Apuntes sobre Subgrupos y el Teorema de

Lagrange

J. Armando Velazco

24 de junio de 2012

Capıtulo 1

Subgrupos

1.1. Subgrupos

Definicion Sea (G, ·) un grupo. Sea ∅ 6= H ⊆ G. Se dice que H es un subgruposi H es un grupo con respecto a la operacion · en G. Se denotara por H ≤ G siH es subgrupo de G. Ademas, si H ⊂ G se dira entonces que H es un subgrupopropio de G y se denotara por H < G

Observacion Todo grupo G posee dos grupos llamados triviales {e} y desdeluego, G mismo. En algunos textos son llamados tambien grupos impropios deG.

Definicion Un subgrupo H 6= {e} es un subgrupo minimal de G si no existeun subgrupo no trivial J contenido en H. Un subgrupo H 6= G es un subgrupomaximal si H no esta contenido en otro subgrupo propio K de G.

Para ver si un conjunto H ⊆ G es un subgrupo tenemos a nuestra disposicionel siguiente

Teorema 1.1.1 Un subconjunto H de un grupo G es un subgrupo de G si ysolo si:

i) H es cerrado bajo la operacion binaria · en G.

ii) El elemento identidad e ∈ G pertenece tambien a H.

iii) Para todo x ∈ H se tiene que x−1 ∈ H

Demostracion ⇒) Es inmediato de la definicion de subgrupo.⇐) Como H debe ser un grupo en si mismo, vemos que al cumplirse las

condiciones i), ii) y iii) nos resta solo probar la asociatividad de la operacion:como H ⊆ G en particular se tiene que para todo x, y, z ∈ H se cumple quex · (y · z) = x · (y · z)

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A menudo, podemos probar que un determinado conjunto H ⊆ G es unsubgrupo mediante el siguiente

Teorema 1.1.2 Un subconjunto H es un subgrupo de un grupo G si H 6= ∅ ypara todos x, y ∈ H se tiene que x · y−1 ∈ H.

Demostracion Sea x ∈ H, tal elemento existe pues H 6= ∅ por hipotesis,ademas, tenemos entonces que e = x · x−1 ∈ H. Ası, para todo y ∈ H tenemosque y = e · y lo que implica que y−1 ∈ H Por ultimo, resta probar la cerradurade la operacion ·: Para ello considere que y = (y−1)−1 y por lo tanto parax, y−1 ∈ H tenemos que x · (y−1)−1 = x · y ∈ H.

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Corolario 1.1.3 Sea H 6= ∅ un subconjunto de un grupo G finito, entoncesH ≤ G si para todo x, y ∈ H se tiene que x · y ∈ H.

Demostracion Por hipotesis H 6= ∅ y H es cerrado bajo la operacion ·, enton-ces tenemos que para algun x ∈ H se cumple e = xk ∈ H para algun k ∈ N, puesel grupo G es finito. Mas aun, por la finitud de G se tiene esto para cualquierx ∈ H. Ası, sin perdida de generalidad, tomando un x ∈ H arbitrario tenemosque xk−1 = x−1 ∈ H. Por lo tanto H es un subgrupo.

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¿ Como formar un subgrupo a partir de 2 subgrupos dados? de maneranatural se tiene el siguiente

Lema 1.1.4 Sean H ≤ G y K ≤ G entonces (H ∩K) ≤ G.

Demostracion Por hipotesis H ∩ K 6= ∅, de la definicion de interseccion deconjuntos es claro que ∀x, y ∈ H ∩K se tiene que xy ∈ H ∩K y x−1 ∈ H ∩K.

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A partir del lema anterior podemos afirmar entonces que

Teorema 1.1.5 Sea Hi, i ∈ N una familia de subgrupos de un grupo G. En-tonces ∩i∈NHi es tambien un subgrupo. Mas aun esto es valido para cualquierconjunto de ındices I.

Demostracion Inmediato, solo hay que verificar las propiedades de un sub-grupo.

