tabla de mortalidad experiencia mexicana 1982-1989

7/23/2019 Tabla de Mortalidad Experiencia Mexicana 1982-1989

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Tabla de Mortalidad Experiencia Mexicana1982-1989

Rosa Mara Alatorre Salgado

Septiembre 1991

Serie Documentos deTrabajo

Documento de trabajo No. 2


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ndice

I. Antecedentes 1

II. Expuestos al Riesgo 1

III. Tasas Crudas 5

IV. Suavizamiento 8

V. Graduacin 13

VI. Margen de Seguridad 14

VII. Bibliografa 22


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Tabla de Mortalidad ExperienciaMexicana 1982-1989Rosa Mara Alatorre Salgado

I. Antecedentes

La tabla de mortalidad es la base para el clculo de primas y reservas en el seguro de vida, yrepresenta un registro de la mortalidad observada durante un periodo de tiempo, de unapoblacin en particular.

Las variaciones constantes en las condiciones de vida y su influencia en la mortalidad humanahace necesario que peridicamente se realicen estudios que permitan validar la mortalidad delos asegurados mexicanos.

Para tal efecto, considerando como base estadstica la experiencia de las compaas mexicanasdurante el periodo 1982-1989, se realiz el presente estudio, con objeto de proponer uninstrumento que permita medir fielmente las probabilidades de muerte relativas a dichosasegurados. Con lo cual se pretende modificar la Base Demogrfica actual, correspondiente alos Seguros de Vida Individual, sustituyndola por la Tabla de Mortalidad Mexicana 1989.

La experiencia de mortalidad de asegurados, durante el periodo 1982 a 1989, se considerproporciona un volumen homogneo de datos, lo suficientemente representativo de la situacindel sector asegurador mexicano.

Los datos se refieren a la experiencia combinada de hombres y mujeres, ya que no se cuentacon la suficiente informacin, que permita obtener resultados confiables, representativos por

sexo.

Por sus caractersticas, la informacin no distingue entre seguros con y sin examen mdico;adems no es posible separar los riesgos subnormales, por estar incluidos en los reportespresentados por las Aseguradoras, lo cual representa un ligero margen de seguridad en latabla.

En el caso del Seguro de Vida Individual, se trata de una Tabla de Mortalidad Ultima queexcluye la mortalidad ocurrida durante los primeros tres aos de vigencia del seguro.

II. Expuestos al RiesgoLa informacin que las Instituciones de Seguros proporcionan, se refiere a los siguientesconceptos:

1. Plizas a edad alcanzada, en vigor al 31 de diciembre de cada ao, en el caso de Segurode Grupo, Certificados a edad alcanzada.

2. Muertes Ocurridas a edad alcanzada, durante el perodo de observacin.


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En primer trmino, se determinaron los expuestos al riesgo a edad alcanzada, mediante laexpresin:

xxx dPE += +1

Donde:Ex = Expuestos al riesgo de edad , al principio del ao.Px+1 = Plizas en vigor de edad + 1, reportados al 31 de diciembre de cada ao; en el

caso del Seguro de Grupo, Certificados en vigor.dx = Nmero de asegurados muertos de edad , en el transcurso del ao.

A manera de demostracin, recurriremos a la representacin grfica de Lexis, el cual nospermite identificar en el tiempo las lneas de vida de los individuos desde su nacimiento hastasu muerte:

AO DE NACIMIENTO

Sistema de ejes rectangulares en los que el tiempo es la abscisa y la edad la ordenada, que nosmuestra el total de plizas de edad + 1, en vigor al 31 de diciembre, que corresponden a lasde edad , al principio del ao, previa deduccin de las muertes ocurridas en el transcurso delao, rea sombreada.

De esta manera, se obtuvieron los expuestos al riesgo por edad y compaa. Se reuni laexperiencia de todas las instituciones por cada ao del perodo objeto de anlisis, obteniendo eltotal de expuestos por ao de observacin, segn se muestra a continuacin:

Ao Expuestos Mortalidadal Riesgo Ocurrida

1982 608,553 3,4571983 666,064 2,7971984 778,383 2,6881985 792,915 3,1391986 1026,354 3,4391987 1011,928 2,6261988 1392,514 2,7141989 1431,178 3,083


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Se dice que una tabla de mortalidad representa la marcha a travs de la vida de un grupo depersonas, sin embargo sera imposible hacer el seguimiento del grupo, desde su nacimientohasta su extincin total.

