taller 1 expresiones algebraicas
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Taller 1 Expresiones algebraicasTRANSCRIPT
1
UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO
CÁLCULO DIFERENCIAL
TALLER 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
INTRODUCCIÓN
El curso de cálculo diferencial exige como prerrequisito el conocimiento del álgebra básica,
por lo cual en este taller se hace un rápido repaso de los conceptos más útiles del álgebra
elemental.
OBJETIVOS
1. Que el estudiante recuerde los conceptos básicos de álgebra y los pueda emplear en
el cálculo diferencial.
2. Afianzar los conceptos algebraicos para aquellos estudiantes que tienen ciertas
dificultades en el manejo de estos temas.
METODOLOGÍA
La metodología a emplear es la de trabajo cooperativo, es decir, se divide el curso en
grupos de estudiantes, quienes deben resolver los ejercicios. Cada miembro del grupo hace
aportes dependiendo de sus capacidades y grado de comprensión de los temas, y aprende
y/o profundiza con los aportes de sus compañeros. Cuando se requiere el profesor coopera a
cada grupo de trabajo o a todos, con aclaraciones, aportes, sugerencias, correcciones etc.
LOGROS
Un estudiante alcanzara sus logros si:
1. Realiza operaciones en .
2. Reconoce los números reales y sus propiedades.
3. Resuelve ejercicios de potenciación y radicación.
3. Dados dos o más polinomios realiza operaciones con ellos y simplifica los resultados.
4. Dado un polinomio realiza su factorización.
5. Identifica los productos notables y los resuelve con facilidad.
6. Dada una ecuación lineal o cuadrática la resuelve en forma correcta.
7. Resuelve un sistema de dos ecuaciones con dos variables.
8. Resuelve problemas con ecuaciones lineales y cuadráticas.
9. Resuelve ejercicios con fracciones algebraicas.
2
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES ( )
El conjunto de los números reales está constituido por los conjuntos:
Números naturales:
Números enteros:
Números racionales:
Números irracionales:
A continuación se muestra, en un diagrama de Venn su composición:
Aquí podemos observar las siguientes características entre los reales y sus subconjuntos:
El conjunto de los números Reales tiene dos operaciones: Suma y producto. Estas
operaciones satisfacen las siguientes propiedades.
i) Si a , b entonces a+b
ii) Si a , b entonces a+b=b+a
iii) Si a, b, c R entonces (a+b)+c=a+(b+c)
iv) Existe un elemento 0 tal que a+0=0+a=a para todo a
v) Para cada elemento a , hay un elemento -a tal que;
a+(-a)=(-a)+a=0.
vi) Si a , b entonces ab . Si a , b entonces ab=ba
vii) Si a, b, c entonces (ab)c=a(bc)
viii) Existe un elemento 1 tal que a1=1a=a para todo a
ix) Para cada elemento a , a 0 hay un elemento 11
aa
tal que;
a(1a)=(
1a)a=1.
3
x) Si a, b, c entonces: a(b+c)=ab+ac y (a+b)c=ac+bc
Nota: El símbolo se lee “Pertenece a…”
Existe un subconjunto no vació de llamado el conjunto de los números reales
positivos que satisfacen las siguientes propiedades:
i) Si a y b entonces a +b
ii) Si a y b entonces ab
iii) Si a entonces se satisface una sola de las siguientes propiedades:
a , a = 0 , - a a (Propiedad de tricotomía)
De igual manera existe un subconjunto no vació de llamado el conjunto de los
números reales negativos, que se define así: ={-a / a }.
POTENCIACIÓN
Definición
Sea a un número real, entonces el producto de a por sí mismo n veces se escribe:
a.a.a.a……..a = an donde a es la base y n es el exponente.
PROPIEDADES
1.
2. 3.
( )
5. ( )
6. *
+
7.
8.
9. Si y n es par, entonces
10. Si y n es impar, entonces
4
EJERCICIOS
1. Simplifique las expresiones usando las propiedades de potenciación.
) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( )
) ( ) ) ( ) ) ( ) ) (
)
) (
)
) (
)
)
) (
)
) (
)
)
)
) ( )
( ) ) (
)
) (
)
) (
)
) ( )
( ) ) ( )
( )
) (
)
) (
)
RADICACIÓN
Definición.
Sea n un entero positivo mayor que 1 y a un número real. Se define la raíz enésima de a
como n a donde a se llama el radicando, n es el índice del radical y es el símbolo de
radicación. Se presentan los siguientes casos:
1. Si a = 0 entonces n a = 0
2. Si a > 0 entonces n a es el número real positivo, b, tal que abn
3. Si a < 0 y n es impar, entonces n a es el número real negativo, b, tal que abn
4. Si a < 0 y n es par, entonces n a no es un número real.
Observaciones
La expresión 2 a se llama raíz cuadrada de a, también se escribe a
La expresión 3 a se llama raíz cúbica de a
La expresión 4 a se llama raíz cuarta de a
5
PROPIEDADES DE RADICACIÓN
1. √ si n es impar
2. √ si n es par
3. √ √
√
4. √
√ √
√
5. √
√
√
SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES
Un radical se encuentra simplificado si:
