números:

a. 1236 b. 6468

Seleccione el modo ExactoOprima F2, elija la opción 2: factor (y escriba el número que desee factorizar y oprima ENTER.

Actividades


6


3. Evalúe la expresión 3

2

)1(

3

xx

en

a. x = -5 b. x =

Método 1: Escriba la expresión (-3)*x^2/(x+1)^3 sustitu-yendo x por el valor respectivo y oprima ENTER Método 2: Escriba la expresión (-3)*x^2 / (x+1)^3 A con-tinuación use la barra | que aparece sobre la tecla K y

teclee x = -5. De igual manera para x = .

4. Factorice la expresión

x4 – 5x3 + 5x2 + 5x - 6

Desarrolle la expresión factorizada

Del menú F2 seleccione la opción 2: factor (y luego digite la expresión).Del menú F2 seleccione la opción 2: expand (Con el cur-sor desplácese hasta la expresión factorizada anterior-mente y oprima ENTER. Cierre el paréntesis y vuelva a oprimir ENTER.

5. Resuelva la ecuación x + y – 4 = 2x - 5y

con respecto a x.

Del menú F2 seleccione la opción 1: solve( y digite la ecuación. A continuación escriba, x y cierre el parénte-sis. Asegúrese de obtener la expresiónsolve (x + y – 4 = 2x – 5y , x)

6. Halle la derivada de y = 3sen2x

Integre la expresión que obtuvo. ¿Cómo expli-ca este resultado?

Del menú F3 seleccione la opción 1: d( differentiate y digite: 3*(sin(x))^2,x)Del menú F3 seleccione la opción 2: ∫( integrate, inserte la expresión obtenida anteriormente y agregue , x).

7. Introduzca la función y = x + 80 y explore las opciones de la ventana. (observe la veloci-dad de graficación al cambiar xres)Zoom Int: deja los píxeles en números ente-ros.Zoom In: acerca o amplía la región seleccio-nada.Zoom Out: aleja o reduce la región seleccio-nada.Zoom Dec: ajusta las escalas en X y en Y con-siderando 1 como unidad y centra en el ori-gen.Zoom Trig: ajusta en

2 la escala en X.

Cuadre la ventana hasta visualizar los cortes con los ejes.

Para escribir la función entre al editor de funciones (♦+W), digite en y1 la función x+80 y oprima ENTER.

Para visualizar la gráfica de la función entre al editor de graficación (♦+R).

Para modificar la ventana de graficación entre a la ven-tana WINDOW (♦+E).


Introducción al manejo de la calculadora TI92 +

7

8. Reproduzca el siguiente dibujo en el progra-ma de geometría Para entrar al programa de geometría oprima la tecla

APPS y escoja el programa. Despliegue el menú y es-coja la opción 3: New. Asigne un nombre al archivo en el lugar en que aparece Variable: Oprima ENTER dos veces.

Explore las opciones en los menús.

9. Escriba su opinión sobre el uso de la calcu-ladora en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas.

Para entrar al editor de texto oprima la tecla APPS y es-coja la opción Text Editor. Seleccione 3: New.Asigne un nombre al archivo ubicando el cursor en Va-riable: luego presione dos veces ENTER.

Actividades Complementarias

Para profundizar en la exploración, el co-nocimiento y el manejo de los diferentes recursos y herramientas de la Calculadora TI92 y propiciar la reflexión respecto a su potencial didáctico en la educación mate-mática, se propone estudiar:

• Los capítulos I, II y III del Manual de Usuario de la Calculadora TI – 92 Plus.

• El documento “Calculadoras Algebrai-cas y Aprendizaje de las Matemáticas” de Luis Moreno Armella, publicado en el libro “Seminario nacional de Formación de Docentes: Uso de Nuevas Tecnolo-gías en el Aula de Matemáticas”. MEN. 2002. Pág. 93 – 98.


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INTRODUCCION AL PROGRAMA DE GEOMETRÍA CABRI GÉOMÈTRE3

Objetivos

• Explorar y lograr dominio en el Manejo de las herramientas y recursos básicos del programa Cabri Géomètre de la TI 92 Plus.

• Reconocer y conceptualizar algunos as-pectos geométricos básicos a partir de exploraciones realizadas con el Cabri Géomètre de la TI 92 plus.

• Potenciar la construcción de objetos geométricos aprovechando los sistemas de representación de la TI 92 plus.

Actividades

El programa de geometría incluido en la calculadora TI-92, es una adaptación del programa CABRI GÉOMÈTRE de geome-tría dinámica.

Abrir el programaPara iniciar el programa de geometría debe oprimir la tecla APPS + 8. Se presenta un menú con tres opciones:

- Current sirve para abrir el último archivo que se trabajó

- Open sirve para seleccionar el archivo que se desea abrir

- New sirve para abrir un archivo nuevo.

Seleccione New. Aparece una ventana como la siguiente, en donde debe escribir el nombre que quiere dar al archivo. Escrí-balo y valídelo con ENTER. Oprima nueva-mente ENTER para iniciar.

Usar los menúsEste es un programa de geometría dinámi-ca que permite hacer construcciones e in-vestigar sobre las propiedades de muchas figuras geométricas.

Al entrar al programa aparece la siguiente pantalla:


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Con las teclas F1 a F8 se despliegan los di-ferentes menús que permiten seleccionar las herramientas para trabajar.

Oprima F2+1 para dibujar un punto. Ahora el cursor toma forma de lápiz. Con la tecla del ratón puede mover el cursor por la pantalla. Al oprimir ENTER se dibujará un punto.

Explore las diferentes herramientas de construcción de los menús F2 y F3 (Line, Segment, Ray, Circle, Triangle).

Desplazar objetosLos objetos construidos en CABRI GÉOMÈ-TRE no son estáticos, sino que pueden ser desplazados a cualquier parte del plano. Para explorar esta posibilidad efectúe los siguientes pasos:

- borre todo lo que dibujó anteriormente (F8 + 8)

- dibuje un triángulo (F3 + 3)- seleccione la herramienta Pointer (FI + 1)

y acerque el cursor a uno de los vértices del triángulo hasta que aparezca el letre-ro THIS POINT

- oprima la tecla MANO (verá aparecer una mano que agarra el punto para mover-lo)

- manteniendo oprimida la tecla MANO, uti-lice la tecla del cursor para mover ese punto.

Observe que con una sola construcción usted puede obtener, por desplazamiento, cualquier clase de triángulo.

Construir figuras geométricasLas opciones presentadas en el menú F4, permiten hacer otras construcciones. Siga

las siguientes orientaciones para construir rectas perpendiculares y paralelas:

- borre sus construcciones- dibuje cualquier recta y un punto- seleccione la herramienta Perpendicular

Line (F4 + 1)

- acerque el cursor al punto hasta que aparezca THRU THIS POINT

- oprima ENTER

- acerque el cursor a la recta hasta que aparezca PERPENDICULAR TO THIS LINE

- oprima ENTER

- seleccione la herramienta Pointer- desplace el punto por el plano y observe

qué sucede con la recta perpendicular.

Repita el procedimiento anterior, pero se-leccionando la herramienta Parallel Line.

Colocar EtiquetasPara dar nombre a un objeto se procede como en el siguiente ejemplo:- borre sus construcciones- dibuje un segmento- seleccione la herramienta Label (F7 + 4)

- acerque el cursor a uno de los extremos del segmento y oprima ENTER

- escriba A- acerque el cursor al otro extremo y llá-

melo B- seleccione la herramienta Midpoint (F4 + 3)

- acerque el cursor al segmento hasta que aparezca MIDPOINT OF THIS SEGMENT

- oprima ENTER

- seleccione la herramienta Pointer

- desplace el punto A y observe qué suce-de con el punto medio del segmento

- seleccione la herramienta Perpendicular

Bisector (mediatriz F4 + 4)


Introducción al programa de geometría Cabri Géomètre

11

- acerque el cursor al segmento AB y opri-ma ENTER

- desplace los puntos A y B observando qué sucede con la mediatriz.

Borrar un objetoEl siguiente procedimiento le muestra cómo borrar un objeto y lo que sucede cuando se borra un objeto del cual dependen otros.- Seleccione la herramienta Pointer (F1 + 1)- acerque el cursor a la mediatriz de AB

hasta que aparezca THIS LINE- oprima ENTER para seleccionar la me-

diatriz (observe que la mediatriz cambia de apariencia)

- oprima la tecla DEL (flecha que está a la derecha del “=” en el teclado qwerty)

- construya un segmento BC concatenado con el segmento AB pero no colineal con él

- seleccione la herramienta Angle Bisector (bisectriz F4 + 5) y señale el ángulo ABC. Para señalar el ángulo ABC deben seña-larse los puntos en ese orden (recuer-de, debe aparecer THIS POINT y oprimir ENTER)

- desplace los puntos A, B y C observando qué sucede con la bisectriz

- construya la mediatriz de BC - seleccione la herramienta Intersection Point

(F2 + 3)- acerque el cursor a la bisectriz de ABC

hasta que aparezca THIS LINE- oprima ENTER- acerque el cursor a la mediatriz de BC

hasta que aparezca THIS LINE- oprima ENTER- llame P al punto de intersección creado- señale el segmento BC y oprima DEL- observe: ¿qué pasa con el punto P y los

demás objetos de la construcción?

Solucionar ambigüedadesAlgunas veces hay varios objetos en el mis-mo sitio y para seleccionar alguno de ellos el programa debe saber cuál de todos se intenta señalar. Por eso al acercar el cursor aparece la pregunta ¿Cuál objeto? (WHICH OBJECT?). Al oprimir ENTER se despliega una lista con todos los objetos que están allí, en su orden de construcción. Así pue-de seleccionarse uno de ellos, como en el siguiente ejemplo:

- dibuje una recta- dibuje un segmento sobre la recta- seleccione Pointer- acerque el cursor al segmento hasta ver

el mensaje WHICH OBJECT?- oprima ENTER y verá aparecer la lista:

THIS LINE, THIS SEGMENT- seleccione el segmento con la opción

THIS SEGMENT y bórrelo.

RESUMEN DE COMANDOSEntrar al programa Ca-bri Géomètre

APPS 8

Señalar y seleccionar un objeto

F1 + l (Pointer)

Desplazar un objetoFl + 1, mantener opri-

mida la MANO y mover el cursor

Borrar un objetoF1+1, seleccionar el

objeto y oprimir la tecla

Borrar toda la pantalla ← F8 + 8

Dar nombre a un objeto F7 + 4 (Label)

Configurar (ejes, cua-drícula, ...)

FS + 9 (Format)


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Para profundizar en el conocimiento y el manejo de los diferentes recursos y herra-mientas del programa Cabri Géomètre de la Calculadora TI92, se propone revisar y explorar el capítulo VII: Geometría, del Ma-nual de Usuario de la Calculadora TI – 92.


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EL MUNDO CABRI4

Objetivos

• Explorar las características de la geome-tría dinámica en la versión del programa CABRI GÉOMÈTRE de la calculadora TI-92.

• Reflexionar frente a las potencialidades del programa de geometría dinámica CABRI GÉOMÈTRE para promover el desarrollo del pensamiento geométrico.

Actividades

Es importante conocer el comportamien-to de los objetos en el programa CABRI GÉOMÈTRE para poder manipularlos y ac-cionar con ellos correctamente.

Veamos algunos casos:

La recta1. Trace una recta seleccionando del menú

F2 la opción 4: Recta. La posición de la recta se puede variar en la pantalla se-ñalando cualquiera de los objetos repre-sentados (punto o recta) con el cursor, oprimiendo la tecla MANO y arrastrándo-la con la tecla del cursor.

¿Qué elementos de esta construcción permanecen fijos al cambiar la posición de la recta?

¿Qué elemento(s) varía(n)?

Al señalar la recta y arrastrarla, ¿cómo se mueve? (el cursor debe indicar ESTA RECTA)

Al señalar el punto y arrastrarlo ¿cómo se mueve la recta? (el cursor debe indi-car ESTE PUNTO)

¿Qué sucede si borra el punto? (escoja F1; Puntero, señale el objeto; confirme con ENTER; oprima )

2. Represente cualquier par de puntos y trace la recta que pasa por ellos (recuer-de que debe seleccionar del menú F2 la opción 4: Recta y oprimir ENTER al selec-cionar cada punto en el momento en que el cursor indique POR ESTE PUNTO)

Al señalar la recta y arrastrarla, ¿cómo

se mueve? (el cursor debe indicar ESTA RECTA)

Al señalar uno de los puntos y arrastrar-lo, ¿cómo se mueve la recta? (El cursor debe indicar ESTE PUNTO)

¿Qué sucede si borra uno de los puntos que está sobre la recta?

3. Compare el comportamiento de las dos rectas e indique semejanzas y diferen-cias.

El triángulo1. Construya un triángulo seleccionando

del menú F3 la opción 3: Triángulo.


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Seleccione uno de los vértices (el cursor debe indicar ESTE PUNTO) y muévalo. Describa este movimiento.

Seleccione el triángulo (el cursor debe indicar ESTE TRIÁNGULO) y muévalo. Describa este movimiento.

¿Qué sucede si se borra un vértice del triángulo?

¿Qué sucede si se borra el triángulo?

2. Represente cualquier terna de puntos no colineales y construya los segmentos que definen cada par de puntos.

Escoja F1 opción 1: Pointer. Acerque el

cursor al triángulo y observe si en algún momento sale el mensaje ESTE TRIÁN-

GULO. Seleccione uno de los vértices (el cursor

debe indicar ESTE PUNTO) y muévalo. Describa este movimiento.

Seleccione uno de los segmentos (el cursor debe indicar ESTE SEGMENTO) y muévalo. Describa este movimiento.

¿Qué sucede si se borra un vértice del triángulo?

¿Qué sucede si se borra uno de los seg-mentos?

3. Compare el comportamiento de los dos triángulos e indique semejanzas y dife-rencias.

4. Abra el archivo trian. Para esto seleccio-ne del menú F8 la opción 1: Abrir y selec-cione con el cursor, en la opción Variable, el archivo trian.

Mueva los triángulos e identifique la ma-nera como fueron construidos.

El cuadradoAbra el archivo cuadrado. Para esto se-leccione del menú F8 la opción 1: Abrir y seleccione con el cursor, en la opción Va-riable, el archivo cuadrado.

¿Qué diferencias encuentra entre los dos cuadrados?

Rectas perpendiculares1. Trace cualquier recta (F2 + Recta). Repre-

sente un punto en esta recta (F2 + Punto sobre objeto) y trace una perpendicular a la recta por este punto (F4 + Recta perpen-dicular).

Borre la recta inicial. ¿Qué sucede? Rehaga la construcción y borre el punto

sobre el que se trazó la perpendicular. ¿Qué sucede?

2. Construya cualquier triángulo (F3 + Trián-gulo). Seleccione la herramienta Recta perpendicular en el menú F4.

Ubique cualquier vértice del triángulo y oprima ENTER dos veces. ¿Qué cons-trucción se realizó?

Escriba un procedimiento para trazar una altura de un triángulo.

Ocultar objetosComo se ha observado a lo largo de este taller el comportamiento de los objetos en CABRI depende de la manera como han sido construidos. Por lo tanto si un objeto depende de otro, al hacer modificaciones en el primero se afectará el segundo.

Este fue el caso de las rectas perpendicu-lares. Si se borraba la recta inicial o el pun-to (pie de la perpendicular), desaparecía la recta perpendicular. Entonces, ¿cómo debe


El mundo Cabri

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procederse para que aparezca la perpendi-cular y no la recta inicial? El recurso que se emplea en CABRI es el de ocultar objetos: opción 1: Ocultar/mostrar del menú F7.

Repita el procedimiento anterior para trazar la perpendicular a una recta dada. Oculte la recta inicial. Luego seleccione la recta inicial y oprima ENTER. Finalmente oprima la tecla ESC. ¿Qué elementos se visualizan en la pantalla?

Otras actividades

1. Construya las alturas (rectas) de un trián-gulo acutángulo y los segmentos de cada vértice al pie de la perpendicular corres-pondiente (alturas como segmentos). Describa los pasos de la construcción.

2. Construya un segmento y llámelo AB Construya otro segmento y llámelo CD Construya un triángulo cuya base sea

AB y CD sea la mediana correspondien-te a AB.

Nota para el profesor:

Archivo TrianSon 4 triángulos construídos así:

1° Dibujar 3 puntos no colineales. Unir los segmentos

2° Usar la Herramienta triángulo3° Usando Polígono regular construir un

triángulo equilatero4° Construir un segmento y rotarlo alre-

dedor de uno de los extremos 60°. Re-petir la rotación.

Archivo CuadradoSon 2 cuadrados construídos así:

1° Cuadrado a partir de un segmento2° Cuadrado a partir de la diagonal


Para profundizar en la reflexión respecto a la naturaleza y potencialidades del mun-do Cabri, se recomienda leer el documen-to “Cognición y computación: el caso de la geometría y la visualización”, publicado en el libro “Seminario Nacional de Formación de Docentes: Uso de Nuevas Tecnologías en el Aula de Matemáticas”. MEN. 2002. Pág. 87 a 92.


