taller de factorizaciòn
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TA L L E R FA C T O R I Z A C I Ó N
TALLER EVALUATIVO DE FACTORIZACIÓN
NOHORA CAROLINA HERNANDEZ HERRERA
GRUPO: 05
TUTOR: INGENIERO GIOVANNI SALAZAR OVALLE
PROGRAMA : CIDBA
UNIVERSIDAD DEL QUINDIO
2014
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TA L L E R FA C T O R I Z A C I Ó N
Factorizar una expresión algebraica, es convertirla en otra equivalente que sea el producto de dos o más factores :
La expresión x² y² + x² se puede escribir como x² ( y² +1 ) porque x² ( y² + 1) = x² y² + x²
En este caso se dice que x² y² + x² se ha factorizado.
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FACTOR COMÙN
2ax2-4ay+8a2x
2a
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casos de factorización
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1. FACTORIZACION DE POLINOMIOS O FACTOR COMÚN
EJEMPLO 1 10x y + 12x²
Para buscar el máximo divisor común de los términos del polinomio se halla el m.c.d de los coeficientes:
m.c.d.(10,12)=2
Luego, se escriben las letras comunes con el menor exponente con que aparecen.
El máximo divisor común será 2x²
Luego: 10x y + 12x² = 2x² (5x²y + 6)
Al efectuar el producto que aparece a la derecha del signo igual se obtiene el polinomio sin factorizar. De esta forma se verifica que la factorización es correcta:
2x² (5x² + 6) = 2x² (5x²y ) +(2x² ) 6 = 10x y + 12x²
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EJEMPLO 2
9a b – 63a³b² + 18a²b³
Se halla el m.d.c de los coeficientes:9 63 18
3
3 21 6 3
1 7 2
m.d.c {9,63,18}= 9
a continuación se escriben las letras comunes con el menor exponente que aparezca en los términos: el factor común será 9a²b.
Por lo tanto: 9ab - 63a³b² + 18a²b³=9a²b (a² - 7ab +2b²).
Para verificar que la factorización es correcta se efectúa el producto
9a²b (a² - 7ab +2b²)=9a b - 63a³b² + 18a²b³
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EJEMPLO 3
2x³ + 12x² + 10xy
El factor común es el monomio 2x ;
2x³ + 12x² + 10xy = 2x (x² + 6x + 5y)
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2.FACTORIZACION DE TRINOMIOS CUADRADOS PERFECTOS.
X²+2ax+a² =(x+a)²
√a² =a
√ x²=x
EJEMPLO 1
El doble producto de las raíces es 2ax
Al factorizarlo se obtiene :X²+2ax+a² =(x+a)²
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EJEMPLO 2
4x² - 20xy + 25y² = (2x-5y)²
√ 4x² =2x √ 25y²= 5y
El doble producto de las raíces es 20xy
Al factorizar el trinomio se obtiene: 4x² - 20xy + 25y² = (2x-5y)²
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EJEMPLO 3
x²+14xy+49y²=(x+7y)²
√x²= x √49y² = 7y
El doble producto de las raíces es 14xy
Al factorizar el trinomio se obtiene: x² + 14xy + 49y² = (x + 7y)²
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3.FACTORIZACION DE LA DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS
EJEMPLO 1 x² - y²
la expresión corresponde a la diferencia de dos cuadrados perfectos.
Las raíces del minuendo y del sustraendo son respectivamente: √ x² = x
√ y² =y
Al factorizarlo se obtiene x² - y² = (x+y) (x – y)
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EJEMPLO 2
a - 4b²
La expresión corresponde a la diferencia de dos cuadrados perfectos, y las raíces del minuendo y el sustraendo son respectivamente = √ a = a²
√ 4b² = 2b
Al factorizarlo se obtiene a - 4b² = (a² + 2b) (a² - 2b)
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EJEMPLO 3
9x² - ¼
Tanto el minuendo como el sustraendo son cuadrados perfectos y sus raíces son
Respectivamente = √ 9x² =3x
√ ¼ = ½
Al factorizarllo se obtiene 9x² - ¼ = (3x + ½ ) (3x - ½ )
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4.FACTORIZACION DE TRINOMIOS DE LA FORMA x²+ bx+c
EJEMPLO 1 x² -5x – 24
El trinomio se factoriza en dos binomios, cuyo primer termino es x; es decir , la raíz cuadrada del primer termino del trinomio:
x² -5x – 24 = (x ) (x )
Para encontrar el segundo termino de los binomios, se buscan dos números cuya suma sea el coeficiente del termino común b y su producto sea el termino independiente, es decir c.