1. La cantidad subradical No tiene factores con potencias mayores que el valor del índice.
Ejemplo: El radical 5212 yx No está simplificado, hay factores que se deben extraer del
radical, así:
yxyyyyxyyyxyx 32344(3)12 222222252 (Aplicando propiedades)
2. La expresión NO es una sucesión de radicales uno dentro del otro.
Ejemplo: El radical xy3 No está simplificado, aplicando la propiedad 3, tenemos:
8 33 xyxy
3. El índice del radical no es simplificable.
Ejemplo: El radical 6 4416 yx No se encuentra simplificado, aplicando propiedades,
tenemos:
3 223 23
2
3
2
3
2
3
2
6
4
6
4
6 46 46 466 44 4)2()2())()(2())()(2())()(16(16 yxxyxyyxyxyxyx
Entonces:
6 4416 yx = 3 224 yx
6
OPERACIONES CON RADICALES
Radicales semejantes.
Dos radicales son semejantes si tienen el mismo y el mismo radicando.
Suma de radicales.
Sólo es posible sumar radicales semejantes.
Ejemplos:
xxx 1143 = x4
2212221210
22.623.725.22.262.372.5286187502 222
Producto de radicales.
Para multiplicar radicales se usa la propiedad nnnn abccba
Ejemplo:
)(28))(4)(2( 33 4333 2 xxxxxx
División de radicales.
Para dividir radicales es usa la propiedad n
n
n
b
a
b
a
Ejemplo.
3
41
3
4
3
4
3
4233 nnn
n
n
n
EJERCICIOS
1. Simplifique los radicales.
4
5)24)32)3)2)2) 345 443 fedcbxa
7
2. Realice las operaciones.
xxittthbaag
fed
cbxxxa
5))4)(3)(2())3)(2)(3()
)2)(6)(5()97)20784504753)
324183
18
2
1)10105104)523)
444
333
POLINOMIOS
Polinomios de variable Real (x).
Un polinomio de grado n y variable real ( x ) es una expresión algebraica de la forma:
1 2 2
1 2 2 1 0( ) .....n n n
n n np x a x a x a x a x a x a
donde los coeficientes de la variable
x son números reales y los exponentes son enteros positivos. Se llama término
independiente a aquel término que no contiene la variable.
Cada uno de los sumandos de un polinomio se llama término del polinomio, de acuerdo al
número de términos los polinomios pueden tomar distintos nombres, así:
Monomio: Es un polinomio de un solo término: 33xy
Binomio: Es un polinomio de dos términos: 2 5n mn
Trinomio: Es un polinomio de tres términos: 2 2 33 5ab b a b
Los polinomios de más de tres términos no tienen un nombre particular.
OPERACIONES CON POLINOMIOS
Suma de polinomios.
Términos semejantes. Dos términos son semejantes si la variable contiene el mismo
exponente, por ejemplo los términos 32x y
35x son semejantes, este concepto se puede
extender a términos que tienen más de una variable, como por ejemplo: 44rt y
42rt son
términos semejantes.
Si dos términos son semejantes, entonces se pueden sumar aplicando la Propiedad
Distributiva (Recolectiva) de los números reales, así:
3 3 3 3
2 2 2 2 2 2
2 5 (2 5) 7
4 ( 2 ) 4 2 (4 2) 2
x x x x
xy xy xy xy xy xy
Resumiendo: Para sumar términos semejantes basta con sumar los coeficientes y
multiplicar por la(s) misma(s) variable(s) con su(s) exponente(s). De tal manera que
podemos generalizar esta operación cuando se suman más de dos términos:
8
4 4 4 4 43 4 5 14 16x x x x x
La suma de dos o más polinomios consiste en construir un nuevo polinomio sumando los
términos semejantes y agregando aquellos que no lo son, incluyendo los términos
independientes.
Ejemplo, Sumar los polinomios:
3 4 3 4( 3 2 1) (4 5 7) (8 7 5 12)x x x x x x x
Reunimos los términos semejantes aplicando las propiedades conmutativa y asociativa:
3 3 4 4( 3 8 ) (4 7 ) (2 5 5 ) ( 1 7 12)x x x x x x x
Al sumar obtenemos:
3 45 3 12 18x x x
Nota: Recordemos que la resta de dos números reales consiste en sumar un real con el
opuesto de otro.
Esta definición se puede aplicar a la resta de polinomios, considerando que el opuesto de un
polinomio será aquel que tiene todos sus términos con signos cambiados, así:
Realizar la siguiente resta: 3 2 3(5 3 2) (3 4 6)x x x x x
Convertimos la resta en una suma cambiando todos los signos del sustraendo (el polinomio
de la derecha)
3 2 3(5 3 2) ( 3 ) 4 6x x x x x
Ahora aplicamos la propiedad asociativa suprimiendo todos los paréntesis:
3 2 35 3 2 3 4 6x x x x x
Finalmente sumamos, para obtener: 3 22 3 3 4x x x
Veamos una resta cuyo resultado es cero al aplicar la propiedad del opuesto (inverso
aditivo):
9
2 2 2 ( 2 ) 0ab ab ab ab
Producto de polinomios.
