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“IDENTIFICACIÓN Y GENERALIZACIÓN DE PATRONES POR
DIFERENTES RUTAS: CONSTRUCCIÓN DE FORMAS MATEMÁTICAS DE
PENSAR”
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE
MAESTRO EN CIENCIAS EN MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA
PRESENTA:
Rafael Borges Munguía
DIRIGIDA POR:
DR. FERNANDO BARRERA MORA
DR. AARÓN REYES RODRÍGUEZ
Mineral de la Reforma, Hidalgo, Diciembre de 2016.
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE HIDALGO
INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍA
ÁREA ACADÉMICA DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA
Agradecimientos
Gracias a mi dios por haberme permitido llegar a este momento. Un paso más en esta vida.
A mi esposa por creer en mí, dejarme ser y apoyarme para crecer en esta profesión, gracias
por todo el tiempo que no estuve a tu lado, deseo que mi triunfo como profesionista lo sientas
como tuyo ya que sin ti no lo habría logrado.
Gracias hijo Moisés. Llegaste de manera inesperada, como una gran invitación de la vida
para esforzarme más.
A mis padres y hermana como símbolo de aprecio por su apoyo incondicional en cada uno
de mis proyectos como persona y como profesional.
A mis compañeras, maestros y sinodales por su gran apoyo y motivación en la realización
de este proyecto. De manera muy especial al Dr. Fernando Barrera Mora y al Dr. Aarón
Víctor Reyes Rodríguez por su compresión, orientación y paciencia.
Gracias tía Magda porque tu apoyo ha sido importante en cada proyecto, lo cual me ha
servido de motivación para seguir adelante.
A mi primo Ronald y amigos, Bertín, Omar y Simon por acompañarme, apoyarme y darme
orientación cuando lo solicité.
Resumen
Uno de los objetivos centrales de la educación matemática es que los estudiantes desarrollen
formas matemáticas de pensar, y para alcanzar este objetivo es importante que, mediante la
resolución de problemas, pongan en práctica aspectos centrales del pensamiento matemático,
entre los que se encuentran: identificar información, observar relaciones y regularidades,
formular conjeturas, justificar y comunicar resultados, además de proponer nuevos
problemas y desarrollar una actitud inquisitiva. El objetivo del presente trabajo es
documentar y analizar de qué manera tareas en las que se identifican y forman patrones, por
diferentes rutas, apoya el desarrollo de formas matemáticas de pensar en estudiantes de
secundaria que muestran un desempeño alto en matemáticas. Se implementaron cuatro tareas
durante seis sesiones. El análisis de la información recolectada permitió comprobar que la
identificación y generalización de patrones por múltiples rutas pueden apoyar no solo a la
construcción de relaciones entre ideas matemáticas sino que también favorece el desarrollo
de elementos esenciales del pensamiento matemático.
Abstract
One goal of mathematics education is that students develop mathematical ways of thinking,
and to achieve this goal it is important to implement key aspects of mathematical thinking,
among which are: identify information and patterning, observe relationships, formulate
conjectures, justify and communicate results, and propose new problems and develop a
questioning attitude. The aim of this study is to document and analyze how to identify and
form patterns by different routes support the development of mathematical thinking of junior
high school students who have a high performance in mathematics. They were held for six
sessions. The analysis of the information collected allowed to prove that the identification
and generalization of patterns by multiple routes can support not only the connection of
knowledge but also conducive to students to experience, observe relationships, establish and
justify conjectures and communicate their results, essential elements of the mathematical
thinking.
CONTENIDO
Página.
Capítulo 1. El problema de investigación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1. Antecedentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Revisión de la literatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3. Planteamiento del problema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
Capítulo 2. Marco de investigación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1. Elementos del Marco conceptual. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
2.2. Integración de los elementos del marco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
Capítulo 3. Metodología. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1. Los participantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
3.2. Las tareas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3. Análisis preliminar de las tareas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
Capítulo 4. Resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1. Tarea 1: suma de los primeros números naturales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2. Tarea 2: sucesiones de figuras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
4.3. Tarea 3: diagonal en una cuadrícula de 𝑛 ×𝑚 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.4 Tarea 4: número de cuadrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Capítulo 5. Conclusiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.1. Respuesta a las preguntas de investigación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64
5.2. Reflexiones finales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Referencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Apéndices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Transcripción correspondiente a la primera tarea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Transcripción correspondiente a la segunda tarea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Transcripción correspondiente a la tercera tarea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Transcripción correspondiente a la cuarta tarea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139
1
CAPÍTULO 1. EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
1.1 Antecedentes
Uno de los propósitos centrales de la educación matemática es que los estudiantes desarrollen
formas matemáticas de pensar y de razonar, es decir, modos particulares de pensamiento al
resolver problemas que les permitan “ver el mundo a través de los lentes de un matemático”.
La disposición y el hábito para cuantificar, modelar e identificar patrones caracterizan a las
personas con “una forma matemática de pensar”. Estos hábitos se adquieren mediante un
trabajo continuo y de reflexión que se lleva a cabo durante la resolución de problemas. La
formación matemática debería entonces estar orientada a crear condiciones para que los
estudiantes desarrollen su creatividad, por ejemplo al considerar un problema desde distintas
perspectivas, al diseñar diferentes soluciones a un mismo problema o al crear herramientas
conceptuales para resolver problemas que sean adaptables, modificables y reutilizables en
diversos contextos. Es importante que los estudiantes desarrollen un entendimiento conceptual
(Hiebert et al., 1997), porque los conceptos e ideas matemáticas que se entienden con
profundidad pueden utilizarse en una amplia gama de contextos, pueden adaptarse
flexiblemente para resolver diversas situaciones problemáticas y utilizarse para construir
conocimiento nuevo.
Por otra parte, la generalización de tratamientos aritméticos a procesos algebraicos es
un aspecto esencial del estudio de las matemáticas a partir de la educación secundaria. Por ello
resulta importante que el profesor identifique y reflexione sobre los contenidos matemáticos
que incluyen un pensamiento algebraico: (a) reconocer, generalizar y representar
simbólicamente patrones, (b) el estudio de relaciones y funciones, (c) la manipulación y
propiedades estructurales de expresiones algebraicas y estudio de ecuaciones; y (d) el uso de
modelos para representar distintos fenómenos y analizar su comportamiento. Un aspecto
central en el estudio y desarrollo del pensamiento algebraico consiste en ser capaz de expresar,
de manera compacta y eficiente, una gran variedad de ideas matemáticas y sus relaciones
mediante representaciones simbólicas. Algo esencial del pensamiento matemático es la
búsqueda e identificación de distintos tipos de patrones (Ávila, Barrera y Reyes, no publicado).
Cuando el estudiante logra estructurar una forma algebraica de pensar, que incluya tanto
comprensión conceptual como fluidez procedimental, tiene bases sólidas que le permitirán
seguir avanzando en el aprendizaje de las matemáticas.
2
Las prácticas didácticas utilizadas generalmente en los salones de clase se enfocan en
que los estudiantes memoricen hechos y que desarrollen habilidades para implementar
algoritmos o procedimientos rutinarios; pero desde hace algunos años estas formas de abordar
el aprendizaje han sido cuestionadas desde una posición que adopta una visión dinámica y
exploratoria de la matemática como la ciencia de los patrones. Desde esta última perspectiva,
el proceso de instrucción debiera orientarse al desarrollo de actividades que brinden a los
estudiantes oportunidades para experimentar con los objetos matemáticos, observar relaciones
e invariantes, discutir y defender sus ideas, formular y justificar conjeturas, establecer
conexiones entre conocimientos previos y nuevos, además de comunicar resultados e incluso
diseñar sus propios problemas y desarrollar una actitud inquisitiva (NCTM, 2000; Santos-
Trigo, 2007). Todos estos aspectos constituyen los elementos fundamentales que favorecen el
desarrollo de formas matemáticas de pensar.
La identificación de regularidades y generalización de patrones numéricos es un
aspecto que se considera en el currículo desde la educación básica. Los estudiantes de
preescolar tienen sus primeras experiencias identificando patrones al clasificar y ordenar
objetos, lo cual llevan a cabo de manera natural. Estas tareas, a pesar de ser muy sencillas, son
la base para construir formas complejas de pensamiento. Al inicio de la educación secundaria
el estudiante debería ser capaz de describir regularidades verbalmente y mediante el uso de
símbolos alfanuméricos. Las variables y expresiones algebraicas se pueden utilizar como una
herramienta para describir y expresar regularidades. El desarrollo de un pensamiento
algebraico involucra usar la notación funcional para describir relaciones entre cantidades que
varían conjuntamente. A medida que los estudiantes van progresando en la identificación y
generalización de diferentes tipos de patrones, también irán construyendo significado para los
símbolos algebraicos, lo cual a su vez les permitirá dar sentido a un amplio repertorio de
funciones como medios para expresar, entender y analizar el cambio y la variación (NCTM,
2000).
Los Principios y Estándares para la Educación Matemática señalan que el desarrollo
del pensamiento algebraico requiere que los estudiantes logren una comprensión de las
propiedades de los números, las expresiones simbólicas, ecuaciones y desigualdades (NCTM,
2000). Es importante que adquieran fluidez para operar con expresiones simbólicas en
ambientes de lápiz y papel o con la ayuda de las herramientas digitales para generar formas
3
equivalentes de expresiones algebraicas y funciones e incluso para probar resultados generales
(NCTM, 2000).
1.2. Revisión de la literatura
En esta sección se incluyeron dos líneas temáticas, la primera se refiere a investigaciones que
indagaron cómo la identificación y generalización de patrones numéricos puede apoyar el
desarrollo de entendimiento conceptual, y la segunda se enfoca a investigaciones que han
utilizado problemas con múltiples soluciones con la finalidad de favorecer el aprendizaje de
los estudiantes.
En lo que respecta a los estudios sobre cómo la identificación y generalización de
patrones puede contribuir al desarrollo de formas matemáticas de pensar, Butto y Rivera
(2012) analizaron el desarrollo del pensamiento algebraico de estudiantes de entre 11 y 12
años quienes no tenían conocimientos previos de álgebra. El estudio se llevó a cabo en dos
etapas, en la primera etapa se aplicó un cuestionario para identificar dificultades y
competencias que emergen al reconocer regularidades en una sucesión, en la segunda etapa se
llevó a cabo una entrevista individual, cuya finalidad fue que los estudiantes explicaran
verbalmente cómo respondieron al cuestionario. La atención del trabajo se centró en los niveles
de logro y las estrategias de solución. Los estudiantes mostraron dificultades para identificar
patrones en secuencias aritméticas y geométricas.
Otros trabajos están enfocados en describir la importancia de la identificación de
patrones en sucesiones y la generalización de regularidades. Particularmente se ha intentado
determinar la forma en que el uso de representaciones gráficas orienta las estrategias de los
estudiantes para generalizar un patrón y representar la generalidad simbólicamente. Al
respecto, Cañadas, Castro y Castro (2008) realizaron una investigación en la que participaron
39 estudiantes. Más del 40% de los que resolvieron el problema propuesto lograron identificar
un patrón en la sucesión. Por otra parte, los autores identificaron seis rutas distintas de
solución, siendo la más común la descomposición numérica. Adicionalmente, el 95% de los
estudiantes desarrolló habilidad para comunicar verbalmente el proceso de solución.
Respecto de la relación entre la comunicación de resultados y el desarrollo de
entendimiento conceptual al abordar tareas sobre patrones, Geraniou, Mavrikis, Hoyles y Noss
(2008) diseñaron e implementaron actividades cuyo objetivo fue que estudiantes entre 11 y 14
años, que carecen de vocabulario matemático para expresar una generalidad, pudieran resolver
4
problemas de generalización de patrones. Al término de las actividades se entrevistó a los
estudiantes por parejas para después realizar una interacción grupal cuyo fin fue que los
estudiantes expresaran su manera de pensar, después de reflexionar sobre las estrategias que
utilizaron al resolver el problema. Los resultados de este trabajo indican que las actividades
apoyaron a los estudiantes para simbolizar la generalidad observada en una sucesión.
También se han analizado con detalle las rutas de solución y estrategias desarrolladas
por profesores en formación y en servicio, así como matemáticos profesionales al generalizar
patrones en una sucesión que aparece en el juego denominado “The golf tee puzzle”, el cual
es análogo al juego de las ranas saltarinas1. Entre las estrategias más relevantes utilizadas por
los participantes se encuentra la construcción de tablas, como un medio para identificar un
comportamiento general en una sucesión numérica. Además, la actividad promovió la
formulación de conjeturas y que los participantes desarrollaran un razonamiento inductivo y
deductivo. Otro trabajo enfocado en las formas de razonamiento de profesores fue desarrollado
por Trujillo, Castro y Molina (2009), quienes investigaron las estrategias utilizadas por futuros
profesores de educación primaria para generalizar patrones que emergen al analizar sucesiones
aritméticas. Esta investigación se realizó con el objetivo de entender los procesos de
pensamiento de cuatro profesores, así como los conocimientos previos que utilizan, las
dificultades que manifiestan y si las actividades propuestas favorecieron o no un aprendizaje.
Como conclusión se observó que los profesores fueron capaces de generalizar regularidades
de manera verbal y simbólica.
Por otra parte Carraher, Martínez y Schiliemann, (2008) implementaron actividades
con estudiantes de tercer grado de primaria (nueve años) que favorecieran los procesos de
articulación, generación y exploración de relaciones en diferentes representaciones entre las
que se encuentran rectas numéricas, tablas de funciones y notación algebraica. La
investigación tuvo como finalidad entender el papel de la generalización empírica, el juego y
la formulación de conjeturas en las formas de pensar de los estudiantes. Progresivamente, los
estudiantes aprendieron a expresar regularidades utilizando notación simbólica y a derivar
nueva información a partir de los datos del problema, y a reflexionar sobre las expresiones
algebraicas que ellos mismos y otros estudiantes produjeron. Otra investigación con
estudiantes de la misma edad describen los medios semióticos de objetivación utilizados al
1 (http://www.educa.jcyl.es/educacyl/cm/gallery/Recursos%20Infinity/juegos/arcade/ranas/ranas.swf
5
abordar una tarea en la que se debía identificar y generalizar un patrón en una sucesión
numérica. Se llevó a cabo la recolección de la información durante tres sesiones. Esta
investigación concluye que los estudiantes muestran distintas formas de reconocer y
representar la generalidad a partir de gestos, palabras y símbolos alfanuméricos (Lasprilla y
Camelo, 2012).
Algunos estudios han analizado el papel de la flexibilidad para construir estrategias de,
solución en los problemas de generalización de patrones lineales, en estudiantes de educación
secundaria de entre 12 y 16 años (Callejo y Zapatera, 2014). Las respuestas se analizaron con
base en la corrección y las estrategias de solución se categorizaron como recursivas,
funcionales y proporcionales. El análisis de la información permitió identificar tres perfiles de
estudiantes, de acuerdo con las estrategias utilizadas y el éxito obtenido, siendo los estudiantes
más jóvenes los que mostraron menor grado de flexibilidad en la construcción de las
soluciones. Otras investigaciones han analizado el desempeño de estudiantes de secundaria de
entre15-16 años de edad al abordar tareas de generalización de patrones lineales, con el
objetivo de caracterizar algunos niveles jerárquicos que reflejaran el rendimiento de los
estudiantes al tratar con ese tipo de problemas, mediante entrevistas y experimentos de
enseñanza interactiva. Entre los principales resultados destaca que algunos estudiantes
exitosos al establecer un invariante (generalización local) mudan de una invariante a otra (tal
vez correcta) al ser confrontados con una nueva situación. También se identificó que para
llegar a una generalización global, los estudiantes deben ser confrontados con un número
extenso de nuevas situaciones antes de que la nueva estructura cognitiva sea estable (García y
Martinón, 1998).
En lo que respecta a la implementación de tareas con múltiples soluciones (TMS)
Leikin y Lev (2007) exploraron la creatividad matemática en estudiantes de diferentes niveles
de desempeño matemático. Se aplicaron tareas convencionales y no convencionales, con el
objetivo de examinar la novedad, flexibilidad y fluidez de las rutas de solución. El investigador
asumió un papel de guía para los estudiantes haciéndoles preguntas. La flexibilidad de los
estudiantes se analizó con base en el número de soluciones y la fluidez en términos del tiempo
usado para obtener soluciones exitosas. La puntuación final demostró diferencias entre los
grupos en cuanto a una combinación de novedad y flexibilidad de las soluciones.
En esta misma línea de ideas Groe y Renkl (2006) llevaron a cabo dos experimentos
de combinatoria y probabilidad. Para el desarrollo de estos experimentos se proporcionaron a
6
los estudiantes ejemplos de problemas resueltos mediante diferentes rutas. El ambiente de
instrucción se diseñó para promover una reflexión sobre los contenidos y representaciones
utilizadas en cada solución. Al analizar los resultados, se concluyó que el análisis de múltiples
soluciones a un problema mejoró la adquisición de habilidades procedimentales y promovió
el desarrollo de entendimiento conceptual. Por otra parte, Kordaki y Mastrogiannis (2006)
implementaron una actividad de aprendizaje, enfocada en la comprensión del concepto de
ángulo mediante el uso de Cabri-Geometry II. En esta investigación se concluyó que
considerar diversas estrategias de solución favoreció el que los estudiantes utilizaran funciones
mentales superiores y conectaran diversos conceptos matemáticos.
Leikin (2011) analizó las formas en que un grupo de profesores implementan tareas
con múltiples soluciones (TMS) en sus clases durante un curso de desarrollo profesional. El
estudio incluyó dos etapas, en la primera participaron 12 maestros durante un año. Se buscó
identificar los objetivos, el aprendizaje en general, y los avances en el conocimiento
matemático, conocimiento pedagógico del contenido y creencias de los profesores asociadas
con la utilidad de las TMS en el proceso de aprendizaje. En la segunda etapa se pidió a los
maestros integrar en sus clases TMS. Se observó que el objetivo principal planteado por los
profesores fue la revisión de contenidos ya aprendidos y sólo una lección se dedicó al
aprendizaje de contenidos nuevos. Se identificaron cuatro estilos de trabajo de los profesores
al diseñar TMS para implementarlas con sus estudiantes: simple, directo, adaptativo y creativo.
Las lecciones correspondientes al estilo de trabajo simple tenían como objetivo la revisión de
los contenidos aprendidos anteriormente, mientras que los estilos adaptativos facilitaron el
logro de metas de aprendizaje más complejas.
Levav-Waynberg y Leikin (2009) utilizaron TMS como una herramienta para la
evaluación de conocimientos geométricos. El estudio se basó en el supuesto de que la solución
de problemas matemáticos por diferentes caminos, puede constituirse en una herramienta para
la construcción de conexiones entre conceptos o ideas, y en un mecanismo de diagnóstico para
la evaluación de conocimientos. Se aplicaron tres pruebas, una al inicio, otra a la mitad del
curso y otra al final en tres grupos de décimo grado (primer grado de bachillerato) del curso
de geometría (52 estudiantes). Cada prueba incluyó dos problemas en los cuales se pidió a los
estudiantes dar tantas soluciones como pudieran. El análisis de las soluciones se realizó con
respecto a: (1) la corrección; (2) conectividad; (3) creatividad incluyendo la fluidez,
flexibilidad y originalidad. En esta misma línea de ideas, Silver et al. (2005) analizaron el
7
trabajo de 12 profesores de matemáticas, quienes indicaron que considerar múltiples
soluciones para un problema les ayudó a mejorar su repertorio estratégico y representacional.
Los resultados indican que hubo un cambio en la práctica de los docentes, la cual se reflejó en
la planificación de lecciones y en los registros de las conversaciones que se llevaron a cabo en
sesiones de un programa de desarrollo profesional Además, se identificó que la presentación
de múltiples soluciones y la reflexión acerca de las conexiones entre los diferentes enfoques
de un problema es una oportunidad para impulsar programas de formación para profesores.
1.3. Planteamiento del problema
Con base en la revisión de la literatura se observó que la identificación y generalización de
patrones en una sucesión es una actividad fundamental en la construcción del conocimiento
matemático. Por otra parte, considerar múltiples soluciones en una tarea es un principio que
puede apoyar el desarrollo de diferentes aspectos del pensamiento matemático. En este
contexto, el objetivo general de esta investigación consiste en documentar y analizar aspectos
importantes del pensamiento matemático que se promueven en estudiantes de tercer grado de
secundaria cuando resuelven problemas que requieren identificar y generalizar patrones por
diferentes caminos o rutas, ya que es un área de investigación que se ha explorado poco.
Las preguntas que orientan el desarrollo de la investigación son:
1. ¿Qué tipo de estrategias utilizan los estudiantes para identificar y generalizar patrones?
2. ¿De qué manera la consideración de diferentes rutas para resolver un problema
favorece la estructuración de formas matemáticas de pensar y la construcción de
entendimiento conceptual?
8
CAPÍTULO II. MARCO DE INVESTIGACIÓN.
Al llevar a cabo una investigación es de fundamental importancia contar con un marco que
sustente los resultados y permita formular explicaciones de los fenómenos observados más allá
del sentido común. Un marco de investigación es una estructura conceptual que orienta la
perspectiva de un estudio desde la formulación de las preguntas hasta la recolección de datos
y su análisis. Existen diversos tipos de marcos de investigación en educación matemática, los
cuales se clasifican en tres tipos: el teórico, el práctico y el conceptual (Eisenhart, 1991).
El marco teórico, toma como base una teoría bien establecida, por ejemplo la teoría de
situaciones didácticas. Cuando se elige un marco teórico, el investigador decide seguir
estrechamente los principios, así como las convenciones de argumentación y experimentación
asociadas con la teoría. Con respecto al Marco práctico, se integra con base en la experiencia
práctica del investigador y guía la investigación con base en “lo que funciona” en un contexto
específico. “Lo que funciona” se constituye en una idea o acción que si se extiende a otros
contextos puede ayudar a resolver algunos problemas educativos. Los resultados de una
investigación basada en un marco práctico generalmente se usan para sustentar, extender o
revisar la práctica educativa.
Un marco conceptual es una estructura de justificaciones acerca de por qué un conjunto
de conceptos y relaciones son útiles para orientar la formulación de preguntas, la recolección
de datos y explicar los resultados de la investigación. Al igual que los marcos teóricos los
marcos conceptuales están basados en investigaciones previas, pero se construyen a partir de
elementos de diversas fuentes. Un marco conceptual puede incluir conceptos de diferentes
teorías o aspectos del conocimiento práctico del investigador.
Como parte de todo marco en educación matemática, es importante explicitar las
concepciones que sostiene el investigador en torno a lo que son las matemáticas y el
aprendizaje de la disciplina. De manera frecuente se define a las matemáticas como la ciencia
de la cantidad y espacio, pero en este trabajo sostenemos que las matemáticas son la ciencia
de los patrones, porque consideramos que el trabajo matemático consiste en examinar y buscar
patrones abstractos, determinar cómo se relacionan esos patrones y justificar la razón de esas
relaciones. Es decir, conceptualizamos el aprendizaje de las matemáticas desde una
perspectiva de resolución de problemas.
9
Desde este punto de vista, las matemáticas son una disciplina que estudia las
regularidades que aparecen en los números, las formas, el movimiento, el azar, entre otras;
mientras que el aprendizaje de las matemáticas se concibe más allá de la memorización de
fórmulas y la aplicación de procedimientos rutinarios. Aprender matemáticas involucra llevar
a cabo actividades análogas a las desarrolladas por los matemáticos profesionales al crear
nuevo conocimiento disciplinar (Simon y Blume, 1996). Es decir, el aprendizaje de las
matemáticas requiere que los estudiantes exploren relaciones, que experimenten y analicen
casos particulares, formulen conjeturas y las justifiquen, comuniquen resultados, que
propongan sus propios problemas y diseñen los métodos o estrategias para resolverlos. Los
estudiantes aprenden matemáticas y construyen significado de las ideas centrales de la
disciplina cuando son capaces de inventar y analizar métodos para resolver problemas, es
decir, cuando se encuentran inmersos en un contexto de instrucción que favorece la creación
de herramientas conceptuales (Hiebert et al., 1997). Además, el estudiante debiera ser capaz
de problematizar las tareas, es decir, considerar las situaciones problemáticas en términos de
dilemas que necesitan resolverse y de este modo desarrollar una actitud inquisitiva, la cual
consiste en preguntarse o cuestionarse constantemente sobre la validez de los resultados, la
forma de encontrar más de un camino o ruta de solución o de cuestionarse si la solución es
única.
Cuando se aborda el aprendizaje desde una perspectiva de resolución de problemas es
importante identificar las fases por las que un resolutor transita al resolver un problema: (i)
comprender el problema, (ii) concebir un plan, (iii) ejecutar ese plan y (iv) examinar o verificar
la solución, así como las heurísticas utilizadas por los estudiantes, las cuales son sugerencias
de carácter general que pueden ayudar en el proceso de solución de un problema, pero que no
garantizan el éxito.
2.1 Elementos del marco conceptual.
El marco conceptual que sustenta este trabajo está estructurado en torno a dos elementos:
Aprendizaje con entendimiento y tareas con múltiples soluciones. Consideramos que un nuevo
conocimiento se ha entendido si está estructurado con los conocimientos previos del estudiante
(Hiebert et al., 1997). La construcción de relaciones o conexiones entre conceptos se puede
10
lograr mediante los procesos de reflexión y comunicación de ideas durante el desarrollo de
resolución de problemas.
En este trabajo se considera que entendemos algo si podemos ver cómo ese algo se relaciona
o conecta con otras cosas que conocemos. De la afirmación anterior se desprende que existirán
diversos niveles de entendimiento de un concepto en función de la cantidad de conexiones o
relaciones que una persona sea capaz de establecer. Por ejemplo, un profesor entiende el
sentimiento de ansiedad de un estudiante ante los exámenes si puede relacionar ese fenómeno
con otra información, por ejemplo los malos resultados obtenidos en un examen anterior a
pesar de haber estudiado, la presión de sus padres para que obtenga buenas notas o la falta de
habilidad para responder rápidamente a este tipo de pruebas (Hiebert et. al., 1997).
De acuerdo con Hiebert et al. (1997), la construcción de relaciones o conexiones significativas
se lleva a cabo a través de los procesos de reflexión y comunicación. La reflexión consiste en
pensar de forma consciente acerca de nuestras experiencias, pensar en las cosas desde
diferentes puntos de vista, analizar repetidamente las cosas, pensar acerca de lo que uno hace
y por qué lo hace. La reflexión anterior, sirve de base para la construcción de nuevas relaciones
y consecuentemente en un incremento de nuestro nivel de entendimiento. Por su parte, la
comunicación involucra hablar, escuchar, escribir, justificar, mirar. La comunicación consiste
en compartir ideas, pensar de forma conjunta en ideas y problemas, el proceso de
comunicación permite clarificar y fortalecer nuestro proceso de pensamiento con las ideas y
formas de pensar de otras personas.
En lo que respecta a las tareas con múltiples soluciones (TMS), éstas constituyen un
medio para que el estudiante establezca relaciones entre diferentes conocimientos
matemáticos, ya que al contrastar diferentes rutas de solución el estudiante reflexionará sobre
cómo los conocimientos o ideas matemáticas se estructuran u organizan. De este modo, los
estudiantes aprenderán a construir herramientas matemáticas que puedan usar de manera
flexible, adaptarlas a nuevas situaciones y usarlas para aprender cosas nuevas (NCTM, 2000).
Es ampliamente aceptado por los educadores matemáticos que conectar ideas y entender las
relaciones entre diferentes soluciones al mismo problema son aspectos esenciales para el
desarrollo del entendimiento matemático (NCTM, 2000; Polya, 1973; Schoenfeld, 1985;
Charles y Lester, 1982). Resolver problemas por diferentes rutas caracteriza la experiencia de
11
los matemáticos, ya que esta actividad requiere de estructurar diferentes conceptos para usarlos
como herramientas en el proceso de solución de problemas (Polya, 1973). Según Levav-
Waynberg y Leikin (2006), dos o más rutas de solución son diferentes si se utilizan: (a)
diferentes definiciones, resultados, métodos o representaciones de un concepto matemático;
(b) diferentes niveles de jerarquía, expresados al considerar una idea como un caso especial de
un conocimiento más general; (c) diferentes herramientas y teoremas matemáticos de un
mismo tópico matemático; y (d) diferentes herramientas y teoremas matemáticos de distintas
ramas de las matemáticas.
Abordar una tarea por diversas rutas, comparar soluciones y reflexionar acerca de los
conceptos y estrategias involucradas son medios para explorar la creatividad de los estudiantes
(Silver, 1997; Leikin, 2007; Leikin y Lev, 2007; Leikin y Levav-Waynberg, 2007). La
construcción de relaciones entre ideas y conceptos contribuye al desarrollo de diferentes
niveles de entendimiento (Polya, 1945; Ma, 2010), porque al movilizar e integrar un amplio
rango de representaciones, heurísticas, resultados, procedimientos y principios durante la
construcción de diferentes soluciones a una tarea, estos elementos se incorporan
paulatinamente al repertorio de recursos de los estudiantes, favoreciendo la integración de
redes de conocimientos estructurados (Silver et al., 2005; Ma, 2010).
Para aprovechar las ventajas de las TMS como herramienta didáctica, se requiere que
los aprendices sean capaces de encontrar diferentes caminos para resolver un problema y que
analicen las cualidades de cada ruta (Santos-Trigo, 1996). Explorar múltiples métodos para
resolver un problema permite a un resolutor ver cómo diferentes ideas y recursos se
estructuran, mientras que caracterizar las diferencias o similitudes entre los métodos favorece
la comprensión de las relaciones entre conceptos, ideas o procedimientos matemáticos (Leikin,
2010). A pesar del potencial didáctico de las TMS, la consideración de diferentes rutas para
resolver un problema es una práctica que rara vez se implementa en los salones de clase (Silver
et al., 2005), a excepción de países como China o Japón donde es una aproximación didáctica
común (Shimada y Becker, 1997; Cai y Nie, 2007; Ma, 2010). En los salones de clase
japoneses, los maestros consideran a las matemáticas como un conjunto de relaciones entre
conceptos, hechos y procedimientos; las cuales se hacen evidentes al resolver problemas por
diferentes rutas y al analizar, mejorar esos métodos, o al hablar explícitamente sobre las
relaciones de interés. En la didáctica japonesa existe una aproximación denominada open-
12
ended, cuyo eje es solicitar a los estudiantes crear y discutir diferentes métodos para solucionar
un problema que pueda resolverse con un mínimo de conocimientos previos (Stigler y Hiebert,
1999; Shimada, 1997).
2.2 Integración de los elementos del marco.
En el siguiente diagrama se ilustran los elementos del marco conceptual, para explicar cómo
los estudiantes al resolver tareas por diferentes caminos pueden establecer relaciones entre
conceptos matemáticos, y de esta manera integrar redes conceptuales robustas, favoreciendo
así el desarrollo de un aprendizaje con entendimiento y el desarrollo de los elementos del
pensamiento matemático. Un ambiente que promueve la resolución de problemas por
diferentes rutas contribuye a que los estudiantes desarrollen formas matemáticas de pensar y
adquieran el hábito y la disposición para modelar, cuantificar e identificar patrones, al
momento de resolver una tarea, estos hábitos y disposiciones les facilitan la resolución de
problemas. Por una parte, la resolución de problemas que representan un reto intelectual para
los estudiantes es el escenario propicio para poner en práctica diversos elementos del
pensamiento matemático. Además, encontrar y analizar diversas soluciones a un mismo
problema permite analizar cómo se estructuran o relacionan diferentes ideas, conceptos o
estrategias, lo cual es fundamental en el desarrollo de entendimiento matemático.
13
Figura 1. Elementos del marco conceptual
14
CAPÍTULO III. METODOLOGÍA
Esta investigación es de carácter cualitativo, puesto que los instrumentos para la recolección
de los datos utilizados fueron grabaciones en video de sesiones de trabajo que los estudiantes
llevaron a cabo para resolver problemas de identificación y generalización de patrones
mediante diferentes rutas. Además se realizaron entrevistas, así como notas realizadas por el
investigador durante las sesiones, respecto de las acciones desarrolladas por los alumnos de
forma individual o en pequeños grupos. Los videos de las sesiones de trabajo y las entrevistas
se transcribieron y con base en esas transcripciones se buscó identificar segmentos de texto
que permitieran evidenciar si los estudiantes desarrollaron o no formas matemáticas de pensar,
al resolver los problemas propuestos por diferentes rutas.
3.1 Los participantes
La implementación de las actividades se llevó a cabo con un grupo de estudiantes de tercer
grado de una escuela telesecundaria ubicada en la comunidad de San Cristóbal del municipio
de Metztitlán, en el estado de Hidalgo. Las edades de los participantes se encuentran en el
rango de 14 y 15 años. Los estudiantes pertenecen a un nivel socioeconómico medio bajo. Para
poder desarrollar las actividades se solicitó la aprobación de directivos y padres de familia, se
hizo de su conocimiento que se filmaría en video el trabajo de los estudiantes durante algunas
sesiones y se solicitó su consentimiento a través de un oficio que se les envió por escrito.
Se implementaron cuatro tareas de las cuales las primeras tres se abordaron de manera
individual, mientras que para la cuarta los estudiantes se organizaron en grupos. En el caso de
esta última actividad solo algunos estudiantes tuvieron participaciones relevantes. Las tareas
se desarrollaron con un grupo de diez estudiantes, pero solo se analizó el trabajo de cuatro,
quienes abordaron todas las actividades. Los estudiantes se eligieron por conveniencia, todos
con los promedios más altos en la asignatura de matemáticas.
Se realizó la transcripción de los videos de cada una de las sesiones de trabajo en las
cuales se identifica a los estudiantes con seudónimos: Alberto, Elisa, Manuel, Luna, son los
estudiantes en los que se centra el análisis, mientras que Humberto, Chava, Santamaría, Coral,
Dana y Enrique son el resto de los integrantes del grupo.
15
3.2 Las tareas
Las tareas que se utilizaron en este trabajo se pueden resolver por diferentes rutas y fueron
seleccionadas de forma que ofrecieran oportunidades a los estudiantes para llevar a cabo
procesos de análisis, reflexión y comunicación de ideas, y que les permitiera estructurar sus
conocimientos previos con ideas tales como variación conjunta de dos cantidades,
generalización de patrones, representación simbólica, entre otras. Tres de las actividades se
abordaron por los estudiantes de manera individual y una cuarta tarea fue resuelta en grupo.
Cada tarea se desarrolló durante una sesión de dos horas después del receso. El proceso de
implementación se llevó a cabo por el profesor titular del grupo. Durante y al final de cada
actividad se dieron espacios de tiempo en los cuales los estudiantes tuvieron oportunidad de
comunicar las rutas de solución al profesor o a todo el grupo.
Las fuentes de información incluyeron los trabajos escritos de los estudiantes, así como
las videograbaciones, las cuales se transcribieron posteriormente. El análisis de los datos
incluyó la identificación de segmentos de texto que proporcionaron información respecto al
desarrollo de algún elemento del pensamiento matemático, alguna estrategia de solución o que
proporcionaran evidencia de la realización de conexiones entre conceptos. Posteriormente,
esta información se resumió en tablas con el objetivo de resaltar cada estrategia, conexión y
elemento del pensamiento matemático que estuvo presente durante el desarrollo de cada una
de las tareas.
3.3 Análisis preliminar de las tareas
El análisis preliminar se llevó a cabo con la finalidad de que el docente quien aplicó las tareas
identificara algunas posibles soluciones que podrían aparecer, y además reflexionara sobre los
elementos del pensamiento matemático que entran en juego durante el diseño e
implementación de algunas rutas de solución.
Tarea 1. Suma de los primeros n números naturales. Realiza la siguiente suma y propón
más de una ruta para obtener el resultado.
1 + 2 + 3 + ∙∙∙ + 8 + 9 + 10 =
Una primera ruta consiste en realizar sumas parciales consecutivas, es decir sumar primero
1+2=3 y luego sumar 3+3=6 y así sucesivamente hasta obtener el resultado
16
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55. Si esta es la aproximación que siguen los estudiantes,
entonces se les pedirá que traten de encontrar alguna otra ruta para solucionar el problema.
Se les dará un tiempo para que reflexionen y propongan otra ruta de solución, en caso de que
no lo logren se propondrá un ejemplo más sencillo: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6. A continuación se
sugerirá cambiar el orden de los sumandos y realizar la suma en forma vertical como se
muestra a continuación:
+ 1 +2 + ⋯ +6 6 +5 + ⋯ +1
7 +7 + ⋯ +7
El resultado sería (7) (3)= 21
Los estudiantes podrán desarrollar una solución para la suma de los primeros diez números
naturales en la cual tendrán que aplicar una multiplicación. Y quedara de la siguiente manera:
+ 1 + 2 + 3 + ⋯ +9 +10 10 + 9 + 8 + ⋯ +2 +1
11 +11 +11 + ⋯ +11 +11
La suma es iguala a (11) (5)= 55.
Posteriormente se les planteara la siguiente actividad con la que se pretende que descubran
otra ruta de solución para la suma de números enteros del 1 al 10, se puede pedir a los
estudiantes que completen la siguiente tabla. Posteriormente se busca que los estudiantes
verifiquen cómo varían los números de la segunda columna y que relacionen esos números
con los de la primera columna.
No. de
sumandos
Resultado
de la suma
1 1
2 3
3 6
10
5
6 21
28
⋮
n
17
Cuando los estudiantes lleguen a la casilla del número “n” tendrán que buscar una expresión
general que represente el valor de la suma de los primeros números naturales, a partir de los
casos particulares previos. Los estudiantes pueden notar que si multiplican un número de la
primera columna por su consecutivo obtienen como resultado el doble del número
correspondiente en la segunda columna. Entonces la expresión general para la suma de los
primeros n números naturales es:
(𝑛)(𝑛+1)
2 o
𝑛2+𝑛
2
Otra ruta de solución para poder encontrar la suma de los números naturales del 1 al 10
podría basarse en la siguiente representación figural:
Los estudiantes tienen que establecer relaciones y observar patrones para poder definir cuantos
cuadritos tendrá la figura 5, y posteriormente la figura n se darán cuenta que la respuesta son
iguales a las que obtuvieron con la tabla.
(𝑛)(𝑛+1)
2 o
𝑛2+𝑛
2
Al término de la actividad se les pedirá a los estudiantes que reflexionen acerca de los
resultados obtenidos con la siguiente pregunta ¿la fórmula o las fórmulas a las que se llegó,
solo pueden ser utilizadas para encontrar la suma de los números naturales del 1 al 10, o
podremos obtener otras sumas?
