taller graf curvas

Centro de Investigación en Matemáticas Aplicadas.

Universidad Autónoma de Coahuila

Taller de Graficación de Curvas con la Hoja de Cálculo

Dr. José Luis Díaz Gómez

En este documento se presentan ejemplos del uso de Excel en graficación de curvas. Se trata de utilizar pocos recursos de programación, tratando de abrir el camino a una mayor profundización y diversificación por parte del profesor.

Universidad de Sonora

Graficación de Curvas con la Hoja de Cálculo

Contenido 1. Introducción. .................................................................................................................. 3

2. Generando sucesiones de valores de X. ........................................................................ 3

2.1. El método de auto llenado de Excel. ..................................................................... 3

2.2. El método de copiar la fórmula. ............................................................................. 4

2.3. Generando sucesiones con valores extremos variables. ......................................... 4

2.4. Generando sucesiones con extremos y divisiones variables. ................................. 5

3. Dibujando gráficas con Excel. ....................................................................................... 5

3.1. Dibujando una curva sencilla. ................................................................................ 5

3.2. Graficación de dos funciones en el mismo sistema de coordenadas. ..................... 6

4. Graficando curvas paramétricas con Excel. .................................................................. 7

4.1. Graficas de rectas a partir de sus ecuaciones paramétricas. ................................... 7

4.2. Graficas de un círculo a partir de sus ecuaciones paramétricas. ............................ 8

5. Graficas de Polares. ....................................................................................................... 9

5.1. Grafica de la espiral de Arquímedes. Forma general r(θ) = a + bθ. ...................... 9

6. Graficas de superficies. ............................................................................................... 11

7. Simulación de movimiento. ......................................................................................... 13

7.1. Significado geométrico de los parámetros de la ecuación de la parábola. ........... 13

8. Graficas de funciones trigonométricas. La función seno. ........................................... 15

9. Pendiente de la secante a una curva. ........................................................................... 18

10. Bibliografía. ............................................................................................................... 21


1. Introducción. La representación matemática de una función describe con precisión la manera en que las

variables están relacionadas en una situación o un fenómeno particular. Resulta muy útil aislar

aspectos esenciales de lo que estudiamos para después predecir su comportamiento, resolver un

problema particular o analizar situaciones análogas. El bosquejar curvas es una de las mejores

maneras de visualizar e investigar el comportamiento de funciones y de ecuaciones, ya que las

gráficas contienen mucha más información que las expresiones algebraicas. La hoja electrónica

Excel es una excelente herramienta para los profesores y estudiantes: hace fácil construir

ejemplos ilustrativos, animaciones, experimentar con ellos y presentar resultados en forma

gráfica.

En la actualidad pueden adquirirse programas de computadora que grafican funciones, pero

muchos de ellos no tienen ni remotamente la amplia difusión que tiene el Excel, que se encuentra

instalado de forma casi generalizada en las computadoras personales y en los laboratorios de

computadoras de la mayoría de instituciones educativas, por lo que se puede hacer uso de él, sin

necesidad de adquirir e instalar software adicional. Esta utilización puede ser desde muy sencilla,

recurriendo a pocos recursos de programación, hasta mucho más sofisticada, en cuanto al ingreso

de parámetros y formatos de salida y que requiere de más recursos de programación.

En este taller presentamos ejemplos del uso de Excel en graficación de funciones. Se trata

de utilizar pocos recursos de programación, tratando de abrir el camino a una mayor

profundización y diversificación por parte del profesor.

2. Generando sucesiones de valores de X. En esta sección discutimos dos métodos para generar sucesiones de valores de x con

propósitos de graficar. El primero es el método de autollenado de

Excel y el segundo es un método de copiado de la fórmula. En este

documento trabajaremos con Excel 2007.

2.1. El método de auto llenado de Excel. Supongamos que queremos generar valores entre ‐ 5 y 5 con un

incremento de 0.5 Entonces el procedimiento es como sigue:

a) Introducir en la celda A1 la etiqueta Variable X.

b) En la celda A2 introducir el valor (- 5).

c) En la celda A3 introducir el valor (- 4.5).

d) Seleccionar el rango A2:A3.

e) Señalar con el cursor la esquina inferior derecha hasta encontrar el

puntero +. Figura 1.

f) Hacer clic con el botón izquierdo del ratón y arrastre hacia abajo. Al

arrastrar el mouse, verá un rectángulo a la izquierda que contiene el

valor actual generado por Excel. Parar cuando alcance el valor

deseado (5 en este caso). Cuando suelte el botón del ratón la

secuencia deseada será creada, ver figura 2.

Trabajar con las direcciones de las celdas como: A5, C38, etc.,

algunas veces puede ser confuso, afortunadamente Excel permite asignar nombres descriptivos a

celdas y rangos. Por ejemplo, se le puede asignar a una celda el nombre de velocidad, o de

volumen, o asignarle a un rango por ejemplo, al rango de celdas A2:A22 el nombre de dominio.


Para crear un nombre de un rango, seleccione la celda

o rango al que desea asignar nombre. Después, seleccione

Formulas ➪Asignar un nombre a un rango ➪ Definir

nombre. Excel despliega la caja de diálogo de la figura 3.

Escriba el nombre en la caja de texto, indique el ámbito de

uso y si lo desea un comentario y para finalizar Aceptar.

Los nombres solo deben contener letras y números y debe

de iniciar con una letra.

2.2. El método de copiar la fórmula. Como en el método anterior, supongamos que

queremos generar valores entre -5 y 5 con un paso de progresivo de 0.5. El procedimiento es

como sigue.

a) En la celda A2 introducir el primer valor (- 5).

b) En A3 introducir la fórmula =A2+0.5. Las formulas en Excel se introducen con el signo de

igual “=”.

c) Seleccionar A3, colocar el cursor en A3 y apuntar en la esquina inferior derecha hasta

encontrar el puntero + y arrastran hacia abajo hasta la celda A22 (observe que

5 ( 5)2 22

0.5

. Esto creará la sucesión deseada.