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LUGARES GEOMÉTRICOS5

Objetivos

• Explorar el potencial del programa CA-BRI GÉOMÈTRE de la calculadora TI-92 en la construcción y comprensión de los lugares geométricos.

• Promover la reflexión respecto a las po-tencialidades del trabajo con lugares geométricos mediados por la Calculado-ra TI – 92 en el trabajo de aula.

Actividades

Un tema muy interesante y llamativo para los alumnos, pero difícil de trabajar con re-gla y compás, es el de lugares geométricos. La geometría dinámica abre nuevas posibi-lidades de exploración en este campo.

Un lugar geométrico es el conjunto de todos los puntos que cumplen una cierta condición. Comencemos el taller con la pregunta:

¿Cuál es el lugar geométrico de todos los puntos que están a igual distancia de dos puntos dados?

En CABRI GÉOMÈTRE podemos construir dos puntos A y B de base y medir la dis-tancia de un punto P, a cada uno de esos puntos.

Con un poco de paciencia puede mover el punto P hasta colocarlo en una posición aproximadamente equidistante de A y B

Si quiere visualizar todos los puntos equi-distantes de A y B, puede hacer que el punto P deje una huella (Trace) y moverlo de manera que cumpla la condición. Opri-ma F7+2 para activar la traza y señale el punto P


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Ahora mueva el punto P poco a poco pro-curando que las distancias de P a A y a B sean iguales:

¿Qué forma tiene la huella de P? ¿Podría describir exactamente su posición? Ahora podemos responder a la pregunta inicial.

El lugar geométrico de los puntos equi-distantes a dos puntos dados se llama MEDIATRIZ, y es la recta perpendicular al

segmento definido por los dos puntos da-dos y que pasa por su punto medio.

Vamos a utilizar esta definición para explo-rar un nuevo lugar geométrico.

¿Cuál es el lugar geométrico de todos los puntos equidistantes de un punto dado y de una recta dada?

Comencemos dibujando un punto F, una recta d y un punto P tal que P quede a la misma distancia de F y d. (Recuerde que la distancia de un punto a una recta es la lon-gitud del segmento perpendicular a la recta con extremos en el punto y en la recta).

Con un poco de paciencia podemos en-contrar algunas posiciones en las que P es equidistante de F y d.


Lugares Geométricos

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Notará que no es fácil mover el punto P de manera que se mantenga a igual distan-cia de F y d. Pero analizando la situación, puede verse que P es equidistante de dos puntos: a F y a un punto sobre la recta d. Si llamamos Q al punto de intersección de d y la recta perpendicular a d que pasa por P, puede verse que P es la intersección de la mediatriz del segmento FQ con la recta perpendicular a d que pasa por Q.

Ahora podemos mirar la huella del punto P de intersección. Para ello, construya F y d en un archivo nuevo y defina Q como pun-to sobre d. Luego trace la perpendicular a d que pasa por Q y la mediatriz (Perpendicular Bisector) del segmento FQ.

CABRI GÉOMÈTRE también puede cal-cular y trazar automáticamente el lugar geométrico de un punto que deja huella con respecto a otro que se mueve. En este

caso, el lugar de P con respecto a Q. Para ello, oprima F4+A (Locus).

Señale sucesivamente el punto P (que de-fine el lugar de puntos) y el punto Q (que determina las posiciones de P).


a) Construya una circunferencia de centro A y radio AB. Construya el segmento AB, un punto F sobre él y un punto M sobre la circunferencia. Construya la mediatriz del segmento FM y llámela m. Llame P la intersección de la recta m y el segmen-to AM. ¿Cuál es el lugar definido por P cuando M se mueve sobre la circunfe-rencia?

b) Construya una circunferencia de centro O y un punto M sobre la circunferencia.


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Dibuje un punto A en cualquier parte. Construya la tangente t a la circunfe-rencia en el punto M. Construya la per-pendicular a t que pasa por A y llámela

r. Llame Q la intersección de t y r. ¿Cuál es el lugar definido por Q cuando M se mueve sobre la circunferencia?


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CONSTRUCCIONES DINÁMICASEN EL PROGRAMA CABRI GÉOMÈTRE6

Objetivo

• Explorar las características de las repre-sentaciones y construcciones hechas en geometría dinámica y reflexionar res-pecto a su potencial en el desarrollo del pensamiento geométrico.

Actividades

El dinamismo de las construcciones en CABRI GÉOMÈTRE nos introduce natu-ralmente en el mundo de los invariantes. Todo dibujo en la pantalla no es definitivo, sino que puede ser manipulado y transfor-mado. Por eso es importante descubrir las propiedades que permanecen constantes durante el desplazamiento. Toda imagen en la pantalla es provisional, y sus carac-terísticas son sólo aparentes. Es necesario DUDAR de lo que se ve, y mover la figura

para ver si sus propiedades se mantienen en TODOS los casos.

Al construir figuras dinámicas, debemos tener en cuenta que sólo las propiedades construidas explícitamente (por una orden del programa) resistirán el desplazamiento. Así, la geometría se convierte en el arte de descubrir relaciones y ponerlas a prueba.

• Explore sucesivamente los archivos DUDAR1a, DUDAR1b, DUDAR2a, DUDAR2b, DUDAR3a, DUDAR3b. ¿Qué relaciones geométricas observa? ¿Resisten el desplazamiento?

Construya un cuadrado que resista el des-plazamiento (con sus lados congruentes y sus ángulos rectos).

Realice las siguientes construcciones1:

Construya el segmento AB y haga el resto de la construcción a partir de ese segmento. Cuando termine desplace A y B. Su figura no debe deformarse

1 Tomadas de la revista CABRIOLE www.cabri.net/cabriole


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Construcciones para el profesor

Archivo DUDAR1a. Construya un segmento y un punto A en cualquier lugar de la panta-lla. Desplace A hasta que parezca ser un objeto sobre el segmento.

Archivo DUDAR1b. Construya un segmento y un punto A sobre el segmento.

Construya el segmento AB y haga el resto de la construcción a partir de ese segmento. Oculte los trazos de construcción. Cuando termine, desplace A y B. Su figura no debe deformarse.Trate de encontrar un método diferente (el más cor-to posible).

Construya el segmento AB y haga el resto de la construcción a partir de ese segmento. Oculte los trazos de construcción. Cuando termine desplace A y B. Su figura no debe deformarse. Luego repita la construcción comenzando por el segmento CD.

Un desafío Interesante

Construya el segmento AB y haga el resto de la construcción a partir de ese segmento. Oculte los trazos de construcción.

Cuando termine desplace A y B. Su figura no debe Deformarse.

Archivo DUDAR2a. Construya dos rectas apa-rentemente perpendiculares.

Archivo DUDAR2b. Construya dos rectas per-pendiculares

Archivo DUDAR3a. Construya una circun-ferencia, un punto sobre ella y una recta. Desplace la recta hasta que parezca ser la tangente a la circunferencia en el punto.


Construcciones dinámicas en el programa Cabri Géomètre

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Archivo DUDAR3b. Construya una circunfe-rencia, un punto sobre ella y una tangente a la circunferencia por el punto.


Para enriquecer la reflexión respecto a las posibilidades curriculares de la Geometría Dinámica se sugiere revisar los siguientes documentos:

• “Ideas geométricas del currículum pre-sentadas mediante el Cabri Géomètre” de Luis Moreno Armella, publicado en el libro “Seminario Nacional de Formación de Docentes: Uso de Nuevas Tecnolo-

gías en el Aula de Matemáticas”. MEN. 2002. Pág. 141 – 150.

• “Basar la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en la noción de varia-ción con geometría dinámica” de Colette Laborde, publicado en el libro “Tecnolo-gías Computacionales en el Currículo de Matemáticas”. MEN. 2003. Pág. 3 – 15.

• “Nuevas posibilidades de razonamiento geométrico en un ambiente de geome-tría” dinámica de Martín Eduardo Acosta Gempeler, publicado en el libro “Tecno-logías Computacionales en el Currículo de Matemáticas”. MEN. 2003. Pág.138 – 144.


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MACRO CONSTRUCCIONES Y CAJAS NEGRAS EN EL PROGRAMA DE GEOMETRÍA7

Objetivos

• Diseñar Macro construcciones y cajas negras como objetos que permiten sim-plificar y automatizar los procesos para realizar una determinada construcción.

• Reflexionar respecto al potencial del tra-bajo con macro construcciones y cajas negras en el desarrollo del pensamiento geométrico.

Actividades

El programa CABRI GÉOMÈTRE permi-te automatizar construcciones, de mane-ra que no es necesario repetir todos los pasos.

Macro construcciones

Para definir una macro o construcción au-tomatizada, es necesario definir los OB-JETOS INICIALES (objetos en los que se basa la construcción) y los OBJETOS FI-NALES (el resultado final de la construc-ción. A continuación se ejemplifica esta función del programa.

Macro: cuadrado

Se trata de automatizar la construcción de un cuadrado con base en un segmento dado:

- construya un segmento AB- construya la recta r1 perpendicular a AB

y que pase por A- construya la recta r2 perpendicular a AB

y que pase por B- construya la circunferencia C1 con centro

A y radio AB- construya la intersección de C1 y r1

- llame D a uno de los puntos de esa inter-sección

- construya la recta r3 perpendicular a r1 y que pase por D

- llame C la intersección de r3 y r2

- construya el polígono ABCD- oculte las construcciones intermedias.

Vamos ahora a ilustrar dicha construcción.

Al oprimir F4+6 obtendrá la siguiente pan-talla:

Seleccione la opción 2: Initial Objects, y pro-ceda a señalar los puntos A y B, extremos


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del segmento que sirvió de base para la construcción del cuadrado.

Para terminar, guarde la macro en un archi-vo al cual le debe asignar un nombre.

Oprima nuevamente F4+6, seleccione Final Objects y señale el polígono ABCD.

Nuevamente oprima F4+6 y seleccione Defi-ne Macro. Obtendrá una pantalla como la si-guiente, donde debe especificar el nombre de la macro:

Para ejecutar la macro, oprima F4+6 y se-leccione Execute Macro. Luego seleccione la macro 1: cuadrado y señale dos puntos cua-lesquiera en la pantalla ¿Qué sucede?

Cajas Negras

Una aplicación pedagógica interesante de las macros, es la producción de CAJAS NE-


Macro construcciones y cajas negras en el programa de geometría

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GRAS, macros que producen un determi-nado resultado en la pantalla, que se debe analizar para descubrir y reconstruir el pro-ceso de construcción de la macro, e identifi-car relaciones invariantes en la figura.

El ejercicio con CAJAS NEGRAS requiere una preparación previa del profesor quien realiza una construcción y luego oculta todos los objetos, menos los iniciales. El alumno abre la MACRO CONSTRUCCION y la ejecuta.

Construcciones para el profesor

La macro Caja1 se construye así:

• Se dibujan dos puntos en la pantalla.• Se construye el simétrico de un punto

con respecto al otro.• Se construye una recta que pase por los

tres puntos.• Se construye una perpendicular a la rec-

ta por el punto que resultó al realizar la simetría.

• Se oculta la recta que pasa por los 3 puntos y el punto que resultó al efectuar la simetría.

• Se automatiza la construcción tomando como objetos iniciales los dos primeros puntos y como objeto final, la recta per-pendicular.


• Se construye un segmento y un punto sobre él.

• Se construye la perpendicular al seg-mento por el punto.

• Se construye el punto medio del seg-mento.

• Se construye una circunferencia con centro en el punto medio y radio la mitad del segmento.

• Se construye el punto de intersección de la circunferencia con la perpendicular.

• Se construye el segmento de altura del triángulo correspondiente al segmento inicial.

• Se ocultan todos los objetos excepto el segmento, el punto sobre el segmento y la altura.

• Se automatiza la construcción tomando como objetos iniciales el segmento y el punto sobre él y como objeto final la al-tura del triángulo.


• Se construye un paralelogramo.• Se construyen las bisectrices de los án-

gulos interiores.• Se construyen los puntos de corte de las

bisectrices.• Se construye el cuadrilátero cuyos vérti-

ces son los puntos de corte de las bisec-trices.

• Se ocultan las bisectrices.• Se automatiza la construcción tomando

como objeto inicial el paralelogramo y como objeto final el cuadrilátero.

Actividades complementarias

Para cada una de las siguientes activida-des, el profesor debe construir previamente la macro que va a utilizar con sus estudian-tes. Las indicaciones correspondientes a cada construcción se precisarán al final de cada actividad.

Para abrir cualquier macro, debe estar ubi-cado en la pantalla de CABRI GÉOMÈTRE,


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oprimir F8 + 1 (Open) y seleccionar la macro que desea abrir.

Práctica 1. Coloque dos puntos en la pan-talla. Abra la Macro Caja 1. Para esto debe seguir las siguientes instrucciones:

• oprima F8 + 1 (Open)• seleccione Type: Macro Folder: main Variable: caja1• oprima F4 + 6 y seleccione Execute Macro.

Señale los dos puntos en la pantalla. ¿Qué aparece?Mueva los dos puntos y descubra las rela-ciones invariantes en la figura

Abra un archivo nuevo e intente reproducir la macro.

Práctica 2. Construya un segmento cual-quiera y un punto sobre ese segmento. Abra la macro Caja 2 y señale el segmento y el punto. ¿Qué aparece? Mueva los ob-jetos y estudie las relaciones invariantes. Abra un nuevo archivo e intente reproducir la macro.

Práctica 3. Construya un paralelogra-mo; Luego, abra la macro Caja 3 y señále-lo. ¿Qué aparece? Estudie los invariantes. Abra un nuevo archivo e intente reproducir la macro.


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VENTANA DE GRAFICACIÓN YANÁLISIS DE FUNCIONES28

Objetivos

• Explorar la herramienta ventana de gra-ficación y reflexionar sobre su sentido y potencialidades en la representación y comprensión de situaciones de varia-ción y cambio.

• Comprender la naturaleza y sentido de la representación gráfica de una función en un medio computacional dinámico e interactivo.

Actividades

Ventana de Graficación

Uno de los aspectos más importantes en el estudio de funciones numéricas es el de la graficación (representación geométrica en un plano con un sistema de coordena-das cartesianas). La gráfica de una fun-ción dará información sobre la naturaleza y el comportamiento de la función que nin-guna otra representación puede dar. A su vez, la gráfica de una función en ocasio-nes no muestra ciertas características de la función que otras representaciones si muestran. En el caso en que éstas están definidas por expresiones algebraicas po-

dremos con relativa facilidad encontrar re-presentaciones de la gráfica en la pantalla de la calculadora TI-92 usando el editor de funciones, la configuración de la ventana y la herramienta de graficación.

Vamos a abordar el estudio de la grafica-ción de funciones adoptando la siguiente estrategia:

La calculadora es una ventana a través de la cual estudiaremos una

fenomenología visual: las gráficas de las funciones.

Cuando se utiliza la tecnología para grafi-car funciones, la elección de la ventana de graficación es el tema central. La configu-ración de la ventana puede hacerse ma-nualmente o usando la herramienta Zoom. En este taller usaremos solamente Zoom-Box dentro de Zoom y elegiremos también diferentes ventanas eligiendo parámetros en la opción WINDOW (♦E).

Para aprender el uso de estas herramien-tas haremos un par de actividades.

2 Ideas tomadas del trabajo Graficación de Funciones de Luis Moreno Armella publicado en el libro Memorias del Se-minario Nacional de Formación de Docentes: Uso de Nuevas Tecnologías en el Aula de Matemáticas. MEN. 2002. Pág. 110 – 140.


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Entre a WINDOW (♦E) y escriba:

xmin. = -1 xmax = 2 xscl = 0.5 ymin = -1 ymax = 2 yscl = 1 xres = 1

Con estos parámetros la calculadora mos-trará en la ventana de graficación (♦R) la representación de la porción del plano car-tesiano que comprende los siguientes va-lores de x e y:

-1 ≤ x ≤ 2 ; -1 ≤ y ≤ 2

Observará que la forma de la pantalla con-diciona la escala de los ejes. En este caso la unidad del eje x es mayor que la unidad del eje y. Por otro lado, el parámetro xscl =

0.5 introduce marcas en el eje x cada 0.5 unidades y el parámetro yscl = 1 introduce marcas en el eje y cada unidad como lo ilustra la siguiente imagen

Hagamos ahora la gráfica de la función y(x)=2x2 - x. Para esto, entre al editor de funciones (♦W) elija y1=, y escriba 2*x^2-x y oprima ENTER. Entramos a la ventana de graficación GRAPH (♦R). Debe ver en la ven-tana la siguiente gráfica

La elección de otros parámetros en WIN-DOW mostrará otra zona del plano y, even-tualmente, otro aspecto de la gráfica de la función. Por ejemplo, si se escribe (♦E)

Xmin = -0.5 Xmax = 1 xscl = 0.5 ymin = -1 ymax = 1 yscl = 1 xres = 1,

al volver a la ventana de la gráfica (♦R ), se debe ver :


Ventana de grafi cación y análisis de funciones

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Otras actividades

1. Elija diferentes parámetros en WINDOWS y observe lo que se ve en la pantalla de graficación.

2. Encuentre los parámetros necesarios para que en la pantalla aparezcan los si-guientes aspectos de la gráfica

3. Considere la función y(x) = x3 - 2x2 + x - 30 y encuentre las siguientes imágenes de su gráfica:

4. Grafique, modifique Zoom y encuentre la mejor ventana de graficación.

Ventana Completa

El problema que se presenta es el de en-contrar una ventana en la que podamos ver las características fundamentales de la función. Encontrar esta ventana no siem-pre es fácil y posiblemente tengamos que recurrir a otro tipo de herramientas para en-contrarla. Esta ventana ideal la llamaremos ventana completa. La ventana completa es


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aquella en la que se puedan observar todas las características distintivas de la función: monotonía, raíces, valores extremos, pun-tos de inflexión y asíntotas, si las tiene.

