suce sos

Sucesos. Operaciones con sucesos.

2.1. Sucesos.

En el Ejercicio 1.1 del capítulo anterior podemos ver que el espacio muestral asociado al lanzamiento de tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos es:

E={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}

Podemos considerar algunos subconjuntos de E, por ejemplo: Sali

r múltiplo de 5:

A={5,10,15}

Salir número primo:

C={2,3,5,7,11,13,17}

Salir mayor o igual que 12:

D={12,13,14,15,16,17,18}

Todos estos subconjuntos del espacio muestral E los llamamos sucesos.

Los elementos de E se llaman sucesos individuales o sucesos elementales.

Suceso de un fenómeno o experimento aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral E.

También son sucesos el suceso vacío o suceso imposible , Ø, y el propio E, suceso seguro.

Al conjunto de todos los sucesos de una experiencia aleatoria lo llamaremos S.

Si E tiene un número finito, n, de elementos, el número de sucesos de E es 2n.

Ejemplos:

{1,2},{2,4,6},{3,5} son sucesos. {1},{2}, {3}..., son sucesos individuales. En un dado hay 26 = 64 sucesos. En una moneda hay 22 = 4 sucesos, que son: Ø, {C},{+}, {C,+}

Es decir, S={Ø,{C},{+},{C,+}}

Ejercicio 2.1-1:Se considera el sexo de los hijos de las familias de tres hijos. Sea A el suceso el hijo mayor es una hembra, y B el suceso los dos hijos pequeños son varones. ¿Cuáles son los elementos de A y B?

Solución:

Llamando V a ser varón y H a ser hembra, el espacio muestral está formado por los sucesos elementales:

E={(VVV),(VVH),(VHV),(HVV),(VHH),(HVH),(HHV),(HHH)}

Y los sucesos A y B son compuestos y están formados por los siguientes sucesos elementales:

A={(HHH),(HHV),(HVH),(HVV)}

B={(VVV),(HVV)}

2.2. Operaciones con sucesos.

Dados dos sucesos, A y B, se llaman:

Unión es el suceso formado por todos los elementos de A y todos los elementos de B.

Intersección es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y de B.

Diferencia es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B.

Suceso contrario El suceso =E - A se llama suceso contrario de A.

Dos sucesos A y B, se llaman incompatibles cuando no tienen ningún elemento común. Es decir, cuando = Ø (A y B son disjuntos)

Decimos que un suceso se ha verificado, si al realizar el experimento aleatorio correspondiente, el resultado es uno de los sucesos elementales de dicho suceso. Por ejemplo, si al lanzar un dado sale 5, se ha verificado, entre otros, los sucesos {5}, {1,3,5} o E.

De manera análoga, decimos que:

El suceso se verifica cuando se verifica uno de los dos o ambos. El suceso se verivica cuando se verifican simultáneamente A y B.

El suceso , contrario de A, se verifica cuando no se verifica A. Dos sucesos incompatibles no se verifican simultáneamente.

Ejemplo:

En el experimento E = "lanzar un dado al aire", consideramos los sucesos:

A = "sacar un número par". B = {1,2,3,5} = "obtener un 1, 2, 3 ó 5".

C = {4,6} = "obtener un 4 ó un 6". D = {2,4,6} = "obtener un 2, 4 ó 6".

F = {1,3} = "obtener un 1 ó un 3". G = "obtener un múltiplo de 3".

o A y D son sucesos iguales al estar formados por los mismos sucesos elementales.

o C está contenido en A. Luego = C, puesto que siempre que ocurre el suceso C (sacar 4 ó 6) ocurre el suceso A, puesto que se obtiene un número par.

o B y C son incompatibles, ya que B C = Ø y complementarios, al cumplirse B C = E.

o = "sacar un número par" {1,2,3,5} = {1,2,3,4,5,6} = E.o A G = {2,4,6} {3,6} = {6}, es decir, el suceso intersección de los

sucesos "sacar un número par" y "obtener un múltiplo de tres" es "sacar un 6".

o B-D = B = {1,2,3,5} {1,3,5} = {1,3,5} = "obtener un número

impar" = .o C y F son incompatibles puesto que C F = Ø.

Las operacones unión, intersección y complementación (contrario) verifican las propiedades:

Unión Intersección1. Conmutativa2. Asociativa3. Idempotente4. Simplificación5.

Distributiva6. Elemento neutro7. Absorción

A las familias de conjuntos que verifican las propiedades anteriores se les denomina álgebras de Boole.

En el álgebra de Boole anterior se verifican las siguientes propiedades, conocidas como leyes de De Morgan:

El suceso contrario de la unión de dos sucesos es la intersección de sus sucesos contrarios:

El suceso contrario de la intersección de dos sucesos es la unión de sus sucesos contrarios:

Ejercicio 2.1-2:Tenemos una urna con nueve bolas numeradas del 1 al 9. Realizamos el experimento, que consiste en sacar una bola de la urna, anotar el número y devolverla a la urna. Consideramos los siguientes sucesos: A="salir un número primo" y B="salir un número cuadrado". Responde a las cuestiones siguientes:

a. Calcula los sucesos y .b. Los sucesos A y B, ¿son compatibles o incompatibles?.c. Encuentra los sucesos contrarios de A y B.

Solución:

Los sucesos A y B están formados por los sucesos elementales que pueden verse a continuación:

A = {2,3,5,7}

B = {1,4,9}

A partir de estos conjuntos, tenemos:

1. La unión e intersección de A y B son:

= {1,2,3,4,5,7,9} = Ø

2. Al ser = Ø, los suce

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/2.html

http://fcm.ens.uabc.mx/~chelo/estadistica/doc-pdf/lec-03-3.pdf

http://halweb.uc3m.es/esp/Personal/personas/jmmarin/esp/PEst/tema1pe.pdf

http://halweb.uc3m.es/esp/Personal/personas/jmmarin/esp/PEst/tema1pe.pdf

http://fcm.ens.uabc.mx/~chelo/estadistica/doc-pdf/lec-03-3.pdf

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/2.html

.6 Operaciones básicas con sucesos aleatoriosAl ser los sucesos aleatorios nada más que subconjuntos de un conjunto E --espacio muestral--, podemos aplicarles las conocidas operaciones con conjuntos, como son la unión, intersección y diferencia:

4.6.0.0.0.1 Unión:

Dados dos sucesos aleatorios , se denomina suceso unión de A y B al conjunto formado por todos los sucesos elementales que pertenecen a A o bien que pertenecen a B (incluyendo los que están en ambos simultáneamente), es decir

Como ejemplo, tenemos que la unión de un suceso cualquiera con su complementario es el suceso seguro:

Volviendo al ejemplo del lanzamiento de un dado, si y , el suceso unión de A y B es:

4.6.0.0.0.2 Intersección:

Dados dos sucesos aleatorios , se denomina suceso intersección de A y B al conjunto formado por todos los sucesos elementales que pertenecen a A y B a la vez, es decir,

A veces por comodidad se omite el símbolo para denotar la intersección de conjuntos, sobre todo cuando el número de conjuntos que intervienen en la expresión es grande. En particular podremos usar la siguiente notación como equivalente a la intersección:

Un ejemplo de intersección es la de un suceso aleatorio cualquiera, , con

su complementario, , que es el suceso imposible:

Volviendo al ejemplo del dado,

4.6.0.0.0.3 Diferencia:

Dados dos sucesos aleatorios , se llama suceso diferencia de A y B, y se

representa mediante , o bien A-B, al suceso aleatorio formado por todos los sucesos elementales que pertenecen a A, pero no a B:

Obsérvese que el suceso contrario de un suceso A, puede escribirse como la diferencia del suceso seguro menos éste, o sea,

4.6.0.0.0.4 Diferencia simétrica:

Si , se denomina suceso diferencia simétrica de A y B, y se representa

mediante , al suceso aleatorio formado por todos los sucesos elementales que pertenecen a A y no a B, y los que están enBy no en A:

Así:

Figura: Dados dos sucesos aleatorios se representa: en (a) ; en (b) ; en (c) A-

B; en (d) .

Hay ciertas propiedades que relacionan la unión, intersección y suceso contrario, que son conocidas bajo el nombre de Leyes de Morgan:

http://virtual.uptc.edu.co/ova/estadistica/docs/libros/ftp.bioestadistica.uma.es/libro/node47.htm

http://virtual.uptc.edu.co/ova/estadistica/docs/libros/ftp.bioestadistica.uma.es/libro/node47.htm

. EXPERIMENTO ALEATORIO. ESPACIO MUESTRAL.

Experimento aleatorioUn experimento es un experimento aleatorio si puede dar lugar a varios resultados y de antemano no se puede saber cuál de ellos va a ocurrir. Por ejemplo, lanzar un dado, extraer una bola de una urna, etc.

Espacio muestralSe llama espacio muestral de un experimento al conjunto de todos los resultados posibles.

1.- Para ver cuál es el espacio muestral de algunos experimentos aleatorios sólo tienes que seleccionar el número de experimento en la parte superior de la escena:

0.- Ningún experimento.

1.- Lanzar un dado.

2.- Sacar una bola de una urna que contiene tiene 50 bolas numeradas del 0 al 49.

3.- Sacar dos bolas de una urna que tiene 6 bolas blancas, 5 negras y 1 roja.

4.- Lanzar dos monedas.

5.- Ordenar al azar las letras A, B, C y D.

II. SUCESOS ALEATORIOS.

Suceso aleatorioUn suceso aleatorio es un subconjunto del espacio muestral, esto es, un conjunto de resultados posibles del experimento aleatorio.

2.- Observa en el experimento de lanzar un dado los sucesos A1 = "sacar un número impar", A2 = "sacar un número menor que tres", A3 = "sacar un uno o un cuatro", A4 = "sacar un número mayor que cero", A5 = "sacar un múltiplo de siete" y A6 = "sacar un cinco". Para seleccionar cada uno de estos sucesos deberás cambiar el valor de A en la parte inferior de la escena.

a) Describe con una frase los sucesos A7, A8, A9 y A10.b) ¿Qué tiene de particular el suceso A4?, ¿y el suceso A5?c) ¿En qué se diferencian los sucesos A1, A2 , A3, A8, A9 y A10 de los sucesos A6 y A7?

Suceso seguroEl suceso seguro es aquél que está formado por todos los resultados posibles, esto es, todo el espacio muestral entendido como un suceso aleatorio. Se expresa con la letra griega . Se llama suceso seguro porque es el suceso que siempre ocurre.

Habrás observado que A4=

Suceso imposibleEl suceso imposible es aquél que está formado ningún resultado esto es, el conjunto vacío. Se expresa con el símbolo Ø. Se llama suceso imposible porque es el suceso que nunca ocurre.

Habrás observado que A5= Ø

Suceso elementalUn suceso se dice que es un suceso elemental si está formado por un único elemento del espacio muestral.

Te habrás dado cuenta que los sucesos A6 y A7 son dos sucesos elementales.

Suceso compuestoUn suceso se dice que es un suceso compuesto si está formado por más de un elemento del espacio muestral.

Los sucesos A1, A2 , A3, A8, A9 y A10 son sucesos compuestos.

3.- Busca en el experimento aleatorio de las bolas numeradas sucesos seguros, sucesos imposibles, sucesos elementales y sucesos compuestos. Localiza los sucesos "sacar una bola menor que 20", "sacar una bola par" y "sacar la bola 13". Describe con una frase todos los demás sucesos que aparecen en esta escena.

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Sucesos_aleatorios/sucesos_aleatorios_1.htm




Unión de sucesos

La unión de sucesos, A B , es el suceso formado por

todos los elementos de A y de B.

Es decir, el suceso A B se verif ica cuando ocurre uno de

los dos, A o B, o ambos.

A B se lee como "A o B".

Ejemplo

Consideramos el experimento que consiste en lanzar un

dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3".

Calcular A B.

A = {2, 4, 6}

B = {3, 6}

A B = {2, 3, 4, 6}

Propiedades de la unión de sucesos

Conmutativa

Asociativa

Idempotente

Simplificación

Distributiva

Elemento neutro

Absorción

Intersección de sucesos

La intersección de sucesos, A B , es el suceso formado

por todos los elementos que son, a la vez, de A y B.

Es decir, el suceso A B se verif ica cuando ocurren

simultáneamente A y B.

A B se lee como "A y B".

Ejemplo


dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3".

Calcular A B.

A = {2, 4, 6}

B = {3, 6}

A B = {3}

Propiedades de la intersección de sucesos

Conmutativa

Asociativa

Idempotente

Simplificación

Distributiva

Elemento neutro

Absorción

Diferencia de sucesos

La diferencia de sucesos, A − B , es el suceso formado por

todos los elementos de A que no son de B.

Es decir, la diferencia de los sucesos A y B se verif ica

cuando lo hace A y no B.

A − B se lee como "A menos B".

Ejemplo


dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A −

B.

A = {2, 4, 6}

B = {3, 6}

A − B = {2, 4}

Propiedad

Sucesos contrarios

El suceso = E - A se l lama suceso contrario o

complementario de A.

Es decir, se verif ica siempre y cuando no se verif ique A.

Ejemplo


dado, si A = "sacar par". Calcular .