El producto de dos o más términos se realiza utilizando la propiedad de potenciación de
números reales:
m n m na a a
El coeficiente del producto resulta de multiplicar los coeficientes de los factores.
Ejemplos:
2 3 2 3 5 6 4 5 15
2 7 4 13 6 5 2 13
1 2 1 2
2 3 4 2 4 8 8 3 3 3 3
2 13 1 3 1 5 1
3 64 2 4 2 4 2
3 (2 ) 6 6 , (3 )(3 ) 9
4 (3 )( ) 12 , 4 (3 )( ) 12
2 (3 )( ) 6 , 2 ( 4 ) 8 8
( ) , 3 (2 ) 6
x x x x y y y y
x x x x k k k k
x y x y x y x y x x x x
n n n n p p p
Generalización del producto
Es posible aplicar de producto de términos para multiplicar polinomios de cualquier
cantidad de términos, usando la generalización de la propiedad distributiva de números
reales: (a+b)(x-y)=ax-ay+bx-by. Aquí hemos multiplicado cada uno de los términos del
primer factor por los términos del segundo factor.
Ejemplos:
2 3 5 2 4
2 4 2 5 3 6
1 5 41 5
2 33 6 32 2
( )(2 1) 2 2
(2 )( 3 4 ) 6 8 3 4
( )( )
x x x x x x x
r r r r r r r r
a a a a a a a a
Productos especiales (Productos notables)
Existen algunos productos, que por su continuo uso en álgebra y en cálculo, conviene
memorizar. Estos productos son:
1. Binomio al cuadrado.
2 2 2 2 2( ) ( )( ) 2a b a b a b a ab ab b a ab b
2 2 2 2 2( ) ( )( ) 2a b a b a b a ab ab b a ab b
10
2. Suma por diferencia de dos cantidades.
2 2 2 2( )( )a b a b a ab ab b a b
3. Binomio al cubo:
3 2 2 2
3 2 2 2 2 3 3 2 2 3
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( 2 )( )
2 2 3 3
a b a b a b a b a b a b a ab b a b
a a b a b ab ab b a a b ab b
3 2 2 2
3 2 2 2 2 3 3 2 2 3
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( 2 )( )
2 2 3 3
a b a b a b a b a b a b a ab b a b
a a b a b ab ab b a a b ab b
4. Binomio de la forma ( )nx y
Al desarrollarlo obtenemos el polinomio:
3 3 2 2 3
3 3 2 2 3
( ) 3 3
( ) 3 3
a b a a b ab b
a b a a b ab b
2 2 2
2 2 2
( ) 2
( ) 2
a b a ab b
a b a ab b
2 2( )( )a b a b a b
11
1 2 2 3 3 1
1 2 3 1........n n n n n n
n n nx a x y a x y a x y a xy y
. Obsérvese que el primer
termino corresponde a nx y el ultimo corresponde a ny , los demás términos están escritos
de manera que el exponente de x disminuye en tanto que el exponente de y aumenta. Los
coeficientes se pueden obtener a través del triángulo de pascal:
NOTA: El triángulo de Pascal se construye por filas, así:
La primera fila se forma con un solo elemento: el 1
La segunda fila con un par de unos colocados a lado y lado del uno inicial
La tercera se forma sumando los dos unos de la fila anterior colocando dicha suma entre los
dos anteriores y agregando un uno al comienzo de la fila y otro al final
Las filas siguientes se obtienen también sumandos los números de la fila anterior con la
misma disposición y agregando un uno al comienzo y otro al final
Ejemplo:
Desarrollar el binomio 5( 3)x
El primer término corresponde a variable x con exponente 5, es decir, 5x y el último
término será 35. Como el grado de este polinomio es 5 debemos usar el cuarto renglón del
triángulo de Pascal para los coeficientes. De esta forma obtenemos:
5 5 4 3 2 2 3 4 5
5 4 3 2
( 3) 5 (3) 10 (3 ) 10 (3 ) 5 (3 ) 3
15 90 270 405 243
x x x x x x
x x x x x
5. Binomio ( )( )x a x b
2 2( )( ) ( )x a x b x bx ax ab x a b x ab
2( )( ) ( )x a x b x a b x ab
12
EJERCICIOS
1. Realice los productos de polinomios que aparecen indicados a continuación:
)1)(34()))(23())43)(()
)33)(4())22)(23())13)(72(4
3)
)3)(12())23)(22
1())5)(1()
)3)(3())4)(12())3)(2()
22
33
xxljhjhkvrkrkj
qrpiaahxxg
ttfxxexxd
nmmncxxbxxa
2. Realice mentalmente los siguientes productos y escriba el resultado
)15)(15())22)(22()))(()
)42)(42())1)(2())5)(7()
)2())3()))(() 32
ppixxhtrtrg
rrfyyexxd
yxcxbmnmna
Factorización de polinomios.
