t 2. ley de gravitaciÓn universal plicaciones · relacionada con la ley de hooke (muelle): ......

Resumen Física 2º Bachillerato 19/09/2017 pág 1

Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino

TEMA 2. LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL. APLICACIONES

Leyes de Kepler

1ª.- Ley de las órbitas. Los planetas giran alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas en uno de cuyos focos se encuentra el Sol.

2ª.- Ley de las áreas. Las áreas barridas por el radio vector que une el Sol con un planeta son directamente proporcionales a los tiempos empleados en barrerlas. La velocidad areolar es constante.

3ª.- Ley de los períodos. Los cuadrados de los períodos de revolución de los planetas son directamente proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de las respectivas órbitas.

Gravitación Universal. Ley de Newton

La fuerza con la que se atraen dos cuerpos es directamente proporcional al producto de las masas de ambos cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa

rdmMG eF

⋅⋅

⋅−= 2 donde G = 6,67·10–11 N·m2·kg–2 ≈ 22 −− ⋅⋅⋅ kgmN1032 10

Trabajo: Es la cantidad de energía que se transmite de un sistema a otro mediante una fuerza que ocasiona un desplazamiento. En el caso de que la fuerza no sea constante es la integral de la fuerza con respecto al desplazamiento.

∫∫ ⋅⋅=⋅=⋅⋅=∆⋅= f

0

f

0

r

rr cosFconstante es no F Si:cosΔrF dαdWαW

r

rrFrF

Fuerza conservativa. Aquella que realiza el mismo trabajo al ir de un punto a otro, independientemente del camino recorrido por la partícula. Para toda fuerza conservativa se cumple que el trabajo total realizado a lo largo de una curva cerrada es cero.

Teorema de la energía cinética (debida al movimiento)

2v

v

2 v21dondev

21

2f

o⋅⋅=∆=−=⋅⋅=

⋅⋅=

=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅= ∫∫∫∫∫∫mEEEEmm

dmdmdtddmd

dtdmdmdW

cccc of

f

o

f

o

f

o

f

o

f

o

f

o

f

ov

v

v

v

v

v

v

v

r

r

r

r

r

r

vv

vvvvrvrvrarF

Teorema de la energía potencial (debidas a la posición)

Gravitatoria en la superficie terrestre:

( ) ( ) hmEEEEhmhmdhm

dhmdβmdαmdmdW

pppfpofh

h

h

h

o

f

o

f

o

f

o

f

o

⋅⋅=−=−−=⋅⋅−⋅⋅−=⋅⋅−=

=⋅⋅−=⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅= ∫∫∫∫∫gdondeggg

grcosgrcosg f

o

f

o

r

r

r

r

∆

r

r

r

rrgrF

Gravitatoria asociada a dos partículas cualesquiera:

( )r

donderr

r1

rr

of

r

r

r

r 22

f

o

f

o

mMGEEEE

mMGmMG

mMGdmMGdr

mMGdW

Tpppfp

TT

TTrT

o

f

o

f

o

⋅⋅−=∆−=−−=

⋅⋅−−

⋅⋅−−=

=

−⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅−=⋅⋅

⋅⋅−=⋅= ∫∫∫

r

r

r

rrerF

Elástica. Relacionada con la ley de Hooke (muelle):

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/



( ) 22o

2f

x

x

2

x21dondex

21x

21

x21

2

f

o

⋅⋅=−=−−=

⋅⋅−⋅⋅−=

=⋅⋅−=⋅

⋅−=⋅⋅−=⋅⋅−=⋅= ∫∫∫

kEEEEkk

kkdkdkdW

pppfp o

f

o

f

o

f

o

f

o

∆

x

x

x

x

x

x

r

r

xxxxxxrF

Conservación de la energía mecánica

Si sobre un cuerpo sólo actúan fuerzas conservativas, la energía mecánica total permanece constante. En el caso de haber rozamiento, la pérdida de energía mecánica de un cuerpo se invierte en trabajo de rozamiento (calor).

Em = Ec + Ep = cte

Wroz = ∆(Ec + Ep)




TEMA 3.– FUERZAS CENTRALES. COMPROBACIÓN DE LA SEGUNDA LEY DE KEPLER

Se llama fuerza central a aquella fuerza que siempre está dirigida hacia el mismo punto independientemente de la posición de la partícula sobre la cual actúa.

Se llama momento de torsión de una fuerza con respecto a un punto, M

, al producto vectorial del vector r que une el punto con el punto de aplicación de la fuerza y el vector F

.

M r F= × Su módulo es igual a M = F·r· sen α donde α es el ángulo formado por r y F

.

El momento de torsión asociado a una fuerza central es siempre cero puesto que lo es el ángulo formado por r y F

.

Se llama momento angular de una partícula con respecto a un punto, L

, al producto vectorial del vector r que une el punto con el punto de aplicación de p y el vector p .

( )vrprL ×=×= ·m Su módulo es L = m·v·r· sen β donde β es el ángulo formado por r y p .

