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TAREAS DE COVARIACIÓN EN DIFERENTES CONTEXTOS PARA
PROMOVER EL ENTENDIMIENTO DEL CONCEPTO DE FUNCIÓN
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE
MAESTRO EN CIENCIAS EN MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA
PRESENTA:
Keops Xeki García Galván
DIRIGIDA POR:
DR. FERNANDO BARRERA MORA
DR. AARÓN REYES RODRÍGUEZ
Mineral de la Reforma, Hidalgo, Junio de 2018
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE HIDALGO
INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍA
ÁREA ACADÉMICA DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA
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3
Dedicatoria
A mi familia,
Leticia, Magdalena, Melitón, Katherine, Yabin y Paula, quienes me brindan su
apoyo en las cosas que emprendo.
A mis hijos,
Kimberly y Nahúm, que son mi inspiración.
A mi compañero en esta formación,
con aprecio para Antonio González Amador.
4
Agradecimientos
Al Área Académica de Matemáticas y Física de la Universidad Autónoma del Estado de
Hidalgo, por brindarme la oportunidad de prepararme académicamente y ser partícipe en la
culminación de este logro profesional.
A los profesores que me guiaron en esta formación, especialmente para el Dr. Fernando
Barrera Mora, quien me enseño a valorar el tiempo, a ser constante y hacer del trabajo algo
divertido.
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Resumen
Uno de los conceptos centrales en matemáticas es el de función, ya que las funciones son un
medio para describir y analizar fenómenos, naturales o sociales, que involucran cambio. Por
otra parte, la idea de covariación, es decir, la variación conjunta de dos o más cantidades es
uno de los fundamentos del concepto de función.
Diversas investigaciones y propuestas curriculares coinciden en señalar la importancia del
concepto de función en el estudio de matemáticas. No obstante, se han identificado diversas
problemáticas en el entendimiento del concepto de función, las cuales posiblemente tienen
su origen en el uso de tareas que involucran operar funciones expresadas algebraicamente,
pero sin considerar otros elementos, tales como tareas contextualizadas o la conexión entre
diversas representaciones semióticas. Algunos trabajos han abordado el estudio de funciones
en escenarios matemáticos, hipotéticos o reales, pero no se ha contrastado cómo cada
contexto contribuye al entendimiento del concepto. Así, en este trabajo, se buscó identificar
los elementos del pensamiento matemático que emergen y apoyan el entendimiento de las
funciones, cuando se abordan tareas orientadas al análisis covariacional, en diferentes
contextos.
Este trabajo muestra los resultados de la implementación de tres tareas, una por cada
contexto. Los participantes fueron estudiantes de nivel licenciatura, de un Instituto
Tecnológico en una comunidad rural en el estado de Hidalgo. Se identificó la manera en que
las actividades permitieron que los estudiantes conectaran diversas ideas en cada contexto:
en el matemático, expresaron de manera formal relaciones entre datos e incógnitas,
identificaron patrones y transitaron entre diferentes representaciones; en el hipotético, se
compararon las ventajas de realizar suposiciones para entender un problema, y favorecer el
análisis visual de las relaciones entre datos e incógnitas; en el real, se promovió el modelado
de situaciones reales empleando lenguaje y herramientas matemáticas.
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Abstract
One of the central concepts in mathematics is the function, the principal application it allows
to formulate and describe phenomenon that involves change. A diverse study that consign
with the importance of the function of mathematics, also the National Council of Teacher of
Mathematics, evaluate this concept. In other hand, the idea of convariation, says that it is the
variation together of one or more quantities, it is one of the fundamental concepts of function.
Even though the amount of studies that exist to board the concept of function, there is
evidence that students show difficulties on learning this concept. A possible explanation of
that before, is that the studies found have guide its offer its operation of functions or
manipulate symbols, but they have not focus on their learning. Otherwise, from the jobs that
they have boarded the theme of functions, it shows that they have used work in mathematical,
real and hypothetic context separately, but a contrast has not been shown, of how each context
contributes to a specific form of the understanding of the concept function. In this idea, we
are to find the elements that emerge when you look on to activities of analysis of the
covariation, in different context.
This work shows results that apply to three activities of instruction, one for each context:
mathematic (similar triangle), hypothetic (how long the fuel last), and real (how much water
is used in a town). The participants were three groups of students learning a degree on
industrial engineer, with previous knowledge of differential and integral calculus. It has
shown that the activities allow the students to connect many ideas in each one of the context:
in mathematics context, express a formal manner related in between data and unknown
quantity, identification of patterns and the transit in between different representations; (ii) in
the hypothetic context, it is compared the advantages that have in creating suppositions that
favor the understandment of the problem, the visual analysis of the relation in between data
and unknown quantity and the connection between different representations; (iii) At last, the
real context, has favored the model of real situations implementing language and
mathematical tool.
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Índice
Contenido
Capítulo 1. El problema de investigación ........................................................................... 9
1.1 Introducción................................................................................................................... 9
1.2 Revisión de la literatura ................................................................................................11
1.3 Planteamiento del problema ..........................................................................................16
1.4 Objetivo ........................................................................................................................17
1.5 Hipótesis........................................................................................................................17
Capítulo 2. Marco Conceptual........................................................................................... 18
2.1 Introducción..................................................................................................................18
2.2 Dimensión ontológica ....................................................................................................19
2.2.1 Concepción de las matemáticas ...............................................................................19
2.2.2 Perspectiva de aprendizaje ......................................................................................19
2.3 Dimensión epistemológica .............................................................................................20
2.4 Dimensión didáctica ......................................................................................................20
2.4.1 Aprendizaje con entendimiento ...............................................................................21
2.3.2 Tareas en contextos .................................................................................................22
2.3.3Tareas de instrucción ...............................................................................................23
Capítulo 3. Metodología ..................................................................................................... 24
3.1 Introducción..................................................................................................................24
3.2 Participantes .................................................................................................................24
3.3 Características de las tareas ..........................................................................................24
3.4 Descripción de las tareas ...............................................................................................26
3.4.1 Tarea en el contexto puramente matemático ...........................................................26
3.4.2 Tarea en el contexto real .........................................................................................27
3.4.3 Tarea en el contexto hipotético ................................................................................28
3.5 Posibles rutas de solución ..............................................................................................30
3.6 Recolección de la información .......................................................................................32
Capítulo 4. Análisis y Resultados ...................................................................................... 33
4.1 Introducción..................................................................................................................33
4.2 Análisis y fases importantes...........................................................................................33
8
4.2.1 Análisis en el contexto puramente matemático ........................................................33
4.2.2 Análisis en el contexto real ......................................................................................34
4.2.3 Análisis en el contexto hipotético.............................................................................36
4.3 Resultados .....................................................................................................................40
4.3.1 Contexto puramente matemático ............................................................................40
4.3.2 Contexto real...........................................................................................................48
4.3.3 Contexto hipotético .................................................................................................54
4.4 Elementos que emergieron en cada contexto .................................................................61
Capítulo 5. Discusión y Conclusiones................................................................................ 64
5.1 Introducción..................................................................................................................64
5.2 Respuesta a la pregunta de investigación.......................................................................64
5.3 Trabajos a futuro ..........................................................................................................65
Referencias .........................................................................................................................70
Apéndices ............................................................................................................................. 75
Apéndice A. Tabla de registro de información ....................................................................75
Apéndice B. Transcripciones de las tareas en los contextos matemático e hipotético...........76
Apéndice C. Transcripciones de la tarea contexto real. .......................................................78
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Capítulo 1. El problema de investigación
1.1 Introducción
Uno de los conceptos centrales en matemáticas es el de función (Carlson y Oehrtman, 2005),
esto se puede constatar cuando al abordar un problema matemático hay que analizar el
comportamiento de cantidades que varían conjuntamente. Por ejemplo, en geometría es
importante determinar cómo cambia el área de un círculo cuando su radio aumenta o
disminuye; cómo varía el volumen de un recipiente cuando su altura se modifica; cómo se
modifica el área de un polígono regular cuando varía la longitud de su apotema. La
importancia del concepto de función radica en que permite, entre otras cosas, describir y
analizar procesos de cambio, naturales o sociales, en diferentes disciplinas (Zeytun,
Cetinkaya y Erbas, 2010).
Por otra parte, la idea de covariación, es decir, la variación conjunta de dos o más cantidades,
es uno de los fundamentos del concepto de función (Thompson, 1994a). Analizar la
covariación de cantidades implica coordinar secuencias conjuntas de cambios que se
presentan entre dos o más variables (Thompson, 1994b). Cabe mencionar que la covariación
y su representación en diferentes registros, favorecen el desarrollo de imágenes mentales a
partir de representaciones tabulares, gráficas, dinámicas o formales de una función.
El Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas de los Estados Unidos (NCTM, 2000),
destaca la importancia del concepto de función en la formación matemática de los estudiantes
preuniversitarios. Esto se debe a que la solución de diferentes situaciones problemáticas
requiere utilizar funciones como modelos matemáticos. Por otra parte, la covariación permite
analizar relaciones y cambios coordinados entre diversas cantidades (Johnston, 2012). Un
caso específico se presenta al modelar llenado de recipientes, donde se busca expresar el
volumen de líquido en un tanque en función de la velocidad de vaciado. Este es un problema
común que se presenta en aplicaciones reales en la industria. En física, con frecuencia, se
abordan problemas que involucran analizar la velocidad, aceleración o rendimiento de
equipos o maquinarias, variables que dependen de otras cantidades, como la presión o
temperatura. En química se abordan problemas sobre velocidad de reacciones químicas en
función de la cantidad de reactivos que se combinan.
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La covariación está estrechamente ligada al proceso de medición del cambio (Dolores y
Salgado, 2009), cuando una variable pasa de un estado inicial a un estado final. Por ejemplo,
al analizar el cambio de volumen de un cilindro si su altura se modifica, considerando un
volumen inicial, antes de variar la altura y uno final cuando la altura se ha modificado. El
análisis de este tipo de procesos de cambio da lugar a explorar la covariación entre dos
cantidades (altura y volumen).
De acuerdo con Carlson, Jacobs, Coe, Larsen y Hsu, (2002), el razonamiento covariacional
consiste en desarrollar habilidades mentales que permiten visualizar cómo los cambios de
una variable se relacionan con cambios en otra(s) variable(s). En esta línea de ideas, centrar
la atención en la covariación favorece la observación y representación de relaciones entre
cantidades, llevando esto a la identificación de elementos o cantidades fijas y variables
durante el estudio de funciones. A través del desarrollo del razonamiento covariacional, se
promueve que los estudiantes den sentido a las representaciones tabulares, gráficas o
algebraicas de una función (Johnston 2012).
Las tareas de aprendizaje que se proponen en este trabajo, buscan identificar características
del rol que juega la covariación conjunta entre cantidades en el desarrollo de niveles
progresivos de entendimiento del concepto de función. Referente a las características de las
tareas de instrucción, Barrera-Mora y Santos-Trigo (2000) argumentan que se pueden
enmarcar en tres contextos (hipotético, real y matemático), cada uno de los cuales ofrece
oportunidades diferenciadas para desarrollar formas matemáticas de pensar. También se
busca determinar cuáles elementos del pensamiento matemático emergen al abordar las tareas
en cada contexto, tales como identificar patrones, formular y justificar conjeturas, y
finalmente comunicar resultados (Barrera-Mora y Reyes-Rodríguez, 2013; Santos-Trigo,
2007).
Con esta aproximación, se espera que los estudiantes identifiquen elementos importantes que
les ayuden a construir y fortalecer el desarrollo de niveles progresivos de entendimiento del
concepto de función. Se espera que inicialmente organicen la información y la
complementen, buscando visualizar datos e incógnitas. Después, que centren la atención en
cómo cambian ciertos datos o cantidades, y que coordinen esos cambios. Adicionalmente, se
11
espera que los estudiantes utilicen diversas representaciones (verbal, gráfica, tabular, formal)
para representar una función, y que elaboren modelos. Con lo anterior se espera que los
estudiantes desarrollen formas matemáticas de pensar (Schoenfeld, 1992; Barrera-Mora y
Reyes-Rodríguez, 2013; Santos-Trigo, 2007).
1.2 Revisión de la literatura
Diversos estudios sugieren que el razonamiento covariacional juega un rol importante en el
entendimiento de ideas fundamentales de cálculo diferencial, como la variación, acumulación
y el modelado de fenómenos (Ímaz y Moreno, 2010); así como para abordar temas
matemáticos avanzados (Carlson et al., 2003). En este sentido, Moore, Paoletti, Stevens y
Hobson, (2016), sostienen que el razonamiento covariacional favorece el desarrollo de ideas
matemáticas en las que está involucrado el concepto de función.
La literatura de investigación reporta estudios que abordan la comprensión del concepto de
función tomando como base la covariación de cantidades (Thompson, 1994a; Johnson, 2012;
Moore, Paoletti y Musgrave, 2013; Thompson, y Carlson, 2017). Por ejemplo, diversos
autores han propuesto tareas de instrucción donde se solicita modelar el volumen en función
la altura, en el vaciado de tanques (Carlson et al., 2002), o el llenado de recipientes (Carlson
et al., 2003). En otra línea de ideas, Barrera-Mora y Santos-Trigo (2000), propusieron una
tarea de instrucción hipotética para modelar el comportamiento de absorción de medicamento
en el cuerpo.
Los trabajos sobre modelación de llenado de recipientes se han llevado a cabo principalmente
con estudiantes de licenciatura (Carlson, et al., 2003). Algunas de estas investigaciones
concluyen que los alumnos muestran dificultades para observar y describir variaciones
conjuntas entre cantidades y, que las estrategias que proponen, tienen limitados elementos de
razonamiento covariacional (Carlson, et al., 2003).
En esta línea, Carlson et al., (2002) reportan un estudio con 20 estudiantes sobresalientes de
licenciatura, quienes habían cursado y aprobado la asignatura de cálculo diferencial. En esa
investigación se abordaron diferentes tareas de instrucción, tales como: (i) graficar la altura
de un líquido como función de la cantidad de agua que se vertía en una botella de forma
esférica, con cuello en la parte superior, (ii) analizar gráficamente la razón de cambio en
12
mediciones de temperatura, y (iii) describir la velocidad de la parte superior de una escalera,
al deslizarse a partir de una posición inicial vertical contra una pared. Se concluyó que los
estudiantes presentaron dificultades para realizar el análisis y justificar sus respuestas. Es
decir, que aún después de aprobar un curso de cálculo diferencial, no habían entendido la
esencia de los conceptos de covariación y función.
De manera similar, Stalvey y Vidakovic (2015), reportan una investigación realizada con
estudiantes que cursaban cálculo diferencial, cuyo objetivo fue entender cuál era la idea de
función que tenían los alumnos. La tarea propuesta consistió en analizar el comportamiento
del volumen en dos recipientes (figura 1.1), bajo el supuesto que r1 < r2 (dónde r1 y r2
representaban el diámetro de la tubería de descarga para cada recipiente) en tres fases de
modelado gráfico: (i) volumen vs tiempo de llenado; (ii) tiempo de llenado o vaciado vs
altura y (iii) altura vs volumen y viceversa. En este estudio se destaca la importancia de la
noción de función, y el papel que juega el razonamiento covariacional en la representación
gráfica de la variación y el cambio. Los estudiantes lograron avanzar de manera parcial en la
solución de la tarea, ya que fueron capaces de realizar algunos modelos gráficos, no obstante
mostraron dificultades para observar relaciones covariacionales; por ejemplo, no
interpretaron cómo un cambio en la altura modificaba al volumen. Se concluye que los
estudiantes no tenían claro el concepto de función.
Fig. 1.1 Enfriadores, (Stalvey y Vidakovic, 2015).
Otra investigación realizada con estudiantes de posgrado (Thompson, 1994a), tuvo el
objetivo de identificar las imágenes mentales que se generaban los participantes al construir
representaciones gráficas, donde estaban presentes cambios dinámicos entre cantidades.
Entre los resultados se destaca que el entendimiento de la covariación puede apoyar el
13
aprendizaje de otras ideas matemáticas y por ello el razonamiento covariacional debe
desarrollarse de manera profunda.
Diversos estudios referentes al desarrollo del razonamiento covariacional, mencionan la
importancia de adquirir habilidades que permitan observar cambios de una cantidad en
términos de otra(s) (Thompson, 1994a; Johnson, 2012), ya que este conocimiento permite
abordar temas avanzados de matemáticas. De manera general, la literatura coincide que una
posible ruta para comprender la covariación de cantidades, es a través de la versatilidad para
mostrar la información (tabulación, formal, verbal, etc.), porque permite, entre otras cosas,
identificar cantidades fijas y variables, así como transitar entre representaciones. También
mencionan, que el uso de software dinámico favorece la identificación y análisis de
cantidades, de manera dinámica.
En este sentido, Johnson (2012) realizó un estudio con alumnos que aún no habían
cursado cálculo diferencial, con el objetivo de desarrollar habilidades de razonamiento
covariacional. En su trabajo, propuso tres tareas, la primera de ellas basada en obtener el
perímetro y área de cuadrados, cuando se modificaba la longitud de sus lados, para diferentes
iteraciones. De esta actividad esperaba que los estudiantes identificaran relaciones
covariacionales y expresaran algebraicamente una relación entre variables. El instructor
propuso que la información se representara de manera tabular, y que los estudiantes centraran
la atención en qué cantidades eran fijas o variables. Observó que el proceso de tabulación,
favoreció la identificación de cambios entre cantidades, sin embargo, no fue suficiente para
que los participantes generalizaran resultados.