2.3. Generando sucesiones con valores extremos variables. El segundo método ofrece mucho más flexibilidad. Para ilustrar esto,

supongamos que queremos generar una secuencia de 20 valores en el

intervalo a x b y deseamos que los valores de a y de b sean variables.

Para hacer esto tenemos que hacer lo siguiente: (véase el cuadro de la figura

4)

a) Etiquetar las celdas A1, B1 y C1 como a, b y h. Donde h es el paso

progresivo.

b) Nombrar las celdas A2, B2, y C2 como a, b, y h, como se mencionó en la sección 1.1, o bien,

seleccione la celda que va a renombrar después haga clic en el Cuadro de nombres, (espacio

sobre la columna A) y cambie el nombre, por ejemplo A2 por a, después dé Enter, esto

asigna a la celda A2 el nombre de a. Vea la figura 4.

c) En A2 y B2 incorporar los valores iniciales de a =-5 y de b = 5. En A4 digite la etiqueta

“Variable X” y en C2 incorporar la fórmula = (b-a) /20 para

fijar el valor de h.

d) En A5 introducir la fórmula = a y en A6 introducir la fórmula

=A5+h

e) Seleccionar A6, colocar el cursor en la esquina inferior derecha

y arrastrar hacia abajo hasta la celda A25. Esto genera la

sucesión de 20 valores. Ver figura 5.

f) Cambie los valores de a y b y observe que la sucesión de

valores cambia automáticamente.


2.4. Generando sucesiones con extremos y divisiones variables. El caso más general donde los extremos a y b así como el número de divisiones n es

variable puede ser manejado como sigue:

a) Etiquetar las celdas A1, B1, C1, y D1como a, b, n y h, y nombrar las celdas A2, B2, C2 y D2

como a, b, n y h. Lo que hacemos es partir el intervalo a x b en n+1 puntos xi, i = 0, 1, 2,

…, n. Si los puntos son equidistantes, la distancia de separación es ( ) /h a b n , es decir

b) En A2, B2 y C2 introducir los valores de a, de b y de n. En D2 introducir la fórmula = (b-a)

/n para fijar el valor de h.

c) Los valores de x los mostraremos en la columna A , iniciando en la celda A5, para hacerlo

debemos de arrastrar el mouse hacia abajo de la columna A hasta mostrar el último valor del

intervalo b. Esto lo tendríamos que hacer cada vez que cambiemos los valores de a, b y n.

Podemos evitarnos este trabajo si seleccionamos en una primera vez un numero grande de

celdas de la columna A, digamos 500. Pero esto haría que se mostraran valores mayores que

el valor final del intervalo b. Para resolver este problema utilizaremos una prueba lógica del

tipo SI(prueba-lógica, valor_si_verdadero, valor_si_falso) que comprueba si se cumple una

condición y devuelve un valor si se evalúa como verdadero y otro valor si se evalúa como

falso.

d) La idea es la siguiente, si una celda está vacía que se quede vacía, si no lo está verificar si el

valor que contiene la celda es mayor que b, si el valor es mayor que b, que vacié la celda, si

no lo es, que calcule el siguiente valor y lo muestre en la siguiente celda.

e) En A4 introducir la etiqueta “Valor de X”, en A5 introducir la fórmula = a, y en A6

introducir la fórmula =SI(A5="","",SI(A5+h>b,"",A5+h)). Observe que la instrucción SI

interna genera subdivisiones mientras el valor calculado sea menor que b, y coloca una celda

vacía cuando el valor calculado sea mayor que b (las comillas solas indican celda vacía).

Mientras que el Si externo se utiliza para repetir las celdas vacías después de b.)

f) Una vez copiada la fórmula en A6, arrastre hacia abajo n celdas, para obtener las n

subdivisiones (500 celdas es una buena cantidad).

g) Intente con varios valores de a, b, y n, observará que la columna se llena automáticamente

con valores dentro del intervalo a x b .

3. Dibujando gráficas con Excel. En esta sección mostraremos como bosquejar diferentes tipos de graficas con Excel

tomando en consideración nuestro trabajo sobre los intervalos.

3.1. Dibujando una curva sencilla. Vamos a ilustrar una de las formas en que se puede graficar en una

hoja electrónica Excel una función como2( ) 4f x x x , con x variando

en el intervalo [a, b]. Podemos hacerlo de tal forma que se puedan cambiar

los límites inferior, superior y el número de particiones de este intervalo y

que la gráfica se actualice inmediatamente.

a) En las celdas A1, B1, C1 y D1 introducimos las etiquetas a, b, n, y h


respectivamente y en la celda A4 la etiqueta “X”. Nombre toda la columna A como x, y las

celdas A2, B2, C2, D2, como a, b, n y h recuerde la

sección 1.1.

b) Seguimos el mismo procedimiento de la sección 1.4

para generar valores en el intervalo -10 ≤ x ≤ 14, con n=

20 y extendiendo la columna A hasta 100 celdas.

c) En B4 escriba la etiqueta “f(x) = 4*x – x^2”. Para

obtener el mismo número de valores de f(x) en la

columna B que los de x en la columna A, utilizaremos

la condicional SI (x ="","", 4*x-x^2) en la celda B5,

esto le dice a Excel que si la celda n de la columna A esta vacía, deje la celda n de B vacía, y

si no, que calcule el siguiente valor de f(x) y lo imprima en la celda n de B. Seleccione B5, y

coloque el cursor en la esquina inferior derecha y haga doble clic en el controlador de relleno

+. Esto automáticamente repetirá la fórmula para el resto de los valores de x.

d) Para graficar la función realice los siguientes pasos: Seleccione el rango de celdas A5-B25,

ahora haga clic en la opción del menú Insertar, allí seleccione la opción Dispersión, haga clic

y seleccione el subtipo de grafica Dispersión con líneas rectas. Es interesante probar otras

combinaciones y ver los resultados pulsando los botones Deshacer y Rehacer. Ver las figuras

6 y 7.

e) Haciendo doble clic en varias partes de la grafica, aparecen cajas de dialogo que permiten

cambiar ciertas características de la grafica como el color y ancho de la grafica, el color y

ancho de los ejes.