El momento de la fuerza que actúa sobre una partícula es igual a la variación del momento

angular de dicha partícula dtdLM

= ( ) MFrFrFrvvprprpr

=×=×+=×+×=×+×=×

= 0·mdtd

dtd

dtd

RELACIÓN ENTRE LAS DINÁMICAS LINEAL Y ROTACIONAL

t tiempo t tiempo Iguales

m masa << I Momento de inercia I=m·r2

r posición = ϕ espacio angular

vr

=ddt

velocidad =

ωϕ

=ddt

velocidad angular v r= ×ω

av

=ddt

aceleración =

αϖ

=ddt

aceleración angular a r= ×α p v= ⋅m momento lineal o

cantidad de movimiento < L = ⋅I ω momento angular o cinético

L r p= ×

F a= ⋅m fuerza < M = ⋅I α momento de una fuerza o

momento de torsión o par M r F= ×

Las ecuaciones que tienen validez en la dinámica lineal, también la tienen en la rotacional, y todas las leyes, teoremas, principios, etc. tienen un equivalente en la dinámica de rotación.

Se llama velocidad areolar a la cantidad de área barrida por el radio vector de una partícula

por la unidad de tiempo. Es igual a αsenvr21

21

⋅⋅⋅=×⋅ vr . Por la segunda ley de Kepler se

cumple que L es constante por lo que toda partícula que se mueva bajo una fuerza central lo

hace con una velocidad areolar constante.mdt

dA L21

⋅=

La posición más próxima de un planeta al sol se llama perihelio y la más alejada afelio. De la expresión de la velocidad areolar se deduce que r1·v1 = r2·v2




Se llama excentricidad de una órbita, e, al cociente entre la distancia focal y el radio

mayor de la órbita perihelioafelio

perihelioafelio

M

mM

M RRRR

RRR

Rfe

+

−=

−==

22




TEMA 4. EL CAMPO GRAVITATORIO

Campo. Región del espacio en la que se experimentan los efectos de una magnitud vectorial.

En los campos más importantes estudiados por la Física coexisten una magnitud vectorial, que da lugar a las líneas de fuerza, y una magnitud escalar, que da lugar a las líneas equipotenciales. El campo gravitatorio es conservativo y se rige por unas leyes y unas magnitudes que podemos agrupar en el siguiente cuadro:

atractiva entre iguales (–) G=2/3·10–10 N·m2·kg–2 m·m' m'

Vectoriales ·1/r2 F

g

Escalares ·1/r Ep Vg

m

mdrd

rd rr

A ⇐=⇒⇒⋅=⇐

⋅

⇓=⇑⋅

⇓=⇑

⋅⇑=⇓⋅⇑=⇓ ∫∞

eerr

donde m es la masa, que es la cualidad que crea y se ve afectada por el campo. Velocidad orbital de un satélite. Es la velocidad que debe tener un satélite

para mantenerse en órbita estable.

( ) ( ) ( )

T

T

T

T

TT

T

TT

MGhR

hRMG

hRhRT

hRMG

rMG

⋅+

⋅⋅=

+⋅

+⋅⋅=

+⋅⋅=

+⋅

=⋅

=3

oo 2

2v

2:v π

ππ

Velocidad de escape de un cohete. Es la velocidad que debe adquirir un cuerpo para escapar de la atracción de la Tierra.

130e sm1011g2

2v −⋅⋅≈⋅⋅=

⋅⋅= T

T

T RR

MG

Energía de enlace de un satélite. Es la energía que hay que suministrar a un satélite para que se mantenga en órbita. Equivale —con signo positivo— a la energía total del satélite.

rmMG

hRMG

mmEEE

mr

mMGhRmM

GEr

mMGhR

MGmmE

T

T

TpcT

T

T

Tp

T

T

Tc

⋅⋅⋅

−=+

⋅⋅⋅−=⋅⋅−=+=

⋅−=⋅⋅

−=+⋅

⋅−=⋅

⋅⋅=

+⋅

⋅⋅=⋅⋅=

221v

21

v22

1v21

2

22




TEMA 5.– EL CAMPO ELÉCTRICO

El campo eléctrico es conservativo y se rige por unas leyes y unas magnitudes que podemos agrupar en el siguiente cuadro:

repulsiva entre iguales (+) K = (4·π·ε0)–1 = 9·10–9 N·m2·C–2 q·q’ q’

Vectoriales ·1/r2 F

E

Escalares ·1/r Ep V

q

qdrd

rd rr

A ⇐=⇒⇒⋅=⇐

⋅

⇓=⇑⋅

⇓=⇑

⋅⇑=⇓⋅⇑=⇓ ∫∞

eerr

donde q es la carga, que es la cualidad que crea y se ve afectada por el campo. La expresión de la fuerza se conoce como Ley de Coulomb. Principio de superposición. El valor del campo, la fuerza o el potencial en un

punto determinado es igual a la suma de los valores de los campos, fuerzas o potenciales creados por cada una de las cargas existentes, consideradas como si fueran las únicas.

∑

∑

∑

=

=

=

=++++=

=++++=

=++++=

n

iinT

n

iinT

n

iinT

VVVVVV1

321

1321

1321

...

...

...

FFFFFF

EEEEEE

Teorema de Gauss

El flujo total de un campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al cociente entre la suma algebraica de las cargas contenidas en el volumen limitado por ella y la permitividad del vacío.

φε

= = ⋅∑ ∫q

do

S

E S

Aplicaciones del Teorema de Gauss.

Campo creado por un plano uniformemente cargado.

00 22 E

εσ

ε ⋅=

⋅⋅=

sQ donde σ es la densidad superficial de carga

Campo creado por un hilo infinito uniformemente cargado

00 22E

επλ

επ ⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅=

rLrQ




TEMA 6.– ELECTROMAGNETISMO. EL CAMPO MAGNÉTICO

El magnetismo es una propiedad que se manifiesta en unos cuerpos que se atraen que se llaman imanes. Es debido a las interacciones entre cargas eléctricas en movimiento. Las sustancias fuertemente atraídas por un imán se llaman ferromagnéticas. Las débilmente influidas se llaman paramagnéticas (atraídas) o diamagnéticas (repelidas).