En la segunda tarea, solicitó identificar el comportamiento de mediciones de temperatura de
cierta ciudad en un lapso de tiempo determinado (temperatura contra tiempo). Para el
desarrollo de la actividad, se elaboró en GeoGebra una gráfica que relacionaba temperatura
(eje vertical) contra tiempo (eje horizontal). Esto con la finalidad de que los estudiantes
observaran cómo se comportaba el rango y dominio de la función que modela el fenómeno.
Se concluyó que el software dinámico favoreció la observación e interpretación de cambios
covariacionales. Por último, se abordó el vaciado de botellas; se pidió graficar la relación
entre el volumen y la altura, cuando las botellas se vaciaban. En los resultados se reporta que
14
los estudiantes tuvieron dificultad para realizar el gráfico o su interpretación. Las
conclusiones generales son que proponer tareas de instrucción donde se pueda identificar la
covariación entre cantidades, contribuye a conceptualizar elementos que son útiles en el
estudio de cálculo. También sugiere, que las actividades deberían ser contextualizadas, para
promover el interés y fortalecer la identificación de conceptos matemáticos en contextos
variados.
Por su lado Moore et al. (2013), realizaron un estudio cuyo propósito fue identificar
elementos del razonamiento covariacional que emergían, cuando dos alumnos que habían
cursado y aprobado el curso de cálculo diferencial, donde abordaron tópicos como funciones
y sus representaciones, resolvían problemas relacionados con funciones trigonométricas. Se
pidió graficar expresiones cartesianas y polares equivalentes e identificar la relación entre
ellas. Entre los resultados, reportan que los estudiantes lograron elaborar las gráficas, sin
embargo, tuvieron dificultades para identificar cómo se relacionaban las expresiones
equivalentes. No obstante, argumentan que utilizar diferentes representaciones (cartesianas
y polares), favoreció en desarrollar razonamiento covariacional; porque al buscar relaciones
existentes, identificaron cómo un cambio en una cantidad, provocaba cambios en otra(s). De
esta manera, sugieren que una tarea de instrucción debiera favorecer el uso de diferentes
representaciones. Además, que el contexto es importante para apoyar el entendimiento, por
lo que proponen que el estudio de covariación debe realizarse en distintos contextos y
elaborar diferentes representaciones, con la finalidad de robustecer los significados de los
conceptos.
En esta misma línea, Moore, Paoletti, Musgrave y Gammaro (2013), reportan un trabajo
realizado con estudiantes de licenciatura en matemáticas, con el propósito de identificar cómo
relacionaban gráficas cartesianas y polares. Se centraron en identificar las habilidades
mostradas para observar cómo cambios en cantidades provoca modificaciones en otra(s). Su
propuesta consistió en presentar dos ecuaciones (y=x2 y r=θ2) con su representación gráfica.
Esperaban que los estudiantes identificaran, cómo se comportaban y se relacionaban al
evaluarse en distintos valores de x y θ. Después pidieron extender la tarea modificando las
ecuaciones (y=x2+1 y r=θ2.+1), y solicitaron la representación gráfica. En el estudio se
concluyó que los estudiantes no lograron visualizar relaciones existentes entre las
15
expresiones cartesianas y polares, al evaluarse en parámetros equivalentes. Sin embargo,
argumentan que este tipo de actividades, promueve el entendimiento del razonamiento
covariacional, ya que, constantemente los alumnos intentaron observar cambios entre las
cantidades, además, que la representación gráfica contribuye favorablemente, para que los
estudiantes estructuren imágenes mentales que les permitan identificar los cambios y las
relaciones entre los sistemas de representación propuestos.
Por otra parte, Weber (2013) realizó un experimento con dos estudiantes que cursaban
cálculo diferencial, con el objetivo de identificar cómo interpretaban la razón de cambio en
funciones de dos variables, a través de la representación gráfica de la derivada, cuando había
incrementos en cada parámetro. Observó que los estudiantes identificaron la razón de
cambio, pero gráficamente no pudieron relacionar la dirección del incremento en el plano.
Menciona que una posible explicación de lo sucedido, fue la dificultad para interpretar la
covariación entre cantidades y su repercusión en el comportamiento de la función. Por esta
razón, argumenta que el análisis de la covariación entre cantidades juega un rol importante
en el estudio de cálculo o precálculo.
En otro estudio, Dolores y Salgado (2009), propusieron un método de graficación
covariacional, el cual consistió en observar los cambios cuando se realizaban primeras
diferencias. La tarea de instrucción pedía construir polígonos regulares inscritos en una
circunferencia e incrementar la cantidad de lados en cada iteración; es decir, partieron de un
triángulo inscrito en una circunferencia, posteriormente inscribieron un cuadrado, después
un pentágono y así sucesivamente. Para abordar la tarea plantearon ciertas interrogantes, tales
como: ¿Qué cambia? ¿Cuánto cambia? ¿Cómo cambia? ¿A qué razón cambia? ¿Cómo se
comporta eso que cambia? En este sentido, identificaron cómo la graficación covariacional
permite desarrollar otras habilidades de razonamiento, como la generación de imágenes
mentales, comparadas con la elaboración de una gráfica a partir de una tabla.
La literatura revisada incluyó estudios relacionados con la propuesta de este trabajo de tesis.
De manera general, estos trabajos coinciden en señalar la importancia que tiene el desarrollo
del razonamiento covariacional y cómo favorece para entender conceptos matemáticos de
precálculo o cálculo. También, se resalta la dificultad que muestran los estudiantes para
16
entender a la covariación como un fundamento del concepto de función. Se identificó que la
mayoría de tareas de instrucción, se enmarcan en contextos puramente matemáticos; por
ejemplo, al analizar patrones durante la construcción de polígonos (Dolores y Salgado, 2009);
transitividad en las representaciones (Thompson, 1994a); exploración de ángulos a partir de
las identidades trigonométricas (Johnson, 2012), por mencionar algunos. Por otra parte, en el
contexto hipotético, se reporta el trabajo realizado por Barrera-Mora y Santos Trigo, (2000),
donde se argumenta la importancia que tiene este contexto como antecedente para abordar
problemas reales, además las ventajas que tiene el relacionar contextos y realizar el tránsito
entre ellos.
Referente a los elementos matemáticos relacionados con la covariación entre cantidades, los
estudios revisados coinciden de manera general con favorecer distintas representaciones
(tabular, verbal, algebraica). También se observa que la mayoría de los trabajos reportan las
dificultades que presentan los estudiantes para identificar regularidades en elementos fijos y
variables. Por otro lado, en todos los estudios revisados, se favoreció el análisis sistemático
de la información, la simplificación de modelos y la transición de modelos simples a otros
más robustos.
1.3 Planteamiento del problema
Diversos autores han detectado que estudiantes de todos los niveles educativos, incluso
aquellos que han aprobado con buenas notas cursos de cálculo, no comprenden con
profundidad el concepto de función (Carlson et al., 2003; Thompson, 1994a). Algunos
trabajos reportan que estudiantes que han aprobado cálculo diferencial e integral, muestran
problemas para entender la idea de covariación, la cual es uno de los fundamentos del
concepto de función (Carlson et al., 2002). Sumado a esto, muestran evidencia que hay
complicaciones para representar analíticamente una relación funcional, a pesar de identificar
cambios conjuntos entre cantidades (Johnson, 2012). En este sentido, es frecuente observar
que los estudiantes presentan problemas para representar funciones algebraicamente y los
que lo logran, tienen dificultades en su interpretación (Earnest, 2015).
Una práctica común en el estudio del concepto de función, consiste en identificar
representaciones gráficas de distintas relaciones funcionales. Esta acción, podría significar
17
un punto de partida relevante, si se quisiera abordar el concepto de función desde una
perspectiva covariacional, ya que, permitiría entre otras cosas, observar, cómo cambios en el
eje horizontal podría provocar cambios en el eje vertical o viceversa. Sin embargo, se tiene
evidencia que cuando se solicita a los estudiantes representar una función, principalmente
realizan tabulaciones y colocan pares ordenados en el plano cartesiano, para finalmente unir
esos puntos y suponer que la tarea quedó resuelta. Esto podría indicar, que se desarrollan de
manera parcial la comprensión sobre lo que significan los cambios covariacionales y la
relación que tienen con las representaciones gráficas, que son elementos importantes en el
estudio del concepto de función (Moore et al., 2016). No obstante, utilizar sólo tabulación y
colocar pares ordenados, no permite identificar a la covariación de cantidades como un
elemento central del concepto de función (NCTM, 2000).
Por otro lado, la literatura muestra que existe una amplia diversidad de trabajos de
investigación que han buscado abordar el tema de funciones (Clement, 1989; Thompson,
1994b; Carlson et al., 2003). Sin embargo, la mayoría de estos estudios han utilizado tareas
en contextos matemáticos, reales e hipotéticos por separado. No se ha encontrado el reporte
de trabajos, que hayan realizado un contraste de cómo cada contexto contribuye de forma
específica al entendimiento de la idea de función. En esta línea de ideas, se busca determinar
cómo tareas orientadas al análisis de la covariación, en diferentes contextos, favorecen el
entendimiento del concepto de función.
1.4 Objetivo
Identificar elementos que permitan diseñar tareas de aprendizaje, para fortalecer el
entendimiento del concepto de función, tomando como referente la covariación conjunta
entre cantidades. La pregunta de investigación que guía a este trabajo es, ¿Qué elementos de
aprendizaje emergen al abordar tareas planteadas en diferentes contextos, involucrando
covariación de cantidades?
1.5 Hipótesis
El abordar tareas de instrucción en diferentes contextos, tomando como referente la
covariación de cantidades, permite a estudiantes de precálculo y cálculo robustecer su
entendimiento del concepto de función.
18
Capítulo 2. Marco Conceptual
2.1 Introducción
Según Lester (2010), un marco de investigación es una estructura de ideas, acuerdos y
principios, que orientan y sustentan los procesos de indagación. Su importancia radica en que
aporta elementos para desarrollar y sustentar los procesos que tienen lugar en un trabajo de
investigación. De este modo Eisenhart (1991) clasifica a los marcos de investigación, en
educación matemática, en tres tipos: teórico, práctico o conceptual. El primero se basa en
teorías tales como la teoría del desarrollo cognitivo de Piaget o la del socio-constructivismo
de Vigotsky. Por otra parte, el marco práctico se basa en experiencias personales del
investigador y hallazgos en estudios previos, incluso se apoya de la opinión pública. En el
marco conceptual, se consideran diferentes puntos de vista (teorías, investigaciones previas,
etc.). En este marco, se argumentan las ideas que se adoptan, y se concluye con las razones
que influyeron para tomarlas (Eisenhart, 1991). Por las características de este trabajo, se
utiliza un marco conceptual. Primero se discuten opiniones sobre qué son las matemáticas,
aprendizaje, entendimiento y didáctica. Posteriormente, se describen las razones que
influyeron para utilizar estas ideas como referentes en esta investigación.
El trabajo aquí presentado, se sustenta en un marco de investigación estructurado en torno de
tres dimensiones: ontológica, epistemológica y didáctica. La primera, describe la postura
adoptada sobre las matemáticas y su aprendizaje. Desde el punto de vista epistemológico, se
puntualizan las ideas que se tienen, respecto a la forma de aprendizaje. Por su parte, en la
dimensión didáctica, se detallan las características que se consideran necesarias, para
favorecer el entendimiento (tipos de tareas y escenario de instrucción).
Para abordar las dimensiones anteriores, se ha considerado un marco conceptual, constituido
con cuatro elementos centrales: (i) de acuerdo con Steen (1988) las matemáticas son
consideradas como la ciencia de los patrones, (ii) referente al aprendizaje, se adopta la idea
de aprendizaje con entendimiento (Hiebert, et al., 1997), (iii) desde el punto de vista
didáctico, se adopta una perspectiva basada en la resolución de problemas (Polya, 2005;
Schoenfeld 1985) y, por último, (iv) se considera el papel de los contextos de las tareas de
instrucción matemática (Barrera-Mora y Santos-Trigo, 2000).
19
2.2 Dimensión ontológica
En esta dimensión se puntualiza la conceptualización que adoptamos en este trabajo sobre
las matemáticas y la forma en que se desarrolla del aprendizaje de esta disciplina. Diversos
autores como Schoenfeld (1992); Godino, Batanero, y Font (2003) argumentan que el actuar
docente y las metas que se persiguen en el diseño de sus tareas de instrucción, están
moldeadas por la noción que tienen los profesores sobre la disciplina.
2.2.1 Concepción de las matemáticas
En este trabajo, se ha adoptado la idea de Steen (1988) de que matemáticas, es la ciencia de
los patrones. Consecuentemente la actividad matemática consiste en la identificación de
pautas y regularidades en distintos fenómenos (naturales, sociales, matemáticos), generar
modelos que describan a estos fenómenos, y generar conceptos y herramientas para operar
esos modelos (Lesh y Harel, 2003). Los modelos son herramientas conceptuales que sirven
para describir cambios o predecir comportamientos para tomar decisiones. Sumado a esto,
Barrera-Mora y Reyes-Rodríguez (2013) argumentan que la actividad matemática no
consiste en aplicar reglas o algoritmos, sino en crear esas reglas y llevar a cabo actividades
que permitan entender patrones que se observan en los mundos natural, social o de las ideas.
2.2.2 Perspectiva de aprendizaje
El aprendizaje de las matemáticas es un proceso dinámico, que no depende únicamente de la
memorización de reglas o algoritmos (Barrera-Mora y Reyes Rodríguez, 2013). Con esta idea
Santos-Trigo (2007) argumenta que aunque es necesario memorizar conceptos y tener fluidez
para realizar algunos algoritmos o procedimientos rutinarios, el aprendizaje debe incluir
también el desarrollo de una actitud inquisitiva (Santos-Trigo, 2007). Es decir, la habilidad
para formular sistemáticamente preguntas, interrogantes o dilemas y buscar diferentes rutas
o estrategias para resolver un problema. En suma, se adoptó la idea de Santos-Trigo (2007)
y Barrera-Mora y Reyes-Rodríguez (2016), de que saber matemáticas implica tener la
capacidad y disposición de utilizar el lenguaje, herramientas y conceptos propios de la
disciplina, con la finalidad de identificar patrones, así como proponer reglas, formulas o
algoritmos, imaginar, crear, relacionar conceptos y desarrollar diferentes tipos de argumentos
para sustentar resultados matemáticos.
20
2.3 Dimensión epistemológica
A través de los años, han surgido diversas teorías que buscan explicar la forma en que se
aprenden cosas nuevas. Por ejemplo, la teoría del desarrollo cognitivo de Piaget o la del
socio-constructivismo de Vigotsky. Cada una aporta diferentes elementos respecto al
entendimiento de cómo se aprende. En este sentido, Feldman (2005) argumenta que aprender,
es un proceso continuo y complejo, por lo que resulta difícil contar con prescripciones que
garanticen el aprendizaje en cualquier disciplina. De esta manera, diversas teorías sobre el
aprendizaje matemático, como las propuestas por Simon (1994) y Ernest (2010) argumentan
que el proceso de aprender está influenciado por la interacción del individuo en contextos
sociales. En otras palabras, aprender conceptos matemáticos, está moldeado por las
interacciones entre los individuos dentro de una comunidad de aprendizaje.
En este trabajo se adopta un enfoque socio-constructivista del aprendizaje, debido a que esta
perspectiva permite, entre otras cosas, explorar diferentes formas de pensamiento y actuar
del alumno. Este enfoque considera que los estudiantes construyen de manera activa y en
interacción grupal su conocimiento, con base en sus conocimientos previos y estructuras
cognitivas particulares, más que copiarlo o absorberlo de otros. Propone además, que el
estudiante, al interactuar en un medio social específico, reorganiza de manera constante sus
estructuras cognitivas, mediante procesos de reflexión y comunicación de ideas. En esta
línea, Ernest (2010) menciona que el conocimiento se materializa, a partir de la interacción
entre las experiencias y prácticas propias, con las de otros.
2.4 Dimensión didáctica
Partiendo de la idea propuesta por Schoenfeld (1992) de que la actividad principal al aprender
matemáticas consiste en desarrollar formas matemáticas de pensar y no sólo aplicar reglas y
algoritmos, se sostiene que la enseñanza de matemáticas debiera desarrollar en el estudiante
la habilidad para pensar y razonar matemáticamente; mediante la puesta en práctica de los
elementos del pensamiento matemático (Barrera-Mora y Reyes-Rodríguez, 2013). Por otro
lado, es importante resaltar, que además de la fluidez procedimental (Santos-Trigo, 2000), se
debe favorecer la comprensión de los conceptos o ideas, así como la habilidad de aplicar
estos conocimientos para resolver problemas. De este modo, se considera que una función
21
primaria del proceso de instrucción consiste en apoyar el que los estudiantes desarrollen
niveles progresivos de entendimiento conceptual.