3.2. Graficación de dos funciones en el mismo sistema de coordenadas. Es posible graficar dos funciones en la misma

hoja de cálculo, por ejemplo para mostrar cómo afecta

un parámetro a una función. Mostraremos como

graficar las funciones de f(x)=|x| y de f(x)=|x| +5 en el

mismo sistema de coordenadas. Utilizaremos la

estructura de la grafica anterior realizando los

siguientes cambios:

a) Cambiar el intervalo de graficación a -10 ≤ x ≤ 10,

cambiar la etiqueta de B4 por f(x)=|x| y agregar la

etiqueta f(x)=|x| +5 a la celda C5.

b) Cambiar las celda B5 por la formula =SI(x="","",ABS(x)) , una vez realizado esto hacer

doble clic sobre el puntero + de la celda B5 para generar la columna de datos

c) Agregar a la celda C5 la formula =SI(x="","",ABS(x)+5) y hacer doble clic sobre el puntero

+, para generar los datos.

d) Borre la grafica anterior, si

no lo ha hecho y ahora

seleccione las tres

columnas de datos, es decir

el rango A5:C25 y genere

la nueva grafica siguiendo

el procedimiento de la

sección 2.1. Insertar/


Dispersión,/ Dispersión con líneas rectas.

e) Inténtelo con otras funciones, lo único que tiene que cambiar es la función en la formula

=SI(x="","",ABS(x)).

La propiedad más interesante de una hoja de cálculo (HC) es sin duda su carácter manipulativo.

El usuario puede manipular, investigar y tratar de modificar la hoja. Pero solo son unas pocas

celdas a las que el que manipula la HC, debe de tener acceso. La mayoría, aún estando a la vista,

no deben ser modificadas para no alterar la eficacia del programa. Podemos salvaguardar la hoja

de cambios eventuales que el usuario pueda introducir sin pensarlo estableciendo que sea Sólo de

lectura. Más elegante resulta proteger directamente las celdas que deseamos permanezcan

inalterables. Supongamos que en la HC anterior solo

permitiremos manipular las celdas A1 y B1 de los

valores extremos del intervalo, el valor de n en la celda

C1, y todo lo demás bloqueado. Esto se hace de la

siguiente manera:

a) Seleccionar las celdas que deseamos permanezcan

modificables. Primero A1, B1 y C1 por estar juntas.

Hacer clic en el botón secundario del mouse y en el

menú emergente seleccionar Formato de

celdas/Listas personalizadas/Proteger/Desactivar

bloqueada/Aceptar. Ver la figura 9.

b) Después siga la secuencia Revisar/Proteger

hoja/Proteger hoja/Aceptar, para proteger la hoja,

aqui puede dar una contraseña o simplemente dar

Aceptar. Ver figura 10.

4. Graficando curvas paramétricas con Excel. Es conocido que algunas curvas soportan mal el cálculo en coordenadas cartesianas o,

simplemente no lo admiten. Es también conocido que escribir una curva en coordenadas

paramétricas supone poner la abscisa y la ordenada en función de un parámetro.

4.1. Graficas de rectas a partir de sus ecuaciones paramétricas. Si conocemos dos puntos de una recta S(x0, y0) y T(x1, y1), entonces los puntos

P(t) = S + t(Q-R) (3.1)

Pertenecen a la recta para cualquier valor de t, y todo punto de ella puede escribirse de esta

forma.

Si escribimos la abscisa y la ordenada de P, obtenemos las ecuaciones paramétricas

0 1 0( ) ( )x t x t x x 0 1 0( ) ( )y t y t y y de la recta.

Si S (2, 3) y T (8, 5) son dos puntos que unen una recta y sustituimos estos puntos en la ecuación

(3.1) se tiene ( ) (2,3) ((8,5) (2,3)) (2,3) (6,2)P t t t y si además escribimos por separado

la abscisa y la ordenada de estos puntos entonces las ecuaciones paramétricas de la recta son:

( ) 2 6x t t ( ) 3 2y t t . Graficaremos el segmento de la recta que pasa por los puntos S y T

a partir de sus ecuaciones paramétricas con Excel, con 0 ≤ t ≤ 1.


a) En las celdas A1, B1, C1 y D1 introducimos las etiquetas a, b, n, y h, y en las celdas A4, B4

y C4, las etiquetas t, 2+6*t, y 3+2*t respectivamente. Nombre toda la columna A como t, y

las celdas A2, B2, C2, D2, como a, b, n y h .

b) Introduzca a = 0, b =1, n = 20 y digite en la celda D2 la formula =(a-b)/n. Luego en A5 digite

la formula = a, en la celda B5 la formula =SI(t="","",2+6*t), y en C5 la formula

=SI(t="","",3+2*t), seleccione cada celda y arrastre el mouse para generar primero t, luego x,

después y.

c) Finalmente seleccione el rango B5:C25 y después Insertar/ Dispersión,/ Dispersión con

líneas rectas, para graficar.

Observe que en el intervalo 0 ≤ t ≤ 1 se grafica el segmento de recta entre S y T. ¿Qué se

grafica si t > 1, y si t<0 ?. ¿Cuál es la ecuación de la recta en coordenadas rectangulares?

4.2. Graficas de un círculo a partir de sus ecuaciones paramétricas. En este caso utilizaremos las ecuaciones:

( ) cosx t h r t y ( )y t k rsent (3.2)

Donde (h, k) son las coordenadas del centro, O del círculo y r es su radio.