En matemáticas básicas es fundamental realizar el proceso de convertir ciertos polinomios
en productos.
Este procedimiento se llama factorización. Los casos de factorización que se estudian
comúnmente son aquellos que conducen a los productos notables tratados con anterioridad.
Nota: Un polinomio está completamente factorizado si no contiene factores que se puedan
factorizar.
A continuación estudiamos los casos de factorización más comunes.
1. Factor común.
En este caso existe un factor (factor común) que se repite en cada uno de los términos del
polinomio dado.
Ejemplo, en el polinomio 3 22 5p p p existe un factor común que es p, para factorizarlo
expresamos el polinomio como un producto utilizando la propiedad recolectiva de los
números reales, así:
3 2 22 5 ( 2 5)p p p p p p
Otros ejemplos:
4 1 3 1 3 2
5 5 5 5 5 53 2 5 (3 2 5 )x x x x x x
13
4 3 2 2 2
2 2 2 2 3 2 4 2 2 3
4 12 36 4 ( 3 9)
3 6 7 ( 3 6 7 )
k k k k k k
a b a b a b a b a b b b b
Para comprobar que la factorización es correcta basta con multiplicar aplicando la
propiedad distributiva
Factorización del menos uno
Existe un factor común muy importante, este factor es el menos uno (- 1 ) que es muy
usado en algunos procedimientos de cálculo. Entonces a este procedimiento lo llamaremos
factorización del menos uno
Ejemplo: Dada la expresión a – b , podemos en ella factorizar el menos uno, para obtener:
a – b = - 1( b – a ) = -( b – a )
Otro ejemplo: Simplificar la expresión 2 1
1
x
x
Si factorizamos el numerador obtenemos: 2 1 ( 1)( 1)
1 1
x x x
x x
como se puede observar
no es posible simplificar, pero si factorizamos el menos uno en el factor (x – 1) del
numerador tenemos:
2. Trinomio cuadrado perfecto.
Se llama así al trinomio que al factorizarse se convierte en un binomio al cuadrado. Un
trinomio se reconoce como "trinomio cuadrado perfecto" si dos de sus términos son
cuadrados perfectos, es decir, cada uno es el resultado de elevar una expresión al cuadrado
y el otro término es el doble producto de dichas expresiones (sin elevar al cuadrado).
Los dos términos del binomio al cuadrado son los valores correspondientes a los cuadrados
perfectos, es decir, si el trinomio es: entonces el binomio es ( )
2 22p pq q
2( )p q
( )
14
2( )x w
Veamos otros ejemplos:
2 22n mn m es un trinomio cuadrado perfecto porque tiene dos cuadrados perfectos: 2n y
2m el otro término: 2mn es el doble producto de n y m
De tal manera que su factorización es: 2 2 22 ( )n mn m n m
Factorizar el trinomio: 2 24 12 9k ky y
2 2 2 2 24 12 9 (2 ) 2(2 )(3 ) (3 ) (2 3 )k ky y k k y y k y
3. Diferencia de cuadrados.
Es la factorización cuyo resultado es el producto notable suma por diferencia de dos
cantidades
2 2 ( )( )a b a b a b
Ejemplos: 2 2 24 1 (2 ) 1 (2 1)(2 1)t t t t 2 1 ( 1)( 1)h h h
2 2 ( )( )n m n m n m
4. Suma y diferencia de cubos.
3 3 2 2
3 3 2 2
( )( )
( )( )
a b a b a ab b
a b a b a ab b
Ejemplos:
3 3 2 2
3 3 2 2
( )( )
( )( )
p q p q p pq q
c d c d c cd d
15
5. Factirización de una suma o diferencia de potencias
Para n impar
( )( )
( )( )
Ejemplos:
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
Para n par
Se convierte la expresión en diferencia de cuadrados o atmbién en suma de cubos o
diferencia de cubos, según el caso.
Ejemplos:
( )( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( )( )
6. Factorización por agrupación.
En algunos casos es necesario agrupar dos o más términos para factorizar. Veamos:
3 2 2 2
2
1 ( 1) ( 1) ( 1)( 1)
( 1)( 1)( 1) ( 1) ( 1)
a a a a a a a a
a a a a a
Ejemplos: 4 3 1s s s
Agrupamos el polinomio como dos binomios, así: 4 3( ) ( 1)s s s
Ahora factorizamos el primer binomio (factor común): 3( 1) ( 1)s s s
Tenemos de nuevo un factor común y se obtiene: 3( 1)( 1)s s
Aunque ya existe una factorización, aún no es completa, observemos que el segundo
binomio es factorizable (diferencia de cubos):
16
2( 1)( 1)( 1)s s s s por lo tanto, finalmente el resultado es:
4 3 3
3 2 2 2
1 ( 1) ( 1)
( 1)( 1) ( 1)( 1)( 1) ( 1) ( 1)
s s s s s s
s s s s s s s s s
6. Trinomio de la forma 2x mx n
Esta factorización conduce al producto notable de la forma ( )( )x a x b donde m a b
y n ab .Es decir, que para factorizar este trinomio debemos encontrar dos números cuyo
producto sea n y su suma m.