A continuación mostramos detalles de es-tas características en una función particu-lar.

Estos aspectos de una función sería de-seable encontrarlos en una sola pantalla: ventana completa de la función.

Valor máximo (local)

Creciente

Valor mínimo (local)

Punto de inflexión

Ceros

Asíntotas



33

Otras Actividades

1. Mediante la exploración, encuentre las características esenciales de las venta-nas de las funciones afines y(x) = ax + b.

2. Encuentre una ventana completa para la gráfica de y(x) = -3x+1.

3. Mediante la exploración, encuentre las características esenciales de de las fun-ciones cuadráticas y(x) = ax2 + bx + c.

4. Encuentre una ventana completa para la gráfica de la función y(x) = x2 + 5x –3.

5. Encuentre una ventana completa para la gráfica de la función y(x) = x4 - 8x2 + 1.

6. Saque conclusiones generales acerca de lo que se debe ver en una ventana completa de una función polinómica de grado n.

7. ¿Cómo se sabe que una ventana es la ventana completa de la gráfica de una función?

Monotonía

El estudio de la monotonía de una función (crecimiento o decrecimiento) en un inter-valo no acotado se puede iniciar con el uso de la tabla de valores. Por ejemplo, al ha-cer la gráfica de la función del ejercicio 5 encontramos en la ventana:

xmin = 2.5 xmax = 3.5 xscl = 2 ymin = 3.5 ymax = 9.2 yscl = 1 xres = 2,

La imagen siguiente,

Parecería que a partir de 2.5 la función cre-ce indefinidamente. Recurramos a la tabla (♦Y) para ver si efectivamente este compor-tamiento (el valor de y aumenta) se mantie-ne. Establecemos primero el valor con que queremos que arranque la tabla de valo-res y los incrementos sucesivos en x. Para esto hay que entrar en TblSet (♦T). En las fi-guras siguientes se muestra cómo se hace la elección de un valor inicial para la tabla y un incremento, en este caso de 1, así como la tabla de la función.

Al entrar en la tabla se observan los si-guientes valores


34


Para encontrar más datos se puede despla-zar con el cursor sobre la columna de los va-lores de la función. Por ejemplo, podemos observar lo que pasa a partir de x = 36.5.

Haciendo uso del comando factor de F2, factoricemos la derivada de la función. Te-nemos que la derivada es 4x(x - 2)(x + 2), lo cual nos sugiere analizar los intervalos (-∞,-2), (-2,0), (0,2), y (2,∞) para determinar su comportamiento. Consideremos valores dentro de estos intervalos y evaluémoslos en la derivada para determinar lo pedido. Se hace en HOME, oprimiendo 2nd K delante de la expresión 4*x^3 – 16 y escribiendo el va-lor donde se desea evaluar la expresión.

Los valores de y siguen aumentando por lo que al parecer el comportamiento se con-serva. Tomemos un incremento mayor, di-gamos de 10, y veamos que ocurre. ¿Qué podemos concluir?

Observamos que los valores de y siempre aumentan por lo que el comportamiento mostrado se mantiene y el valor de la fun-ción al parecer ya no disminuye. Por lo cual de la tabla se puede conjeturar que la fun-ción es monótona.

Otra forma para determinar la monotonía de la función es utilizar HOME, en donde proce-demos de la siguiente forma. Haciendo uso del comando derivada que se encuentra en F3, calculamos la derivada de la función.

El comportamiento de la función es pues de la siguiente forma: En (-∞,-2) y en (0,2) es decreciente y en (-2,0) y en (2, ∞) es creciente, por lo cual se tiene que la fun-ción es monótona y con lo cual el valor de y ya no disminuye. ¿Por qué?

Actividades

1. Encuentre las raíces de la función usan-do las herramientas que se encuentran en F5.

2. Acorrale los ceros de la función usando ZoomBox.

3. ¿Qué otras herramientas hay en F5? Úselas para encontrar los máximos y mínimos de la función.



35

4. Explore las características esenciales de la función:

y(x) = x10 - 100x9 + 30x8 - 7x4 + x – 100, intentando encontrar una ventana com-pleta de graficación. Haga un análisis cuidadoso en el intervalo [-1, 1] usando la tabla de valores.

5. Repita el ejercicio anterior con la fun-ción

6. Se quiere construir un cilindro de 2 litros de capacidad. ¿Qué altura h y que radio x deben elegirse para emplear mínima cantidad de material?

Otras Actividades • Estudiar y(x) = -3x2 + 12x +5 en a) [0, 5] x [0, 5] b) [-10, 10] x [-10, 10] c) [-5, 10] x [-10, 20]

• Estudiar la función en la

ventana [-10, 10] x [-20, 20]. Observan-

do que graficar

en la ventana anterior y2(x) = x + 2 y

analizar las diferencias entre las gráficas de y1 y y2.

• Graficar la función en

[-5, 5] x [-5, 10] y estudiar su comporta-miento.

• Graficar la función f(x) = x2 + 3 en cada una de las siguientes ventanas: y discu-tir sobre sus observaciones

a) [-2, 2] x [-2,2] b) [-4, 4] x [-4, 4] c) [-10, 10] x [-5, 30] d) [-50, 50] x [-100, 1000]

• Graficar la función y = x3 - 49x en las ventanas

a) [-10, 10] x [-10, 10] b) [-10, 10] x [-100, 100] c) [-10, 10] x [-200, 200]

Algunos problemas que surgen al graficar funciones en la TI 92 Cuando se empieza a graficar en la calcu-ladora TI-92 es inevitable encontrarse con algunos problemas. A continuación anali-zamos algunos de ellos.

1) Graficar la función y = x en la ventana [-10,10] x [-10,10]

Visualmente la gráfica es una recta que no está a 45° con respecto al eje x.

Si graficamos con la ventana [-10, 10] x [-5, 5]

92

3

xxy


36


Parece que la recta ahora si está a 45°En F2 apliquemos ZoomSqr

Visualmente la gráfica no parece una semi - circunferencia.

Grafiquemos en la ventana [-l0,l0] x [-5,5]

Visualmente puede uno aceptar que la grá-fica si está a 45°. Si nos vamos a WINDOW nos encontramos con las siguientes dimen-siones de la ventana de graficación. [-11.6666666667, 11.6666666667] x [-5, 5] ¿Qué está pasando?

2) Graficar la función 225 xy en la

ventana [-10,10] x [-10,10]

Visualmente la gráfica parece una semi - circunferencia. Sin embargo, al aplicar la función ZoomSqr obtenemos la siguiente gráfica con dimensiones [-11.6666666667, 11.6666666667] x [-5, 5].

Además, observamos que la gráfica no se pega al eje x. ¿Qué está pasando?

3) Graficar la función en la ven-

tana [-10,10] x [-10,10]



37

La gráfica es una recta. Apliquemos la fun-ción ZoomSqr

Observamos una recta.

La función presenta un proble-

ma en x = 2. Si nos vamos a la tabla, en-contramos que cuando x = 2 la función está indefinida.

¿Por qué el problema que muestra la ex-presión algebraica y que también muestra la tabla no lo muestra la gráfica?

Sabemos que la ventana de graficación de la TI-92 tiene 239 pixeles horizontales y 103 verticales. Estas dimensiones nos su-gieren ventanas de graficación convenien-tes a nuestras tres funciones.

La ventana de graficación con dimensiones [-119, 119] x [-51, 51] nos dice que cada pun-to de los ejes que representan números en-teros caen sobre un pixel. Si consideramos las dimensiones [-11.9, 11.9] x [-5.1, 5.1] nos dice que cada punto de los ejes que repre-sentan números enteros caen sobre un pixel y además que del cero al 1 hay 10 pixeles.

Sugerimos la ventana de graficación con dimensiones [-11.9, 11.9] x [-5.1, 5.1] para las tres funciones consideradas anterior-mente. Las gráficas de dichas funciones quedan de la siguiente manera:


38


Existen muchas funciones con sus pro-blemas particulares. Para dar una expli-cación de por qué se presentan dichos problemas, creemos que es importante no olvidar que la pantalla de graficación está compuesta por 239 pixeles horizontales y 103 verticales.


Para efectos de profundizar en el trabajo y reflexión sobre ventanas de graficación y parámetros de funciones, se sugiere es-tudiar:

• El documento Graficación de Funciones de Luis Moreno Armella publicado en el libro Memorias del Seminario Nacio-nal de Formación de Docentes: Uso de Nuevas Tecnologías en el Aula de Mate-máticas. MEN. 2002. Pág. 110 – 140.

• El Capítulo III: “Representación gráfica básica de funciones” en el Manual de Usuario de la Calculadora TI – 92. Texas Instruments. 1996.


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ESTUDIO DE LOS PARÁMETROSDE LAS FUNCIONES9

Objetivos

• Comprender el sentido de la representa-ción gráfica de funciones lineales y po-linómicas a partir de la modificación de parámetros y la utilización de diversas herramientas de la calculadora TI – 92.

• Reflexionar respecto a las posibilidades didácticas de las representaciones gráfi-cas y los cambios en los parámetros de las funciones lineales y polinómicas en la modelación y comprensión de situa-ciones que cambian o varían.

Actividades

La facilidad que brinda la calculadora para obtener gráficas, nos permite estudiarlas como familias, para hacer una caracteriza-ción general y analizar el comportamiento gráfico que se presenta al modificar sus parámetros. Los actividades de este taller se harán en los editores de ecuaciones (♦+W), de ventana (♦+E ), de tablas (♦+Y) y de gráficas (♦+R).

Funciones lineales

a. Entre al editor de ecuaciones e introduz-ca la función y1 = 2x. Entre al editor de ventana y modifique los valores así:

xmin = -1 xmax = 4 xscl = 1 ymin = -4 ymax = 6 yscl = 1 xres =1

Con estos parámetros la calculadora mues-tra en la ventana de graficación la represen-tación de la porción del plano cartesiano que comprende los siguientes valores de x y y: -1 ≤ x ≤ 4; - 4 ≤ y ≤ 6

b. Grafique la función y observe cómo va-ría y a medida que varía x. Para ello, use las opciones Trace F3 y la tabla.

c. Introduzca la función y = 5x y haga la grá-fica. Estudie la variación de y respecto de x. Si lo desea, cambie la ventana para obtener una mejor visualización.

d. Introduzca tres funciones lineales cuya gráfica este comprendida entre y = 2x y y=5x.

e. Grafique una familia de rectas cuya pen-diente sea –2. Caracterice las gráficas y escriba la ecuación general de la familia.

f. Grafique una familia de rectas que pa-sen por el punto (0, 3) y escriba la ecua-ción general de la familia.

Funciones cuadráticas

a. A partir de la ecuación de la parábola y = x2 (curva 1) obtenga la expresión ana-lítica de la parábola cuya gráfica corres-ponde a la curva 2:


40


b. A partir de la ecuación de la parábola y = x2 (curva 1) obtenga la expresión ana-lítica de la parábola cuya gráfica corres-ponde a la curva 3:

Otras funciones polinómicas

a. Obtenga la gráfica de la ecuación y = x4 - 5x3 + 5x2 + 5x - 6. Ajuste la ventana hasta obtener una visualización que le permita apreciar las características fun-damentales.

b. Realice los ajustes necesarios a la ecua-ción para lograr un desplazamiento de la gráfica, de 6 unidades hacia arriba.

c. Realice los ajustes necesarios a la ecua-ción para lograr un desplazamiento de la gráfica 2 unidades a la izquierda. Si desea trabajar con la expresión factori-zada use la herramienta F1 opción 5: Copy para copiar el polinomio. Entre al progra-ma de álgebra (♦ + Q), oprima F2, escoja la opción 2: Factor( y pegue la expresión con F1 opción 6: Paste. Después de efectuar la factorización puede copiar la expresión en el editor de funciones.

Funciones trigonométricas

a. Encuentre la gráfica que representa la ecuación y = cos x, considerando la siguien-te ventana:xmin = -π xmax = π xscl = 1 ymin = -2 ymax = 2 yscl = 1 xres =1

c. A partir de la ecuación de la parábola y = x2 (curva 1) obtenga la expresión ana-lítica de la parábola cuya gráfica corres-ponde a la curva 4:

d. Encuentre la ecuación de la función cua-drática cuya gráfica es:


Estudio de los parámetros de las funciones

41

Estudie las transformaciones sufridas por la curva como resultado de cambios en los parámetros. Encuentre el periodo, en cada caso.

a. y = cos 2x b. y = cos 10x c. y= cos 30x d. y= cos 90x

¿Cómo afecta al periodo el cambio en el coeficiente de x?

b. Encuentre la gráfica que representa la ecuación y = sen x, considerando la si-guiente ventana:

xmin = -2π xmax = 2π xscl = 2 ymin = -2 ymax = 1 yscl = 1 xres =1

Estudie las transformaciones sufridas por la curva como resultado de cambios en los parámetros.

a. y = sen (x - π /6) b. y = sen (x + π/2) c. y = 2 sen x d. y = ½ sen x

c. Encuentre la ventana más adecuada para observar un ciclo completo de la función

y = 3 sen (x - π/2)

d. Encuentre la ecuación trigonométri-ca cuya representación gráfica, para la ventana

xmin = -2π xmax = 2π xscl = 2 ymin = -3 ymax = 3 yscl = 1 xres =1 es:


Para enriquecer la reflexión entorno a las funciones, sus represtaciones y variación de parámetros, se sugiere estudiar los do-cumentos:

• “Potenciando la creatividad. Soporte tec-nológico para el desarrollo del concepto de función”, de Ramón Bertel Palencia publicado en el libro “Tecnologías Com-putacionales en el Currículo de Matemá-ticas”. MEN. 2003. Pág. 229- 232.

• “La Calculadora en el salón de Clase. Familia de Funciones: expresiones alge-bráicas y sus gráficas”, de Valentín Cruz Olivera. Grupo Editorial Iberoamericana. México D.F. 1998. 61 P.


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EXPRESIONES ALGEBRÁICAS10

Objetivos

• Explorar y comprender el uso de las he-rramientas algebraicas y de cálculo de la Calculadora TI – 92 a partir del estudio de expresiones algebraicas.

• Reflexionar respecto al potencial didác-tico de las herramientas algebraicas y de cálculo en la promoción del desarro-llo del pensamiento variacional.

Actividades

Las actividades de este taller se realiza-rán en la pantalla HOME, correspondiente a la pantalla de álgebra y cálculo. Lo pri-mero que debe hacerse es borrar los va-lores asignados previamente a todas las variables. Para ello seleccione del menú F6 Clean Up, la opción 1:Clear a-z.

Valor numérico de una expresión algebraica

A continuación daremos a conocer tres ma-neras posibles de hallar al valor numérico

de la expresión algebraica cuando a=2, b=3 y c=8.

Primera. Para facilitar el trabajo es de gran utilidad asignar un nombre a la expresión, para lo que se utilizará la tecla STO►.

Guarde la expresión algebraica en cues-tión bajo el nombre exp1, digitándola de la siguiente manera:

(-)5*a^ 2*b/c^ (2/3) STO► exp1

El resultado aparecerá en la pantalla así:

Para asignar el valor 2 a la variable a se digita 2 se oprime STO y se escribe a. Al pedir exp1 veremos que ha cambiado. Al asignar en forma sucesiva los valores pe-didos y al solicitar cada vez el valor de exp1, se obtiene lo siguiente:


44


Si en ese momento se asigna a c el valor de 27 y se simplifica exp1, se obtiene

Borre nuevamente todos los valores asig-nados a las variables. Recuerde que debe hacerse seleccionando del menú F6 Clean Up, la opción 1:Clear a-z. Oprima ENTER

¿Por qué razón se obtiene este resultado?

También se puede asignar a una varia-ble otra como se observa en el siguiente caso:

Asigne otros valores a las variables y ob-serve los resultados.