Graficaremos el círculo con centro O(5,8) y radio 4. Entonces las ecuaciones son:

( ) 5 4cosx t t y ( ) 8 4y t sent , con 0 ≤ t ≤ 2π

a) Utilizamos la misma estructura del problema anterior y solo hacemos los siguientes

cambios. Digitamos a = 0, b = 2*Pi(), (en Excel el valor de π se introduce con Pi() ). Y en

B4 y C4 escribimos las etiquetas x = 5+4*cos(t) y y=8+4*seno(t). En B5 digitamos la

formula =SI(t="","",5+4*COS(t)) y en C5 la formula =SI(t="","",8+4*SENO(t)).

b) Generamos los valores de t, de x, y de y, y finalmente graficamos. Observa que la

gráfica puede parecer una

elipse, ya que las hojas de

cálculo no ponen los ejes con

una misma escala, por lo que

tienes que modificar la altura

o la anchura de la ventana en

donde se encuentra tu grafica,

para obtener el círculo. Ver la

figura 11.

c) Si deseas graficar otros

círculos basta con modificar

en B5 y C5 el centro y el

radio.

La ecuación de la parábola con vértice (h, k) y su eje paralelo al eje x es 2( ) ( )y k ap x h . Las ecuaciones paramétricas de esta ecuación son:

21( ) ( )

4x t t k h

p , ( )y t t

Ejercicio: Grafique la parábola 2( 3) 4( 6)y x con sus ecuaciones paramétricas.


5. Graficas de Polares. El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual

cada punto o posición del plano se determina por un ángulo y una distancia.

De manera más precisa, todo punto del plano (distinto al

origen) corresponde a un par de coordenadas (r, θ) donde r es la

distancia del punto al origen o polo y θ es el ángulo positivo en

sentido anti horario medido desde el eje polar (equivalente al eje

x del sistema cartesiano) ver figura 12. La distancia se conoce

como la «coordenada radial» mientras que el ángulo es la

«coordenada angular» o «ángulo polar».

Coordenadas polares y coordenadas rectangulares. Dados el polo y el eje polar, se establece

un sistema de coordenadas rectangulares en el cual el eje polar es el eje x positivo y el eje y es

perpendicular al eje x en el polo en el polo (ver figura 4.0) de esta manera, el polo está en el

origen del sistema rectangular. Si un punto P tiene coordenadas rectangulares (x, y) y

coordenadas polares (r, θ), entonces:

x = r cos θ y y = r sen θ

En esta sección se presentan algunas de las gráficas que

se forman usualmente a través de funciones en coordenadas

polares.

Para graficar la curva polar r = f(θ), primero se genera

una columna de valores de θ, después una columna de los

valores de r. Los valores de x y de y se generan utilizando las

expresiones x = r cos θ, y = r senoθ.

5.1. Grafica de la espiral de Arquímedes. Forma general r(θ) = a + bθ.

Un cambio en el parámetro a producirá un giro en la espiral, mientras que b controla la distancia

entre los brazos, la cual es constante para una espiral dada. La espiral de Arquímedes tiene dos

brazos, uno para θ > 0 y otro para θ < 0. Los dos brazos están conectados en el polo. La imagen

especular de un brazo sobre el eje vertical produce el otro brazo. Esta curva es una de las

primeras curvas, después de las secciones cónicas, en ser descritas en tratados matemáticos.

Además es el principal ejemplo de curva que puede representarse de forma más fácil con una

ecuación polar.

Para iniciar graficaremos la forma sencilla es decir r = θ.

a) En las celdas A1, B1, C1, D1 y E1 introducimos

las etiquetas a, a ≤ θ ≤ b, b, n, y h respectivamente

y nombramos las celdas A2, C2, D2 y E2 como a,

b, n y h., ver figura 14.

b) Ahora en A2 digite el valor 0, y en C2 digite la

formula =8*pi(), en Excel el valor de π se

introduce con la formula = pi(), vamos a graficar en el intervalo de 0 ≤ θ ≤ 8π. En la celda D2

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas

http://es.wikipedia.org/wiki/Bidimensional

http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_%28geometr%C3%ADa%29

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo

http://es.wikipedia.org/wiki/Distancia

http://es.wikipedia.org/wiki/Sentido_antihorario

http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen_especular

http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen_especular

http://es.wikipedia.org/wiki/Secci%C3%B3n_c%C3%B3nica


introduzca el valor 200 y en E2 la formula = (b-a)/n.

c) Digite en las celdas A4, B4, C4, D4, las etiquetas θ, r, x,

y. Ahora seleccione toda la columna A y nómbrela como

t, seleccione toda la columna B y nómbrela v.

d) En la celda A5 digite la formula = a, en la celda A6

digite la formula =SI(A5="","",SI(A5+h>b,"",A5+h)),

esta fórmula ya no necesita explicación, después

seleccione A6 y arrastre hacia abajo tantas celdas como

valores de θ desee, 205 bastaría para generar 200 valores

(o si lo desea hasta 500).

e) En la celda B5 digite la formula =SI(t="","",t), para

generar los valores de r, después seleccione la celda B5 y

arrastre hacia abajo para generar los valores de r, en C5

escriba la formula =SI(t="","",v*COS(t)), y genere los

valores de x, y en la celda D5 escriba la formula =SI(t="","",v*SENO(t)) y genere los valores

de y.

d) Finalmente seleccione el rango C5:D205 (si generó 200 valores) y después Insertar/

Dispersión/ Dispersión con líneas rectas, para graficar. Ver figura 15

Ejercicio: Hacer una hoja de cálculo para graficar r(θ) = a + bθ. Donde a, y b sean variables.

Graficaremos ahora La rosa polar. Es una famosa curva matemática que parece una flor con

pétalos, y puede expresarse como una ecuación polar simple,

( ) cos( )r m k s

para cualquier constante s (incluyendo al 0). Si k es un número entero, estas ecuaciones

producirán una rosa de k pétalos cuando k es impar, o 2k pétalos si k es par. Si k es racional pero

no entero, se producirá una forma similar

a una rosa pero con los pétalos solapados.