Ejemplos:
2 2
2
6 8 ( 4)( 2) , 2 48 ( 8)( 6)
13 30 ( 10)( 3)
x x x x x x x x
r r r r
7. Caso particular: Trinomio de la forma 2 ( 1)kx mx n k
En este caso el coeficiente de x no es uno por lo cual se trata de un caso particular del
trinomio 2x mx n
El procedimiento para esta factorización consiste en multiplicar y dividir por k de tal
manera que el coeficiente k se integre a la variable x y así se convierta en el trinomio 2x mx n del cual ya conocemos sus factorización.
Ejemplo:
2
2 (10 ) 31(10 ) 140 (10 35)(10 4)10 31 14
10 10
5(2 7)(10 4) 5(2 7)2(5 2)(2 7)(5 2)
10 10
k k k kk k
k k k kk k
8. Factorización completando el trinomio cuadrado perfecto (por adición y
sustracción).
Algunos polinomios permiten ser factorizados sumando y restando un mismo término, de
manera que se completa un trinomio cuadrado perfecto, luego la expresión se convierte en
una diferencia de cuadrados, la cual es fácil de factorizar.
Ejemplo:
4 2 1t t para completar un trinomio cuadrado perfecto debemos sumar y restar
2t , así:
4 2 2 2 1t t t t Sumando y conmutando, tenemos:
4 2 22 1t t t
17
Ahora factorizamos (trinomio cuadrado perfecto): 4 2 2 2 2 22 1 ( 1)t t t t t
Finalmente, factorizamos la diferencia de cuadrados: 2 2( 1 )( 1 )t t t t
Conclusión:
4 2 2 21 ( 1 )( 1 )t t t t t t
Otro ejemplo:
La ecuación de una circunferencia con centro en (h , k) y radio r es:
( ) ( )
Dada la ecuación:
complete un trinomio cuadrado perfecto para x y otro para y luego
obtenga los binomios al cuadrado que representen la ecuación de la circunferencia de
manera que se evidencie el centro y el radio
Solución:
(
)
( ) (
)
Centro de la circunferencia: (
) radio: √
EJERCICIOS
Factorice los Polinomios:
144)338)82)
4
1
9
1)1263)4)
276)2712)254)
)143110)12)
1)1))
42))23)
222
2223322222
2222
2222
3424
2222
xxrnnqxxp
yxobaabbanwvyxm
aalaakdcj
yxitthppg
mmmfnnebxaybyaxd
aactkbxxa
18
Halle el centro y el radio de la circunferencia:
EXPRESIONES NO POLINÓMICAS
Las expresiones no polinómicas son de la forma:
; √ ;
Las operaciones con estas expresiones se realizan de la misma forma como se hizo con los
polinomios. Las propiedades de potenciación también se conservan.
19
EJERCICIOS
Realice las operaciones:
)5
4
3
4(
4
3)243)
2
1426))(2)
)13(2)))(()
))(())(3)
4643))3()()
)13)(12()5642)
4
3
23
1
332
1
2
1
3
1
232310
1
5
4
222112
2
1
2
1
2
1
2
1
3
1
2
1
22322
1
3
2
2
1
3
2
2
1
4
1
4
3
3
1
3
1
2
1
2
1
3
1
xxxlaababbbak
mmmmjkkki
aaahnnnng
srsrfxxxe
xxxxxdxxxxxc
xxxbxxxxxa
FACTORIZACIÓN DE EXPRESIONES CON POTENCIAS FRACCIONARIAS
Ejemplos:
1. Factorice la expresión 4
7
4
5
4
1
4
3
91263 aaaa Observamos que hay un factor común
que es 4
1
3a de manera que la solución es:
)342(3)342(3 2
3
2
1
4
1
4
6
4
4
4
2
4
1
aaaaaaaa
2. Factorice la expresión xxxxx 23234 5
4
5
3
5
2
5
1
aquí el factor común es 5
1
x así que la
factorización nos queda así:
)23234( 5
4
5
3
5
2
5
1
5
1
xxxxx
EJERCICIOS
1. Halle un factor común y escriba la expresión en forma de productos (factor izada)
9
1
9
2
5
3
5
1
6
1
6
11
3
1
6
5
4
5
4
7
2
7
22
1
3
5
3
8
3
1
3
2
37)54)4522)
23)353)43)
xxfxxexxxxd
ppchhhbxxxxa
20
ECUACIONES LINEALES
Una ecuación lineal en una variable real es una expresión de la forma ax b c
PROPIEDADES
1. Si en una ecuación sumamos en ambos miembros el mismo número real entonces la
ecuación resultante es equivalente a la anterior.
Ejemplo:
Dada la ecuación 3 6 4x sumemos en ambos miembros el número 6
3 6 6 4 6x para obtener: 3 10x
2. Si en una ecuación multiplicamos en ambos miembros el mismo número real distinto de
cero, entonces la ecuación resultante es equivalente a la anterior.