A = {2, 4, 6}

= {1, 3, 5}

Propiedades

Leyes de Morgan

http://www.ditutor.com/probabilidad/sucesos_probabilidad.html

http://www.ditutor.com/probabilidad/sucesos_probabilidad.html

Probabilidad de sucesos

Al definir los sucesos hablamos de las diferentes relaciones que pueden

guardar dos sucesos entre sí, así como de las posibles relaciones que se

pueden establecer entre los mismos. Vamos a ver ahora cómo se refleja

esto en el cálculo de probabilidades.

a) Un suceso puede estar contenido en otro: entonces, la

probabilidad del primer suceso será menor que la del suceso que lo

contiene.

Ejemplo: lanzamos un dado y analizamos dos sucesos: a) que salga el

número 6, y b) que salga un número par. Dijimos que el suceso a) está

contenido en el suceso b).

P(A) = 1/6 = 0,166

P(B) = 3 / 6 = 0,50

Por lo tanto, podemos ver que la probabilidad del suceso contenido,

suceso a), es menor que la probabilidad del suceso que lo contiene,

suceso b).

b) Dos sucesos pueden ser iguales: en este caso, las probabilidades

de ambos sucesos son las mismas.

Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que

salga número par, y b) que salga múltiplo de 2. Las soluciones coinciden

en ambos casos.

P(A) = 3 / 6 = 0,50

P(B) = 3 / 6 = 0,50

c) Intersección de sucesos: es aquel suceso compuesto por los

elementos comunes de los dos o más sucesos que se intersectan. La

probabilidad será igual a la probabilidad de los elementos comunes.


salga número par, y b) que sea mayor que 3. La intersección de estos

dos sucesos tiene dos elementos: el 4 y el 6.

Su probabilidad será por tanto:

P(A L B) = 2 / 6 = 0,33

d) Unión de dos o más sucesos: la probabilidad de la unión de dos

sucesos es igual a la suma de las probabilidades individuales de los dos

sucesos que se unen, menos la probabilidad del suceso intersección.


salga número par, y b) que el resultado sea mayor que 3. El suceso

unión estaría formado por los siguientes resultados: el 2, el 4, el 5 y el 6.

P(A) = 3 / 6 = 0,50

P(B) = 3 / 6 = 0,50

P (A L B) = 2 / 6 = 0,33

Por lo tanto,

P (A u B) = (0,50 + 0,50) - 0,33 = 0,666

e) Sucesos incompatibles: la probabilidad de la unión de dos sucesos

incompatibles será igual a la suma de las probabilidades de cada uno de

los sucesos (ya que su intersección es el conjunto vacío y por lo tanto no

hay que restarle nada).


salga un número menor que 3, y b) que salga el número 6.

La probabilidad del suceso unión de estos dos sucesos será igual a:

P(A) = 2 / 6 = 0,333

P(B) = 1 / 6 = 0,166

Por lo tanto,

P(A u B) = 0,33 + 0,166 = 0,50

f) Sucesos complementarios: la probabilidad de un suceso

complementario a un suceso (A) es igual a 1 - P(A)

Ejemplo: lanzamos un dado al aire. el suceso (A) es que salga un

número par, luego su complementario, suceso (B), es que salga un

número impar.

La probabilidad del suceso (A) es igual a :

P(A) = 3 / 6 = 0,50

Luego, la probabilidad del suceso (B) es igual a:

P(B) = 1 - P(A) = 1 - 0,50 = 0,50

Se puede comprobar aplicando la regla de "casos favorables / casos

posibles":

P(B) = 3 / 6 = 0,50

g) Unión de sucesos complementarios: la probabilidad de la unión

de dos sucesos complementarios es igual a 1.

Ejemplo: seguimos con el ejemplo anterior: a) que salga un número par,

y b) que salga un número impar. La probabilidad del suceso unión de

estos dos sucesos será igual a:

P(A) = 3 / 6 = 0,50

P(B) = 3 / 6 = 0,50

Por lo tanto,

P(A U B) = 0,50 + 0,50 = 1

http://www.aulafacil.com/cursos/l11229/ciencia/estadisticas/estadisticas/probabilidad-de-sucesos

SucesosAntes de iniciar el calculo de probabilidades, resulta interesante y

necesario comprender los conceptos de sucesos y las relaciones que

existen entre ellos.

A continuación se presentan tales conceptos. (Como siempre, cualquier

duda debe ser consultada con el instructor respectivo, de manera que

puedan ser aclaradas antes de continuar)

Suceso elemental.

Es cada una de las posibles soluciones que se pueden obtener al

realizar un experimento aleatorio.

Ej. Al lanzar un dado, los sucesos elementales son:

Salga el número 1 {1}








Relaciones entre sucesos.

1. Un suceso puede estar contenido en otro.

Esto es, cuando la ocurrencia de uno también implica la ocurrencia de

otro, pero este a su vez, tiene otras soluciones propias que no

pertenecen al primero.

Ej. Se lanza un dado y se analizan dos sucesos,

Suceso A: Salga el número 5 . A = {5}

Suceso B: Salga un número impar. B = {1,3,5}

2. Dos sucesos pueden ser iguales.

La ocurrencia del primero implica también la ocurrencia del segundo,

es decir, dos sucesos son iguales, cuando están formados por los

mismos sucesos elementales.


Suceso A: Salga un número par. A = {2,4,6}

Suceso B: Salga un número múltiplo de 2. B = {2,4,6}

3. Sucesos que se interceptan.

La intersección de sucesos es un suceso compuesto por los sucesos

elementales comunes de aquellos que se están interceptando.



Suceso B: Salga un número mayor que 3. B = {4,5,6}

En este caso la intersección es A∩B = {4,6}

4. Unión de sucesos.

También es otro suceso, compuesto por todos los sucesos elementales

de los sucesos que se están uniendo.



Suceso B: Salga un número mayor que 3. B = {4,5,6}

En este caso la unión es AUB = {2,4,5,6}

5. Sucesos incompatibles o mutuamente excluyentes.

Son aquellos que no pueden ocurrir simultáneamente, es decir, no

tienen sucesos elementales en común. Por lo tanto, su intersección es

un conjunto vacío. Sin embargo, el hecho de que dos más sucesos sean

incompatibles no quiere decir que no se puedan unir.


Suceso A: Salga un número mayor que 4. A = {5,6}

Suceso B: Salga un número menor que 3. B = {1,2}

En este caso la intersección es A∩B = Ø; pero su unión AUB =

{1,2,5,6}

6. Sucesos complementarios.

Son aquellos sucesos que cuando no ocurre alguno, implica

obligatoriamente la ocurrencia del otro y viceversa.




7. Unión de sucesos complementarios.

La unión de los sucesos complementarios es equivalente al espacio

muestral.




