t8.introducción a la cinemática. 1º bachillerato

Eric CalvoLorente Física y Química1º Bachillerato

1

Tema8 : Introducción a laCinemática.

0. Índice1. Movimiento2. Posición de los Cuerpos3. Representación Matemática del Movimiento4. Desplazamiento, Trayectoria y Espacio Recorrido5. Velocidad

5.1 Concepto5.2 Velocidad Media5.3 Módulo de la Velocidad

6. Aceleración6.1 Definición6.2 Aceleración Instantánea6.3 Aceleraciones Tangencial y Centrípeta

6.3.1 Aceleración Tangencial6.3.2 Aceleración Centrípeta


21. Movimiento

Diremos que un cuerpo se halla en movimiento cuandoCAMBIA SU POSICIÓN RESPECTO A UN

PUNTO O SISTEMA DE REFERENCIA QUE SECONSIDERARÁ FIJO

PUNTOdehablaremos,movimientoundescribasenoqueelencsoelEn.MÓVILesimplementmosdenominarequematerial,puntouncomoáconsiderarsemueve,sequecuerpodelsdimensionelasnimasalaniáintervendrnoquePuesto:Nota

2. Posición de los CuerposLa posición de un móvil vendrá determinada por las coordenadas de dicho

móvil respecto al sistema de coordenadas (o sistema de referencia).Esta posición estaría definida, en un espacio plano, por dos coordenadas.En Física se suelen utilizar varios tipos de coordenadas; entre ellas nos

quedaremos con: Coordenadas Cartesianas: A través del par (x,y) Coordenadas polares: A través del par )(r,θ , donde:

Xejeelconrformaqueánguloθscoordenadadeorígenelconpuntounseparaquedistanciar

Aclarémoslo con un ejemplo:

En Coordenadas Cartesianas:A (4,4)

En Coordenadas Cartesianas:

445ºarctg1

44arctg

r

θ

3244 22

Luego:

)4

,32(

A

r

θ

A


3

Recordatorio de trigonometría: Relación entre coordenadascartesianas y coordenadas polares.

22

:

cos.

.

.

cos.

yxr

Además

x

yarctgtg

x

y

r

senr

x

y

senry

rx

La representación de las coordenadas, expresadas en coordenadascartesianas, puede representarse por medio de vectores:

r

jyixyxr

),(

, donde i

, j

son los vectores unitarios en las direcciones de losejes.

La unidad de medida de la posición en S.I, como bien puede suponerse, es elmetro.

OBSERVACIÓN: Coordenadas en el espacio tridimensional

Es obvio que en esta circunstancia se necesitará una nuevacoordenada.

),,( zyxkzjyix

r

:scartesianascoordenadaEn

A

i

j


4

Por su parte, en coordenadas polares:

3. Representación Matemática del MovimientoEl cambio de posición de un móvil en función del tiempo (movimiento),

puede expresarse matemáticamente mediante una ecuación, llamada Ecuaciónde la Posición.

ztfz

jtfy

itfx

r

).(

).(

).(

La representación gráfica de la posición en el transcurso del tiempo darálugar a la trayectoria del móvil, sin más que unir tales posiciones mediante unalínea.

4. Desplazamiento, Trayectoria y Espacio RecorridoLos siguientes conceptos son muy importantes en cinemática. Se trata de

definiciones muy simples pero que, si no son correctamente asimiladas, seránconfundidas entre sí. Veamos: Vector Desplazamiento:

12 rrr

Trayectoria: Línea geométrica descrita por el móvil Espacio Recorrido: Espacio medido sobre la trayectoria


5De estas definiciones se desprende que para una trayectoria cerrada (aquella

en la que se regresa al punto de partida), el espacio recorrido será la longitud de taltrayectoria, pero el desplazamiento será nulo

5. Velocidad5.1 ConceptoSe define como la rapidez con la que un móvil cambia su posición.Se trata de una magnitud que necesita, además de un valor (módulo), una

dirección y un sentido. Podemos considerar, pues, que la velocidad es una magnitudvectorial.