Tarea 2. Sucesiones de figuras (Triángulos y palillos). Observa la sucesión de figuras en la
cual y completa la tabla. Toma en cuenta que en cada figura subsecuente se le incrementa un
triángulo sobre el mismo renglón.
Fig.1 Fig.2 Fig.3
18
No. de triángulos
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
No. de palillo.
No. de bolas.
Posiblemente los estudiantes completen la tabla fácilmente a partir de observar cómo se
comportan las cantidades correspondientes a las primeras figuras, pero es probable que algunos
construyan las figuras restantes para completar la tabla.
No. de triángulos
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
No. de palillo.
3 5 7 9 11 13 15 17 19 21
No de bolas.
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Posteriormente se pedirá a los estudiantes que compartan sus observaciones, y den respuesta a
las siguientes preguntas con el objetivo de favorecer los procesos de reflexión y comunicación
que son esenciales para el desarrollo de un entendimiento conceptual:
1.- ¿Qué relaciones observan entre el número de triángulos que se forman y el número de
palillos que los integran? En primera instancia, probablemente los estudiantes comenten que
el número de palillos va aumentando de dos en dos para cada figura. Es probable que observen
que si suman 1+2 el resultado es 3 y ese será el número de palillos que integran al triangulo
1, si suman 2+3 el resultado es 5 y ese es el número de palillos en la figura 2. Entonces pueden
tratar de repetir el procedimiento para los demás triángulos con la finalidad de obtener
evidencia que sustente la conjetura que el número de palillos en una de las figuras se obtiene
al sumar la posición de la figura con la posición siguiente.
2.- Después de comentar algunas relaciones y regularidades que existen entre el número de
triángulos y el número de palillos que los integran, se tratará de que generalicen el resultado:
¿Si hablamos de la figura n cuantos palillos la integran? Con lo comentado anteriormente los
estudiantes pueden generalizar el resultado y llegar a las siguientes expresiones simbólicas:
a) (n)+ (n+1) = Numero de palillos.
19
b) 2n+1= Numero de palillos.
De esta manera ellos lograran identificar patrones, realizar generalizaciones y representar
simbólicamente la generalidad. Después de haber concluido esta parte de la actividad se les
indicara a los estudiantes que respondan y reflexionen en casa las siguientes preguntas:
1.- ¿existe alguna relación entre el número de triángulos y el número de bolas?
2.- ¿se podrá representar de manera general esta relación entre triángulos y bolas? ¿Cuál sería
la expresión simbólica que representa la relación anterior?
Tarea 3. Diagonal en una cuadrícula de 𝑛 × 𝑚 cuadritos.
En un rectángulo como el que se muestra en la figura, ¿cuantos cuadrados cortara una diagonal
en un rectángulo de n x m cuadritos? Se Iniciara considerando diversos casos particulares para
poder observar relaciones, regularidades e invariantes.
Se observa que si el rectángulo tiene un solo cuadrito de altura entonces la diagonal debe cruzar
a todos los cuadros de la figura. Y si observamos las líneas verticales que atraviesa la diagonal,
damos cuenta que el número de cuadrados que corta es igual al número de verticales que
atraviesa más uno. A continuación observaremos que sucede para rectángulos con dos
cuadrados de altura.
20
Con base en las figuras anteriores nos podremos percatar que el comportamiento difiere para
los rectángulos de altura dos. En este segundo caso, observamos que el número de cuadros
cortados por la diagonal es igual al número de líneas verticales que atraviesa la diagonal más
uno, cuando la altura y la base son múltiplos. En el caso de que la atura y la base sean primos
relativos, el número de cuadrados cortados por la diagonal será igual al número de líneas
verticales que atraviesa la diagonal más dos. Posteriormente se realizaron más figuras pero de
altura tres para determinar si las conjeturas anteriores son correctas.
21
Fig. 1 Fig. 3
Fig. 2 Fig. 4
Con las figuras anteriores nos damos cuenta que las conjeturas establecidas hasta el momento
son incorrectas pero nos ayudan a establecer nuevas, las cuales enunciamos a continuación.
1.- si la altura y lo largo de un rectángulo formado por cuadros son múltiplos, el número de
cuadros que corte la diagonal será igual a lo largo de dicho rectángulo.
2.- si la altura y lo largo de un rectángulo no son múltiplos entonces el número de cuadros que
corte la diagonal será igual al número de cuadros de la altura menos uno más el número de
cuadros de lo largo.
Se propuso realizar otras figuras para aplicar las conjeturas establecidas y obtener evidencia
adicional que las apoye.
Fig. 1
Fig. 2
22
Después de observar las relaciones y establecer conjeturas con la ayuda de las figuras se
observó que, dada una figura rectangular formada por m cuadrados de largo y n cuadros de
ancho, la diagonal trazada entre dos de sus vértices cortara: (n-1)+ m cuadros, si m y n son
primos relativos. Por otra parte, si m es múltiplo de n o viceversa, entonces el número de
cuadrados que corta la diagonal será el máximo de m y n. En general, el número de cuadros
por los que atraviesa la diagonal en una cuadrícula de 𝑛 × 𝑚 es igual a mn-MCD (m, n). Cabe
mencionar que durante el desarrollo para la solución de este problema, resultó complicado
establecer relaciones entre las características de las diferentes figuras y en la articulación de
saberes.
Tarea 4. Número de cuadrados
Observa las siguientes figuras y responde ¿cuántos cuadros se pueden formar considerando
cada una de las cuadrículas? En la figura1 se forma un cuadrado de 2x2 y cuatro de 1x1,
entonces en total se observan 5 cuadros. Lo cual para los estudiantes tampoco será complicado
identificar. En la figura 2 observamos que se forma un cuadro de 3x3, cuatro de 2x2 y nueve
de 1x1, por lo cual sabemos que se forman 14 cuadros en total. En la figura número 3
observamos un cuadro de 4x4, cuatro de 3x3, 9 de 2x2 y dieciséis de 1x1, para formar 30
cuadros en total.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Nos damos cuenta que al aumentar el tamaño de la cuadrícula resulta más complejo identificar
los cuadros que pueden formarse. Podemos observar que en una cuadrícula de 5 cuadros de
lado se forman 1 cuadro de 5x5, 4 de 4x4 , 9 de 3x3, 16 de 2x2 y 25 de 1x1, y al sumarlos se
obtiene que se forman un total de 55 cuadros. Con base en los casos particulares analizados
23
se identificó que si vamos sumando el número total de cuadros de 1x1 que se pueden formar,
los que tienen medidas de 2x2 hasta los de 5x5, se obtiene la suma de los cuadrados de los
primeros cinco números naturales. Por lo tanto se propuso que para calcular el total de cuadros
en una cuadrícula con lado de longitud n, el total de cuadrados se puede encontrar mediante la
siguiente suma.
12+22+ 32+42+52+---+(n-1)2+ n2=
Al llegar a esta suma surgieron dificultades para obtener el resultado en su forma general por
lo que se sugirió revisar el procedimiento para deducir la fórmula ejemplificado en un libro de
cálculo (Spivak, 2010, p. 37). Partiendo de la expresión
(K+1)3 – k3 = 3k2 + 3k + 1
Para encontrar la fórmula de la suma de los cuadrados de los primeros números naturales
daremos valores a k, k=1, k=2, k=3, k=4, k=5, k=n.
(1+1)3- 13= 3(1)2+3(1)+1
(2+1)3-23= 3(2)2+3(2)+1
(3+1)3-33= 3(3)2+3(3)+1
(4+1)3-43=3(4)2+3(4)+1
(5+1)3-53=3(5)2+3(5)+1
⋮ (n + 1)3-n3=3(n)2+3(n)+1 Posteriormente realizamos las sumas de los binomios al cubo como se muestra en seguida.
(2)3-13= 3(1)2+3(1)+1
(3)3-23=3(2)2+3(2)+1
(4)3-33= 3(3)2+3(3)+1
(5)3-43= 3(4)2+3(4)+1
(6)3-53= 3(5)2+3(5)+1
⋮ (n+1)3-n3=3(n)2+3(n)+1
24
Si sumamos todos los elementos anteriores en forma de renglón podremos observar lo
siguiente.
(23-13)+(33-23)+(43-33)+(53-43)+(63-53)+ - - -+(n+1)3-n3)=( 3(1)2+3(1)+1)+(3(2)2+3(2)+1) +
+(3(3)2+3(3)+1)+ (3(4)2+3(4)+1) + (3(5)2+3(5)+1)+---+ 3(n)2+3(n)+1
Al observar nuestra igualdad de sumas nos daremos cuenta que podemos realizar algunas
operaciones y factorizar algunos elementos.
−1 + (𝑛 + 1)3
= 3(12 + 22 + 32 + 42 + 52 + ⋯ + 𝑛2) + 3(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ⋯ + 𝑛)
+ 𝑛
−1 + (𝑛 + 1)3 = 3(12 + 22 + 32 + 42 + 52 + ⋯ + 𝑛2) + 3[ 𝑛(𝑛 + 1)
2 ] + 𝑛
−1 + 𝑛3 + 3𝑛2 + 3𝑛 + 1 = 3(12 + 22 + 32 + 42 + 52 + ⋯ + n2) + 3𝑛2+3𝑛
2 + 𝑛
𝑛3+3𝑛2+3𝑛− [ 3𝑛2+3𝑛
2 ]−𝑛
3= 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + − − − + 𝑛2
2𝑛3+6𝑛2+6n−3𝑛2−3𝑛−2𝑛
23
= 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + ⋯ + 𝑛2
De lo anterior obtenemos que.
2𝑛3 + 6𝑛2 + 6𝑛 − 3𝑛2 − 3𝑛 − 2𝑛
6= 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + ⋯ + 𝑛2
2𝑛3 + 3𝑛2 + 𝑛
6= 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + ⋯ + 𝑛2
𝑛 (2𝑛2 + 3𝑛 + 1)
6= 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + ⋯ + 𝑛2
𝑛 (2𝑛 + 1) (𝑛 + 1)
6= 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + ⋯ + 𝑛2
Entonces estamos generalizando la suma de cuadrados que nos ayudara a calcular el número
de cuadrados menores que podemos formar dentro en una cuadrícula de 𝑛 × 𝑛.
25
CAPITULO IV. RESULTADOS
En esta parte del trabajo se describen los resultados de la experimentación. En primer lugar se
bosquejan los aspectos esenciales del proceso de solución implementado por los estudiantes,
resaltando los estrategias empleadas para resolver los problemas, así como las relaciones que
utilizaron y los elementos del pensamiento matemático que emergieron al abordar las tareas
con múltiples rutas de solución.
4.1. Tarea 1. Suma de los primeros números naturales
La primera tarea a desarrollar consistió en sumar los primeros diez números naturales. El
profesor sugirió a los estudiantes realizar la suma de una manera distinta a sumar
consecutivamente cada uno de los números. Elisa propuso sumar el primer término con el
último, el segundo término con el penúltimo. Para explicarnos, lo que ella propone, unió los
términos a sumar con líneas.
Entonces obtuvo once como resultado de sumar cada par de números, después multiplicó por
cinco este resultado parcial y le dio un total de cincuenta y cinco. Alberto comentó que él
sumó los términos por parejas, en orden consecutivo, el uno más el dos, el tres más el cuatro,
el cinco con el seis, el siete con el ocho y el nueve con el diez, los resultados que obtuvo, los
sumó nuevamente por parejas, solo que ahora le sobró un término, pero lo consideró como un
resultado más, posteriormente volvió a sumar los resultados obtenidos en su segunda suma y
así obtuvo como resultado de la suma cincuenta y cinco (ver figura). Al observar el trabajo de
Alberto, el profesor le pidió buscar una forma más eficiente de obtener el resultado.
26
En el caso de Manuel, también sumó los números por pares consecutivos (1+2, 3+4, 5+6, 7+8,
9+10), además propuso sumar los números 1+2+3, y sumó por separado los números
abreviados con los puntos suspensivos (4+5+6+7), más el resto, que eran 8+9+10, y obtuvo la
siguiente suma 1+2+3+22+8+9+10=55. Entonces, el profesor le pidió que obtuviera el
resultado de otra forma. Luna, por su parte, únicamente realizó la suma término a término.
Como los estudiantes tuvieron dificultades para encontrar otra ruta de solución, el profesor les
sugirió colocar la suma como se muestra en seguida y explicar si esta forma de representarla
podría facilitar el proceso de solución.
+ 1 +2 +3 + ⋯ +9 +10 10 +9 +8 + ⋯ +2 +1
11 +11 +11 + ⋯ +11 +11
Después de un tiempo se les pidió a los estudiantes expresaran sus ideas. Elisa comentó, que
se sumaron dos veces los primeros diez números naturales y se obtuvo como resultado ciento
diez y para encontrar el resultado lo dividió entre dos y obtuvo cincuenta y cinco. Por otra
parte, Alberto explicó que el resultado de esa suma no era el correcto, porque se estaba
sumando dos veces el mismo número de lo cual le dio ciento diez, y para que sea correcto hay
que dividirlo entre dos. Manuel concluyó lo mismo que sus compañeros, observó que se
estaban sumando dos veces los mismos valores, por lo tanto el resultado que obtuvo lo dividió
entre dos, para llegar a cincuenta y cinco.
Luna dijo que de acuerdo con las operaciones que realizó obtuvo como resultado sesenta y
seis pero explicó que obtuvo ese resultado porque había omitido los números que estaban
representados por los puntos suspensivos, que eran el cuatro, cinco, seis y siete entonces
realizó la misma suma solo que le agregó los numero faltantes y el resultado fue ciento diez.
La estudiante sugirió dividirlo entre dos y así obtener cincuenta y cinco que es el valor que se
está buscando
27
Como ya no hubo mayor participación, el profesor propuso organizar la información de las
sumas parciales en una tabla, la cual contenía solo algunos de los valores. Pidió a los
estudiantes completar los valores faltantes de la tabla.
Elisa comentó que pudo obtener los primeros resultados faltantes de la tabla, pero cuando
quiso generalizar el resultado se confundió y ya no supo cómo continuar. Se le preguntó porque
se había confundido pero, solo dijo que no pudo hacer más. Posteriormente, se cuestionó a
todo el grupo si ya habían terminado la actividad pero la mayoría de los estudiantes dijo que
no. Solo Alberto comento que había realizado algo y se le pidió compartir sus ideas con el
grupo.
El estudiante realizó una tabla en el pizarrón y explicó cómo fue obteniendo cada resultado.
Multiplicó los números de la primera columna, el uno por el dos y el resultado lo dividió entre
dos, obteniendo uno [1 x 2= 2, 2/2=1] el cual fue el primer valor de su tabla, después multiplicó
dos por tres, el resultado fue seis, lo dividió entre dos y obtuvo tres, que es el segundo resultado
de su tabla, posteriormente tres por cuatro le dio doce, entre dos seis, que fue el resultado del
tercer renglón de la tabla y así sucesivamente. .
Número de
sumandos
Resultado de
la suma
1 1
2 3
3 6
4 10
5
6 21
7 28
8
9
10
⋮
n
28
El profesor preguntó cuál sería el valor de la suma si hubiera n sumandos. Alberto agregó los
valores de n+1 y n+2 a las siguientes dos casillas, pero calculó sus resultados dándole valor
de diez a n obteniendo, n+1= 11 y n+2= 12, y multiplicó once por doce, obteniendo ciento
treinta y dos y al dividirlo entre dos el resultado fue sesenta y seis. Pero de ahí ya no pudo
generalizar el resultado para n sumandos. Se les sugirió a los estudiantes se apoyaran de las
ideas de Alberto para seguir trabajando y poder determinar la forma general de la suma de los
primeros n números naturales.
Manuel empezó a buscar algunas relaciones y mencionó que si n podría ser cualquier número
entonces, el resultado podría ser 55+11 porque consideró que se necesita un resultado para
hallar el valor de n y completar la tabla, sugirió que si agregaba una literal x con valor de uno
podría ir calculando los valores de n [tabla 1], y además propuso otra tabla en donde
n=11[tabla 2]
Tabla 1 tabla 2
29
Se observó que cometió un error en la primera resta [n -10] porque el resultado ahí debió haber
sido uno, pero las demás operaciones las realizó de manera correcta. Mostró estos resultados
y el profesor le preguntó, ¿Cómo quedaría si no conocieras el valor de n? el estudiante dijo no
tener aún una respuesta, entonces se le sugirió revisar nuevamente lo que ya había propuesto
su compañero Alberto en el pizarrón y trabajar con ese resultado previo. Se dio un tiempo de
diez minutos más para trabajar. Alberto llamó al profesor para explicarle lo que había hecho.
El estudiante fue multiplicando los valores de la primera columna, el primero por el segundo
[1x2], el segundo por el tercero [2x3] y así de manera consecutiva y a cada resultado lo dividió
entre dos y obtuvo el valor, para cada n. Y cuando quiso encontrar la forma general para
calcular el valor de n propuso, n(n+1) y el resultado dividirlo entre dos. Demostró su forma
general con n=3.
Luna explicó que ella observó los datos de su tabla y se dio cuenta que podía calcular el valor
de n con la siguiente formula, n2- 1. Porque probó para n=2 y había obtenido el resultado
esperado, pero el profesor le pidió hacer pruebas para otros valores y entonces se dio cuenta
que su fórmula no era correcta.
Posteriormente comentó que ya había realizado otras anotaciones en donde explicó que n podía
tomar cualquier valor, por ejemplo si n=11, sumariamos once más cincuenta y cinco, nos daría
30
como resultado sesenta y seis, (como se muestra en la tabla que realizó). consideró que esto
solo funciona para valores mayores a los que ya se tienen, pero pensó que podría calcular la
sucesión de 1, 2, 3, 4,⋯, n, y seria (n+1) o (n+2), como ya lo había dicho que n podría ser
cualquier número tenemos hasta donde n= 4, adonde n seria la posición y según Luna, n podría
dar valor a otra incógnita, formando una formula dependiendo de la posición en la que se
encuentre, (n+m) aunque dijo no estar del todo segura, dio un ejemplo en donde n=5 y m toma
el valor del lugar en donde se encuentra cada figura. (El profesor se dio cuenta de que la
estudiante no tenía bien organizadas sus ideas porque primero dijo que n representa la posición
y después le dio el valor de la posición a otra incógnita a la que nombro m) no fue necesario
mencionarle su error, ella misma observó que la forma general que había propuesto no era
correcta, y dijo que no sabía que más hacer.
Como la mayoría de los estudiantes no pudo establecer la fórmula general para calcular la
suma, se les propuso realizar la suma utilizando una sucesión de figuras formadas por cuadros,
en las cuales los estudiantes contaron el número de cuadros que integraban cada figura desde
la figura uno hasta la figura n, y se les dijo que construyeran más figuras si lo consideraban
necesario.
Elisa, realizó más figuras hasta que observó un patrón de comportamiento, relacionando el
número de figura y los cuadros que la integran, explicó al profesor con la figura seis. Dijo
que la cantidad de cuadros para dicha figura, son seis en la base y seis en la altura, pero le
aumenta un cuadro imaginario a la base de tal forma que podría formarse un rectángulo de
base siete y altura seis y al multiplicar base por la altura [6 x 7] le dio como resultado cuarenta
y dos, lo dividió entre dos y obtuvo veintiuno, que es el número de cuadritos que integran la
figura número seis. Con esto Elisa concluyó que si quisiera utilizar este procedimiento para
cualquier número seria, n por n más uno [n (n+1)] siendo uno el cuadrito que le está
31
aumentando a la base de la figura y el resultado dividirlo entre dos para así obtener el número
de cuadros que tiene la figura n. La forma general que anotó fue la siguiente.
Después el profesor preguntó a Alberto si ya había llegado a la forma general para calcular
el número de cuadros que integran la figura n, Alberto realizó varias figuras y explicó el
procedimiento para calcular el número de cuadros para cada una. En la figura uno, es uno
más dos de la figura dos serian tres que son los cuadros que están en la figura dos, más tres de
la figura tres serian seis que es el número de cuadros de la figura tres, más cuatro de la figura
cuatro serian diez que son los cuadros que forman la figura cuatro, y entonces en la figura
cinco se da cuenta que puede formar un rectángulo, le agregó cuadros imaginarios y se dio
cuenta que le dio el doble de cuadros en relación a la figura original, entonces el profesor le
preguntó, y ¿para la figura n? , el estudiante respondió dibujando un rectángulo de base n+1 y
de altura n y multiplico n(n+1), pero como lo explicó en su figura cinco es el doble de los
cuadros, entonces para que salga el número de cuadros exactos se dividió entre dos,
concluyendo lo siguiente como resultado para la figura n.
Cabe mencionar que durante el desarrollo de este actividad Manuel no participó, pero se
identificó en sus hojas de trabajo que realizó varias figuras, de las cuales concluyó que si le
sumaba uno a la base y la multiplicaba por la altura, y dividía entre dos el resultado, podía
calcular el número de cuadros de cada figura, lo anterior lo demostró probando para la figura
32
uno, a la cual le agregó un cuadro imaginario entonces la figura quedo de dos de base por uno
de altura, multiplicó la base por la altura al resultado lo dividió entre dos y obtuvo uno que es
el número de cuadros que tiene la figura uno.
Luna le comentó al profesor, que ella realizó más figuras a partir de las cuales encontró la
fórmula. Ejemplificó el resultado con la figura cinco que se sabe está formada por quince
cuadritos, para obtener la fórmula ella agregó cuadros imaginarios, con esto la estudiante se
dio cuenta que esta actividad era similar a la tabla que estaba tratando de completar
anteriormente porque en el renglón cinco el valor era quince, al igual que la sucesión de
figuras, la figura cinco tiene quince cuadros a la cual le agregó cuadros imaginarios hasta
formar un rectángulo que si los sumamos todos los cuadros saldría el doble [30 cuadros] y si
lo dividimos entre dos seria quince que el número de cuadros que tiene la figura cinco y para
resolverlo multiplicó [5(5+1)] y al resultado que fue treinta lo dividió entre dos y obtuvo
quince. Explicó que el cinco eran los cuadros de la altura y [5+1] se refirió a la base de la
figura original más un cuadro imaginario. El profesor preguntó ¿cómo quedaría para la figura
n? , Luna respondió que si fuera n sería lo mismo solo que en lugar de números, iría n, y
escribió, 𝑛(𝑛+1)
2=
𝑛2+𝑛
2
33
En seguida se invitó a los estudiantes a explicar lo que habían realizado, pero no hubo
participaciones, entonces el profesor les planteó la siguiente pregunta: ¿Qué les pareció la
actividad? Algunos estudiantes dijeron que al principio un poco difícil pero que al final se
dieron cuenta que con todo lo que realizaron les ayudó, porque cuando trabajaron con las
figuras les fue más fácil.
Comentario. Se observó que una estudiante utilizó como primera estrategia sumar pares de
números que le daban el mismo resultado y posteriormente relacionó esta estrategia, con la
segunda forma que sugirió el profesor y esto le facilitó llegar a la solución, algunos no
entendieron las indicaciones para la primera parte. Las distintas formas en que se organizó la
información les facilitó a los estudiantes resolver la tarea, además se observó que a la mayoría
de los estudiantes les resulto más fácil resolver el problema con la sucesión de figuras. Esta
tarea les permitió modelar la información de diferente manera y con la sucesión de figuras se
les facilitó a los estudiantes identificar un patrón y llegar a la solución.
Algunos estudiantes manifestaron que al inicio de la actividad les pareció un poco difícil pero
al ir modelándola de diferentes formas se dieron cuenta que si relacionaban cada una de las
estrategias, se les facilitó obtener la solución. A pesar de que se les presentó la información a
los estudiantes de diferentes maneras, la actividad tuvo algunas limitaciones porque el profesor
no cuestionó a los estudiantes sobre cómo obtener la suma para otros valores particulares que
pudieran haberlos apoyado a centrar la atención en las operaciones que realizaban y así
lograran generalizar y expresar simbólicamente el resultado.
Estudiante Estrategia Conexiones Observaciones
Elisa
Sumó parejas de números que le
dieron el mismo resultado.
Transformó una suma en
producto.
Tuvo dificultades
para resolver el
problema cuando se
organizó la
información den una
tabla.
34
Alberto Sumó parejas de números pero no
se observaron regularidades y eso
no le permite simplificar.
No pudo establecer
conexiones por la
estrategia que utilizó.
Manuel Siguió la misma estrategia que
utilizó Alberto.
Observó los valores en la tabla y
estableció relaciones entre el
producto de los valores
consecutivos y el resultado.
Identificó patrones en las figuras.
Pudo expresar en forma
general la suma de los
numero naturales desde 1
hasta n y la probó
sustituyendo algunos en n.
Se le facilito llegar a
la forma general
cuando se le presento
la información
organizada en
sucesiones de
figuras.
Luna Realizó la suma termino a término.
Al observar a tabla y los valores
obtenidos por un compañero
propuso una forma general que no
fue la correcta pero a partir de ahí
pudo deducirla.
De una formula incorrecta
dedujo la forma correcta a
través de la sustitución de
valores y en la formula y
calculando resultado.
Llego a la formula
general después de
plantear una
conjetura incorrecta.
Conexiones. Lograron transformar una suma en producto además de que algunos estudiantes
establecieron relaciones entre las diferentes formas de modelar la información para facilitar la
solución de la tarea. Pudieron también relacionar una sucesión figurar con una suma de
números naturales consecutivos e identificaron las ventajas de la sucesión figural sobre la tabla
como medio para obtener la fórmula general.
ESTUDIANTE ELEMENTOS DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO.
Elisa Estableció relaciones. Cuando sumó parejas de números que le
dieron el mismo resultado, comunicó resultados cuando le explicó
al profesor la forma en que resolvió su tarea. Justificó resultados
cuando calculó el número de cuadros que integran la figura seis,
sustituyendo valores en su forma general.
Alberto Comunicó sus resultados, cuando explicó cómo obtuvo los
valores faltantes en su tabla a todo el grupo. Experimentó cuando
agrego (n+1) y (n+2) al final de su tabla y le dio valores de diez y
de once a n respectivamente en cada ecuación para calcular los
resultados. Estableció relaciones Cuando la información se
organizó en figuras integradas por cuadritos y cálculo el número
de cuadros para cada figura, sumando los numero de figura de
manera consecutiva.
Manuel Experimentó, cuando sumo los números de dos en dos aunque no
era lo que la tarea pedía. Estableció relaciones cuando desarrollo
la suma de los datos en forma de columna obteniendo un total de
ciento diez y dividir entre dos para llegar al valor correcto.
Cuando se les presento la información en una sucesión de figuras
Identificó patrones, al realizar más figuras en su cuaderno de las
cuales se apoyó para lograr establecer la forma general.
Luna Experimentó cuando se le presento la información en una tabla y
propuso que el valor del lugar n podría calcularlo con la formula
(n2-2) pero no fue la forma correcta.
35
4.2. Tarea 2. Sucesiones de figuras.
Observa la sucesión de figuras, completa la tabla y contesta lo que se pide.
Fig.1 Fig.2 Fig.3
No. de triángulos
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
No. de palillo.
No de bolas.
1.- ¿qué relaciones observan entre el número de triángulos que se forman y el número de
palillos que los integran?
2.- ahora que ya han comentado las relaciones que existen entre el número de triángulos y el
número de palillos que los integran contesten:
¿Si hablamos de la figura “n” cuanto palillos la integran?
Elisa consideró a n igual al número de palillos que integra a cualquier figura y propuso para
la figura uno que n= 3 y entonces le sumó tres y obtuvo seis, a este resultado lo dividió entre
dos, y le dio como resultado tres, que es el número de bolas que están en la figura uno, se le
preguntó que si el procedimiento también funcionaba para obtener el número de elementos de
la figura dos. Elisa realizó las operaciones, supuso que n=4, y sumó cuatro más tres, obtuvo
siete y al dividirlo entre dos no obtuvo un número entero y se dio cuenta que la conjetura que
había propuesto no era la correcta. [Pero no se dio cuenta que en realidad la figura dos está
integrada por cinco palillos y no por cuatro como ella lo propuso] el profesor le pidió observar
bien sus operaciones.
Posteriormente Elisa dijo que n+ 2 sería igual al número de palillos que integra cada figura,
porque el dos representa los palillos que aumenta cada figura, el profesor preguntó, ¿cuánto
valdría n en la figura cuatro? [con la finalidad de que la estudiante observara que n representaba
el número de figura y en el caso de la figura cuatro n sería igual a cuatro] pero como no es un
numero de figura muy grande, la estudiante contesto de manera correcta, si n representara el
36
número de palillos en la figura cuatro n valdría 7, entonces el profesor le preguntó ¿para la
figura n cuál sería el valor?, como no pudo contestar se le sugirió observar qué relación había
entre el número de figuras y el número de palillos y también la relación entre el número de
bolas y de número de figura. Después de observar sus figuras y los resultados de la tabla Elisa
concluyó que n seria el número de la figura y la forma de calcular el número de palillos que
integra la figura n seria sumando dos veces n más uno, [2n+1], posteriormente propuso que la
forma general para calcular el número de bolas que están dentro de cualquier figura seria n+2
Alberto sugirió sumar el número de la posición de una figura y el número consecutivo a ésta,
y al resultado lo consideró como el número de palillos de la figura más pequeña, de las dos
que se estaban sumando. Para obtener el número de palillos de la figura número cuatro sumó
cuatro más cinco son nueve [nueve es el número de palillos de la figura cuatro], y así
sucesivamente. El profesor le preguntó ¿cuál sería el número de palillos para la figura n?
Alberto dijo que si después de la figura 10 esta n entonces la figura n seria diez y la que sigue
seria la figura n+1 y entonces el número de palillos seria n+(n+1) a lo que el maestro le
preguntó, ¿Así quedaría el resultado? O ¿podrías expresarlo de otra manera? Y el estudiante
respondió que también podría ser dos n más uno [2n+1], Alberto comentó que para la calcular
el número de bolas de la figura n, seria n+ 2. Con lo anterior pudimos observar que el número
de palillos en la figura n es igual a 2n+1 y el número de bolas es n+2.
Posterior a la explicación de Alberto, Manuel comentó que para calcular el número de bolas,
la variable n seria el número de figura. Por ejemplo, cuando n es uno se le sumaron dos y el
resultado fue tres, si n era dos se le sumó dos, el resultado fue cuatro, y así de esta forma
encontraríamos el número de bolas, pero no pudo representar el número de bolas para la figura
n de manera simbólica. Manuel explicó que para el número de palillos, si n=1, sería uno, más
uno, más uno, obtuvo como resultado tres [1+1+1=3] que es el número de palillos de la figura
uno, o si n=2, seria dos más dos, más uno, dio cinco [2+2+ 1 =5] que es el número de palillos
de la figura dos, porque n representa el número de la figura de la que estamos hablando. El
37
profesor le preguntó ¿Cómo representó el número de palillos para la figura n? El estudiante
respondió que era n más n más uno, [n+(n+1)] y dijo que para el número de bolas de la figura
n, seria n+2.
Se solicitó la participación de algún estudiante más pero no hubo una respuesta favorable.
Luna permaneció muy callada durante el desarrollo de la actividad pero al observar su trabajo
escrito se pudo identificar que realizó una figura más para poder completar la tabla y responder
las preguntas. En el renglón de la tabla correspondiente al número de triangulo, ella agregó el
triángulo n para calcular el número de palillos y de bolas respectivamente. En sus notas
manifestó que la relación de la primera figura es que se le suma dos palillos y dos bolas al
número de figura, [solo para la figura uno] posteriormente escribió que por cada dos palillos
aumentaba una bola. Y concluyó que para calcular el número de palillos para la figura n será
2n+ 1 y para calcular el número de bolas será n+2, en donde n representó el número de figura
para cada dos caso.
Comentario. Al inicio de esta tarea se observó que los estudiantes propusieron una fórmula,
la cual buscaron validar dándole valores a n, pero observaron que la fórmula solo daba el
resultado correcto con un valor y al pedirles que probarán para otros valores se dieron cuenta
que su conjetura no era correcta. Los estudiantes observaron la sucesión de figuras e incluso
algunos de ellos realizan una figura más, con la finalidad de identificar un patrón y así pudieron
proponer una solución a la tarea.
38
Se identificó que el agregar preguntas adicionales a las sucesiones de figuras, les apoya a los
estudiantes a observar relaciones e identificar patrones que les permitió establecer conjeturas
las cuales pueden comparar y compartir con sus compañero y así resolver el problema.
Estudiante Estrategia Conexiones Observaciones
Elisa
Propuso unas fórmulas que eran
incorrectas pero a partir de ellas
dedujo las correctas.
Sustituyó valores para
demostrar que su forma
general propuesta era
correcta.
Se le sugirió observar la
relación que existía entre
el número de figura y el
número de palillos y
número de bolas.
Alberto Identificó relaciones entre el
número de la figura y el número
de palillos que contiene.
Utilizó la factorización para
expresar la forma general de
diferente forma.
Le fue fácil observar
relaciones entre las
figuras.
Manuel Estableció relaciones entre el
número de figura y el número
de bolas.
Sustituyó valores para
justificar sus resultados.
Después de observar
relaciones propuso dos
formas de representar la
forma general que
representa el número de
palitos para la figura n
Luna Realizó una figura as para
identificar un patrón, estableció
relaciones entre el número de
palillos y el número de bolas.
Pudo expresar una formula a
partir de observar patrones.
Solo realizó el trabajo en
su cuaderno.
Conexiones. Los estudiantes emplearon métodos de factorización para llegar a la forma
general solicitada, además realizaron sustitución de valores para probar sus resultados. Fueron
capaces de realizar generalizaciones de forma verbal y conectar esas generalizaciones con las
expresiones simbólicas correspondientes. En esta tarea el uso de una tabla les permitió
identificar las regularidades que fueron útiles para solucionar el problema.
ESTUDIANTE ELEMENTO DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO.
Elisa Experimentó, cuando dijo que n era igual al número de palillos que integraba
cada figura, pero su conjetura solo se cumplía para la figura uno.
Alberto Estableció relaciones, entre la suma de los números de triángulos y el número de
palillos que las integran, a partir de esto estableció las siguientes conjeturas,
2n+1= al número de palillos de la figura n y n+2= al número de bolas que
contiene la figura n.
Manuel Experimentó, dándole valores a n de acuerdo al número de figura, comunicó sus
resultados mediante ejemplos en los cuales les dio valores a n de acuerdo al
número de figura.
Luna Identificó patrones al realizar una figura más, independientemente de las que
sugirió la tarea.
39
4.3. Tarea 3. Cuadros que atraviesa una diagonal en una cuadrícula de n x m.
En un rectángulo formado por cuadrados ¿cuantos cuadrados cortara una diagonal trazada
entre dos de sus vértices cuando hablamos de un rectángulo de n x m cuadritos? Para este
problema se sugirió a los estudiantes realizar rectángulos de diferentes medidas formados por
cuadros de uno por uno y que trazaran la diagonal entre dos de sus vértices para que observaran
y analizaran casos particulares como un medio para obtener un resultado general para una
cuadrícula de n x m.
Elisa explicó que ella había realizado rectángulos de diferentes medidas, y observó, que para
calcular el número de cuadros de un rectángulo de base par, sumó la base más altura y al
resultado le restó dos; Y en los de base impar, sumó la base más la altura y al resultado le resto
solo uno y así calculo el número de cuadros que corta la diagonal en un rectángulo de base
impar, para justificar su afirmación propuso como ejemplo un rectángulo de base par con las
siguientes medidas, altura dos y de base cuatro, en donde la suma de la base más la altura da
como resultado seis, le restó dos y obtuvo cuatro y este fue el número de cuadros que corto la
diagonal. Después utilizó un rectángulo de base impar con medidas de base cinco y de altura
dos que al sumarlas obtuvo siete menos uno el resultado fue seis, siendo este el número de
cuadros que corta la diagonal de un rectángulo de base cinco y altura dos.
Se le preguntó a la estudiante que si las medidas fueran n y m, cuando son pares y cuando son
impares, ¿Cómo quedaría el resultado?, la estudiante dijo que aún no lo sabía, entonces se le
sugirió seguir trabajando para encontrar la respuesta. Elisa realizó más figuras, además
también se proyectaron algunas en el pizarrón. La estudiante escribió las medidas para cada
figura, el total de la suma de su base y su altura, también el número de líneas verticales y el
número de cuadros que corta la diagonal y en base a estas anotaciones propuso que para un
rectángulo de n por m la forma general seria [(n+m)-1] cuando el resultado de sumar la base
más la altura es impar y [(n+m)-2] para cuando el resultado es par, pero al realizar la
40
comprobación no le resulto correcto para todas las figuras entonces se le pidió seguir
trabajando y de ser posible construir más figuras para poder establecer la respuesta correcta.
Alberto dibujó diversos casos particulares, a partir de los cuales estableció que hay dos formas
generales de responder el problema, una para cuando la base y la altura son números pares,
para este caso dijo que en un rectángulo de n por m, la forma general es [ 𝑛.𝑚
2 ] y la prueba para
un rectángulo de dos por ocho, (2)(8)
2= 8 siendo ocho el número de cuadros que corta la
diagonal, y para cuando la base y la altura son impares, el número de cuadros que cortara una
diagonal para un rectángulo de (n) (m) seria 𝑛.𝑚
2+ 1, y probo para un rectángulo de (2) (3),
(2).(3)
2+ 1 = 4 , siendo cuatro el número de cuadros que corta la diagonal.
Se le pregunto si esas formas generales que propuso, pueden ser utilizadas para cualquier
rectángulo sin importar la medida de la base y la altura, a lo que respondió que dependiendo
la altura será el número entre que se divida y a el número entre que se divida se le irá restando
uno, para sumarlo al resultado de la división, dio un ejemplo de figuras con lados impares, si
es de altura tres y de largo cinco, seria tres por cinco igual a quince, entre tres, seria cinco,
más dos obtuvo siete. (3).(5)
3+ 2 = 7, y siete es el número de cuadros que corta la diagonal
dentro de un rectángulo de tres por cinco, y se le volvió a preguntar ¿cómo sería la fórmula
para el de altura cuatro?, y explicó que cambiaría la división, seria entre cuatro y en lugar de
sumar dos, le sumaria tres, posteriormente se le pido respondiera ¿Cuál sería la fórmula para
un rectángulo de (n) (m)?