CAMPO MAGNÉTICO Se llama inducción de un campo magnético B

o campo magnético a la fuerza que ejerce el

campo sobre la unidad de carga que se mueve a la unidad de velocidad en dirección perpendicular

al campo y a la fuerza. Se mide en Teslas 1-sm 1N 1T 1

⋅⋅=

C 1 senαv

FB⋅⋅

=q

Creado por una carga móvil B = K q vr2′ ⋅⋅

⋅ senα Ley de Biot y Savart

Creado por un elemento de corriente

B = K Idr2′ ⋅ ⋅ ⋅

senα Ley de Biot y Savart para un elemento de corriente

d KI

rd

B e= ′ ⋅ ⋅ ×2 r Ley en forma vectorial

Creado por una corriente rectilínea e indefinida B =

2 K Id

=I

2 do⋅ ′⋅ ⋅

⋅ ⋅µ

π el sentido viene dado por la regla

de la mano derecha

Creado por una espira en su centro B =

I2 R

=2 K I

Roµ π⋅⋅

⋅ ⋅ ′⋅

Creado por una bobina en su interior B =

N I2 R

=2 N K I

Ro⋅ ⋅

⋅⋅ ⋅ ⋅ ′⋅µ π

despreciable frente a R

Creado por un solenoide en su interior B =

N Ioµ ⋅ ⋅

R despreciable frente a

K’=µ0 / 4·π =10–7 N·A–2

ACCIÓN DEL CAMPO MAGNÉTICO (FUERZAS) sobre una carga

móvil ( ) F v B= ⋅ ×q escalarmente F = q v B⋅ ⋅ ⋅ senα Ley de Lorentz

sobre un conductor rectilíneo ( )

F I B= ⋅ × escalarmente F = I B⋅ ⋅ ⋅ senα 2ª Ley de Laplace

entre corrientes paralelas 221

01222121

02111 2

BF2

BF ⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅= IId

IIId

Iπµ

πµ

Si una partícula eléctrica entra perpendicularmente a un campo magnético describe una circunferencia perpendicular a dicho campo cuyo radio viene dado por la expresión:

R =m vq B

⋅⋅

con un período de rotación T =2

=2 m

q B⋅ ⋅ ⋅

⋅π

ωπ

Ley de Ampère

B⋅ = ⋅∫ d Ioµ




TEMA 7.– INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA

A la producción de corriente eléctrica por la presencia de un campo o flujo magnético variable se le llama inducción electromagnética.

Flujo magnético es una magnitud que se define como el producto escalar de los

vectores campo y superficie. αφ cosSB ⋅⋅=⋅= SB

donde α es el ángulo formado por el vector campo y el vector superficie.

F.e.m. inducida en un conductor móvil

Henry descubrió que entre los extremos de un conductor que se mueve en el seno de un campo magnético se produce una diferencia de potencial que vale θsen vB ⋅⋅⋅= V donde θ es el ángulo formado por el vector campo y el vector velocidad.

Ley de Lenz

El flujo producido por la corriente inducida se opone a la variación del flujo inductor.

Ley de Faraday

La corriente inducida es producida por una fem inducida que es directamente proporcional a la rapidez con que varía el flujo y directamente proporcional al número de espiras del inducido.

( )dt

ddtd

ttαcosSBNNNN 12 ⋅⋅

⋅−=⋅−=∆∆

⋅−=∆−

⋅−=φξφφφ

ξ

Generación de corriente alterna

νπξ ⋅⋅⋅=⋅=⋅⋅⋅⋅= 2senωsenωsenωSBN 00 VtVVt

Ley de Faraday para las corrientes inducidas

SNSBNNNN2 ⋅⋅

=⋅⋅

=⋅

=⋅−=⋅⋅−=⋅−=µφφξ

IIL

dtdIL

dtdIk

dtd

Inducción mutua y transformadores

s

p

p

s

p

sppss I

Itt

==⇒∆∆

⋅−=∆∆

⋅−=NN

NyNDeξξφξφξ

dado que Pp = Ps lo que implica que ξ ξp p s sI I⋅ = ⋅

Espectro electromagnético

Es el conjunto de todas las radiaciones de distinta frecuencia en que puede descomponerse la radiación electromagnética.

Está formado por: frecuencias longitudes de onda

• Ondas de radio de 104 a 107 Hz entre 3·104 y 30 m

• Microondas de 1010 a 1012 Hz entre 3·10–2 y 3·10–4 m

• Radiación infrarroja de 3·1012 a 3·1014 Hz entre 10–4 y 10–6 m




• Luz visible de 4·1014 a 7·1014 Hz entre 4000 y 7500 Å

o Rojo entre 6200 y 7500 Å

o Naranja entre 5900 y 6200 Å

o Amarillo entre 5700 y 5900 Å

o Verde entre 4900 y 5700 Å

o Azul entre 4300 y 4900 Å

o Violeta entre 4000 y 4300 Å

• Radiación ultravioleta de 7·1014 a 1017 Hz entre 30 y 4000 Å

• Rayos X de 1017 a 1019 Hz entre 0,3 y 30 Å

• Rayos γ superior a 1019 Hz por debajo de 0,3 Å

Naturaleza de la luz

• Teoría corpuscular de Newton (explica reflexión y refracción) • Teoría ondulatoria de Huygens (explica las interferencias)

o Principio de Huyghens. Cada uno de los puntos de un frente de ondas puede ser considerado como un centro emisor de nuevas ondas elementales.