Podremos definir entonces un vector que llamaremos Vector Velocidad:

12

12

ttrr

trv

, cuya dirección y sentido serán los del movimiento.El módulo de este vector se conoce como CELERIDADPor último, decir, que la unidad usada en S.I es el m/ s, como de sobra sabemos

5.2 Velocidad Media y Velocidad InstantáneaEl vector velocidad media se define como la relación existente entre el

desplazamiento realizado por el móvil y el tiempo empleado en ello.Matemáticamente:

12

12m tt

rrv

A medida que los intervalos temporales disminuyen, también lo harán losvalores del desplazamiento, hasta que, en el límite, es decir, cuando los primerostiendan a cero, los segundos serán los correspondientes a un instante temporal. Así,podremos definir Velocidad Instantánea a:

dtrdvvv imi

LimLimtt t

r

00


6

Si además tenemos en cuenta que:

dt

dz

dt

dy

dt

dxv

ó

kdt

dzj

dt

dyi

dt

dx

dt

rdv

kzjyixr

i

i

,,

5.3 Módulo de la VelocidadPara conocer el módulo de la velocidad de un móvil:

222

),,(

zyx

zyx

vvvvv

:serámódulocuyo

)v,v,(vkdtdzj

dtdyi

dtdx

dtrdv

:quepuesto y,

zyxkzjyixr

6. Aceleración6.1 Definición

Magnitud física que mide la rapidez con la que un móvil varía su vectorvelocidad.

Matemáticamente, se trata de una magnitud vectorial cuya ecuación vienedada por:

ΔtvΔa m

, cuya unidad en S.I es el m.sg-1

A partir de la definición debe desprenderse que se producirá un cambio en elvetor a

siempre que:a) Se produzca una variación en el módulo de la velocidad. En este

sentido, si la velocidad aumenta, la aceleración resultará positiva. Porel contrario, si la velocidad disminuye paulatinamente, el valor delmódulo de la aceleración será negativo (lo que se traducirá en unadeceleración o frenado),

b) Si varía la dirección de v . Así, si por ejemplo tratamos un movimiento

curvilíneo, aparecerá un tipo de aceleración asociado al cambio dedirección de dicho vector.

6.2 Aceleración Instantánea kajaiaakvjviv

dt

d

dt

vda zyxzyx

Si consideramos, además, que:


7

2

2

dt

rda

dt

rd

dt

da

dt

vda

dt

rdv

6.3 Aceleraciones Tangencial y CentrípetaYa hemos dicho que a la aceleración surge

como consecuencia, bien de cambios en el módulo dela velocidad, bien a causa de cambios en la direccióndel vector v

.Es lógico, pues, diferenciar dos tipos de

aceleración, la aceleración tangencial y la aceleracióncentrípeta.

6.3.1 Aceleración TangencialLa aceleración tangencial, tga está asociada a los cambios en el módulo del vector

velocidad.

(2)

(1)

tgzyxtg

zyxtg

uvvvdt

dv

dt

da

vvvdt

dv

dt

da

.222

222

Su módulo viene dado por la expresión (1) La dirección, tangente a la trayectoria El sentido, el mismo que el del movimiento para aceleraciones

positivas, o sentido contrario para aceleraciones negativas En la expresión (2), el vector tgu

representa un vector unitario en ladirección tangente a la trayectoria

6.3.2 Aceleración CentrípetaTambién llamada aceleración normal o aceleración radial, surge como

consecuencia de la curvatura de ciertos movimientos.Se caracteriza por:

a) Su módulo viene dado por:R

vac

2

, donde R es el radio del arco de curvaturab) Tiene dirección radialc) Su sentido se dirige hacia el interior de la curva (concretamente, hacia el

centro del arco de curvatura)


8

Es decir: Rc uR

va

.

2

, indicando el signo negativo que se dirigeen sentido contrario al radio (es decir, hacia elcentro).

Estas dos componentes de la aceleración sedenominan COMPONENTES INTRÍNSECAS DELA ACELERACIÓN. Con estas premisas, podemosdecir que:

22tgc

tgc

aaa

aaa


9Ejercicios Tema 8 : Conceptos Cinemáticos

1. ¿Qué diferencia existe entre desplazamiento y espacio recorrido?2. ¿Pueden ser iguales en todo momento la velocidad media y la instantánea en algún movimiento?3. ¿Cuál es el significado físico de las componentes intrínsecas de la aceleración?4. Explica el tipo de movimiento que seguiría un móvil, si

a. 0 ctg actea y

b. cteaa ctg y0

c. 00 ctg aa y

5. Si la aceleración tiene componentes intrínsecas, ¿por qué no se habla de componentes intrínsecas de lavelocidad?

6. ¿Puede un cuerpo tener velocidad cero, y sin embargo estar acelerado? razona la respuesta7. ¿Puede un cuerpo tener celeridad constante y velocidad variable?8. ¿Puede un cuerpo tener celeridad constante y velocidad constante?9. ¿Puede cambiar la dirección de la velocidad de un cuerpo si su aceleración es constante?10. ¿Puede un cuerpo aumentar su velocidad si su aceleración disminuye?11. ¿Podría moverse un cuerpo hacia la derecha si su aceleración se dirige hacia la izquierda?12. ¿Qué tipo de movimiento describiría un objeto cuya aceleración fuese en todo momento perpendicular a

la trayectoria y aumentase, además, de manera constante? ¿y si la aceleración se mantuviese constante?13. ¿Crees que la velocidad media de un móvil puede ser cero en cierto intervalo de tiempo?14. ¿Puede ser negativo el módulo de la velocidad? ¿y el de la aceleración?15. Indica cuál de las siguientes ecuaciones representa a un móvil que se desplaza en una única dirección

con aceleración constante, razonando la respuesta:

¿Qué forma tendrían las gráficas posición-tiempo en los casos elegidos? ¿Qué te sugiere?16. En la siguiente gráfica posición-tiempo se

representa el movimiento efectuado por un móvil:

a) Describir el movimientob) ¿Cuánto vale la velocidad media en

cada tramo? (Sol: 4; 0; -3 m/ s)c) ¿Y la velocidad media total?

(Sol: 0m/ s)17. La siguiente figura muestra las posiciones que

ocupa una bola en movimiento.A partir de ella deducir:

a) Ecuación de la posición en función del tiempo (Sol: 2t2 m)b) La velocidad media en el intervalo de tiempo

considerado (Sol: 4m/ s)c) La velocidad instantánea en los tiempos

señalados (Sol: 0;2;4;6;8 m/ s)d) La aceleración del móvil (Sol: 4m/ s2)e) ¿Cuál será su velocidad a los 5 segundos? (Sol: 20 m/ s)

18. La siguiente tabla muestra las coordenadas x,y,z (en metros) de un móvil en función del tiempo(en segundos)

a) Determinar su vector posición en función del tiempo (Sol: kj

2510 m)b) ¿Cuál es el vector desplazamiento

correspondiente a los 5 segundos?c) ¿Cuántos metros ha recorrido en esos

5 segundos? (Sol: 26´92 m)d) Representa las gráficas v-t y a-t en ese

intervalo de tiempo

2

23

2

2tyc)

4t-2tye)t3t xb)

29´8

1 xd)5t xa)

t


1019. La siguiente figura representa la aceleración total, en un instante dado, de una partícula que

describe círculos de 3 m de radio. Calcular en ese instante:

a) Aceleración centrípeta (Sol: 12´99m/ s2)b) Valor de la velocidad (Sol: 6´24m/ s)c) Aceleración tangencial (Sol: 7´5m/ s2)

20. Dado el vector velocidad jtitv

43 , calcula:a) Aceleración tangencial (Sol: 5m/ s)b) Aceleración normal (Sol: 0 m/ s2)c) Radio de curvatura ( Sol: 0 m )

21. El movimiento de una partícula viene dado por la expresión:

ktjtitr

313

822 32

, donde la posición viene dada en metros y el tiempo en segundosCalcular, para t=1 sg:

a) Vector velocidadb) Módulo de la velocidadc) Vector aceleraciónd) Módulo de la aceleracióne) Aceleración normalf) Aceleración tangencialg) Radio de curvatura

22. Un móvil se desplaza en el plano XY siguiendo la siguiente trayectoria, expresada enparamétricas:

0

26

62

13

2

23

z

tsenty

ttx

, expresados en metros y en segundos.

Calcular la velocidad y la velocidad del móvil en cualquier instante. Concreta el resultadopara t=15 segundos

23. El movimiento rectilíneo de un móvil viene descritopor la siguiente gráfica.

a) Indicar el tipo de movimiento en cada tramo

b) Calcular el espacio recorrido en cada tramo

c) Calcular la velocidad media en los 35primeros segundos

24. El vector velocidad de un movimiento viene expresado a través de la ecuación:

ttv 2,2

. Determinar:a) Velocidad para t=1 y t=3 sb) Calcular también la aceleración media y su módulo durante ese intervalo de tiempo

25. Un móvil describe una trayectoria dada por.x= t2-4t

a) Construir y analizar el gráfico x-tb) Indicar si existe cambio de sentido y en qué momentoc) Determinar el tiempo que tarda el móvil en retornar la punto de partida

26. La siguiente ecuación nos define el movimiento de una partícula en el plano OXY,

25310,5 tttr

, en SI. Determinar:a) Ecuación de la trayectoria. Representación gráficab) Ecuaciones de av

yc) Módulos de las componentes intrínsecas de la aceleración para t=1 s


1127. Una partícula se mueve en trayectoria plana. Las componentes del radio-vector que define en

cualquier momento su posición son:

12

323

2

tty

tx, (en SI)

Determinar:a) av

,

b) Módulo, para t=1 s, de las componentes intrínsecas de la aceleraciónc) Radio de curvatura en dicho instanted) Velocidad de la partícula en el punto A(5,5)

28. La posición de una partícula varía con el tiempo según r=(4t+ 2)i expresada en SI. Calcular lavelocidad media en los intervalos 1s y 3s, y 2s y 4s. ¿Qué tipo de movimiento es?.