Ejemplo: 1
5 7 Multiplicando por tenemos:5
1 1 7( )(5 ) ( )(7) Simplificando:5 5 5
x
x x
En el siguiente ejemplo usamos las dos propiedades para resolver la ecuación:
Resolver: 7 4 5
7 4 4 5 4
7 0 9
7 9
Multiplicando en ambos miembros por -1:
(-1)(-7 )=(-9)(-1)
7 9
1 1( )(7 ) ( )(9)7 7
9
7
x
x
x
x
x
x
x
x
OTROS EJEMPLOS
1. Resuelva la ecuación:
21
3 1 2 3Multiplicamos por 4 y por 6:
4 6
3 1 2 34( ) 4( )
4 6
2 33 1 4( )
6
2 36(3 1) 6(4)( )
6
6(3 1) 4(2 3)
18 6 8 12
10 12 6
10 18
18 9
10 5
x x
x x
xx
xx
x x
x x
x
x
x
2. Resuelva la ecuación:
4 1Multiplicamos por 2 y por 4
2 4
4 1( 2)( ) ( 2)( )
2 4
24
4
24( 4) 4( )
4
4( 4) 2
4 16 2
3 16 2
3 18
186
3
xx
x
xx x
x
xx
xx
x x
x x
x
x
x
3. Resuelva la ecuación 2
61
2-
3
xx
x
Obsérvese que la ecuación no esta definida para x = 2
Realizando la suma del miembro derecho tenemos:
22
2
4
2-
3
2
62-
2-
3
x
x
x
x
x
x
x
x
Multiplicando en ambos miembros por x – 2 obtenemos 43 xx
entonces 42 x de manera que x = 2 lo cual no es posible ya que, como se dijo arriba la
ecuación no esta definida para x = 2.
Entonces la ecuación no tiene solución.
ECUACIONES CON EXPONENTES FRACCIONARIOS
1. Resuelva la ecuación 02 3
1
xx , para resolver esta ecuación es necesario factorizar
(factor común) así:
0)2( 3
2
3
1
xx ahora igualamos a cero cada uno de los factores:
02,0 3
2
3
1
xx Entonces de la primera ecuación tenemos: x = 0
Resolviendo la otra ecuación obtenemos 23
2
x elevando a la 2
3 en ambos miembros
tenemos:
2
32
3
3
2
2
x por lo tanto 2
3
2x
Solución: x = 0 , 2
3
2x
Escribiendo de otra forma tenemos: 22)2(22 2
1
2
3
entonces la ecuación tiene dos
soluciones:
x = 0 y 22x
2. Resuelva la ecuación 04 2
1
4
3
xx
En primer lugar amplificamos un exponente para que los denominadores coincidan, así:
04 4
2
4
3
xx
23
Encontrando un factor común tenemos: 0)14( 4
1
4
2
xx es decir, 0)14( 4
1
2
1
xx
Ahora igualamos a cero cada factor: 014,0 4
1
2
1
xx por lo tanto:
x = 0 además, 256
1
4
1
4
1
4
114
4
44
4
1
4
1
4
1
xxxx
Entonces las soluciones de la ecuación son: x = 0 y 256
1x
Resuelva las ecuaciones:
122
4
92)0
13
9
27
3)
4
3
14
213)
13
32
13
9))25(3)52(4)
7
4
5
53)
2
13
4
1)
2
1
2
42
3
43)
2
1
3
34)
43
1
6
53)5
2
14
4
3)6
2
13)
9384)123232)233)
xx
xxn
x
xm
xx
xlyyk
xxj
mirr
ha
ag
ttfxxeccd
aacxxbxa
Resuelva las ecuaciones:
1) 3 2 4 ) 4 3 5 ) 6 1 2 3 ) 12 0
2
4 1 2) 2 4 13 ) 2 6 ) 7 ) 5 8 7
3 3 3
1 1 2 3) 4 ) 5 ) 12 ) 6 6 8
3 2 5 4
3 3 5 1) 2 3 4 3 ) 5 0 ) 1
2 5 3
2 1 4 3 1 2 3 2 2 1 2) 2 ) ) 3
3 6 4 2 6 3 5 2
a x b x c a a d x
e n f p g z h m
i y j a k h l r
x xm x x n x o x
x x x x x x xp q r
1 7 4 7) 3 11
4 6 9
x x xs x
24
ECUACIONES CUADRÁTICAS
Una ecuación cuadrática es de la forma: 02 cbxax
La solución de una ecuación cuadrática se obtiene de dos maneras:
1. Por factorización.
2. Por fórmula cuadrática: a
acb-bx
2
42
Ejemplos
POR FACTORIZACIÓN
a) Hallar las soluciones de la ecuación 0232 x-x por factorización
Factorizando: 0)2)(1( x-x- de manera que 01- x ó 02 x
Entonces: 1x y 2x son las soluciones de la ecuación.
b) Hallar las soluciones de la ecuación 062 xx por factorización
Factorizando: 0)6( xx de manera que 0x ó 6x
Entonces: 0x y 6x son las soluciones de la ecuación.
c) Hallar las soluciones de la ecuación 04-2 x por factorización
Factorizando: 0)2)(2( x-x de manera que 02 x ó 02 x
Entonces: 2x y 2x son las soluciones de la ecuación.
d) Hallar las soluciones de la ecuación 012 x por factorización
La ecuación no es factorizable, si intentamos despejando x tenemos:
-12 x lo cual NO es posible, de manera que la ecuación no tiene solución.