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Ejemplo El 4-grupo de Klein, usualmente denotado por V debido a su nombreen aleman vierergrouppe es el siguiente:

V = {e, a, b, c}Este grupo posee 3 subgrupos propios no triviales, desde luego, e denota al

elemento identidad:

{e, a}, {e, b}, {e, c}A continuacion se muestra la tabla de grupo

· e a b ce e a b ca a e c bb b c e ac c b a e

Observe que en este grupo cada elemento es su propio inverso. Ademas, cadasubgrupo consta de solo 2 elementos: ¿porque, por ejemplo, el conjunto {e, a, b}no puede ser subgrupo? no puede ser subgrupo debido a que tal subconjuntono es cerrado bajo la operacion definida en V . Como nota curiosa, podemosdecir que si en esta estructura de subgrupos se definiera un orden mediantela inclusion de conjuntos, vemos que tenemos una estructura finita que poseeelementos no comparables entre si.

Probar que V mismo es un grupo es una tarea un tanto laboriosa: Probar laasociatividad de la operacion involucra verificar alrededor de 64 ecuaciones deltipo x(yz) = (xy)z donde x, y, z ∈ V . Sin embargo, hay una alternativa: probarque V es un subgrupo del grupo de permutaciones S4.

1.2. Subgrupos Cıclicos

Definicion Sea G un grupo y y a ∈ G. Se define el orden de G, denotado por|G| o por ord(G) como la cardinalidad del conjunto G. Se define tambien elorden de a, denotado por ord(a) como el menor n tal que

an = e

donde e es la identidad en G. Si tal n no existe, entonces se dice que ord(a) =∞

Si G es un grupo cualquiera, y a ∈ G podemos obtener un subgrupo a partir dea.

Teorema 1.2.1 El conjunto H = {an : n ∈ Z} es un subgrupo de G.

Demostracion Sea m,n ∈ Z entonces aman = am+n ∈ H por lo que la opera-cion esta bien definida. Es claro que a0 = e ∈ H para toda a ∈ H y por ultimo,si an ∈ H entonces a−n ∈ H, por lo tanto H ≤ G.

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Definicion Si G es un grupo y a ∈ G escribimos

〈a〉 = {an : n ∈ Z}

Para denotar al subgrupo cıclico de G generado por a. Un grupo G es llamadocıclico si existe a ∈ G de tal modo que G = 〈a〉, caso en el cual a recibe el nombrede generador de G.

Una pregunta interesante, al respecto, es ¿cuantos elementos tiene el subgru-po 〈a〉? Cuando el conjunto 〈a〉 es finito la respuesta es relativamente sencilla,sin embargo, cuando el conjunto se torna infinito se requiere un poco mas deargumentos para dar la respuesta correcta.

Lema 1.2.2 Sea G un grupo, a ∈ G. Si am = e entonces ord(a) | m.

Demostracion Sea m ∈ N tal que am = e y ord(a) = n ≤ m. Entonces existenq, r ∈ N tales que

m = nq + r, q ≥ 1, 0 ≤ r < n

Ası e = am = anq+r = (an)qar = ar

como r < n y n := min{n ∈ N : an = e} entonces r = 0 lo que implica quen | m.

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Teorema 1.2.3 Si H = 〈a〉 entonces |H| = ord(a).

Demostracion Debemos considerar dos casos, para llevar a cabo la demostra-cion:

caso I ord(a) =∞) Considere la siguiente funcion

ϕ : Z −→ G

i 7−→ ai

Ası definida ϕ es una funcion inyectiva de Z en G. Sean i, j ∈ Z sin perdidade generalidad es posible suponer i > j y tales que ai = aj entonces

ai−j = e⇔ i− j = 0

lo que es una contradiccion pues por hipotesis ord(a) = ∞. Por lo tanto|H| =∞.

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caso II ord(a) = n) Sean i, j ∈ {0, 1, . . . , n− 1} tales que ai = aj . Sin perdida de generalidades posible suponer que i > j. Ası, tenemos que

ai−j = e⇒ n | (i− j)

Lo que unicamente ocurre si i = j Por lo tanto |H| = n

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Ahora que conocemos los grupos cıclicos, podemos decir algunas cosas acercade ellos, como por ejemplo

Teorema 1.2.4 Todo Grupo cıclico es abeliano.

Demostracion Sea G un grupo cıclico y sea a el generador, esto es

G = 〈a〉 = {an|n ∈ Z}

Entonces, si g1, g2 son dos elementos en G tenemos que g1 = ar, g2 = as paraalgunos r, s ∈ Z Ası tenemos entonces que:

g1g2 = aras = ar+s = as+r = asar = g2g1

Como g1, g2 son arbitrarios se tiene entonces que G es abeliano.

