t3.2.sistemas 1er orden 1314 v02
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Respuesta temporal de sistemas de primer orden3.2
Respuesta de un sistema de primer orden ante señales de entrada de prueba típicas
Polos y ceros en la respuesta de un sistema Tipos de respuestas Características de respuestas transitorias Calcular un modelo a partir de datos.
PALABRAS CLAVE Y TEMAS Sistemas de primer orden Respuesta temporal de sistemas de primer
orden Tiempo de respuesta del sistema Ganancia del sistema Estabilidad Identificación
OBJETIVOS
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Sistemas de primer orden
X(s) Y(s)1s
K
Los sistemas que tienen la misma función de transferencia presentarán la misma salida en respuesta a la misma entrada.
Características de la forma estándar:• El segundo término del denominador es 1• K = ganancia del sistema (el numerador)• = constante de tiempo (el coeficiente de s)• El polo del sistema (la raíz del denominador) es –1/
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Ejemplo sistema de primer orden.Depósito
Función de transferencia:
kh
Kk
hA
qKhdt
hd
qkh
hdt
hdk
hA
qhh
kdt
hdA
00
00
0
2
2
22
02
q
h
F
)()( sUtqL )()( thLsY
1sK
4
Sistemas de primer orden: entrada salto
U(s)=A/s Y(s)1s
Kt=0 t
u(t)
A
)1()1()1(
111)(
ss
ssss
sssA
sK
sA
sKsY
KA ;0s KA
);1
()(
s
KAs
KAsY
KAKA ;1s
Los residuos
Es decir
5
Sistemas de primer orden: entrada salto
Siempre que >0 (sistema estable):
)(1
lim)(lim00
yKAsKAssY
ss
)1()]([)( //1 tt eKAKAeKAsYLty
Resp.Transit. (Se hace cero
cuando t-> )
Resp.Estac.
);1
()(
s
KAs
KAsYU(s)=A/s Y(s)1s
Kt=0 t
u(t)
A
6
1sK
U(s) Y(s))()()( tKuty
dttdy
)1()( t
eKAty
K = KA/A es la ganancia u(t)
t
y(t)
KA
A
t=0: y(0)=0t=: y()=KA
Sistemas de primer orden: entrada salto
Si u(t) es un salto (escalón) de magnitud A
> 0 es la constante de tiempo
Respuesta estable, sin retardo ni cambio de concavidad y sobreamortiguada.
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Sistemas de primer orden: entrada saltoInterpretación en el plano s (>0).
Plano s
x
polo en la parte real izquierda del plano s
s+1=0
polo = -1/
Si > 0: Respuesta estable, sin cambio de concavidad y sobreamortiguada
t
y(t)
KA
u(t)A
)1()( t
eKAty
t
8
t)1()(
teKAty
s+1=0 Si el polo = -1/ es positivo
Si < 0 Respuesta inestable
y(t)Plano s
x
polo en la parte real derecha del plano s
Sistemas de primer orden: entrada saltoInterpretación en el plano s (<0).
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Sistemas de primer orden. Entrada impulso
t=0
u(t)
A
0)( :
)0( :0
0
yt
KAyt
si
01/
/1/
1)(
s
KAAsKA
sKsY
Resp.Estac.Resp.Transit
/)( teKAty
KA/
0 4 t
La estabilidad viene determinada por la posición del polo, no por el tipo de entrada
U(s)=A Y(s)1s
K
10
t
y(t)
t98
0.98KA
Plano s
x1 < 2
x-1/1 -1/2
)1()( t
eKAty
4)1(98.0)(
98
98
98
teKAKAty
t
Tiempo de asentamiento (Ts): tiempo que se tarda en alcanzar y mantenerse en una banda de ±2% del valor final A mayor constante de tiempo, más lento
el sistema (cuanto más cerca esté el polo del origen más lento será el sistema)
Ts
4sT
KA
Sistemas de primer orden: entrada saltoTiempo de asentamiento o establecimiento.
U(s)=A/s Y(s)1s
K
11
)1()( t
eKAty
)1(98.0)(98
98t
eKAKAty
Tiempo de asentamiento (Ts): tiempo que se tarda en alcanzar y mantenerse en una banda de ±2% del valor final
4sT
t
y(t)
t98
0.98KA
Ts
KA
Sistemas de primer orden: entrada saltoTiempo de asentamiento o establecimiento.