Entonces, la unión AUB = {1,2,3,4,5,6} = E

8. Sucesos independientes.

Son aquellos en el cual la ocurrencia de uno de ellos no interfiere, ni

incide en la ocurrencia del otro.

Ej. Al lanzar un dado dos veces, que salga el número 4 en ambas

ocasiones.

Tu voto:

Probabilidad: Relación entre sucesos

Entre los sucesos compuestos se pueden establecer distintas relaciones:

a) Un suceso puede estar contenido en otro: las posibles soluciones

del primer suceso también lo son del segundo, pero este segundo

suceso tiene además otras soluciones suyas propias.

Ejemplo: lanzamos un dado y analizamos dos sucesos: a) que salga el

número 6, y b) que salga un número par. Vemos que el suceso a) está

contenido en el suceso b).

Siempre que se da el suceso a) se da el suceso b), pero no al contrario.

Por ejemplo, si el resultado fuera el 2, se cumpliría el suceso b), pero no

el el a).

b) Dos sucesos pueden ser iguales: esto ocurre cuando siempre que

se cumple uno de ellos se cumple obligatoriamente el otro y viceversa.


salga número par, y b) que salga múltiplo de 2. Vemos que las

soluciones coinciden en ambos casos.

c) Unión de dos o más sucesos: la unión será otro suceso formado

por todos los elementos de los sucesos que se unen.


salga número par y b) que el resultado sea mayor que 3. El suceso unión

estaría formado por los siguientes resultados: el 2, el 4, el 5 y el 6

d) Intersección de sucesos: es aquel suceso compuesto por los

elementos comunes de dos o más sucesos que se intersectan.

Ejemplo: lanzamos un dado al aire, y analizamos dos sucesos: a) que

salga número par, y b) que sea mayor que 4. La intersección de estos

dos sucesos tiene un sólo elemento, el número 6 (es el único resultado

común a ambos sucesos: es mayor que 4 y es número par).

e) Sucesos incompatibles: son aquellos que no se pueden dar al

mismo tiempo ya que no tienen elementos comunes (su intersección es

el conjunto vacío).


salga un número menor que 3, y b) que salga el número 6. Es evidente

que ambos no se pueden dar al mismo tiempo.

f) Sucesos complementarios: son aquellos que si no se da uno,

obligatoriamente se tiene que dar el otro.


salga un número par, y b) que salga un número impar. Vemos que si no

se da el primero se tiene que dar el segundo (y viceversa).

http://www.aulafacil.com/cursos/l11227/ciencia/estadisticas/estadisticas/probabilidad-relacion-entre-sucesos



Suceso elemental

Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio

muestral.

Ejemplo

Tirando un dado un suceso elemental es sacar 5.

Suceso compuesto

Suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Ejemplo

Tirando un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3.

Suceso seguro

Suceso seguro, E, está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el

espacio muestral).

Ejemplo:

Tirando un dado obtener una puntuación que sea menor que 7.

Suceso imposible

Suceso imposible, , es el que no tiene ningún elemento.

Ejemplo:

Tirando un dado obtener una puntuación igual a 7.

Sucesos compatibles

Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común.

Ejemplo:

Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 3, A y B son

compatibles porque el 6 es un suceso elemental común.

Sucesos incompatibles

Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en

común.

Ejemplo:

Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 5, A y B son

incompatibles.

Sucesos independientes

Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no

se ve afectada porque haya sucedido o no B.

Ejemplo:

Al lazar dos dados los resultados son independientes.

Sucesos dependientes

Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve

afectada porque haya sucedido o no B.

Ejemplo:

Extraer dos cartas de una baraja, sin reposición, son sucesos dependientes.

Suceso contrario

El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A. Se

denota por .

Ejemplo:

Son sucesos contrarios sacar par e impar al lanzar un

http://www.vitutor.com/pro/2/a_2.html

http://www.vitutor.com/pro/2/a_2.html

Teoría de probabilidades

La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible

resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar

dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro.

Suceso

Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria.

Espacio muestral

Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo

representaremos por E (o bien por la letra griega Ω).

Tipos de sucesos

Suceso elemental

Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio

muestral.

Suceso aleatorio

Suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Suceso seguro

Suceso seguro, E, está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el

espacio muestral).

Suceso imposible

Suceso imposible, , es el que no tiene ningún elemento.

Por ejemplo al tirar un dado obtener una puntuación igual a 7.

Sucesos compatibles

Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común.


Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en

común.


Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no

se ve afectada porque haya sucedido o no B.

Sucesos dependientes

Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve

afectada porque haya sucedido o no B.

Suceso contrario

El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A., Se

denota por .

Unión de sucesos

La unión de sucesos, A B, es el suceso formado por todos los elementos de A y

de B.

Intersección de sucesos

La intersección de sucesos, A B, es el suceso formado por todos los elementos

que son, a la vez, de A y B.

Diferencia de sucesos

La diferencia de sucesos, A − B, es el suceso formado por todos los elementos de

A que no son de B.

Sucesos contrarios

El suceso = E - A se llama suceso contrario o complementario de A.

Axiomas de la probabilidad

1.0 ≤ p(A) ≤ 1

2.p(E) = 1

3.p(A B) = p(A) + p(B)

Propiedades de la probabilidad

1

2

3

4

5 Si A1, A2, ..., Ak son incompatibles dos a dos entonces:

6 Si el espacio muestral E es finito y un suceso es S = {x1, x2, ..., xn} entonces:

Ley de Laplace

Probabilidad de la unión de sucesos incompatibles

A B =

p(A B) = p(A) + p(B)

Probabilidad de la unión de sucesos compatibles

A B ≠

p(A B) = p(A) + p(B) − p(A B)

Probabilidad condicionada

Probabilidad de la intersección de sucesos independientes

p(A B) = p(A) · p(B)

Probabilidad de la intersección de sucesos dependientes

p(A B) = p(A) · p(B/A)

Teorema de la probabilidad total

Si A 1, A 2 ,... , A n son sucesos incompatibles 2 a 2, cuya unión es el espacio muestral

(A 1 A 2 ... A n = E) y B es otro suceso, resulta que::

p(B) = p(A1) · p(B/A1) + p(A2) · p(B/A2 ) + ... + p(An) · p(B/An )

Teorema de Bayes

Si A 1, A 2 ,... , A n son sucesos incompatibles 2 a 2, cuya unión es el espacio muestral

(A 1 A 2 ... A n = E) y B es otro suceso, resulta que::

Sucesos compatibles e incompatiblesDificultad:

Empecemos con el experimento siguiente: tiramos un dado de seis caras y vemos qué resultado sale. Consideremos los siguientes sucesos A={2,3}, B={1,2}, C={5}.

