SUBPRESION EN LA BASE DE UNA PRESA, DESARROLLO DE LA

ECUACIÓN DE CONSOLIDACIÓN UNIDIMENSIONAL DE TERZAGHI Y

COEFICIENTE DE COMPRESIBILIDAD VOLUMÉTRICA EN FUNCIÓN DEL

COEFICIENTE DE COMPRESIBILIDAD.

PRESENTADO POR:

LUIS MIGUEL GUTIERREZ RAMIREZ - 215083

DANIEL FERNANDO LÓPEZ VARGAS - 214827

KEVIN CALDERON CASTAÑEDA - 215151

JUAN DAVID QUIROGA CARDONA - 215084

JUAN PABLO ROMERO BERMUDEZ - 215101

PRESENTADO A:

ING. GUILLERMO EDUARDO AVILA

MECANICA DE SUELOS

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA – SEDE BOGOTÁ

FACULTAD DE INGENIERÍA

Departamento de Ingeniería Civil y Agrícola

BOGOTÁ D. C.

2013

1. SUPRESIÓN EN LA BASE DE LA PRESA

La figura 2.1 muestra la sección transversal de una presa de concreto de gran longitud

que esta cimentada en arena isotrópica con Kx=Kz=10-4 m/s y tiene una densidad saturada

de 2 Mg/m3. Calcular la subpresión en la base de la presa y realizar equilibrio de

momentos en F.

DESARROLLO

Las estructuras construidas sobre un suelo permeable deben ser sometidas a un

detallado análisis que considere el flujo ascendente que se da bajo la misma, situación

que representa un empuje dado por la presión intersticial en la base de la estructura, que

para el caso actual es una presa. Dicha fuerza puede ser determinada mediante un

procesamiento numérico acompañado de un esquema que permita visualizar la red de

flujo del sistema, tal como se ilustra en la figura 2.2.

Figura 2.1. Sección transversal de una presa.

FIGURA 2.1. Red de flujo de la presa.

A partir de la figura anterior se obtienen los siguientes aspectos:

o

o

o

o

Datos con los cuales se calcula las pérdidas de energía entre líneas equipotenciales:

Se procede entonces a evaluar la carga de presión en cada uno de los puntos ubicados

en la base de la presa, datos que conforman la distribución de carga de presión bajo esta

(figura 2.1), y que al ser multiplicados por el peso especifico del agua permiten obtener la

correspondiente distribución de presión intersticial.

La carga de presión, carga total y presión intersticial son calculadas por las siguientes

expresiones:

En donde:

o : carga total en el punto i (m)

o : carga total en la línea equipotencial AB (m)

o : numero de descargas que se presentan desde AB hasta el punto i

o : perdida de energía entre líneas equipotenciales (m)

o : carga de presión en el punto i (m)

o : carga de elevación del punto i (m)

o : presión intersticial (KN/m2)

o : peso especifico del agua (KN/m3)

El correspondiente análisis de cada punto se da a continuación:

Punto 1

Punto 2

Punto 3

Punto 4

Punto 5

Punto 6

Punto 7

Para este caso se interpola el número de descargas que debe aplicarse en la

ecuación.

Los datos anteriores son recopilados y consignados en la tabla 2.1.

Punto Carga Posición (m)

Carga Presión (m)

Carga Total (m)

Presión Intersticial (KN/m^3)

1 12,0 10,5 22,5 103,0

2 12,0 10,0 22,0 98,1

3 12,0 9,5 21,5 93,2

4 12,0 9,0 21,0 88,3

5 12,0 8,5 20,5 83,4

6 12,0 8,0 20,0 78,5

7 12,0 7,75 19,75 76,0

Tabla 2.1. Tabla resumen para datos de determinación de la supresión en la presa.

El paso siguiente es calcular la fuerza de empuje (E) resultante, para lo cual se exhiben

dos metodologías similares. La primera de ellas consiste en determinar el área de la

distribución de carga de presión, aproximando la estructura de esta a una serie de

trapecios cuyos límites están dados por los valores de ; seguido de realizar el producto

entre el valor del área hallada y el peso especifico del agua.

Por metro de longitud de presa

El método resultante se basa en calcular el área de la distribución de presión intersticial,

bajo el mismo procedimiento descrito anteriormente, lo cual debe arrojar el mismo

resultado.