Al diseñar una tarea de instrucción, se deben considerar distintos elementos que podrían
contribuir para lograr el aprendizaje; por ejemplo, el objetivo de la actividad, el entorno, la
complejidad, los recursos matemáticos, entre otros. Ya que, durante el proceso de construir
un aprendizaje con entendimiento, las tareas son la parte central, porque ellas son el
instrumento para involucrar a los alumnos en la construcción de significados para las ideas
matemáticas. En este sentido, es importante diseñar tareas versátiles que permitan utilizar
más de un sentido (visión, tacto, oído); porque, podría significar la asimilación y adaptación
del nuevo conocimiento en estudiantes con distintas estilos de aprendizaje.
Por otro lado, de acuerdo con algunos investigadores (Carlson et al., 2003; Thompson,
1994a), es importante que durante la implementación de las tareas se permita representar la
información en diferentes registros, ya que esto puede favorecer la generación de imágenes
mentales para los conceptos matemáticos. En este sentido Duval (1998) argumenta que el
aprendizaje requiere de coordinar diversos registros de representación; ya que esto favorece
el desarrollo de conexiones entre conocimientos previos y nuevos conceptos. Esta idea se
basa en el hecho de que las representaciones no son construcciones culturales aisladas, sino
por el contrario son herramientas altamente estructuradas, cada una de las cuales ofrece
información diferenciada de un concepto. Por último, se adopta la idea que el diseño de las
tareas debería presentarse en diferentes contextos (Barrera-Mora y Santos-Trigo, 2000), para
que el estudiante problematice, desde un enfoque matemático, los fenómenos o
problemáticas de su entorno.
2.4.1 Aprendizaje con entendimiento
Referente al entendimiento, se asume que es un concepto complejo y que se desarrolla a
través de niveles progresivos. Por ejemplo, cuando se aborda el Teorema de Pitágoras, un
primer nivel pudiese consistir en identificar que la ecuación de Pitágoras a2+b2=c2 hace
referencia a un triángulo rectángulo cuyos lados se designan por la letras a, b y c. En otro
nivel de entendimiento sería posible calcular uno de los lados del triángulo conociendo dos.
Así, podemos escalar el nivel de entendimiento del Teorema de Pitágoras hasta discutir la
22
ecuación a2+b2=c2 en cualquier estructura algebraica (anillos, campos, grupos). Un nivel
más en el estudio de este teorema consiste en aplicarlo en distintos contextos, (matemáticos,
hipotéticos o reales), en donde se busca dar sentido a las aplicaciones. Los estudiantes escalan
niveles sucesivos de entendimiento matemático cuando logran realizar una mayor cantidad
de conexiones relevantes entre una idea y otras cosas que conocen. De esta manera,
desarrollan un conocimiento estructurado mediante los procesos de reflexión y comunicación
de resultados, que aparecen durante la resolución de problemas (Hiebert et al., 1997).
En esta línea de ideas, Carpenter y Lehrer (1999), argumentan que se ha entendido algo,
cuando es posible aplicar ese algo para resolver problemas. Con estas ideas, se promueve que
los estudiantes puedan ampliar sus habilidades para relacionar ideas previas con nuevos
conocimientos. Esto es útil porque va ampliado la visión que los estudiantes muestran hacia
las matemáticas y trata de evitar que se conceptualicen como un conjunto de hechos, reglas
o procedimientos aislados. En este sentido, Barrera-Mora y Reyes-Rodríguez (2016)
mencionan que el desarrollo de entendimiento es gradual, implica la activación mental,
requiere que los estudiantes desarrollen ciclos sucesivos de actividades que requieren la
acción (experimentar o explorar relaciones), observación (identificar patrones y
regularidades), formulación de conjeturas y comunicación de resultados (incluyendo el uso
de diferentes tipos de argumentos).
2.3.2 Tareas en contextos
Las tareas de instrucción debieran enmarcarse en distintos contextos (Carlson et al., 2003);
ya que lo anterior favorecería la articulación de los fenómenos del mundo real con las
matemáticas escolares. Con esta idea, Barrera-Mora y Santos-Trigo (2000) argumentan que
las tareas de aprendizaje desde la aproximación de resolución de problemas, pueden ubicarse
en tres diferentes contextos: (i) el matemático, aquí la situación a abordar permite que se
utilicen y desarrollen recursos matemáticos para solucionar el problema; (ii) el del mundo
real, que se relaciona con la identificación de datos obtenidos a partir de mediciones,
encuestas o experimentos, los cuales pueden analizarse e interpretarse con el uso de recursos
matemáticos; y (iii) el hipotético, aquí el problema es construido a partir de suposiciones
sobre el comportamiento de ciertas variables que explican el comportamiento del problema;
para este caso, se resalta el uso de diferentes conceptos matemáticos que guían las estrategias
23
de solución; además, permite el uso de diversas representaciones semióticas (Barrera-Mora
y Santos-Trigo, 2000).
2.3.3Tareas de instrucción
Una propuesta didáctica útil para apoyar el aprendizaje matemático, es la resolución de
problemas (Polya, 2005; Schoenfeld, 1985). Esta propuesta promueve que el estudiante tenga
una participación activa al crear herramientas conceptuales en diferentes contextos y que
desarrolle una actitud inquisitiva, al poner en práctica los elementos del pensamiento
matemático (Santos-Trigo, 2007). Desde esta perspectiva se espera que los problemas se
visualicen desde distintas perspectivas y se puedan identificar patrones, aplicar heurísticas,
formular conjeturas, justificar resultados y formular nuevos problemas. En este sentido,
Schoenfeld (1985) reconoce la importancia que tienen los conocimientos previos, los cuales
son la base para la construcción de nuevas ideas o conceptos al resolver problemas. Por esta
razón, es de interés explorar los recursos de los estudiantes, iniciando con problemas simples,
hasta problemas de mayor complejidad.
Es importante también que las tareas favorezcan el uso de diferentes representaciones
semióticas (Duval, 1998); incluyendo la representación de la información de forma tabular,
verbal, o gráfica; así como el tránsito entre las diferentes representaciones. Las actividades
se podrán trabajar tanto en ambientes de lápiz y papel, como en medios tecnológicos digitales
24
Capítulo 3. Metodología
3.1 Introducción
El enfoque del presente trabajo es cualitativo, porque las fuentes de información consisten
en palabras, plasmadas en producciones escritas o verbales de los participantes, a través de
las cuales se busca identificar formas particulares de pensar o razonar, relativas al desarrollo
de niveles progresivos de entendimiento del concepto de función. En esta metodología se
debe prestar particular atención a la forma en que los estudiantes responden a las preguntas
que guían a la tarea, es decir, se busca identificar, qué es lo que piensan al abordar la tarea,
cómo interpretan la información, qué heurísticas utilizan y cómo relacionan sus recursos con
el nuevo conocimiento que se genera al abordar las tareas, en cada uno de los contextos
considerados. El diseño de las tareas incluyó en su estructura general, la descripción del
problema, las condiciones de aplicación, así como los cuestionamientos que utilizaría el
profesor para apoyar el avance de los estudiantes, y la determinación de las representaciones
que podrían ser de utilidad.
3.2 Participantes
Las tareas de instrucción se implementaron en una escuela pública de nivel superior,
(Instituto Tecnológico de Atitalaquia, ITAt), en una zona rural del Estado de Hidalgo. Los
participantes se eligieron por conveniencia, debido a que en ese momento, el autor se
encontraba al frente del grupo donde se aplicaron las tareas. Las tareas se implementaron
con tres grupos mixtos de estudiantes, con 25 integrantes en promedio, de una licenciatura
en ingeniería industrial. Los alumnos habían cursado y aprobado las asignaturas de cálculo
diferencial e integral. Para cada actividad los estudiantes se integraron en equipos de entre
dos a cuatro individuos. Se eligió a un líder por equipo con la finalidad de que él comunicara
los resultados de su equipo al resto del grupo. Se permitió el uso de calculadora, Geogebra,
Excel o los recursos computacionales que los participantes consideraran necesarios para
abordar las tareas.
3.3 Características de las tareas
Se diseñaron tres tareas, una por cada contexto (matemático, real e hipotético). Con base en
estas tareas se buscó identificar cuáles elementos son útiles para fortalecer el entendimiento
25
del concepto de función, tomando como base una aproximación covariacional. Las
características consideradas durante el diseño de las tareas fueron: formulación de preguntas,
conjeturas y relaciones, orientadas a promover el razonamiento covariacional y la
construcción de modelos o sistemas conceptuales. Las tareas se estructuraron para favorecer
el pensamiento matemático, expresado mediante distintas representaciones semióticas, con
la finalidad de favorecer la construcción de conexiones útiles, para entender y dar sentido a
distintos fenómenos modelados mediante funciones.
Referente a la estructura de las tareas, consisten de la problemática a abordar, descripción del
problema, preguntas guía, tablas, gráficas o información referente a la contextualización de
la tarea. La primera actividad, enmarcada en un contexto puramente matemático consistió en
construir un triángulo dado un segmento que representa uno de los lados. Se partió de un
segmento X y se pidió la construcción de un triángulo equilátero ABC, que tuviera como lado
la longitud X. Posteriormente, se pidió dividir éste triángulo en varios triángulos congruentes,
se esperaba que tomaran los puntos medios de cada segmento como referencia para realizar
la construcción. Se propuso realizar distintas iteraciones similares a la anterior, bajo la
consigna de dejar el triángulo que quedaba en el centro sin dividir lo que daba lugar al
denominado triángulo de Sierpinski. Se solicitó obtener el área y perímetro. Por último, se
solicitó registrar la información en una tabla (apéndice A), para observar patrones de
comportamiento de las áreas y perímetros. Con esta información, se esperaba que los
estudiantes generalizaran mediante una expresión algebraica (función) el comportamiento
del área, perímetro, cantidad de triángulos y altura, dado el número de iteración.
La segunda tarea, en el contexto real, tuvo como base información estadística sobre el
crecimiento poblacional en el poblado de Atitalaquia, Hgo., y el consumo de agua por
persona, bajo ciertas consideraciones. Se pidió, analizar la información, complementarla y
realizar un modelo matemático que describiera el consumo del agua en función del
crecimiento poblacional en dicho poblado. La tercera tarea, fue propuesta en el contexto
hipotético; consistió en obtener el rendimiento de combustible de una camioneta en función
de la velocidad, bajo ciertas condiciones de manejo. Para abordar dicho problema, se
propusieron datos experimentales y una gráfica que describía la forma de manejo.
26
3.4 Descripción de las tareas
En este apartado se realiza la descripción de las tres tareas. Primero se presenta el problema
con algunas preguntas guías que servirán como elementos de discusión, análisis y reflexión.
Después, se propone información, tablas, figuras y gráficas que sirven para describir cada
tarea. Además, se incluyen puntos claves en torno a identificar los elementos que emergen
durante el proceso de solución.
3.4.1 Tarea en el contexto puramente matemático
a) El problema. Dado el segmento AB, (Fig. 3.1), ¿Se puede construir, con regla y compás,
un triángulo equilátero cuyo lado sea la longitud de AB?
Para abordar la tarea, pueden iniciar contestando preguntas como ¿qué es un triángulo
equilátero?, ¿cómo se obtiene el perímetro de un triángulo equilátero? En esta fase, fue
fundamental la justificación de las construcciones. Se buscó, que se identificaran las
características propias de los triángulos. En esta idea, se solicitó responder lo siguiente: Si la
longitud de X es igual a 1 unidad, ¿cuál es el área y perímetro del triángulo?, ¿cuál es el
semiperímetro del triángulo? Para complementar la tarea, se pidió que reflexionaran los
siguientes cuestionamientos: ¿es posible construir dentro del triángulo equilátero ABC cuatro
triángulos equiláteros de áreas iguales? ¿Qué características tienen esos triángulos? ¿Son
congruentes? (Se esperaba que llegaran a la construcción de la Fig. 3.2).
Fig. 1.1 Segmento de longitud X.
27
Fig. 3.2 Primera iteración en la división del triángulo ABC.
Si se sabe el área del primer triángulo, ¿Qué relación tiene con el área de los nuevos
triángulos? ¿Cuál es la relación con sus perímetros de cada triángulo y la del triángulo inicial?
Posteriormente, se pidió que los estudiantes realizaran otra iteración (construir triángulos
dentro de las nuevas construcciones Fig. 3.2), en el ambiente lápiz y papel, y que se
obtuvieran área y perímetro. Para finalizar, se solicitó que realizaran las construcciones en
Geogebra y registraran sus observaciones en la tabla mostrada en el apéndice A.
3.4.2 Tarea en el contexto real
a) El problema. Los estudiantes recibieron información sobre la importancia de tener
proyecciones del consumo de agua potable, para ciertos periodos de tiempo en el municipio
de Atitalaquia, Hidalgo. La problemática se justificó porque es común observar que el
desabasto en sus comunidades y cabecera municipal va en aumento. Al investigar en las
oficinas del sistema de agua potable municipal (Tezoquipa, Hgo.), sobre la distribución del
líquido, las autoridades comentan que no cuentan con un programa de abastecimiento que
logre la completa satisfacción en la población; dicen que el agua se distribuye según el día y
horario que le corresponda a cada manzana, de manera que algunas familias se quedan sin
agua. Mencionan además, que es un problema en constante crecimiento, porque actualmente
se ha incrementado considerablemente la cantidad de personas que solicitan conexión al
sistema de distribución, mismo que se encuentra en mal estado. En este sentido, se propuso
a los participantes que realizaran un modelo que aproximara el comportamiento en el
consumo de agua en el municipio de Atitalaquia, en función del crecimiento poblacional, el
cual fuera útil para diagnosticar el gasto a diferentes intervalos de tiempo. Este estudio podría
28
servir como referente para que el municipio tenga elementos para seleccionar tubería,
válvulas y bombas en las próximas ampliaciones de la red de suministro.
b) Descripción del consumo. Estudios recientes realizados por la Organización Mundial de
la Salud [OMS], mencionan que la cantidad de agua para el consumo diario es, en promedio,
de 20 litros (OMS, 2015). Sin embargo, otras dependencias, proponen que la cantidad de
agua que se requiere para preparación de la alimentación, aseo personal, etc. asciende a más
de 350 litros diarios por persona (Comisión Nacional del Agua [CONAGUA], 2013). Por
otra parte, datos del consejo consultivo del agua A.C., indican que cada mexicano consume
al día aproximadamente 360 litros de agua. (CONAGUA, 2013). Con estas ideas, se
aproximó que una persona del poblado de Atitalaquia, Hgo., consume diariamente 180 litros
de agua.
Con la información del consumo de agua por individuo al día, y conociendo que la cantidad
de personas que habitan en la comunidad es aproximadamente 30,000, se estima que
diariamente consumen 5,400,000 litros, equivalente a 5,400 m3, para contextualizar, un
tinaco de 1000 litros equivale a un metro cúbico de agua, en otras palabras son 5,400 tinacos
diarios.
Por otro lado, los datos del Instituto Nacional de Estadística y Geografía [INEGI], (2010),
indican que en el municipio de Atitalaquia había en 2010, un total de 26,904 personas y 6,645
viviendas tenían acceso al agua potable de la red pública. Para 2015, se contaban 29,683
habitantes y 7,801 hogares tenían acceso a la red pública de agua potable, además que hay
3.9 personas en promedio por hogar (INEGI, 2015). Considerando que la tasa de crecimiento
poblacional 2010-2015, fue del 2.1% (INEGI, 2010), se prevé que en 2020 se tenga una
población de 32,869 y 36,397 para 2025, (INEGI, 2010; 2015). Con base a la información
anterior se solicitó a los estudiantes elaborar un modelo que indicara el comportamiento en
el consumo de agua, en función del crecimiento poblacional en el municipio de Atitalaquia.
3.4.3 Tarea en el contexto hipotético
a) El problema. En diversas pruebas de conducción de vehículos automotores se ha
observado que el rendimiento de gasolina depende de la velocidad a la que se conduzca y de
las características topográficas de la carretera. Suponiendo que se conduce un vehículo tipo
29
camioneta pick-up (Chevrolet-Tornado, 4cil, 105HP, modelo 2011, tamaño 1.8L, manual,
versión 2 PTS) es necesario identificar el rendimiento de combustible; para eso, se tomaron
datos de estudio que relacionan la velocidad y el consumo de gasolina, para el denominado
rendimiento carretero (Davis, Diegel y Boundy, 2012; SENER, 2018). Este tipo de
rendimiento es considerado para tramos donde la velocidad y aceleración se mantienen
idealmente constantes (autopistas). En este sentido la SENER, (2018), aclara que los valores
propuestos son de pruebas de laboratorio, razón por la cual, no se pueden reproducir en
condiciones de manejo habitual. De esta manera, se toma información del comportamiento
del consumo al variar la velocidad y medir los kilómetros recorridos por litro. Los datos
observados se muestran en la tabla y a partir de estos se construye una representación gráfica
(Fig. 3.3).
Suponiendo que la pick-up viaja de la ciudad A la ciudad B por una carretera que está
compuesta por los tramos como se muestra en la figura 3.4, en X0 y X1 la velocidad máxima
que se puede alcanzar es de 110 Km/h y en el tramo Y0 es de 90Km/h, se desea saber bajo
ciertas condiciones, cuál es el rendimiento promedio de cada tramo.