Segunda. Una forma alternativa de resol-ver la tarea inicial, consiste en establecer la expresión como una función recurriendo a la opción 1: Define el menú F4, así:

Define f(a,b,c) = (-)5*a^ 2*b / c^ (2/3)

Lo que aparecerá en la pantalla de la si-guiente manera:


Expresiones algebráicas

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Ahora puede calcular valores como f(2,3,8), f(9,4,27), f(1,u,1), f(-3,5,c), para los que se ob-tendrán respectivamente:

Tercera. Otra forma de resolver la tarea planteada es escribiendo la expresión

y asignando los valores para a, b y c, empleando la barra │ que aparece sobre la tecla de la K. A continuación de la expresión algebraica se teclea 2nd+K y se escribe:

a = 2 and b = 3 and c = 8

y se oprime ENTER. En la pantalla se ob-tiene

Actividad. Encontrar una expresión alge-braica que represente el volumen de un cono, escogiendo los nombres de las va-riables que corresponden al radio y a la altura. Calcule el volumen para los siguien-tes valores del radio y la altura

Radio Altura Volumen1 dm 1 dm

2 dm 4 dm

6 dm 5 dm

Operaciones con polinomios

En las siguientes situaciones se trabajará en la calculadora en modo EXACT, el cual se selecciona oprimiendo la tecla MODE, luego la tecla F2 y en el lugar donde apare-ce Exact/Aprox, seleccionar EXACT.

De acuerdo con lo visto anteriormente, defina en la calculadora los polinomios p(x) y q(x) así: p(x) = 3x5 –2x4 +x3 –3x2 +2x –1 y q(x) = 3x3 –2x2 +x –1 y calcule:

p (x) + q(x); 2p(x) –3q(x); p(x)*q(x) y p(x) /q(x)

Observe que no aparecen desarrollados el producto ni la división. Para esto debe re-currir a la función expand que aparece en el menú F2 Algebra y expresar las operacio-nes así:

expand (p(x)*q(x)) , …

¿Cuáles son el cociente y el residuo que se obtienen al dividir p(x) por q(x)?

Teorema del residuo

Consideremos los polinomios: p(x)= x4 – 8x3 + 14x2 +8x –15 y q(x)= x – a. Es-tamos interesados en encontrar los valo-res de a para los cuales la división de p(x) por q(x) es exacta, es decir, para los que el cociente es un polinomio y el residuo es cero.


46


Asignemos a a los valores 0, 1 y 2 y calcu-lemos la división p(x) / q(x) para cada caso, así:

a) 0→a expand(p(x)/q(x)) b) 1→a expand(p(x)/q(x)) c) 2→a expand(p(x)/q(x))

y se obtiene:

Calcule esta división para más valores de a. Haga una conjetura general sobre el va-lor del residuo al efectuar la división con diferentes valores de a. En realidad, la di-visión se puede calcular sin necesidad de asignarle valores a la variable a. Calcule esta división y verifique su hipótesis, es de-

cir qué es un polinomio si p(a) = 0.

Formule el teorema del residuo.

Al calcular {p(-2), p(-1), p(1), p(2), p(3)}, se ob-tiene respectivamente {105,0,0,9,0}, de ma-nera que los binomios x + 1, x -1 y x -3 son divisores de p(x).

Esto se evidencia al asignar a a los valo-res –1, 1 y 3 y calculando para cada caso p(x)/q(x). Compruebe este resultado en la calculadora.

Actividades complementarias

Para enriquecer la exploración y reflexión respecto al trabajo con expresiones alge-braicas y su potencial didáctico, se sugiere estudiar el capítulo VI: Cálculo Simbólico del Manual de Usuario de la Calculadora TI – 92. Texas Instruments. 1996.


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SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES EN EL PROGRAMA DE ÁLGEBRA Y CÁLCULO311

Objetivos

• Explorar y comprender el uso de las he-rramientas algebraicas y de cálculo de la Calculadora TI – 92 en la solución de sistemas de ecuaciones.

• Reflexionar respecto al potencial didác-tico de la solución de sistemas de ecua-ciones con mediación de la TI 92.

Actividades

En este taller se abordan los métodos de eliminación, sustitución y matricial para re-solver un sistema de ecuaciones.

Método de eliminación

Problema. Un entrenador de tenis compra comida para su equipo en un restaurante. Ordena ocho hamburguesas y cinco por-ciones de papas a un costo de $47.500.oo. Como algunos de los jugadores quedan con hambre, el entrenador compra seis hamburguesas más y otras dos porciones de papas por $33.000.oo ¿Cuál es el pre-cio de una hamburguesa y de una porción de papas?

El planteamiento del problema puede ha-cerse mediante un sistema de dos ecua-

ciones con dos incógnitas. Cada compra se expresa como una ecuación lineal con incógnitas x e y, donde x representa el pre-cio de una hamburguesa e y representa el precio de una porción de papas:

8 x + 5 y = 47.500

6 x + 2 y = 33.000

Veamos cómo resolver el sistema.

Encienda la calculadora y presione 2nd+6(MEM)+F1 para determinar la configura-ción. Seleccione 3: Default y presione ENTER dos veces.

Presione F6+1+ENTER para borrar los valo-res almacenados en las variables.

En la pantalla HOME escriba la primera ecuación, oprima la tecla STO (almacenar) y escriba ecua1. Presione ENTER para alma-cenar la ecuación. Repita el procedimiento para la segunda ecuación y llámela ecua2.

Para eliminar una variable los coeficientes de una de las variables deben ser opuestos o inversos aditivos. Vamos a eliminar x mul-tiplicando la primera ecuación por 3. Para ello: Presione F2+3 (expand=distribuir)

3 Adaptación de un taller de DISCOVERING MATH ON THE TI-92


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Escriba 3*ecua, oprima STO y escriba ecua1 para almacenar la ecuación multiplicada por 3.

Repita el procedimiento para la segunda ecuación, eligiendo factor adecuado por el cual multiplicar.

Sume las ecuaciones escribiendo ecua1 + ecua2. Presione ENTER. El resultado es una ecuación en términos de y.

Para solucionar esta ecuación presio-ne F2+1 (solve = resolver). Presione la tecla del cursor hacia arriba para seleccionar la ecuación a resolver y oprima ENTER para pegarla en la línea de comandos. Luego escriba y y oprima ENTER.

Escriba el valor obtenido para y, y oprima STO y para almacenarlo en la variable y.

Presione F2+1. Escriba ecua1,x) y oprima ENTER para obtener el valor de x (precio de la hamburguesa).

Método de sustitución

Considere el siguiente sistema de tres ecuaciones

-3 x + 2 y + z = 27 5 x – y + 9 z = 45 4 x + 3 y – 6 z = -62.

Presione F6+1+ENTER para borrar los valo-res almacenados en las variables. Introduz-ca las ecuaciones y almacénelas con STO en ecua1, ecua2 y ecua3. (Recuerde que en la calculadora hay una tecla especial para el signo -, diferente de la operación resta).

Para despejar z de la primera ecuación, presione F2+l (Solve) teclee ecua1,z) y oprima ENTER.

Al sustituir este valor en las ecuaciones 2 y 3 se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Para hacer la sustitución se usa el opera-dor con de la TI-92 | (2nd K) que sustituye la expresión que le sigue en la expresión que le precede.

Escriba ecua2 y presione 2nd |. Luego oprima el cursor hacia arriba para seleccionar la ecuación de z y presione ENTER para pe-garla en la línea de comandos. Almacene el resultado en ecua2.

Escriba ecua3 y presione 2nd |. Luego opri-ma el cursor hacia arriba para seleccionar la ecuación de z y presione ENTER para pe-garla en la línea de comandos. Almacene el resultado en ecua3.

Solucione la ecuación 2 para x y sustitúya-la en la ecuación 3. El resultado obtenido para y almacénelo en y. Solucione ahora nuevamente la ecuación 2 para x y almace-ne este valor en x. Finalmente solucione la ecuación 1 para z.

Método de matrices

La TI-92 tiene una función para resolver sis-temas de ecuaciones simultáneas (simult). Este método es especialmente útil para sistemas de más de dos ecuaciones. Los coeficientes se escriben como una matriz y los resultados en otra matriz. La calcula-dora devuelve una matriz columna con las soluciones.


Solución de un sistema de ecuaciones en el programa de álgebra y cálculo

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En el siguiente ejemplo se muestra como se introducen los valores para el sistema

6 x – 2 y = 2 3 x + 4 y = -19

Nota. Las columnas de números se sepa-ran con comas, las filas con punto y coma. La matriz de coeficientes se separa con coma de la matriz de constantes.

Utilice este método para solucionar el sis-tema

10 x – 3 y + 7 z = -55 - x – 4 y + 2 z = -29 6 x + 3 y – 5 z = 55


Para avanzar en el conocimiento de la he-rramienta tecnológica y sus potencialida-des didácticas en la solución de sistemas de ecuaciones se sugiere retomar una si-tuación problemática que lleve a un siste-ma de ecuaciones, emplear la calculadora para resolverla y reflexionar respecto a las variantes y particularidades que implica el trabajo con esta herramienta.


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ACTIVIDADES EN SISTEMAS NUMÉRICOS12

OBJETIVOS

• Aprovechar la mediación de la calcula-dora TI 92 para la exploración y detec-ción de patrones numéricos.

• Propiciar la reflexión respecto al poten-cial didáctico de la TI 92 en la promoción del pensamiento numérico.

ACTIVIDADES

Los cuatro cuatros

Una de las primeras dificultades a la que nos enfrentamos cuando trabajamos con la calculadora TI-92 consiste en determinar la forma de escribir las operaciones en ella. Al considerar el clásico problema de los cua-tro cuatros se genera algún tipo de dificul-tad inicial al transcribir a la calculadora las expresiones obtenidas a lápiz y papel.

• Empleando cada vez cuatro cuatros obtenga expresiones aritméticas cuyo resultado sean los números naturales menores que 20.

1= 11=

2= 12=

3= 13=

4= 14=

5= 15=

6= 16=

7= 17=

8= 18=

9= 19=

10= 20=


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• Comprueba los resultados obtenidos con la calculadora.

Al escribir las expresiones para cada uno de los números dados en la tabla anterior, se tiene que la escritura lineal (en el área de registro) puede alterar los resultados, si no se tiene en cuenta el orden en que la calculadora efectúa las operaciones. Sin esta precaución, don-de debería ser 3 puede aparecer 9, en lugar de 12 puede aparecer 45 y el 5 se podría cambiar por 17.

• En cada uno de estos casos vale la pena preguntar a los estudiantes sobre lo que piensan acerca de las operaciones que realiza la calculadora. ¿Se equivocó la calculadora? ¿La expresión que dimos no era correcta? Además, se puede generar una discusión en cuanto a las modificaciones necesarias (uso de pa-réntesis y signos de agrupación) que se deben hacer en cada una de las ex-presiones halladas, para obtener la res-puesta correcta en cada caso.

Problema con los años

Evaristo Galois nació en 1811 y murió en 1832, luego de una corta vida, dejando un legado en matemáticas que ha perdurado hasta nuestros días.

• Con los dígitos del año de nacimiento de Galois podemos crear expresiones arit-méticas cuyos resultados son los dígitos del 0 al 9 . ¡Compruébelo con ayuda de la calculadora! Determine a qué número corresponde cada dígito.

)11(18

1811

• Utilizando los dígitos del año de la muer-te de Galois, cree expresiones aritméti-cas cuyos resultados sean los números dígitos.

1 8 3 2 = 0 1 8 3 2 = 5

1 8 3 2 = 1 1 8 3 2 = 6

1 8 3 2 = 2 1 8 3 2 = 7

1 8 3 2 = 3 1 8 3 2 = 8

1 8 3 2 = 4 1 8 3 2 = 9

• ¡ GRAN DESAFÍO !

Intercale signos de operaciones aritméticas entre los dígitos y, en caso de ser necesa-rio, signos de agrupación, de tal manera que el resultado de cada expresión sea el indicado.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 18119 8 7 6 5 4 3 2 1 = 1832

Observación. Este mismo tipo de ejercicio puede motivar más a los estudiantes si se


Actividades en sistemas numéricos

53

les pide encontrar expresiones aritméticas con los dígitos de un año significativo para ellos, como la fecha de su nacimiento.

Patrones (1)

Los tres renglones que siguen, pertenecen a un mismo patrón. Obsérvelos cuidadosa-mente:

... + ... = ...

... + ... + ... = ...

3 + 4 + 5 + 6 + 7 = (...)2

4 + 5 + ... + ... + ... + 9 + 10 = (...)2

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

...

...

... + ... + ... = ... + ...

9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15

16 + 17 + 18 + 19 + 20 = ... + ... + ... + ...

... ... ... ... + ... + ... = 31 + 32 + 33 + 34 + 35

...

a) Escriba los datos que faltan y compruebe el patrón.b) Escriba dos renglones anteriores y dos posteriores de los que están.c) Complete las expresiones siguiendo el mismo patrón.

(i) 25 + 26 + 27 + ... + 71 + 72 + 73 = ( ) 2

(ii) .......................................................... = 812

Patrones (2)

Los tres renglones que siguen, pertenecen a otro patrón. Obsérvelos cuidadosamente.

a) Escriba los datos que faltan y compruebe el patrón.b) Escriba dos renglones anteriores y dos posteriores.c) Complete las expresiones siguiendo el patrón:


54


(i) 81 + ... ... ... = ...(ii) ... + ... ... ... = ... + 225(iii) ... + = ... = 1150

d) Describa, en forma general, este pa-trón.

e) Si n representa la fila enésima, determi-ne una expresión para calcular la suma S en función de n.


Para profundizar la búsqueda y reflexión respecto al potencial didáctico de las Cal-culadoras en la promoción del pensamien-

to numérico, se sugiere estudiar y explorar el punto 4.2.3 ¿Cómo contribuye el uso de la tecnología al aprendizaje de distintos contenidos del currículo de Matemáticas?, especialmente, para el caso de este taller, lo relacionado con “el Pensamiento numé-rico y sistemas aritméticos”, publicado en la serie lineamientos curriculares, “Nuevas Tecnologías y Currículo de Matemáticas”. MEN – OEA. 1999. P. 39 – 44.


55

EXPLORACIÓN DEREGULARIDADES NUMÉRICAS13

Objetivos

• Aprovechar la mediación de la calcula-dora TI 92 para profundizar en la com-prensión del sentido numérico.

• Propiciar la reflexión respecto al poten-cial didáctico de la TI 92 en la promoción del sentido numérico.

Actividades

El pensamiento numérico se desarrolla a partir del uso significativo de los números, lo que supone la comprensión del sistema de numeración decimal, la apreciación de relaciones numéricas, la estimación y el desarrollo de estrategias de resolución de problemas. En este taller trabajaremos al-gunas actividades que, con el empleo de la calculadora, contribuyen a ampliar el senti-do numérico. Necesitaremos hacer uso de las herramientas del programa de álgebra de la TI92+ que contiene una versión resu-mida del programa DERIVE. Este programa se activa al prender la calculadora o cuan-do se teclea ♦+Q (HOME).

Sistema Decimal

a. Escriba 22 de varias formas, sin utilizar las teclas 2 y 5.

b. Coloque 47 639 en pantalla. Haga to-das las operaciones necesarias para que:

i) la cantidad se disminuya en 7 decenas

ii) la cifra 7 se transforme en 5 pero las otras

queden igual.

c. Realice una única operación para que, a partir de 572, se obtenga:

(i) 502

(ii) 5702

(iii) 57.2

d. Efectúe una operación para obtener un solo 1 después del punto decimal a par-tir de:

(i) 0.25

(ii) 0. 3333

(iii) 0.1111....

Orden de Magnitud

a. Ordene los siguientes números de me-nor a mayor:

2222 2222 2222 2222 (222)2


56


b. Dados a y b, números naturales, ¿qué es mayor ab o ba? ¿En qué casos ab = ba?

Patrones numéricos

a. Estudie productos del tipo 66 × 64, 72 × 78, 85 × 85 y 93 × 97 caracte-rícelos y formule una regla que permita evaluarlos sin calculadora.

b. Efectúe los cálculos y observe los resul-tados. Invente otros casos similares.

(i) 122 = 132 = 212 = 312 =

(ii) 1022 = 1032 = 2012 = 3012 =

(iii) 1122 = 1132 = 2112 = 3112 =

c. Estudie las siguientes igualdades y en-cuentre otra similar:

Ternas Pitagóricas Tres números enteros a, b, y c que satisfa-cen la relación a2 + b2 = c2 constituyen una terna pitagórica.

a) Encuentre cuatro ternas pitagóricas dis-tintas.

b) Verifique que 3367, 4825 y 3456 es una terna pitagórica.

c) Caracterice familias de ternas pitagóri-cas.

d) Observe el siguiente patrón:

d. Prediga el resultado del cálculo en las últimas operaciones planteadas:

143 x 2 x 7 = 143 x 6 x 7 =

143 x 3 x 7 = 143 x 7 x 7 =

143 x 4 x 7 = 143 x 8 x 7 =

143 x 5 x 7 = 143 x 9 x 7 =

(i) Escriba dos renglones anteriores y dos renglones posteriores al patrón

(ii) Describa el patrón en forma general.

e) Observe la siguiente tabla.

18 , 8 , 1721 , 20 , 29... ... ...33 , 56 , 6539 , 80 , 89... ... ...51 , 140 , 14957 , 176 , 185


Exploración de regularidades numéricas

57

(i) Compruebe que los números de cada uno de los renglones forman ternas pi-tagóricas.

(ii) Complete las casillas que faltan.(iii)Agregue las dos siguientes filas del

arreglo.(iv)Describa el patrón en forma general.

f) Observe la siguiente tabla.

