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Hffis suPEnFicrrs Er.i EL ESPAcroEn el caprulo 3 hemos utilizado el Clculo para dibujar las grficas de un amplio espectro defunciones en dos dimensiones. Ahora que hemos esrudiado rectas y planos en R3, vamos a inten-tar dibujar objetos ms complicados en tres dimensiones. No espere ]rna teora general como endos dimensiones. Dibujar a mano curvas y superfrcies en el espacio, o interpretar grficas gene-radas en caicuiadora, es casi un arte. Al fin y al cabo, se trata de representar en dos dimensio-nes un objeto tlidimensionai. No'es nuesho propsito forma afistas, sino capacitarie pararepresentar ciertas clases de superficies, necesaias en los captulos posterioes. Ser precisosaber reconocerlas y esboza sus grficas a mano con precisin razonable. Asimismo le invia-mos a que aprenda a generar e interpretar grficas obtenidas en calculadoas. Siga nuestras indi-caciones y resuelva muchos problemas. En numerosos ejercicios de los caprulos restantes, per-der unos minutos en la elaboacin de. una erfica de calidad le ahora tiempo v esfuerzo.

Superficies cilndricas

Empezamos por un tipo simple de superficies en el espacio. Al ver la palabra cilindro, seguroque piensa en un cilindro circular recto. Consideremos la grftca de la ecuacin f + y2 = 9 s7tres dimensiones. La primera reaccin es pensar en una circunferencia, pero eso es correc-to slo en parte. La grfica de esa ecuacin en dos dimensiones es una circunferencia deradio 3, pero qu es en tres dimensiones?

Aalicemos la interseccin con cada plano z = fr, k constante. Como z est ausente dela ecuacin, tal interseccin (que se llarqa traza de la superficie en e1 plano z = k) es siem-pre la misma: una circunferencia de radio 3. Piense un momento:,iqu superfrcie cota a todoplano paralelo al plano -rJ en una cicunferencia de radio 3? Es un cilindro circular recto, eneste caso de radio 3 y con eje en el eje z (figura 10.52).

En general, el trmino cilidro se u.sa parc referirse a cualquier superficie cuyas trazasen todo plzrno paralclo a url plano daclo son idnticas.,Con esta dellnicin, muchas superfi-cies resultan ser cilindros.

Ejemplo 6.1 Grfica de una superficie

Dibujar la grifica de la superficie z - y' en R'.

Solucin Corno -r esti ausente de la ecuacin. la traza en todo plano x = ,t es la rism.Por tanto, es un cilindro cuya traza en esos planos (paralelos al piano yz) es la parbolaz =y'. Para dibujarla, comenzamos con su taza en el plano yz (gura 10"53a) y repetimosvarias copias suyas con distintos vrtices a lo largo dei eje x para darle aspecto tridimensio-nal (figura 10.53b). Una grfica generada en calculadora puede verse en la figura 10.53c,formada por diversas trazas corespondientes a distintos valores de x e y.

Figura 10.52

Cilindro circul:rr rccto.

Figura f 0.53aTraza en el piano yz.

Fgura 10.53b-_.,2

Figura 10.53curanca de razas oe 2 = y-.

f,o,L

!.

-r lt'bEjemplo 6.2

Seccin 10.5 Sup:,rficies c:

Un cilindro poco habitual

Dibujar la grfica de la superficie z = sen;r en R3.

Solucin De nuevo falta una variable en la ecuacin, la y, de modo que Ias trazas de Iasuperficie en todos los planos paralelos al plano-rz son idnticas. Son todas como la grficabidirnensionil de z = sen r. Dibujamos una de ellas en el plano xz y varias copias suyas enplanos paralelos. Finalmente, las conectamos con rectas paralelas al eje y (figura 10.54a). Lafigura 10.54b ha sido generada en una calculadora. En esta ocasin, el cilindro es como unplano ondulado.

Figura I0.54aLa superficie z = sen x.

Figura 10.54b

Gnifica de trazas: z = sen x.

Figura 10.55

Esfera.

Superficies cudri*as

La grfira de Ia ecuaciis

ex' + byz + czz + dtj + eyz +fxz + gx + hy + jz+ fr = 0

en el espacio (con a, b, c, ct, e,f, S, h,j, k constantes y al minos una de entre a, b, c, d, e,fno nula) se llama una superficie cudrica (o simplemente cudrica).

La cudrica ms familiar es la esfera:

(x - o)' + (y - D2 * (z - c)2 = v2,

de radio r centradaen el punto (a, b, c). Para dibujar la esfera centrada en (0, 0, 0) y lograrsensacin espacial, dibujamos primero una circunfeencia de radio r en los.tres planos decoordenadas (figura 10.55). Debido a la perspectiva, las circunferencias parecen elipses y sonslo parcialmente visibles (las partes ocultas se indican con trazo discontinuo).

Una generalizacin de la esfera es el elipsoide:

(x_a)2 (v_b)2 (z_c)2 :I - _ IJl

d2 e' f'

(La esfera es el caso particular d = e =f).

Ejemplo 6.3 Grfica de un elipsoide

Dibujar el elipsoide222xyz-_+:+_=1.149

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