Observamos que si sacamos un 2, entonces se cumple tanto A como B. Decimos que los sucesos son compatibles, esto quiere decir, que se pueden verificar simultáneamente. Por el contrario, los sucesos B y C son incompatibles, puesto que no se pueden dar los dos a la vez.Para ver fácilmente cuándo dos sucesos son compatibles o no, podemos observar que A y B tienen un elemento común: el 2, por lo que serán compatibles. Por el

contrario, A y C no tienen ningún elemento en común, y por lo tanto son incompatibles.

Esto lo expresamos diciendo que dos sucesos A y B son incompatibles si

A∩B≠∅y al contrario, que son compatibles si

A∩B=∅Si tenemos tres o más sucesos, decimos que son incompatibles dos a dos si cualquier pareja de sucesos es incompatible (análogamente, son compatibles dos a dos si cualquier pareja de sucesos es compatible). En nuestro caso, A,B y C no son incompatibles dos a dos, puesto

que, aunque A y C, B y C son incompatibles, A y B son compatibles.

¿Cómo se relaciona esto con los sucesos complementarios?

En nuestro experimento de tirar un dado, si tenemos nuestro suceso A={2,3}, analicemos qué pasa con su complementario.En este caso, A¯¯¯¯={1,4,5,6}, ya que son todos los sucesos elementales que no

cumplen A.

Resulta pues que A y A¯¯¯¯ son incompatibles, puesto que no se pueden verificar a la vez.

Y es que para cualquier suceso Acalculamos su complementario haciendo A¯¯¯¯=Ω−A,

por lo que A∩A¯¯¯¯=∅, es decir, dos sucesos complementarios siempre serán incompatibles.

Supongamos ahora que D="sacar un número par"={2,4,6}. Su complementario

es D¯¯¯¯="sacar un número impar"={1,3,5}. Entonces, D∪D¯¯¯¯="sacar un

número par o impar"={1,2,3,4,5,6}=Ω, es decir, es un suceso seguro.

Por cómo definimos un suceso complementario, esto siempre ocurrirá, ya que se cumple siempre uno de los dos, y como son incompatibles, o se cumple uno o se cumple el otro.

Experimentos aleatoriosSucesos compatibles e incompatiblesEn un experimento aleatorio hay sucesos que pueden ocurrir a la vez y sucesos que no.

Dos sucesos se dicen compatibles si tienen algún suceso elemental común. En este caso A∩B≠Ø, pueden ocurrir a la vez.

Dos sucesos se dicen incompatibles si no tienen ningún suceso elemental común, en este casoA∩B=Ø y no pueden ocurrir a la vez

Un suceso y su contrario son siempre incompatibles, pero dos sucesos incompatibles no siempre son contrarios, como se puede comprobar en los ejemplos de la escena.http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esomatematicasB/probabilidad/quincena12_contenidos_1c.htm

http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esomatematicasB/probabilidad/quincena12_contenidos_1c.htm

http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esomatematicasB/probabilidad/quincena12_contenidos_1c.htm

SUCESOS Y PROBABILIDAD

Sucesos incompatibles.

Son aquellos que no se pueden verificar simultaneamente. Cuando pueden verificarse ambos a la vez se llaman compatibles. Si A y B son incompatibles, entonces A B= Ø Si A y B son compatibles, entonces A B Ø

Sea el experimento aleatorio consistente en introducir 10 bolas numeradas del 1 al 10 en en una urna y extraer una de ellas.

Definimos los sucesos: A = "salir un número par" B = {1, 3, 9} C = "salir un múltiplo de tres"

Los sucesos A y B son in compatibles pues para niguna bola que saquemos se puede dar que salga par y que sea 1, 3 ó 9. En cambio los sucesos A y C son compatibles pues si la bola extraida es 6, será par y múltiplo de tres. Tabién son compatibles A y B pues tanto 3 como 9 son múltiplos de tres y pertenecen a B

http://www.ematematicas.net/probabilidad.php?tipo=incompatible

http://www.ematematicas.net/probabilidad.php?tipo=incompatible

Ejemplo de sucesos incompatibles


Dos sucesos , A y B, son incompatibles cuando no

t ienen ningún elemento en común .

Si A es sacar puntuación par a l t i rar un dado y B es obtener

múlt iplo de 5, A y B son incompatibles .

Eventos mutuamente excluyentes y eventos complementarios

Los eventos complementarios son dos resultados de un evento, siendo éstos los dos únicos resultados posibles.

Es como lanzar una moneda y que salga cara o cruz. Claro, no hay más opciones, así que estos eventos son complementarios.

Lanzar un dado y que salga 1 ó 2 no es complementario, ya que hay otros resultados posibles (3, 4, 5, ó 6).

Sin embargo, lanzar un dado y obtener 1 ó algo diferente a 1 son eventos complementarios (o sacas 1 o no sacas 1).

Los eventos mutuamente excluyentes son dos resultados de un evento que no pueden ocurrir al mismo tiempo.

Sacar una carta de un mazo estándar y que salga un as y un rey son eventos mutuamente excluyentes, ya que no pueden ocurrir los dos al mismo tiempo.

Sin embargo, sacar una carta roja y rey no son eventos mutuamente excluyentes, ya que puedes sacar perfectamente un rey rojo.

Todos los eventos complementarios son mutuamente excluyentes, pero todos los eventos mutuamente excluyentes no son necesariamente complementarios.

http://www.shmoop.com/estadistica-basica-probabilidades/eventos-mutuamente-excluyentes-complementarios.html

SUCESOS Y PROBABILIDAD

Suceso complementario.

Dado un suceso cualquiera A, se llama suceso complementario al formado por todos aquellos sucesos elementales que no están en A y se nota por Ac.

Si en el experimento "lanzar un dado" se define el suceso A = "salir un múltiplo de tres" A={3,6}, entonces Ac = {1,2,4,5}.

De la definición de suceso complementario se deduce inmediatamente que:



- A U Ac =

- A Ac = Ø

http://www.ematematicas.net/probabilidad.php?tipo=complementario

CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD

Experimento aleatorio: conjunto de pruebas cuyos resultados están determinados únicamente por el azar.

Espacio muestral: conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio

http://www.ematematicas.net/probabilidad.php?tipo=complementario

Punto muestral o suceso elemental: el resultado de una sola prueba de un experimento muestral

Suceso o evento: cualquier subconjunto de puntos muestrales

Sucesos mutuamente excluyentes: sucesos o eventos que no pueden ocurrir simultaneamente .

Sucesos complementarios: dos sucesos o eventos mutuamente excluyentes cuya unión es el espacio muestral

Sucesos independientes: sucesos o eventos que no tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro

Sucesos dependientes: sucesos o eventos que sí tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno sí afecta la ocurrencia del otro.