Velocidad
Rendimiento
carretero
Km/h Km/l
20 6.56
30 8.85
40 11.15
50 13.15
60 14.45
70 15.65
80 16.7
90 17.1
100 16.75
110 15.6
120 13.55
130 10.35
140 7.4
150 3.9
0
5
10
15
20
0 50 100 150 200
Ren
dim
ien
to
Velocidad
Fig. 3.3 Velocidad contra rendimiento.
30
Fig. 3.4 Tramos carreteros.
3.5 Posibles rutas de solución
a) Tarea en el contexto puramente matemático. Referente a la construcción de las
diferentes iteraciones en los triángulos congruentes, se pidió que la información se registrara
en la tabla propuesta (apéndice A), la cual es posible analizarla desde diferentes perspectivas:
(i) primero se puede explorar una función que determine la cantidad de triángulos en la
interacción n-ésima, para ello se espera que registren valores en una hoja de cálculo, para
contrastar y extender la variación entre la interacción y la cantidad de triángulos.
Posteriormente se podría cuestionar: ¿cuál será la cantidad de triángulos en la iteracción 5,
10 y 15 respectivamente? Para responder a esta pregunta, los estudiantes pueden analizar
casos particulares hasta que logren extender al caso general. Con esta acción, se pretende que
tengan presente la representación algebraica y que de esta manera observen la relación
existente entre datos e incógnitas. Es viable que los estudiantes representen la información
con un gráfico, para que conecten diferentes relaciones entre elementos fijos y variables. De
este modo, se espera que efectúen un análisis visual del comportamiento de los parámetros
(en cada caso particular).
(ii) En esta fase se pide que determinen una función, que al evaluarla cuando se conoce la
iteración como argumento, resulte el área de cada triángulo. Para esta parte, se deberán
realizar casos particulares hasta que se generalice para la iteración n. Similar a la etapa
anterior, se espera que hagan uso de diferentes representaciones; no obstante, se podrán
explorar otros conceptos matemáticos, tales como: suma, potenciación, área, altura del
triángulo, relaciones entre datos e incógnitas, variación de ciertos elementos y la correlación
31
con el cambio en el área. Además, se podrán determinar características propias de la función,
por ejemplo determinar si la función es convergente o divergente.
(iii) Finalmente, se pedirá que determinen una función, cuyo argumento es el número de
iteración, que devuelva como resultado el perímetro para cada triángulo. Se espera un análisis
idéntico a la fase ii; es decir, que se realicen diferentes representaciones y se identifiquen
relaciones covariacionales entre la cantidad de triángulos y la suma de sus perímetros. Esta
actividad permitió determinar características de relaciones funcionales.
b) Tarea en el contexto real. Una primera actividad para abordar la tarea consiste en analizar
la información y completarla. Una pregunta que servirá de guía para avanzar en el proceso
de solución es ¿cómo ha sido el comportamiento del consumo de agua en función del
crecimiento poblacional en periodos de tiempo determinados? Para responder necesitarán
delimitar la información, ya que es un problema complejo de múltiples variables, por
ejemplo, si las personas están en casa la mayor parte del día, si prepara sus alimentos, la
frecuencia con que se asea, si poseen auto y cómo lo lavan (en casa o autolavado, con cubeta
o manguera), la manera de lavar los vidrios y pisos, si cuenta con sistemas de recolección de
agua de lluvia, si reutilizan el agua de la regadera o lavabo, la cantidad de agua consumida
por ganado o mascotas, etc. Aquí la importancia de proponer hipótesis que simplifiquen el
problema y poder abordarlo mediante herramientas matemáticas.
Se espera que los estudiantes reflexionen de manera retrospectiva, por ejemplo ¿cómo
estiman el consumo de agua las organizaciones nacionales e internacionales? Por otro lado,
se pretende que una vez completada y analizada la información, la organicen en diferentes
representaciones (tablas, gráficas o de manea verbal) y que se haga uso de software dinámico
como Geogebra, para modelar y generar conexiones que permitirán validar el modelo y sus
conclusiones.
c) Tarea en el contexto hipotético. Para este caso, es posible interpretar la información bajo
ciertas premisas que guíen las directrices del problema. Como se pude observar en el gráfico
de la Fig. 3.4, hay tramos en donde la velocidad aumenta, ¿cómo es en estos tramos el
rendimiento? Si se observa la información es posible identificar que no se indica cuál es la
cantidad de combustible que lleva el auto, ¿será de importancia este dato? En los puntos
32
donde se hacen los cambios de velocidad aparecen otros factores a considerar, por ejemplo
el frenado y acelerado, por esto se podría cuestionar cómo se comporta el consumo de
combustible. En este análisis podremos tomar distintas rutas que ayuden a explorar las
relaciones que existen entre elementos importantes por ejemplo, la distancia contra la
velocidad, la velocidad alcanzada en los tramos carreteros y los puntos de cambio, etcétera.
3.6 Recolección de la información
La información que se obtuvo para realizar el análisis e identificar los elementos que
emergieron al abordar las tareas de instrucción en los contextos y características previamente
mencionadas, los cuales servirán para diseñar otras tareas que permitan robustecer el
entendimiento del concepto de función, fueron de carácter cualitativo, tales como evidencia
fotográfica, toma de audio, video y evidencia escrita. Se resalta que la recolección se realizó
bajo la autorización de los estudiantes, quienes eran mayores de edad y en pleno uso de sus
facultades físicas y mentales, por lo que no requirió solicitar permiso formal a la institución,
no obstante se informó a los directivos respecto de la implementación de las tareas y el uso
de la información obtenida para la elaboración de este trabajo de tesis.
33
Capítulo 4. Análisis y Resultados
4.1 Introducción
Este capítulo tiene el propósito de determinar de qué manera, tareas desarrolladas por
estudiantes de licenciatura orientadas al análisis covariacional en diferentes contextos,
favorecieron el desarrollo de entendimiento del concepto de función. Además de identificar
los elementos que emergieron al abordar las tareas relacionadas con la covariación en
diferentes contextos. Está integrado por tres secciones, en la primera se hace un análisis de
los elementos matemáticos que surgieron de forma común en el desarrollo de las actividades.
En el siguiente apartado se interpretan los resultados de las tareas en el contexto puramente
matemático, hipotético, real. En la última sección se lleva a cabo una comparación entre los
aportes de cada tarea, en el contexto correspondiente, para fortalecer el entendimiento del
concepto de función.
Para realizar el análisis, durante la primera y tercera actividad, se identificaron líderes en
cada equipo, a cada uno se le asignó un número del 1 al 6. El seguimiento de las actividades
se realizó a través del líder, debido a que fueron quienes mostraron interés en el desarrollo
de las tareas e influyeron y organizaron la actividad del resto de los integrantes del equipo.
Para la tarea dos se formaron 5 equipos y se numeraron. De manera similar a las otras
actividades se identificó a un líder para dar el seguimiento correspondiente.
4.2 Análisis y fases importantes
4.2.1 Análisis en el contexto puramente matemático
La solución de esta tarea pudo tomar diferentes rutas, pero se orientó por fases previamente
planificadas. En la fase (i) se analizaron elementos de construcción de triángulos y los
elementos que los caracterizan; en la fase (ii) se reflexionó sobre el concepto de área y
perímetro, así como la forma de obtenerlos, en la fase (iii) se analizaron conceptos de
congruencia entre triángulos, covariación entre la cantidad de triángulos y el área, así como
la cantidad de triángulos y el perímetro, identificación de distancia entre dos puntos,
obtención del punto medio y construcción de triángulos a partir de condiciones dadas.
Posteriormente se pidió que trabajaran con Geogebra, ahí se solicitó representar los triángulos
construidos con lápiz y papel (triángulo equilátero), y algunas iteraciones (triángulos
34
congruentes). Después, se pidió que calcularan el área de los triángulos formados, aquí se
pudieron analizar otros elementos como la búsqueda de relaciones entre elementos fijos o
variables, además argumentaron cálculos previos de área y perímetro, registrándolos en la
tabla solicitada.
4.2.2 Análisis en el contexto real
Partiendo que la información real tomada de datos experimentales u observaciones es
importante cuando se tratan de aproximar modelos de manera matemática, se debe
considerar que esta información, ya ha sido tratada mediante consideraciones hipotéticas.
Por ejemplo, en la tarea del caso real, cuando se menciona la cantidad de personas que habitan
por hogar registrado, se dice que es de 3.9 en promedio, pero cómo podríamos tener 3.9
personas, por esta razón, de manera hipotética consideramos que hay 4 personas por hogar.
De este modo se simplifica el problema, además no tendría sentido tener decimales de
persona. Simplemente, cuando se habla de un número exacto de personas, se maneja
información hipotética, porque suponemos que al día de hoy no ha habido nacimientos o
defunciones, sin embargo, estas consideraciones son válidas para tener un referente numérico
o matemático.
Al trabajar con casos reales, constantemente hay conexiones importantes entre la
información real e hipotética, esta última permite que un modelo se pueda simplificar,
mediante la formulación de hipótesis, y de esta forma abordarlo con elementos matemáticos.
También es posible, que un problema situado en el contexto real, se aborde con elementos
puramente matemáticos, sin necesidad de realizar hipótesis; por ejemplo, obtener el área de
un terreno; para este problema es probable que no se requieran suposiciones adicionales,
simplemente se aborda con herramientas matemáticas y se resuelve. Sin embargo, hay
problemas complejos que requieren de hipótesis del comportamiento real, lo que da lugar al
contexto hipotético. Este proceso resulta relevante, ya que aporta elementos para establecer
conexiones y robustecer el aprendizaje con entendimiento. Por un lado, se pone en juego el
rigor matemático cuando se intenta aproximar de manera formal la situación problemática.
A su vez, se complementa el entendimiento, porque se da sentido a los elementos
representados (representaciones semióticas, valores numéricos, etc.), que se relacionan con
elementos tomados del contexto real. Estas acciones de representación, establecen
35
conexiones que favorecen el desarrollo de imágenes mentales y permiten que el estudiante
las relacione con el lenguaje simbólico, que contienen las expresiones formales.
Fig. 4.1 Contextos y entendimiento matemático.
Al intentar dar solución al problema en el contexto real, se distinguen algunas fases: (i)
entender la situación y su importancia, ya que el agua es necesidad primordial de la sociedad.
(ii) Analizar los datos para identificar e implementar distintas rutas de solución. Para este
caso se espera el uso de tablas, análisis de casos particulares, identificación de patrones de
comportamiento, relación entre datos e incógnitas, construcción de modelos gráficos o
algebraicos que aproximen el comportamiento real del consumo de agua. (iii) La búsqueda
de información adicional que permita relacionar distintos valores y formas de representar los
datos. Por ejemplo, se puede indagar sobre el municipio, la relación que tiene con sus
alrededores, indagar en el archivo municipal, costos de distribución de agua, captación de
agua, tratamiento de agua, reutilización, etc.
Para realizar un análisis sistemático de la información, es posible que el estudiante realice la
organización de los datos a través de tablas, representaciones algebraicas o gráficas, con la
finalidad de lograr la mayor cantidad de relaciones y entender el problema que se plantea. Se
proponen que se visualicen casos particulares, por ejemplo el consumo de agua por hogar.
Además se espera que los estudiantes contextualicen, para extender el modelo y utilizar otros
elementos, tales como, la disponibilidad del agua, la reutilización o la captación de agua de
lluvia.
36
4.2.3 Análisis en el contexto hipotético
Debido a la complejidad de esta de tarea, por la cantidad de variables a considerar, diversos
estudios han propuesto modelos que buscan aproximar el rendimiento en el consumo de
combustible y distancia recorrida, (Chesher y Harrison, 1987; López-Martínez y Sánchez-
Alejo, 2008 y Ben-Chaim, Shmerling, Kuperman, 2013). Sin embargo, la mayoría de los
modelos presentados son complejos de analizar. Para este caso, a partir de la observación de
los datos experimentales y su gráfica (apartado 3.4.3), tomados de los experimentos
realizados por Davis, Diegel y Boundy (2012) y SENER (2018), proponemos que se
aproxime la relación entre velocidad y rendimiento mediante una función cuadrática, con la
finalidad de simplificar el análisis y resolver la tarea planteada. Para lo cual, se propone que
el método para modelar teóricamente el comportamiento del rendimiento en función de la
velocidad, sea el de ajustar una función cuadrática por mínimos cuadrados.
a) Ajuste de una función cuadrática por mínimos cuadrados. En el estudio de ciencias e
ingenierías es común abordar problemas en los que estén involucrados conjuntos de datos
experimentales denotados por pares ordenados (x, y), donde cada conjunto relaciona variables
asociadas a cantidades. Es cotidiano encontrar fenómenos que se modelan teóricamente
mediante funciones que relacionan dos o más variables. Por ejemplo, el comportamiento de
un resorte al aplicar una fuerza, el flujo de corriente a través de una resistencia, el registro de
datos del enfriamiento de un cuerpo en distintos intervalos de tiempo, el consumo de agua en
función de la cantidad de hogares, etc., Para modelar estos fenómenos, se determinan
relaciones, tomando como objeto de estudio los datos experimentales que se tienen del
proceso, y a partir de ellos se aproxima el comportamiento teórico.
Existen diferentes métodos para aproximar el modelo teórico de un fenómeno en términos
matemáticos, por mencionar algunos: regresión lineal, mínimos cuadrados, interpolación,
entre otros. Para este caso utilizaremos el ajuste de una cuadrática por el método de mínimos
cuadrados, que es ampliamente utilizado cuando se tienen datos que resultan de la
experimentación, como en este caso.
El método de mínimos cuadrados consiste en minimizar el error que existe entre los puntos
(pares ordenados) y la curva teórica que mejor ajusta a esos puntos. Se aplica cuando no se
37
encuentra una relación completamente definida entre los puntos. La representación formal
de la curva mencionada, es vía una ecuación que permite su análisis en términos de un
modelo representado por una función. Para obtener dicha función, que es el objetivo de este
método, primero se deben recolectar los datos experimentales que muestren información
sobre las variables involucradas. En nuestro caso son los datos que relacionan la velocidad y
el rendimiento (x y y).
El siguiente paso es graficar los datos experimentales en el plano cartesiano, como conjunto
de pares ordenados. Para nuestro caso, son los valores experimentales de rendimiento vs
velocidad. Después de graficar se identifica de manera visual y con argumentos heurísticos,
que el tipo de gráfica que mejor aproxima a los datos es el de una función cuadrática. De
manera precisa, se propone que la función que mejor aproxima es cuadrática y está dada por
(5).
𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (5)
Los datos experimentales (𝑥𝑖 ,𝑦𝑖) difieren de los teóricos dados por (5) en una cantidad 𝑒_𝑖
entonces se tiene
𝑦𝑖 = 𝑎𝑥𝑖 + 𝑏𝑥𝑖 + 𝑐 + 𝑒𝑖 (6)
La expresión anterior incluye una componente aleatoria del error, la cual se supone que tiene
una media igual a cero. Además, se supone que los errores no están correlacionados, es decir,
un error no depende del valor de otro error, además que cumplen con ser estimadores de
menor varianza y por tanto de menor error cuadrático medio. En el caso e=0, significa que
no hay discrepancia entre el modelo y los puntos de experimentación. Para el caso que nos
ocupa, x y y representan la velocidad y el rendimiento respectivamente.
El método de mínimo cuadrados consiste en minimizar la suma de los cuadrados de cada 𝑒𝑖.
De forma más precisa, se debe minimizar la función:
𝑓(𝑎, 𝑏, 𝑐) = ∑(𝑦 − 𝑎𝑥 2 − 𝑏𝑥 − 𝑐)2 (7)
38
Se sabe que si 𝑓(𝑎, 𝑏, 𝑐) es diferenciable y tiene un máximo o mínimo, entonces su gradiente
satisface
𝛻𝑓(𝑎, 𝑏, 𝑐) = (0,0,0) (Barrera 2018, Theorem 37, p. 47)
Usando la definición de gradiente se tiene:
𝜕𝑓(𝑎, 𝑏,𝑐)
𝜕𝑎= −2∑(𝑦 − 𝑎𝑥 2 − 𝑏𝑥 − 𝑐)
𝜕𝑓(𝑎, 𝑏, 𝑐)
𝜕𝑏= −2∑𝑥(𝑦 − 𝑎𝑥 2 − 𝑏𝑥 − 𝑐)
𝜕𝑓(𝑎, 𝑏, 𝑐)
𝜕𝑐= −2∑𝑥 2(𝑦 − 𝑎𝑥 2 − 𝑏𝑥 − 𝑐)
Derivado e igualando a cero cada ecuación, darán un mínimo o un máximo. Se puede
demostrar, usando la matriz Hessiana que, 𝑓(𝑎, 𝑏, 𝑐) alcanza un mínimo (Barrera 2018,
Theorem 38, p. 48). Por su parte ∑ 𝑐 = 𝑐𝑛 , dónde n representa la cantidad de datos de
experimentación, (véase la primer columna de la tabla 4.1), así reacomodando queda el
siguiente sistema de ecuaciones. El paso siguiente es resolver el sistema de ecuaciones,
sustituyendo los datos conocidos y resolviendo para obtener los valores de a, b y c.