Nótese que estas ecuaciones nunca definen

una rosa con 2, 6, 10, 14, etc. pétalos. La

variable m representa la longitud de los

pétalos de la rosa.

a) En las celdas A1, B1, C1, D1 y E1 introducimos las etiquetas a, a ≤ θ ≤ b, b, n, y h

respectivamente y nombramos las celdas A2, C2, D2 y E2 como a, b, n y h, ver figura 16.

b) En las celdas G1, H1, I1, introducimos las etiquetas m, k, y s y a las celdas G2, H2, I2, les

asignamos los nombres m, k, y s.

c) Ahora en A2 digite el valor 0, y en C2 digite la formula

=8*pi(), en la celda D2 introduzca el valor 200, en E2 la

formula = (b-a)/n, en G2 digite el valor 3, en H2 2, y en la

celda I2 el valor cero.

d) Digite en las celdas A4, B4, C4, D4, las etiquetas θ, r, x, y.

Ahora seleccione toda la columna A y nómbrela como t,

seleccione toda la columna B y nómbrela v.

e) En la celda A5 digite la formula = a, en la celda A6 digite la

formula =SI(A5="","",SI(A5+h>b,"",A5+h)), después

seleccione A6 y arrastre hacia abajo tantas celdas como

valores de θ desee, 205 bastaría para generar 200 valores (o si lo desea hasta 500).

http://es.wikipedia.org/wiki/Rosa_polar

http://es.wikipedia.org/wiki/Impar

http://es.wikipedia.org/wiki/Variable


f) En la celda B5 digite la formula =SI(t="","",m*COS(k*t+s)), para

generar los valores de r, después seleccione la celda B5 y arrastre

hacia abajo para generar los valores de r, en C5 escriba la formula

=SI(t="","",v*COS(t)), y genere los valores de x, y en la celda D5

escriba la formula =SI(t="","",v*SENO(t)) y genere los valores de y.

e) Finalmente seleccione el rango C5:D205 (si generó 200 valores) y

después Insertar/ Dispersión,/ Dispersión con líneas rectas, para

graficar, ver figura 17.

Si cambia B5 por la formula =SI(t="","",3-3*SENO(t)), obtendrá el cardiode (r = 3 -3 sen(t)) de

la figura . Grafique las siguientes curvas.

(a) r = 2 + 4 sen(t)

(b) r = 2 – 2cos(t)

(c) 4 (2 )r sen t , 4cos(2 )r t

6. Graficas de superficies. Podemos implementar de manera muy sencilla

un graficador de superficies de funciones f(x, y) = z.

Para esto solo hay que observar que en vez de una

tabla de puntos (xi, yi, f(xi, yi,)) en tres columnas Excel

necesita una tabla de la forma como la que se muestra

en la figura 18.

Observe que Excel es una matriz de la forma aij

donde i representa la hilera y j la columna, por

ejemplo la celda C4 equivale al elemento a4,3 de la

matriz y la celda D6 equivale al elemento a6,3 de la matriz.

Podemos obtener la pareja de números (ocultos) de una determinada celda de la matriz con

las formulas FILA(Referencia) y COLUMNA (Referencia) donde Referencia es la celda. Así la

formula =FILA(C4) regresa el número 4, y la formula =COLUMNA(C4) regresa el número 3,

ver figura 19. En otras palabras en la celda C4 se tienen los números (ocultos) 4, 3. Si

consideramos el primer

elemento como la variable y ( 1

≤ y < ∞ ) (la fila), y el segundo

como la variable x (1 ≤ x < ∞)

(la columna), entonces estamos

en posibilidades de evaluar una

función de la forma f(x, y) en

cada una de las celdas para

obtener el valor de la z.

Grafiquemos la función 2 2( 6) ( 7)

( . )6 6

y xf x y


a) Escriba la siguiente formula en la celda A1 = - ((FILA (A1) - 6) ^2)/6 + ((COLUMNA (A1) -

7) ^2)/6.

b) Ahora copie y pegue la formula en el rango A1:M13 para obtener la tabla de la figura 20.

c) Para graficar seleccione el rango A1:M13 después siga la secuencia de comandos de Excel

siguiente Insertar/Otros gráficos/Superficie/Superficie 3D. Obtendrá la grafica de la figura

21.

Ejercicios: Con este método grafique (a) 2 2( 6) ( 7)

( , )6 6

y xf x y

(b)

( , ) ( ) ( )f x y seno x seno y , (c) 2 2( , )f x y seno x y . ¿Cuál es la grafica de cada función?

Selecciónela.

Sin duda este procedimiento para graficar superficies es sencillo, pero y si quiero graficar la

función 2 2( , )f x y x y en los intervalos digamos -5 ≤ x ≤ 5 y -5 ≤ y ≤ 5. ¿Qué hacemos?

Bueno, pues utilicemos el procedimiento de la sección 1.4. para cada intervalo de la siguiente

manera.

a) Para construir la malla de la región [-5, 5] x [-5, 5] vamos

habilitar una fila para los valores de x y una columna para

los valores de y. De inicio vamos a generar una partición de

20 datos para cada intervalo esto no implica que los

extremos de los intervalos y la partición serán fijas, sino que

podremos cambiarlas después, utilizaremos estos datos solo

para empezar.

b) En las celdas A1, B1, C1, D1, E1, G1, escriba las siguientes

etiquetas a, ≤ x ≤, b, n, h, y X/Y, nombre las celdas A2, C2, D2, E2, como a, b, n, h, y toda

la fila 1 como x. Una vez hecho esto digite los valores iniciales a = -2, b = 2, n = 20 en las

celdas A2, C2, D2 y en la celda E2 digite la formula (b – a)/n.

c) En las celdas A4, B4, C4, D4, E4 digite las siguientes etiquetas d, ≤ y ≤, e, k, s y nombre

las celdas A5, B5, D5, E5 como d, e, k, s y la columna G como y. Introduzca los valores

iniciales d = -5, e = 5, k = 20, en las celdas A5, B5, D5 y en E5 digite la formula = (e-b)/k.

