TALLER DE FACTORIZACIÓN

ERIKA YOHANA PLAZA VELOZA

 

 

 UNIVERSIDAD DEL QUINDIO

FACULTAD DE CIENCIAS HUMANAS Y BELLAS ARTES.

CIENCIA DE LA INFORMACION Y LA DOCUMENTACIÓN, BIBLIOTECOLOGIA Y ARCHIVÍSTICA.

EXPRESIÓN ORAL Y ESCRITA G2

BOGOTA D.C.

TALLER DE FACTORIZACIÓN

  

ERIKA YOHANA PLAZA VELOZA

 

Profesor

GIOVANNI SALAZAR OVALLE

MATEMÁTICAS BÁSICAS G2

 

 

BOGOTA D.C.

UNIVERSIDAD DEL QUINDIO

FACULTAD DE CIENCIAS HUMANAS Y BELLAS ARTES.

CIENCIA DE LA INFORMACION Y LA DOCUMENTACIÓN, BIBLIOTECOLOGIA Y ARCHIVÍSTICA.

29 DE NOVIEMBRE DE 2012.

CONTENIDO.

 

1.INTRODUCCIÓN……………………………………………………………2

2. PRIMER CASO DE FACTORIZACIÓN……………………………………3

3. CASO UNO ESPECIAL DE FACTORIZACIÓN…………………………...7

4. SEXTO CASO DE FACTORIZACIÓN…………………………………..….11

5. TERCER CASO DE FACTORIZACIÓN.…….……………………………..19

6. NOVENO CASO DE FACTORIZACIÓN………...…………………………25

7. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS………………………………………..34

1

2. INTRODUCCIÓN.

La factorización es la base del algebra y el calculo, a través de su uso aprendemos a simplificar o convertir en factores una expresión algebraica, de esta forma son mas fáciles de manejar y operar.

La realización de ejercicios matemáticos, desarrolla habilidades que incrementan nuestro rendimiento intelectual, es por ello que desde la perspectiva de estudiantes de CIDBA, manejar esta herramienta con facilidad nos permitirá enfrentar diversas situaciones de forma lógica, analítica y práctica.

2

PRIMER CASO DE FACTORIZACIÓN.

FACTOR COMÚN.

Descomponer en factores a2 + . 2a

Los factores a2 + 2a contienen en común a.

Escribimos el factor común a como coeficiente de un paréntesis; dentro del paréntesis; Dentro del paréntesis escribimos los cocientes de dividir a2

÷ a = a

Y 2a ÷ a = 2 y tendremos:

Respuesta: a2 + 2a = a( a + 2)

3

1. EJERCICIO.

a2 + 1 – b ( a2 +1 )

Factor común: ( a2 + 1 )

Dividimos cada componente:

a2 +1/a2 +1 = 1

B ( a2 + 1 )/ a2 + 1 = - b

Entonces tenemos:

( a2 + 1) ( 1 – b)

4

. 2. EJERCICIO.

( x + y ) ( n + 1 )

Factor común: ( n + 1 )

Dividimos cada componente:

( x + y ) ( n + 1 ) / n + 1 = ( x + y )

-3 (n + 1 ) / ( n + 1 ) = -3

Entonces:

( n + 1) ( x + y )

5

3. EJERCICIO.

2a2x + 2ax2 – 3ax

El factor común es: ax

Dividimos cada componente:

2a2x / ax = 2a

2ax2 / ax = 2x

-3ax / ax = -3

Entonces:

ax ( 2a + 2x – 3)

 

6

CASO UNO ESPECIAL DE FACTORIZACIÓN

FACTOR COMÚN POLINOMIO

Descomponer:

X 8 (a + b + m) (a +b)

Los dos términos de esta expresión tienen de factor común el binomio ( a + b).