∑𝑦 = 𝑐𝑛 + 𝑏∑𝑥 + 𝑎∑𝑥 2
∑𝑥𝑦 = 𝑐∑𝑥 + 𝑏∑𝑥 2 + 𝑎∑𝑥 3
∑𝑥 2𝑦 = 𝑐∑𝑥 2 + 𝑏∑𝑥 3 + 𝑎∑𝑥 4
Para este caso, registrando los valores experimentales y los elementos involucrados en las
ecuaciones anteriores obtenemos lo que muestra en la siguiente tabla.
Tabla 4.1 Datos experimentales y operaciones para el método de mínimos cuadrados
n x(velocidad) y(rendimiento) x^2 x^3 x^4 x*y x^2*y
1 20 6.56 400 8000 160000 131.2 2624
2 30 8.85 900 27000 810000 265.5 7965
3 40 11.15 1600 64000 2560000 446 17840
39
4 50 13.15 2500 125000 6250000 657.5 32875
5 60 14.45 3600 216000 12960000 867 52020
6 70 15.65 4900 343000 24010000 1095.5 76685
7 80 16.7 6400 512000 40960000 1336 106880
8 90 17.1 8100 729000 65610000 1539 138510
9 100 16.75 10000 1000000 100000000 1675 167500
10 110 15.6 12100 1331000 146410000 1716 188760
11 120 13.55 14400 1728000 207360000 1626 195120
12 130 10.35 16900 2197000 285610000 1345.5 174915
13 140 7.4 19600 2744000 384160000 1036 145040
14 150 3.95 22500 3375000 506250000 592.5 88875
Total ∑ 1190 171.21 123900 14399000 1783110000 14328.7 1395609
Sustituyendo los valores de la tabla para las ecuaciones (6) obtenemos.
171.21 = 14𝑐 + 1190𝑏 + 123900𝑎
14328.7 = 1190𝑐 + 123900𝑏 + 14399000𝑎
1395609 = 123900𝑐 + 14399000𝑏 + 1783110000𝑎
Al resolver este sistema de ecuaciones obtenemos que los valores de a ,b y c, así sustituyendo
en la ecuación (5), se obtiene:
𝑔(𝑥) = −0.0027985576923076753 𝑥2 + 0.46590206043955723𝑥 − 2.6051538461537267 (7)
Al graficar la función anterior en el intervalo de 10-160 y adjuntando los pares ordenados
experimentales (x,y) tenemos la siguiente representación.
40
Fig. 4.2 Representación gráfica de la ecuación obtenida por mínimos cuadrados.
Esto indica que la gráfica mostrada en rojo, es la mejor curva de ajuste para los datos
experimentales. Con base a esto, se dice que el comportamiento del rendimiento en función
de la velocidad es el de la ecuación (7) y que servirá para modelar el problema de velocidad
contra rendimiento.
4.3 Resultados
4.3.1 Contexto puramente matemático
Al resolver la tarea de instrucción, unas preguntas que aparecieron en el entendimiento del
problema fueron: ¿qué es un triángulo equilátero?, ¿qué características tiene? Los equipos 1,
4 y 5 realizaron la construcción del triángulo, trazaron arcos de radio X con centro en A y B,
localizaron el punto de intersección C entre esos arcos y formaron el triángulo equilátero
ABC, también identificaron que la solución no era única. Entonces, el profesor preguntó si
sería posible dividir el triángulo ABC en cuatro triángulos que tuvieran la misma área. La
mayoría de los equipos observaron que al marcar los puntos medios de cada lado y unirlos,
resolvían este problema. Es importante destacar que algunos estudiantes se cuestionaron si
la solución era única, lo cual es un aspecto importante en el desarrollo de una forma
matemática de pensar; sin embargo no se profundizó en esta línea por no ser el eje del trabajo.
Después se pidió a los participantes que expresaran el perímetro y área del triángulo ABC en
función de la longitud X. La construcción del triángulo ABC apoyó el que los estudiantes
determinaran el perímetro con facilidad, dado que observaron que los lados tienen la misma
41
medida. En el caso del área, los estudiantes mostraron dificultades para obtener el valor de
la altura, ya que como primera aproximación dijeron que medía lo mismo que un lado
(equipos 2 y 6). Cuando el instructor preguntó el porqué de su respuesta, los estudiantes
notaron que la altura tendría que ser menor que el lado del triángulo, dando lugar a una
reflexión más profunda para obtener ese valor. Una idea fue utilizar el teorema de Pitágoras;
sin embargo, los estudiantes mostraron algunas dificultades para implementar este resultado,
porque no estaban seguros cuál de los catetos del triángulo correspondía las variables a o b
en la ecuación pitagórica. Una vez que se obtuvo la altura en términos del lado de longitud
X, los estudiantes expresaron el área del triángulo. Se obtuvo evidencia de que los estudiantes
no conocían otras maneras de obtener el área por ejemplo utilizando la fórmula de Herón.
Fig. 4.3 Construcción del triángulo.
A continuación se pidió que registraran sus observaciones en una tabla sugerida por el
instructor (Fig. 4.4), porque esta forma de organizar la información podría favorecer que los
estudiantes observaran como se relacionaba el número de iteración con la información de las
otras columnas. La construcción de los triángulos favoreció el desarrollo de significado de
las expresiones algebraicas. Es decir identificaron lo que significaban los cambios asociados
a las expresiones algebraicas y cantidades numéricas. Por ejemplo en la expresión de la
longitud de un lado de los triángulos más pequeños en la n-ésima iteración es 𝑙 =𝑋
2𝑛 . Los
equipos 1, 3 y 4 tuvieron en mente que 𝑋 era la longitud del lado de ABC y el 2n aparece
porque cada vez la longitud del lado del triángulo más pequeño se divide a la mitad.
Evidencia de esto se muestra en la siguiente conversación:
42
Profesor: ¿Ya encontraste la relación?
Alumno: No la veo, sólo veo que este es el doble que este. [Observando de manera recursiva
el denominador en los registros del perímetro].
Profesor: Sí, fíjate en el que sigue es el doble.
Alumno: Sí, el que sigue es el doble, y el doble y acá va 16. [Haciendo referencia que va aumentado al doble el denominador de la expresión del perímetro en cada caso particular, mientras se dice esto, otro integrante del equipo va señalando y contando en la construcción,
las divisiones de X para un caso].
Fig. 4.4 Tabla propuesta en cuaderno.
Con la idea de que los estudiantes generalizaran mediante una función el comportamiento de
la cantidad de triángulos en función de la iteración, se sugirió que centraran la atención en
los triángulos construidos en cada iteración, para lo cual los estudiantes presentaron
diferentes rutas de exploración. Todos los equipos intentaron encontrar diferencias entre la
cantidad de triángulos de dos iteraciones consecutivas. El equipo 4 trabajó con papel y lápiz
y utilizó una calculadora para realizar operaciones. Este equipo observó que las primeras
diferencias, excepto las de los primeros dos términos eran múltiplo de tres; esto lo relacionó
con la cantidad de triángulos que se formaban al incrementar en uno la iteración, ya que se
triplicaba esa cantidad. Por su parte los triángulos del centro y el exterior se mantenían
constantes y se sumaban a la cantidad de triángulos triplicados, obteniendo así la cantidad
total de triángulos para cada iteración. No obstante, no lograron obtener una expresión
general para el número de triángulos a partir del número de iteración, ya que solamente
identificaron una relación de carácter recursivo.
43
Por otro lado, los equipos 2 y 5, registraron en una hoja de Excel, las cantidades de triángulos
determinadas para algunas iteraciones en particular, con la finalidad de extender los casos,
facilitar operaciones y realizar observaciones de regularidades en mayor cantidad de valores.
Ambos equipos identificaron las diferencias entre una iteración y otra. El equipo 5, observó
que el número tres era fundamental, lo justificó de manera similar que el equipo 4. Sin
embargo, utilizar software, permitió realizar mayor cantidad de observaciones. También
favoreció en identificar de manera rápida las variaciones entre la iteración y la cantidad de
triángulos, así se despierta el interés por obtener una relación que les sirviera para obtener la
cantidad de triángulos en la n-ésima iteración (Fig. 4.5).
Fig. 4.5 Búsqueda de patrones en Excel.
De la figura anterior, lo que aparece sombreado de azul, se completó para ilustrar la forma
en que obtuvieron los valores que aparecen sin sombrear. Gracias a las observaciones que
realizaron sobre el comportamiento de la variación entre la cantidad de triángulos, todos los
equipos conjeturaron funciones que tenían como argumento a la iteración, pero solo en casos
particulares. En su mayoría cuando trataron de generalizar utilizaron relaciones recursivas.
Es decir se fijaban en los valores del caso anterior para obtener las cantidades en la iteración
actual. Por esta razón, mostraron dificultades para obtener la generalización del resultado y
su representación algebraica. No obstante, la construcción de los triángulos jugó un papel
44
importante, porque los estudiantes mostraron evidencia que habían construido imágenes
mentales que dieron sentido a las expresiones que conjeturaban. Esta acción es crucial, ya
que permitió transitar entre diferentes representaciones de objetos concretos a simbología
abstracta. Se resalta que para este caso el resultado no fue lo más relevante del problema,
sino los elementos que surgieron en el proceso de solución.
Al visualizar que no avanzaban en la generalización, el profesor pudo intervenir para solicitar
a los estudiantes que escribieran las operaciones que realizaron para obtener los resultados.
Esto con la finalidad de que pudieran observar los elementos fijos y variables, así obtener
una expresión general en cada columna. Sin embargo, tomó la decisión de no intervenir, para
que los estudiantes exploraran libremente el problema. No obstante, queda aquí un
antecedente de la forma en que podría actuar el docente en otra situación.
En otra columna se pidió determinar una ecuación que expresara de manera general el
perímetro de los triángulos que se formaban en cada iteración en términos de x. En la
solución, los estudiantes presentaron dificultades para observar la información histórica, ya
que trataban de encontrar una fórmula para cada caso. Además insistieron en utilizar
relaciones recursivas de casos subsecuentes, dejando de lado los casos no consecutivos, por
lo que no encontraron una relación evidente. Para este caso, fue necesaria la intervención
docente, ya que los estudiantes no lograban avanzar. Así que, el profesor puntualizó la
atención en el patrón de comportamiento para la longitud de un lado de los triángulos más
pequeños en cada iteración. Esta acción simplificó la tarea propuesta de obtener el perímetro
de cada triángulo y generalizar.
De este modo, los equipos (1, 3, y 4) observaron que la longitud de cada lado del triángulo
se dividía a la mitad, razón por la cual identificaron al número dos como un elemento fijo en
cada iteración. Posteriormente, el equipo 3 obtuvo la expresión general para determinar la
longitud del lado de los triángulos pequeños en la n-ésima iteración, 𝑙 =𝑋
2𝑛 . De esta manera,
el mismo equipo, visualizó que un cambio en la iteración, provocaba de manera conjunta
cambios en el denominador de la división, esto favoreció el análisis covariacional. Además
permitió completar la siguiente columna de la tabla. Concluyeron con una expresión general
45
que teniendo la iteración n-ésima como argumento, daba el perímetro de los triángulos
pequeños.
Cuando los estudiantes intentaron completar la columna de la altura, tuvieron dificultades,
incluso para obtener los resultados en casos particulares. A pesar de que, en una sesión
anterior se habían obtenido la altura de un triángulo equilátero, la mayoría de los equipos no
lograron hacer esa conexión. El equipo 4 logró expresar la altura para cinco casos
particulares, pero demoró mucho tiempo, además mostró dificultades en las operaciones
algebraicas y en la utilización de las leyes de los exponentes. Sin embargo, la realización de
esta tarea permitió reforzar algoritmos y conceptos matemáticos básicos. Los demás equipos
intentaron seguir el algoritmo de una sesión previa, pero mostraron incongruencias, debido a
que les faltó establecer conexiones entre las cantidades y las construcciones geométricas.
En contraste a la construcción de los triángulos, donde los estudiantes lograron conectar las
expresiones algebraicas con la construcción geométrica, la expresión de la altura no les
pareció evidente. No obstante, otros elementos del pensamiento matemático se pusieron en
juego. Por ejemplo, al ser una actividad que demandaba ciertos recursos matemáticos, se
favoreció la comunicación de resultados, este elemento les permitió avanzar en la actividad.
El equipo 4, comunicó sus avances de la obtención de la altura de cada triángulo formado.
Con base a esta información los equipos 1 y 3, centraron su atención en las regularidades
(√3), que era común en la altura de cada triángulo equilátero formado. Este ejercicio les
sirvió para expresar la altura en otros casos particulares.
Obtener una expresión que determinara el área de cada triángulo en términos de X, fue una
actividad que ningún equipo logró realizar. Esto se atribuye, en parte, a que tuvieron
dificultades para obtener la altura. Por otro lado, mostraron falta de fluidez para ejecutar
algoritmos, dando lugar a reforzar conceptos que les permitan avanzar en la construcción de
nuevos saberes. Cabe resaltar que determinar la expresión para conocer el área de cada
triángulo pequeño formado, podría ser, una tarea que requiera más tiempo, ya que demandó
más recursos matemáticos y un estudio más profundo.
46
Diversos elementos de la resolución de problemas se pusieron en juego al tratar de
generalizar. Existe evidencia de que en la mayoría de los casos, los estudiantes simplificaron
el problema en otros más simples. Por ejemplo, para obtener el perímetro, primero obtuvieron
la longitud de los segmentos de los triángulos pequeños que se formaban en casos
particulares. Esta tarea se pudo haber abordado por una ruta más simple, por ejemplo
analizando casos particulares de triángulos construidos con anterioridad, para después
obtener el perímetro en cada caso y generalizar el comportamiento.
Para cada caso, los estudiantes tuvieron que comprender el problema, la forma de hacerlo, en
su mayoría fue cuestionándose sobre los datos disponibles y los faltantes. Esta acción les
permitió identificar elementos fijos y variables, que es un elemento central en el
razonamiento covariacional. Por ejemplo, en la búsqueda de la cantidad de triángulos
formados al realizar diferentes iteraciones, los equipos 2, 4 y 5, observaron que los números
dos y tres, eran fijos y los asociaron con la construcción (acción descrita con anterioridad).
Concebido el problema, los estudiantes planificaron la forma de abordarlo, apoyándose de
sus experiencias y conocimientos previos para después ejecutar su plan. En este transcurso,
emergieron múltiples resultados, conceptos y algoritmos matemáticos, tales como: teorema
de Pitágoras, leyes de los exponentes, fracciones, operaciones, concepto de área, perímetro,
entre otros, que fueron utilizados para tratar de completar las actividades propuestas.
En la solución de esta tarea, hubo acciones a contrastar. Por un lado, se observó que algunos
estudiantes tienen arraigada la creencia de que los equipos computacionales resuelven las
tareas matemáticas. Por ejemplo, al sentir que no podían avanzar en la búsqueda de la
generalización para la cantidad de triángulos, el equipo 3 cuestionó si sería posible registrar
valores en algún software que de manera automática arrojara la expresión solicitada. También
el equipo 4, que trabajó en la hoja de Excel, utilizó esta herramienta con la finalidad de que
el software resolviera la tarea. Sin embargo, el uso de software les permitió observar
comportamientos que no eran evidentes en el ambiente de lápiz y papel. Por su parte, el
equipo 2, que también utilizó software, notó la necesidad de interpretar los datos que había
registrado; lo demostró luego que observó con atención el comportamiento de los datos que
generó en Excel identificó que estos resultados no correspondían con lo que había calculado
por otros medios (calculadora).
47
Alumno: Ya me cansé, mejor vamos a meterlo en un software…
Profesor: Pero el software va a hacer lo que tú le indiques.
Alumno: ¿No habrá forma de meter estos datos y que el software lo haga?
Profesor: Tal vez, pero la idea no es esa, se trata que le pongamos una función y que el
software lo grafique y tal vez desde ahí se modifique.
Alumno: ¡Ah!… entonces hay que buscar esa fórmula.
Profesor: Claro… esa es la idea.
Alumno: Bien aquí veo una secuencia, mire 1, 2, 4, 8… pero qué sigue, ¡Ah, ya vi aquí va 16!
Es importante mencionar que en este contexto el 80% del grupo aproximadamente se mostró
interesado en la construcción del triángulo y las primeras iteraciones. Esto porque en su
totalidad no habían trabajado con ese tipo de patrones y les pareció interesante la tarea. Sin
embargo, el proceso del registro y realización de casos particulares desinteresaron a los
estudiantes, de tal manera que cuando se les pidió generalizar, solo el 40% del grupo mostró
disposición a realizar la actividad. Esto se puede atribuir, a que no era parte del temario.
Además, porque la generalización requería que pusieran en práctica una mayor cantidad de
conocimientos previos, los cuales no poseían. Se favoreció constantemente el diálogo con el
docente para recuperar la atención del grupo. Esto permitió recuperar el interés de un 20%
de estudiantes del grupo que se mostraban indispuestos.