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De manera natural se espera tambien que

Teorema 1.2.5 Si G es un grupo cıclico y H ≤ G entonces H es cıclico.

Demostracion Sin perdida de generalidad suponga que H 6= {e}, pues resul-tarıa trivialmente cıclico. Como H ≤ G entonces ak ∈ H para algun k ∈ Z+.Sea m ∈ Z+ el mınimo entero para el que se cumple que am ∈ H y sea c = am.Para cualquier b ∈ H ⊆ G tenemos que b = an para algun n. Ahora, por elalgoritmo de la division tenemos entonces que existen q, r ∈ Z tales que

n = mq + r, 0 ≤ r < m

entoncesan = amq+r = (am)qar

Por ser H ≤ G se tiene quear = (am)−qan

lo que implica que ar ∈ H, como 0 ≤ r < m⇒ r = 0⇒ n = mq es decir

b = (am)q = cq

Es decir, H es un grupo cıclico en sı.

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Como ultima parte de esta seccion se enuncia un teorema que describe laestructura de los subgrupos de un grupo cıclico finito.

Teorema 1.2.6 Sea G un grupo cıclico con n elementos y generado por a. Seab = as ∈ G. Entonces, b genera un subgrupo cıclico H de orden n/d donded = mcd(n, s) (maximo comun divisor de n y s). Ademas

〈as〉 = 〈at〉 ⇔ mcd(s, n) = mcd(t, n)

.

Corolario 1.2.7 Si a es un generador de un grupo G finito, con |G| = n,entonces los otros generadores de G tienen la forma ar donde mcd(r, n) = 1, esdecir n y r son primos relativos.

Ejemplo Pruebe que si H y K son subgrupos de un grupo abeliano G, entoncesHK = {hk | h ∈ H, k ∈ K} en un subgrupo de G.

H y K son no vacıos, por ser subgrupos, por lo tanto HK 6= ∅ pues al menosel elemento identidad se halla en HK. Ahora bien, sean h1k1, h2k2 ∈ HK; porestar h2k2 ∈ G entonces (h2k2)−1 = k−12 h−12 y ademas, por ser G abelianotenemos que

k−12 h−12 = h−12 k−12

Entonces, por la conmutatividad de la operacion en G:

(h1k1)(h2k2)−1 = (h1k1)(k−12 h−12 ) = (h1h−12 )(k1k

−12 ) ∈ HK

Y ası, HK es un subgrupo de G.

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Ejemplo Pruebe que un grupo cıclico con unicamente un generador puede tenera lo mas dos elementos.

Suponga que G es generado por un elemento a 6= e, donde e es la identidad.G es finito, pues, en el conjunto

< a >= {e, a, a2, . . . , ak−1}

Existe a−1 = ak−1 para algun k ∈ N∗. Por definicion se tiene que

ak = ak−1a = e

Y por lo tanto ord(G) = k <∞. Por otro lado, se tiene tambien que

(a−1)k−1 = (ak−1)−1 = a

Como por hipotesis el generador en G es unico, se tiene entonces que

(a−1)k−1 = a⇒ k − 1 = 1⇔ k = 2

Lo que implica que el ord(G) = 2, por supuesto, tomando en cuenta que a 6= e.En el caso en que a = e entonces ord(G) = 1.

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Ejemplo Pruebe que si G es un grupo abeliano con identidad e, entonces todoslos elementos x ∈ G tales que x2 = e forman un subgrupo de G. Generalice elcaso donde n ≥ 1 es un entero fijo y H = {x ∈ G | xn = e}.

Se hara la demostracion cuando n ≥ 1 quedando el caso n = 2 como uncaso particular: H 6= ∅ Pues al menos x = e ∈ H. Por otro lado, sean x, y ∈ Hentonces xn = e y yn = e. Es claro que, en particular, si y ∈ H entonces y−1 ∈ Hpues

(yn)−1 = (y−1)n = e

Ası, dado x, y ∈ H se tiene que, por la conmutatividad de la operacion en G,

(xy−1)n = xn(y−1)n = (e)(e) = e

es decir, xy−1 ∈ H.