35 , 12 , 3745 , 28 , 53... ... ...65 , 72 , 97... ... ...85 , 132 , 15795 , 168 , 193

(i) Compruebe que los números de cada uno de los renglones forman ternas pi-tagóricas.

(ii)Complete las casillas que faltan.(iii)Agregue las dos siguientes filas del

arreglo.(iv)Describa el patrón en forma general.

Adivinanza

Juan Pablo propone a Ana Lucía la siguien-te adivinanza: “ piense en un número de 1 a 30 e indique en cuál (es) fila(s) de la si-guiente tabla se encuentra ”. Cuando Ana Lucía le señala las filas, Juan Pablo suma el primer número de cada una de ellas y adivina así el número pensado. ¿Por qué funciona este truco?

Fila1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Fila2 2 3 6 7 10 11 14 15 18 19 22 23 26 27 30

Fila3 4 5 6 7 12 13 14 15 20 21 22 23 28 29 30

Fila4 8 9 10 11 12 13 14 15 24 25 26 27 28 29 30

Fila5 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30


Para avanzar en la exploración y compren-sión de las potencialidades de los recursos de la Calculadora en la promoción del pen-samiento numérico, se sugiere estudiar el

documento “Exploraciones numéricas” de Luis Moreno Armella, publicado en el libro “Seminario nacional de Formación de Do-centes: Uso de Nuevas Tecnologías en el Aula de Matemáticas”. MEN 2002. Pág. 288 – 296.


59

REGRESIÓN LINEAL14

Objetivos

• Lograr dominio en el uso de la calcula-dora TI 92 en la modelación de datos ob-tenidos experimentalmente.

• Reflexionar respecto a las posibilidades didácticas del uso de la Calculadora TI 92 en la modelación de datos y la pro-moción del pensamiento estadístico.

Actividades

Una regresión es un intento de modelar con una ecuación datos obtenidos experi-mentalmente. En este taller vamos a crear unas listas de datos e intentaremos deter-minar la ecuación lineal que mejor se ajus-te a dichos datos.

Problema. Encuentre la ecuación lineal que mejor se ajusta a los datos (1, 6), (2, 10), (3, 13),(4, 12),(5, 17).

Encienda la calculadora y en la pantalla principal (HOME) borre el área de registro con F1+8. Borre la línea de comandos con CLEAR.

Creación de las listas. Las listas se escri-ben en la línea de comandos entre llaves { }. Para crear la lista de las abscisas te-clee 2nd(l,2,3,4,5 2nd)STO ListaX ENTER. Repita el procedimiento para la lista de las orde-nadas y almacénela en ListaY.

Graficación. Para graficar los datos pre-sione ♦W y así entrar al editor de funciones. Si ya hay algún gráfico estadístico (Plot) de-finido, presione F5+1 y seleccione All off para des-seleccionarlos todos. Presione la tecla del cursor hacia arriba para seleccionar el primer gráfico (Plot) libre y presione ENTER. Aparecerá la siguiente pantalla:

Escriba listax y listay en las casillas respecti-vas. Luego oprima dos veces ENTER

Para dividir la pantalla en dos regrese a la pantalla principal oprimiendo ♦HOME. Luego oprima MODE F2 y con el cursor seleccione Split Screen y 3: Left-Right. Oprima ENTER para confirmar. La pantalla aparecerá dividida, con la gráfica a la derecha.

Oprima ♦R (GRAPH) para mostrar la gráfi-ca de los datos. Para ajustar los datos a la pantalla presione F2 (Zoom) y seleccio-ne 9: ZoomData. Debe obtener una pantalla como la siguiente:


60


Fíjese que la parte derecha tiene un borde grueso. Esto significa que es la parte de la pantalla activa. Para activar la otra parte de la pantalla oprima 2nd APPS.

Búsqueda de la ecuación que modela los datos. Ahora se quiere definir una ecuación que modele los datos. Como en la gráfica parece que la mayoría de los puntos están en una recta, buscaremos una ecuación li-neal de la forma y = m x + k. Podría hacerse en el editor de datos Data/Matrix Editor, si los datos se hubiesen capturado en una tabla. En este caso vamos a hacerlo desde la pantalla HOME. Para hacerlo:

Escriba m x + k STO y1(x) y oprima ENTER. Verifique la exactitud de su ecuación escri-biendo y1(x) ENTER. Si ve expresiones nu-méricas en lugar de m x + k es porque tiene almacenado algún valor para las variables. En ese caso oprima F6+1 y repita este pro-cedimiento.

Ahora necesitamos definir un criterio nu-mérico para saber qué tan ajustada está la ecuación con relación a los datos. Si la línea está bien ajustada, la distancia de cada uno de los puntos a la línea debe ser

mínima. Esta distancia se toma como la di-ferencia entre la ordenada del punto y el valor de la función aplicada en la abscisa del punto; pero, para evitar que las dife-rencias positivas (de los puntos que están encima de la línea) se anulen con las dife-rencias negativas (de los puntos que están debajo de la línea), se toma el cuadrado de la diferencia. Por eso este es el método de los mínimos cuadrados.

Sumamos entonces los cuadrados de las diferencias suponiendo que la línea que mejor se ajusta a los datos será aquella tal que suma de los cuadrados de sus distan-cias sea la más pequeña. Para ello:

- presione F4+1 y seleccione Define

- escriba ss=sum((listay-y1 (listax))^2) y opri-ma ENTER

- verifique la exactitud de la fórmula te-cleando ss y oprimiendo ENTER

- debe obtener: 5 k2 + k (30 m - l 16) + 55 m2 - 396 m + 738

- si no obtiene este valor, revise su ecua-ción.

Llegó el momento de ensayar los valores de m y k para ajustar la línea a los datos. Para comenzar tomemos m = 2, k = 2. Pre-sione ENTER y CLEAR.

- 2 STO m ENTER

- 2 STO k ENTER

- ♦GRAPH

Debe obtener una pantalla como la si-guiente:


Regresión lineal

61

Esta no es una buena aproximación. Pre-sione 2nd APPS para activar la pantalla HOME y escriba ss para ver el coeficiente de ajus-te.

Con m = 2 y k = 2, la línea y = 2 x + 2 tiene una suma de cuadrados de 74.

Intente encontrar una buena aproximación con valores diferentes para m y k. Verifique mirando la gráfica y calculando el coefi-ciente ss.

La TI-92 utiliza el método de los mínimos cuadrados para calcular la ecuación que mejor se ajusta a los datos. Desde la pan-talla HOME presione 2nd MATH y seleccione 6: Statistics, 3: Regression y 1: LinReg. Luego es-criba listax, listay ENTER. Para ver los resulta-dos escriba showstat y oprima ENTER.


Para profundizar en el conocimiento y do-minio de los recursos de la calculadora TI 92 en la modelación de datos, se sugiere estudiar el documento “Modelos de regre-sión”, de Luis Moreno Armella, publicado en el libro: “Seminario Nacional de Forma-ción de Docentes: Uso de Nuevas Tecno-logías en el aula de matemáticas”. MEN. 2002. Pág. 297 - 310


63

MANEJO, ANÁLISIS EINTERPRETACIÓN DE DATOS515

Objetivo (s)

• Reconocer y lograr dominio en el uso de la calculadora TI 92 en la sistematiza-ción y análisis de datos estadísticos.

• Reflexionar respecto a las posibilidades didácticas del uso de la Calculadora TI 92 en la promoción del pensamiento es-tadístico.

Actividades

En este taller estudiaremos algunas de las herramientas de la calculadora TI92 que sirven para el manejo, el análisis y la inter-pretación de datos. La estadística usa los resultados de los análisis y sus interpreta-ciones de conjuntos de datos para obtener conclusiones sobre los mismos (estadísti-ca descriptiva) o para obtener conclusio-nes que van más allá de la colección de datos (estadística inferencial).

Para el manejo y la representación de da-tos se requerirá conocer algunos concep-tos básicos de matemáticas que incluyen desde aspectos elementales de la aritmé-tica hasta aspectos más complejos de la teoría de las funciones. Supondremos en este taller que se tienen estos conocimien-tos pero en el desarrollo del mismo pode-mos retomarlos en los momentos en que sea necesario.

Introducción y manipulación de datos. La información recopilada a través de da-tos numéricos en un estudio se organiza casi siempre en cuadros numéricos. Esta forma de presentar los datos permite cap-tar de manera global y mediante una lec-tura simple la información. El siguiente es un ejemplo de esta forma de presentar los datos. El informe de ventas en el semestre enero-junio de una empresa lo presenta el contador al gerente así:

INFORME DE VENTASSemestre: enero - junio 1994

CantidadPrecio

Unidades

Precio

TotalDestino

17 930 360 6 454 800 Bogotá

12 430 375 4 661 250 Cali

8 200 375 ... Medellín

4 320 375 ... Barranquilla

6 845 375 ... Bucaramanga

2 460 380 ... Valledupar

5 790 380 ... Santa Marta

3 870 380 ... Cartagena

1 235 385 ... Quibdó

2 450 375 ... Ibagué

3 620 375 ... Neiva

1 310 385 ... Sincelejo

2 675 375 ... Tunja

1 125 380 ... Leticia

2 670 375 ... Popayán

5 Los ejemplos son modificaciones de algunos que aparecen en Curso práctico de estadística de Lincoyán Portus Govinden, McGraw Hill. 1988


64


Estos datos se pueden escribir en una hoja de cálculo para ser manipulados y analiza-dos. El primer ejercicio consiste en intro-ducirlos en la hoja de cálculo de la TI92 y calcular los porcentajes de venta por ciu-dad. Para esto, oprima el botón APPS para entrar en las aplicaciones y escoja la op-ción 6: Data/Matrix Editor. Allí, escoja la opción 3: New, donde se dejarán las opciones Data y main, y escribimos nombre ventas en Va-riable. Al oprimir ENTER debe quedar la si-guiente pantalla:

nos dará los valores de ventas totales por ciudad. Las últimas filas se deben ver así:

Usamos la columna c1 para escribir los nombres de las ciudades y en las columnas c2 y c3 para introducir los datos del núme-ro de artículos vendidos y el precio unitario por ciudad, respectivamente. Las últimas filas se deben ver así:

Nos ubicamos ahora en la cabecera de la columna c4 (Header) y escribimos c2*c3, que

Para encontrar el número total de unidades vendidas en el semestre, debemos sumar los valores de la columna c2. Para esto nos ubicamos en la columna c5 donde escribi-mos cumSum(c2) y oprimimos ENTER. Los datos que aparecen en la columna c5 son las sumas acumuladas de los datos en la columna c2. El de la última celda es la suma total de los valores de la columna c2.

Calcularemos ahora los porcentajes de ventas en las diferentes ciudades, tanto por unidades vendidas como por precio. Introducimos primero una nueva columna ubicándonos en c5 oprimiendo F6 y esco-giendo la opción column en Insert. En c5 es-cribimos (c1/76930)*100 siendo 76930 el total


Manejo, análisis e interpretación de datos

65

de unidades vendidas (ver la celda r15c6). Los datos de la columna c5 son los porcen-tajes de ventas por unidades en cada ciu-dad. La tabla se ve ahora así:

Repita el procedimiento anterior para en-contrar los porcentajes de ventas por pre-cios en cada ciudad. Observe que hemos escrito un encabezado a cada columna es-cribiendo en la celda vacía arriba de c2, c3,

c4, c5 y c6.

Gráficos de datos. Estudiaremos ahora las posibilidades de representación gráfica que nos provee la calculadora TI92. Hare-mos una gráfica que representa la canti-dad de unidades vendidas por ciudad en la que podremos apreciar rápidamente en que ciudad se vendió más, en qué ciudad se vendió menos, y comparar las ciudades según el número de unidades vendidas. En una nueva columna, por ejemplo insertan-do una nueva columna en c6, escribamos los números del 1 al 15. En realidad lo que estamos haciendo es numerar las ciudades de 1 a 15. Oprimimos F2 y F1 para esco-ger el tipo de gráfica que queremos hacer. En Plot Type escogemos xyline en Mark esco-gemos Box. En x escribimos c6 y en y es-

cribimos c2. Oprimimos ENTER dos veces y vamos a la pantalla de la gráfica con (♦R). Si no puede apreciar bien la grafica, en WIN-DOW (♦E) escoja los valores xmin=0, xmax=16, ymin=-1, ymax=20000. Se debe ver, entrando nuevamente a la pantalla de la gráfica, lo siguiente:

De acuerdo a esta gráfica haga comenta-rios sobre las ventas del semestre en las diferentes ciudades. Haga una gráfica de los porcentajes de ventas en unidades y en precio y compárelas.

Agrupación de datos e histograma. Para estudiar mejor el comportamiento de ventas en las diferentes ciudades agruparemos las ciudades con ventas similares. Para esto ordenaremos los datos de mayor a menor ubicándose en c2 y escogiendo la opción 4 de F6: Sort Col, adjust all. Si esta opción no aparece es porque los datos de algunas de las columnas están protegidos. Para des-protegerlos tenemos que ubicarnos en la cabeza de la columna, oprimir ENTER, bo-rrar la fórmula que determinó los datos de la columna y oprimir ENTER nuevamente. Después de ordenados los datos debemos ver en la pantalla:


66


Calculamos ahora el valor más grande me-nos el más pequeño (rango): 17930 – 1125 = 16805 y dividimos por 5 (dependiendo del número de datos se recomienda dividir por un número entre 5 y 18) para obtener el ta-maño de intervalos de clase

Tamaño de los intervalos de clase = 3361

Con este dato podemos hacer el histogra-ma entrando en Plot Setup (F2) y oprimiendo F1. Ahí tomamos la opción Histogram para Plot Type, escribimos c2 en x y 3361 en Hist. Bucket With. Oprima ENTER dos veces y vaya al editor de funciones (♦W). En F2 escoja Zoom Data y oprima ENTER. En la pantalla aparece la gráfica que representa la distri-bución de frecuencias de datos agrupados

Esta gráfica ha agrupado las ciudades por rangos de venta determinados por el tama-ño del intervalo de clase. En el primer gru-

po hay 7 ciudades, en el segundo 4, en el tercero 2, en el cuarto 1, en el quinto 0 y en el sexto 1. Complete el cuadro siguiente:

Ciudades # de ciudadesRangos

de ventas

Quibdo, Sincelejo, Ibagué, Valledupar,

Popayán, Tunja, Neiva

71125

a 2675

4

2

1

0

1

¿Qué conclusiones puede sacar del histo-grama?

Haga un nuevo histograma calculando el tamaño del intervalo de clase dividiendo por 8 el rango. ¿Puede obtener nueva in-formación acerca del comportamiento de las ventas?

Actividad

El instructor de preparación física de un colegio tiene a su cargo un grupo de 108 alumnos de 11 a 13 años. Para analizar el comportamiento de las estaturas de estos niños los mide redondeando las alturas al centímetro más próximo y las anota en la ficha de registro de cada alumno. Con los datos de las fichas elabora un primer cua-dro en el que aparecen todas las estatu-ras sin ninguna ordenación. Luego ordena los datos y elabora el siguiente cuadro en el que aparecen las estaturas de menor a mayor y el número de alumnos con la esta-tura correspondiente


Manejo, análisis e interpretación de datos

67

Haga un histograma que muestre la distri-bución de frecuencia de datos agrupados.

Hay dos formas de realizar este histogra-ma:

Forma 1:

Al introducir los valores en la tabla no escri-ba las estaturas que aparecen con 0 y re-pita tantas veces la estatura como número de estudiantes la tengan. Describa el com-portamiento de las estaturas en el grupo de alumnos.

Forma 2:

• Abra un documento nuevo en el editor de datos y matrices APPS + 6: Data/Matrix Editor.

• Cree una tabla en la cual la primera co-lumna c1 corresponde a las estaturas (desde 125 cm a 162 cm), y la columna c2 corresponde a la frecuencia (veces que se repite) cada estatura.

Cm # estudiantes Cm # estudiantes Cm # estudiantes125 1 138 3 151 4

126 0 139 6 152 6

127 0 140 3 153 4

128 0 141 2 154 5

129 0 142 5 155 2

130 0 143 8 156 0

131 2 144 7 157 3

132 2 145 8 158 4

133 0 146 6 159 3

134 0 147 4 160 1

135 0 148 4 161 0

136 1 149 5 162 1

137 5 150 3 108

• Una vez con los datos completos en la tabla se definen los parámetros de grafi-cación F2 (Plot Setup) + F1 (Define), toman-do en el plot seleccionado las siguientes opciones:

Plot Type................................... Histogram X …............................................ c1 Hist. Bucket Width..................... 1 Use Freq and Categories?.........YES→ Freq............................................ c2

Estat. Frecu.c1 c2 c3

1 125 1

2 126 0

3 127 0

4 128 0

5 129 0

6 130 0

7 131 2

8 132 2

... ... ...


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• Oprima ENTER y observe el histograma como en el ejemplo estudiado anterior-mente.