Es preciso mencionar que en los diferentes momentos de la resolución de la tarea el
entendimiento se fue dando por niveles. En la primera parte, la construcción del triángulo
partió del supuesto que faltaba información, no obstante al recordar las características de un
triángulo equilátero lograron elaborar la construcción. En esta parte se retomó el uso de regla
y compás. Los equipos 2, 5 y 6, mostraron dificultad para usar estas herramientas, pero al
escuchar la explicación del equipo 1, los demás equipos realizaron su propia construcción.
La evidencia muestra que al dividir el triángulo en cuatro de la misma área, mostraron fluidez
al hacer uso de estas herramientas. El realizar las construcciones, permitió la exploración de
elementos básicos, como puntos, intersecciones, longitudes, etc.
Por otro lado, en la búsqueda del perímetro, tuvieron que recordar su definición. Esta acción
sirvió para simplificar la tarea, ya que, primero encontraron el valor del lado del triángulo,
48
información útil para expresar el perímetro en los términos solicitados. Para el área, de inicio
dijeron que la altura era la misma que x, posteriormente visualizaron que deberían hacer una
mejor estimación. En la búsqueda de la altura, emergieron resultados matemáticos
importantes, por ejemplo el teorema de Pitágoras. Además, utilizaron algoritmos algebraicos
y leyes de los exponentes, elementos que ponen en juego la habilidad de los estudiantes para
resolver problemas matemáticos. Los participantes mostraron dificultades para identificar
patrones, debido a que no están familiarizados con el desarrollo de tareas de instrucción en
donde se exploren los elementos del pensamiento matemático. Sin embargo, una vez que
identificaron la importancia de observar regularidades, optaron por no perderlas de vista en
todas las columnas. Lo que indica que lograron avanzar en identificar a las matemáticas como
una actividad de búsqueda y justificación de patrones.
También se observó que la elaboración de una construcción geométrica tuvo un rol
importante al intentar determinar la cantidad de triángulos que se formaban en cada iteración.
Les permitió trabajar de manera abstracta, ya que, después de algunos casos particulares,
observaron que no era necesario realizar la construcción debido a que ya le daban sentido a
las expresiones. En la generalización de la altura no la lograron formalizar, sin embargo los
elementos matemáticos que emergieron, favorecen el aprendizaje de conceptos matemáticos
de importancia.
4.3.2 Contexto real
Una de las reacciones de los estudiantes al abordar la tarea en el contexto real, fue el interés
por adentrarse al tema, ya que lo consideraron de importancia común, posiblemente porque
es un líquido vital. Para esta actividad se integraron cinco equipos, de entre 2 a 5 personas,
dentro de los cuales se identificó a un líder. De primera instancia, todos los equipos trataron
de organizar la información, los equipos 1 y 5 registraron los datos en una tabla donde
mostraban la población por cada 5 años y el consumo estimado de agua para la cantidad de
personas en cada periodo; es decir pusieron una tabla parecida a la que se muestra a
continuación.
49
Figura 4.6 Tabulación de la información
Para tratar de que los estudiantes validaran sus conjeturas el profesor les cuestionó que era lo
que tenían pensado realizar con sus representaciones tabulares
El equipo 3 tabuló e intentó poner los años desde el 2010 hasta el 2025, con incrementos de
un año para completar la información con otras columnas que denominaron población y
consumo, ésta acción con la finalidad de realizar interpolaciones lineales. No obstante,
observaron que unos valores no coincidían con lo que proporcionaba el problema, razón por
la que comenzaron a discutir con mayor detenimiento sin llegar a una conclusión. Sin
embargo, con estas acciones emergieron elementos para el desarrollo del razonamiento
covariacional, tales como: registro de la información de diferentes formas (tabular, gráfica,
verbal, algebraica), búsqueda de regularidades, identificación de cambios de cantidades al
variar otras, etc.
Figura 4.6 Tabulación de la información
50
Por otro lado, el equipo 4 argumentó tener tres posibles rutas para abordar el problema, la
primera opción fue realizar un gráfico que modelara la información; después propusieron que
mediante un modelo algebraico se debería saber la cantidad de consumo para un futuro,
debido a que sus conocimientos previos jugaron un rol importante, ya que comentaron que
tenía poco que en otra materia realizaron algo parecido; otros integrantes se interesaron más
por saber qué cantidad de agua se debería de tener en un futuro para abastecer a la población.
Cabe resaltar que la última propuesta no se tenía considerada en esta tarea, pero podría ser
una opción para complementarla a futuro. De las propuestas planteadas, decidieron realizar
una gráfica en el ambiente lápiz y papel, que reflejara la relación entre el crecimiento
poblacional y el consumo de agua. No obstante, la representación quedó limitada, ya que sólo
marcaron unos puntos que representaban las cantidades dadas en la información que les fue
proporcionada, pero no realizaron ningún cálculo para interpolar o extrapolar los datos. Sin
embargo, quedó evidencia de la importancia que tiene la identificación de cantidades fijas o
variables, porque permiten desarrollar razonamiento covariacional. A continuación se hace
referencia a una de las conversaciones del equipo.
Profesor: ¿Para qué les servirá la tasa de crecimiento poblacional?
Alumno 2: Para saber cómo se consume el agua, por ejemplo si nosotros tenemos tanto de agua, y la población va creciendo, entonces la cantidad de agua va disminuyendo. Entonces nos debe importar para saber, con esa cantidad de agua cuánto tiempo vamos a abastecer a
esa cantidad de personas.
Profesor: Bien, entonces fíjense, que sería interesante saber la disponibilidad del agua para
un futuro, aunque no es lo que se tenía pensado ahora.
El equipo 2 decidió registrar la información en Excel (figura 4.7), con la finalidad de extender
los casos y que el software devolviera los valores que se solicitaban, sin embargo se dieron
cuenta que unos valores no coincidían con sus registros, ya que la hoja de cálculo realizaba
interpolaciones lineales, pero no lograron concluir con la tarea solicitada, debido a que tenían
en mente que el crecimiento de la población era exponencial y observaron que en Excel se
consideraba como si fuera lineal, no obstante, el extender los casos les permitió observar
relaciones covariacionales, porque estuvieron observando cómo cambios en la columna de
años, provocaba cambios en personas y consumo. Además, se interesaron en la utilización
51
de la tasa poblacional, posiblemente porque ha sido un elemento que han utilizado en
problemas relacionados a su formación.
Figura 4.7 Representación consumo años.
Algunas de las preguntas que surgieron, para tratar de profundizar en el problema fueron,
¿qué pasa con las personas que emigran o arriban al municipio?, ¿se tiene considerada la
cantidad de agua disponible o para qué serviría este estudio?, en ese momento el docente
puntualizó que este trabajo sólo consideró la cantidad de personas según datos estadísticos y
las proyecciones a futuro, y que en un primer momento se limitaba a considerar el
crecimiento poblacional, lo que provocó cierto interés por analizar la tasa para este tipo de
crecimiento, no obstante sólo se percataron que se encontraba explícito el valor, pero no
lograron relacionarlo con la demás información, en este punto queda abierta la posibilidad
de trabajar con tasas de crecimiento o decremento en diferentes fenómenos, en esta tarea no
se abordó porque no era el foco del trabajo.
El equipo 3 intentó relacionar esta tarea con un problema que habían resuelto con
anterioridad, en el que tenían que determinar la cantidad de alimento a suministrar para una
población determinada, pero esperaban tener prácticamente los mismos datos o que variaran
sólo en cantidad pero que en principio, fuera el mismo procedimiento de solución. Esto es
relevante porque se puede constatar que la forma en que se resuelven los problemas es a partir
del conocimiento previo, lo que para Polya (2005) y Schoenfeld (1985) son elementos claves
y deberían ser explorados. También mostraron evidencia de que deseaban realizar un modelo
(algebraico) o una representación gráfica, pero no llevaron a cabo estas ideas, posiblemente
porque se enfocaron a tratar de encontrar similitud con el problema que tenían presente de su
otra asignatura. No obstante, trataron de representar la información de diferentes formas
52
(tabular o algebraica) y mostraron interés por relacionar sus conocimientos previos con el
problema que debían resolver, lo que muestra la necesidad de fortalecer las conexiones entre
distintos elementos matemáticos y de otras áreas.
Profesor: ¿Cómo piensan abordar el problema?
Alumno 1: Pues tenemos dos ideas, una es haciendo una gráfica y otra haciendo un modelo matemático, como álgebra, bueno es que en otra clase hicimos algo parecido, nos pusieron un ejemplo de la alimentación de la población de unos pececitos y tratamos de ver si se puede ocupar.
Alumno 2: Y yo le decía a él, [señalando a otro integrante del equipo], que primero debemos leer todo el texto y viendo así los datos que nos da de cada año ver si como ha crecido la
población, ha crecido el consumo.
Alumno 3: Porque se supone que a mayor población mayor consumo.
Por otro lado, el equipo 1 realizó representaciones algebraicas, colocó las literales x y y, para
representar la cantidad de personas y los litros de agua que consume una persona,
respectivamente. Consideraron que conociendo la cantidad de agua consumida por cada
individuo sólo necesitaban multiplicar por la población en un tiempo t. Este fue un punto
clave, por un lado la necesidad de representar la información en un contexto puramente
matemático y abordar el problema que venía de un contexto real en términos matemáticos,
para poder manipularlos con base al conocimiento previo. Los participantes realizaron
suposiciones respecto al comportamiento de la población (caso hipotético), dando muestra
de cómo se puede transitar de manera natural entre contextos, lo que robustece la cantidad
de conexiones, y la asimilación de nuevos esquemas mentales. En resumen, se logra que el
estudiante desarrolle pensamiento retrospectivo de lo realizado, ya que, trata de justificar sus
conjeturas sobre la función que determinaron, y en gran medida la justifican con las
representaciones tabulares y algebraicas.
Fig.4.7 Representación formal de la información.
Al tratar de resolver esta tarea, emergieron elementos tales como, representación de la
información de manera algebraica y tabular, identificación de covariación entre cantidades.
53
Por ejemplo, identificaron que una persona consumía en promedio 180 litros diarios de agua
y lo relacionaron con la cantidad de personas que se tenían, de manera que al variar el número
de personas, provocaba variación en la cantidad de agua consumida. De manera natural
surgió la necesidad de representar la información en lenguaje matemático, de manera que a
la cantidad de agua la relacionaron con el número de personas por medio de una función, es
decir representaron esta información mediante la expresión 𝑓(𝑥) = 180𝑥, donde x representa
a la cantidad de personas y el coeficiente 180, la cantidad de agua consumida por individuo.
Otro elemento importante que surgió, es que el estudiante conectó la información que tenía,
con los símbolos matemáticos que él mismo había asignado para representar los datos,
muestra de esto se observa en la siguiente conversación:
Profesor: Entonces, dada la información y analizando lo que les pide el trabajo, ¿qué
pretenden hacer?
Alumno: Pues nada más estamos pensado que se debe multiplicar la cantidad de personas por los litros que se consumen diario, ahora… es solo esta formulita , mire… [Señalando la
función 𝑓(𝑥) = 180𝑥 ]
Profesor: ¿Esa x qué significa?
Alumno: Esa x es la cantidad de personas, por la cantidad de litros que son 180, son los que se consumen por persona. Ahora sólo debemos ver, según el año, la cantidad de personas,
pero en eso estamos.
A su vez, el equipo 5 mostró evidencia de que la visión retrospectiva es un aspecto importante
en la resolución de problemas, ya que en cada momento que proponían algún modelo o
gráfica de solución, discutían sobre los elementos considerados o si les faltaban. Realizaron
hipótesis sobre el comportamiento de la población o consumo de agua, regresaban a valorar
su modelo, lo que refuerza el tránsito entre diferentes contextos. Por mencionar un ejemplo,
dijeron “dónde vamos a meter la cantidad de personas que arriban o se van”, y en su discusión
sugerían, “hay que suponer, que en el momento en que se está analizando nadie llegó ni se
fue del poblado de Atitalaquia, pero hay que poner una constante en la fórmula, después la
cambiamos por el valor”, de manera que consideraron necesario profundizar en el tema y
recolectar más información, lo que favorece al mismo tiempo la actitud inquisitiva por
encontrar datos que les permitan realizar conexiones, dando sentido a lo que estaban
describiendo, considerando que si les hace falta información, deben regresar a valorar sus
conjeturas.
54
Profesor: ¿Cómo van?
Alumno 1: Vemos que hay un detalle, lo que pasa es que no todos ocupan la red pública de
agua potable.
Profesor: Si, tal vez algunos ni siquiera tienen agua ¿y qué han considerado para continuar?
Alumno 1: Hay varios detalles, porque hay cosas que no aparecen, por ejemplo dónde vamos
a meter a la cantidad de personas que llegan o se van.
Alumno 2: Pues hay que suponer que en este momento nadie llegó ni se fue.
Alumno 1: entonces, ¿qué pondríamos en la fórmula? [Tratando de poner los valores en una
expresión algebraica].
Alumno 2: Pues deja una constante o algo y ya luego la cambiamos por el valor. Aunque hay
muchas variables a considerar, mejor sólo toma los datos que nos dan.
Con este tipo de conversaciones, queda un antecedente de cómo se podría abordar en un
trabajo a futuro, ya que, pudiesen solicitar modelos que consideren otras variables, aunque
se corre el riesgo que los problemas sean de una complejidad considerable. No obstante, se
menciona que cuando se propuso el análisis del consumo del agua en función del crecimiento
poblacional, se pensó en limitar a utilizar sólo esas variables para implicar el problema, pero
de ser necesario se podrían incluir más variables.
4.3.3 Contexto hipotético
En la aplicación de esta tarea se formaron seis equipos, se numeraron y se identificó a un
líder quien se encargó de comunicar resultados. Para realizar la apertura de la tarea, se pidió
a algunos estudiantes que compartieran sus experiencias sobre los hábitos de manejo, esta
acción permitió despertar el interés del grupo. Consideramos importante esta parte, debido a
que pudo influir en las posibles rutas de solución que emergieron. Posteriormente, se
proporcionó la información sobre las pruebas de rendimiento contra velocidad (explicadas
en la metodología) así como el planteamiento del problema. Realizaron una lectura general
del documento, identificaron elementos que consideraban claves para avanzar, tales como:
distancias, velocidades, tiempos, las velocidades máximas y mínimas, etc. Para este punto,
algunos equipos (3, 4 y 6) mostraron evidencia de interpretar la gráfica que representaba la
relación entre el rendimiento y la velocidad. Por su parte los equipos 1 y 5, intentaron
entender el problema a mayor profundidad y la relación entre la velocidad y el rendimiento.
Para esto, se plantearon preguntas como, ¿a qué tipo de gráfica se aproximan los puntos
55
experimentales?, ¿será posible que a mayor velocidad llegue un momento que el rendimiento
sea cero?, este tipo de cuestionamientos permitieron la discusión y búsqueda de argumentos.
El equipo 1, tardó aproximadamente 20 minutos en leer y discutir la información
proporcionada e identificaron elementos que les permitieron entender el problema, por
ejemplo, observaron que para este caso no se mencionaba el tiempo, ni aceleración, no
obstante a partir de la información proporcionada intentaron relacionarla buscando tasas de
cambio o relaciones entre los puntos. Se tiene evidencia que buscaban un modelo matemático
que les sirviera para determinar el rendimiento de cada tramo de la figura que describe el
manejo. Se resalta que esta acción tiene relación con lo que argumenta Polya (2005), quien
menciona que explicar verbalmente en qué consiste el problema, e identificar cuáles son los
datos, es útil para entender cuál es la incógnita, e incluso para definir tareas más simples que
apoyaran en encontrar una solución. A pesar de que tardaron más tiempo respecto al resto de
los equipos, mostraron haber entendido lo que se solicitaba y con ello, tenían claro el objetivo
a seguir. Este aspecto se considera relevante, ya que en ocasiones, cuando se plantea una
tarea, el estudiante no tiene claro que debe hacer, lo que provoca perder de vista el objetivo
central y demora más tiempo en dar solución o incluso no avanzar en la solución. Al respecto,
se describe una conversación sobre cómo el equipo 1 interpretó el problema.
Profesor: ¿Cómo van?
Alumno: Estamos viendo, que creo, aquí se busca un modelo matemático que describa el comportamiento de esta gráfica [haciendo referencia a un modelo algebraico y señalando la gráfica 3.4] y obteniendo ese modelo matemático, podemos observar de mejor manera el
rendimiento en cada tramo del automóvil… y vamos a sacar ese modelo.
El equipo 2, consideró que si unían los puntos proporcionados como datos del problema
(rendimiento vs. velocidad), se formaba una gráfica que tendrían una aproximación a la de
una función cuadrática. En esta parte se destaca que identificaron la covariación de
cantidades, ya que con frecuencia observaron cómo un cambio en la velocidad producía
cambios en el rendimiento. Sin embargo, no lograron obtener una expresión algebraica para
la función que describe el comportamiento de los datos. Por ejemplo, mencionaron que
parecía una parábola, pero al intentar justificar su respuesta, dijeron que necesitaban más
valores que permitieran saber el comportamiento en puntos que consideraron importantes
56
(los cruces con cero), para estar seguros que sí fuera cuadrática. La conversación que sigue
es evidencia de lo mencionado.