Los números que sumados dan -5 y multiplicados dan -24, son -8y + 3 porque :
-8+3= -5 y - 8 *3 = - 24
Luego se obtiene como factorización x² -5x – 24 = (x-8) (x+3)
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EJEMPLO 2
X²+7x+10
El trinomio se factoriza en dos binomios, cuyo primer termino es la raíz cuadrada del primer termino del trinomio:
X²+7x+10 =(x ) (x )
Para encontrar el segundo termino de los binomios, se buscan dos números que sumados den 7 y multiplicados den 10.
Estos números son 5 y 2 porque:
5 + 2 = 7 y 5 * 2 = 10
Luego se obtiene como factorización X²+7x+10 =(x+5) (x+2)
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EJEMPLO 3
x² +6x – 16
El trinomio se factoriza en dos binomios, cuyo primer termino es la raíz cuadrada del primer termino del trinomio:
x² +6x – 16 = (x ) (x )
Para encontrar el segundo termino de los binomios, se buscan dos números que sumados den 6 y multiplicados den - 16.
Estos números son 8 y -2 porque:
8 + (-2) = 6 y 8 * (-2) = -16
Luego se obtiene como factorización x² +6x – 16 = (x +8) (x -2)
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5. FACTORIZACION DE TRINOMIOS DE LA FORMA ax² + bx + c
EJEMPLO 1 3x² + 7x + 2
Para que no se altere ,se multiplica y se divide el trinomio por el coeficiente de x² , que en este caso es 3. el producto 3 (7x) se deja indicado en la forma 7 (3x).
3x² + 7x + 2=
Se factoriza el trinomio (3x)² + 7x (3x) + 6. El primer termino de cada binomio es la raíz cuadrada de (3x)² ; para los otros dos términos se buscan dos números que multiplicados den 6 y sumados den 7; estos números son 6 y 1.
(3x) ² + 7 (3x) + 6 (3x + 6) (3x + 1)
3 3
Finalmente se factoriza uno de los dos binomios y se divide la expresión:
3 (3x² + 7x + 2) (3x)² + 7 (3x) + 6 3 3
=
=
(3x + 6) (3x + 1) = 3 (x+2) (3x + 1)
3 3
= (x+2) (3x+1)
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EJEMPLO 2
2x² + 7x + 6
se multiplica y se divide el trinomio por el coeficiente de x²
2x² + 7x + 6 =
Se factoriza el numerador
(2x)² + 7x (2x)+12 (2x +4 ) (2x+3)
Se factoriza uno de los binomios y se efectúa la división:
(2x +4 )(2x+3) 2(x + 2 ) (2x+3)
2(2x² + 7x +6 ) (2x)² + 7(2x) + 12 2 2
2 2
2 2
=(x+2) (2x+3)
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EJEMPLO 3
Factorizar: 6x² +7x +2
Como el coeficiente de x² es 6, se multiplica y divide el trinomio por 6.
6(6 x² +7x +2) = (6x)² + 7(6x)+12
6 6
Luego se factoriza el numerador teniendo en cuenta que la raíz cuadrada de (6x)² es 6x. Se buscan dos números cuyo producto sea 12 y su suma 7.
(6 x)² +7(6x) +12) = (6x+3)(6x+4)
6 6
Finalmente se factorizan los binomios y se efectúa la división.
(6x+3)(6x+4) = 3(2x+1) 2(3x+2) =
6 6
6(2x+1)(3x+2) = (2x+1)(3x+2)
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Retroalimentación de factorización
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AUDIO.mp3
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PRESENTADO A:
INGENIERO GIOVANNI SALAZAR OVALLE
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GRACIAS
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