El estudiante manifestó no tener aún esa forma general, [ se dejó a los estudiantes trabajar un
tiempo, pero además se les proyectó en el pizarrón algunas figuras que fueron solicitadas por
algunos estudiantes] como no había mucha participación el profesor indico que si alguno de
los estudiantes lo deseaba podía pasar al pizarrón para compartir lo que habían trabajado, [con
41
el objetivo de que los estudiantes compartan sus ideas y solucionen el problema] la mayoría
de las aportaciones que hicieron contribuyeron a que quisieran encontrar la forma general de
manera grupal. Uno de los estudiantes propuso, que para cuando m y n son múltiplos la
formula podría ser [n+m-n] o solo m. al observar la formula los estudiantes manifestaron estar
de acuerdo por lo que se les preguntó, ¿cómo podrían expresarlo para las siguientes figuras?
[Se dibujó lo siguiente en el pizarrón]
Comentaron que podría ser la suma n + n igual a m en el caso de la segunda figura cuando n=2
y m=4, dijo que sería 2+2=4 y como m=4, lo mismo podría ser para otras figuras que sean
similares como estas [se refirió a las figuras que puso el profesor] Alberto manifestó no estar
de acuerdo y explicó su razón con un contraejemplo, dijo que para una figura de altura dos y
de largo seis y otra figura de altura seis y de largo dos, no se cumple porque si n= 2, [n+n]
sería [2+2=4] no daría seis y explicó que de acuerdo a lo que ya habían comentado los
compañeros, el concluyó que en un rectángulo de n por m el número de cuadros que cortara
una de sus diagonales será igual al lado más largo de la figura si m y n son múltiplos.
Como los estudiantes coincidieron en esta conclusión, se les solicitó, generalizar la forma para
calcular el número de cuadros que corta una diagonal dentro de un rectángulo de n por m
cuando n y m no son múltiplos, y les dio un ejemplo en el pizarrón.
42
Alberto propuso la siguiente conjetura, que es m más uno [m+1], por ejemplo para una figura
que su base y su altura no son múltiplos, altura tres y base cinco, tomó en cuenta que el lado
más largo era m y el más corto era n, la formula seria m+1 y si m=5 entonces en un rectángulo
de cinco por tres la diagonal corta seis cuadros. Después de que el estudiante explicó y dio su
resultado a todo el grupo un compañero le dijo que en ese rectángulo que propuso la diagonal
corta siete cuadros y no seis, Alberto quiso demostrarle que su conjetura era pero al observar
nuevamente su planteamiento se dio cuenta que había cometido un error. El profesor preguntó
al grupo si deseaban participar, como varios quisieron hacerlo desde su lugar [Entonces se dio
un espacio para que los estudiantes dieran sus comentarios y propuestas para resolver el
problema].
Observaron que si se suma el largo más el ancho y al resultado le restaban uno obtenían el
número de cuadros que corta una diagonal en un rectángulo de n por m cuando n y m no son
múltiplos, y obtuvieron evidencia adicional para sustentar la conjetura proponiendo como
ejemplo un rectángulo de medidas de tres por ocho, que le solicitaron al profesor les proyectara
en el pizarrón.
Al proyectar la figura el profesor preguntó ¿Cuántos cuadritos cortaran su diagonal? los
estudiantes contestaron que los cuadros que cortara la diagonal de esa figura serán diez. [Que
es el resultado de sumar ocho de la base más tres de la altura y al total restarle uno] [8+3]-
1=10, concluyeron que hasta ese momento su conjetura era correcta, por lo tanto se les pidió
que probaran para otra figura que no tenga de altura tres, y lo hacen con un rectángulo de
cuatro por nueve, e inmediatamente Alberto respondió que para esa figura el número de
cuadros que cortara la diagonal será de doce, entonces se les proyectó la figura.
Y los estudiantes contaron señalando los cuadros que va cortando la diagonal de esa figura y
efectivamente la respuesta de Alberto fue la correcta. [De acuerdo a lo realizado por Alberto
el número de cuadros que corta una diagonal en un rectángulo de n por m es igual al lado más
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largo de la figura, cuando m y n son múltiplos. Y será igual a [n+m]-1 cuando m y n no son
múltiplos]
Manuel realizó rectángulos de diferentes medidas, y explicó que en una figura de base impar
el número de cuadros cortados por la diagonal será equivalente al número par siguiente. Puso
el ejemplo de un rectángulo de base tres [número impar] y de altura dos, en donde la diagonal
corta cuatro cuadros y para una figura de base cuatro [que es par] también corta cuatro cuadros.
Siguió con más ejemplos señaló la figura cinco y conto los cuadros que corta la diagonal,
dándole un total de seis y posteriormente realizó lo mismo en una figura de base seis y altura
dos; Contó, uno, dos, tres, cuatro, cinco y seis, lo mismo observó cuando comparó una figura
de base uno y altura dos y otra de base dos y altura dos en donde las diagonales para cada
figura cortan dos cuadros respectivamente entonces manifestó que por lo que observa debe de
haber una regla, el profesor le pido encontrar esa regla. [Se le dio un tiempo más para que
observara y de ser necesario realizara más figuras]
Después de un tiempo, el estudiante dijo haber encontrado una fórmula, que inicialmente
quedo de la siguiente forma [n+m-n] pero al agregarle valores numéricos como n=2 y m=4,
observó que solo puede escribir m, y esto le sirvió para calcular el número de cuadros que corta
una diagonal en rectángulos que sus lados son números pares, dicho de otra forma cuando los
lados de un rectángulo son múltiplos. El profesor preguntó si tengo un rectángulo de n por m.
¿Cuantos cuadritos cortara una diagonal si n y m son múltiplos? El estudiante respondió que
el número de cuadros que cortara la diagonal será equivalente a m. Y se le plantearon las
siguientes figuras.
44
Figura 1 Figura 2
Se le preguntó y para esta figura [refiriéndose a la figura 1] ¿Cuál será? ¿Se cumplía? Lo que
había propuesto, que el número de cuadros que corta la diagonal, es igual a m, sus compañeros
contestaron que no, entonces se les preguntó que si estaban de acuerdo que en las dos figuras
n y m eran múltiplos, y respondieron que sí, a lo cual se les pregunto ¿Qué representa el
número cuatro en esas figuras?, con la finalidad de que los estudiantes observaran las
características de la figura de manera independiente a las literales n y m un estudiante
respondió que el número cuatro representaba el lado más largo de cada figura.
[Ahora solo faltaba que los estudiantes pudieran expresarlo, se dio un tiempo de trabajo grupal
en el cual algunos participaron tratando de poder expresar la solución] Manuel dijo que tal
vez se podría representar con n y N según el tamaño de la base o la altura, pero el profesor le
dijo que no era correcta esa forma.
Un estudiante comentó que el número de cuadritos cortados por la diagonal de un rectángulo
de n por m será equivalente al lado más largo de la figura cuando m y n son múltiplos. Manuel
estuvo de acuerdo con su compañero pero dijo que ahora faltaba calcular para cuando m y n
no eran múltiplos, por lo tanto se les propuso una figura para que pudiera calcular el número
de cuadritos para cuando n y m no son múltiplos.
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Al observar la figura algunos estudiantes proponían que era la misma respuesta que aplicaban
para cuando n y m son múltiplos solo que ahora se le restaba uno [m-1]. Manuel dijo que no
puede ser [m-1] porque en el caso de un rectángulo de tres por cinco, m vale cinco y menos
uno daría cuatro y la diagonal de ese rectángulo no corta cuatro cuadros, pero observó que si
sumaba n+m y al resultado, le restaba uno, entonces sí podría encontrar el número de cuadros
que corta la diagonal porque ya lo había probado para un rectángulo. Por lo cual se pidió a
todos los estudiantes probar para un rectángulo de tres por ocho que se proyectó en el pizarrón,
y se les preguntó, ¿cuántos cuadritos cortarán la diagonal en esta figura? Manuel respondió
que diez, y al observar la figura comprobamos que efectivamente la diagonal de ese rectángulo
corta diez cuadros, posteriormente se puso una figura de cuatro por nueve, los estudiantes
utilizaron la forma de [(n+m)-1] y dijeron que la diagonal en ese rectángulo cortara doce
cuadros, y se proyectó la figura en el pizarrón.
Y al contar los cuadros que corta la diagonal efectivamente son doce. Con esto Manuel
concluyó que se obtuvieron dos fórmulas una para cuando n y m son múltiplos [el número de
cuadros que corta la diagonal cuando n y m son múltiplos será equivalente al lado más largo
de la figura] y para cuando n y m no son múltiplos será [(n+m)-1], manifestó que para llegar a
esas conclusiones tuvo que ir realizando pruebas con distintas figuras lo cual le ayudó bastante
para establecer las formulas. Para este problema Luna no participó y todos los trabajos que
realizó estuvieron orientados en base a lo que iba realizando Manuel.
Comentario. En esta tarea se les mostro a los estudiantes solo algunas figuras como ejemplos,
y se les sugirió experimentar con más si lo consideraban necesario, las cuales les ayudarían a
identificaran características y podrían anotar sus observaciones. Los estudiantes compartieron
sus ideas a todo el grupo para poder establecer la solución a esta tarea, además de que el
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profesor les apoyo proyectando figuras que ellos solicitaron con la ayuda de un software y los
guio mediante preguntas. Cuando los estudiantes creyeron ya tener las formas generales para
cada rectángulo de acuerdo a sus características se les pidió demostrar sus conjeturas para un
rectángulo de altura dos y base cuatro y otra de altura cuatro y base dos, de lo cual concluyeron
que el número de cuadros que corta una diagonal de un rectángulo de (n)(m) si m y n son
múltiplos será equivalente al lado más largo de la figura, y para cuando m y n no son múltiplos
el resultado será [(n + m)-1]. Se observó que los estudiantes abordaron esta tarea ya con una
forma matemática de pensar porque empezaron a tomar el hábito de identificar patrones al
darse cuenta que la información estaba organizada en figuras, y así como también establecer
relaciones como lo habían realizado en la tareas anteriores. En algún momento se dio la
interacción entre los estudiantes para comunicar sus ideas y eso también les apoyó para
resolver la tarea.
Estudiante Estrategia Conexiones Observaciones
Elisa Realizó figuras de diferentes
medidas, con las cuales trato de
identificar algún patrón.
Sumó la altura más la
base en cada figura, e
identificó la relación que
existía entre esta suma y
el número de cuadros
cortados por la diagonal.
No logró llegar a una
forma general.
Alberto Realizó figuras rectangulares, de las
cuales estableció que existía una
formula, para figuras de base y altura
par, y otra para cuando no son pares.
Expresó las siguientes
formulas [ 𝑛.𝑚
2 ] para
figuras de altura y base
par, y 𝑛.𝑚
2+ 1 para
figuras de altura y base
impar y sustituyo valores
en cada una para
comprobarlas.
A pesar de establecer dos
fórmulas y comprobar
con valores cada una de
ellas no logró expresar e
manera concreta las
formas generales para
una figura de (n)(m)
Manuel Al igual que sus compañeros también
trazó más figuras de diferentes
medidas con la finalidad de observar
algún patrón y poder determinar la
forma general.
Identificó características
de las figuras y planteó
las formas generales de
acuerdo a las
características y
mediadas de la base y la
altura.
El estudiante tomó la
opinión de varios
compañeros para poder
establecer las formas
generales.
Luna No tuvo participaciones.
Conexiones. Los estudiantes tuvieron que identificar las características de los rectángulos de
acuerdo con las medidas de la base y su altura y en base a sus observaciones poder determinar
dos formas generales que determinan el número de cuadros que corta la diagonal que se traza
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entre los vértices de un rectángulo de (n) (m), sin importar cuál de las literales represente la
base y la altura.
ESTUDIANTE ELEMENTO DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO.
Elisa Experimentó, trazando rectángulos de diferentes medidas,
comunicó sus resultados cuando explicó como ella propuso calcular
el número de cuadros que corta una diagonal dentro de un
rectángulo de base par y de altura impar.
Alberto Estableció conjeturas para calcular el número de cuadros que corta
la diagonal dentro de un rectángulo según las características de su
base y su altura seria, 𝑛.𝑚
2 para la base y la altura par, y
𝑛.𝑚
2+ 1 para
rectángulos de base y atura impar. Comunicó resultados cuando
explicó sus fórmulas dándoles valores a n
Manuel Experimentó realizando rectángulos de diferentes medidas, delos
cuales estableció la conjetura [n+m-n] para calcular el número de
cuadros que corta una diagonal dentro de un rectángulo que sus
lados son pares, comunicó sus resultados cuando explicó un
ejemplo de un rectángulo de altura dos y base cuatro, en el cual al
sustituir los valores y realizar las operaciones observo que en la
formula el resulto da solo podía ser m.
Luna
No tuvo participaciones.
4.4. Tarea 4. Número de cuadrados
Observa los siguiente cuadrados y responde ¿cuantos cuadros se pueden forman dentro de cada
uno de los cuadrados siguientes?, ¿cuantos se forman en un cuadro de n por n?
1 2 3 … n
Para la, solución de este problema los estudiantes realizaron más figuras además de las que
se les sugirió y solo algunos hicieron comentarios a todo el grupo apoyándose del pizarrón,
Manuel observó que para cada figura va aumentando el número de cuadros, Puso el ejemplo
de la figura tres, y dijo que se forman cuadros de tres por tres, de dos por dos y de uno por uno,
48
y para la figura cinco hay de uno por uno, de dos por dos, de tres por tres, de cuatro por cuatro,
de cinco por cinco y realizó el siguiente registro.
Propuso, que para calcular el número de cuadros que se forman en cada figura, solo hay que
calcular el número de cuadros de medidas uno por uno, y sumarle el total de los cuadros que
se forman en la figura anterior. Explicó a su compañero Alberto, que cuando n=3, si es n 2 el
resultado sería nueve, más cinco cuadros de la figura anterior obtuvo catorce que es el número
de cuadros de la figura tres. Y para la figura cinco seria cinco por cinco nos da veinticinco,
más treinta de la figura anterior obtuvo cincuenta y cinco que es el número de cuadros que se
pueden formar en las figura cinco. Otro estudiante comentó que la figura seis, será treinta y
seis más cincuenta y cinco de la figura cinco, el resultado fue noventa y uno [55+36=91] que
es el número de cuadros que se pueden formar en la figura seis.
Una de sus compañeras le pidió explicara lo que había realizado, y Manuel explicó en el
pizarrón que primero se había dado cuenta que en cada, una de la figura se aumentaba ciertos
cuadritos como por ejemplo, la figura uno tiene un cuadrado, y la figura dos tiene dos
cuadrados de altura y dos de largo, en este caso el total de la figura uno, es uno y para la figura
dos el total de n por n [a si tomó a los lados de la figura dos] que son dos por dos es cuatro,
más el uno que es como si estuviéramos contando este de afuera [señaló el perímetro de la
figura dos] serán cinco.
49
Posteriormente, se apoyó de unas figuras que ya estaban en el pizarrón y dentro de una de ellas
remarcó un cuadro de tres por tres, multiplicó tres por tres, el resultado es nueve y le sumo
cinco que es el número de cuadros de la figura anterior y obtuvo catorce que es el número de
cuadros de un centímetro que se pueden formar en un cuadro de tres por tres. El estudiante
manifestó que esto le funcionaba para números más grandes. Y realizó la operación para un
cuadrado de cuatro por cuatro, dijo son catorce de la figura anterior, más dieciséis [que fue el
resultado de multiplicar cuatro por cuatro] son treinta. Al terminar se le preguntó ¿Cuántos
cuadros se formaran en un cuadro de seis por seis? y respondió noventa y uno, porque son
treinta y seis, más veinticinco [del cuadro de cinco por cinco] más dieciséis [del cuadro de
cuatro por cuatro] más nueve [del cuadro de tres por tres] más cuatro [del cuadro de dos por
dos] más uno [del cuadro de uno por uno.] Por último se le preguntó ¿cuántos cuadros se
formaran en un cuadro de siete por siete? Manuel respondió rápidamente que serían ciento
cincuenta, porque son noventa y uno de la figura anterior más cuarenta y nueve [del cuadro de
siete por siete].
Explicó que llego a esa conclusión porque al ir contando los cuadros se dio cuenta que en el
siguiente se multiplicaba n por n o n2 y a ese resultado le faltaba el número de cuadritos de la
figura anterior para calcular el número de cuadros que se forman, pero manifestó que ahora el
problema era como representar la figura anterior, se le preguntó a todo el grupo si tenían alguna
forma de representar lo que propuso su compañero, pero la respuesta fue negativa, por lo tanto
se les pidió realizar un registro con las figuras que hasta ese momento habían trabajado y que
trataran de identificar como podrían plantear la forma general.
Después de trabajar un tiempo y de compartir ideas con sus compañeros, Manuel comentó
que despendiendo de la posición en que este la figura, es como se va a multiplicar, por ejemplo
la figura uno sería uno por uno, la dos será dos por dos, la tres, tres por tres, cuatro por cuatro
50
para la figura cuatro y cinco por cinco en la figura cinco, y así podría ir pasando de posición
en posición, por lo cual se le hizo la siguiente pregunta ¿Qué tendría que hacer para calcular
el número de cuadros que se pueden formar en un cuadro de n por n? Luna dijo que se tendría
que elevar los numero naturales al cuadro y posteriormente sumarlos, Manuel dio el ejemplo
de la figura uno y la figura dos, donde es uno por uno igual a uno y dos por dos es igual a
cuatro, respectivamente y al sumarlos el resultado es cinco, que es el número de cuadros que
se forman en la figura dos. El profesor le preguntó a todo el grupo, ¿Qué tendríamos que hacer
en un cuadro de veinte por veinte? Manuel respondió que tendrían que ir sumando uno, más
dos al cuadrado, más tres al cuadrado y así hasta llegar a veinte al cuadrado, después de
comentar lo anterior se solicitó a los estudiantes escribieran como quedaría la suma para
calcular el número de cuadros en un cuadrado de seis por síes.
Humberto pasó al pizarrón y anotó 12+ 22+32+42+52+62= 1+4+9+16+25+36= 91. Mientras el
anotaba en el pizarrón, Manuel calculaba para un cuadro de siete por siete y comentaba que
el resultado era ciento cuarenta y después para un cuadro de ocho por ocho dijo que serían
doscientos cuatro. Al observar lo que Humberto escribió y escuchar los comentarios de
Manuel, se les cuestiono a los estudiantes a que les recordaba la suma que Humberto había
escrito [12+ 22+32+42+52+62=] Manuel recordó que ya habían resuelto un problema similar
solo que era la suma de los números naturales del uno a diez, Luna comento que se tenía que
sumar una secuencia de números y anoto en el pizarrón, 1+2+3+4+(---)+9+10= ,recordó que
la representaron de la siguiente manera 𝑛2+𝑛
2 , se les pregunto ¿cuál era la diferencia entre la
suma que recordaron y la suma que plantearon para calcular el número de cuadros? Los
estudiantes identificaron que la diferencia era que para calcular los cuadros que se forman en
un cuadrado los números consecutivos que se suman están elevados al cuadrado y concluyeron
diciendo que es una suma de cuadrados, que se puede utilizar para calcular en número de
cuadros que se forman dentro de un cuadrado de n por n.
Después de la conclusión anterior se les pidió establecer una forma general para representar el
número de cuadros que se forma en un cuadrado de n por n, algunos trataron de encontrar la
forma general estableciendo formulas y trataban de comprobarlas con algunos valores pero se
dieron cuenta sus conjeturas no eran correctas, al observar que los estudiantes no lograban
avanzar se les propuso la siguiente igualdad, (k+1)3 – k3 = 3k2 + 3k + 1, en la que tuvieron
51
que sustituir los distintos valores de k, k=1, k=2,k=3, k=4, k=5, k=n, para lo cual se les dio
un tiempo aproximado de diez minutos. Después de que los estudiantes trabajaron se solicitó
si alguno de ellos quería compartir su trabajo, y Alberto decidió pasar al pizarrón en donde
anotó lo siguiente:
(1 + 1)3 − 13 = 3(1)2 + 3(1) + 1
(2 + 1)3 − 23 = 3(2)2 + 3(2) + 1
(3 + 1)3 − 33 = 3(3)2 + 3(3) + 1
(4 + 1)3 − 43 = 3(4)2 + 3(4) + 1
(5 + 1)3 − 53 = 3(5)2 + 3(5) + 1
⋮
(𝑛 + 1)3 − 𝑛3 = 3(𝑛)3 + 3(𝑛) + 1
Luna dijo que ella lo había expresado de una forma distinta por lo cual se le dio la oportunidad
de anotar en el pizarrón y escribió: (2+1)3 -23 = [(3) (2)2] + [(3) (2)]+1 para cuando k=2, y al
terminar de escribir su ejemplo luna concluyó que es lo mismo solo que ella le había agregado
corchetes.
Posteriormente se les preguntó a los estudiantes, ¿de qué forma podrían reducir cada igualdad?,
Alberto señaló la siguiente igualdad, (1+1)3- 13= 3(1)2+3(1)+1 y sugiere realizar todas las
operaciones que la igualdad indica, pero el profesor le pide que antes de realizar todas las
operaciones solamente se lleve a cabo la adición que esta elevada al cubo, Alberto respondió
que para cuando k=1 sería uno más uno al cubo (1+1)3 es igual a dos al cubo menos uno y
esto es igual a tres por uno al cuadrado más tres por uno, más uno. [23-13= 3(1)2 + 3(1) + 1].
Y dijo que prácticamente era lo mismo que solo estaba cambiando la parte que se eleva al
cubo, exactamente contesto el profesor a la vez que solicitó a los estudiantes realizaran lo
mismo encada una de sus igualdades. Después de un tiempo de trabajo algunos estudiantes
pasaron al pizarrón a anotar como había quedado cada una de las igualdades, pero falto cuando
k=n, entonces Luna decide pasar al pizarrón y escribió lo siguiente: [(n+1)3-
n3=3(n)2+3(n)+1], para concluir el registro que se realizó en el pizarrón.
52
(1 + 1)3 − 13 = 3(1)2 + 3(1) + 1
(2 + 1)3 − 23 = 3(2)2 + 3(2) + 1
(3 + 1)3 − 33 = 3(3)2 + 3(3) + 1
(4 + 1)3 − 43 = 3(4)2 + 3(4) + 1
(5 + 1)3 − 53 = 3(5)2 + 3(5) + 1
⋮
(𝑛 + 1)3 − 𝑛3 = 3(𝑛)3 + 3(𝑛) + 1
Se les preguntó a los estudiantes si todos estaban de acuerdo, la respuesta fue afirmativa, solo
Humberto manifestó que lo que estaban realizando no eran igualdades y pasó al pizarrón a
explicar por qué él decía eso, pero al realizar la explicación se dio cuenta que había cometido
un error, al desarrollar las operaciones y por lo tanto lo que el afirmaba no era cierto.
Posteriormente se les solicitó escribir la suma en forma de renglón, y al paso de un tiempo
el profesor invito a que alguno de los estudiantes pasara a escribir como quedo la suma, Alberto
pasó a anotar lo siguiente:
(23-13)+(33-23)+(43-33)+(53-43)+(63-53)+-- -+(n+1)3n3)= [3(1)2+3(1)+1]+[3(2)2+3(2)+1]+
+[3(3)2+3(3)+1] +[3(4)2+3(4)+1] + [3(5)2+3(5)+1]+---+[3(n)2+3(n)+1]
En seguida se les pedio a los estudiantes realizar operaciones de tal forma que la igualdad
quede más reducida, Alberto realizó la suma de los elementos positivos y la de los elementos
negativos y propuso que la primera parte de la igualdad quedaría de la siguiente forma [203 –
153 +---+ (n+1)3-n3=], el profesor dijo que esa forma no es útil para lograr el resultado que se
estaba buscando y preguntó a los estudiantes, si ¿ tenían otra forma distinta a lo que realizó
53
Alberto?, pero no hubo una repuesta, por lo cual se les explicó que podrían restar los términos
negativos a los términos positivos, por ejemplo dos al cubo menos dos al cubo, tres al cubo
menos tres al cubo, y así sucesivamente hasta el número n, además también se les dieron
ejemplos de factorización de términos semejantes en una suma de productos que les sirvió a
los estudiantes para factorizar el lado derecho de la igualdad.
[23-13)+(33-23)+(43-33)+(53-43)+(63-53)+ - - -+(n+1)3-n3)=[3(1)2+3(1)+1]+[3(2)2+ 3(2)+1]+
[3(3)2+ +3(3)+1] +[3(4)2+3(4)+1] + [3(5)2+3(5)+1]+---+[3(n)2+3(n)+1]
Después de escuchar y observar la sugerencia que les hizo el profesor, Alberto explicó que el
lado izquierdo de la igualdad quedo de la siguiente manera [1+(n+1)3=] y en el lado derecho
factorizó términos semejantes.
[(3(1)2+3(1)+1)+(3(2)2+3(2)+1)+(3(3)2+3(3)+1)+(3(4)2+3(4)+1)+ +(3(5)2+3(5)+1)+---+
3(n)2+3(n)+1], por lo tanto la igualdad quedo así:
-1+(n+1)3 = 3(12+22+32+42+52+---+n2) + 3(1+2+3+4+5+---+n)+n
Al observar que al lado derecho de la igualdad le sumo n, se le preguntó ¿porque le sumó n?
el estudiante respondió que de acuerdo a lo que le había explicado el profesor, como se está
sumando un uno a cada igualdad y como no sabemos el número de igualdades que estamos
sumando solo que llegan hasta n por eso al final le sumó n, porque el uno se repite n veces.
Posteriormente se pidió a los estudiantes observaran el planteamiento de Alberto, les dijo que
una de las sumas que están en la parte derecha de la igualdad ya la habían trabajo antes y se
les solicitó que la identificaran y la expresaran en su forma general, para reducir más su
igualdad. Alberto identificó de inmediato cual era esa suma y dijo que se representaba de
manera general como n cuadrada más n sobre dos, a lo cual Luna pasó y anotó en el pizarrón.
-1+(n+1)3= 3(12+22+32+42+52+---+n2)+ 𝑛2+𝑛
2
El profesor identificó que a Luna le falto multiplicar por tres la expresión, y preguntó a los
estudiantes si el resultado era correcto o faltaba algún dato. Alberto observó que faltaba
multiplicar por tres a la expresión 𝑛2+𝑛
2 y ante esta observación, Luna corrigió el resultado.
-1+(n+1)3= 3(12+22+32+42+52+---+n2)+ 3( 𝑛2+𝑛
2 ) +n.
54
Estando la expresión escrita de manera correcta se preguntó a los estudiantes ¿Qué parte de
la igualdad necesitábamos para calcular el número de cuadros que se forman dentro de un
cuadro de n por n?; Elisa y Alberto respondieron que la expresión que ellos necesitan es la de
las suma de los números de uno asta n elevados al cuadrado [12+22+32+42+52+---+n2], a lo que
el profesor preguntó, ¿que se necesitaba realizar en esa expresión para calcular la suma de
cuadrados?, un estudiante contesto que sustituir valores, se le preguntó que cuales valores y
entonces dijo que no sabía, Alberto dijo que teníamos que buscar una fórmula, se le recordó
que esa ya era una fórmula de la cual nosotros queremos obtener la suma de cuadrados. Alberto
respondió que:
[-13+(n+1)3] = [3(12+22+32+42+52+---+n2)+ 3( 𝑛2+𝑛
2 ) +n] y 3(
𝑛2+𝑛
2 ) es una parte de:
[-13+(n+1)3], y por lo tanto podrías buscar una fórmula que sea equivalente a [-13+(n+1)3].
El profesor dio un ejemplo, anotó en el pizarrón [p=k(r)] y preguntó si quiero encontrar el
valor de k ¿Qué tengo que realizar? A lo que Alberto contestó que tenía que dividir p entre r,
y cuestiono: ¿Qué fue lo que se realizó? Como los estudiantes no respondían se les cambio la
pregunta, ¿realice un despeje sí o no? Los estudiantes respondieron que sí. Se retomó el
problema original, y dijo si ya tengo mi ecuación:
[-1+(n+1)3 = 3(12+22+32+42+52+---+n2) + 3( 𝑛2+𝑛
2 ) +n.]
Pero quiero este valor: [12+22+32+42+52+---+n2], ¿Qué tenemos que hacer?; como los
estudiantes no reponían el profesor regresó al ejemplo [p=k(r)] y preguntó que habían
realizado en esa fórmula, los estudiantes respondieron que despejaron k, y les volvió a
preguntar ¿en esta fórmula [-1+(n+1)3 = 3(12+22+32+42+52+---+n2) + 3( 𝑛2+𝑛
2 ) +n.] que
tendremos que hacer?, los estudiantes respondieron, despejar, ¿Qué se va a despejar? Pregunto
el profesor, y los estudiantes respondieron, la suma de cuadrados. Se les dio un tiempo para
que realizaran el despeje en sus hojas de notas.
Alberto explicó, aquí este[-1] como está restando pasa sumando,[se equivocó al decirlo en
realidad tendría que haber dicho que estaba restando y pasaba sumando, también se observó
que cometió un error porque el término que está señalando, no lo está moviendo del lugar que
ocupa dentro de la ecuación y aun así le está cambiando el signo] aquí este [+(n+1)3] igual,
55
este [(n+1)3] de la misma forma y esto [13-(n-1)3] es igual a la de acá,[ (𝟑𝒏𝟐+𝟑𝒏
𝟐 )+n] pero como
está sumando va a pasar restando menos tres n al cuadrado [-3n2], como tiene más tres n, [+3n],
acá [se refiere a la parte adonde movió ese término] va a tener menos tres n entre dos
[(−𝟑𝒏𝟐− 𝟑𝒏
𝟐 )] y como tiene más n (+n), pues aquí tiene menos n [-n], [(
−𝟑𝒏𝟐−𝟑𝒏
𝟐 )-n, pero se
observó que esta parte [(𝟑𝒏𝟐+𝟑𝒏
𝟐 )+n] de la igualdad sigue en su misma posición, lo único
que hizo fue cambiarle de signos pero no de posición dentro de la igualdad. Se le preguntó
¿adónde paso restando? Si se observaba todo en el mismo lugar solo con signo diferente. A lo
que el estudiante propuso cambiar de lugar entre sí a cada ecuación, como se muestra en la
siguiente imagen.
En seguida se le pregunto ¿Por qué?; no contestó la pregunta pero dijo que, solamente si
cambiaba los signos a esta ecuación [-1+(n+1)3 = (3𝑛2+3𝑛
2 )+n] y escribió, [-1+(n+1)3 -
(3𝑛2+3𝑛
2 )+n = 3(12+22+32+42+52+---+n2)] el profesos aceptó su planteamiento, pero le
preguntó que si ya estaba totalmente despejada la suma de cuadrados, Alberto contestó que él
consideraba que ya había quedado despejada, se le sugirió que observara bien si ya no existía
alguna otra operación que le estuviera afectando, el estudiante no logró identificar que la suma
de cuadrados aún estaba siendo multiplicada por tres, por lo cual se le preguntó ¿qué estaba
realizando el tres a la suma de cuadrados?, fue como el estudiantes se dio cuenta que estaba
multiplicando, pero aun así no supo que tenía que pasarlo dividiendo de lado izquierdo de la
igualdad, y el profesor tubo que orientarlo, para que el estudiante pudiera escribir la igualdad
de la siguiente manera:
12 + 22 + 32 + 42 + 52 + ⋯ + n2 =−13 − (n − 1)2 −
3𝑛2 − 3𝑛2
3
56
Como los estudiantes no pudieron seguir factorizando, se les explicó un ejemplo similar a lo
que están trabajando, con el objetivo de que recordaran como factorizar y además como
realizar algunas divisiones de fracciones, después de la explicación y de haberles dado un
tiempo para trabajar. Alberto observó que dentro de la igualdad había un binomio al cubo, el
cual sugirió resolver pero no recordó cómo hacerlo, por lo cual se resolvió un ejemplo en el
pizarrón, además se les recordó también como establecer un común denominador en una suma
de fracciones. Se dio tiempo para que trabajaran con el problema original. Humberto pasó al
pizarrón a compartir con sus compañeros la forma en que le quedo la formula después de haber
desarrollado el binomio al cubo.
−13 + n3 + 3n2 + 3n + 1 − 3𝑛2 − 3𝑛
2 − n
3= (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + ⋯ + n2)
A lo que Alberto comentó que en la expresión de Humberto ya no es necesario poner menos
uno al cubo porque al elevar menos uno al cubo da como resultado menos uno, y consideró
que ya no era necesario poner el menos uno al cubo y solo puso el menos uno, además dijo
que la línea que indica la división entre tres debe de abarcar asta menos n.
−1 + n3 + 3n2 + 3n + 1 − 3𝑛2 − 3𝑛
2 − n
3= (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + ⋯ + n2)
Después de haber corregido la expresión se les preguntó a los estudiantes si se pude reducir
más, Humberto dijo que se podría quitar el más tres n al cuadrado y también eliminar el
menos tres n al cuadrado, pero el profesor le dijo que aún no se podía y que observara a que
se debía, entonces Humberto identificó y contestó que porque menos tres n al cuadrado aún
estaba siendo dividida entre dos. El profesor sugirió que observaran si había algunos
elementos que pudieran reducir y que no estuviera siendo afectado por la división, Humberto
dijo que sí, que podría quitar al menos uno con el uno, entonces la expresión fue la siguiente.
57
n3 + 3n2 + 3n − 3𝑛2 − 3𝑛
2 − n
3= 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + ⋯ + n2
Manuel sugirió que también podría restarle n a tres n el profesor reconoció acertada la
aportación y preguntó si se podría realizar alguna otra operación, una estudiante sugiere
restarle n a n al cubo y dijo que el resultado era n cuadrada, pero se le preguntó ¿se pueden
restar incógnitas con potencias distintas? A lo que los estudiantes contestaron que eso no podía
realizarse, pero no lograron observar que más hacer, se les explicó nuevamente un ejemplo
para obtener el común denominador en una suma de fracciones, con ese ejemplo los
estudiantes pudieron expresar la igualdad de la siguiente manera.
2n3+6n2+6n−3𝑛2−3𝑛−2n23
=12+22+32+42+52+⋯+n2
Manuel observó que a esta ecuación se le pude aplicar la ley del sándwich que anteriormente
explicó el profesor y entonces multiplicó la parte superior de la división de fracciones
[2n3+6n2+6n-3𝑛2 − 3𝑛-2n] por la parte inferior la cual se representó con un uno imaginario,
y la dividió entre el producto de los elementos del centro de la división de quebrados [dos y
tres] llegó a la siguiente expresión.
2n3 + 6n2 + 6n − 3n2 − 3n − 2n
6= 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + ⋯ + n2
Y realizó las operaciones entre los términos semejantes, seis n cuadrada menos tres n cuadrada
y obtuvo tres n cuadrada, y a seis n se le resta tres n y se obtuvo tres n, quedando la igualdad
de la siguiente manera: 2𝑛3+3𝑛2+3𝑛−2𝑛
6= 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + ⋯ + 𝑛2 pero después
de escribirla dijo. También a tres n le restó dos n y la igualdad quedó de la siguiente forma:
2n3 + 3n2 + n
6= 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + ⋯ + n2
Lo que para el estudiante es la forma general para calcular el número de cuadros que se
forman en un cuadro de n por n., Se le preguntó a todo el grupo si ¿estaban de acuerdo con la
ecuación planteada?, a lo que los estudiantes respondieron de manera afirmativa; se les solicitó
que alguno de ellos pasara a realizar la comprobación en el pizarrón., Manuel decide pasar y
58
pidió a sus compañeros le digan algún número para comprobar la forma general , le sugirieron
el número tres, por lo tanto el estudiante mencionó que calculara el número de cuadros que
pueden formarse en un cuadrado de tres por tres y realizo la sustitución de la siguiente forma.
Después de que miguel comprobó y explicó, se realizó la siguiente pregunta: ¿Cuántos cuadros
tiene la figura n por n? y Manuel contestos que sería dos n cubica más tres n cuadrada más n,
sobre seis
2𝑛3+3𝑛2+𝑛
6= 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + ⋯ + 𝑛2
En seguida se preguntó si esa ecuación se podrá expresar de otra manera, a lo que Manuel dijo
que también se podría expresar así (2𝑛2+𝑛)(𝑛+1)
6 y mencionó que le número de cuadros de la
figura n seria iguala a la fórmula que escribió. Elisa paso a comprobar la forma general para
un cuadro de tres por tres.
Y al realizar las operaciones se obtiene que se forman catorce cuadros dentro de un cuadro de
tres por tres, e inmediatamente Alberto, Manuel y los demás estudiantes afirman que es
correcta la fórmula que comprobó Elisa, por último se les preguntó a los estudiantes si había
dudas o comentarios, algunos dijeron que no, Manuel dijo que él nunca había usado la ley del
sándwich, además de que tuvo que recordar un ejercicio que realizaron previamente, Elisa
59
comento que se necesita saber realizar operaciones con potencias además de otro
conocimientos.
Comentarios. Al inicio de la actividad los estudiantes la abordaron de manera individual pero
no les resulto fácil establecer conexiones a todos, por lo cual decidieron resolver la tarea de
manera grupal aunque algunos participaron con mayor frecuencia. La respuesta se obtuvo con
base en las opiniones de todo el grupo, además de que el profesor tuvo que dar ejemplos y
diversas sugerencias para que los estudiantes recordaran sus conocimientos previos y pudieran
establecer conexiones para utilizarlos cuando no podían avanzar en el proceso de solución. En
esta tarea los estudiantes llegaron a sus primera conjeturas observando patrones y a partir de
ahí fueron formulando expresiones que les permitieron llegar a la solución.
Se pudo observar que el problema resultó complejo, así que era difícil que lo resolvieran de
manera individual. Durante el proceso de solución, los estudiantes estuvieron comunicando
sus observaciones, conjeturas y resultados constantemente y esto en gran medida favoreció el
que establecieran relaciones entre sus conocimientos previos y diseñar una ruta de solución
para la tarea.
Estudiante Estrategia Conexiones Observaciones
Elisa
Escuchó las
participaciones de sus
compañero y a partir de
ahí también dio
opiniones que ayudaron a
resolver el problema.
Cuando identificó que la
respuesta a la tarea estaba
relacionada con la suma
de cuadrados.
Tuvo pocas
participaciones durante
el desarrollo de la tarea.
Alberto
Utilizó lo propuesto por
Manuel, acerca de la
suma de los números
naturales al cuadrado.
A partir de una igualdad
despejó la suma de
cuadrados.
Se apoyó de los
comentarios de sus
compañeros y de los
ejemplos propuestos por
el profesor.
Manuel
Observó en cada figura
un patrón de
comportamiento en
relación al número de
figura y el número de
cuadros que se formaron
en cada una.