En esas circunstancias es necesario recurrir a mtodos estadsticos, que permitan inferirprincipios generales de comportamiento, para ser aplicados a una poblacin con caractersticassimilares.

Las experiencias recogidas fueron tratadas siguiendo el principio fundamental de Ackland queestablece:

Toda persona de edad x, en observacin durante unidades de tiempo, en el intervalo deinvestigacin que se considere, equivale, de acuerdo a los efectos de la formacin de las clasesde edades a t personas de edadesx, x+ 2,,x+ t- 1, puestas todas en observacin duranteuna sola unidad de tiempo.

Asimismo, tomando en consideracin los expuestos al riesgo, al principio del perodo anual, ylas muertes ocurridas en el transcurso de cada ao, el total de expuestos al riesgo se obtuvoaplicando las siguientes frmulas:

xtxxx EEEE ++=

89

83

8982 )(2/1

Por cuanto al total de muertes, se determin como la suma de los muertos de edad , durante elperodo de observacin.

xtx d=89

82

Para el perodo 1982-1989, se obtuvo como el resultado para el seguro de vida individual untotal de expuestos al riesgo de 6688,024 y 23,943 siniestros.

A manera de referencia, cabe mencionar que para la tabla de mortalidad ExperienciaMexicana 1962-1967, se tomaron como base 649,463 expuestos y 6,320 siniestros, lo cualpor principio nos proporciona mayor fidelidad en los estudios realizados con base en el perodo1982 a 1989.


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Expuestos y Mortalidad Ocurrida

Edad Expuestos Mort. Edad Expuestos Mort. Edad Expuestos Mort.Ocurr. Ocurr. Ocurr.

12 9,203.0 16 42 211,408.5 509 72 12,116.5 78613 7,001.0 2 43 201,843.0 574 73 10,888.0 26014 16,768.0 3 44 188,313.5 630 74 9,822.5 27715 10,445.0 4 45 174,223.0 591 75 8,752.5 22716 9,654.0 0 46 162,347.5 617 76 7,762.5 18817 16,102.5 7 47 151,459.5 623 77 6,973.5 17118 18,442.0 9 48 141,042.5 626 78 6,392.0 19419 20,408.0 15 49 128,595.5 581 79 5,440.0 17720 25,173.0 14 50 117,505.5 562 80 4,758.5 12721 33,359.5 23 51 106,745.5 629 81 4,286.5 16622 50,374.5 27 52 98,154.0 535 82 3,799.0 11323 74,561.0 37 53 87,818.0 647 83 3,222.0 10824 99,480.5 80 54 79,525.0 617 84 2,588.0 10925 122,342.5 106 55 72,288.0 562 85 5,841.5 8826 147,954.5 108 56 65,234.5 513 86 1,259.5 156

27 165,651.0 183 57 59,083.5 542 87 913.5 5228 184,425.5 182 58 52,445.0 530 88 775.0 3729 201,460.0 233 59 48,508.0 540 89 635.5 4230 218,085.5 265 60 44,817.5 563 90 618.0 3231 231,340.5 276 61 40,417.0 473 91 448.0 1732 242,170.0 277 62 36,168.0 423 92 337.5 1533 249,538.5 312 63 32,128.5 492 93 291.0 2134 254,078.5 318 64 28,208.5 380 94 186.5 1535 261,217.0 347 65 24,342.0 379 95 160.0 1036 260,378.0 364 66 20,805.0 373 96 101.0 537 258,114.5 388 67 18,746.5 310 97 60.5 938 250,332.5 443 68 17,329.0 315 98 64.5 339 242,261.5 446 69 15,277.5 329 99 35.5 540 231,921.0 517 70 13,819.0 277 100 17.5 2541 224,367.0 456 71 14,268.5 308

III. Tasas Crudas

Conforme al procedimiento anteriormente descrito para determinar el nmero de expuestos alriesgo, la relacin muertos a expuestos por edad corresponde a la tasa central demortalidad, la que se calcul a partir de la expresin:

x

xx

Em

=

Las Tasas Crudas resultantes, estn muy lejos de ofrecer la regularidad esperada en unfenmeno como el que se est estudiando.