POR FÓRMULA CUADRÁTICA
a) Hallar las soluciones de la ecuación 0432 xx por fórmula cuadrática.
4,3,1 cba
25
42
53
12
53
2
53
2
253
2
1693
)1(2
)4)(1(433
2
12
x
x--
x
Entonces las soluciones son: x = 1 y x = - 4
b) Hallar las soluciones de la ecuación 053-2 xx por fórmula cuadrática.
5,3,1 cba
2
293
2
293
2
293
2
2093
)1(2
)5)(1(4)3(3
2
12
x
x-
x
Entonces las soluciones son: x = 2
293 y x =
2
293
c) Hallar las soluciones de la ecuación 0542 xx por fórmula cuadrática.
5,4,1 cba
2
43
2
20163
)1(2
)5)(1(444 2
--
x
En este caso 4 no existe en los reales, por lo tanto la ecuación no tiene solución.
NOTA:
En general, si b2
– 4ac < 0 la ecuación no tien solución.
si b2
– 4ac > 0 la ecuación tiene dos soluciones.
si b2
– 4ac = 0 la ecuación tiene única solución.
EJERCICIOS
Resuelva las ecuaciones:
) ) ) )
26
) ) )
)
) ) ( )
) ) ( ) )
) ) )
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Un sistema simultáneo de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un arreglo de la
forma:
1 1 1
ax by c
a x b y c
En el que se deben hallar los valores de las variables x , y de manera simultanea, entonces
resolver el sistema consiste en encontrar números reales x , y que satisfagan
simultáneamente las dos ecuaciones
Existen tres métodos para resolver estos sistemas:
1. Por eliminación.
2. Por sustitución.
3. Por igualación.
A continuación explicaremos estos tres métodos a través de un ejemplo.
Ejemplo: Resolver el sistema:
2 6
3 1
x y
x y
METODO DE ELIMINACIÓN
Resolveremos inicialmente por eliminación, que consiste eliminar una de las variables
mediante una suma mimbro a miembro, puede ser necesario multiplicar una (o ambas) de
las ecuaciones por algún número real distinto de cero, veamos:
2 6
3 1
x y
x y
En este caso es conveniente eliminar la variable y, así:
27
2 6sumando miembro a miembro se elimina
3 1
obteniendo: 5 5 1
x yy
x y
x x
Ahora basta con sustituir el valor encontrado en una de las ecuaciones:
2(1) 6 2 6 4y y y
Por lo tanto la solución es: 1
4
x
y
METODO DE SUSTITUCION
Resolvamos ahora el sistema por sustitución, que consiste en despejar una de las variables
en una de las ecuaciones y luego sustituir esta expresión en la otra para hallar el
correspondiente valor, luego se reemplaza el valor hallado en una de las ecuaciones para
encontrar el valor faltante, veamos:
2 6Despejemos en la primera ecuacion:
3 1
2 6 sustituyamos esta expresion en la otra ecuacion:
3 (2 6) 1
3 2 6 1
5 6 1
5 5
1
x yy
x y
y x
x x
x x
x
x
x
Luego se reemplaza este valor para hallar el valor de y, así se obtiene el mismo resultado.
METODO DE IGUALACIÓN
Finalmente, vamos a emplear el método de igualación para resolver el sistema dado, este
método consiste en despejar en ambas ecuaciones la misma variable y luego igualar las dos
expresiones obtenidas, veamos:
2 6Despejemos yen ambas ecuaciones,asi: 2 6 , 3 1
3 1
Ahora igualamos: 2 6 3 1 2 3 6 1 5 5
Por lo tanto 1
x yy x y x
x y
x x x x x
x
De aquí se obtiene el valor de y se llega a la misma solución.
28
EJERCICIOS
Resuelva los sistemas de ecuaciones:
1034
8
5032
5
203
52
542
4
1832
52
7
4353
10
162
4
833
152
3
1873
1125
864
62
113
1157
732
423
244
336
1943
1323
641616
911625
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
xy
yx
yx
xy
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
ba
ba
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
1. Un estudiante de álgebra obtuvo calificaciones parciales de 75, 82, 71 y 84. ¿Qué
calificación debe obtener para que su promedio se a 80?
2. Un gavilán se cruza en vuelo con lo que parece un centenar de palomas. Pero una de ellas
lo saca de su error:
- No somos cien -le dice-. Si sumamos las que somos, más tantas como las que somos, más
la mitad de las que somos, y la mitad de la mitad de las que somos, en es caso, contigo,
gavilán, seríamos cien.
¿Cuántas palomas había en la bandada?
