sucesos aleatorios
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República bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular Para La Educación Universitaria
Instituto Universitario de Educación Especializada
IUNE
/
SUCESOS ALEATORIOS
Integrantes: Joselin González
Jose OchoaYenireth Sánchez
Santa Bárbara de Zulia, Septiembre del 2015
SUCESOS ALEATORIOS
Llamamos Suceso de un experimento aleatorio (o simplemente Suceso
Aleatorio) a cada uno de los subconjuntos del Espacio Muestral E. El
Conjunto de todos los sucesos de un experimento aleatorio se denomina
Espacio de Sucesos y se representa por la letra S.
PROBABILIDAD
El concepto de probabilidad nace con el deseo del hombre de conocer con
certeza los eventos futuros. Es por ello que el estudio de probabilidades
surge como una herramienta utilizada por los nobles para ganar en los
juegos y pasatiempos de la época. El desarrollo de estas herramientas fue
asignado a los matemáticos de la corte.
Con el tiempo estas técnicas matemáticas se perfeccionaron y encontraron
otros usos muy diferentes para la que fueron creadas. Actualmente se
continúo con el estudio de nuevas metodologías que permitan maximizar el
uso de la computación en el estudio de las probabilidades disminuyendo, de
este modo, los márgenes de error en los cálculos
Clasificación de los sucesos
Suceso elemental
Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del
espacio muestral.
Por ejemplo al tirar un dado un suceso elemental es sacar 5.
Suceso compuesto
Suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral.
Por ejemplo al tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener
múltiplo de 3.
Suceso seguro
Suceso seguro, E, está formado por todos los posibles resultados (es decir,
por el espacio muestral).
Por ejemplo al tirar un dado un dado obtener una puntuación que sea menor
que 7.
Suceso imposible
Suceso imposible, , es el que no tiene ningún elemento.
Por ejemplo al tirar un dado obtener una puntuación igual a 7.
Sucesos compatibles
Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso
elemental común.
Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 3, A y
B son compatibles porque el 6 es un suceso elemental común.
Sucesos incompatibles
Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento
en común.
Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 5, A y
B son incompatibles.
Sucesos independientes
Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que
suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B.
Al lazar dos dados los resultados son independientes.
Sucesos dependientes
Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que
suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B.
Extraer dos cartas de una baraja, sin reposición, son sucesos
dependientes.
Suceso contrario
El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza
A., Se denota por .
Son sucesos contrarios sacar par e impar al lanzar un dado.
LEYES DE PROBABILIDAD
La probabilidad mide las posibilidades de que un evento ocurra. Expresado
matemáticamente, es igual al número de formas que un evento específico
puede ocurrir, dividido por el número total de posibles eventos. Por ejemplo,
si tienes una bolsa con tres canicas, una azul y dos verdes, la probabilidad
de tomar una canica azul sin mirar es de 1/3. Hay sólo un resultado posible
de que se seleccione la canica azul, pero hay tres posibles resultados en
total, azul, verde, verde. Usando el mismo razonamiento, la probabilidad de
tomar una canica verde es de 2/3.
Ley de números grandes
Puedes descubrir la probabilidad desconocida de un evento a través de la
experimentación. Usando el ejemplo anterior, supongamos que no
conocemos la probabilidad de sacar una canica de cierto color, pero si
sabemos que hay tres canicas en la bolsa. Haces una prueba y sacas una
canica verde. Haces otra prueba y sacas otra canica verde. En este punto
podrías asegurar que la bolsa solo contiene canicas verdes, pero basado en
dos pruebas la predicción no es confiable. Es posible que la bolsa solo
contenga canicas verdes o puede que las otras dos sean rojas y tu
seleccionaste solo las verdes secuencialmente. Si realizas la misma prueba
100 veces, probablemente descubras que seleccionaste una canica verde
alrededor del 66 por ciento de las veces. Esta frecuencia refleja la
probabilidad correcta más acertadamente que el primer experimento. Esta es
la ley de números grandes: cuanto más pruebas realizas, más preciso será
que la frecuencia del resultado de un evento refleje su probabilidad real.
Ley de sustracción
La probabilidad sólo tiene rango entre 0 y 1. Una probabilidad de 0 significa
que no hay posibles resultados para un evento. En nuestro ejemplo anterior,
la probabilidad de sacar una canica roja es cero. Una probabilidad de 1
significa que el evento ocurrirá en cada una de las pruebas. La probabilidad
de sacar una canica verde o azul es 1. No hay otros posibles resultados. En
una bolsa que contiene una canica azul y dos verdes, la probabilidad de
sacar una verde es de 2/3. Es un número aceptable, ya que 2/3 es mayor
que 0 pero menor que 1, es decir, está dentro del rango de valores
aceptables de probabilidad. Conociendo esto, puedes aplicar la ley de
sustracción, que señala que si conoces la probabilidad de un evento, puedes
señalar acertadamente la probabilidad de que dicho evento no ocurra.