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Tasa Central de Mortalidad Cruda

Edad 1000[mx] Edad 1000[mx] Edad 1000[mx]

12 1.73856 42 2.40766 72 64.8702213 0.28567 43 2.84379 73 23.8795014 0.17891 44 3.34549 74 28.2005615 0.38296 45 3.39220 75 25.9354516 0.00000 46 3.80049 76 24.2190017 0.43472 47 4.11331 77 24.5214018 0.48802 48 4.43838 78 30.3504419 0.73501 49 4.51804 79 32.5367620 0.55615 50 4.78275 80 26.6890821 0.68946 51 5.89252 81 38.7262322 0.53599 52 5.45062 82 29.7446723 0.49624 53 7.36751 83 33.5195524 0.80418 54 7.75857 84 42.1174725 0.86642 55 7.77446 85 15.0646226 0.72995 56 7.86394 86 123.8586727 1.10473 57 9.17346 87 56.92392

28 0.98685 58 10.10583 88 47.4194029 1.15656 59 11.13218 89 66.0896930 1.21512 60 12.56206 90 51.7799431 1.19305 61 11.70300 91 37.9464332 1.14382 62 11.69542 92 44.4444433 1.25031 63 15.31351 93 72.1649534 1.25158 64 13.47112 94 80.4289535 1.32840 65 15.56980 95 62.5000036 1.39797 66 17.92838 96 49.5049537 1.50321 67 16.53642 97 148.7603338 1.76965 68 18.17762 98 46.5116339 1.84099 69 21.53494 99 140.8450740 2.22921 70 20.04487 100 1,428.5714341 2.03238 71 21.58601

Las fluctuaciones observadas nos inducen a pensar que existen errores que afectan losresultados, como son insuficiencia de datos en algunas edades, inexactitud en las declaracioneso influencia de causas adversas, o excepcionalmente favorables.


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Tasas Crudas


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IV. Suavizamiento

La curva de mortalidad se supone suave, regular y continua, por lo que la situacin descrita,nos obliga a efectuar una serie de ajustes, para obtener tasas con la suavidad y fidelidadsuficientes, para ser consideradas como razonablemente similares a las verdaderas tasas demortalidad.

Dichos ajustes, se conocen como mtodos de graduacin, y pueden definirse como el procesopara obtener de una serie irregular de valores observados de una variable continua, una serieregular de valores consistentes de manera general con la serie de valores observados. Estaserie suave de valores graduados, se considera representativa de la mortalidad real del grupoobservado.

Existen diversos procedimientos universalmente aceptados, para llevar a cabo la graduacin deuna serie de datos, que pueden ser grficos, mecnicos o analticos.

A continuacin se menciona el procedimiento que se sigui para determinar las tasas demortalidad que se proponen:

En primer trmino se agruparon los expuestos y las muertes ocurridas, por intervalos deedades quinquenales, lo que produce un suavizamiento inmediato y proporciona un mayorvolumen de informacin por cada intervalo de edad.


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Tasa Central de Mortalidad Quinquenal

Edad Expuestos Mort. 1000[mx] Edad Expuestos Mort. 1000[mx]

13 32,972.0 21 0.63690 57 297,559.0 2,687 9.0301417 75,051.5 35 0.46635 62 181,739.5 2,331 12.8260522 282,948.5 181 0.63969 67 96,500.0 1,706 17.6787627 821,833.5 812 0.98803 72 60,914.5 1,908 31.3225932 1195,213.0 1,448 1.21150 77 35,320.5 957 27.0947537 1272,303.5 1,988 1.56252 82 18,654.0 623 33.3976642 1057,853.0 2,686 2.53911 87 9,425.0 375 39.7878047 757,668.0 3,038 4.00967 92 1,881.0 100 53.1632152 489,748.0 2,990 6.10518 97 421.5 32 75.91934

Tasa Central de Mortalidad Quinquenal


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Despus de varias pruebas, aplicando diferentes procedimientos analticos, entre ellos el deKarup-King; con el Mtodo de Gauss, obtuvimos tasas que mantenan una buena fidelidadrespecto a los puntos pivote, representativos, con lo que se obtuvo una curva suave ycontinua, sin embargo las tasas de mortalidad resultantes no mantenan una adecuada

fidelidad con los datos observados, de entre las edades 35 a 60 aos.