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Capıtulo 2

El Teorema de Lagrange

2.1. Clases Laterales

Sea H un subgrupo de G, donde G puede ser de orden finito o infinito. Esposible presentar una particion de G mediante H y la definicion de una relacionde equivalencia, de la siguiente manera:

Definicion Sea H ≤ G. Se define la relacion siguiente ∼L por

a ∼L b⇔ a−1b ∈ H

Analogamente, tenemos la definicion correspondiente para ∼R dada por

a ∼R b⇔ ab−1 ∈ H

Lema 2.1.1 ∼L y ∼R son, ambas, relaciones de equivalencia en G.

Demostracion Basta con ver que se cumple las propiedades de toda relacionde equivalencia, por lo que solo se probara el caso de ∼L pues el caso ∼R escompletamente analogo, ası, nuestra relacion debe ser:

i)Reflexiva: Sea a ∈ G entonces a−1a = e ∈ H ⇒ a ∼L a

ii)Simetrica: Sea a ∼L b entonces, por definicion a−1b ∈ H, dado que H ≤ G tenemosque (a−1b)−1 ∈ H lo que implica entonces que b−1a ∈ H ⇔ b ∼L a.

iii) Transitiva: Dado que H ≤ G tenemos entonces que si a−1b ∈ H y b−1c ∈ H entonces(a−1b)(b−1c) ∈ H ⇔ a ∼L b, b ∼L c⇒ a ∼L c.

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Sin perdida de generalidad se hablara de la relacion ∼L haciendo notar quetodo lo que se diga al respecto sera valido tambien para la relacion ∼R.

Como se mencionaba, la relacion ∼L induce una particion de G: supongaa ∈ G entonces la celda que contiene a a consta de todos los x ∈ G tales que

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a ∼L x es decir, tales que a−1x ∈ H lo que implica x = ah para algun h ∈ H,en otras palabras, la celda de la que hablamos, puede ser representada por

{ah | h ∈ H}

Lo que da lugar a la siguiente

Definicion Sea H ≤ G, el subconjunto aH = {ah | h ∈ H} de G es llamadoClase lateral izquierda de H que contiene a a. Se define de manera similar elsubconjunto Ha = {ha | h ∈ H} de G como Clase lateral derecha de H quecontiene a a.

Dado que las clases laterales inducen una particion tenemos entonces que

Lema 2.1.2 Sean aH y bH dos clases laterales izquierdas, entonces, si aH ∩bH 6= ∅ entonces aH = bH

Demostracion Claramente, si ah1 = bh2 ⇒ a ∈ bH y de igual manera setendrıa que b ∈ aH por lo tanto aH = bH.

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Teorema 2.1.3 Hay una correspondencia biyectiva entre dos clases lateralesizquierdas cualesquiera de H en G.

Demostracion Seaϕ : aH −→ bH

ah 7→ bh

Note que la cardinalidad de aH, denotada como |aH|, se mantiene constantepara cada a ∈ G por lo que la aplicacion es claramente sobreyectiva La inyecti-vidad de ϕ viene de que si bh1 = bh2 entonces, por la ley de cancelacion validaen cualquier grupo, en particular en H se tiene que h1 = h2.

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Definicion El numero de clases laterales izquierdas se conoce como el ındicede H en G y se denota por [G : H]

De lo anterior podemos inferir que si H ≤ G entonces

G =⋃a∈G

aH

Cuando G <∞, es decir, el orden es finito, se tiene el interesante resultadoconocido como el teorema de Lagrange.

Teorema 2.1.4 (Teorema de Lagrange) Sea H ≤ G, con |G| <∞ entonces

ord(G) = [G : H]ord(H)

es decir, ord(H) | ord(G).

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Demostracion Como ord(G) = n para algun n ∈ N∗ tenemos, en particular,que

G =⋃a∈G

aH ⇒ |G| = |⋃a∈G

aH|

Si ord(H) = m entonces tenemos que

ord(G) = n = rm = [G : H]ord(H)

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Como una aplicacion inmediata del teorema de Lagrange tenemos los si-guientes

Corolario 2.1.5 Todo grupo de orden primo es cıclico.

Corolario 2.1.6 Sea G un grupo finito y a ∈ G entonces ord(a) | G.

Demostracion Considere el siguiente subgrupo H = {an | n ∈ Z}, y aplicandoahora el teorema de Lagrange tenemos el resultado.

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Corolario 2.1.7 Si G es un grupo finito y a ∈ G entonces aord(G) = e.

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