• Doble naturaleza (explica el efecto fotoeléctrico y efecto Compton) o υ⋅= hE




RECUERDO CURSO PASADO PREVIO AL TEMA 8. MOVIMIENTOS VIBRATORIOS. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

Un movimiento que se repite en el tiempo uniformemente se llama periódico. Si es lento se llama oscilatorio y si es rápido vibratorio. El movimiento realizado desde una posición hasta esa misma posición y en el mismo estado de oscilación (subida, bajada, hacia la derecha, etc.) se le llama oscilación o vibración completa, o ciclo. Al tiempo que transcurre en una oscilación completa se le representa por T y se llama período.

La fuerza que crea el movimiento en un péndulo es la componente tangencial del peso,

según el arco de circunferencia que describe y su valor es x·x·g··g··g·sen F kl

mmm ==≈ = θθ

donde l

mk g·=

Ecuación general del movimiento armónico simple —m.a.s.—

)+t(A=x(t) ϕω·sen·

x representa la elongación, que es la distancia, en cualquier instante, entre la posición de la partícula vibrante y la posición de equilibrio.

A es la amplitud, o sea, la máxima distancia a la posición de equilibrio que puede alcanzar la partícula vibrante.

(ω·t+ϕ) es la fase en cualquier instante, o estado de la vibración.

ϕ es la fase inicial o corrección de fase. Representa el estado de la vibración para t = 0.

ω es la pulsación o frecuencia angular. Es la velocidad angular del movimiento circular cuya proyección sobre un diámetro representaría el movimiento armónico.

T es el período, y es el tiempo que tarda el m.a.s. en repetirse.

f o ν es la frecuencia, que es el número de vibraciones completas por segundo.

νωνω ·π·212·π = T

= T

=

Velocidad y aceleración del m.a.s.

xtAtaxAtAtv ·)·(sen··)(·)··cos(·)( 2222 ωϕωωωϕωω −=+−=−=+= Dinámica del m.a.s.

xF ∆⋅−= k Ley de Hooke

como x·Fyx··a·F 2 kmm −=−== ω se obtiene que el valor de la constante es k = m ⋅ω 2 y

por tanto como kmT

mk ·2·π2·π

==⇒=ω

ω y como g

·2·πg· lTl

mk =⇒=

Energía asociada a un oscilador armónico

( ) 22222 ··21··

21··

21··

21 AkExkExAkvmE Tpc ==−==




TEMA 8. MOVIMIENTO ONDULATORIO

Onda. Es una perturbación que se propaga por el espacio. Si la energía se produce por un oscilador armónico se llama onda armónica. Transmite energía desde la partícula que crea la onda llamada centro emisor. Una onda de poca duración se llama pulso; a una sucesión de pulsos encadenados se le llama tren de ondas.

Onda viajera. La que, al cabo de cierto tiempo, alcanza todos los puntos del espacio.

Onda estacionaria. Aquélla confinada en un espacio cerrado y que, por tanto, es el resultado de la interferencia consigo misma de una onda viajera.

Tipos de ondas

Por el tipo de energía que transmiten:

• Ondas mecánicas. Necesitan un medio portador de la propagación. • Ondas electromagnéticas. No necesitan medio portador.

Por la relación entre dirección de propagación y de perturbación:

• Ondas longitudinales o de presión. Ambas direcciones coinciden. • Ondas transversales. Son perpendiculares.

Por el número de dimensiones de la onda:

• Ondas unidimensionales. Una sola dimensión. • Ondas bidimensionales. Dos dimensiones. • Ondas tridimensionales. Tres dimensiones.

La ecuación que representa una onda armónica unidimensional es

( ) )k t(2 senA=Tt2 senA= t senA=2 t senA=t),( x····x··x···x····xy ±

±±

± νπ

λπνω

λπω

Las ondas con signo negativo se desplazan hacia la derecha del eje Ox y con signo positivo se desplazan hacia la izquierda del eje Ox.

λ es la longitud de onda y equivale a la distancia entre dos puntos consecutivos que se encuentren en el mismo estado de vibración.

El símbolo ν representa el número de ondas, que es el número de ondas que hay en

2·π metros, y su valor es λπν ·2

= .También puede ser k, el número de ondas por metro λ1

=k .

La velocidad de propagación viene dada por la ecuación

νωννλλ =

k==

T= ·v

En una cuerda (transversal) vale ηF v = donde F es la tensión de la cuerda y η la densidad

lineal de la cuerda.

En un sólido (longitudinal) vale ρJ v = donde J es el módulo de Joung (elasticidad del




sólido) y ρ la densidad cúbica del sólido.

La velocidad del sonido en un gas vale MR·T·v γ

= donde γ es el coeficiente adiabático del

gas, R la constante de los gases perfectos, T la temperatura absoluta y M la masa molar del gas. La velocidad de vibración o perturbación vale

y·x·2sen··),x(ay·x·2·cos·),x(v 2222 ωλ

πωωλ

πω −=

±−=−=

±=

TtAtA

TtAt

Principio de Huygens

Todo punto de un frente de ondas es a su vez centro emisor de ondas elementales, cuya envolvente es el nuevo frente de onda.

Reflexión

1ª Ley de Snell: Los ángulos de incidencia y reflexión son iguales.

2ª Ley de Snell: Los rayos incidente y reflejado se encuentran en el mismo plano.