3. El perímetro de un jardín rectangular es de 68 m. Si el lado mayor mide 10 m. más que el
lado menor. ¿Cuánto miden los lados del jardín?
4. Un ciclista sale por una carretera a 15km / h. Media hora después sale otro en su
persecución a una velocidad de 20km/h. ¿Cuánto tardará en alcanzarlo?
5. Halla un número tal que su mitad más su cuarta parte más 1, sea igual al número pedido.
6. En la primera prueba de un concurso queda eliminado el 70% de los participantes. En la
segunda queda eliminado el 40% de los restantes. Si el número de personas que aprobaron
las dos pruebas fue 36 ¿cuántas personas se presentaron al concurso?
7. Calcula tres números sabiendo que son consecutivos y que su suma es igual al cuádruplo
del menor.
8. Un estudiante de álgebra tiene las siguientes notas parciales: 75, 82, 71 y 84. Qué
calificación debe obtener en la quinta nota para que su promedio sea 80?
29
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fracción algebraica es una expresión de la forma:
1
2
44,
1,
43
1
2
,
3
2
121
,1
1322
n
n
n
r
sr
a
a
a
xx
x
x
x
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Para simplificar una fracción algebraica simple se requiere que el numerador y el
denominador se encuentren factorizados y luego se simplifica la expresión usando la
propiedad:
Ejemplos.
1. Simplificar la fracción: 34
12
2
xx
x
2. Simplificar la fracción: 45
12
3
xx
x
OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS
Suma de fracciones algebraicas.
Dadas dos o más fracciones algebraicas, si tienen el mismo denominador la suma de ellas
se obtiene sumando los numeradores y luego simplificando.
Ejemplo.
Sumar
Solución
30
( )
Si las fracciones tienen distinto denominador, es necesario factorizar los denominadores y
hallar el mínimo común múltiplo de ellos, esta expresión será el denominador común
luego se divide el denominador común entre un denominador y el resultado se multiplica
por el correspondiente numerador, enseguida se realizan las operaciones que quedaron
indicadas en el numerador, se factoriza y finalmente, se simplifica si es posible.
Ejemplo.
Sumar
( )( )
( )
( )( )
( )( )
( )( )
PRODUCTO DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
El producto de dos o más fracciones algebraicas se realiza factorizando los numeradores y
denominadores y luego se simplifican los factores comunes.
Ejemplo.
(
) (
) (
( )( )
) (
( )( )
) ( )( )
DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
La división de dos o más fracciones algebraicas se realiza factorizando los numeradores y
denominadores y luego se invierte el divisor y se realiza un producto.
Ejemplo.
(
) (
) ( ( )
) (
) ( ( )
) (
)
31
EJERCICICOS
1. Simplifique las expresiones:
)
)
)
)
)
)
2. Simplifique las fracciones algebraicas dejando exponentes positivos:
2 2 3 2 4 4 5 3
2 3 4 2 4
4 4 5 5 6 4 3
5 3 3 2 6 3 2 3 3 6
3 4 20 10 23) ) ) ) ) )
5 2 2
3 5 3 4 2 7 2 4 5) ) ) ) )
3 5 4 3 2 7 14 2 4 5
nm xy a bc rs x y x za b c d e f
m xy ac rs x y x z
g h i j k
3. Realice las sumas y simplifique el resultado:
a) 2
1x
x x b)
2
a b
b a c)
3
1 2x
x x d)
3a b
a b a
e)
3 1
4t t
f) 2 2
1 1 2
1x x x
g)
3 2
3 4 3x
x x
h)
2 4 2
1
x
x x
i)
34
2x
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
4. Realice los productos:
a) 3
2
2 1( )( )
2
x x
x x x
b)
245 30.15 15
x bx b
ax a x
c) 2
2
1 2 1.
1 1
x x x
x x
d)
2 2
16( )( )
4
x y
x y
e) 2 2
2 6( )( )
42 10
x x
x x x
f)
2
3 1 2( )( )2 4 3
x x
x x x
32
) (
) ) (
) ) (
) (
)
) (
) (
) ) (
) (
) ) (
) (
)
) (
) (
) )
(
) (
) ) (
) (
)
) (
) (
) ) (
) (
) ) (
) (
)
) (
) (
) ) (
) (
) ) (
) (
)
) (
) (
) ) (
) (
) ) (
) (
)
5. Realice las divisiones y simplifique el resultado:
a) 2( )
a a
a b a b
b)
1 3
5 5x x
c)
2
3
3
3
9 3
a b
b
a ab
b
d)
3
2
3
3
6
9
k
x
k
x
e) 2
23
3
2t
h
tt
f)
x
x
w
12
5
23
g) 22 3 6
3 5
z z
z
h)
1
4 1r
r
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
√ )
)
)
)
33
6. Realice las operaciones indicadas a continuación:
c) 2
1 2
x x
x
d) 5
32
4
x
e)
23
3
24
xx
x
f) 1 1 1 1
1 11 1 1 1
x x x
x x x x
g) 12
( 3) (4 )5 5
t
x x
h)
4
23
12
a
i)
43 _
32
2
14
x
x