Vea la figura 25.

d) Ahora estamos listos para generar los valores de x, para esto seleccionamos la celda H1 y

digitamos la formula = a, después en la celda I1 escribimos la formula =SI (H1="","", SI

(H1+h>b,"", H1+h)). Una vez escrita la copiamos y la pegamos hacia la derecha de I1, (esto

es sobre la fila 1) tantas celdas como deseemos (digamos 100).


e) Ahora generamos los valores de y, digite en G2 la formula = d, y en G3 la formula =SI

(G2="","", SI

(G2+s>e,"",

G2+s)). Una vez

escrita la formula

genere los valores

de y, como se ha

explicado antes.

f) Ahora estamos

listos para generar

la malla, en la

celda H2 escriba

la formula = x^2

+ y^2. Después de

escribir la formula

seleccione y copie

la celda H2 y

péguela en el

rango H2:AB22,

ver figura 26.

g) Para ajustar los

valores en las

celdas para que se vea toda la malla, seleccione toda la hoja, haga clic en el botón

secundario y seleccione Formato de celdas/Número, y coloque la posición decimal a un

decimal, después seleccione /Alineación/Control de texto y marque Ajustar texto.

h) Para graficar seleccione el rango de la malla H2: AB22 siga la secuencia de Excel siguiente

Insertar/Otros gráficos/Superficie/Superficie 3D. La grafica de la superficie se muestra en

la figura 27.

7. Simulación de movimiento. En las actividades siguientes utilizaremos macros, si el programa

que utiliza de Excel no tiene habilitado los macros, necesita

habilitarlos. Excel 2003 y 2007 tiene 4 niveles de seguridad. Para

habilitar los macros en el 2007 se accede a los niveles de

seguridad con la siguiente secuencia: Botón de Office/Opciones de

Excel/Centro de confianza/Configuración del centro de

confianza/Configuración de macros/ y allí seleccionar

/Deshabilitar todas las macros con notificación. Después, cuando

trabajemos con hojas de cálculo con macros, Excel nos preguntará si deseamos habilitar los

macros, y debemos de contestar que sí.

7.1. Significado geométrico de los parámetros de la ecuación de la parábola. En esta hoja vamos a utilizar un contador de Visual Basic para simular como se mueve

horizontalmente una parábola cuando cambiamos un parámetro de la abscisa de la parábola.

a) En una mismo sistema de coordenadas graficaremos la parábola 2( )f x x y

2( ) ( )g x x k

con el propósito de observar cómo cambia la función f, cuando cambiamos el parámetro k.


b) Sigamos el procedimiento que ya conocemos para etiquetar las celdas. A1, B1, C1, D1,

E1, como a, b, c, n, h, k y nombrar las celdas A2, B2, C2, D2, y E2 como a, b, n, h, k, de la

misma manera nombramos a la columna A como x.

c) Etiquetamos las celdas A4 como x, B4 como f(x) = x^2, y C4 como g(x) = (x - k) ^2 y

digitamos los valores iníciales en A1 -30, en B1 30, C1 60, en D1 la formula = (b-a)/n y en

E1 el valor inicial de 5.

d) Digite la formula =a en A5 y después la formula =SI(A5="","",SI(A5+h>b,"", A5+h)) en

A5, después seleccione A5 y arrastre el cursor hasta A65 para generar la columna de x.

Después digite la formula =SI(x="","",x^2) en B5, seleccione B5 y de un doble clic para

generar los valores de la función f. A continuación en C5 digite la formula =SI(x="", "", (x-

k)^2) , seleccione C6 y haga doble clic para generar los valores de la función g.

e) Ahora seleccione el rango A5:C65 y de los pasos necesarios para generar la grafica. Ahora

vamos a eliminar la escala automática de los ejes y fijaremos el de las x en -30 a 30 y el de

las y de -20 a 100. Esto puede lograrse así: Haga clic sobre el eje x y aparece un letrero que

dice Eje horizontal (valores), haga clic en el botón secundario y

en el menú contextual encontrará dar formato a eje… cambie los

valores mínima y máxima y cierre.

A continuación vamos a conseguir, ayudándonos del Visual

Basic incorporado a Excel, una simulación de movimiento de la

parábola modificando el valor del parámetro k de la función g(x)

= (x - k)^2.

f) Visualizar la paleta de herramientas de VB. En caso de que no

esté a la vista la ficha programación siga el siguiente proceso para

agregarlo Botón de Office/Opciones de Excel/Personalizar/Comandos disponibles en/Ficha

Programador/Insertar controles/Agregar/Aceptar.

g) Activar el botón de insertar controles. Seleccionar en el cuadro de controles de formulario

una Barra de desplazamiento. Dibujar el objeto debajo del parámetro k. Podemos diseñarlo

horizontal o verticalmente. Ver figura 28.

El efecto que pretendemos conseguir con este

contador es el siguiente; cambiar el valor del

parámetro k con un clic del ratón en la flecha de

arriba o de abajo, también de forma continua

deslizando el botón de la barra de

desplazamiento con incremento, de 0.5, con

valores extremos de -20 a 20.

h) Hacer clic sobre y desplegar el menú

emergente haciendo clic sobre el botón derecho

del mouse. Seleccionar Formato de control, en

la caja de dialogo seleccionar la pestaña control.

Aquí cambie Valor mínimo por 0, Valor máximo

por 80 y Vincular con la celda con $F$1. Esto

liga el objeto con la celda F1. Vea la figura 29.

De Aceptar y observe que la celda F1 ahora

muestra un número.


i) Ahora cambiemos la celda E2 que contiene el valor del parámetro k, por la formula =(F1-

40)/2. Si deseamos que el número de la celda F1 o los de la tabla no se vean bastará con

seleccionarlos y cambiarles el color a blanco.

Para evitar que el usuario realice cambios a la

hoja salvo al contador se debe de realizar un

bloqueo de la hoja como se explicó antes. Si

queremos que en la expresión de la función g(x) =

(x - k) ^2 se vea cómo cambia el valor de la k

introduzca la siguiente formula

=CONCATENAR("f(x) = (x+",E2,")^2 ") en la

celda C4. Ver las figuras 30 31.

Las posibilidades didácticas que esta herramienta

nos ofrece para la clase de matemáticas son

amplias y son sólo comparables con la capacidad

de nuestra imaginación.