Escribo ( a + b ) como coeficiente de un paréntesis y dentro del paréntesis escribo los cocientes de dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común ( a + b ), es decir:

X (a + b) / (a + b) = x

M (a + b) / (a + b) = m

Y tendremos:

X ( a+ b ) + m ( a + b ) = ( a + b ) ( x + m )

7

1. EJERCICIO:

 

1 – x + 2a ( 1 – x )

El factor común es : ( 1 – x )

Dividimos cada componente por el factor común:

1 – x / (1 – x) = 1

2a ( 1 – x ) / ( 1 – x ) = 2ª

Entonces:

1 ( 1 – x ) + 2a ( 1 – x )

( 1 – x ) ( 1 + 2a )

 

8

2. EJERCICIO

m ( a – b ) + ( a – b )n

 

Factor común: ( a – b )

Dividimos cada componente por el factor común:

m ( a – b ) / ( a – b ) = m

( a – b )n / ( a – b ) = n

 

Entonces:

 

m ( a – b ) + n ( a – b )

 

( a – b )( m + n )

9

3. EJERCICIO

(x+ y) ( n + 1 )- 3 ( n + 1 )

 

Factor común : ( n + 1 )

 

Dividimos cada componente por el factor común:

(x+ y) ( n + 1 ) / ( n + 1 ) = (x+ y)

- 3 ( n + 1 ) / ( n + 1 ) = -3

 

Entonces:

( n + 1 ) (x+ y) + ( n + 1 )-3

( n + 1 ) ( x + y – 3)

 

10

SEXTO CASO DE FACTORIZACIÓN

TRINOMIO DE LA FORMA X2 + bx + c son trinomios como:

X2 + 5x + 6, a2 – 2ª – 15, m2 + 5m – 14, y2 – 8y + 15

 

11

Se cumplen las siguientes condiciones:

 

El coeficiente del primer término es 1.

El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.

El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.

El tercer término es independiente de la letra que aparece en el 1º. Y 2º. Términos y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.

12

REGLA PRACTICA PARA FACTORIZAR UN TRINOMIO DE LA FORMA:

X2 + bx + c

El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es x, es decir la raíz cuadrada del primer término del trinomio.

En el primer factor, después de x se escribe el signo del segundo término del trinomio, y en el segundo factor, después de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo término del trinomio por el signo del tercer término del trinomio.

13

Si los dos factores binomios tienen en el medio signos iguales se buscan dos números cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. Estos números son los segundos términos del los binomios.

Si los dos factores binomios tienen en el medio signos distintos se buscan dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de estos números es el segundo término del primer binomio, y el menor, el segundo término del segundo binomio.

14

EJEMPLO:

 

Factorizar: x2 + 5x + 6 (x )(x )

 

En el primer binomio después de x se pone signo + porque el segundo término del trinomio +5x tiene signo +. En el segundo binomio, después de x, se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de + 5x por el signo de +6 y se tiene que + por + da + es decir:

 

X2 + 5x + 6 (x+ ) (x+ )

 

Ahora, como en estos binomios tenemos signos iguales buscamos dos números que cuya suma sea 5 y cuyo producto sea 6. Esos números son 2 y 3, luego:

 

Respuesta: X2 + 5x + 6 = (x + 2 )(x + 3 )

 

 

15

1. EJERCICIO.

a2 + 4ª + 3

 

Los signos son positivos:

( a + ) ( a + )

( a + 3 ) ( a + 1 )

 

Dos números que sumados den 4 y multiplicados 3

 

3 1

 

 

Qué número multiplicado por 3 da 3, solamente 1.

( a + 3 ) ( a + 1 )

 

16

2. EJERCICIO.

El primer signo es positivo y el segundo signo es negativo.

m2 + 5 – 14

( m + ) ( m - )

( m + 7 ) ( m – 2 )

 

14 2

7 7

 

Dos números que sumados dan + 5. ( 7 – 2 ) = 5

y multiplicados 14. (7 * -2)= - 14

17

3. EJERCICIO.

Y2 – 9y + 20

 

El primer signo es negativo.

El segundo signo es negativo.

 

(y2 - ) (y2 - )

(y2 – 4) (y2 – 5)

 

20 4

5 5

1

Dos números que sumados den -9. (-4 )+ (-5)= -9

Y multiplicados den + 20. (-4)(-5)= 20

 

18

TERCER CASO DE FACTORIZACIÓN.