Profesor: Y la gráfica, ¿qué significado tiene para ustedes? ¿Ubican qué relación tienen con
los datos de la tabla? [Tabla que mostraba la velocidad y el rendimiento].
Alumno: Sí, por ejemplo nos dice que si va a 20, tiene un rendimiento de 6.56, y si va a 30, pues tiene un rendimiento de 8.85, y así sucesivamente. [Señalando en la gráfica la relación
de la velocidad y el rendimiento para los puntos marcados].
Profesor: ¡Oh!.. Muy bien, qué más…
Alumno 1: Nos damos cuenta que cuando esto va avanzando [señalando el eje de la velocidad], este va subiendo y luego bajando [comportamiento del rendimiento], lo que
parece ser una parábola.
Profesor: ¿Y cómo sabe que es parábola?
Alumno 1: Pues no estamos seguros, nos faltan datos y analizarlo un poco más, pero a eso
se parece.
Alumno 2: Sí, falta más, porque ahorita estaba subiendo, luego bajando, no sabemos cómo
será después.
Es de importancia resaltar cómo una representación gráfica puede aportar elementos que
permitan identificar cambios covariacionales, lo cual coincide con lo reportado en la
literatura (Carlson 2003), por ejemplo, para este caso los estudiantes se mostraron cómodos
en observar cómo un cambio en la velocidad provocaba cambios en el rendimiento, ya que
con frecuencia seguían la trayectoria de la gráfica. Sin embargo, no fue la única manera de
identificar cambios covariacionales, porque otros equipos (3 y 5) se centraron en los datos
tabulados, incluso el equipo 3 decidió anexar otra columna, para tratar de simplificar el
análisis.
En este sentido, el equipo 3, rescribió los datos del problema y complementó está información
al anexar una columna de consumo de gasolina, cuyos valores los obtuvieron al dividir la
velocidad entre el rendimiento. Esta acción permitió observar cómo de manera natural en la
resolución de problemas se realizan conexiones entre los elementos que se tienen y los que
se pueden obtener a partir de los datos conocidos (relación entre datos e incógnitas). Además,
se favorece el entendimiento covariacional, ya que identificaron cómo un cambio en la
velocidad provocaba cambios en el rendimiento y consumo. A pesar de que mostraron
habilidad para identificar cambios en su información tabulada, tuvieron dificultad para
57
obtener valores que se encontraban entre dos valores conocidos. Por ejemplo, al estimar el
valor de rendimiento y consumo a 25 Km/h intentaron utilizar tasas de cambio y hacer
interpolaciones lineales, a pesar de que habían identificado que se aproximaba a una parábola.
Esto se podría deber, entre otras cosas, a que tienen heurísticas respecto al manejo de
funciones lineales.
Fig. 4.8 Información complementada y tabulada.
En estas acciones se pudo apreciar el desarrollo de algunos elementos del pensamiento
matemático y el análisis covariacional, ya que partieron de la observación de casos
particulares, identificaron elementos fijos y variables, posteriormente propusieron
expresiones que describían el comportamiento del rendimiento. Incluso, surgió la idea de
componer funciones, porque algunos equipos (1, 3 y 4) intentaron encontrar relaciones entre
diferentes argumentos y a su vez, que estuvieran dentro de otras. Para este caso, el docente
pudo profundizar en la composición de funciones, sin embargo como este tema no era el eje
de este trabajo, sólo se consideró como una posibilidad que se puede explorar en trabajos
posteriores.
58
El equipo 4 identificó elementos de covariación en la información representada de manera
tabular. Centró la atención en elementos fijos y variables, así como la relación entre ellos,
por ejemplo, trató de buscar una función en la que dada la velocidad como argumento,
resultara el rendimiento, para que a partir de ahí, obtuvieran el consumo. Para eso, trataron
de visualizar regularidades y su ruta fue obtener diferencias entre dos valores consecutivos
del rendimiento. Obtenidos los valores, identificaron que había un punto donde se
comenzaban a obtener valores negativos, en el cual, consideraron importante porque
argumentaban que a partir de ahí el rendimiento decrecía. No obstante, no lograron concluir
con la tarea, ya que demoraron en los cálculos y en interpretar sus valores.
Fig. 4.9 Diferencias entre valores del rendimiento.
A pesar de que no lograron concluir con la tarea, podemos argumentar que la ruta que
siguieron, les permitió tener elementos que son útiles en el estudio del concepto de función,
tales como: el análisis covariacional, la identificación de elementos fijos y variables, la
identificación de regularidades y la necesidad de representar de manera algebraica las
relaciones entre diferentes columnas, para este caso velocidad y rendimiento. Para lo cual, se
evidencia la siguiente conversación.
Alumno 1: Estábamos tratando de saber a partir de qué velocidad comienza el decremento
en el rendimiento. Aquí esta mire. [Mostrando los valores de la tabla 4.9].
Profesor: Pero… no entiendo cómo le hicieron, ¿con qué lo compararon? Es decir, ¿de
dónde salieron esos valores?
59
Alumno 1: ¡Ah! Es que tratamos de sacar una ecuación que nos diera esta relación [señalando los valores de la velocidad y su correspondiente en el rendimiento, de la tabla de los datos experimentales]. Así que estuvimos sacando, por ejemplo, este menos este [Indicando los primeros dos valores del rendimiento en la misma tabla] y así sucesivamente,
hasta qué punto empezaban los números negativos.
Alumno 2: Y nos dimos cuenta que es hasta que ya iban cayendo la curva.
Alumno 1: Pero ya no nos dio tiempo terminar…
Por otro lado, el equipo 5, intentó utilizar la fórmula que relaciona la velocidad, distancia y
el tiempo 𝑣 =𝑑
𝑡 , sin embargo detectó que les faltaba t. Además consideraron que la velocidad
era constante en cada tramo, y como el problema daba la distancia decidieron obtener el
tiempo para cada tramo. No obstante, cuando intentaron justificar su respuesta, observaron
que sus conjeturas estaban inconclusas, por lo que reestructuraron y discutieron nuevamente.
Después propusieron utilizar la ecuación de la recta, para describir el comportamiento del
rendimiento en las secciones que se encontraban con cierta inclinación. Detectaron que, en
ciertos tramos, la camioneta incrementaba la velocidad y en otras disminuía, pero en ese
momento discutieron cómo interpretar esos tramos, lo que les tomó tiempo y no les permitió
concluir la tarea.
El equipo 6 buscó visualizar covariación entre el rendimiento y el consumo, con la finalidad
de detectar si en algún momento sería cero o negativo. A pesar de que detectaron visualmente
esa condición, no supieron cómo interpretarlo o darle algún significado. No obstante, logró
identificar que la gráfica tenía la forma de una parábola, razón por la cual, tuvieron necesidad
de realizar un análisis más profundo de los datos registrados en la tabla e interpretaron cuál
sería el rendimiento en puntos que estuvieran entre algunos de los intervalos dados, por
ejemplo, un punto entre 50 y 60. De este modo se favoreció la búsqueda de tasas de cambio
que permitieran describir el comportamiento del rendimiento en puntos específicos. Para lo
cual, la primera idea fue realizar interpolaciones lineales, sin embargo, a la brevedad
observaron que no podría ser lineal, debido a la forma de la gráfica. No obstante, esta acción
marcó un punto crucial, porque trataron de utilizar conocimientos previos que de acuerdo a
Schoenfeld (1985) son fundamentales para avanzar en la solución de la nueva tarea. En estas
ideas, se describe la siguiente conversación.
Profesor: ¿Qué piensan hacer, para obtener el rendimiento entre esos puntos?
60
Alumno: ¡Ah!, pues pensamos sumar y sacar la mitad [intentando obtener el promedio entre
dos valores consecutivos del rendimiento].
Profesor: Pero eso sería algo complejo, porque si hacen eso, están considerando que es lineal, y… ¿Es lineal?
Alumno: No, es lo que ya vimos.
Profesor: Entonces, ¿cómo le harían para obtener un valor entre esos puntos? [Señalando
entre 50 y 60], por ejemplo, 53.3, [los estudiantes se quedan en silencio por un momento]
Alumno: ¡Ah! ya sé, con interpolaciones.
Profesor: Si, pero ¿lineales? [Los estudiantes miran con atención la gráfica]
Alumno: No
Profesor: entonces les falta reforzar sus interpolaciones…y si no es lineal, entonces, ¿qué
tipo es? ¿Qué forma tiene esa? [Señalando la gráfica]
Alumno: mmm… ¡es parábola!
Profesor: Exacto
Estas acciones favorecieron el desarrollo de una visión retrospectiva, porque a pesar de las
ideas que daban sobre la posible ruta de solución, las intervenciones realizadas por el profesor
provocaron que los estudiantes argumentaran sobre sus propuestas y generaron que
analizaran nuevamente sus conjeturas. Posteriormente, apoyándose en los resultados que sus
compañeros habían comunicado, utilizaron la ecuación de la recta y trataron de obtener la
velocidad promedio de cada tramo para relacionar esta cantidad con los valores de la tabla y
buscar relaciones con la parábola. Sin embargo, este equipo no logró avanzar a mayor
profundidad ni concluir la tarea.
De manera general se observó que en esta tarea, los estudiantes tuvieron dificultad para
encontrar valores que pudiesen estar entre los valores dados. Por ejemplo: a una velocidad
de 25Km/h, ya que en su mayoría intentaban hacer interpolaciones lineales, a pesar de haber
identificado que los datos mostraban un comportamiento parecido al de una función
cuadrática. Por otro lado, casi todos los equipos lograron interpretar la gráfica y buscaron
complementar la información. No obstante, tuvieron complicaciones en analizar puntos
intermedios y mostraron dificultad para interpretar si en algún momento el rendimiento
podría disminuir hasta cero. También mostraron dudas sobre lo que podrían significar valores
negativos en relación con el rendimiento. En su totalidad, en primera instancia consideraron
61
que faltaban datos como tiempo, aceleración, entre otros, para poder dar solución al
problema, no obstante, conforme avanzaron y propusieron algunas rutas, emergieron
elementos que permiten estudiar el concepto de función. Se resalta que la apertura de esta
actividad fue clave para que los estudiantes se interesaran en el desarrollo de la tarea.
4.4 Elementos que emergieron en cada contexto
Se obtuvo evidencia de que emergieron elementos que favorecen el entendimiento del
concepto de función y que fueron comunes en todas las tareas. Por ejemplo, la representación
de la información en diferentes registros: tabular, gráfico, verbal y algebraico. En la mayoría
de los casos, observaban tasas de cambio que permitieran describir los modelos propuestos.
Además, constantemente trataron de identificar elementos fijos y variables, principalmente
cuando la información estaba representada de manera tabular. Por su parte, cuando analizaron
gráficas, fue común observar que identificaban cambios covariacionales al desplazarse en
alguno de los ejes. Con algunas las acciones anteriores, queda evidencia que de estuvieron
desarrollando elementos del pensamiento matemático, tales como: identificación de variables
e incógnitas, formulación de conjeturas, análisis de casos particulares, búsqueda de
generalizaciones, comunicación de resultados, división de las tareas en problemas más
simples, entre otros.
En el contexto puramente matemático, se favoreció el tránsito entre distintas
representaciones, por mencionar algunos casos, cuando los estudiantes propusieron
representar de manera algebraica modelos que describían el comportamiento de la cantidad
de triángulos en función de la iteración. Ya que de manera verbal trataban de justificar sus
conjeturas, y las expresaban con elementos matemáticos. También se puso en juego la
identificación de la covariación entre cantidades, esto al identificar patrones de
comportamiento e identificar cómo un cambio en la iteración provocaba cambios en la
cantidad de triángulos, área o perímetro. Lo que favoreció a la búsqueda de generalidades en
el comportamiento del fenómeno.
Con el desarrollo de la tarea en el contexto matemático, se centró la atención en la
identificación de elementos fijos y variables, acción que favoreció entender cuáles son los
elementos que dependen del cambio de otro(s). A pesar de que en esta tarea la mayoría de
62
los estudiantes no logró generalizar el resultado, y representar algebraicamente la función
que modela el fenómeno, se observó que pusieron en juego elementos que les permitieron
visualizar una función, así como entender la variación conjunta de las cantidades
involucradas. Ya que, de forma general intentaron describir cómo un cambio en la iteración
afectaba o no, a los demás elementos en la tabla de registro de datos.
En el contexto hipotético, se favoreció la formulación de conjeturas que describían el
comportamiento de la problemática presentada. También se obtuvo evidencia, que los
estudiantes con frecuencia transitaron de un contexto a otro; por ejemplo, las suposiciones
realizadas se abordaron con elementos del contexto matemático. Sin embargo, en múltiples
ocasiones presentaron una visión retrospectiva y regresaban a validar sus hipótesis; lo que
propició el tránsito entre diferentes contextos de manera cíclica. Referente a la covariación
de cantidades, se analizó el comportamiento de gráficas, en las cuales se reconoció cómo un
cambio en el eje horizontal podía provocar modificaciones en el eje vertical. En este sentido,
se favoreció la identificación de elementos fijos y variables; ya que, para ciertos intervalos a
pesar de los cambios en el eje horizontal, se mantenía contante la variable representada en el
eje vertical. Para este caso fue posible determinar los momentos en que la velocidad
permanecía constante.
Del contexto real, se evidenció la argumentación en las hipótesis de comportamiento, porque
trataban de validar sus conjeturas, buscando que fueran efectivas para diferentes casos
particulares. También se favoreció el trabajar con distintas representaciones de la
información, con la finalidad de entender el problema, o en su caso de explicar la forma en
que proponían la solución. Una acción que se resalta en este contexto, fue que se observó
interés por hacerse cuestionamientos sobre el problema, lo que muestra un incipiente
desarrollo de una actitud inquisitiva. De esta manera, los estudiantes buscaron completar la
información.
Referente a la covariación como elemento base del concepto de función, en la tarea del
contexto real se observó que la tabulación jugó un papel importante, ya que permitió a los
estudiantes organizar la información y observar cómo un cambio en la columna que
representaba el tiempo (años), se relacionaba con el comportamiento del consumo de agua.
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Se identificaron elementos fijos y variables, se centró la atención en el comportamiento
covariacional. Cuando los alumnos trataron de describir el consumo de agua potable como
función del tiempo, se favoreció la representación verbal, tabular y algebraica de funciones.
Además, algunos de los estudiantes utilizaron representaciones gráficas para tratar de
expresar el comportamiento de consumo solicitado. Estas representaciones favorecieron la
generación de significado y de imágenes mentales sobre los temas abordados.
64
Capítulo 5. Discusión y Conclusiones
5.1 Introducción
En este capítulo se realiza la comparación entre los resultados de esta tesis y los reportados
en trabajos previos, con relación al papel de la covariación de cantidades en el desarrollo de
niveles progresivos de entendimiento del concepto de función. También, se compara la
importancia que tienen los contextos dónde se enmarcan las tareas (real, hipotético y
matemático). Posteriormente, se describen elementos que podrían servir para orientar futuros
trabajos de investigación. Para finalizar, se realiza una reflexión sobre el impacto que tuvo el
realizar este trabajo sobre el conocimiento sobre diseño de tareas que permitan robustecer el
concepto de función.
Se resalta que las tareas presentadas buscaron en todo momento el desarrollo de los elementos
del pensamiento matemático, a partir de ideas simples que los estudiantes pudieran abordar
sin necesidad de tener conocimientos más allá del bachillerato. Las actividades se centraron
principalmente en favorecer el razonamiento covariacional para que los estudiantes
desarrollaran una actitud inquisitiva con visión retrospectiva de las conjeturas realizadas. Sin
embargo, en el proceso de solución, se tuvo la necesidad de presentar elementos y
características matemáticas que fueron cruciales para la búsqueda de soluciones de las tareas
planteadas.
5.2 Respuesta a la pregunta de investigación
Mediante la aplicación de las tareas se obtuvo evidencia de los elementos que emergen
cuando se consideran diferentes contextos (descritos en el capítulo de resultados) desde la
perspectiva de covariación de cantidades. Dichos elementos, podrían servir para apoyar el
diseño de tareas que busquen el entendimiento del concepto de función. Los contextos fueron
importantes, debido a que permitieron el tránsito entre diferentes representaciones, que
también representan una forma matemática de pensar (Duval, 1998).
Se resalta que de manera natural, cuando los estudiantes tratan de resolver problemas,
constantemente transitan de un contexto a otro. Por ejemplo, en la tarea del contexto real, en
todo momento buscaban la forma de matematizar mediante hipótesis sobre el
65
comportamiento del crecimiento poblacional y buscaban la relación con el consumo de agua
que pedía la tarea, cayendo en el contexto hipotético. Posteriormente, los estudiantes
mostraron la necesidad de abordar el problema con elementos puramente matemáticos. No
obstante, se observó que algunos alumnos consideraban visualizar el contexto real para
comparar los modelos que proponían con la información que describía la tarea, haciendo un
proceso cíclico. Esta acción, favorece la visión retrospectiva.