Como ejercicio diseñe una hoja de cálculo con tres contadores que grafique en el mismo

sistema de coordenadas las funciones 2( )f x x y

2( ) ( )g x k x l m

8. Graficas de funciones trigonométricas. La función seno. Uno de los temas de graficación con muchos problemas es el de las funciones trigonométricas, por ejemplo graficar f(x) = asen (bx –c) +d y f(x) = acoseno (bx-c) + d. El enfoque usual de los libros de texto es de explicar de qué manera los parámetros a, b, c y d afectan a las graficas de las funciones. Aquí mostraremos una hoja de cálculo de Excel y algunos elementos de programación de Visual Basic para graficar la función f(x) = aseno (bx – c) +d, donde a≠0, b>0, c y d son constantes y en la cual podemos cambiar los parámetros, mostrándola en uno de sus períodos. Si b<0 tendrá que tomarse en cuenta que

( ) ( ).sen seno

La función seno se encuentra entre 0 y 2π, así que para dibujar la función f(x) = asen (bx –c) +d en uno de sus períodos tomamos el argumento (bx – c) y los encerramos entre 0 y

2π. Así 0 ≤ bx - c ≤ 2π. Resolviendo esta desigualdad para x se tiene que 2c c

xb b

.

Por lo tanto este último intervalo representa un período de la función f(x) = asen (bx –c) +d, siendo c/b el desplazamiento de fase. Así pues, vamos a ilustrar una de las formas en que se puede graficar en una hoja electrónica Excel una función como f(x) = asen (bx –

c) +d, con x variando en el intervalo 2

,c c

b b

.


Para empezar, es conveniente ubicar los valores a, b, c y d en celdas específicas.

Ubicaremos estos valores en las celda A4, B4, C4 y D4, por ejemplo, al digitar el valor 1 en la

celda A4 y el valor 1 en la celda B4, asignaremos a = 1 y b=1. Al hacerlo de esta forma, toda

operación que dependa de los valores a y b, incluyendo la gráfica de f(x) se actualizará cuando

cambiemos estos valores. Para leer o escribir los parámetros desde Excel con el lenguaje de VB

utilizaremos el código Cells(fila, columna). De esta manera el valor a =1 que se encuentra en la

celda A4, corresponde a a = Cells(4, 1) (columna 1 = A) y el valor b=1 que se encuentra en la

celda B4 corresponde a b = Cells(4, 2) (Columna 2 = B)

Para graficar la función seno en el intervalo 2

,c c

b b

necesitamos una tabla de valores

(xi, yi). Lo que hacemos es partir el intervalo en n+1 puntos xi, i = 0, 1, 2, …, n; y evaluamos la

función en cada uno de esto puntos. Si los puntos son equidistantes, la distancia de separación es

2 2/

c ch n

b b nb

, es decir

Si la partición del intervalo la hacemos con n =50 entonces 2

50 25h

b b

la tabla de

puntos es el conjunto , ( ) , 0,1,2, 50i i

cx ih y aseno bx c d i

b

. Es decir,

0 0 00 sin( )c

x h y a bx c db

1 1 11 sin( )c

x h y a bx c db

. . .

sin( )i i i

cx i h y a bx c d

b

. . .

50 50 5050 sin( )c

x h y a bx c db

Esta tabla de valores la mostraremos en el rango de celdas A6:B56. Lo anterior se puede

expresar en el lenguaje de VB para Excel utilizando las anteriores instrucciones y haciendo uso

del proceso iterativo for ... next de la siguiente manera:

a=Cells(4, 1) ' Se lee a desde A4. b=Cells(4, 2) ' Se lee b desde B4 c=Cells(4, 3) ' Se lee c desde C4 d=Cells(4, 4) ' Se lee d desde D4 Pi = 3.14159265358979 'Se define la constante pi h = Pi/(25*b) 'Se calcula el valor de h For i =0 to 50


x = c/b +i*h Cells(6 + i, 8) = x ' Se escriben las x desde la celda A6 hasta la celda A56 y = a *sin(b*x-c) + d Cells(6 + i, 9) = y ' Se escriben las y desde la celda B6 hasta la celda B56 Next

Luego debemos seleccionar la tabla de valores y hacer un gráfica (chart). Si hay una

gráfica previa la podemos borrar (que no es necesario si uno quiere comparar gráficas por

ejemplo). Estas dos cosas se hacen con el código.

' --------------Limpia las graficas anteriores------------ Set chartsTemp = ActiveSheet.ChartObjects If chartsTemp.Count > 0 Then chartsTemp(chartsTemp.Count).Delete End If ' -------------Grafíca la Función seno------------- Charts.Add ActiveChart.ChartType = xlXYScatterSmoothNoMarkers ActiveChart.SetSourceData Source:=Sheets("Hoja1").Range("A6:B56"), PlotBy:= _ xlColumns ActiveChart.Location Where:=xlLocationAsObject, Name:="Hoja1" With ActiveChart .HasTitle = True .ChartTitle.Characters.Text = "Seno" .Axes(xlCategory, xlPrimary).HasTitle = False .Axes(xlValue, xlPrimary).HasTitle = False End With

Por último, vamos a

insertar un botón de

comando de VB que

ejecute el código que

hemos escrito. Abrir la

ficha de Programador de

Visual Basic/Insertar/ e

inserte un botón de

comando activex (Excel

2007), (en Excel 2003;

Ver/Barra de

herramientas/Visual

Basic;) haga doble clic

sobre y copie todo el

código anterior entre las

líneas Private Sub

CommandButton1_Click()

…………………End Sub.

Salga del modo de diseño y regrese a Excel. Finalmente haga clic sobre el botón y verá la grafica

de la función. La figura 32 le guiara sobre el diseño.


Puede cambiar la instrucción y = a *sin(b*x-c) + d por y = a *cos(b*x-c) + d y podrá dibujar

funciones coseno.

9. Pendiente de la secante a una curva. En este ejercicio mostraremos como simular el movimiento de una recta secante que pasa

por dos puntos sobre una curva y mostrar la pendiente de la misma.