Para profundizar en la búsqueda y reflexión respecto al potencial didáctico de las Cal-culadoras en la promoción del pensamiento estadístico, se sugiere estudiar y explorar

el punto 4.2.3 ¿Cómo contribuye el uso de la tecnología al aprendizaje de distintos contenidos del currículo de Matemáticas?, especialmente, para el caso de este taller, lo relacionado con el “Pensamiento Aleato-rio y Sistemas de Datos”, publicado en la serie lineamientos curriculares, “Nuevas Tecnologías y Currículo de Matemáticas”. MEN – OEA. 1999. P. 61 – 63.


69

UN PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN16

Objetivos

• Articular diversos sistemas de represen-tación de la TI 92 para modelar situacio-nes problemáticas provenientes de la realidad.

• Reflexionar respecto al potencial didác-tico de la Calculadora TI 92 en la mode-lación de situaciones problemáticas.

Actividades

Una importante posibilidad de la geome-tría dinámica es la de modelar situaciones reales para experimentar con los modelos y obtener información sobre el fenómeno en estudio. En este taller se ejemplifica esta posibilidad con el problema de la caja, un conocido problema de cálculo que dice así:

Se desea construir una caja sin tapa con un pedazo rectangular de material, recor-tando cuadrados de igual tamaño de sus esquinas y doblando. ¿Para qué tamaño de cuadrado recortado es el volumen de la caja máximo?

La dificultad de muchos estudiantes ante este problema, radica en la incapacidad para representar mentalmente las relacio-nes que entran en juego (la relación entre el lado del cuadrado y el volumen de la caja).

La realización de un modelo donde pueda explicitarse esta relación será de beneficio para la comprensión del problema y la bús-queda de estrategias de solución.

Estudio de la situación.o El modelo debe basarse en un rectángu-

lo de un tamaño arbitrario que represen-tará el pedazo de material.

o Para representar los cortes debemos construir cuadrados congruentes en las esquinas del rectángulo (bastará con construir uno y hacer sus simétricos).

o El tamaño de esos cuadrados tiene que variar, por lo que debe haber un punto móvil sobre uno de los lados del rectán-gulo, punto que determina el tamaño del cuadrado.

o Existe un tamaño límite del cuadrado: su lado no puede sobrepasar la mitad del lado más corto del rectángulo.

Construcción.Construya un rectángulo de 2cm x 3 cm.


70


Construya el punto medio de uno de los la-dos más cortos.

Construya las mediatrices de los lados del rectángulo.

Construya un segmento desde el extremo del lado corto hasta el punto medio y dibuje un punto sobre ese segmento.

Construya un cuadrado utilizando la esqui-na del rectángulo y el punto móvil sobre el segmento (use la opción polígono).


Un problema de optimización

71

Construya la imagen del cuadrado usando la simetría axial definida por las mediatri-ces (ejes de simetría).

Oculte las construcciones intermedias.

Ya tiene un modelo del pedazo rectangular con cuadrados recortados de las esquinas. El punto móvil le permite explorar todos los posibles tamaños de los cuadrados de las esquinas. Ahora construya segmentos que representen las tres dimensiones de la caja y mídalos.

Utilizando la opción Comment (F7+5) organi-ce la información en la pantalla.

Ahora calcule el volumen de la caja con la opción Calculate (F6+6) y señale sucesiva-mente los valores de los lados de la caja.


72


Opcional. Si desea hacer una represen-tación tridimensional del modelo constru-ya tres rectas intersecantes que simulen un sistema de coordenadas, transfiera la medida de los segmentos (F4 + 9) que re-presentan dimensiones de la caja, en cada uno de los ejes. Luego construya tres vec-tores del mismo tamaño de los segmentos y haga las traslaciones necesarias para ha-cer la caja. Mueva el punto que determina el tamaño del cuadrado y observe cómo varía la forma y el volumen de la caja.

Análisis de la situación

(i) Mueva el punto que determina la lon-gitud del lado del cuadrado. Teniendo en cuenta esta simulación, responda:

¿Qué magnitudes varían y cuáles perma-necen constantes?

¿Cuáles son los posibles valores que pue-de tomar el lado del cuadrado?

¿Cómo varía el ancho de la caja a medida que varía la altura?

¿Cómo varía el volumen de la caja a medi-da que varía el lado del cuadrado?

¿Cuál será el tipo de gráfica que se des-cribe al relacionar el lado del cuadrado y el volumen de la caja?

(ii) Construya la gráfica que relaciona el lado del cuadrado y el volumen de la caja. Para ello realice el siguiente procedimien-to:

- trace una semirrecta horizontal y una recta perpendicular a ella por el origen:



73

- trace otra semirrecta de manera que su origen coincida con el de la semirrecta anterior y pase por un punto de la per-pendicular

- oculte la recta perpendicular (F7 + 1: Ocul-tar/mostrar)

- transfiera (F4 + 9:Transferencia de medidas) la medida del lado del lado del cuadra-do sobre la semirrecta inicial y la medida del volumen de la caja sobre la semi-rrecta perpendicular:

- trace perpendiculares a las semirrectas por cada uno de los puntos marcados y determine el punto de intersección:

- oculte estas últimas rectas:

- marque la traza al punto visualizado de la intersección de las dos rectas (F7 + 2: Traza activada/desactivada):

- anime el punto que determina el lado del cuadrado (F7 + 3: Animación)


74


De acuerdo con la gráfica que obtuvo:

- ¿corresponde a la que había imagina-do?

- ¿a qué tipo de gráfica corresponde y porqué?

- ¿cómo lo comprueba?

(iii) Registre los datos en una tabla. Para ello realice el siguiente procedimiento:

- seleccione del menú F6 + 7:Agrupar datos, la opción 2: Definir entrada:

- seleccione, oprimiendo ENTER, los datos que se van a relacionar es decir la lon-gitud del lado del cuadrado y el volumen de la caja (es importante que la selec-ción se haga en este orden):

- seleccione del menú F6 + 7: Agrupar datos la opción 1:Almacenar datos:

- anime el punto que determina la longitud del lado del cuadrado (F7 + 3: Animación) y espere unos momentos para que se al-macenen suficientes datos:



75

- abra la tabla correspondiente a es-tos datos. Para ello oprima la tecla de Aplicaciones APPS, seleccione la op-ción 6: Data/Matrix Editor y luego la opción 1:Current:

De acuerdo con los datos presentados en la tabla, responda:

- ¿cómo varía el volumen a medida que varían los valores del lado del cuadra-do?

- ¿cómo varía el volumen a medida que los valores del lado del cuadrado se acercan a cero?

- ¿cómo varía el volumen a medida que los valores del lado del cuadrado se acercan a su máximo valor?

- ¿para qué valor del lado del cuadrado se obtiene el máximo valor del volumen de la caja?

(iv) Construya la gráfica correspondiente a los datos tomados en la tabla. Para ello realice el siguiente procedimiento:

- ubicados en el editor de datos, seleccio-ne el menú F2: Plot Setup

- oprima la tecla F1 y aparecerá una pan-talla en la que debe introducir las ca-racterísticas que quiere definir para la gráfica:


76


- seleccione el tipo de gráfica (Scatter) y el tipo de marca para los puntos (Box).

- asigne a la variable X los valores corres-pondientes a la columna 1, digitando c1.

- asigne a la variable Y los valores corres-pondientes a la columna 2, digitando c2.

- oprima ENTER dos veces.- grafique los puntos (♦ R).- para visualizarlos mejor los puntos de

esta gráfica, seleccione F2 + 9: ZoomData:

¿Cuál es la función que mejor relaciona estos datos? Introduzca esta función en el editor de funciones (♦Y) y grafíquela (♦ R).

¿Están todos los datos, o la mayoría de da-tos anteriores, relacionados con esta fun-ción? Si no es así inténtelo nuevamente hasta que tenga la mejor aproximación.(v) Calcule la regresión correspondiente a los datos. Para ello realice el siguiente pro-cedimiento:

- ubicados en el editor de datos, seleccio-ne el menú F5 Calc

- en la opción Calculation Type, escoja el tipo de regresión que considera mejor se ajusta a los datos.

- asigne a la variable X los valores corres-pondientes a la columna 1, digitando c1

- asigne a la variable Y los valores corres-pondientes a la columna 2, digitando c2

- guarde esta función en Y1, allí donde aparece Store RegEQ to

- oprima ENTER dos veces

¿Corresponde esta función a la que usted había considerado?

Explique el comportamiento de la función en términos de la situación modelada ini-cialmente.



77


Para profundizar en la búsqueda y reflexión respecto al potencial didáctico de las Cal-culadoras en el abordaje y modelación de situaciones problemáticas, se sugiere estu-diar los documentos:

• “Problematizar el estudio de las mate-máticas: un aspecto esencial en la orga-nización del currículo y en el aprendizaje de los estudiantes” de Luz Manuel San-tos Trigo, publicado en el libro: “Semina-rio Nacional de Formación de Docentes: Uso de Nuevas Tecnologías en el Aula de Matemáticas. MEN. 2002. Pág. 151 – 165.

• “Cualidades y procesos matemáticos importantes en la resolución de proble-

mas: un caso hipotético de suministro de medicamento”, de Fernando Barrera Mora y Luz Manuel Santos Trigo, publi-cado en el libro: “Seminario Nacional de Formación de Docentes: Uso de Nuevas Tecnologías en el Aula de Matemáticas. MEN. 2002. Pág. 166 – 185.

• “Proceso de transformación del uso de tecnología en herramienta para solucio-nar problemas de matemáticas para los estudiantes”, de Luis Moreno Armella y Manuel Santos Trigo, traducido por Mar-tín Eduardo Acosta Gempeler y Publica-do en el Libro: “Seminario Nacional de Formación de Docentes: Uso de Nuevas Tecnologías en el Aula de Matemáticas. MEN. 2002. Pág. 263 – 268.


79

CBR - APROXIMACIÓN A LA GRÁFICA17

Objetivos

• Conocer acerca del manejo del Detec-tor Sónico de Movimiento CBR (Calculator Based Ranger) en la obtención de datos experimentales que son transferidos a la calculadora TI 92.

• Explorar algunas relaciones existentes entre las matemáticas y las ciencias fí-sicas a partir de los datos capturados en la calculadora a través del CBR y su tra-tamiento con los diferentes sistemas de representación de esta.

• Reflexionar respecto al potencial didácti-co del uso del CBR y su interacción con la Calculadora en la articulación de las matemáticas y las ciencias físicas.

Actividades

¿Qué es el CBR?

El CBR (Calculator Based Ranger) es un de-tector sónico de movimiento, cuya utiliza-ción con la calculadora permite la captura de datos. Su uso no requiere programa-ción.

Con los datos obtenidos es posible explo-rar las relaciones matemáticas y científicas existentes entre distancia, velocidad, ace-leración y tiempo.

En términos generales el CBR permite to-mar datos externos para estudiar el proceso de modelación de situaciones de variación y de cambio, que con mediación de esta herramienta tecnológica no tienen que ser estudiadas de modo abstracto (en el senti-do en que son extrañas a las experiencias del estudiante), sino, que puede tejerse al-rededor de ellas y con ellas, una red entre ideas y conceptos que dé como resultado una mayor familiaridad con este complejo conceptual.

Conexión, Transferencia y Ejecución del programa

1. Conecte el CBR a la calculadora utili-zando el cable correspondiente. Apriete firmemente ambos extremos para ase-gurar la conexión.

2. Prepare la calculadora para recibir el programa RANGER, el cual está en el CBR. Para esto ubíquese en la pantalla HOME y cerciórese que la calculadora esté en inglés.

3. Abra el cabezal pivotante del CBR y lue-go pulse el botón que indica la referen-cia de la calculadora con la que se está trabajando. En este caso el botón que indica 92.


80


Cuando finaliza el proceso de transferencia la luz verde del CBR parpadea una vez y el CBR emite un pitido. La pantalla de la cal-culadora muestra el mensaje DONE. Si hay problema, la luz roja del CBR parpadea dos veces y el CBR emite dos pitidos.

Una vez que ha transferido el programa RANGER desde el CBR a la calculadora, no tendrá que volver a transferirlo a menos que lo borre de su memoria.

4. Ejecute el programa RANGER. Para esto:

- pulse 2nd + - ( VAR LINK)

- seleccione RANGER

- cierre el paréntesis y pulse ENTER.

La Actividad

1. Sujete el CBR en una mano y la calcu-ladora en la otra. Apunte el sensor di-rectamente hacia la pared. (La distancia máxima para cualquier gráfica es de 4 metros desde el CBR y la distancia míni-ma es de 0.5 metros).

2. Ejecute el programa RANGER. Aparece la pantalla de apertura. Pulse

ENTER para acceder al menú principal MAIN MENU.

3. En el menú MAIN MENU seleccione APPLICATIONS. Seleccione METERS.

4. En el menú APPLICATIONS, seleccione DISTANCE MATCH. Aparecen instruccio-nes generales. DISTANCE MATCH se ocu-pa automáticamente de los ajustes.

5. Pulse ENTER para mostrar la gráfica que va a reproducir. Dedique un momento a estudiar la gráfica y responda:

1) ¿Qué propiedad física se representa en el eje X?

¿En qué unidades? ¿Cuál es la dis-tancia entre las marcas?

2) ¿Qué propiedad física se representa en el eje Y?

¿En qué unidades? ¿Cuál es la dis-tancia entre las marcas?

3) ¿A qué distancia del CBR piensa que debería empezar?

6. Colóquese donde piensa que comience la gráfica. Pulse ENTER para comenzar la captura de datos y camine de mane-ra que su movimiento simule la gráfica. Escuchará Clic y verá la luz verde a me-dida que se capturan los datos.

7. Una vez terminado el experimento, exa-mine qué tanto su “paseo” se ha ajusta-do a la gráfica y responda:

¿Comenzó demasiado cerca, demasia-do lejos o a la distancia adecuada?

¿Qué tan bien se ajustó la gráfica des-crita por el movimiento a la gráfica que aparecía en la pantalla? ¿Dónde acer-tó? ¿Dónde no se ajustó? ¿Porqué?

8. Inténtelo nuevamente. Pulse ENTER para mostrar en pantalla el menú OPTIONS y seleccione SAME MATCH y responda las preguntas anteriores.

9. Responda a las siguientes preguntas:

¿Cómo debe caminar para obtener un segmento con pendiente positiva?


CBR - Aproximación a la gráfi ca

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¿Cómo debe caminar para obtener un segmento con pendiente negativa?

¿Qué debe hacer para obtener un seg-mento con pendiente nula?

¿Qué propiedad física representan las pendientes de los segmentos?

10.Repita el ejercicio con otra gráfica. En el menú OPTIONS seleccione NEW MATCH.


Para profundizar en el conocimiento y re-flexión respecto al uso del CBR y su arti-

culación con los diferentes sistemas de representación de la Calculadora TI 92, se sugiere estudiar los documentos:

• Taller Con el CBR – Caída Libre, publi-cado en el libro “Seminario Nacional de Formación de Docentes: Uso de Nuevas Tecnologías en el Aula de Matemáticas. MEN. 2002. Pág. 166 – 185.

• El Manual del CBR, publicado por la Texas Instruments en el año 1997. Titu-lado: “Getting Started with CBR. Inclu-ding 5 student activities. Pág. 1 – 45.


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CURSO DE FORMACIÓN ENEL USO DE INTERNET18

1.Objetivos

Con este curso se busca que los profeso-res que participan en el proyecto de incor-poración de nuevas tecnologías al currículo adquieran las herramientas necesarias para participar en las listas de discusión de ma-nera activa, consultar de manera eficiente la página del proyecto y otras páginas de in-terés, comunicarse a través de correo elec-trónico, puedan enviar y recibir archivos adjuntos y puedan comprimir y descompri-mir archivos que se envían o reciben.

2.Contenido

Correo electrónico- ¿Qué es Internet?- ¿Qué es el correo electrónico?- Servicios de corro electrónico: institucio-

nal, servicios gratuitos.- Configuración de un administrador de

correo electrónico.- Enviar y recibir correos electrónicos.- Adjuntar un archivo a un correo que se

envía.- Descargar y leer un archivo adjunto a un

correo que se recibe.- Comprimir archivos grandes para en-

viarlos como archivos adjuntos.- Descomprimir archivos comprimidos que

se reciben adjuntos a un correo.

Navegación por Internet- ¿Qué es una página de Internet?- Visualizadores de páginas de Internet- Navegación por Internet: El uso de los

enlaces.- Motores de búsqueda de información.- La página del proyecto.- El foro de discusión del proyecto.- Chats.

Correo electrónico

¿Qué es Internet?Internet es una red de redes de computa-dores que distribuyen información y ser-vicios de todo tipo. Cada red de Internet está compuesta por docenas de miles de computadores. El éxito que ha tenido Inter-net se puede atribuir a la satisfacción de las necesidades básicas de la comunidad y a la utilización de ésta de un modo efec-tivo ya que es mecanismo de propagación de la información y un medio de colabora-ción e interacción entre los individuos y sus computadores, independientemente de su localización geográfica.

El número total de usuarios de la Internet asciende hoy en día a varios millones, y su crecimiento es exponencial. Este alto nivel de conectividad ha creado un grado de comunicación, colaboración, acceso a


84


la información e intercambio de recursos sin precedentes en la historia de la huma-nidad.