Sabiendo que la probabilidad de sacar una canica verde es de 2/3, puedes
restar ese valor a 1 y determinar correctamente la probabilidad de no sacar
una canica verde: 1/3.
Ley de multiplicación
Si quieres encontrar la probabilidad de que dos eventos ocurran en pruebas
secuenciales, se usa la ley de la multiplicación. Por ejemplo, en lugar del
ejemplo anterior de la bolsa con las tres canicas, digamos que es una bolsa
con cinco canicas. Hay una azul ,dos verdes y dos amarillas. Si quieres
encontrar la probabilidad de sacar una canica azul y una verde, en cualquier
orden (y sin devolver la primera canica a la bolsa), busca la probabilidad de
sacar una azul y la probabilidad de sacar una verde. La probabilidad de sacar
una canica azul de la bolsa de cinco es de 1/5. La probabilidad de sacar una
canica verde de entre las restantes es de 2/4, o 1/2. Aplicar correctamente la
ley de multiplicación implica multiplicar las dos probabilidades, 1/5 y 1/2,
obteniendo 1/10. Esto expresa la probabilidad de que ambos eventos ocurran
juntos.
Ley de suma
Aplicando lo que sabes de la ley de multiplicación, puedes determinar la
probabilidad de que sólo uno de dos eventos ocurra. La ley de suma plantea
que la probabilidad de que uno de dos eventos ocurra es igual a la suma de
las probabilidades de que cada evento ocurra individualmente, menos la
probabilidad de que ambos ocurran. En la bolsa de cinco canicas, digamos
que quieres saber la probabilidad de sacar una canica azul o una verde.
Suma la probabilidad de sacar una azul (1/5) a la probabilidad de sacar una
verde (2/5). La suma es 3/5. En el ejemplo anterior, expresando la ley de
multiplicación, encontramos que la probabilidad de sacar una canica azul y
una verde es de 1/10. Restando esto a la suma de 3/5 (o 6/10 para una
sustracción más simple) nos da una probabilidad final de 1/2.
CALCULO DE PROBABILIDADES PARA DISTINTAS CLASES DE
SUCESOS
Un suceso puede estar contenido en otro: entonces, la probabilidad del
primer suceso será menor que la del suceso que lo contiene.
Ejemplo: lanzamos un dado y analizamos dos sucesos: a) que salga el
número 6, y b) que salga un número par. Dijimos que el suceso a) está
contenido en el suceso b).
P(A) = 1/6 = 0,166
P(B) = 3 / 6 = 0,50
Por lo tanto, podemos ver que la probabilidad del suceso contenido, suceso
a), es menor que la probabilidad del suceso que lo contiene, suceso b).
b) Dos sucesos pueden ser iguales: en este caso, las probabilidades de
ambos sucesos son las mismas.
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga
número par, y b) que salga múltiplo de 2. Las soluciones coinciden en ambos
casos.
P(A) = 3 / 6 = 0,50 P(B) = 3 / 6 = 0,50
c) Intersección de sucesos: es aquel suceso compuesto por los elementos
comunes de los dos o más sucesos que se intersectan. La probabilidad será
igual a la probabilidad de los elementos comunes.
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga
número par, y b) que sea mayor que 3. La intersección de estos dos sucesos
tiene dos elementos: el 4 y el 6.
Su probabilidad será por tanto:
P(A L B) = 2 / 6 = 0,33
d) Unión de dos o más sucesos: la probabilidad de la unión de dos
sucesos es igual a la suma de las probabilidades individuales de los dos
sucesos que se unen, menos la probabilidad del suceso intersección.
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga
número par, y b) que el resultado sea mayor que 3. El suceso unión estaría
formado por los siguientes resultados: el 2, el 4, el 5 y el 6.
P(A) = 3 / 6 = 0,50
P(B) = 3 / 6 = 0,50
P (A L B) = 2 / 6 = 0,33
Por lo tanto: P (A u B) = (0,50 + 0,50) - 0,33 = 0,666
e) Sucesos incompatibles: la probabilidad de la unión de dos sucesos
incompatibles será igual a la suma de las probabilidades de cada uno de los
sucesos (ya que su intersección es el conjunto vacío y por lo tanto no hay
que restarle nada).
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga
un número menor que 3, y b) que salga el número 6.