EJEMPLO: Se lanza un dado.

a) Encontrar el espacio muestral. Solución: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

b) Enumerar los puntos muestrales. Solución: Hay seis puntos muestrales: {1},{2},{3},{4},{5} y {6}.

c) Poner dos ejemplos de eventos. Solución: evento A = {resultado es impar} = {1, 3, 5}; evento B = {resultado es mayor que 2} = {3, 4, 5, 6}

d) ¿Son mutuamente excluyentes los siguientes eventos? A = {resultado menor o igual a 4}, B = {resultado es primo}. Solución: A = {1, 2, 3, 4} y B = {2, 3, 5} sí tienen dos puntos en común, 2 y 3. Por lo tanto, no son mutuamente excluyentes.

e) ¿Cuál suceso es complementario a M = {2, 6}? Solución: {1, 3, 4, 5}.

f) ¿Son dependientes o independientes los siguientes eventos? A = {obtener un 2 un el primer lanzamiento}, B = {obtener un 4 en el segundo lanzamiento}. Solución: Son independientes, porque obtener o no un 2 en el primer lanzamiento no afecta el resultado del segundo lanzamiento.

EJERCICIOS:

Se lanzan tres monedas y se anota el número de caras.

1) Encontrar el espacio muestral

2) Ejemplificar dos puntos muestrales

3) Ejemplificar un evento con tres puntos muestrales

4) ¿Son mutuamente excluyentes los siguientes eventos? A = {1, 2}, B = {0}

5) ¿Cuál suceso es complementario a P = {3}?

6) ¿Son dependientes o independientes los siguientes eventos? A = obtener un 1 en un lanzamiento, B = obtener un 3 en el siguiente lanzamiento.

Una bolsa opaca tiene tres bolas rojas y dos bolas amarillas, todas idénticas a excepción del color. Se saca una bola al azar y luego otra bola al azar, anotando el color de cada bola.

7) Encontrar el espacio muestral

8) Ejemplificar dos puntos muestrales

9) Ejemplificar un evento con dos puntos muestrales

10) ¿Son mutuamente excluyentes los siguientes eventos? A = {RA, AA}, B = {RR, RA}

11) ¿Cuál suceso es complementario a P = {RR}?

12) ¿Son dependientes o independientes los siguientes eventos?: A = {obtener una bola roja en primer lugar}, B = {obtener una bola amarilla en segundo lugar}.

http://www.amschool.edu.sv/paes/e6.htm

http://www.amschool.edu.sv/paes/e6.htm

Eventos Complementarios

Complementarios

Dos eventos son complementarios cuando su union es igual al espacio muestral, es decir, sean A y B Dos eventos de un experimento entonces A y B son eventos complementarios. EJEMPLO: Lanzar un dado. Omega = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Sale par: E1 = {2, 4 ,6} Sale impar. E2 = {1, 3, 5} Sale menor que 3. E3 = {1,2} Sale 3 o mas. E4 = {3,4,5,6} El y E2 son eventos complementarios y E3 y E4 son tambien eventos complementarios. Sale 5 El = {5} No sale 5 E2 =( 1,2,3,4,6} Por tanto El y E2 seran tambien eventos complementarios. - See more at: http://www.estadisticafacil.com/Main/EventosComplementarios#sthash.ekaMgj86.dpuf

Dos sucesos son independientes si y sólo si p(A B) = p(A) p(B).Si dos sucesos son independientes

y del mismo modo p(B|A) = p(B).

Esta propiedad coincide más con la idea intuitiva de independencia y algunos textos la dan como definición. Hay que notar, sin embargo, que ambas definiciones no son estrictamente equivalentes.

Ejemplo 7:

Para un hijo de una mujer portadora de Duchenne, el sexo y la enfermedad ¿son independientes?

Según vimos en el Ejemplo 3 el espacio muestral es = {xX, xY, XX, XY} Definimos los sucesos A = {varón} = {xY, XY}; B = {enfermo} = {xY} A B = {xY} por lo tanto p(A) = 0,5; p(B) = 0,25; p(A B) = 0,25 p(A) p(B) NO son independientes.

http://www.hrc.es/bioest/Probabilidad_16.html

http://www.hrc.es/bioest/Probabilidad_16.html

Independencia de sucesosDos sucesos son independientes entre sí, si la ocurrencia de uno de

ellos no afecta para nada a la ocurrencia del otro:

Ejemplo: el suceso estatura de los alumnos de una clase y el color del

pelo son independientes: el que un alumno sea más o menos alto no va

a influir en el color de su cabello, ni viceversa.

Para que dos sucesos sean independientes tienen que verificar al menos

una de las siguientes condiciones:

P (B/A) = P (B) es decir, que la probabilidad de que se de el suceso B,

condicionada a que previamente se haya dado el suceso A, es

exactamente igual a la probabilidad de B.

Ejemplo: la probabilidad de que al tirar una moneda salga cara (suceso

B), condicionada a que haga buen tiempo (suceso A), es igual a la propia

probabilidad del suceso B.

P (A/B) = P (A) es decir, que la probabilidad de que se de el suceso A,

condicionada a que previamente se haya dado el suceso B, es

exactamente igual a la probabilidad de A.

Ejemplo: la probabilidad de que haga buen tiempo (suceso A),

condicionada a que al tirar una moneda salga cara (suceso B), es igual a

la propia probabilidad del suceso A.

P (A L B) = P (A) * P (B) es decir, que la probabilidad de que se de el

suceso conjunto A y B es exactamente igual a la probabilidad del suceso

A multiplicada por la probabilidad del suceso B.

Ejemplo: la probabilidad de que haga buen tiempo (suceso A) y salga

cara al tirar una moneda (suceso B), es igual a la probabilidad del

suceso A multiplicada por la probabilidad del suceso B

Si el suceso A es independiente del suceso B, entonces el suceso

Btambién es independiente del suceso A.

Ejemplo 1º: analicemos dos sucesos:

Suceso A: la probabilidad de que haga buen tiempo es del 0,4

Suceso B: la probabilidad de tener un accidente es del 0,1

Suceso intersección: la probabilidad de que haga buen tiempo y tener

un accidente es del 0,08

Veamos si se cumple alguna de las condiciones señaladas:

P (B/A) = P (A L B) / P (A) = 0,08 / 0,4 = 0,2 (que no es igual a P (B))

P (A/B) = P (A L B) / P (B) = 0,08 / 0,6 = 0,133 (que no es igual a P (A))

P (A L B) = 0,08 (que no es igual a P (A) multiplicado por P (B))

Por lo tanto, no se cumple ninguna de las tres condiciones señaladas por

lo queestos dos sucesos no son independientes, sino que existe

algún grado de dependencia entre ellos.