U(s)=A/s Y(s)1s
K
498 t
12
Plano s
xx-1/1 -1/2
A mayor constante de tiempo, más lento el sistema (cuanto más cerca esté el polo del origen más lento será el sistema)
t
y(t)
t98
0.98KA
1 < 2
Ts
KA
Sistemas de primer orden: entrada saltoTiempo de asentamiento o establecimiento.
s+1=0 polo = -1/
13
Sistemas de primer orden: entrada saltoTiempo de asentamiento o establecimiento.
14
KAeKAy
eKAtyt
632.0)1()(
)1()(1
KAdt
tyd
eKAdt
tyd
t
t
0
)(
)()(
Derivada en el origen:
1sK
U(s)=A/s Y(s)
Cuando t= el sistema ha alcanzado el 63,2% de su valor final
La pendiente de la tangente en t=0 es KA/
KA
0
63,2
%
t
0.63KA
y(t) tKA
KA
Sistemas de primer orden: entrada saltoConstante de tiempo ().
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Tiempo que tarda el sistema en ir del 10% al 90% del valor final
KA
0
10%
t
y(t)
KA
2.2rT
90%
rT
Sistemas de primer orden: entrada saltoTiempo de subida Tr
16
11
)( 22
sKA
sKA
sAK
sA
sKsY
Y(s)1s
K
t=0 t
/
/
)(
)(t
t
eKAtKA
eKAKAKAtty
0 t
2)(sAsU
Attu )(
/)()( teKAtKAty
Respuesta transitoria
)( :0)0( :0
ytyt
Sistemas de primer orden: entrada rampa.
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t
c
t
diC
tv
diC
tRitv
0
0
)(1)(
)(1)()(
)(1)(
)(1)()(
sICs
sV
sICs
sRIsV
c
)()( ssCVsI c
)(1
1)(
)()1()()1()(
sVRCs
sV
sVRCsssCVCs
RsV
c
cc
Función de transferencia:
)(sV )(sVc
1sK
RC
K
1
Sistemas de primer orden: ejemplo.Circuito RC
18
)(sV )(sVc
11s
t=0 t
5
v(t) cambia de repente en t=0 de 0 a 5 Voltios
v(t)
RC
La respuesta de vC(t) ante entrada escalón para varios valores de
Constante de tiempo del sistema
=1
=2=3
Sistemas de primer orden: ejemplo.Circuito RC
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)(sV )(sVc
11s
t=0 t
5
v cambia de repente en t=0 de 0 a 5 Voltios y vuelve a bajar inmediatamente a 0 Voltios
v(t)
RC
La respuesta de vC(t) ante entrada impulso para varios valores de
Constante de tiempo del sistema
=1=2
=3
Sistemas de primer orden: ejemplo.Circuito RC
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)(sV )(sVc
11s
v cambia en t=0 gradualmente con una pendiente igual a 1.
v(t)=t
RC
La respuesta de vC(t) ante entrada rampa para varios valores de
Constante de tiempo del sistema
t=0 t
=1=2
=3
Sistemas de primer orden: ejemplo.Circuito RC
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IdentificaciónEl modelo se obtiene a partir de datos experimentales de entrada-salida del proceso
tt
YU
UY
Proceso
Modelo
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Identificaciónt
y(t)
t
y(t)
y
t =
0.63 y
Si la respuesta desde el equilibrio a un salto u en u(t) es como la figura sistema de primer orden
Estimación de parámetros:
K = y/ u
dos métodos
u
u(t)
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U(s) Y(s)
1sK
)()()( tKuty
dttdy
u(t)=At
t0
u(t)=A
t0
u(t)
t0Rampa Escalón Impulso
A
dtd
dtd
)1()( 2
ssKAsY )1(
)(
ssKAsY )1(
)(
sKAsY
)()( / tetKAty )1()( /teKAty
/)( teKAty
Repaso: relación entre salidas ante entradas tipo.
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Repaso: algunos comandos de Matlab interesantes
Algunos comandos de Matlab de interés:
tfpolezerozpkimpulsesteponeszeroslsimseriesparallelfeedback