De las tareas propuestas, se observó que a pesar del conocimiento de los estudiantes sobre
cálculo diferencial e integral, mostraron dificultades para la identificación de la covariación
de cantidades y la identificación de patrones de comportamiento. Estas dificultades
concuerdan con las evidencias reportadas en otros estudios (Johnson, 2012; Carlson et al.,
2002). Por ejemplo, en la tarea del contexto puramente matemático, cuando se pidió realizar
la generalización de un patrón, los estudiantes mostraron dificultades evidentes para
determinar las funciones que describieran el comportamiento del área y el perímetro en la
iteración n-ésima. Una posible explicación de lo anterior, es que dentro de su formación como
futuros ingenieros, no es común que aborden tareas que centren la atención en la
identificación de patrones. Además, cuando trataron de generalizar, de manera constante
mostraron una visión recursiva, es decir trataban de utilizar la información de las iteraciones
o casos particulares anteriores. También, los estudiantes, mostraron utilizar con frecuencia
estrategias de proporcionalidad (regla de tres o crecimientos lineales). Por ejemplo, en el
contexto real, expresaron de manera verbal que el crecimiento poblacional tenía un
comportamiento exponencial, pero lo representaban con una línea recta, y al expresarlo
algebraicamente propusieron utilizar proporcionalidad (regla de tres).
5.3 Trabajos a futuro
La implementación de las tareas, permitió reforzar lo que reportan los estudios previos, sobre
las dificultades que muestran los estudiantes respecto al pensamiento covariacional. Po esta
razón, en futuros trabajos se podría centrar la atención en estudiar únicamente a la
covariación entre cantidades. Debido a que, existe evidencia de que los estudiantes mostraron
dificultad para identificar las relaciones covariacionales a pesar de que ya tenían
conocimiento previo de cálculo diferencial e integral.
66
Por otro lado, cuando se les solicitó a los estudiantes que modelaran el comportamiento de
un fenómeno en términos matemáticos, se identificó que la mayoría, presentaron una
marcada dependencia de los casos particulares. Es decir una visión recursiva, ya que, en todo
momento necesitaban observar el caso inmediato anterior para poder obtener el siguiente
elemento. Por esta razón, a futuro se podría partir de la función y determinar los casos
particulares de dónde se obtuvo dicha función. En otras palabras, pensar de manera inversa.
Se resalta, que dadas las características de las tareas, se favoreció la generación de imágenes
mentales sobre el significado que toman las literales o expresiones algebraicas. Sin embargo,
sería de interés estudiar la interpretación que realizan los estudiantes sobre las literales. Es
decir, que se identifique si la representación se utiliza como un objeto, operación, incógnita,
etcétera. Sería interesante identificar el significado que el estudiante infiere al tratar de un
concepto, porque pueden existir diferencias entre la imagen mental que tiene el estudiante y
la interpretación que se le asignaba. Por esta razón, se propone que en el desarrollo de las
tareas el docente identifique las interpretaciones que tiene el estudiante acerca de lo
expresado. Además, que en todo momento trate de entender qué es lo que el estudiante piensa
mediante la comunicación de resultados.
Específicamente en la tarea hipotética, se resalta que algunos equipos sugirieron que la
descripción de manejo se podría representar de otras maneras, de tal forma que pudiese
considerar más información, como tiempo, distancias, velocidad, aceleración, etcétera, una
propuesta que se queda para desarrollarla y posiblemente aplicarla en un trabajo futuro es la
que se muestra en la figura 5.1, en la cual se representa la velocidad y la distancia que se
recorre de la ciudad A la B, así como la descripción del manejo, que se muestran a
continuación.
(i). La camioneta viaja a la velocidad que se muestra en cada tramo (Fig. 5.1).
(ii). Considere que en el transcurso cuando X0 se aproxima a Y0, hay una disminución de la
velocidad y cuando se pasa del tramo Y0 a X1 hay un incremento de velocidad. En el siguiente
gráfico se muestra cómo se comporta la velocidad con respecto a la distancia recorrida, que
en conjunto con el modelo matemático, permite observar características del problema.
67
Fig. 3.5 Descripción de manejo.
Con base al desarrollo de estas tareas, se puede decir que cada una influye de manera
específica en el entendimiento del concepto de función, sin embargo la que permitió la
generación de recursos importantes para entender el tema de función fue el contexto
hipotético, ya que a partir de su estudio emergieron elementos tales como la presentación de
la información, la búsqueda de representación de información o relaciones funcionales de
manera formal, identificación de elementos fijos y variables, así como desarrollo del
pensamiento matemático, además permitió abordar la tarea con herramientas del contexto
puramente matemático, sin dejar de considerar los datos experimentales tomados de la
realidad. Lo que podría significar el ciclo de interacción entre diferentes contextos, de esta
forma se sugiere, que en trabajos futuros se pueda trabajar con casos hipotéticos.
5.4 Reflexiones finales
Este trabajo tuvo aportaciones específicas en la identificación de elementos que emergían de
cada contexto, para poder diseñar otras tareas. Esto con la finalidad de que los estudiantes
entiendan conceptos relacionados con el tema de funciones, desde la perspectiva de
68
covariación de cantidades. Sin embargo, no se limita a este tema en particular, ya que los
contextos matemáticos aquí abordados permiten que los estudiantes problematicen
fenómenos que están en su entorno. Incluso, estas tareas favorecieron que los participantes
desarrollaran un enfoque matemático y que construyeran formas matemáticas de pensar. Se
propone trabajar con tareas que permitan desarrollar el pensamiento covariacional, ya que se
obtuvo evidencia de que la mayoría de los estudiantes presentaron dificultades para observar
y analizar la covariación de cantidades.
Es importante destacar cómo los estudiantes pasan de un contexto a otro al abordar un
problema. Se recomienda que las tareas tengan como característica esencial que se puedan
abordar con al menos dos de los contextos presentados (matemático, real o hipotético). De
esta manera, se propone como alternativa que los profesores de matemáticas consideren
tareas en diferentes contextos, y que no se limiten a las actividades que proponen los libros
o a los ejercicios finales del capítulo. Es evidente, que el diseño de este tipo de tareas requiere
de trabajo extra y planificación. Además, no todos los estudiantes se entusiasman como el
profesor quisiera. No obstante, si se comparan los beneficios en términos del aprendizaje con
entendimiento en relación a la aproximación tradicional enfocada en el desarrollo de fluidez
procedimental, la diferencia es notable, ya que, con estas tareas se favorece la construcción
de conexiones entre conceptos, procedimientos, etcétera. Por esta razón, se recomienda que
se trabaje de manera conjunta entre los profesores de matemáticas; primero, desde sus
instituciones, para que compartan experiencias, tareas e información de los resultados
obtenidos al aplicar sus tareas.
Como se ya se mencionó, las tareas propuestas fueron pensadas desde la aproximación de
resolución de problemas. Y desde este enfoque, se rescata la importancia de que las
actividades partan de cosas simples. Por ejemplo, en la tarea de contexto matemático, el partir
de un segmento y realizar las construcciones de los triángulos, contribuyó a que se exploraran
heurísticas que resultan importantes para el desarrollo de formas matemáticas de pensar, ya
que, permiten la conexión entre distintos elementos que robustecen el entendimiento de
diversos conceptos. Además, se propició, que en todo momento las tareas promovieran en
los estudiantes una actitud inquisitiva. Debido a que cada tarea se orientó con preguntas guía
69
para la solución del problema y trataban de explorar heurísticas que se consideraron clave.
También se rescata que en esta aproximación se busca relacionar los problemas con otros
más simples, describirlos en otras palabras o seccionarlos, con la finalidad de obtener la
solución. En estas ideas, se resalta lo sucedido en el contexto real. En este último contexto,
los participantes intentaron seccionar la información y relacionarla con conocimientos
previos. Sin embargo, la visión retrospectiva que se dio lugar, permitió que cada modelo
propuesto fuera robustecido en relación del modelo inmediato anterior. Ya que, al observar
el modelo propuesto regresaban a la información y consideraban más factores o identificaban
elementos que antes no habían visualizado. Esta acción es parte de la resolución de
problemas, ya que en cada momento planificaron y ejecutaron sus planes, en otras palabras,
conjeturando y justificando sus propuestas.
70
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Apéndices
Apéndice A. Tabla de registro de información, (tarea en el contexto puramente
matemático).
Interacciones Cantidad
de
triángulos
Longitud
del lado
Perímetro Perímetro
total
Altura Área Área
total
0 1 𝑥 3𝑥 3𝑥 𝑥
2∗ √3 𝑥2
4
∗ √3
𝑥2
4
∗ √3
1 5 𝑥
2
3𝑥
2
9𝑥
2
. . .
2 17
3 53
4 161
.
.
.
N
76
Apéndice B. Transcripciones de las tareas en los contextos matemático e hipotético.
Videos y audios tarea hipotética
Audio Equipo 4
Alumno 1: Viéndola de este lado, va a 120 y cuando empieza a bajar la velocidad empieza a aumentar el rendimiento [señalando la tabla de velocidad y rendimiento]
Profesor: Bueno hasta el 90
Alumno 1: Si… cuando llego al 90, aquí en este lapso ya está el cambio del rendimiento, [señalando incremento de 20 a 90], pero igual del otro lado hubo un gasto mayor cuando disminuí. Y entonces, cuando vuelvo a subir, vuelve a aumentar el rendimiento. Se hace de manera equitativa, no voy a decir que se hace cero pero si consume en ambas partes en unas más y en otras menos. [Tratando de explicar la interpretación de la tabla y de la gráfica, lo
que podría significar que interpretaron que se trataba de una parábola].
Profesor: Y entonces, ¿no obtuvieron el rendimiento promedio en cada tramo?
Alumno 2: No podemos, es que mire ya le sumamos aquí y le sumamos acá, pero nada nos garantiza que esta parte va ser recta, [tomando los valores de 120 Km/h a 90 Km/h y de
60Km/h a 90Km/h, considerando que fueran lineales].
Profesor: Y dada la suposición que fuera recta, ¿qué harían?
Alumno 2: La otra sería promediar el rendimiento para sólo estos tres valores, de 120 a 100 y de ahí a 90, si es que fueran lineales. Con eso, sacamos el rendimiento cuando se frena y luego lo vamos a sacar pero al contrario o sea cuando acelera.
Audio Equipo 6
Profesor: Y bien, ¿cómo van?
Alumno 1: Es que nos faltan datos, porque él decía que la velocidad siempre aumenta, y yo
digo que no…
Alumno 2: Es que yo pensaba que siempre que aumentara la velocidad, hay más aceleración
y más consumo.
Alumno 1: Si pero que tal si va en una bajada, hay aumento de aceleración, hay más
velocidad pero menos consumo porque no estas acelerando.
Audio Equipo 2
Alumno: Otro de los puntos que estoy viendo es que esto va en similitud [Señalando y recorriendo la gráfica de los valores del rendimiento y velocidad], es que parece que esto va
a la par… por ejemplo no tenemos el de 10 Km pero lo podría sacar.
Profesor: ¡Ah! bien, y eso les podría servir para que tengan más información.
77
Alumno: Así es, y con eso sacar lo de los puntos intermedios, porque entre estos puntos hay
datos intermedios.
Avance en el Video Equipo 3
Alumno 1: De esta fórmula, [señalando 𝑅 =𝑉
𝐶], despejamos el consumo, según nosotros era
un factor que teníamos que tomar en cuenta para utilizarlo después, y complementamos la información con esta columna de consumo [señalando una columna extra en la tabla], no sabemos si está bien pero esa idea tenemos.
Profesor: No pues si la consideran necesaria, está bien.
Alumno 2: Y nos quedarían horas sobre litro [las unidades del consumo]
Alumno 1: Si al dividir los kilómetros se podrían eliminar…
Profesor: Bien, si podría ser…
Alumno 1: También mi compañero planteó que se podría sacar un vector tomando en cuenta la velocidad y la distancia, y sacar una resultante, así usando lo de la resultante se tomaron los valores que eran 110 al cuadrado y 4.5 al cuadrado que es esta distancia… [Hace las
operaciones en su calculadora]
Profesor: Pero que es como ir sumando vectores esa es su idea…
Alumno 2: Para sacer el rendimiento total en la distancia, creo que si eso es lo que
propusimos…
Avance video equipo 1
Profesor: ¿Cómo van?
Alumno: Estamos viendo, que creo, aquí se busca un modelo matemático que describa el comportamiento de esta gráfica [haciendo referencia a un modelo algebraico y señalando la gráfica 3.4] y obteniendo ese modelo matemático, podemos observar de mejor manera el rendimiento en cada tramo del automóvil… y vamos a sacar ese modelo.
Avance video equipo 4
Alumno 1: Estábamos tratando de saber a partir de qué velocidad comienza el decremento
en el rendimiento. Aquí esta mire. [Mostrando los valores de la tabla 4.9].
Profesor: Pero… no entiendo cómo le hicieron, con qué lo compararon, es decir de dónde
salieron esos valores.
Alumno 1: ¡Ah!, es que tratamos de sacar una ecuación que nos diera esta relación [señalando los valores de la velocidad y su correspondiente en el rendimiento, de la tabla de los datos experimentales]. Así que estuvimos sacando, por ejemplo, este menos este [Indicando los primeros dos valores del rendimiento en la misma tabla] y así sucesivamente, hasta qué punto empezaban los números negativos.
Alumno 2: Y nos dimos cuenta, que es hasta que ya iban cayendo la curva.
78
Alumno 1: Pero ya no nos dio tiempo terminar…
Avance video equipo 6
Profesor: ¿Qué piensan hacer, para obtener el rendimiento entre esos puntos?
Alumno: ¡Ah!, pues pensamos sumar y sacar la mitad [intentando obtener el promedio entre
dos valores consecutivos del rendimiento].
Profesor: Pero eso sería algo complejo, porque si hacen eso, están considerando que es lineal,
y… ¿es lineal?
Alumno: No, es lo que ya vimos.
Profesor: Entonces cómo le harían para obtener un valor entre esos puntos [señalando entre
50 y 60], por ejemplo, 53.3, [los estudiantes se quedan en silencio por un momento]
Alumno: ¡Ah! ya se, con interpolaciones.
Profesor: Si, pero ¿lineales? [Los estudiantes miran con atención la gráfica]
Alumno: No
Profesor: Entonces les falta reforzar sus interpolaciones…y si no es lineal, entonces ¿qué
tipo es?, ¿qué forma tiene esa? [Señalando la gráfica]
Alumno: Mmm… ¡es parábola!
Profesor: Exacto
Apéndice C. Transcripciones de la tarea contexto real.
Avance Video Equipo 1
Profesor: ¿Y qué piensan hacer con esa tabla?, [Señalando una tabla en donde estaban colocados los años a partir del 2010 hasta el 2025, con incrementos de uno año; en otra columna tenían algunas cantidades que indicaban la población para cada año y por último el
consumo estimado].
Alumno: Pues aquí nos pide que veamos cómo se comportó el consumo desde el 2010 y
hasta el 2015.
Profesor: Si, bueno en realidad les pide, cómo se comportará después, pero les da eso
[señalando la información] como antecedentes.
Alumno: Si de todas formas vamos a ver porque según el año en 2010 por ejemplo había como 30000 personas, y alrededor de dos años la población creció a 32000, ahora estamos viendo multiplicar esas personas por la cantidad de litro que consume para tener idea de cómo
se comportará.
Avance Video Equipo 3
79
Profesor: ¿Cómo piensan abordar el problema?
Alumno 1: Pues tenemos dos ideas, una es haciendo una gráfica y otra haciendo un modelo matemático, como álgebra, bueno es que en otra clase hicimos algo parecido, nos pusieron un ejemplo de la alimentación de en la población de unos pececitos y tratamos de ver si se
puede ocupar.
Alumno 2: Y yo le decía a él, [señalando a otro integrante del equipo], que primero debemos leer toda el texto y viendo así los datos que nos da de cada año ver si como ha crecido la
población, ha crecido el consumo.
Alumno 3: Porque se supone que a mayor población mayor consumo.
Avance equipo 4
Profesor: Si claro. ¿Y para qué les servirá la tasa de crecimiento poblacional?
Alumno 1: Para saber cómo se consume, por ejemplo si nosotros tenemos tanto, y la población va creciendo entonces la cantidad de agua va disminuyendo. Entonces no debe importar para saber, con esa cantidad de agua cuanto tiempo vamos a abastecer a esa cantidad
de personas.
Profesor: Ok, entonces fíjense, que sería interesante saber la disponibilidad del agua para un
futuro.
Avance Video Equipo 5
Profesor: ¿Cómo van?
Alumno 1: Vemos que hay un detalle, lo que pasa es que no todos ocupan la red pública de
agua potable.
Profesor: Si, tal vez algunos ni siquiera tienen agua ¿Y qué han considerado para continuar?
Alumno 1: Hay varios detalles, porque hay cosas que no aparecen, por ejemplo dónde vamos a meter a la cantidad de personas que llegan o se van.
Alumno 2: Pues hay que suponer que en este momento nadie llegó ni se fue.
Alumno 1: Entonces qué pondríamos en la fórmula [tratando de poner los valores en una
expresión algebraica].
Alumno 2: Pues deja una constante o algo y ya luego la cambiamos por el valor. Aunque hay
muchas variables a considerar, mejor sólo toma los datos que nos dan.