Refracción

Se cumple la Ley de Snell para la refracción que dice que la relación entre el seno del ángulo de incidencia y el de refracción es igual al cociente entre las velocidades de propagación en dichos medios. También es inversamente proporcional al cociente entre los índices de refracción

vcn siendo

nn=

vv

ii

1

2

2

1 == sen

sen

r

i

αα

Interferencias

La onda resultante de la interferencia de otras dos ondas de igual frecuencia viene dada por: y (x,t)= A ( t + )⋅cos ω α

siendo ( )tgsen sencos cos

y cos =A + AA + A

A = A + A + 2 A Aαϕ ϕϕ ϕ

ϕ ϕ1 1 2 2

1 1 2 212

22

1 2 1 2

⋅ ⋅⋅ ⋅

± ⋅ ⋅ ⋅ −

Dos ondas coherentes (misma amplitud, misma frecuencia, misma longitud de onda) que se

emiten desde focos diferentes dan lugar a una amplitud de interferencia: ( )A = A x xr 2 1 2⋅ ⋅ −cosπλ

Será constructiva si λ⋅− n12 =xx y destructiva si ( )2

1n212

λ⋅−⋅=− xx

Onda estacionaria. La producida por la interferencia de dos ondas coherentes que se propagan en sentido opuesto.

La intensidad, la amplitud y la energía por unidad de superficie de una onda disminuyen con

la distancia según la ecuación: II

=AA

=rr

1

2

12

22

22

12 . La intensidad de una onda es la cantidad de energía

que atraviesa perpendicularmente la unidad de superficie colocada en dicho punto en la unidad de tiempo. Se mide en Jּm–2ּs–1 = Wּm–2.

El sonido es una vibración periódica de algo material. Si la vibración no es periódica




recibe el nombre de ruido. La velocidad del sonido en los gases viene dada por la ecuación

MR·T·v γ

= donde γ es el coeficiente adiabático del gas, R la constante de los gases perfectos, T la

temperatura absoluta y M la masa molar del gas. Para el aire a 25 ºC v = 346,9 m·s–1 ya que γ = 1,4

y M = 28,8 gּmol–1. En los sólidos se utiliza la ecuación ρJ v = donde J es el módulo de Joung

(elasticidad del sólido) y ρ la densidad cúbica del sólido. En los líquidos se utiliza la ecuación

ρB v = donde B es el módulo volumétrico (elasticidad y compresibilidad del líquido) y ρ la

densidad cúbica del líquido. Para el agua v = 1483 m·s–1 ya que B = 2,2ּ1010 N ּm–2.

Las personas percibimos el sonido a través de la audición, que tiene lugar en el oído. Éste está dividido en oído externo, formado por el pabellón auditivo –donde se recogen las ondas–, el canal auditivo –por donde se conducen– y el tímpano –una membrana que vibra con las ondas sónicas–, oído medio, formado por tres huesecillos: martillo, yunque y estribo –que se encargan de transmitir las vibraciones– y el oído interno formado por el caracol o cóclea, relleno de líquido, que es donde las vibraciones se transforman en impulsos nerviosos que el cerebro interpreta como sonido.

Las ondas sónicas o sonidos van desde 20 Hz a 20000 Hz. Los ultrasonidos, de frecuencias mayores, no se pueden detectar por el oído humano al igual que los infrasonidos, de frecuencias menores.

Cualidades del sonido

La sonoridad que distingue los sonidos fuertes –alta energía o intensidad– de los débiles –baja energía–. Depende de la amplitud de la onda.

El tono, que distingue los sonidos agudos –altas frecuencias– de los graves –bajas frecuencias–. Depende de la frecuencia de la onda.

El timbre que distingue los sonidos puros –ondas prácticamente sinusoidales– de otros sonidos –ondas muy mezcladas con sonidos armónicos (de doble frecuencia, cuádruple, etc.)–. Éstos últimos son los que distinguen la misma nota (misma frecuencia) producida por dos instrumentos o individuos distintos. Depende por tanto de la forma de la onda.

La resonancia es el fenómeno que se produce cuando una onda y su onda reflejada entran en interferencia constructiva. Como el lugar donde la onda se crea tiene que ser un vientre –lugar de máxima vibración– y el sitio donde se refleja tiene que ser un nodo –lugar sin vibración–, la resonancia se producirá cuando la distancia entre la fuente de onda y la superficie

donde se refleje sea ( )4

1n212

λ⋅−⋅=− xx

El nivel de ruido se mide en decibelios (dB). 0 dB equivalen a una intesidad sonora de 10–12 W·m–2. Por cada 10 dB que aumente la intensidad del sonido se multiplica por diez. Ej.: Una diferencia de 60 dB implica que la energía o intensidad de la onda es un millón de veces mayor.




TEMA 9.– ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS. LA LUZ

La luz se propaga en línea rectas, a las que llamamos rayos. La velocidad a la que se mueven estos rayos en el vacío es de 2,99792·108 m·s–1. (aproximadamente c = 3·108 m·s–1)

Se llama índice de refracción absoluto de un medio, n, al cociente entre las velocidades de la

luz en el vacío y en el medio en el que nos encontramos. vcn = . Es siempre mayor que uno para

medios distintos del vacío, puesto que la velocidad de la luz es máxima en el vacío. El índice de refracción es relativo si es entre dos medios.

Reflexión

Fenómeno que tiene lugar cuando un frente de ondas choca con un obstáculo y retrocede, cambiando de dirección y sentido.

