Distribución t de Student En probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una distribución de

probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente

distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.

Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la determinación de las

diferencias entre dos medias muestrales y para la construcción del intervalo de

confianza para la diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce

la desviación típica de una población y ésta debe ser estimada a partir de los datos de una

muestra.

La distribución t de Student es la distribución de probabilidad del cociente

donde

Z tiene una distribución normal de media nula y varianza 1 V tiene una distribución ji-cuadrado con grados de libertad

Z y V son independientes

Si μ es una constante no nula, el cociente es una variable aleatoria que sigue la distribución t de Student no central con parámetro de no-

centralidad .

Aparición y especificaciones de la distribución t de Student

Supongamos que X1,..., Xn son variables aleatorias independientes distribuidas normalmente, con media μ y varianza σ2. Sea

la media muestral. Entonces

sigue una distribución normal de media 0 y varianza 1.

Sin embargo, dado que la desviación estándar no siempre es conocida de antemano, Gosset estudió un cociente relacionado,

donde

es la varianza muestral y demostró que la función de densidad

de T es

donde es igual a n − 1.

La distribución de T se llama ahora la distribución-t de Student.

El parámetro representa el número de grados de libertad. La distribución depende de , pero no de o , lo cual es muy

importante en la práctica.

1. Sea T ~ t(4,0.5) a) Determinar

b) Determinar

c) Determinar P(T

P(T

= 1- e –(0.5)(1) - e –(0.5)(1) - e –(0.5)(1) - e (0.5)(1)

=1- 0.60653 -0.30327 -0.075816 -0.012636

=0.000175

d) Determinar P(T

P(T

= e –(0.5)(3) - e –(0.5)(3) - e –(0.5)(3) - e (0.5)(3)

=0.22313 + 0.33470+0.25102 +0.12551

=0.9344

2. Sea T ~ Weibull(0.5,3)

a) Determinar

b) Determinar

c) Determinar P(T

P (T>5) =1-P(T 1) = 1 – e-

3. En el articulo “Parameter Estimation with Only One Complete Failure Observation”se modela la duracion en horas, de cierto tipo de cojinete con la distribucion de

Weibull con parámetros

a) Determine la probabilidad de que un cojinete dure mas de 1000 horas

b) Determine la probabilidad de que un cojinete dure menos de 2000 horas

P(T<2000)= P(T

c) La función de riesgo se definio en el ejercicio 4 ¿Cuál es el riesgo en T=2000 horas?

h(t) =

4. La duración de un ventilador, en horas , que se usa en un sistema computacional tiene una distribución de Weibull

con a) ¿Cuáles la probabilidad de que un ventilador dure mas

de 10 000 horas? P(T>10 000 ) =1 –(1- =0.3679

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un ventilador dure menos de 5000 horas?

P(t<5000) =P(T

5. Un sistema consiste de dos componentes conectados en serie. El sistema fallara cuando alguno de los componentes falle. Sea T

el momento en el que el sistema falla. Sean X1 y X2 las duraciones de los dos componentes. Suponga que X1 y X2 son independientes y que cada uno sigue una distribución Weibull

con 2

a) Determine P(

P(

b) Determine P(T 5)

P(T =0.8647

c) T Tiene una distribución de Weibull= si es Asi ¿Cuáles son sus parametros?

Si, T~ Weibull (2,