En consecuencia se opt por ajustar la curva utilizando el Mtodo de ecuaciones diferenciales,conocido con el nombre de Whittaken-Henderson, Tipo A. Este mtodo se fundamenta en laformulacin de una expresin analtica que mide la combinacin suavidad-fidelidad a travs delas derivadas parciales de la relacin entre ambos factores, de tal manera que conforme stase minimiza, la divergencia se incrementa hasta que el suavizamiento es favorable a lafidelidad.

De acuerdo con los principios establecidos en este mtodo, la mejor graduacin se obtienecuando la expresin F+h*s, se hace mnima, lo que se obtiene haciendo cero las derivadasparciales de esta expresin, con respecto a una variable independiente.

Para nuestro estudio era muy importante mantener la fidelidad con los datos observados, raznpor la que se consider adecuado elegir como parmetro para medir la fidelidad de los datos, elvalor a = 1, obteniendo como resultado una curva suave y continua de Tasas Brutas deMortalidad.

Tasas Brutas

Edad 1000[qx] Edad 1000[qx] Edad 1000[qx]13 0.23 43 2.83 73 33.3914 0.23 44 3.16 74 30.3715 0.25 45 3.47 75 27.7516 0.28 46 3.76 76 26.3917 0.38 47 4.05 77 26.5918 0.48 48 4.33 78 27.9119 0.57 49 4.64 79 29.2120 0.60 50 5.04 80 30.1721 0.61 51 5.56 81 31.5922 0.61 52 6.13 82 33.0923 0.64 53 6.79 83 36.7024 0.72 54 7.37 84 43.2925 0.80 55 7.88 85 52.7126 0.88 56 8.46 86 64.4127 0.98 57 9.23 87 65.2728 1.05 58 10.09 88 62.0229 1.12 59 10.94 89 58.5730 1.16 60 11.66 90 54.1131 1.18 61 12.21 91 50.3032 1.20 62 12.85 92 48.0533 1.23 63 13.69 93 44.1334 1.27 64 14.41 94 34.12

35 1.33 65 15.28 95 22.9636 1.42 66 16.22 96 31.0037 1.55 67 17.27 97 91.7938 1.70 68 19.04 98 245.0439 1.87 69 21.88 99 549.4540 2.05 70 25.88 100 665.5741 2.24 71 30.9742 2.51 72 35.18


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Tasas Brutas


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V. Graduacin

Las tasas brutas as obtenidas, se graduaron para obtener tasas bsicas, representativas de lamortalidad ocurrida en el Sector, durante el perodo 1982-1989.

Se consider conveniente aplicar en la Graduacin de la Tabla, el Mtodo de Makeham, por lasventajas actuariales que ofrece, fundamentalmente la aplicacin del principio delEnvejecimiento Uniforme, de modo tal que permite una gran simplicidad de clculo parafunciones de vida conjunta, primas, reservas y anualidades.

Segn la hiptesis de Makeham, la Tasa Instantnea de Mortalidad, se define como:

x

x BcA +=

En primer trmino, para calcular las constantes de Makeham, se determinaron tasas anuales demortalidad, a partir de la expresin matemtica:

x

xx

mmq+

=22


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Las constantes de Makeham se calcularon utilizando el mtodo de King y Hardy:

xcx

x gKsl +=

LoggcxLogsLogKLogl

x

x ++=

x

xxt

l

lP 1+=

LoggcctLogsPLog txxt )1()( +=

Tomando cuatro grupos de edades equidistantes y tomando primeras diferencias tenemos:

LoggccPLog txxt2)1()( =

)()( 1

xt

xtt

PLogPLogc +=

2)1(

)(

=

tx

xt

cc

PLogLogg

LoggccPLogtLogs txxt )1()(/1 =

LogsA =

))(( LoggLogcB =

En nuestro estudio se obtuvieron los siguientes valores:

C = 1.0909846240A = 0.000392126B = 0.0000727187

A partir de dichas constantes se calcularon las tasas de probabilidad anuales, que integran laTabla de Mortalidad 1989.

VI. Margen de Seguridad

Uno de los objetivos que se persiguen al realizar estudios de esta naturaleza, es que la Tablade Mortalidad resultante, pueda aplicarse durante un perodo de tiempo largo,fundamentalmente considerando que en el caso del seguro de vida individual, servir de basepara el clculo de reservas matemticas. En ese sentido se hace necesario prever lasdesviaciones que pudieran presentarse en el tiempo.Para ese efecto, se determin una funcin que proporcionara el margen suficiente para cubrirtales desviaciones.