Identificó que el
resultado de la tarea era
una suma de cuadrados,
la cual despejó a partir de
una igualdad, para esto
tubo que factorizar.
Se apoyó a los
estudiantes para recordar
conocimientos previos a
través de ejemplos.
Luna
Utilizó la información
propuesta por sus
compañeros y las
sugerencias hechas por el
profesor.
Representó en su forma
general la suma del os
números naturales desde
un asta n dentro de la
igualdad.
Solo realizó una
participación relevante
en el pizarrón.
60
Conexiones. Los estudiantes recordaron, como desarrollar un binomio al cubo, realizaron
factorizaciones dentro de la igualdad y además representaron la forma general de la suma de
los números naturales desde uno hasta n que ellos mismos habían establecido en su primera
tarea, para posteriormente despejar la suma de cuadrados que es lo que les lleva a resolver la
tarea.
ESTUDIANTE ELEMENTO DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO.
Elisa Estableció conexiones, al escuchar la explicación de un compañero
y determino que el número de cuadros que se forman dentro de un
cuadrado n está relacionado con la suma de cuadrados.
Alberto Comunicó resultados cuando explicó la sustitución de los valores
de k en la igualdad (k+1)3 – k3 = 3k2 + 3k + 1, estableció
conexiones cuando factorizo el producto de tres y la suma de los
números naturales consecutivos hasta n y el producto de tres por los
naturales hasta n elevados al cuadrado.
Manuel Estableció relaciones, al identificar que las dimensiones de los
cuadros que se forma en cada figura van aumentando, comunicó sus
resultados cuando explicó a su compañero Alberto como calculó el
número de cuadros para cada figura, justifico su conjetura cuando
explicó un ejemplo con la figura uno y dos, y después lo hizo para
un cuadro de veinte por veinte.
Luna
Formuló una conjetura al determinar que para calcular el número
de cuadros que se forman en el cuadrado n se tendría que elevar los
números naturales al cuadrado y sumarlos, estableció conexiones y
comunico resultados cuando recordó y explico a sus compañeros
como se representó la forma general de la suma de los numero
naturales desde uno asta n.
61
CAPITULO V. CONCLUSIONES
He observado que la implementación de tareas con múltiples rutas de solución, la
identificación y generalización de patrones, favorecen el desarrollo del pensamiento
matemático, para esto se implementaron tareas con estas características las cuales al ser
abordadas por los estudiantes se observó lo siguiente:
En la primera tarea los estudiantes no comprenden el objetivo de buscar más de una solución,
por otra parte, tampoco se dan cuenta de que una nueva solución debe permitir resolver el
problema de una forma eficiente. Por ejemplo, los estudiantes realizaron la suma de los
primeros números consecutivos por pares, pero esto es casi lo mismo que realizar la suma de
forma secuencial 1+2=3, 3+3=6, 6+4=10. Se observó que algunos estudiantes como Luna, no
comprendían el significado de los puntos suspensivos en la suma 1+2+3+⋯+8+9+10. Por lo
cual se les comento que la suma es de los diez primeros números naturales. Otras de las
dificultades que muestran los estudiantes tiene que ver con la generalización de un patrón, algo
que faltó en la implementación de las actividades es que los estudiantes centraran la atención
en las operaciones que realizaban en los casos particulares para obtener un resultado, para
posteriormente expresar de forma verbal estas operaciones en términos generales y cómo
último paso apoyarlos para expresar de forma simbólica el resultado general.
Como el objetivo de la primera tarea fue encontrar una fórmula para calcular la suma de los
primeros números naturales, los estudiantes centraron la atención en la obtención de dicha
fórmula, pero no al buscar una relación entre los números de las columnas de la tabla, sino que
trataron de adivinar una fórmula como en el caso de luna que propuso la expresión 𝑛2−1 La
estrategia utilizada por el profesor para lograr que la estudiante se diera cuenta de que la
fórmula no era correcta fue pedirle que probara la fórmula con otros valores de n, y así
comprobara que sólo funcionaba para algunos valores. A diferencia de otros estudiantes como
Alberto que centraron la atención en las operaciones que realizaron en los casos particulares
para obtener el resultado, lo cual les permitió observar regularidades, generalizar esas
regularidades y expresarlas en lenguaje simbólico.
En esta primera actividad, se observó que el uso de tablas tiene limitaciones para permitir a los
estudiantes identificar regularidades, mientras que el uso de figuras fue un medio para que los
estudiantes pudieran identificar una relación entre el valor de la suma y la posición que ocupa
62
cada figura. Aunque el uso de figuras ayudó a establecer la fórmula general, esto no ocurrió
en todos los casos, por ejemplo Manuel identificó el procedimiento para obtener el resultado
en diversos casos particulares pero no fue capaz de generalizar.
En la tarea 2, algunos estudiantes como Elisa aún tienen dificultades para identificar la relación
entre el número de figura y el número de palillos y bolas. Esta estudiante trató de realizar un
procedimiento similar al del problema anterior, al tratar de relacionar el número de palillos y
el de bolas. La estudiante propuso sumar tres al número de palillos y dividir el resultado entre
dos para obtener el número de bolas. Obtuvo el resultado correcto para la primera de las
figuras, pero se dio cuenta de que este procedimiento no funcionaba para el resto de las figuras.
En una siguiente propuesta esta estudiante trató de relacionar el número de figura con la
cantidad de palillos. En este caso identificó una regularidad en la construcción de las figuras,
observó que el número de palillos de una figura es dos más que los palillos de la figura anterior
y expresó esta regularidad mediante la expresión n+2, sin embargo, la letra n no representa el
número de la figura. Sino la cantidad de palillos de la figura anterior. Esta estudiante intentó
describir la sucesión de forma recursiva, pero la forma de simbolizar esta regularidad no es
apropiada. En este caso organizar la información en una tabla permitió a la estudiante
establecer una relación entre la posición de la figura y el número de palillos y bolas en ésta, la
estudiante al presentar su solución explícitamente comento que la variable n representa la
posición de la figura en la sucesión.
En la tarea 2 algunos estudiantes como Alberto no tuvieron dificultad para generalizar el
resultado, aunque aún tienen dificultades para pensar en el término enésimo, y buscan asignar
a éste valores particulares. Manuel por otra parte, es capaz de identificar el comportamiento
general de la relación entre la posición de la figura y el número de palillos y bolas, pero aún
tiene dificultades para expresar su forma general.
En la tarea 3 la participación grupal permitió a los estudiantes proponer conjeturas de cómo
obtener el número de cuadrados que corta la diagonal con base en las longitudes de la base y
la altura de la cuadrícula. Estas conjeturas fueron cuestionadas por los mismos estudiantes
como Alberto, quienes propusieron contraejemplos para mostrar que las conjeturas propuestas
por sus compañeros eran incorrectas. Durante el desarrollo de esta actividad se observa que
los estudiantes están inmersos en un proceso de discusión en el que formulan conjeturas,
proponen contraejemplos, tratan de obtener evidencia de las conjeturas proponiendo ejemplos
63
adicionales, es decir, están inmersos en un ambiente que promueve el desarrollo de diversos
aspectos del pensamiento matemático.
Al abordar la tarea 4 se observó que los estudiantes identificaron información, la representaron
y la organizaron con la finalidad de identificar regularidades y conjeturaron de forma correcta
que el total de cuadros en una cuadrícula de n x n se obtiene mediante la suma de los cuadrados
de los primeros n números naturales. Además trataron de relacionar el resultado con la fórmula
que obtuvieron en el problema 1 para calcular la suma de los primeros n números naturales.
Sin embargo la obtención de la fórmula de la suma de los cuadrados pudo obtenerse
únicamente con la guía del profesor.
La primera tarea favoreció a que los estudiantes pudieran experimentar, establecer relaciones
y justificar resultados. Este tipo de tareas son apropiadas para orientar el proceso de
instrucción de forma que los estudiantes tengan oportunidades para experimentar con los
objetos matemáticos, observar relaciones e invariantes, discutir y defender sus ideas, formular
y justificar conjeturas, establecer conexiones entre conocimientos previos y nuevos, así como
para buscar relaciones, comunicar resultados e incluso diseñar sus propios problemas (NCTM,
2000; Santos-Trigo, 2007).
Además, se concluye que las tareas en las cuales la información se representa utilizando
figuras permitió a los estudiantes experimentar al considerar diversos casos particulares, con
la finalidad de identificar patrones. Al abordar esta tarea los estudiantes establecieron
relaciones, propusieron y justificaron conjeturas, algunos de ellos comunicaron sus resultados
al profesor o a un grupo de compañeros lo cual se observó durante el desarrollo de las tareas
uno, dos, tres y cuatro que se aplicaron en esta investigación, esto indica que el uso de
diferentes representaciones es un factor importante en el desarrollo de una forma matemática
de pensar en los estudiantes.
Otra conclusión es que la implementación de este tipo de tareas permitió a los estudiantes,
comunicar sus ideas y con esto se dieron cuenta que es importante compartir sus conocimientos
para poder recordar lo que han aprendido y así resolver tareas más complejas, como se pudo
observar en la cuarta actividad que se les dificulto más a los estudiantes pero con la orientación
del profesor y sus aportaciones pudieron llegar a la solución. Polya (1973) considera que
resolver problemas por diferentes rutas caracteriza la experiencia de los matemáticos, ya que
64
esta actividad requiere de establecer conexiones diferenciadas entre conocimientos
matemáticos diversos.
Dentro de los alcances del trabajo se observó que durante los procesos de solución
desarrollados por los estudiantes para cada tarea, estuvieron presentes los elementos del
pensamiento matemático; con lo cual demostramos que la identificación y generalización de
patrones por diferentes rutas permite desarrollar formas matemáticas de pensar en los
estudiantes. Pero esto no significa que así lo sea para todos los estudiantes en general ya que
una de las limitaciones fue que en el estudio solo se analizó el trabajo de cuatro.
5.1 Respuestas a las preguntas de investigación.
1. ¿Qué tipo de estrategias utilizan los estudiantes para identificar y generalizar patrones?
Una de las estrategias que utilizaron fue la inductiva la cual se presentó durante la tarea uno,
algunos estudiantes sumaron las cinco parejas de números que se forman del uno al diez de
tal manera que el resultado de sumar cada pareja fuera el mismo, y al obtener cinco respuestas
iguales, pasaron de realizar sumas a un producto multiplicando el resultado por el número de
veces que se repitió y así calcularon la suma de los primeros diez números naturales.
Posteriormente a través de problemas análogos se les presentó la misma tarea pero la
información se organizó de diferente manera, los estudiantes ante esta situación se dieron
cuenta que podían resolver la tarea de una forma distinta, por ejemplo cuando se les dio la
información en una sucesión de figuras tuvieron la oportunidad de experimentar realizando
más figuras con lo cual identificaron un patrón, establecieron relaciones que les permitieron
darse cuenta que no solo podría calcular la suma de los primeros diez números naturales sino
que lograron establecer una forma general para sumar desde uno a n.
2. ¿De qué manera la consideración de diferentes rutas para resolver un problema favorece
la estructuración de formas matemáticas de pensar y la construcción de entendimiento
conceptual? Durante el desarrollo de estas tareas los estudiantes pudieron experimentar al
realizar más figuras que les ayudaron a resolver algunas de las tareas, identificando patrones,
además de que muchos de ellos comunicaron sus resultados a sus compañeros lo cual les
permitió establecer relaciones entre conocimiento previos, esto les permitió seguir con el
desarrollo y llegar a la solución, por ejemplo en la tarea cuatro cuando factorizaron la suma
de los números naturales, Elisa recordó ya haber expresado en su forma general esa suma en
65
la tarea uno y esto les permitió avanzar en la solución. Los estudiantes también justificaron
resultados, puesto que al llegar a la forma general solicitada por alguna de las tareas, realizaron
pruebas para comprobar que su conjetura era la correcta, un ejemplo de esto fue cuando Elisa
realizó la comprobación de la forma general establecida para la tarea cuatro en la cual sustituyó
los valores en relación a un cuadrado de tres por tres y calculó cuantos cuadrados se forman
en dicha figura.
Durante la resolución de los problemas los estudiantes lograron recordar conocimientos
previos y establecer conexiones para dar solución a cada tarea, como lo menciona Hiebert
(1997), por ejemplo cuando Alberto explicó en el pizarrón como obtuvo los resultados de la
tabla del problema uno, pero no logró expresar la forma general para el valor de n, sin embargo
las ideas expuestas por Alberto, fueron retomadas por Manuel quien realizó conexiones y se
dio cuenta que si multiplicaba al primer valor por el segundo y lo dividía entre dos, podría
obtener el resultado correcto del renglón uno de la tabla, después multiplicó el segundo valor
por el tercero, y lo que obtuvo lo dividió entre dos y efectivamente el resultado fue el que
correspondía al renglón dos de la tabla. Otro ejemplo se manifestó en la tarea cuatro cuando
los estudiantes al desarrollar la igualdad como parte del resultado obtuvieron la suma de los
números naturales de 1 a n. Elisa recordó ya haber establecido la forma general de expresar
esta suma y la escribió en el pizarrón, con esto los estudiantes pudieron continuar resolviendo
el problema. Es importante mencionar que durante el desarrollo de la tarea cuatro los
estudiantes estuvieron comunicando sus avances a sus compañeros y además el profesor
explicó algunos ejemplos para que lograran recordar conocimientos previos y poder así
establecer conexiones que les permitieron llegar a la solución de la tarea.
5.2 Reflexiones finales.
Se observó que cuando los estudiantes identifican y generalizan patrones por múltiples rutas
valoraron la importancia que tiene compartir sus ideas y además el poder recordar sus
conocimientos previos, observaron que organizar la información es importante en la solución
de una tarea. Se pudo comprobar que las tareas con múltiples soluciones (TMS) favorecen un
aprendizaje con entendimiento y además a que los estudiantes estructuren una forma
66
matemática de pensar, por lo tanto se debe brindar a los estudiantes la oportunidad de trabajar
con este tipo de tareas.
Como profesor la elaboración de este trabajo me ha permitido mejorar la forma de planear
una actividad de clase la cual no solamente debe de estar basada en las actividades propuestas
por un libro de texto, se deben considerar las propuestas personales de acuerdo con las
necesidades y conocimiento previos de los estudiantes, promover actividades no cotidianas
que realmente promuevan en los estudiantes una forma matemática de pensar y no desarrollar
clases que promueven solo la adquisición de procesos algorítmicos limitando la reflexión de
los estudiantes.
Puede darme cuenta que cuando los estudiante muestran dificultades durante la solución de
una tarea, guiarlos a la solución a través de preguntas les permite ir conectando sus
conocimientos previos con los nuevos, porque el estudiante aprende y entiende cuando el
mismo estable relaciones para plantear la solución a una tarea.
67
REFERENCIAS
Ávila- Pozos, O; Barrera-Mora, F. y Reyes- Rodríguez, A. (no publicado). Tareas de
instrucción que Promueven un aprendizaje con entendimiento: Una aproximación
basada en la resolución de problemas y el uso de tecnologías digitales. Pachuca,
México: Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo.
Butto-Zarzar, C. y Rivera-Cortes T. (2012) La generalidad una vía para acceder al pensamiento
algebraico: Un estudio sobre la Transición del pensamiento aditivo al pensamiento
multiplicativo. Xl Congreso Nacional de Investigación Educativa. UPN Ajusco.
México.
Cai, j. y Nie, B. (2007) Problem solving in Chinese mathematics education: Research and
practice. ZDM Mathematics Education, 39, 459–473.
Callejo, M.L. y Zapatera, A. (2014). Flexibilidad en la Resolución de Problemas de
Identificación de Patrones Lineales en Estudiantes de Educación secundaria. BOLEMA,
28(48), 64-88.
Cañadas M.C. Castro E. y Castro E. (2008) Patrones Generalización y estrategias inductivas
de estudiantes de 3° y 4° de Educación Secundaria Obligatoria en el problema de
baldosas. PNA, 2(3), 137-15.
Carraher, D.W., Martinez, M.V., & Schlimann, A.D. (2008). Early algebra and mathematical
generalization. ZDM Mathematics Education, 40, 3-22.
Eisenhart, M.A, (1991). Ideas from a cultural anthropologits; Implications for Mathematics
Edcuaction Researchers in R. B. Underhill. (Ed.), Psychology of Mathematics
Education. (pp. 202-217). Blacksburg, VA: PME.
Garcia Cruz, J.A. & Martinón, A. (1998). Levels of generalization in linear patterns. 22nd
Conference of international Group for the Psychology of Mathematics Education, 2,
329-336. Stellenbochs, South Africa: PME.
Geraniou, E. Mavrikis, M. Hoyles, C. & Noss, R. (2008). A constructionist approach to
mathematical generalisation. Proceedings of the British Society for Research into
Learning Mathematics, 28(2), 37-41.
68
Groe, C.S. & Renkl, A. (2006) Effects of multiple solution methods in mathematics learning.
Learning and Instruction, 16, 122-128.
Hiebert, J. C. (1997). Making sense: teaching and learning mathematics with understanding.
Portsmouth, NH: Heinemann.
Kordaki1, M. & Mastrogiannis, A. (2006). The potential of multiple-solution tasks in e-
learning environments: Exploiting the tools of Cabri Geometry II. World Conference
on E-Learning in Corporate, Government, Healthcare, and Higher Education.
Honolulu, HI: Association for the Advancement of Computing in Education (AACE).
Lasprilla Herrera, A. y Camelo Bustos, F.J. generalizando patrones figúrales con estudiantes
de 8 y 9 años: una interpretación de los medios semióticos de objetivación movilizados.
Colom.Appl.Linguis. J., 14 (2), 35-50
Leikin, R. (2007). Habits of mind associated with advanced mathematical thinking and
solution spaces of mathematical tasks. Israel: University of Haifa.
Leikin, R. & Lev, M. (2007). Multiple solution tasks a magnifying glass for observation of
mathematical creativity. 31st Conference of the international Group for the Psychology
of Mathematics Education, 3,161-168. Haifa. PME.
Leikin, R. (2010). Learning Through Teaching Mathematics. Development of Teachers’
Knowledge and Expertise in Practice. Springer.
Leikin, R. (2011) Multiple-solution tasks: from a teacher education course to teacher practice.
ZDM Mathematics Education, 43, 993-1006.
Levav-Waynberg, A. & Leikin, R. (2006). Solving problems in different ways: teachers'
knowledge situated in practice. In J. Novotná, H. Moraová, M. Krátká and Stehlíková
(Eds.), Proceedings 30th Conference of the International Group for the Psychology of
Mathematics Education (vol. 4, pp. 57-64). Prague: PME.
Levav-Waynberg, A. & Leikin, R. (2009). Multiple solutions for a problem: a tool for
evaluation of Mathematical thinking in Geometry. Proceedings of CERME 6, 776-785.
Haifa, Israel.
69
National Council of Teachers of Mathematics [NCTM] (2000). Principles and Standards for
School Mathematics. Reston, VA: NCTM.
Polya, G. (1945). How to solve it. Princeton: Princeton University Press.
Polya, G. (1973). How to solve it. A new aspect of mathematical method. Princeton, New
Jersey: Princeton University Press.
Santos Trigo, M. (2007). La resolución de problemas matemáticos: Fundamentos cognitivos.
México: Trillas.
Schoenfeld, A. (1985). Mathematical problem solving. New York: Academic Press.
Shimada, S. (1997). The significance of an open-ended approach. In S. Shimada and J. Becker
(Eds.), The open-ended approach: a new proposal for teaching mathematics. Reston,
VA: NCTM.
Shockey T.L. & Bradley D.M. (2006). An engaging puzzle to explore algebraic
generalizations. Mathematics Teacher, 99(8), 532-536.
Silver, Edward A. (1997). Fostering Creativity through Instruction Rich in Mathematical
Problem Solving and Problem Posing. Pittsburgh, USA: University of Pittsburgh.
Silver, E.A., Ghousseini, H., Gosen, D., Charalambous, C., & Font-Strawhun, B.T. (2005)
Moving from rhetoric to praxis: Issues faced by teachers in having students consider
multiple solutions for problems in the mathematics classroom. Journal of
Mathematical Behavior (24), 287–301.
Simon, M., y Blume, G. W. (1996). Justification in the mathematics classroom: A study of
prospective elementary teachers. Journal of Mathematical Behavior, 15, 3-31.
Spivak, M. (2010). Calculus: Cálculo infinitesimal (Reimpresión de la segunda edición).
México: Reverté.
Stigler, J. W., & Hiebert, J. (1999). The teaching gap: best ideas from the world’s teachers for
improving education in the classroom. Reston, VA: The Free Press.
70
Trujillo, P. A., Castro, E. y Molina, M. (2009). El proceso de generalización: un estudio con
futuros maestros de primaria. Indivisa, Monografía XII, 73-90.
71
APENDICES
Tarea uno.
Realiza la siguiente suma de los números naturales, y propón más de una ruta para obtener
el resultado.
1 + 2 + 3 + ∙∙∙ + 8 + 9 + 10 =
Profesor: cuéntame que hiciste.
Elisa: sume este [la estudiante señala el número 1] más este [la estudiante señala el número
10], y [luego] este [la estudiante señalo el numero dos] más este. [La estudiante señala el
número nueve]
Como son cinco pares me da 55 [al momento que señaló que suma el primer término más el
último, el segundo más el penúltimo y así sucesivamente].
Profe: ¿qué hiciste aquí?
Alberto: En la segunda fórmula ordené del 1 al 10 todo completo luego sume de dos en dos el
primer número con el segundo y así y luego de la suma que me daba iba otra vez de dos en dos
pero uno se quedó solo que es 19 y luego ya nada más sume los resultados finales y medio 55.
72
Elisa: la suma de los primeros diez naturales entonces saldría lo doble de una sola entonces
como salieron 110 la mitad seria 55 lo que equivale a la suma de una sola. [La estudiante
señala otra forma en la que planteó la suma]
Profesor: a ver, ¿Qué hiciste Alberto?
Alberto: yo lo que hice fue, como usted nos había dicho que sumáramos, yo pienso que de esta
forma si da el resultado, pero no es el correcto. Porque sumamos dos veces el mismo número
73
en este caso un ejemplo puede ser el 10+1 y [después] acá en este lado los sumamos igual
solamente del lado contrario y como resultado da 110.
Y para que el resultado sea correcto lo tenemos que dividir entre dos y así ya obtener el
resultado normal.
Luna: se supone que ese es un procedimiento ¡no! y podría ser buena fórmula ya que
resolviéndola, da bueno así nada más da [como resultado] 66 pero en este caso aún no
tomamos los números, [que se representan con los puntos suspensivos] ora sí que los numero
que están en los puntitos, este esos son cuatro números 4, 5,6 y 7 si hacemos el procedimiento
así como está.
74
El resultado va a ser 110 pero estamos sumando dos veces el mismo número, como que si el
resultado lo estuviéramos multiplicando por dos, así que se divide entre dos, y ya da
cincuenta y cinco.
Dana: bueno yo lo que puse, [es] que esta operación podría ser correcta, ya que, se van
sumando los números y nos da pues un número preciso, pero en realidad no puede ser cierta
porque al hacer la operación simple da un resultado y para que la operación que hemos hecho,
de él [resultado] que sacamos al principio, [debemos] es dividir entre dos ya que ese resultado,
dividirlo entre dos, es el resultado de solamente una suma y no de las dos. [Realizó lo
siguiente]
Humberto: [explica lo que hizo apoyado de la siguiente tabla]
Dos más este [señala el primer número, de la segunda columna de la tabla que es el uno] tres,
después tres más tres seis, cuatro más seis diez, cinco más diez quince, seis más quince
veintiuno, siete más veintiuno, veinte ocho, ocho más veinte y ocho, 36, nueve más treinta y
seis, cuarenta y cinco, diez más cuarenta y cinco, cincuenta y cinco. Hay un error [porque en
lugar de 55 había puesto 10, pero se dio cuenta y lo corrigió]
75
Manuel: [usando la siguiente tabla]
Mmm no he, conforme esta n en él, lugar del número 11, no sería n el número 11, tal vez,
porque no veo espacio entre el diez y la n solamente en las observaciones pudiera ser 11 y el
resultado se modificaría a 66.
Profesor: puede ser pero, si fuera cualquier otro número por ejemplo.
Manuel: cambiaria mucho ya no sería sucesión.
Luna: [sabemos que la suma del uno al diez da] cincuenta y cinco, mm bueno podríamos, si
queremos tomar a n como 11 podríamos poner n +55 y da el resultado o si es 12, 12n más 55
y así no.
Humberto: lo que me dé más dos tres según n igual a tres más tres igual a seis.
Alberto: pero sería más fácil n+ y = x, ¿no?, para no poner n + n.
Alberto: [se apoya de la siguiente tabla]
76
[Inicia multiplicando los números de la primer columna, que van del uno al diez, multiplica
uno por dos y el resultado lo divide entre dos, el valor obtenido será registrado en la segunda
columna de su tabla], dos entre dos da uno y luego dos por tres da 6 entre dos da tres, luego
tres por cuatro da 12 entre dos es a 6, cuatro por cinco da veinte y entre dos es a diez. Y luego
aquí seria seis por siete seria cuarenta y dos entre dos seria 21, y siete por ocho serian cincuenta
y seis y entre dos serian 28, luego ocho por nueve serian 72 serian 36, luego nueve por diez
serian noventa entre dos seria cuarenta y cinco, y aquí este [señala los últimos renglones de su
tabla] sería diez por once serian ciento diez entre dos serian cincuenta y cinco.
Profesor: y para n
Alberto: seria este no, porque usted dijo que n si esta después del diez seria once, puede ser
once póngale que n es igual a once [le agregó un renglón más a su tabla, en donde coloca
n=11]
Y sería diez, a no pero aquí ya sería otro número para que saliera el valor de n
Alberto: [realiza una tabla en el pizarrón y comparte con sus compañeros lo que hizo]
77
Ir multiplicando esto [señaló los primeros números consecutivos, de la primera fila de su tabla]
pero para ir sacando el resultado, por ejemplo uno por dos da, dos, entre dos da uno, aquí seria
el uno, ahora de este [se refirió a él dos y el tres que son los números que sigue] sería lo mismo,
tomando en cuenta desde el dos, dos por tres da seis entre dos da a tres, luego tres por cuatro
son doce entre dos es a seis, y luego vamos en este cuatro por cinco son veinte entre dos son
diez, luego cinco por seis, que son treinta, entre dos son quince, y luego este,[ señaló el seis y
el siete en su tabla] para esto, esté seis por siete son cuarenta y dos, entre dos serian veinte y
uno, luego siete por ochos serian cincuenta y seis entre dos serian veintiocho, y para esto[señala
el número ocho y el número nueve] sería lo mismo ocho por nueve serian, setenta y dos, entre
tres seria ha,[sus compañeros le dijeron que es entre dos no entre tres] ha entre dos digo, seria
ha setenta y dos entre dos seria a treinta seis.. ¿No? si serian treinta seis, ahora este nueve por
diez serian noventa entre dos serian cuarenta y cinco, y como en este dan puntos que puede
ser, puede seguir cualquier número aquí podría ser prácticamente el once y este sería el doce
y lo que tendríamos que hacer aquí podría ser que es diez por once son ciento diez, ciento diez
entre dos, entre dos, seria cincuenta y cinco.
Profesor: ¿y para el numero n?
Albero: y para el n como usted había dicho que este puede ser más uno, en este caso sería
más dos, seria diez más dos, este sería el número doce y aquí podría ser n más uno que sería
11 por doce son mmm.
78
Humberto: [son] ciento treinta y dos, ciento treinta y dos, ciento treinta y dos.
Dana: [son] ciento treinta y dos.
Alberto: serian ciento treinta y dos. Y ciento treinta y dos entre dos vendría siendo un
número que no.
Alumnos: sesenta y seis.
Alberto: si son sesenta seis, y luego aquí este sería doce, no aquí ya vendría siendo n más
tres.
[Hasta ahí se detuvo el trabajo de Aldo en el pizarrón, y se les solicitó a los estudiantes
trabajar con esas nuevas ideas para encontrar la forma general]
Manuel: [estaba realizando la división de 145 entre dos] son dos sobra uno.
Alberto: son setenta y dos punto cinco.
Profesor: ¿porque?
Manuel: bueno le estábamos poniendo valores, a n como por ejemplo el once y doce, si
multiplicamos n que por ejemplo fuera once [mientras señala una fórmula que escribió
Alberto en sus hojas de notas]
Profesor: pero de donde salió esa n cuadrada Alberto.
79
Alberto: de la multiplicación que hicimos de esta n por n más uno.
Profesor: ¿apoco si?
Alberto: si
Profesor: haber hazla.
Alberto: por ejemplo es n por n más uno esto es igual a n cuadrada más uno.
Profesor: apoco, ¿n por n da?
Alberto: n cuadrada.
Profesor: y ¿n por uno?
Alberto: ¡ha! sería un n
Profesor: ¡sí! ¿No?
Manuel: se modifica todo el resultado, por ejemplo seria n. [Corrige su error]
Profesor: y luego ¿qué sigue Aldo?
Alberto: y luego eso dividirlo entre dos. Que sigue. Entre dos.
Profesor: aja y, a ver Aldo, ¿de qué manera lo comprobarías?
80
Alberto: por ejemplo, tomando en cuenta el valor de once, por ejemplo once por once, seria
ciento veinte y uno, más un n que sería once, más once que sería he dos tres ciento treinta y
dos, ciento treinta y dos entre dos serian, seis, doce mm serian sesenta y seis y también da así,
que de once, si este fuera once el resultado sería sesenta y seis aquí.
Profesor: [solicitó a Esmeralda] Explícame eso.
Elisa: es que ya me revolví.
Profesor: ¿te revolviste?
Elisa: aja
Alberto: [se dirigió al profesor] si da profe, ya lo intente con otro.
Profesor: (pregunta a Caro) haber caro...
Coral: nosotros le hicimos así primero, bueno Hugo planteo esta ecuación y la resolvió que es
n por n pues n cuadrada y n más uno, n sobre dos, y dijimos que n seria once entonces n
cuadrada, seria once por once. [Realizó todas las operaciones con n=11 y obtuvo como
resultado sesenta y seis]
Profesor: y haber hazlo para otro número, para otro valor, por ejemplo, haber [con el] diez,
dice tu compañera.
Humberto y coral: seria, diez por diez, [son] cien, más diez serian, ciento diez entre dos,
[son] cincuenta y cinco.
Profesor: si verdad.
81
Coral: si da, a si y si lo hacemos con nueve, si va a seguir la sucesión hacia arriba. [Se refirió
a los valores de su tabla, como llega hasta diez antes estaría el nueve, después el ocho y así
hasta llegar a el uno]
Humberto: [le dio valor de nueve a n y dijo] ochenta y uno más nueve noventa sobre dos
cuarenta y cinco.
Coral: si ¡da!
Video 9
Luna: En estos casos si había funcionado, dos por dos es igual a cuatro, menos uno, es igual
a tres
Pero, creo que si es esta o algo así, pero es algo como esto.
Profesor: ¿n cuadrada menos uno?
Luna: menos uno.
Profesor: haber ¿cómo hiciste eso?
Luna: no se es que lo estamos haciendo con ella. [Le pregunta a su compañera]Dani, ¿cómo
salió eso?
Profesor: haber júntense, haber entonces, júntense si quieren, voltea tu butaca.
Dana: es que ahorita me hice bolas
82
Profesor: Haber pero díganme cuéntenme.
Humberto: ¿pueden ser en grupos de tres?
Profesor: si o de dos. Haber este, como es eso de n cuadrada [preguntó a luz y Dani]
Luna: bueno es que es lo que ella me dijo que n, n cuadrada esto es, le digo que como esto
[señalando lo que registro en sus hojas de trabajo]
Este por este [señalo dos valores de su tabla] a no, no, no, no, porque este nada más.
Profesor: haber, haber explíquenme.
Luna: Este [señalo su fórmula de n2-1] nada más funciona con el dos, para sacar el tres, n
[cuadrada] cuad… dos por dos es igual a cuatro, menos uno es igual a tres. [Señalo los
valores en la tabla de su compañera Daniela]
[Hizo prueba con otro valor] tres por tres es igual a nueve le quitamos uno es igual a 7.
Profesor: entonces si se puede o ¿no?
Luna: No; pero yo. Yo hice otra pero no sé si estoy bien.
Profesor: A ver
Luna: es esta [mostro su hoja de trabajo]
83
Bueno es que yo decía que, se supone que a cualquier incógnita le podemos dar cualquier valor
¿no? Dependiendo de cómo lo estemos utilizando yo puse de ejemplo esto que es 1, 2, 3, 4,
5. Si quería el mmm. Tomando como base 5, cinco vendría siendo n, bueno aquí podríamos
sustituir n por cinco [anotó en su hoja de trabajo] n es igual a cinco [n=5] y n más ese le
podríamos dar cualquier valor uno, dos o tres o cuatro. Cinco más uno es igual a seis, cinco
más dos, es igual a siete y cinco más tres es igual a ocho y así sucesivamente podría ser n.
Profesor: y ¿ya la comprobaste?
Luna: mmm, pues con esto sí. Yo digo que sí, mju.
Profesor: pero ¿cuánto vale ahí?
Luna: n es he, bueno yo le puse que es como se le podría dar cualquier valor, podría ser
cualquiera de los números que esta entre el uno y n.
Profesor: ¿y m?
Luna: y m podría, es el número que se le daría [cuatro] cua... Así cualquier valor dependiendo
de a que, ora sí que, a que numero quisieras llegar, este es de la posición [n] y este [m] de
cuanto le debes de sumar dependiendo de dónde este. [Explicó luz apoyada de sus notas]
Profesor: ¿y si n valiera veinte?, ¿cómo sería?
Luna: veinte, pues así veinte más mmm
84
Profesor: ¿Cómo?
Luna: si n fuera veinte sería, n veinte más uno así [refleja una expresión de confusión y no
pudo explicar]
Profesor: ¿no? [Se le dio un tiempo para observar lo que estaba realizando y tratara de
buscar una repuesta general, para después explicarla al profesor]
Luna: si nos damos cuenta , em por ejemplo el uno, uno por uno es igual a uno, dos por dos es
igual a cuatro, en este caso nada más la fórmula que le dimos, era nada más para el dos, pero
podría ser diferente encontrar así un numero o un algo que[divida] div… ora sí que haciendo
como más o menos como esa podría dar el resultado porque tres más tres es igual a nueve [se
equivocó al querer expresar tres por tres dijo tres más tres) y ahí solo hay seis.
Profesor: mmm pero tendríamos que llegar al seis ¿no?
Luna: mju algo así.
Coral: [se apoyó de la tabla que hizo Aldo en el pizarrón y explico a sus compañeros sus
conclusiones] Bueno como había puesto la sucesión de cuando seguía otro número después de
n podríamos decir que n es equivalente a uno, y para poner este otro número podríamos poner
n más uno [n+1], n más dos [n+2] y así sucesivamente.
Profesor: aja. Y luego ¿qué más? ¿Cómo obtendrías el valor de n entonces?
Coral: con la fórmula que hicimos con mis compañeros fue que n por n daba a n cuadrada.
85
Profesor: haber escríbela. Allá de aquel lado si quieres.
Coral: [anota en el pizarrón, 𝑛(𝑛+1)
2 =
𝑛2+𝑛
2 ]
Profesor: y ¿ya la comprobaste?
Coral: si, porque cuando hicimos para la, para que, nos salieran estos números [señala los
numero registrados como resultado en la tabla]
Hicimos esta ecuación. [Señaló la siguiente ecuación]
Profesor: haber hazla con un número.
Coral: para comprobarla con la tabla primero n que le dimos el valor de diez [solo anoto el
valor de n=10 en el pizarrón, y las operaciones las hizo mentalmente]
Profesor: haber escríbelo.
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Coral: n=10, entonces diez por diez son cien, y más n, que es diez otra vez, serian ciento diez
y entre dos nos salió a cincuenta y cinco, y así le fuimos haciendo con los demás números y
nos salió, si nos salía el resultado y por eso dijimos que si era, podría ser esta la formula.
Profesor: ¿están de acuerdo los demás?
Alumnos: si
Alberto: si es esa fórmula.
Profesor: ya entendieron de dónde salió.
Alumnos: ya.
Resolviendo sucesión de figuras.
Alberto: solamente que uno por uno es uno y luego uno más dos son tres y dibuje tres cuadritos,
luego tres más dos son cinco y aquí están los cinco[tiene un error al contar], luego son uno,
dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho, nueve, diez , porque tres más , son seis aquí se supone
[señalando la figura tres]
Más cuatro son diez, y luego más cinco son quince, y aquí [señala la figura cinco]
Lo que hice fue hacer lo doble que quince, por dos serian treinta, solamente le agregue dos
cuadros más acá y acá tuve la misma línea y luego ya los fui he, marcando los cuadros para
que quedara de forma que salieran treinta cuadritos y nada más y ya.
Profesor: ¿y para la figura n?
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Alberto: y para la n, este podría ser que n vale por ejemplo, que es un cuadro así [lo dibuja en
su hoja de trabajo] y este es n [la altura del cuadrito] y este es n más uno [n+1, la base del
cuadrito]
Se haría la multiplicación, n por n más uno [n(n+1)] seria n por n, n cuadrada, n más uno
[debió haber dicho n por uno] sería más un n pero le puse como n
Y esto sería como lo explicaba acá [señalo la figura que hizo en su hoja de trabajo para
explicar porque divide entre dos] seria entre dos prácticamente porque sale lo doble
Y entre esto, sería entre dos y seria así 𝑛2+𝑛
2
Profesor: bien.
Luna: pues las figuras, em, n podría ser cualquier número, en eso estamos así, mm este es n y
si le aumentamos uno [señalo la base de su figura 2]
88
Es, sale mm, se multiplica ¿no?, porque es el uno, es, se multiplica por el uno, uno por uno,
es igual a uno, sale un cuadro, y aquí esto es a lo que, le damos valor a n [señala la figura que
realizo en su hoja de trabajo] en estos sustituyéndolo y esto es lo que vendría siendo n más
uno [n+1] en este caso sería dos por n más uno
Profesor: ¿cómo vamos? [Preguntó a Hugo y a chava]
Chava: Aquí por ejemplo es uno por uno es uno [señala la primera figura de una sucesión
que hizo en sus hojas de trabajo] y luego más… hay ya me pase también.