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.

 

Descomponer a2 + 2ab +b2 = (a + b)2

 

Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad es decir, cuando es el producto de dos factores iguales.

Para extraer la raíz cuadrada de un monomio, se extrae la raíz cuadrada de su coeficiente y se divide el exponente de cada letra por 2.

19

REGLA PARA CONOCER SI UN TRINOMIO ES CUADRADO PERFECTO.

El primer y tercer término son cuadrados perfectos y positivos y el segundo término es el doble del producto de sus raíces cuadradas:

 

a2 es cuadrado perfecto de a (primer término)

b2 es cuadrado perfecto de b (tercer término)

2ab es el doble de sus raíces cuadradas.

20

REGLA PARA FACTORIZAR UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.

Se extrae la raíz cuadrada al primer y tercer términos del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado se multiplica por sí mismo o se eleva al cuadrado.

 

21

1. EJERCICIO.

36Z2 + 60Z + 25

36Z2 es el cuadrado perfecto de 6Z

25 es el cuadrado perfecto de 5

60Z es el doble del producto de sus raíces cuadradas. 2(6Z * 5)

 

Entonces:

36Z2 + 60Z + 25= ( 6Z + 5)2

22

2. EJERCICIO.

144X2 + 96X +16

144X2 es el cuadrado perfecto de 12x

16 es el cuadrado perfecto de 4.

96x es el doble del producto de sus raíces cuadradas. 2(12X * 4)

 

Entonces:

 

144X2 + 96X +16= (12x + 4)2

 

23

3. EJERCICIO.

 

a8 + 18a4 + 81

a8 es el cuadrado perfecto de a4

81 es el cuadrado perfecto de 9

18a4 es el doble del producto de sus raíces cuadradas.

 

Entonces:

 

a8 + 18a4 + 81= (a4 + 9 )2

24

NOVENO CASO DE FACTORIZACIÓN.

SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS.

 

X3 + Y3 = ( X + Y )(X2 – XY + Y2)

Sabemos que:

X3 + Y3 / X + Y = X2- XY + Y2 y X3 - Y3/ X – Y = X2 + XY + Y2

25

Y como en toda división exacta el dividendo es igual al producto del divisor por el cociente tendremos:

 

X3 + Y3 = ( X + Y )(X2 – XY + Y2) CASO UNO.

X3 - Y3 = ( X + Y )(X2 + XY + Y2) CASO DOS.

26

REGLA PARA EL CASO UNO

 

La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:

 

La suma de sus raíces cubicas

El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces mas el cuadrado de la segunda raíz.

27

REGLA PARA EL CASO DOS

La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores

La diferencia de sus raíces cubicas.

El cuadrado de la primera raíz, mas el producto de las dos raíces mas el cuadrado de la segunda raíz.

28

1. EJERCICIO.

 

a3 + 64b3 = (a + 4b)(a2 - 4ab + 16b2)

 

a es la raíz cubica de a3

4b es la raíz cubica de 64b3

a2 es el cuadrado de la primera raíz.

4ab es el producto de las dos raíces.

16b2 es el cuadrado de la segunda raíz.

29

2. EJERCICIO.

 

8X6 – 27Y9 =(2X2 – 3Y3)(4X4+ 6X2Y3 + 9Y6) 

2X2 es la raíz cubica 8X6

3Y3 es la raíz cubica de 27Y9

4X4 es el cuadrado de la primera raíz

6X2Y3 es el producto de las dos raíces

9Y6 es el cuadrado de la segunda raíz

30

3. EJERCICIO.

 

8X6 – 125 = (2X2 – 5)(4X4+10X2+25)

 

2X2 es la raíz cubica de 8X6

5 es la raíz cubica de 125

4X4 es el cuadrado de la primera raíz

10X2 es el producto de las dos raíces

25 es el cuadrado de la segunda raíz

 

NOTA: Los signos de los tres ejercicios se colocan según los ejemplos explicativos.

 

31

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Aurelio Baldor .(2007). Algebra de Baldor. México: Grupo Editorial Patria.