Para ello dibujaremos la grafica de la función 3( ) 2 3f x x x , en el intervalo [-10, 10]

utilizando uno de los métodos vistos anteriormente, y trazaremos la recta secante por dos puntos

que se mueven sobre la curva y al mismo tiempo se mostrará la pendiente de la recta secante.

Para dibujar la recta secante trazaremos dos puntos sobre la curva el punto 1 1( , )P x y y el

punto 2 2( , )Q x y y los valores de 1 2y x x variarán en el intervalo [-4, 4]. Haremos que los

valores de x de los dos puntos cambien de -4 a 4, con un paso de 0.1.

A continuación vamos a conseguir, ayudándonos del Visual Basic incorporado a Excel,

una simulación de la variación de x en el intervalo [-4, 4].

1. Primero, digitar el texto x1= en la celda D18, y1= en la celda F18,

x2 en la celda D21, y2 en la celda F21, y digite el número 10 en las

celdas E19 y E22, estas últimas dos son celdas auxiliares, que

explicaremos más abajo.

2. Visualizar la paleta de herramientas de VB. En caso de que no esté

a la vista la ficha programación siga el siguiente proceso para

agregarlo Botón de Office/Opciones de

Excel/Personalizar/Comandos disponibles en/Ficha

Programador/Insertar controles/Agregar/Aceptar.

3. Activar el botón de insertar controles. Seleccionar en el

cuadro de controles de formulario dos Barras de

desplazamiento. Dibujar horizontalmente uno debajo de

x1, y otro debajo de x2, tapando las celdas

auxiliares. Ver figuras al lado.

4. Para simular el movimiento de x en el intervalo de

–4 a 4 utilizaremos las barras de desplazamiento. Lo que haremos

será sumarle 1

*10

n al valor inicial de x = -4 , para que tome

valores entre -4 y 4, es decir 1

410

x n , así que el valor de n

varía en el intervalo de 0 60n . Este valor de n estará

precisamente en la celda auxiliar E19 para x1 y E22 para el valor

de x2.

5. Vamos a generar los valores de x1 entre -4 y 4 para x1. En la


celda E18 digite la formula =-4+E19/10. Ahora haga clic con el botón secundario del mouse

sobre la barra de desplazamiento que está bajo x1, allí encontrará la opción Formato de

control. Haga clic sobre ella y seleccione la pestaña Control. Allí asigne al Valor mínimo 0 y

al Valor máximo 60 y en Vincular con la celda escriba $E$19 y finalmente Aceptar. Ahora

evaluemos el valor de x1 en la función. En la celda G18 escriba la fórmula =E18^3-2*E18+2.

Pruebe ahora el control, haga clic sobre las

flechas y verifique que el valor de x toma

valores entre -4 y 4.

6. Repitamos los pasos para el valor de x2. En la

celda E21 digite la formula =-4+E22/10.

Ahora haga clic con el botón secundario del

mouse sobre la barra de desplazamiento que

está bajo x1, allí encontrará la opción

Formato de control. Haga clic sobre ella y

seleccione la pestaña Control. Allí asigne al Valor mínimo 0 y al Valor máximo 60 y en

Vincular con la celda escriba $E$22 y finalmente Aceptar. Ahora evaluemos el valor de x2

en la función. En la celda G21 escriba la fórmula =E21^3-2*E21+2. Pruebe ahora el control,

haga clic sobre las flechas y verifique que el valor de x toma valores entre -4 y 4.

7. Ahora grafique los puntos. Seleccione la grafica y haga clic

con el botón derecho sobre ella. Seleccione la opción

Seleccionar datos. En el menú seleccione Agregar en

Valores X de la serie x1, y en Valores Y de la serie

seleccione y1, dé Aceptar y agregue una nueva serie con los

valores de x2 y y2.

8. Bueno ya tenemos los dos

puntos y estos se mueven

sobre la curva. Ahora

calculemos su pendiente.

Podemos utilizar la fórmula

conocida 2 1

2 1

y ym

x x

para

calcular la pendiente de los

puntos, excepto cuando sean iguales en ése caso utilizaremos la derivada de la función 2(́ ) 3 2f x x . Para resolver este problema utilizaremos una prueba lógica del tipo

SI(prueba-lógica, valor_si_verdadero, valor_si_falso) que comprueba si se cumple una

condición y devuelve un valor si se evalúa como verdadero y otro valor si se evalúa como

falso. La prueba lógica es =SI(E18<>E21,(G21-G18)/(E21-E18),-3*E18^2-2). Que dice lo

siguiente si los puntos son distintos calcula la pendiente, si son iguales evalúa la derivada en

el punto x1.

9. Veámoslos en acción. En la celda D25 digite el

texto m-Secante, en la celda E25 escriba la


fórmula anterior para calcular la pendiente. Si todo está bien, al hacer clic sobre las barras de

desplazamiento verá cambiar el valor de la pendiente.

10. Ahora dibujaremos un segmento de recta que pasa por los dos puntos, es decir, la secante, en

un intervalo mayor que [-4, 4], digamos [-5, 5]. Primero calculamos la intersección de la

secante con el eje y. Sabemos que la ecuación de una recta es y mx b . Si la recta pasa por

el punto P1 entonces tenemos que la intersección con el eje y es 1 1b y mx , o sea =G21-

E25*E21. Escriba el texto y-intercep= en la celda D26 y en la celda E26 la formula =G21-

E25*E21. Esto calcula la intercepción de la secante con el eje y. Enseguida calculamos los

dos puntos para el segmento de recta utilizando la expresión y mx b , los valores m =

E25, b = E26, y x = -5, y x = 5, es decir para x = -5, se tiene y = E25*(-5) + E26, para x = 5,

tenemos y = E25*(5) + E26.

11. En la celda D27 escriba -5, y E27 la formula = E25*(-5) + E26, en la celda D28 escriba 5, y

en la celda E28 la formula = E25*(5) + E26. Para graficar el segmento de recta, asigne una

nueva serie de datos, tomando -5 y 5, como valores de x, y como valores de y las imágenes

de los valores de x.


10. Bibliografía.

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Animation, eJSiE 2(1), 120-147.

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taller graf curvas

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