Gran parte de la ayuda que la comunidad de Internet recibe proviene del gobierno federal y estatal de los Estados Unidos, puesto que Internet era originalmente par-te de un programa de investigación fede-ral-financiado, que posteriormente se ha convertido en una parte esencial de la in-fraestructura de la investigación de dicho país. Tanto lo relacionado con el dominio público como las implementaciones comer-ciales de los cien protocolos del TCP/IP es-tuvieron disponibles a partir de fines de los ochentas. Es precisamente en esa época cuando la población de usuarios de Inter-net y de componentes de la red se amplió internacionalmente y comenzó a incluir re-cursos de corte comercial. De hecho, gran parte del sistema hoy en día se compone de redes privadas que brindan facilidades a nivel mundial en el plano educacional, de instituciones de investigación, de negocios y gubernamentales; la industria, asimismo, ha aportado una considerable contribución, dando origen a una nueva etapa en el de-sarrollo de la red.

Por otro lado, en Europa y en otras par-tes del mundo, el apoyo proviene de es-fuerzos de cooperación internacional y de organizaciones de investigación locales. Durante el curso de su evolución, parti-cularmente después de 1989, el sistema de Internet empezó a integrar soportes a otras áreas de los protocolos en cuanto al establecimiento de la red se refiere. A principios de 1990, los protocolos de OSI

también se pusieron en práctica, y ha-cia fines del año siguiente, Internet había crecido hasta incluir alrededor de 5,000 redes en más de 36 países, sirviendo a un número mayor a 700,000 computa-doras host/cliente, utilizadas por más de 400,000 personas.

Desde finales de los años 80, la red Inter-net ha crecido exponencialmente a nivel de número de redes conectadas, como de computadores y de tráfico. Además, cada vez hay más países con conectividad total a Internet y el tipo de usuario de la red es más diverso. El porcentaje de usuarios del ámbito comercial y empresarial crece rápi-damente.

En 1992 Internet conectaba más de un millón de computadores “madre” que da-ban acceso a los usuarios finales y enla-zaba más de 10.000 redes de 50 países. En 1994, el número de estos computado-res conectados era de tres millones y se habían llegado a integrar 25.000 redes de 146 países. Hoy día se calcula que el número de usuarios de Internet asciende a cien millones de personas en todo el mundo.

Tomado de: http://www.rcp.net.pe/rcp/internet/

¿Qué es el correo electrónico?El correo electrónico es una herramien-ta informática que ya está popularizada y que se ha convertido en un elemento indispensable para la comunicación aca-démica. El usuario debe disponer de un computador, una conexión a la red de In-ternet, un servicio de Internet (pagado o


Curso de formación en el uso de Internet

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gratuito) que ofrezca correo electrónico y un administrador de correo. Se pueden enviar correos (textos escritos en el admi-nistrador de correo) a otra persona que este en las mismas condiciones que el que envía y se pueden recibir correos de otras personas.

El correo electrónico permite el intercam-bio rápido de mensajes entre personas o grupos de personas del sistema de comu-nicación. Para enviar un mensaje electró-nico sólo basta estar conectado a Internet y tener un programa de correo electróni-co, que se puede conseguir gratuitamente en la red. Igualmente, será necesario que la persona a quien se envía el mensaje esté conectada y que se conozca su di-rección electrónica. El correo electrónico también se utiliza para transferir todo tipo de archivos que pueden contener bases de datos, gráficos o software comprimido que es posible enviar de forma sencilla sólo conociendo la dirección del destina-tario.

Cada usuario de Internet está identificado con una dirección electrónica que consta de dos partes. Por ejemplo:

[email protected]

La primera parte (eacosta) es el nombre de usuario, que generalmente consta de tres a veintisiete caracteres y puede es-tar separado por puntos. A continuación, se coloca el signo @ (arroba). La segun-da parte (escuelaing.edu.co) es el nombre de una computadora en Internet que ad-ministra el correo electrónico: el nombre

del computador, el lugar donde se encuen-tra la máquina (empresa o institución) y el país. En algunos casos los sistemas de correo electrónico no admiten los acentos y las ‘ñ’s, por lo que es recomendable no utilizarlos.

Actualmente se utiliza el protocolo SMTP (Simple Mail Transfer Protocol) para trans-mitir correo electrónico. Este protocolo permite mandar correo electrónico desde y hacia redes que no están conectadas directamente a Internet. Los sistemas de correo electrónico abren posibilidades ini-maginables con los sistemas anteriores, entre ellos las listas de correo que permiten el intercambio de correspondencia entre un grupo cerrado de personas, lo que propicia el debate ágil sobre los temas de interés del grupo (listas de discusión).

A partir del envío de la información, se transfiere de nodo a nodo de la red, bus-cando el camino óptimo para llegar al des-tino. El tiempo que tarda un mensaje en llegar varía en función del tráfico de la red y de las conexiones entre los computado-res. En unos segundos, un mensaje puede haber viajado de Bogotá a Grenoble (Fran-cia).

Cuando nuestro mensaje llega a su desti-no, queda almacenado en la computadora receptor hasta que su usuario se conecte de nuevo. Cuando lo hace, recibe el aviso que tiene correo y puede leer sus mensa-jes en la computadora.

Las ventajas más importantes que hay con respecto al correo postal y al teléfono son:


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- más velocidad (un mensaje puede llegar a cualquier punto del mundo en horas, minutos o incluso segundos)

- más económico.- se pueden consultar bases de datos, bi-

bliotecas, etc.- se pueden transferir archivos y progra-

mas. - el destinatario puede responder cuando

le interesa.


Servicios de corro electrónico: institu-cional, gratuito.La mayoría de las instituciones académicas provee de un servicio de correo electrónico a sus miembros. Este servicio institucional se pone a disposición del usuario a través de sus servidores (computadores) y debe ser administrado por el usuario con un pro-grama de administración instalado en el computador donde se consulta el correo. Los programas de administración local de correo más conocidos son el Outlook Ex-press (de Microsoft) y el que viene con el navegador de Netscape. Estos programas deben configurarse con la información ne-cesaria para la consulta del correo: nombre del servidor (computador) que recibe la in-formación, nombre del servidor que envía la información, el nombre de la cuenta de correo (nombre de usuario) y la clave de acceso.

Por otro lado, hoy en día hay un sinnúme-ro de servicios gratuitos de correo electró-nico a disposición del público general. Los

servicios más utilizados son los de Yahoo y los de Hotmail. Estos servicios proveen ad-ministradores de correo que no están ins-talados en el computador del usuario. La forma de obtener un servicio de correo gra-tuito consiste en conectarse por la red con el proveedor. El proveedor le dará instruc-ciones a través de la información que pu-blica en sus páginas de Internet para que pueda tener el servicio de correo. Esencial-mente, se le pedirá que escoja un nombre de usuario (nombre de la cuenta de correo) y una clave para el acceso a la informa-ción de correo Una vez definida esta infor-mación usted podrá recibir y enviar correos conectándose vía Internet a la página del proveedor.

Configuración de un administrador de correo electrónico.En el caso en que usted disponga de un servicio de correo institucional le recomen-damos ponerse en contacto con la perso-na que administra el servidor para que le de los datos y las instrucciones para confi-gurar el programa de administración. Aquí explicaremos cómo obtener un servicio de correo electrónico a través de la red.

Lo principal es tener un servicio de Inter-net de cualquier tipo. Es decir, se debe dis-poner de un computador con un MODEM (dispositivo de conexión a la red vía telefó-nica) y un programa de conexión. Explica-remos aquí el procedimiento para obtener el servicio de correo electrónico de Yahoo. El procedimiento es similar con cualquier otro proveedor.



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1. Conéctese a Internet y abra el programa de navegación (Netscape o Internet Explo-rer).

2. En la ventana donde se escribe la dirección (Address, Location, Dirección,…)escriba www.yahoo.com

3. El navegador lo conectará con el proveedor de Yahoo. Debe aparecer la siguiente in-formación en la pantalla:

4. Se lleva el cursor donde se encuentra el sobre que dice Correo y se hace clic ahí. Debe aparecer la siguiente información en la pantalla:


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5. Se hace clic en donde dice Inscríbanme. Debe aparecer la siguiente información, que no es otra cosa que las condiciones del servicio que le va a prestar Yahoo:

6. Una vez leídas y aceptadas la condiciones hay que hacer clic en Acepto al final de la página. Debe aparecer entonces un formulario en el que especificará su nombre de usuario (nombre de cuenta) y escogerá una clave de acceso. El resto de información que le piden es información general.



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7. Una vez lleno el formulario y sometida la información al proveedor contará usted con un servicio de correo electrónico con Yahoo.

Enviar y recibir correos electrónicos

Explicaremos ahora el procedimiento para enviar y recibir correos electrónicos usando el servicio de Yahoo.

1. Conéctese a Internet y abra el programa de navegación (Netscape o Internet Explorer).2 En la ventana donde se escribe la dirección (Address, Location, Dirección,…) escriba

www.yahoo.com:


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3. El navegador lo conectará con el proveedor de Yahoo. Debe aparecer la información de al lado en la pantalla.

4. Se lleva el cursor donde se encuentra el sobre que dice Correo y se hace clic ahí. Debe aparecer la siguiente información en la pantalla:

5. Debe escribir en donde dice ID de Yahoo el nombre de su cuenta (nombre de usuario) y en Contraseña su contraseña (clave de acceso). Y oprimir el botón Ingresar. Debe aparecer una pantalla como la siguiente:



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6. Para escribir el mensaje que desea enviar debe hacer clic en Redactar. Aparecerá una ventana como la siguiente:

7. En frente de A: escribe la dirección del destinatario. Por ejemplo, [email protected]. En frente de Asunto escribe de lo que se trata el mensaje y

en el cuadro inferior escribe el texto del mensaje.


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8. Una vez escrito el texto del mensaje que desea enviar hace clic en el botón Enviar. El mensaje será enviado al destinatario.

9. Para leer los mensajes que le han enviado debe hacer clic en Revisar Correo. Apare-cerá una ventana con la lista de los mensajes que le han llegado:

10. Para leer uno de los mensajes se hace clic al lado derecho del mismo. Se abre una ventana mostrando el texto del mensaje:



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11. Para responder se hace clic en Responder y aparecerá una ventana donde se debe escribir el texto de la respuesta:

12. Una vez escrita la respuesta se hace clic en Enviar para enviar la respuesta.


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Adjuntar un archivo a un correo que se envía

1. Para adjuntar archivos a un mensaje que se va a enviar, una vez escrito el mensaje, en la parte inferior de la ventana, se hace clic en Añadir/Eliminar archivos adjuntos:

2. Aparece así una ventana como la siguiente en donde hay que hacer clic en Exami-nar:



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3. Aparece la ventana de al lado donde se escoge el archivo que se desea enviar y se hace clic en abrir:

4. Aparece nuevamente la ventana anterior donde se hace clic en Adjuntar. Una vez apa-rezca el nombre del archivo adjunto en esta ventana se hace clic en Finalizar, después de lo cual se puede enviar el mensaje:


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Descargar y leer un archivo adjunto a un correo que se recibe

1. Cuando se recibe un correo con un archivo adjunto aparece una indicación (clip) en la columna Tamaño. Este es el caso en el ejemplo en pantalla, en el mensaje enviado por Andrés García.

2. Al abrir el mensaje al final del texto se encuentra la información del archivo adjunto.

3. Haciendo clic en Examinar con Norton Antivirus, el programa revisará el archivo para que no esté contaminado y mostrará la próxima pantalla en la que se tiene la opción de guardar el archivo en el computador.



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4. Al hacer clic en Descargar archivo se abre una ventana que le pide información acerca de lo que quiere hacer con el archivo.

5. Al hacer clic en Guardar, el programa preguntará acerca del lugar donde se quiere guardar el archivo.


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6. Una vez escogido el lugar donde se quiere guardar el archivo, se hace clic en Guardar. El archivo se guardará en el fólder escogido.

Comprimir archivos grandes para enviarlos como archivos adjuntos

En algunas ocasiones el archivo o el fól-der que se quiere enviar es muy grande por lo que es necesario comprimirlo para que pueda ser manejado por el adminis-trador de correo. Hay varios programas de compresión de archivos entre los que se encuentran WinZip y PowerArchiver. Es-tos programas exigen algunas condiciones para su uso, que son importantes de cono-cer antes de usarlos. Al tener estos progra-mas instalados en el computador es muy fácil comprimir archivos o fólderes. Basta abrir el Explorador de Windows y hacer clic sobre el archivo o fólder con el botón de-recho del ratón. Aparecerán las siguientes opciones.

Si se hace clic en Compress to, el fólder se comprimirá con el nombre demostraciones.zip que será más fácil de manipular que el fólder original y podrá ser adjuntado a un mensaje.



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Descomprimir archivos comprimidos que se reciben adjuntos a un correo

La descompresión de archivos comprimidos se hace haciendo clic dos veces sobre el ar-chivo. Aparecerá la ventana de abajo. Al hacer clic sobre Extract se le pedirá información acerca de donde quiere descomprimir el archivo o fólder comprimidos.

Al hacer clic en Extract el archivo o fólder se descomprimirá en el fólder escogido.


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¿Qué es una página de Internet?

Una página de Internet, o página www, pue-de incluir tres tipos de información: texto, gráficos e hipertexto. Un hipertexto es texto con palabras, imágenes o íconos resalta-dos que el usuario puede activar para car-gar otra página www. La diferencia entre un documento hipertexto y un documento nor-mal consiste en que el hipertexto contiene, además de la información, una serie de en-laces o conexiones con otros documentos relacionados, de manera que el lector pue-de pasar de un tema a otro y volver al do-cumento original en el momento en que le interese.

Los documentos de hipertexto reflejan nuestra forma de trabajar con documentos o libros. Hojeamos el índice, encontramos elementos que nos interesan, vamos a las páginas donde se desarrollan, si no era lo que esperábamos encontrar, volvemos al índice y repetimos el proceso. Un docu-mento hipertexto incluye enlaces a otros documentos donde se desarrollan con mas detalle, conceptos, ideas, noticias que se apuntan en el documento.

La información documental se codifica uti-lizando el estándar de marca de documen-tos SGML. Los documentos se pueden producir por medio de procesadores de texto como Microsoft Word que se tradu-cen automáticamente a HTML (Hyper-Text Markup Languaje), el lenguaje de las pági-nas www.

HTML es un lenguaje simple utilizado para crear documentos de hipertexto para www. HTML no permite definir de forma estricta

la apariencia de una página, aunque una utilización algo desviada hace que se utili-ce en ocasiones como un lenguaje de pre-sentación. Además, la presentación de la página es muy dependiente del programa navegador utilizado: el mismo documento no produce necesariamente el mismo re-sultado en la pantalla con cualquier nave-gador. Una de las claves del éxito de www, aparte de lo atractivo de su presentación, es sin duda su organización y coherencia. Todos los documentos www comparten un mismo aspecto y una única interfaz, lo que facilita enormemente su manejo por parte de cual-quier persona. Esto es posible porque el lenguaje HTML, en que están escritos los documentos, no sólo permite establecer hi-perenlaces entre diferentes documentos, sino que es un “lenguaje de descripción de página” independiente de la plataforma en que se utilice. Es decir un documento HTML contiene toda la información nece-saria sobre su aspecto y su interacción con el usuario, y es luego el navegador que uti-licemos el responsable de asegurar que el documento tenga un aspecto coherente, independientemente del tipo de estación de trabajo desde donde estemos efectuan-do la consulta.

Por tanto, HTML es un lenguaje muy sen-cillo que nos permite preparar documentos Web insertando en el texto de los mismos una serie de marcas (tags) que controlan los diferentes aspectos de la presentación y comportamiento de sus elementos.




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Visualizadores de las páginas de Internet

Para poder ver en la pantalla del compu-tador la información de una página de In-ternet se requiere de un visualizador. Éste es un programa que interpreta el lenguaje HTML en el que está escrita la página y tra-duce en la pantalla la información en forma de texto e imágenes. Hay una diversidad

de visualizadores que desempeñan esta tarea. Entre los más conocidos se encuen-tran Internet Explorer y Netscape Naviga-tor. Estos programas servirán a su vez para realizar las conexiones a Internet y mostrar en la pantalla del computador la informa-ción a la que se tenga acceso. La presenta-ción de Internet Explorer, por ejemplo, es:

En el espacio en blanco que aparece al frente de Address se escribe la dirección (URL) de la página que se quiere ver.

Navegación por Internet: El uso de los enlaces.

Navegar por Internet significa estar en un ambiente gráfico que permite al usuario ubicar, traer información y acceder a los Servicios Internet que se encuentran distri-buidos en Servidores de todo el mundo, a través de documentos de hipertexto. Gráfi-camente podemos ver esta forma de bús-queda como una “tela de araña” que nos lleva “navegando” en busca de la informa-ción o la dirección solicitada.