Humberto: uno más uno, uno [comete el error de confundir la suma con la multiplicación]
uno más dos tres, he tres más dos, he, más tres seis, y tres más cuatro diez, aquí me
equivoque, [señala su figura 4]
Chava: ¿tres más cuatro diez? [Pregunto al escuchar que su compañero, cometió un error]
Profesor: ¿tres más cuatro diez? [Preguntó, con la finalidad de que el estudiante se diera
cuenta que cometió un error]
Humberto: [corrige su error] a no, seis más cuatro diez, diez más cinco quince y quince más
seis veintiuno, veintiuno más siete veintiocho, he veintiocho más ocho treinta y seis, y nueve
89
más treinta y seis cuarenta y cinco, y me falto este de poner [se refirió a la figura diez] y seria
cuarenta y cinco más diez, cincuenta y cinco. [Realizo la figura en su hoja de trabajo]
Enrique: Este primero lo que fui haciendo este.
Profesor: aquí ¿Por qué es un cuadrito?
Enrique: un cuadrito, porque uno por uno es uno y luego uno por, uno más dos me salió los
tres luego le agregue más uno que le puse otros tres más aquí [señalo la figura que hizo en su
hoja de trabajo]
Entonces lo dividí entre dos me salió a tres, aquí puse seis cuadritos le agregue, la fórmula
que es más uno, [y] me salieron otros seis. [Lo explico con las siguientes figuras]
Profesor: pero, explícame.
90
Luna: he, se supone que tenemos que sacar la formula ¿no? , y si en la otra tabla, dijimos que
en el cinco, tenía quince cuadritos, [re refirió al renglón cinco de su tabla anterior] bueno
quince unidades, son quince cuadritos aquí.
Si queremos sacar la formula podremos poner cuadritos imaginarios ¿no?
Que si los sumamos en total seria quince, pero queremos saber cómo es la fórmula, entonces
[se apoya de la figura que hizo en su hoja de trabajo] seria cinco por cinco más uno [5(5+1)]
y ese así sería entre dos, sería igual a cinco por seis, porque aquí son seis [señalando la base
de su figura] entre dos. Si lo multiplicamos cinco por seis es igual a treinta entre dos es igual
a quince.
Profesor: y si fuera n, la figura n entonces como quedaría, haber anótalo.
Luna: si fuera n sería lo mismo solo que sustituyendo estos número por n seria n por n más
uno sobre dos sería igual a n cuadrada más n sobre dos y ya [ 𝑛2+𝑛
2 ].
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Dana: hice en este, lo primero que fue poniendo los números de cuadritos que eran, después lo
que hice fue completar un rectángulo y entonces he, hice nueve por lo de acá más uno [señala
la figura que realizo en su hoja de trabajo]
Lo que me aumento y me salió una formula así.
Profesor: haber ¿cuál es la fórmula? anótala.
Dana: seria n más n más uno. [Se equivocó al decir n más n más uno, porque en su expresión
anoto n por n más uno]
Profesor: y eso ¿a qué te da igual?
Dana: [ 𝑛(𝑛+1)
2 ] entre dos para que te de los cuadritos que ya hallas hecho a completando el
rectángulo. [Anotó la formula]
Elisa: la cantidad de cuadritos se podría decir que son seis de altura y buscar un número que
seis, por ejemplo por siete, que sería otro cuadrito, que sería otro cuadrito. [Señaló el lugar
adonde le anexó un cuadrito más a su figura]
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[Y] que sería, seis por siete, cuarenta y dos, entre dos seria veinte uno, y eso sería la mitad del
rectángulo [que formamos con cuadritos adicionales a la figura, que aunque no los trazo señala
su figura seis]
Entonces así sería utilizado en cualquier número podría ser n por n, más uno que sería el cuadro
que falta en un lado [de la base de la figura] entre dos [escribió la expresión general a la que
llegó] que sería la mitad para a completar el rectángulo.
Profesor: ¿cuál sería el cuadro que falta aquí a un lado?
Elisa: ¿el rectángulo?
Profesor: no, ¿Cuál dices que sería el cuadró que falta a un lado? ¿Cuál?
Elisa: ha de este lado [dibujo el cuadrado que le agrego a la base]
Profesor: ese ¿Cuál es?
Elisa: sería el más uno.
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Profesor: ha, y si te da para los demás. [La fórmula que obtuviste si te sirve para calcular, el
número de cuadritos de otras figuras]
Elisa: y seis por siete son cuarenta y dos entre dos seria veintiuno y es la cantidad de
cuadritos, que dice.
Humberto: uno más… por uno, uno sobre dos.
Profesor: no pero. [Le indico siga trabajando porque, no ha avanzado, en relación a lo que ya
anteriormente había explicado]
Chava: uno por uno da uno.
Profesor: a ver, ¿Cómo?
Chava: aja porque es el numero anterior, cero más uno da uno, después nos da uno más dos
son tres, después tres más tres da seis.
Profesor: mju.
Chava: después seis más cuatro da diez, después diez más cinco son quince, después quince
más seis son veintiuno, después veintiuno más siete son veintiocho, [en seguida] veintiocho
más ocho son treinta y seis, y así sucesivamente hasta llegar al cincuenta y cinco. [Registró
sus resultados usando figuras]
Profesor: y si fuera n
Chava: y si fuera n seria n.
Profesor: haber anótalo ahí.
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Chava: ¿aquí? Seria n más… por n más uno y entre dos seria todo. [Cometió un error al
anotar la expresión]
Enrique: Aquí es cero más uno me da uno, uno más dos me da tres, luego tres más otro tres
me da seis, luego seis más cuatro me da diez, luego diez que están aquí todos estos [señala su
figura] más otros cinco me da quince luego este, uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho,
nueve, diez, once, doce, trece, catorce, quince, quince más seis me da veintiuno y luego aquí
en este sería diez quince veintiuno más sietes me da veintiocho. [Realizo una sucesión de
figuras, para explicar lo que hizo]
Profesor: y por ejemplo si fuera el lugar n cuantos cuadritos tendría la figura n
Enrique: heee este el doble.
Profesor: haber ¿cómo sería? ¿Cómo lo escribirías?
Enrique: este n por n más uno entre dos [ 𝑛(𝑛+1)
2 ].
Por ejemplo n por, bueno le agregue este, esta cantidad igual a cinco por ejemplo.
Profesor: igual a ¿Qué?
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Enrique: por ejemplo. Ha este, aquí [señala la figura siete que tiene en su hoja de trabajo] que
son veintiocho cuadritos, por dos me salen cincuenta y seis y luego lo dividí entre dos y
vuelve a salir otra vez veintiocho así.
Profesor: muy bien.
Humberto: cero, uno más dos tres, tres más tres seis he seis más cuatro diez. [Explicó sus
conclusiones finales, apoyándose de la sucesión de figuras las figuras]
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Tarea dos:
Alberto: tres más cuatro son siete, cuatro más cinco son nueve, y seis más siete son once, no
seis más siete son trece y siete más ocho con quince, esa sería una relación pero pues como la
explicaría. [Propone una suma entré los número de triángulos, para calcular el número de
palillos que integra a cada figura formada por triángulos de acurdo a su posición]
Enrique: yo por ejemplo también encontré, por ejemplo el uno el, doble [lo multiplicó por
dos] le agregue más uno son tres, el dos así por el doble, es cuatro más uno cinco, tres por
dos seis, más uno siete, cuatro por dos ocho más uno nueve, así. [Propuso elevar al cuadrado
el número de la figura y sumarle uno para obtener la cantidad de palillos que la forman]
Profesor: vallan contestando sus preguntas.
Chava: n podría ser n menos uno, aja, ese podría ser más dos para sacar cuantos tiene n,
después de ahí n más uno.
Profesor: eso ¿de qué es?
Chava: para sacar esto [la respuesta a una de las preguntas de su problema]
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Cuantos palillos tiene, pero le decía yo que para poder sacar cuantos palillos tiene n, primero
tenemos que saber cuántos palillos tiene la figura que esta antes de la n, por eso es n menos
uno [n-1], y a ese se le suman dos y, ya resultan los palillos que tiene n y, ya después para
sacar el número de palillos que tiene la figura que sigue después de n, por eso ponemos n más
dos, da igual a n a los números de palillos que tiene la figura n más uno. [Lo representó así]
Profesor: ¿que representa n ahí? entones
Chava: es la figura que no conocemos, no sabemos que numero de figura es, y no sabemos
cuántos palillos tiene, por eso la representamos con una literal, porque es algo desconocido y
queremos sacar su valor.
Profesor: y con eso que escribes ahí, ¿tú crees que vas a obtener el valor de n?
Chava: sí.
Profesor: ¿Qué opinas caro?
Coral: yo digo que para sacar el. Saber cuántos palillos tiene la literal n podríamos poner
primero una formula, por ejemplo n más dos porque son los palillos que va aumentando y
este.
Profesor: haber que hiciste.
Coral: pero no apenas la estaba planteando.
Elisa: no es que estaba diciendo, que si entonces seria n más tres entre dos, por ejemplo este,
[estaba calculando el número de bolas para la figura n]
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Que es tres más otros tres serian seis entre dos quedaría tres.
Profesor: y ahí, ¿si se cumple? [¿Se cumple en la figura dos?]
Elisa: cuatro más tres siete entre dos no. entonces. [No se cumple]
Humberto: se suma más dos, si te da uno más dos tres, cuando el dos, el dos más. Tres más
dos cinco después, cinco más dos siete, siete más dos nueve, nueve más dos once, once más
dos trece y así sucesivamente. [Utilizó los números de palillos
Anteriores para calcular el número de palillos que sigue]
Profesor: pero ahí n que representa.
Humberto: el número de palillos.
Profesor: y tú quieres, si hablamos de que. Cuando n es ¿Qué? [Quiso hacer recordar al
estudiante que n representa cierto número de figura]
Humberto: cuando la integran los palillos.
Profesor: que dice la pregunta.
Humberto: si hablamos de la figura n ¿cuantos palillos la integran?
Elisa: n más dos que son los palillos que van aumentando.
Profesor: ¿sí? A ver, entonces la figura cuatro cuantos palillos tiene.
Elisa: nueve. Digamos que es n [señala la tablita de su hoja de trabajo] más dos seria once.
Profesor: pero aquí en este caso de la figura cuatro ¿cuánto vale n?
Humberto: siete
Elisa: siete.
Humberto: siete más dos nueve.
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Profesor: haber observen bien observen bien tal vez allá algún error. [Para que los alumnos
pudieran darse cuenta que n representa el número de figura, en el caso de la figura cuatro n
valdrá cuatro]
Dana: tenemos dos fórmulas que más o menos quedan.
Profesor: dos fórmulas haber ¿Cuál? y ¿Cuál?
Manuel: [explicó los resultados a los que llegaron]
En este caso en el número de bolas el producto n seria el número de triangulo y se le
aumentan dos y da tres. Un n es uno se le aumentan dos da tres, n es dos más dos da cuatro, n
es tres más dos da cinco, n es cuatro más dos da seis, n es cinco más dos da siete, seis más
dos da ocho, siete más dos da nueve, y así en una formula.
Profesor: para obtener ¿Qué?
Manuel y Dana: el número de bolas. [Explicaron sus resultados]
Dana: y para los palillos también habíamos encontrado que sería esto [señaló que, n por
ejemplo sería uno más n.
Profesor: más uno.
Dana: aja más uno y te van saliendo algunos resultados como estos [señaló los resultados que
registro en su tabla].
100
Profesor: si haber anótenla bien como quedaría esa que me explicaron ahorita.
Manuel: ¿Cuál? ¿Esta? De n más n más 1 [n+n+1]
Profesor: aja.
Manuel: bueno podría ser así.
Profesor: por que
Manuel: o podría ser de otra forma la verdad porque, esta [n +(n+1)] tiene que ser de manera
independiente, es el número de triángulos y el resultado va a equivaler al número de palillos,
uno más uno, bueno uno más dos que sería uno, bueno este es uno [señaló sus notas] bueno
espere le voy a explicar de una forma especial.
Supongamos que n es uno (n=1) más uno, más uno quedaría el, le daría tres [(1+ (1+1)=3], dos
más dos más uno quedaría igual a cinco. [(2+ (2+1))=5]
Profesor: y porque arriba uno y abajo dos.
Manuel: bueno es que la n es el número de triángulos.
Dana: porque n podría ser cualquier número.
Manuel: n podría ser cualquier variante.
Profesor: ha ya, y si se cumple.
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Manuel: si la verdad si se cumple en todas las ocasiones. Haber supongamos, que tenemos
nueve más nueve más uno, y tenemos diez más nueve diecinueve [9+ (9+1)=19].
Profesor: y te da ¿qué número te da? ¿El número de qué?
Manuel: el número de palillos.
Profesor: entonces el número de palillos para la figura n ¿cómo quedaría?
Manuel: es n más n más uno [n+(n+1)] o tal vez se podría expresar de otra forma. [Realizó
algunos ejemplos, dándole valores a n]
Profesor: cuál sería la otra forma.
Manuel: la voy a buscar.
Profesor: bueno cuando la tengas me dices.
Alberto: tenemos que buscar un resultado o como lo podemos hacer. [Se refirió a la pregunta
del inciso numero dos]
Profesor: pues si ¿no?, tiene que haber una respuesta para esa pregunta.
Alberto: porque para esta respuesta yo le puse que es n también porque n es un número que no
conocemos y por lo cual tampoco conocemos los palillos y por eso le puse que también la
respuesta es n
102
Profesor: mm ¿Qué pusiste en tu pregunta uno?
Alberto: que el número de triángulos más el número de triángulos que sigue ya se puede
obtener el número de palillos, en este caso puede ser el número de triángulos, el uno más el
dos, el número de palillos es tres y luego dos más tres cinco, tres más cuatro, son siete y así
sucesivamente y si da. [Dio su explicación utilizando su tabla de datos]
Profesor: ha y si acá [señalo la parte final de tabla en la que están registrados el número de
triángulos], el triángulo fuera el triángulo n ¿cómo sería?
Alberto: seria por ejemplo que aquí fuera n seria diez por diez más n y es igual a diez n así
quedaría. [Hizo anotaciones mientras explicaba]
Profesor: [señalando la parte final de la tabla] y que seguiría acá.
Alberto: seria n+1.
Profesor: y para sacar el que sigue ¿cómo sería entonces?
Alberto: he seria n+(n+1).
Profesor: igual a ¿Qué?
Alberto: he
Profesor: igual a que eso seria.
Alberto: n + n son n cuadrada, n cuadrada más uno. [Se equivocó al sumar las enes]
Profesor: ¿apoco si n + n, es n cuadrada más uno? ¿Tú qué opinas? (pregunta a Erick)
Enrique: ¿cómo dice?
103
Profesor: dice el que n+(n+1) es n cuadrada más uno.
Enrique: no, porque es n por n si da al cuadrado.
Profesor: pero n+n ¿no verdad?
Enrique: no, sería n.
Alberto: sería dos n ¿no?
Enrique: aja seria 2n
Alberto: 2n+1 seria aquí el número de palillos 2n + 1.
Profesor: y esa podría ser respuesta de alguna de tus preguntas.
Alberto: si de la dos. [Por lo tanto corrige la respuesta que tenía en la pregunta dos]
Profesor: haber chécale, estas seguro.
Alberto: sí.
[Coral y chava, trabajando con el mismo problema, dieron la siguiente explicación]
Coral: para formar otro triangulo se aumentan dos palillos.
Chava: al formar otro triangulo se aumentan dos palillos.
Profesor: mmm entonces el triángulo uno ¿cuantos palillos tiene?
Coral y chava: tres.
Profesor: y el triángulo dos.
Chava: la figura dos tendría
Coral: [respondió] cinco palillos.
Profesor: mm y la figura tres.
Coral: siete.
104
Profesor: y la figura n
Chava: es la que apenas estamos sacando.
Profesor: ¿Qué dice tu explicación de la pregunta uno?
Coral: que van aumentando dos palillos con forme se integran los triángulos, ósea para
formar otro triangulo solo se necesitan dos palillos y una bolita.
Profesor: mm aja.
105
Tarea tres.
En un rectángulo formado por cuadrados cuantos cuadrados cortara una diagonal trazada
entre dos de sus vértices cuando hablamos de un rectángulo de n x m cuadritos.
Manuel: [realizó algunas figuras como las siguientes]
En este trabajo, que un número impar determina la cantidad de cuadros cruzados por la línea
por el siguiente número par, como por ejemplo tenemos al tres que es un número impar que
cruza cuatro cuadritos y al cuatro q es número par igual cruza a cuatro cuadros, siguiente
ejemplo que es la figura cinco cruza, uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis; seis cuadros y en esta
también [dirigiéndose a la figura seis] uno, dos, tres, cuatro, cinco y seis; ósea que debe haber
una regla entre ellos dos también se encuentra el caso del uno y del dos, uno y dos, [señalando
sus figura dice] uno y dos y este también cruza dos igual. Lleva una regla.
Profesor: hay que tratar de encontrar la relación, para resolver el problema que les pide ahí.
Chava: como dice aquí, iré yo saque más o menos como esta fórmula, [n + m + 2] que
sumaba yo la n que es la altura más m que es lo largo por ejemplo aquí [realizo algunas
figuras]
106
En este que hice de uno de altura que n [y de largo dos] es uno más dos que tiene de largo,
dos más uno son tres y a no aquí es uno [corrige lo que había escrito mal, n + m + 1] menos
uno daba el número de cuadritos que se cortaban y aquí también da por ejemplo aquí de largo
tiene tres y de altura dos tres más dos son cinco menos uno cuatro y es el número de cuadritos
que corta.
Profesor: y en otro.
Chava: en este también, como tiene un cuatro de largo más tres de altura son siete y menos
uno da seis y eso son los que corta, es uno, dos, tres, cuatro, cinco y seis.
Profesor: haber para los demás ¿también se cumple?
Chava: para estos también [señala otras de las figuras que tiene en su hoja de trabajo]
107
Pero con un largo mas también se cumple porque, iré [ mire] aquí tiene, uno, dos, tres,
cuatro, cinco, mas tres con ocho y corta sí.., menos uno da siete y corta, uno, dos, tres,
cuatro, cinco, seis y siete.
Profesor: apoco ese también [se refirió a un cuadrito de la figura que supuestamente corta a
diagonal pero es dudoso por la exactitud del trazo]
Chava: si porque lo corta un cacho, un tantito.
Profesor: haber de cuanto es la figura.
Chava: es de dos por cinco [se equivocó]
Profesor: de tres por cinco. [Corrigió]
Chava: aja de tres por cinco.
Profesor: a si
Chava: y corta siete, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, y también para este más largo, uno,
dos, tres, cuatro, cinco, seis, mas tres son nueve menos uno da ocho y corta ocho, uno, dos,
tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho.
Profesor: ¿apoco si corta ocho?
Chava: si aunque solamente la esquina de este.
Profesor: pero ¿no pasa sobre el vértice? Ahí. [Señalando una parte por donde pasa la
diagonal]
Chava: no, nada más como no está bien, no tiene mucha punta mi lápiz.
[Profesor: te dejo para que sigas realizando más figuras y observando que es lo que pasa]
Alberto: [explico lo que lleva analizado apoyándose de unas figuras que realizo]
108
Por cada altura. Por ejemplo este [señala una de que tiene de altura dos], he, [la] fórmula
para los números par es n por m entre dos, un ejemplo un numero par es este [señala la
figura de base ocho]
Por ejemplo, dos por ocho son dieciséis, entre dos es a ocho, y cortan ocho [cuadritos la
diagonal], y para números impar es n por m entre dos más uno, por ejemplo este [señala la
figura de base tres]
109
Es dos por tres son seis entre dos es a tres más uno son cuatro y cortan cuatro.
Profesor: y ¿si se cumple?
Alberto: en esta sí pero.
Profesor: para el de, por ejemplo ¿uno de altura dos y de largo doce?
Alberto: he pues el doce es número par. Por ejemplo uno, ¿de uno dijo?
Profesor: de altura dos.
Alberto: este dos por doce, serian catorce entre [se equivocó pero corrigió en seguida]. No
dos por doce serian veinticuatro entre dos es a doce y cortarían doce cuadritos solamente.
Profesor: ¿cuál es tu generalización? Ahí.
Alberto: he,
Humberto: yo que.
Profesor: tú formula general. [Escribe una forma general de expresar lo que me acabas de
explicar]
Humberto: sobre la altura que son, [es] dos va ser manera de que la vamos a dividir.
Profesor: tu forma general ¿Cuál sería?
Alberto: que para otro ejemplo, que para el de altura tres solamente le aumenta un número en
el que se divide y en el que se suma por ejemplo, n por m más dos entre tres ese seria para
número impar, he, este el tres, seria tres por cinco quince entre tres a cinco más dos son siete
y corta, uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete.
Humberto: ah! y estas fórmulas [señaló las formulas]
110
Pueden resultar siendo para las dos porque al ser de ocho, tres por ocho veinticuatro, sobre
tres te da ocho, y podría ser más dos y, ya te dan los diez que corta aquí. Esas dos fórmulas
sirven para los dos por ejemplo para aquí nada más sería la de, la que podría ser para número
impar.
Profesor: mju. Bueno esas sirven para los de altura dos y de ¿altura?
Albero: tres.
Profesor: tres, y por ejemplo ¿de altura cuatro?
Alberto: este solamente cambiaría la división [el dividendo en lugar de ser tres será cuatro] por
ejemplo entre cuatro y sería más tres. Así.
Profesor: y para n por m
Humberto: seria n por m sobre.
Humberto: sobre n más m por ejemplo.
Profesor: haber traten de explicarlo de una mejor manera y me llaman y ya lo comentamos.
Elisa: [explico lo que realizo hasta ese momento, apoyada de sus figuras que realizo]
111
Los números impares [se refirió cuando la base es impar] se les resta dos, para saber el
número de cuadritos que son cortados, y a los pares se les resta uno.
Profesor: pero ¿a qué parte le restas uno o dos?
Elisa: por ejemplo así, cuatro más dos son seis, [señaló la figura de base cuatro y altura dos]
Como es par se les restan dos quedan cuatro el número de cuadritos que son cortados y
como este [señaló la base de la figura de base cinco]
Es impar, son cinco, [de la base], seis, siete, [al sumar los dos, de la altura] menos uno
quedan seis.
Profesor: ¿Dónde es impar?
Elisa: porque es el cinco de la [base de la figura], y es impar el número de este. [Señaló la
base de su figura]
Profesor: he, ¿lo largo?
Elisa: mju [si], y como es cinco más dos son siete y como es impar se le resta uno y quedan
seis. Y este son [señaló otra figura de base seis]
112
Seis, [de la base, mas] siete, ocho. [Por los dos de la altura] Menos dos como es par quedan
seis.
Profesor: y si fuera n y m cuando es par y cuando es impar como quedaría.
Elisa: mmm, haber.
Profesor: no. ¿Todavía no?
Elisa: no.
Profesor: haber trata de escribirla. [La dejó, para que siguiera trabajando]
Chava: [dibujó un rectángulo en blanco]
Si está limpio, en limpio no se podría ver si es impar a lo largo o es par o es impar porque
no estará cuadriculada, ya aquí [mostro sus otras figuras que realizó]
Sí se puede ver si es par o impar pero en una situación así que la hoja estuviera blanca no se
podría ver.
Profesor: pero ¿Cuál?, ¿qué dice el problema? haber. … ¿qué dice? [Le preguntó eso para que
se diera cuenta que el problema nos pide trabajar solo con rectángulos formados por cuadros]
Chava: [lee el problema] que en un rectángulo formado por cuadros, cuantos cuadros cortara
una diagonal trazada entre dos de sus vértices, cuando hablamos de un rectángulo de n por m
cuadritos.
113
Profesor: entonces que significa, que tiene que estar formado el rectángulo ¿por?
Chava y caro: cuadritos.
Profesor: por cuadros ¿verdad? ... si verdad ¿estás de acuerdo?
Chava: sí.
Santamaria: [explicó su conclusión para figuras de base par]
Números pares por ejemplo este [utilizó de ejemplo un cuadrado]
Multiplicamos n por m que sería dos por dos menos m menos dos seria dos,
Para este
Dos [de altura] por cuatro [de la base, son] ocho menos cuatro, [igual a] cuatro.
Profesor: y ¿si sale para?, y ¿para los de altura tres, también?
Santamaria: no, para ese no.
114
Profesor: ¿no?
Panorámico 1:
Alberto: si por ejemplo el largo es diez va haber unos cuadros que no va a cortar.
Profesor: pus haber.
Albero: varios.
Manuel: va a quedar inconcluso.
Profesor: empiecen hacer sus figuras.
Alberto: he lo podemos hacer en la libreta.
Profesor: claro para eso es el cuaderno, ahí les pongo unas sugerencias [en las hojas que les
di], para que se vallan guiando pero ustedes tienen que hacer más y vallan anotando lo que
vallan observando eso les va ayudar mucho a encontrar la solución de un rectángulo de n por
m.
Alberto: porque por ejemplo aquí este [Mostro una de sus figuras y señalo un cuadrado de
esa figura que no es cortado por la diagonal] ya no lo corta.
Profesor: bueno nada más hay que contar los que corta verdad.
Manuel: o encontrar una relación dependiendo dela altura.
Profesor: así es…. Si tienen dudas me dicen para que me acerque. …vallan haciendo sus
figuritas, traten de hacerlas lo más exactas posibles para que puedan observar bien.
Manuel: profe venga.
Profesor: que paso miguel
Manuel: (video 1)
Manuel: [realizó algunas figuras como las siguientes]
115
En este trabajo, que un número impar determina la cantidad de cuadros cruzados por la línea
por el siguiente número par, como por ejemplo tenemos al tres que es un número impar que
cruza cuatro cuadritos y al cuatro q es número par igual cruza a cuatro cuadros, siguiente
ejemplo que es la figura cinco cruza, uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis; seis cuadros y en esta
también [señaló a la figura seis] uno, dos, tres, cuatro, cinco y seis; ósea que debe haber una
regla entre ellos dos también se encuentra el caso del uno y del dos, uno y dos, [señaló sus
figura dice] uno y dos y este también cruza dos igual. Lleva una regla.
Profesor: hay que tratar de encontrar la relación, para resolver el problema que les pide ahí.
Elisa: la altura y la base ¿pueden cambiar?
Profesor: si, puede varias porque es de n por m quiere decir que es una altura que no
conocemos puede medir uno, puede medir veinte, cien, sí, pero es de manera general,
entonces por eso dices que es un rectángulo formado por n cuadritos de altura y m cuadritos
de largo. Entones hay que encontrar una forma general de representarlo.
Profesor: porque dices que no es la misma Aldo.
Alberto: porque ya la hice y me da lo mismo
Chava: a mí sí me sale lo mismo.
Profesor: haber
Chava: (video 2)
116
Chava: como dice aquí, iré yo saque más o menos como esta fórmula, [n + m + 2] que
sumaba yo la n que es la altura más m que es lo largo por ejemplo aquí [realizo algunas
figuras]
En este que hice de uno de altura que n [y de largo dos] es uno más dos que tiene de largo,
dos más uno son tres y a no aquí es uno [corrige lo que había escrito mal, n + m + 1] menos
uno daba el número de cuadritos que se cortaban y aquí también da por ejemplo aquí de largo
tiene tres y de altura dos tres más dos son cinco menos uno cuatro y es el número de cuadritos
que corta.
Profesor: y en otro.
Chava: en este también, como tiene un cuatro de largo más tres de altura son siete y menos
uno da seis y eso son los que corta, es uno, dos, tres, cuatro, cinco y seis.
Profesor: haber para los demás ¿también se cumple?
Chava: para estos también [señala otras de las figuras que tiene en su hoja de trabajo]
117
Pero con un largo mas también se cumple porque, iré [ mire] aquí tiene, uno, dos, tres,
cuatro, cinco, más tres con ocho y corta sí.., menos uno da siete y corta, uno, dos, tres,
cuatro, cinco, seis y siete.
Profesor: apoco ese también [se refirió a un cuadrito de la figura que supuestamente corta a
diagonal pero es dudoso por la exactitud del trazo]
Chava: si porque lo corta un cacho, un tantito.
Profesor: haber de cuanto es la figura.
Chava: es de dos por cinco [se equivocó]
Profesor: de tres por cinco. [Corrigió]
Chava: aja de tres por cinco.
Profesor: a si
Chava: y corta siete, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, y también para este más largo, uno,
dos, tres, cuatro, cinco, seis, más tres son nueve menos uno da ocho y corta ocho, uno, dos,
tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho.
Profesor: ¿apoco si corta ocho?
Chava: si aunque solamente la esquina de este.
Profesor: pero ¿no pasa sobre el vértice? Ahí. [Señaló una parte por donde pasa la diagonal]
Chava: no, nada más como no está bien, no tiene mucha punta mi lápiz.
Profesor: [usó software, Geo Gebra, realizo la figura y la proyecto para que todos la
observaran]
118
Haber vamos a ver, voy a poner aquí para ver si realmente corta los ocho que dices, es de
¿tres por seis? [La figura]
Chava: sí.
Profesor: cuantos corta.
Chava: seis, ¿no?, pasa sobre el vértice. [La diagonal paso sobre el vértice de algunos
cuadros]
Alumnos: seis.
Profesor: pero más o menos ya ahí podrías establecer una conjetura de algo verdad, ahora
observa para qué figuras te sirve y para cuáles no.
Alberto: profe puede venir tantito, nosotros este,
Humberto: encontramos dos formulas
Alberto: Dos fórmulas por cada altura (video 3)
Alberto: [explico lo que lleva analizado apoyándose de unas figuras que realizo]
119
Por cada altura. Por ejemplo este [señala una de que tiene de altura dos], he, [la] fórmula para
los números par es n por m entre dos, un ejemplo un numero par es este [señala la figura de
base ocho]
Por ejemplo, dos por ocho son dieciséis, entre dos es a ocho, y cortan ocho [cuadritos la
diagonal], y para números impar es n por m entre dos más uno, por ejemplo este [señala la
figura de base tres]
Es dos por tres son seis entre dos es a tres más uno son cuatro y cortan cuatro.
Profesor: y ¿si se cumple?
Alberto: en esta sí pero.
120
Profesor: para el de, por ejemplo ¿uno de altura dos y de largo doce?
Alberto: he pues el doce es número par. Por ejemplo uno, ¿de uno dijo?
Profesor: de altura dos.
Alberto: este dos, por doce, serian catorce entre [se equivocó pero corrigió en seguida]. No
dos por doce serian veinticuatro entre dos es a doce y cortarían doce cuadritos solamente.
Profesor: ¿cuál es tu generalización? Ahí.
Alberto: he,
Humberto: yo que.
Profesor: tú formula general. [Escribió una forma general de expresar lo que me acabas de
explicar]
Humberto: sobre la altura que son, [es] dos va ser manera de que la vamos a dividir.
Profesor: tu forma general ¿Cuál sería?
Alberto: que para otro ejemplo, que para el de altura tres solamente le aumenta un número en
el que se divide y en el que se suma por ejemplo, n por m más dos entre tres ese seria para
número impar, he este el tres, seria tres por cinco quince entre tres a cinco más dos son siete
y corta, uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete.
Humberto: a y estas fórmulas [señaló las formulas]
Pueden resultar siendo para las dos porque al ser de ocho, tres por ocho veinticuatro, sobre
tres te da ocho, y podría ser más dos y, ya te dan los diez que corta aquí. Esas dos fórmulas
sirven para los dos por ejemplo para aquí nada más sería la de, la que podría ser para número
impar.
121
Profesor: mju. Bueno esas sirven para los de altura dos y de ¿altura?
Alberto: tres.
Profesor: tres, y por ejemplo ¿de altura cuatro?
Alberto: este solamente cambiaría la división [el dividendo en lugar de ser tres será cuatro] por
ejemplo entre cuatro y sería más tres. Así.
Profesor: y para n por m
Humberto: seria n por m sobre.
Humberto: sobre n más m por ejemplo.
Profesor: haber traten de explicarlo de una mejor manera y me llaman y ya lo comentamos.
Chava: profe si podría poner uno de largo cuatro y de altura dos. [Solicitó que el profesor
proyecte una figura con las medidas dichas]
Profesor: si la que quieras. … ¿altura dos y largo cuatro?
Chava: mju.
Profesor: ahí está….
Vallan anotando todo lo que observen, no se les valla olvidando.
Manuel: profe estábamos viendo algo del teorema de tales. Me acabo de acordar.
Profesor: apoco.
Manuel: si
122
Profesor: haber, haber pase uno de los dos. Haber de favor que pusiéramos atención a lo que
les va compartir su compañera.
Luna: [explicó apoyándose de dos figuras q realizo en el pizarrón]
Manuel y yo sacamos una formula, bueno una fórmula para cada uno, [una para las figuras de
base par, y otra para las figuras de base impar] porque bueno hasta el momento no hemos
podido sacar una para todo. Este, la primera es para los números pares que es esta. Y, es n+m.
[señala la altura de la figura] tomando en cuenta que esto es n y esto [señalando la base de la
figura] es m respectivamente. Y, (n+m)-2 ¿Por qué menos dos?, en estos dos [mostro las
dos figuras que trazo]
Da el mismo resultado de las líneas, de los cuadritos que intersecta la diagonal, en ambos el
resultado es cuatro, y bueno nosotros al principio hicimos una y para los demás nos salía y
entonces para esta
123
Como es número par son cuatro cuadritos nada más, aquí es dos más cuatro es igual a seis
menos dos es igual a cuatro, que son los números de cuadritos que intersecta la línea recta.
En la de acá [señaló la figura de base tres y altura dos]
Es casi lo mismo solo que es menos uno [anota en el pizarrón] (n+m)-1
Profesor: ¿para cual es menos uno?
Luna: para este de acá [señaló la primer figura q hizo en el pizarrón] bueno también lleva,
haaa, menos cuatro [se equivocó al decirlo, en realidad quiso decir cuatro], porque n+m, [les
dio valores a n=2 y m=5, de acuerdo a su primer figura] son dos más tres iguala cinco, cinco
menos uno, es igual a cuatro y también es el mismo número de cuadritos que atraviesa la
diagonal.
Profesor: entonces el menos uno es ¿para qué número?
Luna: para los impares.
Profesor: ¿y el menos dos?
Luna: para los pares.
Profesor: y si sale para las otras. [¿Si se puede utilizar esa fórmula para otras figuras?]
Luna: mm sí.
Coral: para la de altura dos. .
Alberto: para la de altura uno no.
Profesor: altura uno no. ¿Pero altura tres? Por ejemplo si tuviéramos uno de altura tres por
seis de largo. Haber luna.
124
Luna: ¿de altura tres por seis de largo?
Profesor: aja
Luna: ¿si esta se cumple para la de tres?
Profesor: aja, haber uno de tres por seis.
Luna: no, no sale. [Solo miró sus notas y no realizo los trazó en el pizarrón]
Alumnos: si sale. Si sale.
Profesor: haber quien lo pasa hacer. Ha estamos viendo de tres de altura por seis ¿verdad?
Humberto: bueno yo encontré una formula general. La fórmula general para los números
pares seria n por m sobre dos, y para los números impares seria, n por ha. A no aquí no es
sobre n [corrige la expresión para números pares (n) (m)/n] aquí seria [(n) (m)/n]-(n-1)] esas
son mis dos fórmulas.
Profesor: la de arriba para que es [refiriéndose a la primera fórmula]
Humberto: es para los números pares, y esta [señalando la fórmula de la parte inferior] es para
los impares [señalando la segunda fórmula] pero hay ocasiones en que puede ser al revés, en
los números pares o impares.
Profesor: pero entonces no estaríamos encontrando realmente una [forma] general o ¿sí?
Alumnos: nooo, sería una para cada una.
Profesor: entonces estábamos comprobando la de luz verdad. Le decía yo que me hicieran.
Humberto: la de tres.
Profesor: aja
125
La de tres por seis, tres de alto por seis de largo.
Manuel: profe hay una, hay una ecuación, bueno no es ecuación en verdad, pero hay una forma
que resulto muy extraña en los términos de dos, bueno dos de altura de los números pares.
Profesor: si, ya la anotaste ahí en tu. [Hoja de notas]
Manuel: si, parece que sí. Una fórmula, que era como si pusiera algo así n+m-n, que le
explique una formula así… de echo era como si pusiera 4+2-2, y dije porque no solo ponemos
m y dice [mi compañera] no porque, que no va a servir, le voy a explicar al profe a ver si sale,
le pregunte y así fue como le dije profe.
Profesor: y esa ¿para qué números?, ¿para qué cuadrados?, ¿para qué rectángulos son? perdón.
Manuel: de hecho es para los que tienen mmm, a no sigo investigando eso, pero para lo que
nos salió fue para los números pares pero parece que hay mm…
Profesor: cuando n y m son...
Alumnos: múltiplos.
Profesor: son múltiplos verdad si n y m son múltiplos entonces cuantos cuadritos va a cortar.
Manuel: los mismo que m.
Profesor: y por ejemplo si tuviéramos [realiza una figura en el pizarrón]
Se cumplirá, a ver los demás si tuviéramos esa figura dicen ustedes que se corta... Se
cumplirá. ¿Cuántos corta?
Elisa: cuatro.
Miguel: corta, cuatro profe.
126
Chava: es que él lo puso al revés.
Profesor: entonces ahí no corta el número… no corta.
Elisa: menos m entonces ahí.
Chava: no profe es que el en lo que explico acá [se refirió a lo que explico miguel
anteriormente] lo explico al revés, tendría que a ver sido dos más cuatro menos dos. Porque
ahí primero puso cuatro.
Manuel: esta es la fórmula original. [Señaló la forma general que escribió, n+m-n]
Elisa: es que as de cuenta que cambio la altura por la base.
Chava: es que ahí tendría que a ver puesto, primero dos más cuatro menos dos para que
hubiera, hubiese salido, porque si no, no saldría, porque no cortaría dos cuadritos nada más.
Humberto: podría ser n menos m igual a n.
Manuel: la neta quien sabe.
Profesor: haber para esas figuras [dibujo otra figura más pero de altura dos y de largo cuatro].
Elisa: cuatro.
Profesor: haber vamos a organizarnos, me decían que para cuando n y m son múltiplos el
número de cuadritos que corta la diagonal es igual ¿ha?
Manuel: m
Alberto: m
Elisa: m
Profesor: entonces aquí n y m están de acuerdo que son múltiplos [señaló la figura de altura
cuatro y de largo dos] y apoco corta este ¿dos? ¿No verdad? , pero acá [ahora señaló la
figura de altura dos y largo cuatro]
127
Chava: ahí si corta.
Profesor: entonces a lo mejor la idea está bien, nada más que hay que expresarla de otra
forma verdad.