1ª Ley de Snell. La normal y los rayos incidente y reflejado se encuentran en el mismo plano.

2ª Ley de Snell . Los ángulos de incidencia y reflexión son iguales. ri =

Refracción Fenómeno que tiene lugar cuando un frente de ondas choca con

el límite de separación entre dos medios en los que las ondas se mueven a distinta velocidad. El frente de ondas cambia de dirección.

1ª Ley de Snell. La normal y los rayos incidente y refractado se encuentran en el mismo plano.

2ª Ley de Snell . Se cumple que

2

1

1

221 v

vnn

rsenisenrsennisenn ==⇔⋅=⋅

Se llama ángulo límite () o ángulo de reflexión total al ángulo mínimo que debe tener un rayo para que no pueda pasar de un medio a otro con

índice de refracción más bajo. 1

221 n

nsenº90sennsenn =⇔⋅=⋅

Prisma óptico

Es un medio transparente limitado por dos superficies planas no paralelas. El ángulo formado por las dos superficies es el ángulo del prisma.

Se cumple que: ϕ−+= i'iδ El ángulo de desviación. δ, es mínimo cuando i

= i’ y por lo tanto r = r’ Despejando queda que: δm = 2·i – ϕ y r2 ⋅=ϕ de donde

2δ

iy2

r m ϕϕ +== y se puede calcular el

índice de refracción del prisma en el aire ya que

2

2ϕ

ϕδ

sen

sen

rsenisenn

m +

==




TEMA 10.– ÓPTICA GEOMÉTRICA: ESPEJOS Y LENTES

Imágenes formadas en espejos

La imagen se forma detrás, es el mismo tamaño y las distancias de objeto e imagen al espejo son iguales. La imagen está invertida en su lateralidad (izda–dcha).

Convenio de signos y conceptos previos

Dioptrio es el conjunto formado por dos medios transparentes, con índices de refracción diferentes, separados por una superficie. Según sea ésta puede ser plano o esférico.

El centro y el radio de la superficie esférica se llaman, respectivamente, centro de curvatura y radio de curvatura.

El conjunto de varios dioptrios constituye un sistema óptico. El eje común a todos los dioptrios es el eje óptico del sistema.

Cuando los rayos procedentes de un punto A, atraviesan el sistema y convergen en un punto A’ ese punto se denomina imagen real de A (no se ve la imagen, pèro puede recogerse en una pantalla). Si los rayos divergen pero sus prolongaciones se cortan en un punto lo que se forma es una imagen virtual (no existe, pero se ve y no puede recogerse en una pantalla).

Los ángulos que forman los rayos vamos a considerarlos paraxiales, esto es, que forman un ángulo tan pequeño con respecto al eje óptico que puede considerarse igual el seno y la tangente del ángulo α que el propio α, expresado en radianes, sin cometer un error apreciable.

Normas DIN

Las letras de objeto e imagen son iguales pero las de la imagen con el sobresigno prima.

La luz siempre procede de la izquierda y se dirige hacia la derecha.

La magnitudes lineales son negativas (s) hacia la izda del vértice del dioptrio (O) y positivas (R y s’)hacia la dcha.

Son positivas (y) las distancias por encima del eje óptico y negativas (y’) por debajo.

Los ángulos que forma un rayo con respecto al eje óptico son positivos (α’) si giran en sentido antihorario (del rayo al eje por el camino más corto) y negativos (α) en caso contrario.

Construcción de imágenes




Los rayos paralelos al eje óptico deben pasar (o ellos o sus prolongaciones) por el foco del espejo o el foco imagen de la lente.

Los rayos que pasan o se dirigen hacia el centro de curvatura no se desvían, ya que inciden en la superficie de forma perpendicular.

Los rayos que pasan por el foco de un espejo cóncavo o se dirigen al foco de un espejo convexo se reflejan paralelamente al eje óptico. Los rayos que pasan por el foco objeto de una lente se refracta paralelamente al eje óptico.

Aberraciones

Son los defectos en las imágenes producidas por el hecho de que los rayos no son paraxiales ni son de luz monocromática.

Aberración esférica es la producida por rayos que forman ángulos relativamente grandes con respecto al eje óptico. Se corrigen con diafragmas.

Aberración cromática es la producida por las distintas longitudes de onda de la luz que se enfocan en distintos lugares. Se corrige poniendo en vez de una lente, dos (una convergente y otra divergente) de igual potencia común que la que necesitamos, pero que produzcan dispersiones contrarias entre sí, a fin de que se anulen.




ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA ÓPTICA GEOMÉTRICA

Ecuación fundamental distancia focal imagen (s= –∞)

distancia focal objeto (s’= ∞) Relaciones distancias focales

Tamaño de la imagen Aumento lateral ML

Aumento angular MA

Dioptrio esférico R

nnsn

sn −

=−'

''

nnnRf−

⋅='

''

nnnRf−

⋅='

'' nn

ff

−= ⇒ 'ffR += ⇒

1''

=+sf

sf Ecuación de Gauss

')''()( fffsfs ⋅=−⋅−

Ecuación de Newton

yyM L'

=

''

ssM A ==

αα

'nnMM AL =⋅

Dioptrio plano sn

sn

=''

nn'

real dProfundidaaparente dProfundida

=

Espejos planos s’= –s

Espejos esféricos Rss21

'1

=+ 2

' Rff == fss11

'1

=+ ss

yyM L

''−==

Lente biconvexa

R1 y R2

−⋅−=−

21

11)1(1'