Un navegador (visualizador) es una aplica-ción que permite moverse en el ambiente de hipertexto y acceder a distintas “direc-ciones” de Internet, facilitando la obtención

de información y/o el acceso a los servicios de Internet. Estas direcciones son URLs (Universal Resource Locator). Un ejemplo de URL es:

http://matecascara.utp.edu.co/matematicas

Se puede obtener información en forma di-recta sabiendo la dirección específica de la página que se desea ver, escribiendo dicha dirección en la ventana Dirección y luego presionando la tecla Enter. O bien, hacien-do click en la opción Archivo del menú y luego Abrir: aparecerá una nueva ventana donde debe escribir la dirección y hacer click en Aceptar.

Para buscar información de un tema espe-cífico cuando no se tiene la dirección, se pueden utilizar distintos motores de bús-queda (Ver Motores de Búsqueda). Estos motores de búsqueda contienen campos


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en los que se ingresa “el texto clave” que se quiere buscar y se obtiene como resul-tado una página que contiene sitios con in-formación del tipo buscado. Presionando el botón del ratón con el cursor sobre los textos resaltados, “saltará” a la página don-de se encuentra lo seleccionado. Leyen-do, buscando y guardando información, el usuario “salta” (de una forma transparente para él) entre diferentes documentos que pueden estar almacenados en máquinas distintas (distribución de la información). Una vez encontrada la información, si inte-resa se podría guardar el enlace o guardar el documento y/o imprimirlo.

Estos objetivos se consiguen mezclando los conceptos de hipertexto/hipermedia, una búsqueda indexada y una serie de di-ferentes protocolos de red. La organización de la información contenida en el conjunto de los servidores www, se realiza median-te documentos, en los cuales existen pala-bras resaltadas que pueden apuntar tanto a otras partes del mismo documento, como a otros documentos. Estos documentos pue-den estar físicamente en el mismo compu-tador (enlace local) o en un computador remoto (enlace remoto). Otra parte de la organización del espacio www la cubren los índices. Los índices están implemen-tados como documentos especiales que pueden ser consultados por palabras clave en vez de ser leídos. La consulta empieza desde una pagina principal (el documento más general) y a partir de ahí podemos ir moviéndonos por el entrecruzado.


Motores de búsqueda de información

Los motores de búsqueda son los sitios más frecuentados y utilizados en el www. En estos se guarda información de miles de millones de sitios, y sus bases de datos permiten la búsqueda rápida de informa-ción. Existen varios motores de búsqueda y cada vez implementan mejores progra-mas para más precisión en las búsquedas. Gracias al avance tecnológico, cada día encontramos más motores de búsqueda o directorios de sitios web regionales cu-briendo muchas áreas hispanas que nos facilitan encontrar información.

Estos son algunos motores de búsqueda:

• Yahoo! Esta estructurado por categorías y secciones; es de los más utilizados.

• Yahoo! en Español El mejor directorio de páginas web en español.

• Yahoo! España La mejor opción para buscar información en España.

• Altavista El motor de búsqueda más utilizado en Internet. Un excelente portal que reúne muchos servicios, opciones de búsqueda y un índice muy amplio de sitios web.

• Google Este motor de búsqueda no es de los más viejos en el web, pero sus ex-celentes resultados y opciones de bús-queda, destacando su clasificación por idiomas y su cache de páginas viejas lo han ido colocando entre los mejores del momento.

• Lycos Otro gran portal con muchos re-cursos y un interesante sistema de bús-queda.

• Excite Un motor de búsqueda persona-lizado para recibir información de todo tipo.



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• Webcrawler Otra opción de búsqueda con diferentes servicios y que es parte de Excite.

Un motor búsqueda provee una interfaz entre el usuario y la mencionada base de datos. La interfaz presenta al usuario un

lugar para escribir una cadena de búsque-da que puede ser una palabra, una frase, una fecha, etc. El motor de búsqueda eje-cuta la cadena de búsqueda y devuelve una lista de páginas que coinciden con el criterio, y muestra los resultados al usua-rio.

Figura 1

Muchos motores de búsqueda utilizan formularios a rellenar como interfaz y so-portan búsquedas complejas. Otros tam-bién incluyen instrucciones y ayuda para buscar en la base de datos. En la Figu-ra 1 hay un ejemplo de búsqueda en el motor de búsqueda Google. Dado que

los motores de búsqueda pueden utilizar hipertexto, los usuarios son capaces de conectarse directamente con el recurso listado en la pantalla de resultados. Por ejemplo, en la Figura 2 aparecen algunos de los resultados de la búsqueda anterior “Cancer”


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Figura 2

¿Cómo es que los recursos aparecen en una base de datos de un motor de bús-queda? La mayoría de los motores de bús-queda utilizan herramientas automáticas o programas para recolectar recursos. Estas herramientas, se las conoce como worms, spiders, crawlers, y robots, buscan miles de websites en el mundo, recolectan informa-ción, y la almacenan en la base de datos.Cada motor de búsqueda provee su propia base de datos, interfaz, y características especiales. Una base de datos de un motor de búsqueda no puede contener toda la in-formación que se encuentra en la www, es por eso que los resultados de la búsqueda no incluirá todos los recursos web dispo-

nibles. Además, dado que cada motor de búsqueda recolecta recursos distintamen-te, la misma búsqueda en distintos motores producirá diferentes resultados.

Tomado de:http://www.maestrosdelweb.com/referencia/enla-ces/buscadores.asphttp://www.brujula.net/cursos/web_search_engine/sld08.htm

La página del ProyectoLa dirección de la página del Proyecto de Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currículo de Matemáticas eshttp://matecascara.utp.edu.co/matematicas



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Esta página contiene toda la información acerca del Proyecto: la historia de su crea-ción, en qué consiste, quienes participan, información adicional útil para los partici-pantes, etc. Entre a la página y haga una exploración libre activando los enlaces de la misma para conocer la página.

Los foros de discusión del proyectoLos miembros del proyecto pueden parti-cipar en los foros de discusión a los que se puede entrar escribiendo el nombre de usuario y la contraseña. Al dar estos datos al computador aparecerá la siguiente pan-talla:


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A mano izquierda encontrará el botón de enlace a los foros. Haciendo clic en Foros en-trará a los foros de discusión del proyecto.

En la ventana principal encontrará los títulos de los aportes que han hecho los participan-tes a la discusión. Al hacer clic en cualquiera de ellos aparecerá el texto del aporte.



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Después de leer el aporte se puede intervenir en la discusión escribiendo en la ventana que aparece al del texto.

Cuando escriba su aporte en la ventana que dice Mensaje, éste aparecerá publicado jun-to con los demás una vez haga clic en Enviar. Su mensaje podrá ser leído y contestado por cualquiera de los que tengan acceso a los foros.


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Chats

Internet Relay Chat (Charla Interactiva In-ternet), es el protocolo mundial para con-versaciones simultáneas, que permite comunicarse por escrito entre sí a través del computador y con varias personas en tiempo real. Son pláticas en línea con gen-te de todo el mundo, acerca de diferentes temas.

Hay dos sistemas principales, dalnet y un-dernet, que conectan a una gran cantidad de servidores alrededor del mundo, a través de los cuales se tiene acceso a los canales de IRC. Los canales funcionan como una banda civil, utilizando como analogía a la radio, donde todo mundo opina y se puede comunicar con todos los demás usuarios. Las nuevas versiones del software para uti-lizar el IRC, permiten hacer pláticas priva-das con otros usuarios y transmitir y recibir archivos en línea. Para poder realizar IRC se deberá instalar en el computador del usuario el programa apropiado, además de disponer de la dirección de un computador madre que lo acepte.

Utilizando IRC uno elige el modo de la co-municación que desea emplear, sin impor-tar la aplicación (sea charla, voz, tarjeta del mensaje, la comunicación de los datos, la transferencia de archivo o juegos) ICQ conseguirá su mensaje entero y en tiem-po real. Este sistema utiliza una variedad de aplicaciones Internet populares y sirve como plataforma universal de la cual uno pueda lanzar a cualquier par a la aplicación del par (tal como Microsoft NetMeeting o Netscape CoolTalk).

Puede también ser utilizado en un modo del múltiple-utilizador, gracias a lo cual un determinado grupo puede conducir confe-rencias apenas ‘ cuelgue hacia fuera ‘ en línea. El programa se ejecuta en el fondo, tomando memoria mínima y los recursos netos. Mientras que usted trabaja con otras aplicaciones, ICQ le alerta cuando hay una conexión, permitiendo que uno trabaje de forma eficiente mientras que paralelamente mantiene una amplia gama de funciones en Internet. Entre las funciones disponibles se encuentran: charla, mensaje, E-mail, y transferencia del URL y de archivos.


Notas adicionales sobre Internet

El aspecto más importante del esfuerzo de creación de una red por la NSF (Natio-nal Science Foundation) es que permitió a cualquiera acceder a la red. Hasta ese momento, el acceso a Internet sólo era po-sible para investigadores informáticos, em-pleados del gobierno y similares. La NSF promovió el acceso educacional universal creando conexiones en los campus sólo si éstos tenían planeado a su vez extender el uso de Internet a su alrededor, de tal modo que cualquier estudiante universitario po-día ser un usuario de Internet.

El enorme crecimiento de Internet se debe en parte a que es una red basada en fon-dos gubernamentales de cada país que for-ma parte de Internet lo que proporciona un servicio prácticamente gratuito. A principios de 1994 comenzó a darse un crecimiento explosivo de las compañías con propósitos comerciales en Internet, dando así origen a una nueva etapa en el desarrollo de la red.



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La demanda sigue creciendo. Ahora que la mayoría de facultades y escuelas universi-tarias están conectadas, se está intentando que se conecten las escuelas de enseñan-za primaria y secundaria. Algunos maes-tros saben qué ventajas tiene la Internet, y tratan de conectar a las empresas en las que trabajan. Por ello, el crecimiento se ha acelerado hasta niveles insospechados en los últimos años.

Por otro lado, la constitución de redes co-mienza a incluir aplicaciones comerciales. De hecho, el grueso del sistema hoy en día está formado por accesos privados en ins-tituciones de investigación y educativas, empresas y en organizaciones guberna-mentales a lo largo y ancho del planeta.

Aplicaciones de Internet en las empresas

Internet es una extraordinaria herramienta que va a cambiar el curso del mundo de los negocios. Algunos dicen que: “la empresa que no esté en Internet en cinco años es-tará fuera de negocio”. Las facilidades que da esta herramienta informativa dentro de esta área son muchas.

Creación de nuevos clientes

Encontrar nuevos clientes no es siempre tarea fácil. Incluye cuidadosos análisis de mercado, marketing, etc... Internet está constituida por millones de usuarios cuya formación es múltiple. Se pueden encontrar nuevos clientes de este grupo gigantesco siempre y cuando se suponga la presencia de uno mismo en la red.

Análisis de productos

Muchos usuarios hacen análisis de pro-ductos, comparaciones y estudios técnicos sobre los mismos por medio de Internet. A menudo, se puede encontrar por lo menos una persona que esté familiarizada con el producto en el que uno está interesado. Se puede conseguir los manuales de ese pro-ducto ahorrando tiempo y dinero.

Análisis de mercado

Debido al gran número de personas conec-tadas a Internet, resulta muy fácil y venta-joso realizar un análisis de mercado para un nuevo producto o idea de servicio. Con poco esfuerzo este nuevo producto o idea llega a un gran número de gente. Una vez hecho este análisis, se puede examinar el nivel de aceptación que tienen los usuarios que hayan recibido el producto. Este es el motivo por el cual es cada vez mayor el nú-mero de empresas que basan sus investi-gaciones en los recursos que encuentran en Internet.

Marketing-publicidad

Son muchas las razones por las cuales po-demos considerar a Internet como una po-derosa herramienta de marketing.

La comercialización y publicidad de un de-terminado producto o servicio se pueden hacer a una misma vez al coste de una fracción de lo que serían los métodos tra-dicionales.

Otra ventaja es que, mientras la aparición publicitaria en los medios de difusión, como


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la televisión, ha quedado limitada a grandes empresas que pueden cubrir los gastos, en Internet, cualquier empresa puede apare-cer profesionalmente al igual que lo hacen las grandes empresas como IBM, MICRO-SOFT, etc., y lo que es más sorprendente, por unos precios que incluso cualquier par-ticular se puede permitir.

Lo mejor de todo es que una empresa o particular puede comercializar sus produc-tos y servicios a través de Internet y recibir un beneficio instantáneo por sus esfuer-zos de comercialización, cosa que no ha-bía sido antes posible, especialmente a tan bajo costo.

Los expertos han señalado que el éxito o el fracaso de las empresas en el futuro de-penderá de la cantidad de información que el futuro cliente tenga sobre ellos, y la infor-mación, claro está, depende de la publici-dad e Internet.

El sentido de la publicidad está cambiando desde que existe Internet, ya que en Inter-net, la publicidad que uno ve y visita, es la que él mismo está interesado.

Una vez interesado, uno mismo puede, la mayoría de las veces, realizar sus com-pras, pedidos, o informar instantáneamente al ofertante de sus intenciones de compra, con o sin un costo muy bajo.

Consejos y ayuda de expertos

Hay un gran número de excelentes exper-tos en Internet que hacen presencia de manera ampliamente conocida y que son fácilmente accesibles. Muchas veces se

puede conseguir un consejo o ayuda de uno de estos expertos de forma gratuita, antes que tener que pagar una fuerte suma de dinero a servicios de consultoría de em-presas, revistas o periódicos.

Ofertas y demandas de empleo

Internet tiene largas listas de ofertas y de-mandas de empleo que se actualizan en los grupos de noticias (Usenet Groups) constantemente. Estas ofertas y/o deman-das informan de forma actualizada la dis-ponibilidad de cada nueva profesión.

Acceso rápido a la información

Acceder a la información sobre Internet es mucho más rápido en muchas ocasiones que las transmisiones vía fax o servicios de mensajería. Se puede acceder a la in-formación en cualquier país del mundo y hacer conexiones interactivas con compu-tadores remotos situados en cualquier lu-gar del mundo.

Diseminación de la información a gran escala

Pueden colocarse documentos en compu-tadores de Internet y hacerlos instantánea-mente accesibles a millones de usuarios. Los documentos hipertexto proveen un método efectivo para presentar la informa-ción a suscriptores o al público en gene-ral. La creación de documentos Web y el registro de estos documentos en servido-res de hipertexto o Web (hay muchísimos en Internet), mejora la disponibilidad de los documentos a un gran número de clientes, en lugar de tener que hacer esta operación



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por medio de una circular a varios periódi-cos.

Comunicaciones rápidas

El correo electrónico se ha consolidado como la forma mas efectiva de comunica-ción en Internet y puede ser preferible a las comunicaciones telefónicas en muchí-simos casos:

- no interrumpe su trabajo (el teléfono sí)- remitente y destinatario trabajan inde-

pendientemente del horario (el teléfono no)

- la información se puede reprocesar (en el teléfono las palabras se las lleva el viento en muchas ocasiones)

Coste efectivo en la transferencia de documentos

La transferencia de documentos a través de Internet tarda poco tiempo, con lo que se ahorra dinero que de otra manera se ten-dría que gastar en correo normal o servicio de mensajería, los cuales pueden sufrir re-trasos, pérdidas o daños. Si un documen-to que se intenta transferir en Internet se pierde o no llega a su destino, siempre se puede reenviarlo.

Comunicaciones pares

Investigadores y ejecutivos de empresas han apuntado el hecho de que muchas de sus comunicaciones en Internet están en la misma línea entre sus campos de in-vestigación y sus campos de trabajo. Las comunicaciones pares permiten a la gente compartir sus ideas, problemas y solucio-

nes entre ellos mismos. A menudo la gen-te encuentra que otros están en su mismo campo profesional y que ya se han enfren-tado a los mismos problemas, y esta dis-puesta a ofrecer consejos y soluciones.

Nuevas oportunidades de negocio

Muchas personas emprendedoras conti-nuamente buscan nuevas e innovadoras ideas que sean comercialmente viables. Los usuarios de Internet están constante-mente ayudando a dar soluciones a estas ideas no sólo por los motivos de tradición investigadora de la Internet, sino por la at-mósfera de cooperación que envuelve a esta red.

Ventajas que proporciona Internet

Internet ofrece, entre otras, las siguientes ventajas:

- Permanencia en contacto con amigos, parientes y colegas alrededor del mun-do, a una fracción del costo de una lla-mada telefónica o correo aéreo.

- Discusión sobre cualquier tema con per-sonas de todos los países, culturas y uti-lizando el idioma que desee.

- Exploración global de los millares de bi-bliotecas y bases de datos de informa-ción existentes.

- Acceso a millares de documentos, dia-rios, reservas y programas.

- Servicio de Noticias de cualquier tipo y de todo el mundo.

- Juegos en vivo y en tiempo real; permite jugar con docenas de personas de inme-diato.


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Conectarse a la Red hoy toma, en un sen-tido, algo de aventura. Se necesita la pre-disposición para aprender y una capacidad de tomar un hábito profundo cada vez su-perior en poco tiempo. Visitar la Red, hoy día, es como viajar al extranjero.

La Red realmente tiene una tradición rica de ayudar a recién llegados. Hasta muy

recientemente, había pocas guías escritas para la gente ordinaria, y la Red creció en su mayor parte mediante una tradición oral, en la cual los expertos ayudaban a los re-cién iniciados.



BIBLIOGRAFIA

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