Ejemplo 2º: analicemos dos sucesos:

Suceso A: la probabilidad de que haga buen tiempo es del 0,4

Suceso B: la probabilidad de salir cara al lanzar una moneda es del 0,5

Suceso intersección: la probabilidad de que haga buen tiempo y que

salga cara es 0,2

Veamos si se cumple alguna de las condiciones señaladas:

P (B/A) = P (A L B) / P (A) = 0,2 / 0,4 = 0,5 (igual que P (B))

P (A/B) = P (A L B) / P (B) = 0,2 / 0,6 = 0,4 (igual que P (A))

P (A L B) = 0,2 (igual a P (A) multiplicado por P (B))

Probabilidad condicionada.

El conocimiento de que ha ocurrido el suceso A modifica, en algunas ocasiones, la probabilidad del suceso B, pero en otras no. Los sucesos en los que, conociendo que uno ha ocurrido, no se modifica la probabilidad del otro, decimos que son independientes y, si se modifica, decimos que son dependientes entre sí.

Decimos que dos sucesos A y B son independientes entre sí si la ocurrencia de uno de ellos no modifica la probabilidad del otro, es decir, si

P( B/A ) = P( B ) ó P( A/B ) = P( A )

Decimos que dos sucesos A y B son dependientes entre sí si la ocurrencia de uno de ellos modifica la probabilidad del otro, es decir, si

P( B/A ) P( B ) ó P( A/B ) P( A )

Como consecuencia inmediata de la definición se tiene:

Dos sucesos A y B son independientes si se cumple:

P( A B ) = P( A ) · P( B )

Tres sucesos A, B y C son independientes si se cumplen a la vez:

P( A B ) = P( A ) · P( B )

P( A C ) = P( A ) · P( C )

P( B C ) = P( B ) · P( C )

P( A B C ) = P( A ) · P( B ) · P( C )

Probabilidad de Eventos Independientes Objetivo de Aprendizaje Calcular la probabilidad de eventos independientes. Introducción Algunas situaciones de probabilidad implican más de un evento. Cuando los eventos no se afectan entre sí, se les conoce como eventos independientes. Los eventos independientes pueden incluir la repetición de una acción como lanzar un dado más de

una vez, o usar dos elementos aleatorios diferentes, como lanzar una moneda y girar una ruleta. Muchas otras situaciones también pueden incluir eventos independientes. Para calcular correctamente las probabilidades, necesitamos saber si un evento influye en el resultado de otros eventos. Eventos Independientes La principal característica de una situación con eventos independientes es que el estado original de la situación no cambia cuando ocurre un evento. Existen dos maneras de que esto suceda:

Los eventos independientes ocurren ya sea cuando:

el proceso que genera el elemento aleatorio no elimina ningún posible resultado o el proceso que sí elimina un posible resultado, pero el resultado es sustituido antes

de que suceda una segunda acción. (A esto se le llama sacar un reemplazo.)

Aquí hay ejemplos de cada caso:

Situación EventosPor qué los eventos son independientes

Lanzas un dado, y si no sale 6, lanzas de nuevo. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un 6 en el segundo lanzamiento?

El primer lanzamiento no es un 6.El primer lanzamiento es un 6.

El hecho de que el primer lanzamiento no es un 6 no cambia la probabilidad de que el segundo lanzamiento sea un 6. (A algunas personas les gusta decir, "el dando no se acuerda qué sacaste antes.")

Sacas una canica de una bolsa con 2 canicas rojas, 2 blancas, y una verde. Observas el color, la pones de nuevo en la bolsa, y sacar otra canica. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una canica roja ambas veces?

Sacar una canica roja en el primer intento.Sacar una canica roja en el segundo intento.

Los eventos son independientes porque regresaste la primera canica a la bolsa y tu segundo intento fue con la bolsa en su estado original.

Sacas una carta de un mazo de 52 cartas, y luego lanzas un dado. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un 2 y luego lanzar y que caiga 2?

La carta es un 2.El dado cae en 2.

Aunque la carta no es regresada al mazo después de sacarla, el lanzamiento del dado no depende de las cartas, por lo que ningún posible resultado ha sido reemplazado. A pesar del resultado de sacar la carta, la probabilidad de del dado no será afectada.

Examinemos el segundo ejemplo. En el primer intento, la probabilidad de sacar una

canica roja es , porque hay 5 canicas y 2 de ellas son rojas. Si volvemos a poner la canica roja dentro de la bolsa, la probabilidad de sacar una canica roja en un segundo

experimento sigue siendo , y eso significa que los dos eventos son independientes. El resultado de un experimento no afecta el resultado del otro. Pero, ¿qué hubiera pasado si no pones la primera canica de nuevo en la bolsa? La probabilidad de sacar una canica roja será diferente para el segundo intento. Si una

canica roja es eliminada, en el segundo intento la probabilidad será ahora de porque sólo quedan 4 canicas y una es roja. Ahora veamos el primer ejemplo. Supongamos que el dado se lanzó 15 veces sin sacar

un 6. En el siguiente lanzamiento , ¿es la probabilidad de sacar un igual a , o es mayor? Algunas personas creen que en el siguiente lanzamiento es más probable que les salga un 6 porque "¡Ya me toca un 6!" — el dado no puede recordar qué fue lo que sacó antes. Si bien es un poco inusual tirar un dado 16 veces sin sacar un 6, la probabilidad de sacar un 6 en 15 tiradas ha sido la misma en cualquiera de las tiradas.

Latonya está jugando un juego de cartas. Empieza con 10 cartas, numeradas del 1 al 10, y que están boca abajo por lo que no puede ver los números. Ella escoge una carta al azar (de forma aleatoria) y la voltea. Si la carta es mayor que 5, la carta es "ganadora" y la pone en una pila de cartas "ganadoras", Si la carta es 5 o menor, la pone en una pila de cartas "perdedoras". Ella gana el juego si logra juntar tres cartas en la pila ganadora antes de juntar tres cartas en la pila perdedora.

Elige el enunciado que mejor describe la situación.

A) Los eventos son independientes, porque el juego no elimina ningún resultado.B) Los eventos son independientes, porque cada ronda tiene los mismos posibles resultados (ganar o perder).C) Los eventos no son independientes, porque un resultado es eliminado en cada turno y no es reemplazado.

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Probabilidad de Eventos Independientes Veamos el espacio muestral y el espacio de eventos de los ejemplos de la sección anterior. Lanzas un dado dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un 6 en el segundo tiro

pero no en el primero?

