taller induccion y binomio
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7/23/2019 Taller Induccion y Binomio
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Universidad de La Frontera
Facultad de Ingenierıa Ciencias y Administracion
Departamento de Matematica y Estadıstica
Solucion Taller N◦2Algebra (IME006)
Profesores: M. T. Alcalde, R. Benavides, C. Burgueno,M. Carrillo, F. Salazar, A. Sepulveda.
29 de Abril 2008.
1. Demuestre por induccion que 22n+1 + 1 es divisible por 3, ∀n ∈ N.
Solucion.
Primer paso. Verificamos que la aseveracion se valida para n = 1. En efecto, si n = 1tenemos 22·1+1 + 1 = 9 que es divisible por 3.Segundo paso. Suponemos valida la afirmacion para n, es decir, tenemos la hipotesis deinduccion
22n+1 + 1 = 3a,
para cierto a ∈ Z.Tercer paso. Demostramos que la aseveracion se cumple para n+1, es decir, 22(n+1)+1+1 =22n+3 + 1 = 3b, para algun b ∈ Z. En efecto,
22n+3 + 1 = 22 · 22n+1 + 1
= 4 · 22n+1 + 1= (3 + 1) · 22n+1 + 1
= 3 · 22n+1 + 22n+1 + 1,
= 3 · 22n+1 + 3a,
= 3
22n+1 + a,
= 3b.
En el paso de la cuarta a la quinta lınea hemos utilizado la hipotesis de induccion y en laultima hemos llamado b = 22n+1+a ∈ Z. De acuerdo a los tres pasos descritos, concluimosque la afirmacion es verdadera para tono n ∈ N.
2. Encuentre el termino independiente de x y dejelo expresado como producto de numerosprimos, en el desarrollo del binomio:
2x2−
3
4x3
20
.
1
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Solucion.
El termino general del binomio es
20k
2x2
20−k −3 · 2−2 · x−3
k .
Para que este sea independiente de x, se debe cumplir que el exponente de x sea cero, esdecir,
x220−k
· x−3k = x0,
de donde, se obtenemos k = 8. Con esto, el termino pedido es
20
8
· 220−8
·−3 · 2−2
8=
20!
8! · 12! · 2−4
· 38,
que una vez simplificado y expresado como producto de numeros primos queda como
2−3· 39
· 5 · 13 · 17 · 19.
2