supuestos practicos y problemas matematicas oposiciones secundaria
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Supuestos Practicos y Problemas Matematicas Oposiciones SecundariaTRANSCRIPT
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MATEMTICAS
Prctica
Ejercicios
Muestra de
ejercicio
para la prep
aracin
de la prueba
prctica
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Ejercicios3MATEMTICAS
1
La figura adjunta muestra tres cuadrados; el lado del mayor, AB, mide 1. Los otros tienen por lados, respectivamente, AC de longitud x, y DE de longitud y. Al moverse D sobre el lado AB varan los valores de x e y. Determinar los valores de x e y para que el valor de la expresin x2 + y2 sea mnimo. Calcular dicho valor.
BC
Ey
Ax
D
Solucin
Introduzcamos un punto ms F en la figura. De esta forma, los tringulos EBD y DCF son semejantes.
BC
EF y
Ax
D
Entonces:
2 2 2
11
.
DB BEDB DB x xBE
x DB xDB DB xDB xBE xDB xBE DB DB x DB BE DB DB
Pero BE = 1 DB.
Entonces, x DB 1 DB 2 2 .DB DB x DB DB Adems:
22 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2
2 2 1 2 1 2 1.
y DB BE y DB DB y DB DB DB y DB DB
y DB DB y DB DB y x
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Prctica4 MATEMTICAS
Por tanto, la expresin a minimizar es 22 2 2, 2 1 1 .L x y x y L x x x x Necesitamos conocer los valores que x puede tomar.
Como tenamos que x = DB DB2, tenemos que x es la variable dependiente de una funcin
parbola orientada negativamente con vrtice 1 1, .
2 4V
Luego la imagen de esta funcin es el intervalo 1, .4
Como x debe ser positiva pues es una longitud, entonces
10, .
4x
La grfica de 21L x x es:
1
1,5 2
0,5
0,5
es claro que esta funcin se hace mnima en 1
0,4
cuando
1.
4x
En tal caso, 21 1 9
1 .4 4 16
L
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Ejercicios5MATEMTICAS
2
Estudiar la convergencia de la serie 1
tannn
x nyn
con 0 .2y
Solucin
Llamemos tannnx ny
an y apliquemos el criterio de la raz:
lim lim tan lim tan tan .nn nnn n nx ny x
a y yn n
Entonces:
Si 0 tan 1 lim 14
nnn
y y a
la serie converge.
Si tan 1 lim 14 2
nnn
y y a
la serie diverge.
Si tan 1 lim 14
nnn
y y a
caso dudoso criterio logartmico:
1ln
4 4tan ln1 lntan1ln
lim lim limln ln ln
4lntan
4lim lim lntanln ln
lim lntan limln 4 ln
n n
n
n n n
n n
n n
x n x n
n nan n n
x nn
n x nnn n n
n x nn n n
limlntan
4
lim ln lim tan 1 lntanln 4 4
1 ln1 1 0 0.
n
n n
xn
n xn n
Como
1ln
lim 0 1ln
n
n
an
la serie diverge.
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Prctica6 MATEMTICAS
3
Resolver la ecuacin 2x39x2+32x+75=0, sabiendo que tiene una raz compleja de mdulo 5.
Solucin
Sea z = a + bi la raz compleja de mdulo 5 de la ecuacin.
Entonces el conjugado z a bi es tambin raz de la ecuacin.
El polinomio 2x39x2+32x+75 admite la factorizacin:
3 2
22 2
2 3 2 2
3 2
2 9 32 75 2
2 2 2
2 2 25 2 4 50 2 4 50
2 2 4 50 4 50 .
x x x x c x z x z
x c x z z x zz x c x ax z
x c x ax x ax x cx acx c
x c a x ac x c
Igualando coeficientes se obtiene que 75 3
75 50 .50 2
c c
Entonces, 3
32 50 4 32 50 4 6 18 3.2
a c a a a
Comprobamos finalmente, 3
2 4 2 4 3 3 12 9.2
c a
Por tanto, como 2 2 2 25 3 3 25 9 16 4.z a bi bi b b b b
Luego, o bien z = 3 + 4i y 3 4z i o bien z = 3 4i y 3 4z i .
En cualquier caso, concluimos con la factorizacin:
3 2 32 9 32 75 2 3 4 3 4 .2
x x x x x i x i
Luego las races de la ecuacin son: 1 3 4x i , 2 3 4x i , y 3 32x .