En este ejemplo, el dado es lanzado dos veces.Primer lanzamiento

1 2 3 4 5 6Segundo

lanzamiento

1 1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,12 1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,23 1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,34 1,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,45 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,56 1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6

Existen 6 resultados posibles para el primer tiro, y para cada uno de ellos, hay 6 resultados posibles para el segundo tiro. Hay 6 • 6, o 36, resultados posibles:

Espacio muestral: {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5),

(6,6)} El espacio muestral consiste en todos los resultados para los cuales el primero tiro no fue 6, y el segundo tiro fue 6. Para el primer lanzamiento existían 5 resultados posibles que no son 6. Para cada uno de ellos, existía sólo un posible resultado que era 6. Entonces hay 5 • 1 o 5 resultados en el espacio de eventos:

Espacio de eventos: {(1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6)} Nota que el tamaño del espacio muestral para ambos lanzamientos es el producto del tamaño del espacio muestral para cada lanzamiento. De manera similar, el tamaño del espacio de eventos par dos lanzamientos es el producto del tamaño de los espacios de eventos de cada lanzamiento. Veamos el escenario 2: Sacas una canica de una bolsa que contiene 2 canicas rojas, 2 blancas, y una verde.

Anotas el color, regresas la canica a la bolsa, y sacas otra canica. ¿Cuál es la probabilidad de sacar canica roja ambas veces?

Para ayudarnos a recordar que hay dos canicas rojas, las nombraremos R1 y R2. Haremos lo mismo con las canicas blancas, W1 y W2.

Primera sacadaR1 R2 W1 W2 G

Segunda

sacada

R1 R1,R1 R2,R1 W1,R1 W2,R1 G,R1R2 R1,R2 R2,R2 W1,R2 W2,R2 G,R2W1 R1,W1 R2,W1 W1,W1 W2,W1 G,W1W2 R1,W2 R2,W2 W1,W2 W2,W2 G,W2G R1,G R2,G W1,G W2,G G,G

El espacio muestral para la primera sacada tiene 5 resultados, {rojo, rojo, blanco, blanco, verde}. Como la primera canica es devuelta a la bolsa, le espacio muestral para la segunda sacada es el mismo. Por cada opción de la primera sacada, hay 5 opciones para la segunda, Existen 5 • 5 o 25 resultados posibles:

Espacio muestral: {(R1,R1), (R1,R2), (R1,W1), (R1,W2), (R1,G), (R2,R1), (R2,R2), (R2,W1), (R2,W2), (R2,G), (W1,R1), (W1,R2), (W1,W1), (W1,W2), (W1,G), (W2,R1), (W2,R2), (W2,W1), (W2,W2), (W2,G), (G,R1), (G,R2), (G,W1), (G,W2), (G,G)}

El espacio de eventos para la primera sacada consiste en las dos canicas rojas. Para cada una de ellas, hay dos canicas rojas que pueden escoger en la segunda sacada. Existen 2 • 2 o 4 resultados en el espacio de eventos:

Espacio de eventos: {(R1,R1), (R1,R2), (R2,R1), (R2,R2)} De nuevo, nota que el tamaño del espacio muestral para las dos sacadas es el producto del tamaño de los espacios muestrales de cada sacada. De manera similar, le tamaño del espacio de eventos para las sacadas combinadas es igual al producto del tamaño de los espacios de eventos de cada sacada. Ahora, veamos las probabilidades para las tres situaciones, usando la razón del tamaño del espacio de eventos con el tamaño del espacio muestral:

SituaciónProbabilidad del

primer evento

Probabilidad del segundo

evento

Probabilidad de ambos eventos

Lanzar dados

Sacar canicas

Podemos derivar la fórmula a partir de estos datos. Como el espacio de eventos para una situación puede calcularse multiplicando los espacios de eventos de cada evento independiente, y el espacio muestral de la situación puede encontrarse multiplicando los espacios muestrales de cada evento independiente, tenemos:

Esto es válido para todas las situaciones con eventos independientes. También puede extenderse a más de dos eventos.

Si A y B son eventos independientes, P(A y B) = P(A) • P(B).

En general, para cualquier número de eventos independientes, la probabilidad de que todos los eventos sucedan es el producto de las probabilidades de que sucedan los eventos individuales.

Vamos a aplicar esto a un problema:

Ejemplo

Problema Beth tiene 10 pares de calcetines: 2 negros, 2 cafés, 3 blancos, 1 rojo, 1 azul, y 1 verde. Hoy quiere usar el par blanco, pero tiene prisa para llegar al trabajo, por lo que agarra un para al azar. Si no es blanco, lo devolverá al cajón. Si continúa agarrando pares aleatoriamente, ¿Cuál es la probabilidad de sacar un par blando en su tercer intento?

Evento A: un par de calcetines que no son blancos

Evento B: un par de calcetines que no son blancos

Evento C: un par de calcetines que son blancos

Primero, definimos los eventos. Como queremos que ella saque unos blancos en su tercerintento, es necesario que no saque blancos en su primer y segundo intentos

Los eventos son independientes, porque cada resultado eliminado es reemplazado. Los eventos anteriores no cambian las probabilidades de eventos posteriores

Ahora revisa si son independientes. Beth elimina un resultado cuando saca un par de calcetines, pero luego lo regresa al cajón, entonces las probabilidades no cambiarán

El tamaño de espacio muestral para cada evento es 10 (Hay 10 pares de calcetines de donde escoger)

El tamaño del espacio de eventos para el Evento A y el Evento B es 7. (Hay 7 pares que no son blancos)

El tamaño del espacio de eventos del Evento C es 3. (Hay 3 pares que son blancos)

Podríamos encontrar el espacio muestral y el espacio de eventos para todo el experimento y calcular la razón. Sin embargo, como los eventos son independientes, es más fácil encontrar los espacios muestrales y los espacios de eventos de los eventos individuales y multiplicarlos

Solución

Carlos tiene un mazo de 15 cartas numeradas del 1 al 15. Saca una carta al azar, ve el número, y la revuelve de nuevo en el mazo. ¿Cuál es la probabilidad de que no le salga una carta menor o igual a 5 en el primer intento, pero que sí le salga una carta menor o igual a 5 en el segundo intento?

A)

B)

C)

D)

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http://www.montereyinstitute.org/courses/Algebra1/COURSE_TEXT_RESOURCE/U12_L2_T2_text_final_es.html



Sucesos independienteDefinición

Decimos que dos sucesos y son independientes entre sí si la ocurrencia de uno de ellos no modifica la probabilidad del otro, es decir, si:

o lo que es lo mismo:

Ejemplos

Calcula la probabilidad de que al extraer 3 cartas, con reemplazamiento, de una baraja española,

sean todas copas.

Como la carta extraída se vuelve a introducir, los sucesos son independientes y la probabilidad buscada es:

donde denota el suceso salir copas en la extracción número .

Calcula la probabilidad de que al extraer 3 cartas, sucesivamente, de una baraja española, sean todas copas.

En este caso, los sucesos no son independientes.

suce sos

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