29. La posición de una partícula viene dada por r=(3t2+1)i en el SI. Calcular:a) La velocidad en cualquier instante.b) La velocidad en los instantes t=2s y t=5s.

30. Una partícula se mueve con una velocidad v=(2t-1)j m/ s. Determinar la aceleración media entrelos instantes 1s y 3s y entre los instantes 2s y 4s.

31. Las ecuaciones paramétricas de la trayectoria (componentes cartesianas en función de t de laposición) de una partícula son x=t2+2; y=2t2-1 donde x e y están dados en m y t está en s.Calcular:

a) La velocidad instantánea.b) La aceleración mediac) La aceleración instantánea.

32. La posición de una partícula viene dada por r=3t2i +(2t+4)j en el SI. Determina:a) La ecuación de la trayectoriab) La posición en los instantes t=0; t=2s y t=5s.c) Velocidad instantánea en los instantes t=2s y t=5s.d) Aceleración instantánea

33. Las componentes cartesianas de la posición de una partícula son x=4.cos(π / 4 t); y=4sen(π / 4 t).Determinar:

a) Posiciones en los instantes 0s, 2s, 4s y 6s.b) Ecuaciones del movimiento r (t), v (t) y a (t).c) Desplazamiento en el intervalo 0s y 8s.d) Ecuación cartesiana [y=f(x)] de la trayectoria.e) Valor de la velocidad en cualquier instante

34. El vector posición de una partícula es el siguiente: r=(t-1)i+(t2+2t-1)j (m/ s)a) Escribir la ecuación de la trayectoria.b) ¿A qué distancia del origen se encuentra a los 3 s?.

(Sol: y=x2+4x+2; 14,14 m)35. Un móvil tiene una velocidad de v=3t2i+4t2j m/ s. Calcular las componentes tangencial y normal

de la aceleración.(Sol: 10t m/ s2; 0)

36. Una partícula se mueve con una velocidad dada por v=8t-7, estando expresada v en metros porsegundo y t en segundos.

a) Hallar la aceleración media para los intervalos de 1 s. que empiezan en t=3 y t=4,segundos, respectivamente

b) Calcular la aceleración instantánea en dicho intervaloc) Repetir los apartados anteriores para calcular la velocidad media e instantánea y (d)

Dibujar e, v y a en función del tiempo (e es el espacio recorrido por el móvil y a suaceleración).

(Solución: (a) 8 m/ s2, (b) 8 m/ s2, (c) vm=21 m/ s2, v=8t-7.)37. El vector posición de un punto, en función del tiempo, viene dado por:

j) (ti t·(t)r

22 (S.I.)Calcular:

a) La posición, velocidad y aceleración en el instante t= 2 s.;b) El ángulo que forman el vector velocidad y aceleración en el instante t= 2 s.;c) La aceleración media entre 0 y 2 segundos.

(Sol:22 2142242622 m/sjaº;, m/sj)(a m/s;ji)(v m;ji)(r

)

38. El vector posición de un móvil viene dado por: jitr

42 2 (S.I.). Calcular:a) La velocidad media entre 3 y 6 segundos;b) La velocidad instantánea;


12c) La aceleración a los 2 segundos yd) El módulo de la aceleración tangencial.

(Sol: 22 44418 m/s , m/si m/s,it m/s,i

)39. La velocidad de un móvil viene dada por las ecuaciones :

t y vtv yx 323 2 (S.I.).

Calcular:a) La velocidad al cabo de 1 segundob) La aceleración instantánea y su módulo.

(Sol: 22122 9163435 m/s)t, ( m/sjit m/s,ji /

)40. La posición de un móvil viene dada por: x = 2t ; y = 2t2 – 1 , en el S.I.. Calcular:

a) La ecuación de la trayectoria;b) La velocidad instantánea;c) La aceleración a los 10 segundos.

(Sol: 22 44212

1 m/sj m/s,tji m ,-xy

41. La velocidad de un móvil que sigue una trayectoria rectilínea viene dada por la ecuación:

jt)- (t(t)v

82 , en unidades del S.I.Calcular:

a) La aceleración media entre los instantes t = 2 s y t = 4 sb) La aceleración instantánea en t = 3 s.c) Las componentes intrínsecas de la aceleración en cualquier instante.

(Sol: 222 82022 m/st- , a, a m/sj, - m/sj- tgN

)

t8.introducción a la cinemática. 1º bachillerato

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