Manuel: si podría ser.
Profesor: ¿Qué? observamos aquí. [Señaló la figura de altura cuatro y de largo dos]
¿Cuantos cuadritos corto? [Señaló la figura que estaba en la parte superior]
Alumnos: cuatro.
Profesor: ¿acá? [En la figura de la parte inferior]
Alumnos: cuatro.
Profesor: en eso coincidimos un poco verdad y cuatro que representa, [en los rectángulos]
¿la parte más qué?
Alumnos: larga.
Profesor: más larga o más grande de.
Alumnos: el rectángulo
Profesores: entonces, ¿cómo podríamos expresar eso?
Chava: para la figura de abajo [señaló la figura de altura dos y largo cuatro]. Seria n más m,
menos n y para la de arriba seria [señalando la figura de altura cuatro y de largo dos] m más
n menos m.
Profesor: pero podemos hacer una sola expresión como quedaría.
Coral: n por n menos m.
Chava: n cuadrada menos m cuadrada.
Coral: no
Elisa: n cuadrada menos m cuadrada menos dos.
Manuel: podría ser n mayúscula y n minúscula.
Profesor: mm no creo. ¿Cómo podría quedar? Haber Humberto.
128
Humberto: podría ser n más n igual a m que vendría siendo la suma que daría los... por ejemplo
dos más dos cuatro, y como hay cuatro hacia el otro lado de m es valor a cuatro es igual a
cuatro y así podría ser con los demás.
Profesor: estás de acuerdo. [Preguntó a Alberto]
Alberto: no.
Profesor: ¿cómo podría ser Alberto?
Alberto: he como dice Humberto no, porque por ejemplo de dos, el de m, n sea dos y m sea
seis, pues no da porque como él dice que es n más n, si n, tengo como dos y dos más dos son
cuatro, y hacia acá [se refiere así a lo largo de la figura] ya son seis, importan seis decimos
prácticamente.
Profesor: seis ¿Qué?
Alberto: seis cuadritos, seis cuadritos, y como usted dice que la formula este puede ser m
podría quedar qué.
Profesor: yo dije que la formula puede ser m.
Alberto: no nosotros dijimos, que la formula general, para cuando n y m son múltiplos este,
el lado más largo va a ser el número de cuadritos de, que los cortan.
Profesor: más o menos hay quedo la idea. Entonces si les preguntara, si yo les dijera, tienen
un rectángulo formado por cuadros si, con n cuadros de altura y m cuadros de largo, o
viceversa verdad m de altura y n de largo. ¿Cuál será el número de cuadritos que cortara la
diagonal si m y n son múltiplos?
Alberto: m
Dana: seria el lado más grande del rectángulo.
Chava: si m es el largo corta m cuadritos pero si n es el largo corta n cuadritos.
Profesor: y si no supiéramos cual es el más largo o el más corto, ¿Cómo quedaría?
Alberto: m, n.
Profesor: no, ¿cómo lo podríamos expresar? ¿Cómo lo podríamos decir?
129
Humberto: n o m.
Chava: si no supiéramos cual es el más grande no sería rectángulo seria cuadrado.
Profesor: no, ¿Por qué? El hecho de que no sepamos cual [lado de la figura] es más largo o
más corto no implica que sean iguales. Ya lo habías dicho Aldo.
Alberto: he porque de lo que dije fue de que la formula general para cuando n y m son
múltiplos es m o también puede ser el lado más largo del rectángulo.
Profesor: ahí tendrías que elegir o m o el lado más largo.
Humberto: es que yo digo que siempre va a ser el lado más largo lo que vamos a encontrar
en los múltiplos por ejemplo si fuera n el lado más largo el resultado tendría que ser m n,
porque m seria el lado más corto y no sería el número de cuadros que cortarían.
Profesor: entonces a manera de conclusión Elisa, ¿Cómo quedaría? Cuando m y n son
múltiplos, ¿Cuántos cuadritos cortara la diagonal? o ¿a qué va ser equivalente el número de
cuadritos que va a cortar la diagonal?
Elisa: al lado más largo.
Chava: al lado más largo.
Alberto: al lado más largo.
Dana: al lado más largo.
Profesor: al lado más...
Alumnos: largo.
Profesor: seguros.
Alumnos: si
Profesor: no son los mismos. ¿No? entonces quien nos da la conclusión. Para un rectángulo
formado por cuadritos de n por m ¿Cuántos cuadritos van a cortar la diagonal si n y m son
múltiplos?
Alberto: el lado más largo.
Profesor: como quedaría entonces.
130
Alberto: seria que el número de cuadritos cortados es igual al número más largo del rectángulo.
Profesor: ¿al número más largo del rectángulo? Otra conclusión otra manera de decirlo apoco
el rectángulo tiene números. Entonces como seria.
Chava: seria que, el número de cuadritos que corta la diagonal en un rectángulo que sus lados
son múltiplos el número de cuadritos que corta es equivalente al número de cuadritos del lado
más largo del rectángulo.
Profesor: están de acuerdo los demás.
Coral: si
Profesor: ¿sí o no? tu ¿no? miguel.
Manuel: no si, no escuche mucho muy bien que digamos
Profesor: ¿no?
Manuel: si estoy de acuerdo.
Profesor: ¿seguro? ¿Qué dijo?
Manuel: que los cuadritos del rectángulo…. Hay profe
Profesor: entonces ya observaron para cuándo m y n ¿son?
Alumnos: múltiplos.
Profesor: ahora nos falta ¿Qué?
Manuel: cuando no son múltiplos.
Profesor: pónganse a trabajar igual saquen sus figuras y vallan observando a ver cómo se van
comportando, pero ahora seria, para cuando m y n son, cuando no son múltiplos verdad, ¿sí
o no?
Manuel: aja.
Profesor: un ejemplo de cuando no son múltiplos podría ser [usando un software, trazó un
rectángulo con base y altura que no son múltiplos]
Manuel: tres y cinco, veinte y diez a no esos si son.
Profesor: podría ser por ejemplo esta verdad.
131
Recuerden anotar sus conclusiones he de lo que van haciendo.
Humberto: seria la misma fórmula pero sería menos uno.
Luna: ¿menos uno?
Alberto: menos dos.
Humberto: seria n más m menos uno igual a...
Alberto: seria m menos uno, m menos uno.
Elisa: n más m menos uno
Chava: n más m menos uno.
Humberto: m menos uno.
Manuel: m, no porque m es cinco, menos uno es igual a cuatro
Luna: profe, para sacar la de los numero que no son pares podría ser la que le explique.
Profesor: si quieres ahorita la pasamos a compartir, o ¿ya la tienes?
Luna: ya
Profesor: ¿ya tienen una este, una posible respuesta? para la… [Figura que está formada por
lados que no son múltiplos] ya todos las tienen escritas... ¿No? Sí, no la tienen escrita
escríbanla y ahorita la vamos a compartir o la van a compartir con sus compañeros.
Profesor: su compañero nos va a compartir
Alberto: yo pienso que la fórmula es n más uno por qué.
Profesor: espérate Alberto vamos anotarla ¿no?, pero ¿dónde se quedó el plumón? para que la
anotes, está allá mira.
Alberto: [se apoyó del pizarrón] yo puse que es m más uno, porque por ejemplo uno que no
es múltiplo, el tres y el cinco, y tomando en cuenta que este es así [realiza una figura en el
132
pizarrón e indica a m como el lado más largo y a n como el lado más corto] este es m y n, y m
es cinco, este cinco más uno son seis, y yo pienso que corta seis.
Humberto: pero corta siete.
Chava: corta siete.
Alberto: pero si te das cuenta [al momento que observo la figura que está proyectada en el
pizarrón], ha si, si siete.
Profesor: haber va pasar acá tu compañero. No ay problema Aldo, observa lo que va hacer
para que cheques adonde puedes tener tu error.
Chava: [escribió en el pizarrón] digo que es n + m menos uno.
Coral: si ese sí.
Chava: y si da porque mire, [se apoya de la figura que les puso el profesor]
Aquí n es, tres más cinco son ocho, menos uno son siete y da [señalando los cuadritos que
intersecto la diagonal, cuenta] uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete.
Profesor: como, ¿de dónde obtuviste esa? [Formula]
Manuel: oye chava, encierra la, el m más n, porque si no. [Se va a confundir al realizarlas
operaciones].
Chava: [le agregó los paréntesis a su fórmula]
133
Profesor: como la obtuviste chava.
Chava: na más [nada más] cambie los numero de la otra, na más [na más] le quite n y le puse
uno, ya la tenía desde hace ratito na más [nada más] que no le había dicho.
Coral: nosotros este, no, es la misma nada más que, ya la habíamos hecho desde antes solo que
las pusimos al revés, desde el principio hicimos las dos pero esa la íbamos aplicar para.
Profesor: haber anótalas caro, anota primero la que pensaron por primera vez y después.
Coral: bueno la que sacamos ahorita es la misma que esta [formula que planteo Chava]
Solo que nosotros la habíamos aplicado para los números.
Chava: para todos.
Coral: aja
Profesor: y ¿cómo nació? ¿De dónde les nació esa? [Formula]
Chava: yo la saque de.
Profesor: haber.
Chava: yo lo primero que escribí, fue que cuando la altura es uno se puede decir que corta m
cuadritos pero que cuando la altura representada con n, no es uno no se puede decir que corta
m cuadritos ya que también corta cuadritos de la altura y no solo del largo, lo exprese aquí
[señaló su hoja, y lo anota en el pizarrón]
134
Le puse que para la altura uno, corta m cuadritos, bueno de ahí lo saque, y para altura dos
cortaba m más uno y para la altura tres cortaba m más dos, pero ya después que vi todo lo que
había yo escrito me quede con esta [señalo en el pizarrón la de la forma m más uno]
Porque según como yo aplicaba, que era sumar n más lo ancho más lo largo, [da] siete, pero
aquí le quite más y le puse menos [señala la expresión de m+1, y después escribe en el pizarrón
la fórmula para las figuras que están formadas por lados que no son múltiplos]
Profesor: y por qué le quitaste, a tiene n de alto por igual, y porque decidiste en lugar de
sumar quitarle.
Chava: porque bueno para poder quitarle este y ponerle el otro [cambiar el signo más por le
menos en la expresión m+1] me base en estos cuadritos que hice.
Profesor: a ya lo tienes ahí.
Chava: si ya lo tengo aquí en mis apuntes.
Coral: es qué nosotros igual hicimos así, primero hicimos las figuras y después hicimos esa
ecuación, y como vimos que si nos dio ya le dejamos así.
Profesor: bien, entonces la conclusión ¿cuál será? Hace rato concluyeron que para un
rectángulo de m y n, si m y n son múltiplos, la diagonal, el número de cuadritos que corta la
diagonal va a ser equivalente ¿a qué?
Alumnos: al lado más largo de la figura.
Profesor: para cuando n y m ¿son qué?
Alumnos: son múltiplos.
135
Profesor: y ahorita la conclusión para estos, cuando n y m no son múltiplos cual es la
conclusión.
Chava: se suma el largo y el ancho y se le resta uno.
Profesor: ¿sí? Y si ¿ya probaron para varios? Haber díganme alguno
Manuel: si acabo de probar uno.
Profesor: haber díganme alguno para el que quieran probar, se los hago Cual díganme.
Humberto: tres y once.
Manuel: tres y ocho
Profesor: haber tres y ocho, y luego tres y once sale. [Con ayuda del software proyectó las
figuras solicitadas en el pizarrón]
Entonces el de tres y ocho ¿cuantos cuadritos va a cortar?
Alumnos: diez.
Profesor: ¿diez? ¿Seguros?
Elisa: mju.
Profesor: haber ahí está, [señalo la figura que proyecto en el pizarrón] contamos [señalando
cada uno de los cuadritos que corta la diagonal], uno.
Alumnos: dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho, nueve, diez.
Chava: si, sale
Profesor: cual otro quieren.
Alberto: profe.
Profesor: mande.
136
Alberto: el tres y el tres, son número impar.
Chava y miguel: son múltiplos.
Alberto: si
Profesor: y haber vamos a ver para uno que no sea tres.
Elisa y chava: el cuatro, cuatro y nueve.
Profesor: cuatro y nueve, cuantos hay, ¿Cuántos se supone que tiene que cortar?
Manuel: he haber.
Chava: doce.
Coral: doce.
Alberto: doce.
Profesor: cuatro y nueve, vamos hacerlo por acá. Tres hay quien sabe porque se moverá.
Cuatro, híjole no va a caber, tres, cuatro, cinco, seis, siete, aquí verdad. [Se presentaron
algunas fallas con el software pero al final se solucionaron y se proyectó la figura]
¿Cuántos tiene que cortar la diagonal?
Alumnos: doce.
Profesor: seguros.
Alumnos: si
Profesor: [señalo cada cuadro que va intersectando la diagonal] uno, dos, tres, cuatro, cinco,
seis, siete, ocho, nueve, diez, once, doce. Conclusión.
Manuel: chido.
Chava: que tampoco sale.
137
Alumnos: jajaja.
Profesor: quien nos lee el problema. ¿Cuál era el problema, el planteamiento del problema
haber?
Chava: en un rectángulo formado por cuadros, ¿Cuántos cuadros cortará una diagonal
trazada entre dos de sus vértices, con los lados de un rectángulo de n por m cuadritos?
Profesor: A partir de esa pregunta o de ese problema ¿cuantas respuestas encontraron?
Estudiantes: dos.
Profesor: dos, verdad, ¿cuáles son? ¿Quién nos comparte la primera?
Chava: las dos fórmulas, que son entre paréntesis que son n más m, no sin paréntesis, si
entre paréntesis n más m y se cierra el paréntesis y afuera del menos n. [(n+m)-n].
Manuel: si ósea, m
Chava: (n+m)-n que en realidad da m
Elisa: (n+m)-n
Profesor: aja pero quedamos que ahí la conclusión ¿cuál era?
Chava: la conclusión era que, el número de cuadritos que corta a diagonal es equivalente, al
número de cuadritos que tiene el lado más largo del rectángulo.
Profesor. Cuando m y n ¿Qué?
Alumnos: son múltiplos.
Profesor: así es. Y la otra respuesta ¿cuál era?, la otra respuesta ¿cuál es?
Chava: cuando no son múltiplos, se suma el n + m y se le resta uno. [(n+m)-1]
Profesor: se le resta uno y con esa nos da le resultado ¿de qué?
Chava: de cuantos cuadritos corta la diagonal cuando n y m no son múltiplos.
Profesor: cual es. Este ¿Qué parte se les complico?
Humberto: encontrar las formulas.
Elisa: encontrar las formulas.
138
Coral: la ecuación.
Profesor: ¿Qué les ayudo ahí este, encontrando este, esas relaciones?
Alumnos: las preguntas.
Coral: las figuras, los cuadritos que íbamos haciendo.
Chava: también otra cosa que comentamos todas las [soluciones] bueno todo lo que ya
llevábamos entre todos.
Profesor: si verdad estaban comentando y algo importante fue que fueron haciendo ¿Qué?
Coral: los cuadritos.
Alberto: dibujos.
Manuel: pruebas.
Profesor: pruebas, verdad o sus cuadritos, sus rectángulos. ¿Si le ayudo eso o no?
Manuel: si bastante.
Profesor: si verdad.
Manuel: profe deberás ¿que eran los números primos relativos en fin?
Profesor: ha haber deberás.
Manuel: si lo estudie pero no lo comprendía.
Profesor: quien trajo esa idea.
139
Tarea 4.
Observa los siguiente cuadrados y responde ¿cuantos cuadros se pueden forman dentro de
cada uno de los cuadrados siguientes?, ¿cuantos se forman en un cuadro de n por n?
Figura 1.
Figura 2.
Figura 3.
Figura 4.
Figura n.
140
Profesor: si traen colores o algo, pueden ir marcando sus cuadros si quieren.
Manuel: cincuenta y cinco:
Alberto: en ¿Cuál?
Manuel: en la figura cinco.
Alberto: ¿en la figura cinco?
Manuel: es que no van contando los, es que conforme, va habiendo una nueva figura se va
teniendo un cuadro más grande.
Alberto: y entras más, forman mas ¿no?
Manuel: por ejemplo en la figura tres, ya hay, de tres y la figura cinco ya hay de tres, cuatro
y cinco.
Elisa: hay de tres y hay de cuatro.
Luna: de tres y cuatro.
Manuel: y te falto uno
Alberto: en la figura tres ¿cuantos te salen?
Manuel: tres… veinte. Pero compruébalo.
Alberto: ¿he?
Manuel: compruébalo que tal si estoy mal.
Profesor: si quieren pasar a compartir alguien al pizarrón para que, pues reciban algunas
sugerencias y puedan este, aclarar sus ideas.
[Los estudiantes trabajaron y compartieron ideas]
Manuel: cuatro de cuatro.
Luna: son cincuenta y cinco.
Manuel: y en el des seis, serian seis por seis, treinta y seis, mas cincuenta y cinco. Noventa y
uno.
Alberto: porque son
141
Manuel: ira ve esta es la forma de n al cuadrado más cinco el número que te dio antes y este
es n por n más catorce que era el numero anterior, y este es cinco por cinco, más treinta.
Treinta y cinco [cometió un error de suma, pero lo corrige] cincuenta y cinco. Ya entendiste.
Alberto: el que sigue va a ser treinta y seis más cincuenta y cinco.
Manuel: aja noventa y uno. Y de siete serian 49 más ciento y cacho. Es que con cada nuevo,
altura se hace un número.
Profesor: alguien quiere compartir algo de lo que hizo.
Manuel: yo tengo que, todavía tengo que hacer muchas operaciones todavía. Profe de pura
casualidad en su computadora no tiene el de seis. [El cuadro de seis por seis]
Profesor: ¿mande?
Manuel: no, no, no
Profesor: aquí esta uno.
Manuel: de cuanto es.
Humberto: seis por seis.
Manuel: seis por seis es la figura seis.
Profesor: y si gustan pueden hacer más figuras ahí en sus hojas.
Manuel: figura cinco es igual a noventa y uno.
Profesor: y si gustan mejor en una hoja de cuadro pueden trazarlos.
Manuel: pereme, [espérenme] le dije 91… tres, cuatro, uno.
Alberto: el veinticinco ¿también?
Manuel: si el veinticinco también. Veinticinco, treinta y seis, dieciséis, nueve cuatro y uno.
Elisa: noventa y uno.
Manuel: o si perfecto.
Profesor: ya lo tienes miguel. Haber explícanos que hiciste compártenos.
Luna: que hiciste:
142
Manuel: algo… es que primero que nada me di cuenta que en cada, una de la figura se
aumentaba ciertos cuadritos como por ejemplo, la figura uno tiene uno, y la figura dos tiene
dos cuadritos de altura y dos de largo, en este caso el total de la figura uno, es uno y en este
caso [señaló la figura dos] el total de n por n [a si tomó a los lados de la figura dos] que son
dos por dos es cuatro más el uno que es como si estuviéramos contando este de afuera [señaló
el perímetro de la figura dos]
Igual a cinco que es lo importante, luego el de tres, nueve por nueve que es su. [Solo lo
expreso verbalmente]
Profesor: has, [realiza] si quieres la [figura de tres por tres] de tres.
Manuel: bueno supongamos, nueve por nueve [se apoyó de una figura de cinco por cinco
que estaba en el pizarrón, y solo remarca un cuadrado de tres por tres]
Profesor: nueve por nueve o tres por tres. [Preguntó, para que el estudiante se diera cuenta de
su error]
Manuel: a no, tres por tres
Profesor: márcala si quieres ahí, remárcala. De tres hijo
Manuel: nueve por nueve [cometió un error al expresarse, pero lo corrige] tres por tres da
nueve, más el cinco anterior del [de los cuadros que se forman en el cuadrado de dos por dos]
número, del [cuadrado] dos, descubrí que daba catorce, y contando todos los cuadritos [de un
cuadrado de tres por tres] da igual a catorce.
143
Profesor: haber márcalos.
Manuel: aquí ya todos son nueve, [marcó dentro de esa figura, cuatro cuadros de dos por
dos]
Uno, dos, tres y cuatro, más uno del grande son cinco, eso es lo que es este [señaló la figura
dos].
Profesor: si están de acuerdo los demás. Si ¿se forman?, ¿cuantos dices que se forman?
Miguel
Coral: catorce.
Manuel: catorce. Y funciona con números más grandes sin tener que contar.
Profesor: haber la de cuatro por cuatro.
Manuel: la de cuatro por cuatro, que dijimos que teníamos ¿catorce verdad?, Dieciséis [lo
obtuvo de multiplicar cuatro por cuatro] más catorce da treinta y ese es el número que teneos
de resultado, el de cinco es veinticinco.
Profesor: haber, haber marca los de ahí los que dices.
Manuel: de ¿Cuánto?
Profesor: el de cuatro por cuatro. Mmm son dieciséis con ese que hiciste cuantos van.
Manuel: [se siguió apoyando del cuadrado de cinco por cinco que estaba en el pizarrón]
diecisiete, dieciocho, diecinueve, veinte, veintiuno, veinte dos, veinte tres veinte cuatro.
144
Profesor: mmm ya te saliste ahí, ¿no?
Humberto: ¿porque te sales miguel?, del cuadro.
Manuel: haber
Luna: te falta la de tres.
Manuel: me pase me pase.
Profesor: hazlo acá [señala otro cuadrado pero de medidas de seis por seis, que está en el
pizarrón]
Manuel: [se apoyó del cuadrado de seis por seis]
Entonces dieciséis [cuadros de uno por uno], [más los de dos por dos] diecisiete, dieciocho,
diecinueve, veinte, veintiuno, veintidós, veinte tres, veinticuatro, veinte cinco; Luego me di
cuenta que también se podían hacer de tres, [y fue sumando cada uno de los cuadros de tres
por tres] veinte seis, veintisiete, veinte ocho, veinte nueve, más el grande [señalo el cuadro de
cinco por cinco] serian treinta. Es lo mismo que si sumamos dieciséis, a los dieciséis les
sumamos los catorce del tres.
Profesor: aja entonces el de seis por seis ¿Cuántos va a tener?
Manuel: he cincuenta y cinco, [más treinta y seis] noventa y uno.
Profesor: y el de siete por siete.
145
Manuel: ha noventa y uno, [más cuarenta y nueve] ciento treinta al parecer. [A no, son]
Ciento cuarenta.
Profesor: mju [aja]. Como llegaste, a esa conclusión.
Manuel: es que me puse a contar los cuadritos y vi que los siguientes si multiplicabas la
acción de n por n o n cuadrática me di cuenta que al total le faltaba cierto número y ese
número era el total de la figura anterior.
Profesor: y si tuvieras un cuadrado de n por n.
Manuel: ahí vendría le problema, de n por n, es igual a n cuadrática y como se podría
representar la figura anterior.
Elisa: n más n.
Manuel: más total de figura anterior que podría ser otro símbolo.
Luna: n cuadrada más y
Manuel: que puede ser también profe, pero ahí es un rollo completamente.
Profesor: alguien tiene algo de cómo ayudarle. [Se dejó un momento de trabajo] Entone
hagan su registro. [De los resultados para la figura de cinco por cinco]
Manuel: ya está profe tenia de uno por uno veinticinco, de dos por dos dieciséis, de tres por
tres nueve, de cuatro por cuatro, cuatro, de cinco por cinco uno. De la figura cuatro verdad
[la figura cuatro es de cinco por cinco]
Profesor: pero hagan su registro desde la figura uno, la dos, la tres, la cuatro y observen,
observen, traten de observar cómo se van comportando esos números, a partir de ahí a la
mejor observan un patrón y pueden establecer algunas relaciones, si no les es suficiente hasta
la figura cinco, de cinco por cinco pues hagan más figuras.
[Se les dio un espacio a los estudiantes para que trabajaran]
Manuel: profe, aquí en esta secuencia que llevamos como que el uno le va heredando número
al siguiente y el siguiente al siguiente y el siguiente al siguiente.
Profesor: como que se los va ¿Qué?
Manuel: heredando.
146
Profesor: ha se lo va heredando.
Manuel: bueno de hecho, como se llama.
Alberto: como que se van deslizando por así decirlo.
Manuel: no, va aumentando el número de cuadritos, de dos por dos, al aumentar los de uno
por uno.
Profesor: y ¿qué relación hay entre el número de figura y el número de cuadritos?
Manuel: el número de figura y el número de cuadritos.
Profesor: aja ¿qué relación hay?
Manuel: que este resultado es el resultado de multiplicar uno por siete.
Santamaria: no que es un él, de las figuras anteriores por ejemplo. Mmm
Manuel: de la potencia cuadrada de la figura de sumar el número total de la figura anterior.
Santamaria: va a ser el resultado de multiplicar lado por lado.
Profesor: el lado por lado verdad, ¿De acuerdo al número de figura?
Santamaria: mju.
Profesor: por ejemplo la figura cuatro, ¿Cuántos cuadritos se van a formar?
Alberto: cincuenta y cinco.
Manuel: a si cincuenta y cinco.
Profesor: y en la figura tres.
Alberto: treinta.
Profesor: en su figura cuatro ¿cuantos cuadritos? [Ya habían contestado anteriormente]
Video dos
Luna: Cada que aumenta un número, a cada lado de cada cuadrado, los números se van
recorriendo y va aumentando más.
Profesor: si van aumentando, que más Hugo.
Humberto: es lo mismo nada más que por ejemplo si tiene la figura cuatro, está en tres por
tres, es cuatro en la figura cinco, va a ser el tres por tres, va a ser nueve.
147
Profesor: ¿cuantos va, haber?
Humberto: uno.
Profesor: y luego aquí cuanto va haber. [Realizó, notas en el pizarrón, de los números del dos
al cinco elevando cada uno al cuadrado]
Enrique: cuatro.
Profesor: aquí [tres al cuadrado]
Humberto: nueve.
Profesor: aquí. [Cuatro al cuadrado]
Alumnos: dieciséis.
Profesor: aquí. [Cinco al cuadrado]
Alumnos: veinticinco.
Manuel: profe, profe dependiendo de la posición que este es como si estuviéramos
multiplicando, uno por uno, dos por dos, tres por tres, cuatro por cuatro y cinco por cinco.
Uno, dos. Aja.
Coral: se multiplica por su posición.
Profesor: ¿sí?
Humberto: es como si fuera al revés.
Profesor: Entonces como seria miguel aquí.
Manuel: es como si estuviéramos hablando de un código profe. De hecho.
Profesor: ¿de un código? Entonces miguel que dices que es que, uno ¿qué?
Manuel: es como si hiciéramos uno por uno igual a uno.
Elisa: igual a uno.
Manuel: dos por dos igual a cuatro, tres por tres igual a nueve, cuatro por cuatro es igual a
dieciséis, y cinco por cinco es igual a veinticinco así podríamos seguir, brin.. Saltando de
posición en posición.
Profesor: y para obtener el número total de cuadritos que hay que hacer.
148
Luna: ¿sumar?, ¿multiplicar?
Profesor: ¿sumar o multiplicar?
Luna: primero realizar ora sí que, elevarlos [los numero naturales] al cuadrado y después
sumarlos.
Profesor: sumarlos. Si estoy hablando de un cuadrado de dos por dos, ¿Qué voy a sumar?
Manuel: he uno más cuatro. [El uno del cuadrado uno, y el cuatro de elevar dos al cuadrado]
Profesor: y de esta forma como quedaría el resultado [señaló ejemplos en el pizarrón]
Luna, Elisa y Coral: uno al cuadrado más dos al cuadrado.
Profesor: y este me daría el numero tota de cuadritos que hay en cuadro de cuatro por. [Se
equivocó al dar las características de la figura]
Enrique: cuatro.
Luna: de dos por dos. [Corrigió, al profesor]
Coral: es, de dos por dos. [Corrigiendo lo que dijo el profesor]
Profesor: de dos por dos, verdad [corrigió el error]
Coral: cinco, pero es de, dos por dos.
Profesor: si, y si fuera un cuadrado de veinte por veinte. Que tendríamos que hacer.
Manuel: tendríamos que ir buscando ora sí que los…
Profesor: de donde empezaríamos.
Humberto: veinte por veinte.
Elisa: del uno
Profesor: que y que seria.
Manuel: uno más dos ala dos, más tres ala tres.
Profesor: mas ¿dos ala dos? O dos al que.
Coral: al cuadrado.
Profesor: y luego.
Manuel y coral: más tres cuadrada más cuatro cuadrada
149
Profesor: [anota en el pizarrón lo que van diciendo los estudiantes, 12+22+32+42…] Así
¿hasta llegar a?
Estudiantes: veinte.
Profesor: sí.
Manuel: veinte por veinte, cuatrocientos profe.
Profesor: y la suma de todos estos ¿qué, me va a dar?
Manuel: el número del total de cuadritos que tiene la figura veinte.
Profesor: y si habláramos de la figura ocho, quien lo pasa hacer la figura ocho como
quedaría, o está de seis por seis, quien quiere pasar para la de seis por seis.
Humberto: yo paso.
Profesor: haber Hugo.
Manuel: va tu Hugo tu eres inteligente.
Humberto: seguro miguel.
Manuel: la ocho verdad.
Profesor: la seis
Manuel: la seis.
Humberto: anota en el pizarrón 12+ 22+32+42+52+62
Profesor: pero tendrías que poner igual ¿no? o ¿no?, ¿igual a cuanto seria eso?
Manuel: ciento cuarenta, ocho por ocho son sesenta y cuatro, ciento cuarenta más sesenta y
cuatro doscientos cuatro y así etcétera, etcétera. Ha doscientos cuatro es el de ocho profe, lo
voy apuntar parque no se me olvide.
Humberto: [anoto en el pizarrón] 1+4+9+16+25+36= 91.
Profesor: es igual a, noventa y uno.
150
Manuel: si sabes Hugo.
Profesor: si están de acuerdo.
Estudiantes: si
Profesor: bien ahora nos falta.
Manuel: figura n
Profesor: para la figura n ¿verdad?, sí. A que se les parece esto.
Manuel: a un sistema binario.
Profesor: no recuerdan.
Manuel: ala secuencia de números. Ala secuencia de números que vimos en un ejercicio.
Profes0r: ¿sí? A que se les parece eso.
Dana: como.
Profesor: ¿a qué se parece?, traten de recordar. A ¿Qué? caro a ¿Cuál?
Manuel: vimos un ejercicio con una secuencia de números y lo determinamos en una tablita
el número n ¿no?
Profesor: algunos concluyeron con una tabla algunos con figuras si lo recuerdan. Como era,
como era esa, a ver quién nos la pone como era, era la suma ¿de qué?
Estudiantes: de los cuadritos.
Manuel: del total de cincuenta y cinco, mm no sé.
Profesor: ¿no recuerdan?, traten de recordar.
Luna: era el problema uno ¿no?
Profesor: mju. Y que era ese problema uno.
Luna: se tenía que sumar la, secuencia de números. [La suma de los números naturales]
Profesor: de cuales números.
Luna: de uno, dos, tres.
Profesor: haber anótala luz.
Luna: así como estaba.
151
Profesor: si, si quieres borra esa parte de ahí.
Luna: [anoto en el pizarrón] 1+2+3+4+ (---)+9+10= así era ¿no?
Profesor: igual, y después de esa ¿que encontraron?
Manuel: una ecuación
Profesor: si verdad, para encontrar los números del uno ¿hasta dónde?
Manuel: hasta el infinito.
Alberto: hasta el infinito
Profesor: o a n verdad
Coral: era n.
Manuel: n más uno o n más.
Profesor: haber anótala luz.
Luna: ¿Cuál?
Profesor: la ecuación ¿Cuál era?
Alberto: n cuadra más n entre dos.
Coral: ¡ha! Era n cuadrada más n sobre dos.
Alberto: [luz solo pone la segunda n entre dos y Aldo corrige] no todo, todo sobre dos.
Luna: [anoto en el pizarrón] 𝑛2+𝑛
2
Profesor: si verdad. Que es la suma de los números ¿Qué?
Alberto: consecutivos.
Profesor: pero números ¿Qué, son?
Alberto: enteros.
152
Profesor: si son enteros pero falta… Bien hay alguna similitud entre esa suma de números
naturales que encontraron y lo que están tratando de resolver ahorita.
Manuel: si un poco.
Profesor: si verdad
Coral: el número se eleva a la potencia, como abajo lo hicimos.
Profesor: ¿cuál es la diferencia entonces?, caro
Coral: que no le sumamos otra vez la, mm el resultado.
Profesor: ¿cuál es la diferencia entre la suma de los naturales que tienen en la parte superior
y la suma de los [cuadrados]?
Luna: que, ¿no se elevan al cuadrado?
Profesor: que unos están elevados al cuadrado verdad, ¿sí? Entonces abajo la parte inferior
que anotaron ahí sus compañeros [señala la suma de cuadrados]
Es una suma de cuadrados ¿verdad?, de los números naturales ¿al?
Estudiantes: cuadrado.
Profesor: ¿para obtener que resultado?
Humberto: el número de cuadrados, que hay dentro de un cuadro.
Profesor: el número de cuadrados dentro de ¿un?
Estudiantes: cuadrado.
Manuel: cuadrado n.
Luna: bueno casi es lo mismo.
Profesor: ¿cómo luz? ¿Cómo es lo mismo?
Luna: no es que estaba viendo que sí, bueno es que casi es lo mismo porque, dos por dos
cuatro, tres por tres nueve, y cuatro por cuatro dieciséis, cinco por cinco veinticinco y así.
153
Profesor: haber, trabajen con esa parte entonces.
Se dejó in lapso de tiempo para que los estudiantes trabajaran]
Profesor: como con cualquier termino. [Anotó una suma de cuadrados en el pizarrón]
Luna: profe ahí está mal.
Profesor: adonde.
Luna: donde está el tres es ahí cuadrada, no a la cuarta. [Anotó 34 en lugar de 32]
Profesor: [corrigió el erros que identifico luz] aja miguel me decías.
Manuel: no, no puedes ser cualquier término ósea que… no mejor no.
Profesor: seguro.
Manuel: si
Profesor: si gustan pueden compartir con sus compañeros. Sus ideas.
Alberto: no encuentro una formula.
Humberto: yo encontré una formula pero para sacar. Los que están de seis cuarenta y ocho.
… tú ya encontraste algo miguel.
Manuel: encontré una variante, n cuadrada más tres, ¿Cuánto es cuatro por cuatro? Dieciséis.
Más dos.
Alberto: entre dos para un mayor.
Profesor: cual era tu ecuación.
Alberto: n cubica más n entre dos
Profesor: y de donde la obtuviste.
Alberto: del ejemplo que teníamos la otra vez que era n cuadrada más n entre dos [(𝑛2+𝑛
2 ]
Solamente como era acá [se refirió a la suma de los números elevados al cuadrado] de
potencias, pues me imagine que se le aumentaba un más uno para ver que salía y le puse así,
pero nada más sale para el uno y el dos para las demás no.
Profesor: alguien ¿que tenga algo diferente? ¿No? todos llegan a una solo a conclusión que
es una suma de los números naturales al cuadrado.
154
Estudiantes: si
Profesor: si verdad y ahora ahí no pueden avanzar.
Humberto: yo encontré una pero no es para, nomás es para unas y encontré una pero es muy
larga.
Profesor: haber compártenosla Hugo.
Humberto: es n cubica.
Profesor: anota si quieres ten.
Humberto: no así, así.
Profesor: es que si la dices no la vamos a observar.
Humberto: [anoto en el pizarrón, ( 𝑛3+𝑛2
3 ) + 2] encontré esta.
Pero nomas sirve para algunas y encontré otra, pero es muy larga y va aumentando
conforme va avanzando más.
Profesor: haber anota la otra
Humberto: [anoto en el pizarrón, (𝑛2 ) + (𝑛 − 1)]
Y así se iba haciendo conforme a los demás depende el valor de aquí [señala (𝑛2)], si aquí
era cinco aquí se le iba restando después seguía el dos y se le pondría cinco veces. Me da lo
mismo.
Profesor: ha pero tienes que darle algún valor.
Humberto: aja y va ir avanzando con forme va creciendo conforme este va aumentando.
155
Profesor: haber la otra [se refirió a la primera fórmula que planteo Hugo ( 𝑛3+𝑛2
3 ) + 2,] en
que cuadrados te da.
Humberto: la de tres y no se en cuáles más, en otro pero no bien, porque tres por tres nueve
por tres veintisiete, más tres por tres nueve, entre tres es igual a siete, por dos y es igual a
catorce.
De dos [cuando n =2] que me da. [Realizo las operaciones y le dio catorce]
Profesor: y ¿si se forman catorce en el cuadrado de tres por tres?
Alberto: si
Profesor: ¿sí o no?
Alberto: si
Profesor: y para cuales no te da, para cual otra te da.
Humberto: creo para el dos, 8+4/3. No dan cuatro no me da para el dos.
Profesor: para el dos no. ¿Cómo obtuviste esa, [(𝑛2 ) + (𝑛 − 1)], este Hugo esa forma
general?
Humberto: fui sacando conforme. Primero saque esta y como vi que salía doce le añadí el
más dos que era de.
Profesor: ¿para completar el número de cuadritos? ¿Sí? y la de la primera parte [( 𝑛3+𝑛2
3 ) +
2] como la obtuviste
Humberto: porque primero empecé con n cuadrada más n y pues mi idea sobre dos, no me
salía y entonces como empecé a buscar otras manera aumente estos [señala n cubica y n en
de su primera ecuación]
156
Queda n cubica más n al cuadrado sobre tres porque…
Profesor: ósea ¿nada más fuiste viendo con cual te podía dar? Ya Hugo siéntate gracias.
¿Quién más? Algo diferente ¿no?
[El profesor anotó lo siguiente en el pizarrón en el pizarrón (k+1)3 – k3 = 3k2 + 3k + 1, para
esto daremos valores a k, k=1, k=2, k=3, k=4, k=5, k=n. Y solicita sustituir los valores de k.]
Profesor: con todos los valores de k, si tienen alguna pregunta o alguna duda me preguntan.
Chava: en ese que puso ¿k es igual a 1?
Profesor: en cual.
Chava: en ese que puso [se refirió al ejercicio que el profesor puso en el pizarrón, (k+1)3 – k3
= 3k2 + 3k + 1]
Profesor: no aquí k es k. ahora deben de sustituir en lugar de k va ir él.
Elisa: si es uno es k más uno son dos y luego al cubo.
Profesor: mm no, ¿cómo iría Aldo aquí?