1RR

nss

−⋅−=−

21

11)1(1RR

nf

−⋅−=

21

11)1('

1RR

nf

fss11

'1

−=−

Pfss

==−'

11'

1

Potencia de la lente

ss

yyM L

''==




TEMA 11. FÍSICA RELATIVISTA

En un sistema de referencia inercial se cumple la transformación de Galileo x’ = x – v·t y’ = y z’ = z y t’ = t Con esta transformación el tiempo, las distancias y la aceleración son invariantes pero no la

velocidad ni la posición. Por contradicción con el hecho de que la velocidad de la luz es una constante universal,

deducido del electromagnetismo, se buscan posibles soluciones como la existencia del éter en reposo. El experimento de Michelson–Morley demuestra que no se podía medir la velocidad de la tierra con respecto al éter y la solución la aporta la contracción de Lorentz–Fitzgerald donde se concluye que las distancias varían con la velocidad según la

ecuación 2

2

cv1−⋅=′ o

2

2

cv1

1donde−

==′ γγ

Teoría especial de la relatividad

Einstein no cree en la existencia del éter considera que el tiempo no es un invariante y modifica las ecuaciones de la transformación de Galileo para obtener la transformación de Lorentz:

x’ = γ ·(x – v·t) y’ = y z’ = z y

⋅

−⋅=′2cxvtt γ

La velocidad u’ con la que un observador en movimiento (con velocidad v con respecto al sistema) observa a un objeto que se mueve con velocidad u respecto al sistema cumple la ecuación

2cvu1

vuu⋅

−

−=′

Consecuencias de la transformación de Lorentz

Dilatación del tiempo tt ′⋅= γ donde t’ es el tiempo propio (medido por un observador que va con el reloj)

Contracción de la longitud

γ

′

= donde ’ es la longitud propia, o longitud medida en un sistema móvil

Masa relativista

2

2

00

cv1 −

=⇔⋅=m

mmm γ donde m0 es la masa en reposo

Equivalencia entre masa y energía

Como 2

2

2

2

cv

211

cv1 ⋅+≈− se cumple que 2

02

02

2

20

0 v21cc

cv

21

⋅⋅+⋅=⋅⇔⋅

⋅+= mmmm

mm

Por lo que, si no hay energía cinética, se cumple que 20 c⋅= mE que es la ecuación de

Einstein




TEMA 12. ELEMENTOS DE FÍSICA CUÁNTICA

La física clásica no podía explicar cuestiones básicas como la radiación del cuerpo negro, que, según la teoría de Wien, y cumpliendo la ley de Stefan–Boltzmann llevaría a la catástrofe ultravioleta.

Hipótesis de Planck

La energía emitida por un cuerpo negro no es un continuo sino que está compuesta de unas partículas pequeñas que portan la energía de la luz a las que llamó cuantos (fotones). La energía se pueden expresar como ν⋅= hE donde h vale 6,63·10-34 J·s

Efecto fotoeléctrico

Es la pérdida por emisión de electrones que experimenta un metal al ser sometido a la acción de la luz.

Esta emisión se caracteriza por varios hechos experimentales: • Para cada metal existe una frecuencia mínima de la radiación luminosa, llamada

frecuencia umbral, por debajo de la cual no se produce el efecto fotoeléctrico. • El número de electrones emitidos es proporcional a la intensidad de la radiación

luminosa. • Los electrones salen con la misma velocidad, no influyendo la intensidad de la

radiación luminosa sino sólo su frecuencia. • Es un fenómeno instantáneo; aparece y desaparece con la radiación.

De todo esto se deduce que la luz tiene que comportarse como un fenómeno corpuscular. Todo lo anteriormente descrito se puede explicar con la siguiente ecuación:

20

20 v

21v

21

⋅⋅+=⋅⋅+⋅=⋅= mΦmhhE νν

donde Φ0 representa la energía umbral necesaria para arrancarle un electrón a un metal determinado, E la energía de la radiación luminosa, m la masa del electrón y v el módulo de la velocidad con la que sale éste.

dedujo que νo h=

Φ es la frecuencia umbral para que se produzca el fenómeno fotoeléctrico

y que ( )02=v νν −⋅

⋅m

h

Modelo atómico de Bohr

Se caracteriza por tener órbitas definidas y cumplir tres postulados

11 Postulado: vm

ZeK=r2

2

⋅⋅⋅

21 Postulado: m v r = nh

2= n⋅ ⋅ ⋅

⋅⋅

π

31 Postulado: E2–E1=h⋅< logra explicar la ecuación que rige las líneas del espectro del hidrógeno.

Espectro átomo de hidrógeno

1λ

= R ⋅ −

1n

1n1

222

R=109677 cm–1

n1 = 1 serie de Lyman n1 = 2 serie de Balmer n1 = 3 serie de Paschen n1 = 4 serie de Brakett n1 = 5 serie de Pfund




Hipótesis de De Broglie (dualidad onda—corpúsculo)

A todo corpúsculo en movimiento —electrón, protón, átomo, molécula— le corresponde una onda, cuya longitud de onda es inversamente proporcional al momento lineal de esa partícula, verificándose que:

V2 que cumple sev

21 comoy

vp2

⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=

⋅=

⋅==

qmhmVqE

Ech

mhh λλ

Principio de incertidumbre de Heisenberg

No es posible conocer simultáneamente y con exactitud la posición de una partícula, x, y su momento lineal, p; el producto de las indeterminaciones al medir simultáneamente dichas medidas siempre es igual o mayor que la constante de Planck

∆ ∆x ph

2=⋅ ≥

⋅π

Ecuación de Schrödinger

Hay que elaborar un nuevo modelo atómico, donde las órbitas ya no son definidas, que se conoce como modelo de la nube de carga.