Se demuestra entonces que las estructuras susceptibles a situaciones de flujo de carácter

ascendente deben estudiarse desde el punto de vista de la estabilidad, puesto que la

presión que genera el fluido actúa disminuyendo el esfuerzo efectivo del suelo, lo que

implica una disgregación de las partículas del mismo y por tanto una reducción en su

resistencia.

2. ECUACIÓN DE CONSOLIDACIÓN UNIDIMENSIONAL DE TERZAGHI:

Para la solución se consideran las siguientes condiciones de frontera:

1. Para un tiempo t=0, la presión de poros Ue es igual a la presión de poros inicial

entre 0≤z≤H; con H la mitad del espesor del estrato.

2. Para todo tiempo t, el cambio en la presión de poros con respecto a z es igual a 0

;

3. La presión de poros para z=H es 0 en un tiempo t.

Matemáticamente las condiciones son:

1. Para t=0; ; en 0≤z≤H.

2. Para z=0; ; en t=t.

3. Para z=2H; ; en t=t.

La ecuación diferencial de Terzaghi se puede resolver bajo el método de separación de

variables. Para esto se supone una solución de modo u(z,t), donde esta se expresa como

el producto de de dos funciones z y t.

4.

Al sustituir la ecuación 4 en la ecuación de Terzaghi se obtiene:

5.

6. Al reordenar 5

La ecuación 6 se cumple para todo z y t solo si ambos lados de la igualdad son iguales a

un factor λ, y a través de esta constante es posible separar la ecuación diferencial de la

siguiente manera.

7.

8.

Ahora se tienen dos ecuaciones lineales que se resuelven con sus ecuaciones auxiliares y

raíces son:

9.

Y la solución general para (7.) es:

10.

Teniendo en cuenta la ecuación 4 tenemos:

0=Z(0)T(t)

0=Z(2H)T(t), para t=t;

Se obtiene:

11.

Al sustituir el primer resultado 11 En la ecuación 10

12.

Recordando:

La ecuación 12 se puede escribir:

13. z

Al sustituir el segundo resultado 11 En la ecuación 13:

14.

Y la ecuación 14 es verdadera solo si:

15. para todo n entero.

Al sustituir este valor de λ en la ecuación 13:

16.

Por otro lado la solución general para (8.) es:

17.

Con el valor encontrado en 15 la ecuación 17 pasa a ser:

18.

Por tanto la solución para la ecuación 4 es:

19.

An es un factor que encierra las constantes y depende de la n que utilicemos.

Para considerar la familia completa de soluciones para la ecuación, es necesario

considerar una suma infinita de funciones de la forma 19. Esto se debe a que cada

combinación lineal de la misma también será solución.

Para un t=0 la parte exponencial de la ecuación es 1, y de allí se observa que la ecuación

25. Tiene forma senoidal:

20.

Y la solución para u es:

21.

Para hallar el valor de An que satisfaga las condiciones iníciales se procede a la

realización de la serie de Fourier.

Para el tiempo t=0, la ecuación se reduce a:

Y al multiplicar a ambos lados por y al integral entre 0 y “H se llega a:

22.

23. con m=entero positivo.

Es evidente que para un m par el Am es igual a 0; mientras para un m impar el Ames

Entonces la solución 21 con el valor de Am y sustituyendo m=2n+1 tenemos:

24.

La anterior es la solución requerida para u.

3. COEFICIENTE DE COMPRESIBILIDAD VOLUMÉTRICA EN FUNCIÓN DEL

COEFICIENTE DE COMPRESIBILIDAD.

El coeficiente de compresibilidad, y el coeficiente de compresibilidad volumétrico se

obtienen de realizar los siguientes análisis del suelo bajo un incremento de carga:

El coeficiente de compresibilidad se obtiene de considerar que el cabio de esfuerzo

vertical efectivo es proporcional al cambio de relación de vacíos, es decir, a medida que

se aumenta la carga la relación de vacíos se reduce, por lo cual la expresión tendrá un

signo negativo.

El coeficiente de compresibilidad volumétrica es el resultado de observar cómo se

comporta la deformación en el suelo al aumentar la carga aplicada a este, y por ende

aumentar su esfuerzo efectivo.

Reemplazando la primera ecuación en la segunda obtenemos el coeficiente de

compresibilidad volumétrica en términos de coeficiente de compresibilidad:

BIBLIOGRAFÍA

http://www.ing.unlp.edu.ar/constr/g1/Capitulo%205%20Consolidacion%20de%20s

uelos.pdf

Mecánica de suelos- Peter Berry, Capitulo 4, Editorial Mc Graw Hill.