Alberto: he seria uno más uno al cubo, menos uno al cubo, menos, a igual a tres, por uno al
cubo, [no es al cubo corrigió y dijo] ha al cuadrado, más tres por uno, más uno [(1+1)3 – 13
= 3(1)2 + 3(1) + 1]
Profesor: si verdad en lugar de k vamos a ir poniendo su valor.
Video tres.
Profesor: [quien pasa] a compartir como quedo la sustitución de acuerdo a los valores de k
¿quién pasa?
Nada más para anotarlos como quedaron con los diferentes valores de k, haber Hugo. ¿Ese
es para k igual a?
Humberto: a uno [anotó en el pizarrón la sustitución para los diferentes valores de k]
157
(1+1)3- 13= 3(1)2+3(1)+1
(2+1)3-23= 3(2)2+3(2)+1
(3+1)3-33= 3(3)2+3(3)+1
(4+1)3-43=3(4)2+3(4)+1
(5+1)3-53=3(5)2+3(5)+1
Profesor: bien, ¿están de acuerdo con lo que hizo su compañero?
Luna: mju. Yo las hice diferentes
Alberto: le falta el valor de n.
Profesor: ha, le falta el valor de n, haber anótalo Hugo.
Alberto: yo paso.
Luna: yo las tengo de otra manera.
Profesor: ahorita le checamos luz. Ponle los puntos suspensivos Aldo porque acúrdense que
ahí van a ir más números.
Alberto: ¿aquí se los pongo? Señalando la parte inferior de las sustituciones que escribió
Hugo en el pizarrón.
Profesor: sí.
Alberto: [escribe en el pizarrón la sustitución para cuando k=n]
(1+1)3- 13= 3(1)2+3(1)+1
(2+1)3-23= 3(2)2+3(2)+1
(3+1)3-33= 3(3)2+3(3)+1
(4+1)3-43=3(4)2+3(4)+1
(5+1)3-53=3(5)2+3(5)+1
⋮
(n+1)3-n3=3(n)2+3(n)+1
Profesor: aja. Bien preguntas comentarios, Luz.
158
Luna: no de echo era para cuando son así mm le puse he pero a lo mejor no me quedo.
Profesor: ¿quieres anotarlo?
Luna: nada más una.
Profesor. Haber, de este lado si quieres, [le señalo la parte del pizarrón que está libre] vean
que hizo su compañera luz. De este lado si quieres.
Luna: es como… [Escribió en el pizarrón lo siguiente] (2+1)3 -23 = [(3) (2)2] + [(3) (2)]+1
Profesor: esa es ¿para cuándo k vale?
Luna: he, [k es igual a] dos.
Profesor: dos
Luna: si está bien ¿no?
Profesor: ¿qué opinan los demás?
Luna: es lo mismo, bueno yo digo.
Miguel: es lo mismo.
Profesor: si es lo mismo verdad, nada más que tiene una notación distinta pero es lo mismo.
Alguien alguna otra idea distinta.
Manuel: no
Profesor: bien entonces miguel nos había dicho, que para ir encontrando el número de
cuadritos de un cuadrado le tendríamos que sumar el número de cuadritos del cuadro
anterior, si lo recuerdan.
Estudiantes: mju sí.
Profesor: si, si es un cuadrito de uno por uno, pues sabemos que dentro de él se forman
¿cuantos cuadros?
Manuel: uno.
Profesor: uno verdad, si era uno de dos por dos ¿Cuántos se forman?
Estudiantes: cinco.
Profesor: cinco, sí, que eran cuatro del número anterior verdad ¿sí o no? cinco, y uno de tres
por tres.
159
Estudiantes: catorce.
Profesor: si verdad cinco del anterior más nueve de este iban a ser catorce, si, entonces íbamos
a ir sumando, ¿si estamos de acuerdo? , bien entonces llegamos a esta representación, para el
de uno por uno pues es esta [(1+1)3- 13= 3(1)2+3(1)+1] verdad, para el de dos es esta [(2+1)3-
23=3(2)2+3(2)+1] [señalando las ecuaciones que resultaron de sustituir los valores de k=uno y
k=dos] si Hugo.
Humberto: si
Profesor: para el de tres, entonces ¿que tendríamos que hacer?, si quisiéramos encontrar del,
de cinco.
Alberto y luz: sustituir.
Profesor: mju, pero ¿que tendríamos que hacer?
Alberto: sumar
Profesor: sumar verdad, este más este, más este, más este, más este de aquí verdad
[señalando las ecuaciones para cada valor de k]
(1+1)3- 13= 3(1)2+3(1)+1
(2+1)3-23= 3(2)2+3(2)+1
(3+1)3-33= 3(3)2+3(3)+1
(4+1)3-43=3(4)2+3(4)+1
(5+1)3-53=3(5)2+3(5)+1, y ya nos iba a dar el numero ¿Qué?
Alberto: n
Profesor: noo el número de cuadros que integran la figura…
Alberto: cinco.
Profesor: cinco, los que podemos formar en la figura cinco, y si sumamos asta n ¿qué nos
daría?
Luna: n
Alberto: n
Humberto: no a mí me salió tres n.
160
Profesor: ¿Si sumamos asta n que nos daría?
Manuel: ¿si sumamos hasta el infinito?
Profesor: no si sumamos asta n
Manuel: ha.
Profesor: estaríamos obteniendo ¿Qué?
Humberto: el número de cuadritos de la figura...
Profesor: ¿el número de cuadritos de la figura?
Estudiantes: n
Profesor: si verdad o de un cuadrado de n por…
Estudiantes: n
Profesor: bien, después de que ya sustituimos ¿que más pueden realizar?
Alberto: obtener el resultado,
Profesor: obtener el resultado ¿de qué, Aldo?
Alberto: dee
Manuel: lo obtendríamos de cualquier figura.
Profesor: ya de cualquier figura ¿ya se puede miguel?
Manuel: no. aun no ¿o sí?
Profesor: como, ¿las podemos reducir un poco más o no?
Alberto: hee
Manuel: pues
Luna: si
Profesor: ¿sí?, que podemos hacer, ¿Qué pueden hacer? Esta [(k+1)3 – k3 = 3k2 + 3k + 1] ya
este, [la dejamos aparte] por el momento trabajamos con estas [refiriéndose a las fórmulas que
quedaron con la sustitución de los distintos valores de k]
161
(1+1)3- 13= 3(1)2+3(1)+1
(2+1)3-23= 3(2)2+3(2)+1
(3+1)3-33= 3(3)2+3(3)+1
(4+1)3-43=3(4)2+3(4)+1
(5+1)3-53=3(5)2+3(5)+1
⋮
(n+1)3-n3=3(n)2+3(n)+1
¿Qué podemos hacer? ¿Qué podemos hacer? más ahí
Luna: ponerla como estaba al principio ¿no?
Profesor: no tiene caso entonces ¿Cómo? cómo estaba al principio
Luna: no, ósea como estaba.
Profesor: si nos vamos a regresar al principio no tiene caso entonces que hubiéramos hecho
lo demás. ¿Qué podemos hacer? Ahí.
Humberto: cortar a formula a según para los de dos usamos.
Profesor: observen cada uno que les podemos hacer, no de manera general si no a cada uno.
¿Creen que los podamos reducir? Por ejemplo como quedaría este [(1+1)3- 13= 3(1)2+3(1)+1]
si lo reducimos ¿cómo quedaría?
Humberto: vía [hubiera] de eliminar el cubo.
Profesor: antes de que eliminemos el cubo o de que lo apliquemos, no se va a eliminar lo
podemos aplicar [desarrollar]
Humberto: quitaríamos el menos uno al cubo seria, uno más uno al, la segunda potencia
igual ha
Profesor: ¿ala segunda potencia?
Elisa: la tercera.
Profesor: porque a la segunda Hugo.
162
Humberto: yo digo porque así ya se quitaría el uno al cubo y ya saldría así la formula, con
tres…
Profesor: haber pasa anotarlo como sugieres tú
Humberto: [anoto en el pizarrón] (1+1)2 = 2(1)+1 (que sería la forma en que según el
quedaría la fórmula original para cuando k=1)
Profesor: aja, explícanos porque llegaste a esa conclusión.
Humberto: bueno yo llegue, porque elimine el cubo y ya por lo tanto ya no me va a dar el
resultado de esto porque conforme a la primera fórmula que nos dio ya no, ya no, ya esto va
aquedar eliminado al igual que esto [refiriéndose a la segunda parte de la ecuación original] y
se iría haciendo más pequeña.
Profesor: y como eliminaste ahí el cubo, porque se transformó en cuadrado.
Humberto: mm no se lo invente.
Profesor: están de acuerdo los demás… si guardan silencio quiere decir que están de acuerdo
entonces, ¿están de acuerdo?
Estudiantes: como seria, gracias Hugo. Ahorita chécale Hugo para que este, puedas
identificar tu error. No te preocupes. ¿Cómo quedaría entonces? ¿Cómo podría quedar?
Chava: podría quedar con puros números nada más
Profesor: a ver cómo.
Chava: sin resultados entre paréntesis.
Profesor: a ver cómo.
Chava: yo hice una pero nada más puse puros números.
Profesor: a lo mejor podemos ya realizar operaciones ahí ¿no? algunas ¿Cómo?
Chava: bueno lo que yo bueno en una cosa que de uno donde dice menos uno es a la tercera
potencia, al cubo o al cuadrado.
Alberto: cubo.
Luna: al cubo
163
Profesor: ¿cómo la tiene marcada ahí la formula?
Chava: al cubo.
Profesor: ¿entonces?
Chava: pero para sacar el resultado, sería uno por uno por uno
Alberto: si
Chava: da uno ¿no?
Alberto: sí.
Profesor: pues sí, ¿cómo quedaría si empezamos a hacer operaciones? ¿Cómo quedaría
primero?
Alberto: no sería uno más uno es uno, uno más uno son dos.
Profesor: haber Aldo pon tu idea.
Alberto: Para hacer esta [(1+1)3- 13= 3(1)2+3(1)+1] de uno, haciéndola con números, sería
un más uno son dos, dos por dos son cuatro por dos son ocho.
Profesor: el primero hay que dejarla nada más indicada este Hugo, [se equivocó de nombre]
este Aldo, hay que dejara indicada el primero nada más, entonces primero nada más haces la
suma y al elevas al.
Alberto: cubo
Profesor: aja.
Alberto: entonces sería uno más uno, son dos, al cubo, este menos este uno al cubo, esto es
igual a tres aquí sería uno a la segunda potencia más tres por uno más uno [al mismo tiempo
escribió en el pizarrón]
Pero prácticamente es lo mismo solamente cambia este [23]
164
Profesor: así podría quedar verdad, ¿sí o no? como quedarían las demás traten todos, todos.
¿Quién pasa hacer la que sigue?, ¿Quién pasa hacer la que sigue?, no importa lo que suceda
pero tenemos que pasar si no nos vamos a tardar un poquito más, ahí está el plumón he a la
hora que ustedes gusten, a la hora que gusten terminar, es parecido nada más que cambia el
valor, verdad. Si alguien no ha entendido pongan atención.
Caro: [anota como quedaría la segunda ecuación cuando k =2) 33-23=3(2)2+3(2)+1 [cometió
un error de poner (-13) en lugar de (-23) el cual le hicieron saber sus compañeros y lo
corrigió inmediatamente].
Profesor: ¿Quién hace la siguiente? [Cuando k= 3]
Luna: ¿es la de cuatro, verdad?
Profesor: ¿la de tres o la de cuatro?
Coral: la de cuatro.
Elisa: la de tres, la de tres
Luna: había anotado 43 [pensó bórralo pero la detuvieron sus compañeros]
Alberto: pero si está bien la suma.
Elisa: ahí si está bien.
Alberto: porque son tres más uno son cuatro, [(3+1)3-33= 3(3)2+3(3)+1]
Manuel: ta [esta] bien.
Profesor: si observan, lo que han estado haciendo.
Estudiantes: si
Luna: [resolvió y anotó en el pizarrón para cuando k =3) 43-33= 3(3)2+3(3)+1.
Profesor: el que sigue. [Habló mientras Hugo trabaja en el pizarrón] recuerden que todas esas
ecuaciones las estamos o las vamos a sumar entre si verdad. Para poder obtener el número de
cuadritos de un cuadro de n por n.
Humberto: [anoto la solución en el pizarrón para cuando k =4] 53-43= 3(4)2+3(4)+1.
Profesor: la siguiente.
Manuel: [escribió la solución en el pizarrón para cuando k =5) 63-53= 3(5)2+3(5)+1
165
Profesor: cual falta.
Alberto: la de n
Profesor: quien pasa hacer la de n
Manuel: ahí no se modificaría tanto,
Alberto: no
Manuel: porque sigue siendo, n + 1.
Profesor: y luego.
Alberto: puede ser lo mismo ¿no? porque por ejemplo n+1 es n, n cubica menos n cubica
pues es lo mismo ya no se le puede poner
Manuel: n más uno.
Alberto: es n.
Profesor: haber quien pasa a anotarla.
Alberto: si no porque n más uno es un n, [cometió un error en esta operación (n+1)3]
Manuel: mm no, supongamos, es qué tu estas multiplicando, porque uno por n si es n al
resolver, pero en este caso sí, ha supongamos que n es el número diez, si a diez le sumas uno
es igual a once. Once al cubo da ciento veintiuno. [Trató de explicarle a Aldo su error]
Profesor: como quedaría. [Pregunto el profesor mientras los estudiantes seguían dialogando
entre ellos] pero a si nada más en términos de n.
Huberto: ¿se quitan los paréntesis?
Profesor: ¿no? ¿Así como esta? Quien pasa anotarla.
Luna: la de n ¿no quedaría igual?
Profesor: si, alguien que la pase anotar, pásenla anotar ya saben cómo es, no sé porque, o se
empeñan en no salir al recreo hoy, veo que eso quieren porque ya saben cómo va.
Manuel: Hugo, es bien fácil ándale. Profesor: [mientras luz anotaba su respuesta]
Profesor: no se te olvide anotar los puntos luz he.
166
Luna: [anotó en el pizarrón como queda la ecuación para cunado k=n] [(n+1)3-
n3=3(n)2+3(n)+1]
La cual completa la lista para todos los valores de k, quedando de la siguiente manera:
23-13= 3(1)2+3(1)+1
33-23=3(2)2+3(2)+1
43-33= 3(3)2+3(3)+1
53-43= 3(4)2+3(4)+1
63-53= 3(5)2+3(5)+1
⋮
(n+1)3-n3=3(n)2+3(n)+1
Profesor: ¿si están de acuerdo los demás?
Manuel: sí.
Profesor: es dos o es uno luz [preguntó por la forma en que luz escribe el número uno]
Luna: es uno.
Profesor: ha, bien
Humberto: le puedo hacer una pregunta.
Profesor: haber Hugo dime.
Chava: ahí no es el resultado, ya para saber cuál es el número de cuadritos.
Profesor: mmm, no. O creen que si, haber Hugo
Humberto: yo encontré algo por ejemplo aquí [señalo lo que a continuación resaltamos
dentro de las igualdades]
(2)3-13= 3(1)2+3(1)+1
(3)3-23=3(2)2+3(2)+1
(4)3-33= 3(3)2+3(3)+1
(5)3-43= 3(4)2+3(4)+1
(6)3-53= 3(5)2+3(5)+1
167
Todos los resultados serían, ocho, diecinueve, treinta y siete, sesenta y uno, noventa y uno.
[Anotó el resultado para cada operación]
Encontré que de esta que hicimos, he si aquí tendríamos; por ejemplo. En este,[señalo lo que
ahora resaltamos, 37= (3)3-23= 3(2)2+3(2)+1= 19 ] en lugar de que me saliera diecinueve me
salía treinta y siete, aquí [61= (4)3-33= 3(3)2+3(3)+1= 37 ] en lugar de que me saliera treinta
y siete me salía sesenta y uno, y aquí [ 91= (5)3-43=3(4)2+3(4)+1= 61] me salía noventa y uno,
y así me iba saliendo en las demás si aquí va aumentando. [Con lo cual Hugo obtuvo]
(2)3- 13= 3(1)2+3(1)+1 =8
37= (3)3-23= 3(2)2+3(2)+1= 19
61= (4)3-33= 3(3)2+3(3)+1= 37
91= (5)3-43=3(4)2+3(4)+1= 61
(6)3-53=3(5)2+3(5)+1= 91
Profesor: aja y ahora ¿Qué?
Humberto: que iban en lugar de este
Que salieran lo mismo aquí [(5+1)3-53] se pasaban ala, formula de arriba y no te salía, y no
sale mismo que no es igual. Por ejemplo aquí [(2)3- 13= 3(1)2+3(1)+1 =8] me salía, dos por
dos cuatro, por dos ocho, menos este [- 13], me daba ocho menos tres me daba cinco.
Profesor: ocho menos tres, no da cinco Hugo o sí.
168
Humberto: Si.
Profesor: ¿ocho menos tres? O ¿menos uno? Porque de donde sacas el menos tres.
Alberto: es menos uno.
Humberto: aja, es siete y así me daba todas las demás, por ejemplo aquí, ya que en la figura
he en lugar de.
Profesor: haber hazla haber hazla del otro lado, como va que dices que no te da igual.
Humberto: bueno es que.
Profesor: haber hazla, ahí donde tienes igual a ocho. No haz la arriba Hugo. [(2)3- 13=
3(1)2+3(1)+1 =8]
Humberto: voy hacer la del tres.
Profesor: no as la que estás haciendo, la del siete Hugo.
Humberto: la del siete. [(2)3- 13= 3(1)2+3(1)+1 =, la realizo en el pizarrón, para comparar
resultados con su primera solución que había dado] dos por dos... Igual a ocho, más uno.
Profesor: ¿más uno?
Humberto: a no, menos uno igual a, igual a tres, más tres, más uno, [8-1= 3+3+1] me daba
aquí [8-1=7] siete y aquí [3+3+1] me daba siete.
Profesor: ¿son igual o no?
Humberto: si, pero acá abajo ya no [señalo la igualdad que sigue, (3)3-23= 3(2)2+3(2)+1=
19]
Profesor: haber hazla también la de abajo Hugo. … hazla también hijo.
Humberto: haber. [Mientras observó las demás ecuaciones y las soluciones que le dio]
Profesor: ¿cómo vez si sale diferente o no?
Humberto: mmm.
Profesor: hazla para que salgas de tu duda… ahí para empezar si da treinta y siete [se refirió
a la solución de (2+1)3 que esta como primer elemento en la segunda ecuación, cuando k=2]
169
Huberto: tres al cubo da veintisiete.
Profesor: menos ocho
Humberto: menos ocho es igual a 19, a si me equivoque.
Profesor: entonces si es una igualdad o no Hugo. ¿Qué opinan los demás?
Elisa: que no ahí no es treinta y siete.
Profesor: ¿si es una igualdad?, ¿si son igualdades o no?
Estudiantes: si… si
Profesor: mande.
Estudiantes: sí.
Profesor: ¿ya viste Hugo?
Humberto: es que no sé dónde me equivoque.
Profesor: pero ya estás de acuerdo… bien Hugo.
[Se les solicitó, a los estudiantes sumaran las ecuaciones y anotaran la representación de esa
suma de manera lineal]
Alberto: la suma lineal.
Profesor: ha, haber… trata de pegarte más hasta allá para que… [Se refirió al espacio del
pizarrón, a manera de sugerirle que utilice todo el espacio)
Elisa: esa ya puede ir así, [preguntó por qué observa que Aldo escribe la suma de manera
lineal]
Profesor: si ya puede ir así este nada más que hay que indicar bien las potencias de las que va
llevando.
Manuel: hay son muchas, se transforma. Hay algo que no me acuerdo en la factorización
profe. Cuando se suman términos cuadráticos, [los exponentes] se suman ¿no?
Profesor: los exponentes ¿qué pasa?
Manuel: se suman.
Profesor: no, si tengo equis cuadrada más equis cuadrada a que es igual
Manuel: he equis cuadra, es igual a equis a la cuarta
170
Profesor: equis cuadrada más equis cuadrada.
Manuel: a no, dos equis cuadrada.
Profesor: que pasa con los exponentes, ¿pasan igual verdad?, ¿sí o no?, en la suma, si
multiplicara yo los exponentes ¿se?
Manuel: se multiplican por...
Profesor: nooo
Manuel: se suman.
Humberto: se suman.
Manuel: gracias profe en eso tenía duda. Haber Hugo siéntate estoy trabajando muy
arduamente.
Alberto: [anotó en el pizarrón la suma a la que llego, pero como no tubo suficiente espacio
en el pizarrón] ¿le puedo seguir acá abajo?
Profesor: si, ponle otra vez el signo más.
Alberto: si ya se lo puse.
Profesor: y ponlo acá abajo también [adonde continuó la suma]
Profesor: si va bien su compañero.
Coral: si
Manuel: si
Profesor: porque nadie quería pasar.
Manuel: porque. Porque aún no la teníamos, ha está sumando todo está bien fácil.
Alberto: así quedaría.
171
(23-13)+(33-23)+(43-33)+(53-43)+(63-53)+ - - -+(n+1)3-n3)=
[3(1)2+3(1)+1]+[3(2)2+3(2)+1]+[3(3)2+3(3)+1]+ [3(4)2+3(4)+1] + [3(5)2+3(5)+1]+---
+[3(n)2+3(n)+1]
Profesor: están de acuerdo.
Estudiantes: si
Profesor: bien ahora podemos, ahí realizar alguna otra operación ¿sí o no?
Estudiantes: si
Profesor: que podríamos hacer.
Manuel: sumar.
Alberto: he ¿no podría ser como le dije antes? sumar este los… por ejemplo dos más tres
más cuatro más cinco más seis, da quince. [Los numero que se resaltan, pero se equivocó en
la suma porque le resultado es veinte]
(23-13)+(33-23)+(43-33)+(53-43)+(63-53)+ - - -+(n+1)3-n3)=
[3(1)2+3(1)+1]+[3(2)2+3(2)+1]+[3(3)2+3(3)+1]+ [3(4)2+3(4)+1] + [3(5)2+3(5)+1]+---
+[3(n)2+3(n)+1]
Y luego, menos uno, menos dos da. No da veinte arriba no [repitió la primera suma porque
la había realizado mal] de, dos más tres, más cuatro, más cinco, más seis, da veinte, y menos
uno, menos dos menos tres, menos cuatro, da menos quince.
(23-13)+(33-23)+(43-33)+(53-43)+(63-53)+ - - -+(n+1)3-n3)=
[3(1)2+3(1)+1]+[3(2)2+3(2)+1]+[3(3)2+3(3)+1]+ [3(4)2+3(4)+1] + [3(5)2+3(5)+1]+---
+[3(n)2+3(n)+1]
¿No podría ser eso? Por ejemplo menos veinte he cubica, menos quince cubica que sería
simplificando todo prácticamente.
Elisa: no sería menos veinte, seria veinte.
Alberto: ha si, veinte menos quince aquí.
172
Profesor: haber anótalo, como dices Aldo.
Alberto: pero todavía me aria falta ubicar el valor de n
Manuel: pero n no tiene valor puedes poner más n.
Alberto: [escribió en el pizarrón] así 203 – 153 +---+ (n+1)3=
Profesor: mju.
Alberto: que sería simplificando desde aquí hasta aquí [señalo una parte de su igualdad]
(23-13)+(33-23)+(43-33)+(53-43)+(63-53)+ - - -+(n+1)3-n3)=
[3(1)2+3(1)+1]+[3(2)2+3(2)+1]+[3(3)2+3(3)+1]+ [3(4)2+3(4)+1] + [3(5)2+3(5)+1]+---
+[3(n)2+3(n)+1]. Prácticamente.
Manuel: que no podría ser más... Falta he profe.
Profesor: aria ahí es mas no, ahí iría más Aldo, ¿no? [Se refirió al igual que anoto en su
planteamiento, 203 – 153=]
Esmeralda: en vez de la cubica
Alberto: adonde.
Profesor: en vez de igual iría el más ¿no? porque ahí te falta el un dato ¿no?
Alberto: si más n más uno. [203+153+n+1]
Profesor: seguro, no falta algo ahí.
Alberto: así, [203 – 153 +---+ (n+1)3-n3=]
Profesor: creen que nos pueda servir esa parte. Creo que así no funciona he, haber [realiza la
suma de los términos que se señalaron con todos los estudiantes para confirmar lo que
obtuvo Aldo] con todos los estudiantes] seria dos más tres ¿cuánto da?
Estudiantes: cinco.
Profesor: más cuatro
Estudiantes: nueve
Profesor: más cinco.
Estudiantes: catorce.
173
Profesor: más seis.
Estudiantes: veinte
Profesor: y luego uno menos dos.
Estudiantes: uno menos dos, menos tres, menos diez, menos quince
Manuel: hay dios estoy más otra vez profe.
Profesor: alguien que observe otra cosa diferente a lo que observo Aldo. A lo mejor podemos
hacer otra cosa.
Chava: las potencias también se pueden sumar ¿no?
Elisa: hacer las operaciones.
Video cuatro.
[Se les solicito analicen su igualdad y la factoricen, o realicen operaciones distintas a las
plateadas]
(23-13)+(33-23)+(43-33)+(53-43)+(63-53)+ - - -+(n+1)3-n3)=(
3(1)2+3(1)+1)+(3(2)2+3(2)+1)+(3(3)2+3(3)+1)+ (3(4)2+3(4)+1) + (3(5)2+3(5)+1)+---+
3(n)2+3(n)+1
Profesor: haber quien la tenga pásela anotar que es la continuación de ahí de esa parte.
Luna: y cuando son puros unos nada más puros unos.
Alberto: haber, la paso anotar.
Profesor: este, venos explicando como la fuiste realizando.
Alberto: aquí como esta [-1+(n+1)3) ] ya la teníamos, luego ya nada más puse el igual [-
1+(n+1)3=] y como nos puso el ejemplo de esto [factorización de términos semejantes], y
como aquí tenemos términos semejantes [refiriéndose a la siguiente operación:
(3(1)2+3(1)+1)+(3(2)2+3(2)+1)+(3(3)2+3(3)+1)+ (3(4)2+3(4)+1) + (3(5)2+3(5)+1)+---+
3(n)2+3(n)+1 ] pues sería lo mismo solamente cambiaríamos el tres por ,uno al cuadrado,
más dos al cuadrado más tres al cuadrado, más cuatro al cuadrado, más cinco al cuadrado,
mas … n al cuadrado. [-1+(n+1)3 = 3(12+22+32+42+52+---+n2)] y esto solamente seria de
esta parte [(3(1)2+3(1)+1)+(3(2)2+3(2)+1)+(3(3)2+3(3)+1)+ (3(4)2+3(4)+1) +
(3(5)2+3(5)+1)+---+ 3(n)2],
174
Ahora lo que tendríamos que hacer seria otra multiplicación, seria, tres por uno más dos más
tres más cuatro más cinco. [3(1+2+3+4+5)
Chava: [al mismo tiempo que Aldo escribía en el pizarrón] tres por uno, más dos, más tres,
más cuatro, mas cinco.
Alberto: Y luego de aquí sería otro y luego sería otro y aquí solamente sería más n y así
quedaría. Pero todavía nos falta hacer la suma de estos. [Refiriéndose a el ultimo uno de la
suma]
(23-13)+(33-23)+(43-33)+(53-43)+(63-53)+ - - -+(n+1)3-n3)=(
3(1)2+3(1)+1)+(3(2)2+3(2)+1)+(3(3)2+3(3)+1)+ (3(4)2+3(4)+1) + (3(5)2+3(5)+1)+---+
3(n)2+3(n)+1 ,y que solamente sería más n así. [Anotó en el pizarrón]
-1+(n+1)3 = 3(12+22+32+42+52+---+n2) + 3(1+2+3+4+5+---+n)+n
Profesor: ¿Por qué?
Alberto: porque usted había dicho que, bueno nosotros también decimos que era uno, yo
pende que era uno más uno,... así eran seis pero no también, como usted dice que no sabemos
su número puede ser infinito, cien o eso, así que solamente lo sumamos más n.
Profesor: pero porque más n ¿Por qué el uno se va a repetir cuantas veces?
Estudiantes: mmm. n veces.
Profesor: n veces verdad. ¿Que observan ahí? Ahí hay dos sumas una ya la saben, ¿Cuál es la
que ya saben?
Alberto: la de n, no. la de tres, por uno, más dos, más tres, más cuatro. [3(1+2+3+4+5+---
+n)+n]
Profesor: esa suma ya la saben verdad, puede ser tres, ahí iría tres, [refiriéndose al tres que
multiplica a la suma de los números naturales asta n] como se expresaría esa suma.
175
Alberto: n cuadrada más n entre dos.
Profesor: haber quien pasa anotarla como quedaría. Ya pueden reducir esta parte [señala en
el pizarrón la siguiente suma: (1+2+3+4+5+---+n)] ¿sí o no?
Alberto: si, pásale nada más anota n cuadrada más n sobre dos.
Profesor: pero hay que anotar todo desde la k
Luna: des de…
Profesor: si desde acá, [-1+(n+1)3 =] menos uno más… porque pues estamos realizando la
simplificación no podemos dejar olvidado lo demás.
Elisa: copia todo lo de atrás, y acá nada más cambia eso.
Luna: copio todo esto [-1+(n+1)3 = 3(12+22+32+42+52+---+n2)] y nada más cambia esto
[3(1+2+3+4+5+---+n)]
Profesor: aja nada más vas a cambiar eso. [3(1+2+3+4+5+---+n)]
Luna: esto es uno. [-1+(n+1)3 =]
Profesor: menos uno
Luna: [escribió en el pizarrón] -1+(n+1)3= 3(12+22+32+42+52+---+n2)+ 𝑛2+𝑛
2
Profesor: ya ¿es todo? ¿Qué falta? Ahí.
Alberto: falta el más n todavía.
Luna: así pero esta [[ 𝑛2+𝑛
2 ]] si estaba bien.
Humberto: entre paréntesis.
Luna: [completo la expresión con ayuda de sus compañeros] -1+(n+1)3= 3(12+22+32+42+52+-
--+n2)+ 𝑛2+𝑛
2 +n.
Profesor: y luego ya ¿nada más es eso es la pura suma de los naturales?
Ahí [3(12+22+32+42+52+---+n2)+ 𝑛2+𝑛
2 +n. ¿ya está correcto? [La igualdad aún no estaba
completa, pero el maestro cuestiona con el objetivo de que los estudiantes se den cuenta] Es
176
tres por uno al cuadrado, más dos al cuadrado, más tres al cuadrado, más cinco al cuadrado
hasta el término n al cuadrado, más…
Alberto: que no falta el tres
Luna: hay si es cierto.
Profesor: eso, todo eso está multiplicado ¿por?
Alberto: tres
Luna: (corrige) -1+(n+1)3= 3(12+22+32+42+52+---+n2)+ 3( 𝑛2+𝑛
2 ) +n.
Profesor: por tres verdad. Bien ¿Cuál es la que nosotros necesitamos para encontrar el
número de cuadritos de la figura n por n?
Alberto: la dee... la de los cuadrados.
Elisa: la de los cuadrados
Profesor: que tendríamos que hacerle a esa ecuación.
Humberto: he sustituir los valores nada más.
Profesor: ¿Cuál valores Hugo? ¿Cuáles valores Hugo?
Humberto: bueno no.
Profesor: ¿Qué tendríamos que hacer?
Alberto: buscar una, formula ¿no?
Profesor: ya casi la tenemos, ahí está prácticamente esa es una formula, [se refirió a la
formula ala que han legado] pero nosotros queremos obtener, los valores de la suma de
cuadrados.
Alberto: profe. No se supone que la menos uno cubico, mas entre paréntesis n más uno al
cubo [-13+(n+1)3] es igual a la del lado, [3(12+22+32+42+52+---+n2)+ 3( 𝑛2+𝑛
2 ) +n] se
supone. Se supone que es igual y entonces por ejemplo, que tenemos de tres entre paréntesis
n cuadra más n entre dos [ 3( 𝑛2+𝑛
2 )] eso sería solamente una parte de lo que es de acá [se
refirió a esta parte de la igualdad, -1+(n+1)3]
177
Profesor: mju.
Alberto: y para eso podemos buscar otra, otra fórmula para que sea equivalente a la de acá
[señaló nuevamente, -1+(n+1)3] por así decirlo.
Profesor: bien si yo tengo p es igual a k por r [anota un ejemplo en el pizarrón p=k(r)] quiero
encontrar el valor de k ¿qué hago?
Alberto: dividirlo ¿no?
Profesor: divido cual.
Estudiantes: n entre r.
Humberto: k igual a n entre r [k= n/r]
Profesor: estoy haciendo un despeje verdad, ¿sí o no?
Estudiantes: aja
Profesores: ya tengo mi ecuación pero quiero este valor, aquí está mi ecuación [señala la
ecuación con la cual están trabajando -1+(n+1)3= 3(12+22+32+42+52+---+n2) + 3( 𝑛2+𝑛
2 ) +n.]
Pero quiero estos [señala la suma de cuadrados que está dentro de esa ecuación.
(12+22+32+42+52+---+n2]
Estudiantes: valores.
Alberto: no podría ser este, en este caso sería tres entre paréntesis n cuadrada más n entre
dos, 3 [𝑛2+𝑛
2] es igual al valor de menos uno cubic... al cubo más entre paréntesis n más uno
al cubo y eso [-1+(n+1)3] sería entre lo de acá. [+ 3( 𝑛2+𝑛
2 ) +n]
Profesor: este [la parte resaltada en negro, -1+(n+1)3= 3(12+22+32+42+52+---+n2) +
( 𝟑𝒏𝟐+𝟑𝒏
𝟐 ) +n] que está sumando pasa dividiendo
Humberto: no sería pasando, restando.
Elisa: restando.
Profesor: está sumando.
Humberto: pasa resta.
178
Profesor: como pasaría.
Humberto: ha resta.
Profesor: entonces que tendríamos que hacer
Estudiantes: restar.
Profesor: entonces que tenemos que hacer, acá que hicimos [refiriéndose a el ejemplo que les
puso, p=k(r) en el cual despejo a k]
Estudiantes: despejamos la k.
Profesor: y acá [en esta ecuación, -1+(n+1)3= 3(12+22+32+42+52+---+n2) + ( 3𝑛2+3𝑛
2 ) +n]
que tenemos que hacer.
Estudiantes: despejar.
Profesor: despejar la suma ¿de?
Estudiantes: de cuadrados.
Profesor: de cuadrados ¿verdad? ¿Sí o no?
Alberto: sí.
Profesor: hay que despejar la suma de cuadrados entonces… Vamos a despejar esto me dicen
verdad [señaló la suma de cuadrados de la ecuación -1+(n+1)3= 3(12+22+32+42+52+---+n2)+
-1+(n+1)3= 3(12+22+32+42+52+---+n2) + ( 𝟑𝒏𝟐+𝟑𝒏
𝟐 ) +n +n] y esa suma de cuadrados que
representa entonces
Manuel: los niveles de.
Profesor: ¿con qué objetivo estamos buscando la suma de los cuadrados?
Humberto: podría ser tres por n al cuadrado no profe.
Profesor: si Hugo pero conque objetivo estamos buscando esta suma [señaló nuevamente la
suma de cuadrados, 12+22+32+42+52+---+n2). Para calcular ¿Qué?
Elisa: el número de cuadritos que hay en una, [cuadrado]
Humberto: un cuadrado de n por n.
Profesor: de la do n ¿por?
179
Estudiantes: ene.
Profesor: n verdad, que ese es nuestro problema original, miren entonces que van a ver
ahorita.
Alberto: despejar.
Profesor: despejar ¿Qué?
Alberto: esa parte [señaló la suma de cuadrados, -1+(n+1)3= 3(12+22+32+42+52+---+n2)+
(𝟑𝒏𝟐+𝟑𝒏
𝟐)+n]
Profesor: haber, háganlo entonces, háganlo en su cuaderno.
Chava: aunque este mal pero lo intentamos.
Profesor: si, si, acuérdense que si nos equivocamos, es una oportunidad para aprender.
[Se dejó un espacio para que os estudiantes trabajaran]
Profesor: haber Aldo.
Alberto: esto se tiene que pasar restando [señaló el despeje de la suma de cuadrados que está
realizando en su cuaderno] así de esta forma.
Profesor: y esto donde quedo. [Refiriéndose a un elemento de la igualdad en la que se está
aplicando el despeje]
Alberto: esto prácticamente sería más uno al cubo más.
Profesor: porque más.
Alberto: porque si está sumando.
Profesor: no pero, este tiene que estar así y ya después enseguida este ¿no? [Señaló los
errores que tiene en su despeje] esto es todo tu termino y a esto le vas a quitar esto de acá.
Alberto: ha primero es esto y luego esto [señaló los elementos que está moviendo para
despejar la suma de cuadrados]
Profesor: pues si ¿no? o este o este lo vas a desaparecer o qué onda. [Señala un término que
había eliminado Alberto, de la igualdad]
Manuel: no da.
180
Profesor: ¿ya terminaste de hacerlo?
Manuel: no todavía no.
Profesor: y porque tienes esto aquí. [Señalo unas notas], todas sus hojas me las van a dar he,
pónganle la fecha y el nombre.
Alberto: ¿así no sería?
Profesor: haber como Aldo.
Video: individual minuto 14: 19 a 18: 35
Profesor: ¿Cómo quedó a ver, explícame?
Alberto: Así, esto… eh aquí este[-1] como está restando pasa sumando,[se equivocó al decirlo
en realidad tendría que haber dicho que estaba restando y pasaba sumando, también se observa
que comete un error porque el término que está señalando, no lo está moviendo del lugar que
ocupa dentro de la ecuación y aun así le está cambiando el signo] aquí este [+(n+1)3] igual,
este [(n+1)3] de la misma forma y esto [13-(n-1)3] es igual a la de acá,[ (𝟑𝒏𝟐+𝟑𝒏
𝟐 )+n] pero como
está sumando va a pasar restando menos tres n al cuadrado [-3n2], como tiene más tres n, [+3n],
acá [se refiere a la parte adonde movió ese término] va a tener menos tres n entre dos
[(−𝟑𝒏𝟐− 𝟑𝒏
𝟐 )] y como tiene más n (+n), pues aquí tiene menos n [-n]. [(
−𝟑𝒏𝟐−𝟑𝒏
𝟐 )-n, pero si
observamos lo que realizó en su cuaderno nos daremos cuenta que esta parte [(𝟑𝒏𝟐+𝟑𝒏
𝟐 )+n] de
la igualdad sigue después del igual, entonces pues lo único que hizo fue cambiarle de signos
pero no de posición dentro de la igualdad]
Profesor: ¿Pero a donde paso restando?, si yo veo que sigue del mismo lado del signo igual
Alberto: ¿Entonces este [-1+(n+1)3] acá y este [(𝟑𝒏𝟐+𝟑𝒏
𝟐 )+n] acá? [Propone cambiar de lugar
entre sí a cada ecuación]
181
-1+(n+1)3= 3(12+22+32+42+52+---+n2)+ (𝟑𝒏𝟐+𝟑𝒏
𝟐 )+n]
Profesor: ¿Por qué?