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Dicha funcin se defini como:

xe

cxbxaenm

2

arg +

=

Por las caractersticas de la informacin, hubo necesidad de determinar cuatro funciones paraintervalos de edades diferentes, a saber, de 12 a 32 aos; de 33 a 71 y de 72 en adelante.

Resolviendo el sistema de ecuaciones resultantes, se obtuvieron las siguientes constantes:

ConstantesRango de Edades A B C

12 a 32 0.034 0.00015 0.000020033 a 71 0.035 0.00015 0.0000095ms de 72 0.100 0.00000 0.0000000

Los factores resultantes son equivalentes a los utilizados en la Tabla de Mortalidad ExperienciaMexicana 1962-1967.

Recargando las tasas brutas con estos factores, y ajustando con el mtodo de Makeham, seobtuvieron tasas con un margen que cubre posibles desviaciones.

Por razones de orden prctico, se decidi modificar la edad extrema de la tabla, , y asignarcomo tal la edad de 99 aos, de tal forma que sin alterar el argumento de la tabla, seconsiguieran valores enteros para las funciones: lx, dx, y qx, y, en todo el intervalo 0 < x .

Como resultado se obtuvieron Tasas Modificadas, las cuales representan la Tabla de MortalidadMexicana 1982-1989.

Asimismo, deduccin hecha de los factores de recargo establecidos, a partir de estas tasas seobtuvieron las Tasas Bsicas.


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Tasas Bsicas

Edad 1000{qx} Edad 1000{qx} Edad 1000{qx}

12 0.60 42 2.65 72 34.3313 0.61 43 2.87 73 37.6814 0.61 44 3.11 74 41.2915 0.62 45 3.38 75 45.2016 0.63 46 3.67 76 49.4317 0.64 47 3.99 77 54.0218 0.65 48 4.35 78 58.9919 0.67 49 4.73 79 64.3920 0.68 50 5.15 80 70.2221 0.70 51 5.62 81 76.5422 0.72 52 6.12 82 83.3723 0.74 53 6.68 83 90.7624 0.77 54 7.29 84 98.7725 0.79 55 7.96 85 107.5026 0.82 56 8.69 86 117.0127 0.86 57 9.49 87 127.25

28 0.90 58 10.36 88 138.1729 0.94 59 11.32 89 149.8130 0.99 60 12.37 90 162.1331 1.04 61 13.51 91 175.1032 1.10 62 14.76 92 188.6633 1.38 63 16.13 93 202.5934 1.47 64 17.62 94 239.4835 1.58 65 19.24 95 258.1336 1.69 66 21.02 96 277.9537 1.81 67 22.96 97 298.9838 1.95 68 25.07 98 321.2139 2.10 69 27.39 99 1,000.0040 2.27 70 29.9241 2.45 71 32.70


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Tasas Bsicas


20/24


21/24

Tasas Modificadas

Edad 1000{qx} Edad 1000{qx} Edad 1000{qx}

12 1.12 42 3.84 72 40.2413 1.14 43 4.11 73 43.7514 1.16 44 4.40 74 47.5515 1.19 45 4.72 75 51.6916 1.21 46 5.07 76 56.1817 1.24 47 5.45 77 61.0518 1.27 48 5.86 78 66.3419 1.30 49 6.31 79 72.0820 1.34 50 6.80 80 78.2921 1.38 51 7.33 81 85.0322 1.42 52 7.91 82 92.3223 1.47 53 8.55 83 100.2124 1.52 54 9.24 84 108.7425 1.57 55 10.00 85 117.9626 1.64 56 10.82 86 127.9027 1.70 57 11.72 87 138.62

28 1.77 58 12.69 88 150.1729 1.85 59 13.76 89 162.5930 1.94 60 14.92 90 175.9331 2.03 61 16.19 91 190.2532 2.14 62 17.57 92 205.5833 2.25 63 19.07 93 221.9834 2.37 64 20.70 94 239.4835 2.50 65 22.49 95 258.1336 2.65 66 24.43 96 277.9537 2.81 67 26.54 97 298.9838 2.98 68 28.84 98 321.2139 3.17 69 31.34 99 1,000.0040 3.38 70 34.0641 3.60 71 37.02


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Bibliografa

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tabla de mortalidad experiencia mexicana 1982-1989

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