La probabilidad del suceso unión de estos dos sucesos será igual a:
P(A) = 2 / 6 = 0,333
P(B) = 1 / 6 = 0,166
Por lo tanto: P(A u B) = 0,33 + 0,166 = 0,50
f) Sucesos complementarios: la probabilidad de un suceso
complementario a un suceso (A) es igual a 1 - P(A)
Ejemplo: lanzamos un dado al aire. el suceso (A) es que salga un número
par, luego su complementario, suceso (B), es que salga un número impar.
La probabilidad del suceso (A) es igual a : P(A) = 3 / 6 = 0,50
Luego, la probabilidad del suceso (B) es igual a: P(B) = 1 - P(A) = 1 - 0,50 =
0,50
Se puede comprobar aplicando la regla de "casos favorables / casos
posibles": P(B) = 3 / 6 = 0,50
g) Unión de sucesos complementarios: la probabilidad de la unión de dos
sucesos complementarios es igual a 1.
Ejemplo: seguimos con el ejemplo anterior: a) que salga un número par, y
b) que salga un número impar. La probabilidad del suceso unión de estos
dos sucesos será igual a:
P(A) = 3 / 6 = 0,50
P(B) = 3 / 6 = 0,50
Por lo tanto:P(A U B) = 0,50 + 0,50 = 1
Distribución de probabilidad
En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad
de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido
sobre la variable aleatoria, la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La
distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los
sucesos, cada uno de los sucesos es el rango de valores de la variable
aleatoria.
La distribución de probabilidad está completamente especificada por la
función de distribución, cuyo valor en cada x real es la probabilidad de que la
variable aleatoria sea menor o igual que x.
CONSTRUCCION DE LA CURVAS NORMALES
La curva normal puede utilizarse para describir distribuciones de puntajes,
para interpretar la desviación estándar y para hacer un informe de
probabilidades. Veremos que la curva normal es un ingrediente esencial en
la toma de decisiones en estadística, por medio de la cual el investigador
social generaliza sus resultados de muestras a poblaciones. La curva normal
es un tipo de curva uniforme y simétrica cuya forma recuerda a muchos una
campana y por tanto se le conoce como la “curva en forma de campana”. Tal
vez el rasgo más sobresaliente de la curva normal es su simetría: si
doblamos la curva en su punto más alto al centro, crearíamos dos mitades
iguales, cada una fiel imagen de la otra.
Además, la curva normal es unimodal, ya que solo tiene un pico o punto de
máxima frecuencia –aquel punto en la mitad de la curva en el cual coinciden
la media, la mediana y la moda– (el alumno recordara que la media, la
mediana y la moda ocurren en distintos puntos en una distribución
sesgada).).
EL ÁREA BAJO LA CURVA NORMAL
Para poder emplear la curva normal en la resolución de problemas, debemos
familiarizarnos con el área bajo la curva normal: aquella área que está bajo la
curva y la línea base y que contiene el 100 por ciento, o todos los casos, en
una distribución normal dada.Podríamos encerrar una porción de esta área
total dibujando una línea a partir de dos puntos cualesquiera en la línea base
hasta la curva. Como veremos, una proporción una proporción del área total,
bajo la curva normal, estará entre la media y cualquier distancia dada de X,
medida de unidades DE. Esto es cierto a pesar de la media y la DE de la
distribución en particular, y se aplica universalmente a todos los datos
normales distribuidos.
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad
discreta que cuenta el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de
Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia
del éxito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por
ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se
denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso,
con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior
experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular
la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial
se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.
Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial
de parámetros n y p, se escribe:
La distribución binomial es la base del test binomial de significación
estadística.
APROXIMACIONES DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Existen muchas situaciones en las que se presenta una experiencia binomial.
Cada uno de los experimentos es independiente de los restantes (la
probabilidad del resultado de un experimento no depende del resultado del
resto). El resultado de cada experimento ha de admitir sólo dos categorías (a
las que se denomina éxito y fracaso). Las probabilidades de ambas
posibilidades han de ser constantes en todos los experimentos (se denotan
como p y q o p y 1-p).
Se designa por X a la variable que mide el número de éxitos que se han
producido en los n experimentos.
Cuando se dan estas circunstancias, se dice que la variable X sigue una
distribución de probabilidad binomial, y se denota B(n,p).
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una
distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia
de ocurrencia media, la probabilidad de que ocurra un determinado número
de eventos durante cierto período de tiempo. Concretamente, se especializa
en la probabilidad de ocurrencia de sucesos con probabilidades muy
pequeñas, o sucesos "raros".
Fue descubierta por Siméon-Denis Poisson, que la dio a conocer en 1838 en
su trabajo Recherches sur la probabilité des jugements en matières
criminelles et matière civile (Investigación sobre la probabilidad de los juicios
en materias criminales y civiles).