Este modelo se estructura basándose en la ecuación de Schrödinger que representa el comportamiento de la onda asociada a una partícula de masa m y que es:

0π8zyx

0π8 2

2

2

2

2

2

22

=V)-(Eh

m+++=V)-(Eh

m+22

2 ψψψψψψ ⋅⋅⋅⋅

∂∂

∂∂

∂∂

⇔⋅⋅⋅⋅

∇

donde E y V son la energía total y potencial de la partícula y ψ es la función de onda cuyo cuadrado (ψ2) representa la probabilidad de encontrar un electrón en un instante dado.

El electrón deja de ser considerado una partícula para convertirse en una distribución de carga negativa —de nube de carga— de simetría central, repartida en la proximidad del núcleo.

Se representa por una superficie límite que contiene un volumen en el que podemos encontrar el electrón con una probabilidad del 90—99%. Recibe el nombre de orbital.

Todos estos principios, que representan una nueva forma de tratar el átomo y las partículas

que lo constituyen, se estructuran dentro de una nueva mecánica que recibe el nombre de Mecánica Cuántica.




TEMA 13. FÍSICA NUCLEAR. PARTÍCULAS Y FUERZAS ELEMENTALES

Partículas fundamentales

Protón: 11 H mp • 1 uma = 1,66·10–27 kg

qp = +1,6⋅10–19 C

Neutrón: 01 n mn • 1 uma

qn = 0

Electrón: −1

0 e me = 9,1⋅10–31 kg • 1/2000 uma qe = –1,6⋅10–19 C

Número atómico (Z) número de protones en el núcleo Número másico (A) número de partículas en el núcleo Isótopo Igual Z; distinto A Unidad de masa atómica (u.m.a.). Es la doceava parte de la masa del

isótopo 12 del carbono. Equivale a 1,6605655·10-27 kg. Defecto de masa. Es la diferencia entre la masa que se le supone a un núcleo,

sumando la masa de todos sus nucleones y la masa real de dicho núcleo (M), que siempre es menor. ∆m = Z·mP + (A – Z)·mN – M Ese defecto de masa, poniéndolo en unidades de energía ( ∆ ∆E m c= ⋅ 2 ), se llama energía

de ligadura o energía de enlace, y es la energía que se libera cuando se forma un núcleo. Cuando un átomo pesado se divide en dos más ligeros, cuya energía de enlace es mayor que

la del átomo inicial, se libera una gran cantidad de energía (fisión nuclear). Cuando dos átomos más ligeros se unen para formar un átomo más pesado, cuya energía de

enlace es mayor que la de los átomos iniciales, se libera una cantidad de energía incluso mayor que la anterior(fusión nuclear).

RADIACTIVIDAD Fue descubierta por Becquerel en 1896. Consiste en la emisión de radiaciones por parte de

las sustancias. Posteriormente se comprobó que es un fenómeno atómico. No depende de factores como la presión, la temperatura o el estado, libre o combinado, en que se encuentre el elemento químico.

Básicamente hay tres tipos: Radiación alfa (α). Son núcleos de helio 2

4 He , con carga y poco poder de penetración.

Radiación beta (β). Son electrones −10 e . Tienen carga y poder de penetración.

Radiación gamma (γ). Es energía electromagnética sin carga ni masa. Enorme poder de penetración.

Teoría de la desintegración radiactiva (Rutherford y Soddy)

Los elementos radiactivos no son estructuras estables, sino que experimentan una desintegración espontánea con emisión de partículas alfa o beta y la consiguiente formación de un nuevo elemento; éste, a su vez, si es radiactivo, será capaz de originar otros elementos químicos.

Leyes del desplazamiento radiactivo (Soddy, Fajans y Russell)




Cuando en una transformación radiactiva un átomo emite una partícula alfa (α), éste se transforma en el átomo con número atómico dos unidades inferior y número másico cuatro unidades inferior. a

b24

a 2b 4X He Yα → + −

− Cuando en una transformación radiactiva un átomo emite una partícula beta (β), éste se

transforma en el átomo con número atómico una unidad superior e igual número másico.

ab

-10

a +1bX e Yβ → +

Constante radiactiva o constante de desintegración (λ). Es la probabilidad de que un átomo se desintegre. Es igual al cociente entre los átomos que se desintegran en la unidad de tiempo y el número total de átomos presentes.

tNNdtN

dN ⋅−⋅=⋅−= λλ eintegrando 0

Actividad o velocidad de desintegración (A). Es el número de desintegraciones por unidad de tiempo. Depende del número de átomos presentes que puedan desintegrarse.

NdtdN

⋅=

= λA

Periodo de semidesintegración (T½). Tiempo en el cual se descomponen, por emisión radiactiva, la mitad de los átomos que existían en un principio.

21e

2 00

TNN ⋅−

⋅=λ

Vida media (τ). Es el tiempo que, por término medio, tardará un átomo en desintegrarse. Es la inversa de la constante radiactiva.

Están relacionadas por las ecuaciones:

λ λ τλ λ λ

τ τ=′

′ ⋅ = = = = ⋅ = ⋅NN

N = N TLn 2

T Ln 21/2 1/2

1 0 6930 693

,,


t 2. ley de gravitaciÓn universal plicaciones · relacionada con la ley de hooke (muelle): ......

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