Alberto: O solamente que, [cabio los signos otra vez] este [-1+(n+1)3 = (3𝑛2+3𝑛
2 )+n, señalo
el signo igual] no lo tenga y aquí [en el lugar del signo igual] solamente sería el menos.
Profesor: Ajá, ¿y el igual va hasta acá, no? [Señaló el final de las ecuaciones, [-1+(n+1)3 -
(3𝑛2+3𝑛
2 )+n =]
Alberto: Ajá, seria aquí y esto sería igual a esto. [3(12+22+32+42+52+---+n2)]
Profesor: así si, si te creo Aldo.
Alberto: A tres por uno, dos… ¿así? [-1+(n+1)3 -(3𝑛2+3𝑛
2 ) - n = 3(12+22+32+42+52+---+n2)]
Profesor: ¿Ya quedaron solitos o todavía hay algo ahí que?
Alberto: Pues, yo digo que ya, ¿no?
Profesor: ¿Ya?, ¿ya es la pura suma de cuadrados?
Alberto: ¡Pues si!, por…
Profesor: ¿Ya no hay nada que le afecte o que este ahí alterando esa suma de cuadrados?,
¿ya está sola?... ¿seguro?... ¿a ver, observa bien?... ¿ya está solita la pura suma o todavía hay
otra operación ahí?
Alberto: aquí, ¿este [[-1+(n+1)3 -(3𝑛2+3𝑛
2 ) - n = 3(12+22+32+42+52+---+n2)] no, el menos n
(-n)?
182
Profesor: Eso no, eso [se refirió a la primera parte de la igualdad, -1+(n+1)3 -(3𝑛2+3𝑛
2 ) - n =]
ya está bien ya nada más estamos viendo del otro lado, [= 3(12+22+32+42+52+---+n2)], ya
está bien.
Alberto: ¿Acá? [= 3(12+22+32+42+52+---+n2)]
Profesor: ¡Ajá! ¿Pues es lo que pretendemos despejar, no?, ¿ese [tres] que está haciendo ahí?
Aldo: Está multiplicando.
Profesor: ¿Y si está bien o lo tendríamos que mover?
Alberto: ¿Puede pasar dividiendo, no?
Profesor: Haa, a ver entonces, ¿cómo quedaría?
Alberto: Y esto. [Borró el tres pero pretendía ponerlo dividiendo pero al mismo término que
estaba multiplicando] que
Profesor: ¿Pero a poco va a dividir ahí?... Está multiplicando de ese lado, entonces, ¿hacia
dónde lo vas a llevar dividiendo?
Alberto: ¿Acá? [Señaló el final de esa misma ecuación]
Profesor: ¿Por qué?
Alberto: Si esta de lado de acá. [Señaló la parte a donde originalmente estaba el tres]
Profesor: Pero…
Alberto: ¿O, lo tengo que pasar acá? [
183
Profesor: ¿Por qué ahí?
Alberto: Para que sean igual, de entre.
Profesor: Esta… está dividiendo a, pon como estaba…está multiplicando a todo este término
[3(12+22+32+42+52+---+n2)+n] , pero esta [perdón], esto [-1+(n+1)3 -(3𝑛2+3𝑛
2 ) – n] es igual a
esto[3(12+22+32+42+52+---+n2)+n], esto [señalo al nuero tres [3(12+22+32+42+52+---+n2)+n ]
si está multiplicando a todo este término[(12+22+32+42+52+---+n2)], lo queremos mover hacia
acá [-1+(n+1)3 -(3𝑛2+3𝑛
2 ) - n] para que esto [[3(12+22+32+42+52+---+n2)+n]nos quede solo,[
que se despeje la suma de cuadrados] que es lo que pretendemos, ¿cómo va a pasar hacia acá,
hacia todo esto [-1+(n+1)3 -(3𝑛2+3𝑛
2 ) – n]?
Alberto: ¿Dividiendo, no?
Profesor: ¿entonces cómo quedaría la expresión?
Alberto: Eh… esto tiene que pasar dividiendo a todo esto [-1+(n+1)3 -(3𝑛2+3𝑛
2 ) – n].
Profesor: ¿A ver?
Alberto: ¿Pues sería así, no?
Profesor: ¡Si, si a ver!
Alberto: así. [Anoto lo siguiente en el pizarrón]
Profesor: ¿Y ya cómo quedaría entonces?
Alberto: Esto acá no va, [borro el número tres que está multiplicando a la suma de
cuadrados] y la expresión, esto es, se tendría que ser igual a esto.
184
Profesor: ¡Ajá!, ¿y ya cómo quedaría entonces?
Alberto: Quedaría n menos uno (n-1)
Profesor. ¿Y es uno al cubo (13)?
Alberto: Si.
Profesor: ¿Seguro y a dónde quedo el signo menos del uno, es uno o no?
Alberto: ¡Si, si es uno!
Profesor: ¿Es uno o menos uno?
Alberto: Menos uno, [anotó la formula]
Profesor: que más, copia si quieres del otro lado [de tu hoja para que se te facilite la
observación de lo último que realizó] para que la observes y veas, ahí ya la puedes invertir,
ahí ya puedes poner que esto [12+22+32+42+52+---+n2, es igual a esto -13-(n-1)2- 3𝑛2−3𝑛
2
.
3
Que es, lo que andamos buscando ¿no? la suma de cuadrados.
Alberto: que esto ya sería esto, podría ser. [Señalo solo la suma de naturales, igual a la suma
de cuadrados)
Profesor: no, porque aquí [señalo la forma general para calcular la suma de los números
naturales desde uno hasta n] da naturales nada más.
Alberto: ha sí.
185
Profesor: haber anótala de este lado ya si quieres, [nuevamente le sugirió anotar en limpio su
fórmula para que así observe mejor]… ¿Cómo vas? [Le pregunto a chava.]
Chava: mmm no se puede, sacar esto por esto [señaló la suma de los naturales, por el resto de
los elementos de la igualdad y el resultado sería la suma de cuadrados]
Profesor: esto no está bien [señaló, la forma general en que él tiene representada la suma de
los números naturales] esto lo hicimos en el primer ejercicio acuérdate en la suma de los
números naturales, es iguala a esto, cuando sumamos de uno asta n es esto [le señaló la forma
general de la suma de los numero naturales, que ya tiene en sus notas y le hace comentarios
para apoyarlo a recordar cómo se obtuvo esa forma general] hicimos una actividad que hasta
lo hicimos con cuadritos, el número uno era un cuadrito el dos tres cuadritos, el tres… y de ahí
salió la forma general.
Chava: esta [señaló la forma general que tiene en sus notas de la suma de los números
naturales de uno hasta n]
Profesor: así es que representa todo esto [señalo la suma de los naturales de uno asta n] lo
hicimos en el primer ejercicio. … ¿ya, cómo vas? [Le preguntó a miguel] ¿Qué haces?, y
¿Por qué haces todo eso? Tú ya Elisa… [Preguntó a esmeralda] bien me permiten guiarlos
con un ejemplo. Supongamos. Es un ejemplo he es un ejemplo. Que tengo equis… su
pongamos que tengo así [Puso un ejemplo en el pizarrón:
x+(x+2)2= 3(73+83+93+---+n3)+5𝑥3+3𝑥3
4 + x ] y si yo quiero encontrar, si yo quisiera encontrar
la suma de los cubos ¿qué tengo que hacer?, voy a despejar esta parte verdad [señaló la suma
de cubos de esta plateada en la igualdad que puso de ejemplo, nota: no está seguro de que sea
una igualdad solo la uso de ejemplo para mostrar el despeje] y para despejar esta parte
necesito quitar estos elementos [señaló los elementos que moverá, 5𝑥3+3𝑥3
4 ] entones tendría x
mas x más dos al cuadrado igual a tres por siete al cubo, mas ocho al cubo más nueve al cubo
así hasta n al cubo verdad.
186
Pero este [+ 5𝑥3+3𝑥3
4 ] que está sumando va a pasar del otro lado
Estudiantes: restando.
Profesor: menos cinco equis al cubo, más tres equis al cubo, sobre [cuatro,−5𝑥3+3𝑥3
4 ] mas,
¿seguros? Menos equis igual a.
Alberto: tres
Profesor: por siete al cubo, más ocho al cubo más nueve al cubo así hasta n al cubo, estoy
tratando de dejar a esta parte sola [señaló la suma de cubos] porque es lo que yo quiero calcular.
Que más, ¿hay alguna otra operación que afecte a lo que yo estoy buscando o ya quedo limpio?
Cual ahí ¿qué otra cosa le está afectando?
Alberto: el tres.
Profesor: el tres verdad, lo está multiplicando como pasaría de este lado de acá [señaló la
primera parte de la igualdad]
Estudiantes: dividiendo.
Profesor: entonces nos quedaría equis más dos al cuadrado… [Anotó la ecuación que quedo
al realizar el despeje] 𝑥+(𝑥+2)2−[
5𝑥3+3𝑥3
4]−𝑥
3= 73 + 83 + 93 + − − − + 𝑛3 , y asi ya nos
quedó despejado ya vieron. ¿Sí o no?
Estudiantes: sí.
Profesor: hasta ahí preguntas con esto.
Estudiantes: no
187
Profesor: y entonces la podríamos anotar de esta forma [escribió en el pizarrón] va ser igual
a…
73 + 83 + 93 + − − − + 𝑛3 = 𝑥+(𝑥+2)2−[
5𝑥3+3𝑥3
4]−𝑥
3 , si, ¿ya observaron? Aquí podríamos
realizar alguna otra cosa [señaló la segunda parte de la igualdad] o ¿ya no? ¿Qué podríamos
realizar ahí? [Los estudiantes identificaron dentro de la igualdad un binomio al cuadrado]
Si ya identificamos ahí ese binomio al cuadrado podríamos desarrollarlo, y como quedaría la
expresión.
Luna: equis cuadrada más dos equis [al tiempo que se escucha como opinan sus demás
compañeros]
Huberto: no es equis al cuadrado más cuatro equis más cuatro
Profesor: ¿sí? Entonces díganme quedaría [anoto la siguiente expresión en el pizarrón]
73 + 83 + 93 + − − − + 𝑛3 = 𝑥 + (𝑥2 + 4𝑥 + 4) − [
5𝑥3 + 3𝑥3
4 ] − 𝑥
3
Profesor: ¿sí?
[Después del ejemplo los estudiantes trabajan con el despeje de la suma de cuadrados que les
ayudara a calcular lo que solicita el problema que están trabajando. Cuando creen ya tener un
avance el profesor solicita alguien nos comparta lo que ha realizado en el pizarrón. ]
Alberto: [anoto la siguiente expresión]
-13 +(n+1)3- 3𝑛2− 3𝑛
2 -n= 12+22+32+42+52+---+n2 ¿Así profe?
Profesor: aja y como llegaste a eso
Alberto: por que despeje he esta de aquí a aquí [señaló esta parte de la ecuación 3[𝑛2+𝑛
2] hice
la multiplicación tres por tres n cuadrada y así me salió esto pero de aquí [(n-1)3] ya no me
acuerdo porque me salió negativo pero de ahí en adelante eso lo tengo negativo
Profesor: a lo mejor habías copiado mal ¿no?
Alberto: o a lo mejor.
188
Profesor: entonces ahí ponle los signos que debe de ser [refiriéndose a la primera parte de la
igualdad en donde Aldo cambio los signos]
Alberto: así [corrige los signos que había puesto mal, (n+1)]
Profesor: le falta un dato ahí as u compañero ¿no? [Porque le faltaba dividir a la primera
parte de la igualdad entre tres]
Estudiantes: el tres, sobre tres.
Alberto: agrega el dato que le falta y la ecuación queda así:
−13 + (𝑛 + 1) −3𝑛2 − 3𝑛
2 − 𝑛
3= 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + ⋯ + 𝑛2
Manuel: exacto, tu si sabes [cuando Aldo agregó el dato que le hacía falta]
Profesor: bien pues ya redujeron un poquito la…
Alberto: a entonces pero de lo que fui haciendo no fue la mitad verdad no le puedo cambiar
el signo.
Profesor: es cuestión de que revisemos este Aldo. Que más, podríamos este factorizar
Manuel: puede ser que…
Alberto: la de n más uno cubica [(n+1)3]
Humberto: seria n cubica más tres n cuadrada más tres n.
Profesor: vean, [puso un ejemplo de binomio al cubo] un ejemplo si yo quiero mover a este
tres de aquí y subirlo por ejemplo acá sin que afecte a mi planteamiento al planteamiento que
estamos realizando, ¿cómo se puede realizar? un ejemplo más sencillo, ¿Cómo factorizo esta
parte?, alguna idea.
Alberto: pasándolo multiplicando, así. [Moviendo los elementos del ejemplo propuesto]
Alberto: aja.
Profesor: ¿así? o ¿así?
Alberto: todo entre dos ¿no?
189
Profesor: por eso así dices tú y así
Alberto: aja ¿no?
Profesor: mm más o menos, porque tengo que dejar esta exactamente igual, [que lo lleve a un
mismo resultado] solamente que la tengo que expresar o escribir de otra forma, aquí ya no
quedaría igual, ¿sí o no? que daría veinticuatro, dieciséis más cuatro ene y si la divido entre
cuatro ya no me va a quedar igual aquí me va a quedar seis aquí me quedarían dieciséis ene
cuatro ene.
Alberto: a tiene que quedar igual.
Profesor: aja que lo que me pida acá, lo tengo que tener acá pero expresado de otra forma
[señaló y la primera y la segunda parte de la igualdad que puso de ejemplo) ya casi esta.
Alberto: ¿no sería entre cuatro?
Profesor: y luego entonces, pero estoy tratando de mover este cuatro. Ya casi esta la
factorización, bien, primero hasta aquí, hasta donde hizo su compañero estamos bien, aquí
multiplicamos ¿seis por cuatro?
Estudiantes: veinticuatro.
Profesor: ¿cuatro por cuatro?
Estudiantes: dieciséis
Profesor: más cuatro.
Elisa: veinte.
Profesor: y en lugar de afectar a este pedacito o esta parte de la expresión ya divide a todo
¿verdad?
Estamos de acuerdo o no, o hay un error aquí, veinticuatro entre cuatro seis, dieciséis entre
cuatro.
Estudiantes: cuatro.
Profesor: ya no va a coincidir, porque cuatro entre cuatro me tiene que dar uno y acá n cuarta
o n sobre cuatro, si logro explicarme o ¿no?
Humberto: nomas se multiplicaría por cuatro seis m y lo demás se quedaría como esta
Profesor: si, y ¿Cómo quedaría Hugo?
190
Humberto: he veinticuatro m más cuatro n más
Profesor: están de acuerdo los demás o no lograron entender lo que quiere decir Hugo. ¿Si
no?
Así ¿cómo quedaría Hugo?
Humberto: nomas multiplicar seis m por cuatro ya lo demás se pasa normal
Profesor: así verdad [realizo lo que Hugo sugirió para el ejemplo que están trabajando] y
aquí aplicamos división de fracciones, ¿estamos de acuerdo o no? si, ¿Cómo se desarrolla
esta división?
A cuánto es igual.
Humberto: igual a tres cuatro. Tres cuartos.
[Después de trabajar y resolver el ejemplo propuesto por el profesor, se les sugiere trabajen
con el problema original.]
Profesor: vamos a observar lo que hiso Hugo
Humberto: tengo que hacer toda la multiplicación.
Profesor: pues como te quedo nada más, ¿la hiciste en tus hojas no?
Humberto: anota en el pizarrón la expresión que encontró.
−13 + 𝑛3 + 3𝑛2 + 3𝑛 + 1 −3𝑛2 − 3𝑛
2 − 𝑛
3= (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + ⋯ + 𝑛2)
Alberto: pero profes, que no menos uno al cubo ya no va porque como usted dice
Profesor: ha si lo eleva al cubo puede quedar nada más menos uno ¿no?
Alberto: menos uno y ya no sería necesario menos uno al cubo.
Manuel: y ya queda así no [aplico -13 = -1] porque uno por uno da uno.
Alberto: y también acá ¿no? se divide todo menos n también entre tres
Profesor: adonde Alberto haber pásale.
Alberto: nada más pienso aquí no esto también menos n también se divide entre tres así
[corrigió lo que había anotado Hugo para que toda la expresión quede indicada entre tres
como se muestra a continuación]
191
−1 + 𝑛3 + 3𝑛2 + 3𝑛 + 1 −3𝑛2 − 3𝑛
2− 𝑛
3= (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + ⋯ + 𝑛2)
Profesor: ha bueno aja ahí tendría que estar abarcando toda la expresión, alguna otra, algo
que podaos reducir o factorizar ahí
Humberto: es que ya sería el primero, quitar el dos y, bueno la división de tres y dos y
después acomodarlas.
Profesor: antes ¿no se podrá factorizar ahí algo? haber observen.
Humberto: si, es que se podría, yo digo que quitar el más tres n al cuadrado y también
eliminar el menos tres n al cuadrado para qué…
Profesor: pero ahí todavía no se puede o si por que…
Manuel: falta algo.
Profesor: aquí.
Humberto: afectaría…
Profesor: aquí le está afectando Hugo.
Humberto: ala división de tres n al cuadrado
Profesor: ala división, pero habrá algo que podamos reducir sin que afecte.
Alberto: el menos n
Profesor: ¿con cuál?
Santamaria: el más uno y menos uno.
Humberto: aja el uno y el más uno. El menos uno y más uno.
Profesor: a ver cómo quedaría entonces la expresión.
Santamaria: nada más se eliminarían.
Profesor: si escríbela abajo para que podamos ir viendo.
Santamaria: [anotó la siguiente expresión]
192
𝑛3 + 3𝑛2 + 3𝑛 −3𝑛2 − 3𝑛
2− 𝑛
3= 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + ⋯ + 𝑛2
Profesor: si verdad que opinan.
Alberto: a nada más se eliminan
Profesor: pues no se eliminan ¿o sí? ¿Qué sucedió?
Estudiantes: menos uno más uno
Profesor: efectuaste la operación verdad, ¿sí o no?, bien ahora ¿qué más podemos factorizar
aquí?
Humberto: podríamos utilizar así como el que hicimos acá [refiriéndose al ejemplo previo
que planteo el profesor] para.
Profesor: que fue obtener ¿Qué? ¿Qué se hizo ahí? obtuvimos algo
Humberto: que ya no saliera el dos.
Manuel: profe podría quitársele ahí más tres n [refiriéndose a la parte de la ecuación que en
seguida resaltamos:]
𝑛3 + 𝟑𝒏𝟐 + 3𝑛 −3𝑛2 − 3𝑛
2 − 𝑛
3= 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + ⋯ + 𝑛2
Profesor: pues si pero no se puede efectuar esto menos esto verdad [señaló en la ecuación lo
que ya resaltamos anteriormente]
Humberto: no
Profesor: ¿Por qué?
Humberto: tienen que ser términos semejantes.
Profesor: ¿Por qué aquí no podemos este con este? [Señaló los términos que están resaltados
con negro en la ecuación]
𝑛3 + 3𝑛2 + 𝟑𝒏 −3𝑛2 − 𝟑𝒏
2 − 𝑛
3= 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + ⋯ + 𝑛2
193
Santamaria: porque esta una división.
Porque: porque está la división ¿verdad?
Manuel: pero no me refiero a esos dos términos yo me refiero a tres n menos [se refirió a
los términos que se resaltan a continuación]
𝑛3 + 3𝑛2 + 𝟑𝒏 −3𝑛2 − 3𝑛
2 − 𝒏
3= 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + ⋯ + 𝑛2
Profesor: ha tal vez podría ser. Qué otra cosa podríamos realizar.
Santamaria: de n al cubo menos n y quedaría, n al cuadrado.
Profesor: pero si tiene potencias distintas podríamos hacer sumas y restas.
Estudiantes: no
Manuel: bueno si pero debe de cumplir ciertos factores.
Alberto: o menos n más tres n.
Manuel: por eso.
[Se les dio un ejemplo a los estudiantes y posteriormente les permite que observen y trabajen
para que encuentren otra forma de factorizar la ecuación. Y entonces llegan a lo siguiente:]
2𝑛3 + 6𝑛2 + 6𝑛 − 3𝑛2 − 3𝑛 − 2𝑛23
= 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + ⋯ + 𝑛2
Alberto: profe me salió así mire. Porque esta es la del sándwich ¿no? y luego ya sume,
simplifique los términos semejantes por ejemplo dos n cuadrada más seis n cuadrada menos
tres n cuadrada, salió cinco n cuadrada, luego seis n cuadra menos tres n son tres n, y entre los
dos ya salió el resultado.
Profesor: y este menos dos ¿de dónde es?
Alberto: ha aquí es n aquí es n, si porque acá es menos dos n.
Profesor: haber Hugo. Aja ahora hay que reducir ay que ver cuáles son términos semejantes.
Alberto: profe estamos mal creo. Y si quedaría así.
Profesor: haber traten de acomodar.
194
Alberto: profes aquí estamos mal, menos dos no es.
Manuel: quien dijo que iba menos dos.
Alberto: tu
Manuel: yo no dije que iba. No Aldo. Si yo dije dos n cubica más dos n cuadrada más n…
Dieciseises más doce más dos
Alberto: un ejemplo., dos por dos cuatro por dos seis, seis mas
Manuel: si da profe.
Alberto: cuatro por tres doce dieciocho, veinte entre dos.
Manuel: que no se supone que es, dos por dos cuatro por dos ocho
Alberto: no, cuatro por cuatro
Manuel: dos por dos cuatro, por dos.
Alberto: así, son dieciséis.
Alberto y Manuel: Dos por dos cuatro por tres doce más dos treinta entre seis cinco. Huu si
sale.
Profesor: ¿cuál fue el objetivo de realizar todo este trabajo?
Estudiantes: es lograr encontrar una fórmula para encontrar el número de cuadritos de la
figura n.
Profesor: ¿de la figura n?
Miguel: profes si salió.
Profesor: ¿cuál es el objetivo de estar haciendo estas operaciones?
Manuel: ¿Cuál es su objetivo?, de encontrar una fórmula para encontrar el número de
cuadritos de la figura n.
Profesor: ¡de la figura n!
Manuel: una figura de lado n
Profesor: ¿sí?
Coral: no de cualquier figura.
Profesor: mmm creo que perdieron la idea he.
195
Luna: no era para calcular el número de cuadritos que podría haber en una figura de n por n
Profesor: de lados, n por n, porque es un cuadrado.
Manuel: un cuadrado de lado n.
Alberto: y si da por la esta.
Manuel: si da y es muy pequeña la formula profe.
Profesor: si da haber entonces quien pasa a concluir.
Alberto: yo paso.
Humberto: yo paso.
Profesor: quien quiere pasar aparte de Hugo que ya nos apoyó aparte de Hugo y de Aldo.
Manuel: a yo.
Profesor: haber Miguel.
Manuel: a yo no digo.
Profesor: no quieres pasar miguel entonces.
Humberto: yo paso.
Profesor: si Humberto ahorita si nadie quiere pasar, ya nada más hay que terminar lo que fueron
haciendo y al final si quieren comprobar con algún ejemplo pues mejor
Humberto: la ley del sándwich.
Alberto: esa no me a sabia.
Humberto: ni yo.
Manuel: ni yo.
Profesor: bien ¿quién nos quiere compartir?, ¿quién nos quiere compartir a que formula
general llegaron?… observen lo que hiso su compañero.
Manuel: bueno primero seguí el procedimiento que usted nos había dado de ejemplo de sacar
Humberto: pero de donde salió eso Miguel.
Manuel: no te preocupes por eso Hugo.
196
Humberto: es seis más seis n.
Manuel: si Hugo nada más que escribo mal, tú lo sabes.
Hugo: menos tres n por
Manuel: he aquí un numero llamado dos Hugo, de la multiplicación de un número llamado
dos que se encuentra en la parte inferior de la resta de tres n cuadrada menos tres n [señaló lo
que remarcamos en negro de la siguiente ecuación]
2𝑛3 + 6𝑛2 + 6𝑛 −3𝑛2 − 3𝑛 − 2𝑛
23
= 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + ⋯ + 𝑛2
Esto es sobre tres, y después se supone que teníamos que hacer el chanwich, chanwich o no
chanwich no se y sale una ecuación.
Profesor: Pero todo eso ¿a que es igual miguel?
Manuel: a esta serie de números [señaló la suma de cuadrados que está en su igualdad]
Profesor: ha pues hay que anotarla.
Manuel: [anotó, 12+22+32+42+52+---+n2] para completar su igualdad
Profesor: pero ¿ahí va el signo igual miguel? [Colocó mal el signo igual]
Manuel: [corrigió la ubicación del signo igual] no de echo va en el centro. Le vamos a dejar
todas nuestras hojas profe.
Profesor: si por favor… hasta ahí alguna observación, todos están de acuerdo.
Chava: pero que no ahí lo que se divide entre dos es todo.
Manuel: disculpen [corrigió en base a la sugerencia y su fórmula queda de la siguiente
manera
2𝑛3 + 6𝑛2 + 6𝑛 − 3𝑛2 − 3𝑛 − 2𝑛23
= 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + ⋯ + 𝑛2
Profesor: ¿nada más eso?, continuamos miguel.
Manuel: he después se tiene que hacer la, lo del sándwich digo como usted nos explicó este
con este y este con este [señalo la parte superior de la división de quebrados 2n3+6n2+6n-
3𝑛2 − 3𝑛-2n por la parte inferior que fue un uno imaginario, y a los elementos del centro dos
y tres] salió se pudiera decir esto. [Anotó la siguiente ecuación en el pizarrón.
197
2𝑛3+6𝑛2+6𝑛−3𝑛2−3𝑛−2𝑛
6= , que es una forma general.
Profesor: todo eso es igual ¿a qué?
Manuel: huy otra vez [y corrigió completando su fórmula, que es igual a, 12 + 22 + 32 +
42 + 52 + ⋯ + 𝑛2]
Chava: porque a los puntos suspensivos le pones al cuadrado.
Manuel: porque, que hice no sé por qué pero [borro el cuadrado que había puesto a los
puntos suspensivos] bueno se podría decir que así.
2𝑛3 + 6𝑛2 + 6𝑛 − 3𝑛2 − 3𝑛 − 2𝑛
6= 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + ⋯ + 𝑛2
Y esta ecuación se puede simplificar de unas formas, como por ejemplo restándole cierta
cantidad de números, como por ejemplo a seis n cuadradas se le puede restar el bueno eso se
queda así.
Humberto: ahí yo hice dos simplificaciones.
Manuel: tenemos dos términos con el n al cuadrado en este caso podrían sumar o restar y
aquí es restar seis le restas tres es igual a tres n al cuadrado [haciendo referencia a seis n
cuadrada menos tres n cuadrada que están en su ecuación] y después tenemos otros términos
iguales n y n, a seis n se le resta tres n y queda positivo tres n y des pues queda igual a seis,
sobre seis igual a todo estos números12 + 22 + 32 + 42 + 52 + ⋯ + 𝑛2, y anoto la siguiente
formula]
2𝑛3 + 3𝑛2 + 3𝑛 − 2𝑛
6= 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + ⋯ + 𝑛2
Elisa: te falto el menos dos n
Alberto: pero acuérdate que.
Manuel: si es que son dos simplificaciones Aldo de echo.
Manuel: después podemos como estos dos son términos iguales también [señaló el tres n y el
menos dos n de su ecuación] se le puede restar.
Profesor: ¿Qué no, podrías hacer eso desde el principio?
Manuel: mmm sí.
Profesor: y como te hubiera quedado. En lugar de tres n menos dos n.
198
Manuel: nada más n y vendría siendo esto [anoto sus simplificaciones quedando de la
siguiente manera]
2𝑛3 + 6𝑛2 + 6𝑛 − 3𝑛2 − 3𝑛 − 2𝑛
6= 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + ⋯ + 𝑛2
Que ya sería la formula.
Profesor: la forma general.
Manuel: la forma general.
Profesor: están seguros de que esa forma, nos lleva a obtener la suma de cuadrados.
Estudiantes: si
Profesor: con qué objetivo queremos saber el resultado de la suma de cuadrados asta n
números
Luna: para saber el número de cuadrados que puede haber en un cuadrado de n por n
Profesor: como es el problema original.
Humberto: dice observa las figuras y responda cuantos cuadrados se pueden formar dentro,
de los cuadros siguientes y el problema es este [enseñó la hoja en que se les dio el problema]
Aldo: ese no es el problema.
Coral: si
Humberto: observen las figuras anteriores establezcan relaciones y contesten, ¿Cuántos
cuadros se pueden formar dentro de un cuadrado de por n? si lo considera necesario realice
más operaciones antes de contestar la pregunta planteada.
Profesor: y ¿cuál es el resultado?
Humberto: dos n cubica, más tres n cuadrada, más n sobre seis, igual a.
Profesor: sobre seis verdad. Y si están seguros de que esa es.
Alberto: si ya la comprobé.
Profesor: haber ¿ya que Aldo?
Alberto: ya la comprobamos.
Profesor: haber quien pasa, pase hacer alguien una forma de comprobación
Humberto: yo paso.
Alberto: puede pasar quien sea.
Humberto: yo paso.
Profesor: si haber Hugo, haber pongan atención, Hugo va a comprobar dice que va a
comprobar ahí.
199
Humberto: nada más ayúdenme hacer las operaciones.
Manuel: haber Hugo, te ayudo.
Hugo: primero distribuí, [anoto en el pizarrón una sustitución cuando n es igual a cinco]
Manuel: profes Aldo nos enseñó todo está, mmm, numeración si así se le puede decir,
Profesor: ¿Cómo?
Manuel: mmm, como por que podríamos haber sacado la ecuación que tenemos planteada,
desde un inicio pero hicimos toda una serie de operaciones que nos ayudó a comprender
mejor su origen
Profesor: cómo podríamos sacarla desde un inicio
Manuel: bueno de alguna otra forma hubiéramos sacado una
Alberto: pero hubiera sido más difícil no
Humberto: pero sale con punto decimal.
Profesor: entonces ¿es correcta o no es correcta?
Humberto: no
Manuel: ¿con punto decimal?
Luna: oye chécale bien.
Manuel: si Hugo porque cinco por cinco es igual a ciento veinticinco
Humberto: pero sale con punto decimal
Segunda parte video seis
[Como no dio tiempo en la sesión anterior Hugo retoma la parte en la que nos habíamos
quedado.]
Humberto: yo lo que hice fue restar, juntar los números.
Chava: pero no se suma se resta.
Humberto: bueno juntar los números, que los números que con otros que son parecidos por
ejemplo aquí el seis n al cuadrado le reste tres n al cuadrado y me quedo tres n al cuadrado y
luego aquí sume estos que eran iguales lo que me dio menos cinco n y luego eso se lo reste a
seis n y me salió más n [esto lo explicó a la vez que señalaba lo que iba realizando en el
pizarrón]
200
2𝑛3 + 6𝑛2 + 6𝑛 − 3𝑛2 − 3𝑛 − 2𝑛
6= 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + ⋯ + 𝑛2
Profesor: para no decir que son términos, para no decir que los que son iguales ¿Qué hay que
decir?
Humberto: que son. Sumar o restar los términos semejantes.
Profesor: mju.
Humberto: y así me quedo finalmente la ecuación
2𝑛3 + 3𝑛2 + 𝑛
6= 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + ⋯ + 𝑛2
Profesor: ¿así quedara a final o se podrá reducir?
Humberto: así queda.
Profesor: ¿no se podrá expresar de otra forma?
Manuel: he probablemente.
Profesor: y ¿si es correcto eso?
Estudiantes: si
Profesor: esa ecuación, sobre seis es igual a la suma de cuadrados.
Estudiantes: si
Profesor: y quien, ¿Cómo lo comprueban?
Manuel: con cualquier numero al azar.
Profesor: haber, quien pasa hacernos un ejemplo.
Manuel: yo paso.
201
Profesor: ahí está el plumón.
Manuel: haber supongamos que tenemos un numero n, bueno mejor díganme un numero cual
quiera
Alberto: el tres.
Profesor: haber entonces desde el problema original cual era, entonces si es el tres va hacer
para qué. Para un cuadrado ¿de?
Manuel: tres por tres.
Profesor: tres por tres verdad.
Manuel: [realizo las operaciones correspondientes en el pizarrón]
Manuel: ¿quién puede hacer la división de ochenta y cuatro, entre seis?, que es igual a
catorce, creo
Profesor: compruébala haber.
Manuel: en el pizarrón comprueba e resultado de su división, multiplicando catorce por seis
[14 x 6] y observa que si le dan ochenta y cuatro.
Profesor: si da.
Manuel: completamente exacto.
Profesor: entonces el catorce ¿Qué significa? Ese ¿Qué es?
Coral: el número de cuadritos de la figura de tres por tres.
Profesor: [mientras miguel anotaba, a que se refería el resultado que obtuvo] mmm no, ahí
seria el número de cuadritos ¿de qué de la que?
Estudiantes: de la figura n
Profesor: del cuadrado de medidas.
Estudiantes tres por tres.
Manuel: concluye en el pizarrón que 84
6= 14= cuadrado 32
Profesor: y si es para cualquier valor.
202
Estudiantes: sí.
Profesor: cuantos entonces para la figura n por n ¿cuál es?
Manuel: seria esta y señala la siguiente ecuación, 2(3)3+3(3)2+(3)
6
Profesor: ¿esa?
Manuel: no sería dos n cubica más tres n cuadrada más sobre seis.
2𝑛3 + 3𝑛2 + 𝑛
6= 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + ⋯ + 𝑛2
Ese sería su valor.
Profesor: comentarios, alguna otra forma de reducirla ¿se podrá reducir de otra manera?
Coral: si
Profesor: si, ¿quién tiene otra forma de expresar, de expresarla que nos las quiera compartir?
Manuel: otra forma de expresarla
Profesor: como quedaría otra forma de expresarla
Manuel: podría ser cuatro n cubica más seis n cuadrada más n sobre dos. Quien tiene otra
fórmula o no resolvieron nada.
Profesor: otra forma de expresar… pongan atención a su compañero miguel hizo algo
interesante.
Manuel: [anotó en el pizarrón, 2𝑛3+3𝑛2+𝑛
6=]
Alguien que pueda comprobar que esta es igual a esta [señaló su ecuación original y la forma
en que le quedo factorizada]
Humberto: yo pazo.
Profesor: haber Hugo.
Manuel: qué tal si me equivoque.
Alberto: si está bien.
Humberto: [realizó la multiplicación el pizarrón, para comprobar la factorización que hizo
miguel] y obtuvo, 2n3+ 3n2+n.
Profesor: ¿si está bien la factorización?
Alberto: falta entre seis.
203
Profesor: pero nada más la factorización.
Alberto: así.
Profesor: termina miguel, termina, nada más miguel quería que le ayudaran a comprobar,
¿Cómo quedaría entonces miguel? En cierra cual es el resultado.
Manuel: [encerró la siguiente ecuación como su resultado final] (2𝑛2+𝑛)(𝑛+1)
6
Profesor: y todo eso va a ser igual ha.
Manuel: ha, el número de cuadritos de la figura n, igual a este [señaló la ecuación que
factorizo]
Profeso: alguien quiere comentar algo, si están de acuerdo, si Karla o ¿no?, Daniela perdón
¿sí o no? Elisa.
Elisa: si
Profesor: seguras. ¿Erick?
Enrique: si
Alberto: tres más uno cuatro, y veintiuno por cuatro son ochenta y cuatro entre seis,
Profesor: bien falta entonces, ¿qué nos falta ahí de la ecuación que hizo miguel?, ¿qué falta
nada más? ¿Qué falta?
Alberto: que es igual a la suma de os números elevados al cuadrado.
Profesor: y si ya, ¿cómo saben que es igual?
Alberto: porque la factorizo acá, no
Profesor: mju pero como saben que es correcta.
Alberto: la comprobamos.
Profesor: ya comprobaron todos. Haber Elisa pásale.
Elisa: hacer la comprobación
Profesor: como comprobaste dinos como comprobaste.
Elisa: con el tres igual.
Profesor: con el tres para ¿Qué?
Elisa: he, para, esa ecuación. [Y realizó sus operaciones en el pizarrón]
Profesor: ahí el tres ¿Qué representa luz?
Luna: que el número de cuadros de lado tres de
Humberto: tres por tres.
Profesor: las medida del cuadrado ¿verdad?
204
Luna: si
Chava: [dirigiéndose a esmeralda] en la primera te falto uno.
Elisa: si es cierto [y agrega el valor que le falta]
Humberto: te falto más tres.
Profesor: así va ¿falta algo ahí?
Alberto: entre seis.
Estudiantes: entre seis.
Elisa: así, [y escribió el dato que le faltaba, que era dividir entre seis a toda su expresión]
Y aquí es también veintiuno, nueve, dieciocho más tres veintiuno, luego por cuatro es igual
a ochenta y cuatro.
Profesor: entonces ochenta y cuatro te falta sobre.
Elisa: [agrego ochenta y cuatro sobre seis]
Profesor: es ¿igual a?
Elisa: catorce.
Profesor: y si e cuadrado formado por cuadritos, de tres por tres, si tiene catorce cuadritos
Alberto: si
Profesor: bien preguntas dudas.
Manuel: nel, una vez que nos enseña lo podemos aprender.
Profesor: ¿no? comentarios de la actividad, estuvo fácil estuvo compleja que les pareció,
creen que repasaron algunos otros conocimientos que tenían o no
Manuel: si muchos.
205
Profesor: se necesita un solo conocimiento o varios.
Manuel: muchos.
Profesor: como cuales tuvieron que recordar.
Manuel: sándwich.
Elisa: potencias de.
Profesor: potencias que más
Humberto: factorización.
Humberto: más la factorización.
Manuel: bolitas y palitos
Profesor: factorización, bolitas y palitos cual fue miguel.
Manuel: de dos ecuaciones distintas una para cada uno. Para calcular el número de bolitas y
numero de palitos.
Profesor: si verdad a utilizaron aquí.
Humberto: en la primaria fue.
Profesor: que más, que más. Algún otro comentario.
Manuel: no
Profesor: ¿no? es todo, bueno pues.