CAPTULO I I I 13

ALGUNAS PROPIEDADES DEL TRINGULO

Conocimientos previos: - Suponemos conocido lo siguiente:

a) El lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de dos puntos dados A y B, es una recta, llamada mediatriz de AB, que es perpendicular a AB en su punto medio.

b) El lugar geomtrico de los puntos del interior de un ngulo que

equidistan de los lados del mismo, es una semirrecta llamada bisectriz del ngulo.

c) Lugar geomtrico = conjunto de puntos que cumplen una

determinada condicin.

d) Segmentos de paralelas comprendidos entre paralelas son iguales.

e) Al cortar dos paralelas por una secante, se obtienen:

- ngulos alternos internos, iguales.

- ngulos alternos externos, iguales. - ngulos correspondientes, iguales

- ngulos conjugados, suplementarios.

f) Los criterios de congruencia de tringulos:

1) Si dos tringulos tienen respectivamente iguales dos lados y el ngulo que forman, son congruentes.

2) Si dos tringulos tienen respectivamente iguales un lado y los

dos ngulos contiguos, son congruentes.

3) Si dos tringulos tienen respectivamente iguales los tres lados, son congruentes. (Congruentes = superponibles mediante un movi miento).

g) La tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que pasa por el punto de contacto.

- Tambin se supone conocido lo siguiente: Trazar: la mediatriz de un segmento; Ia perpendicular a una recta desde un punto cualquiera del plano; y la para lela a una recta que pase por un punto dado; usando como herramientas la regla y el comps.

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Teorema III-1 Las tres mediatrices de un tringulo se cortan en un punto, llamado circuncentro, que es el centro de la cir cunfe rencia circunscrita al tringulo.

Dem.: Sea un tringulo ABC. La mediatriz de AB y de BC se cortan en un punto O, que

equidista de A y de B (por ser la mediatriz de AB); equidista de B y de C por; ser la mediatriz de BC; luego equidis ta de A, B y C y con centro en l se puede trazar una circunferencia circunscrita al tringulo:

Teorema III- 2 Las tres bisectrices interiores de un tringulo se cortan en un punto, llamado incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita en el tringulo.

Dem.: La bisectriz del ngulo A y la del ngulo B se cortan en I; el cual punto equidista de AB y AC; de BC y BA; luego equidista de CA y CB y est tambin en la bisectriz del ngulo C.

Por distar igual de 3 rectas, puede trazarse con centro en l una

circunferencia tangente a las tres; y situada den tro del tringulo (circunferencia inscrita).

15 Teorema III - 3 Las tres alturas de un tringulo se cortan en un punto llamado ortocentro. (altura = perpendicular trazada desde cada vrtice al lado opuesto).

Dem : Por cada vrt ice del tringulo ABC se trazan para lelas al lado opuesto, las cuales forman un nuevo tring ulo. Las alturas de ABC se convierten en las mediatrices de A'B'C', (Pues B'C = CA' = AB) que por tanto se cortan en un punto.

EJERCICIOS CAPTULO III 16

Nota: Para las construcciones grficas se supondr que slo se usan la regla y el comps.

La notacin de los elementos de un tringulo ser habitualmen te as:

- a, b y c, lados.

- A, B y C, vrtices opuestos (en el mismo orden).

- CyBA , , ngulos.

- ha , hb, hc, alturas.

- m a, mb , m c, medianas.

Mtodo de los lugares geomtricos

Usando este mtodo se pueden resolver muchos problemas de construcciones geomtricas.

Consiste en determinar dos lugares geomtricos en los que debe hallarse un punto buscado (conocidos por las condiciones que debe cumplir dicho punto). En la interseccin de los dos lugares geom tricos debe hallarse el punto que se busca. Figuras auxiliare s

Para hacer el anlisis de un problema de construcciones grficas, es una gran ayuda una figura auxiliar, construida suponiendo el problema resuelto.

En esa figura auxiliar se identifican las relaciones entre ele mentos de la solucin.

Con esas relaciones, puede hacerse a continuacin la sntesis, o construccin de la figura buscada a partir de los elementos que se conocen.

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Ejercicios resueltos III-1. Construir un tringulo conociendo a, b y c.

Resolucin: Construimos una figura auxiliar suponiendo el problema re suelto:

Observamos en ella que A est a distancia c de B. O sea, A est en una circunferencia de centro B y radio c. Esta circunferencia es el primer lugar geomtrico de A.

Por anlogo motivo, A est tambin en otra circunferencia de centro C y radio b (segundo lugar geomtrico de A).

En la interseccin de las 2 circunferencias est el Punto A.

Como 2 circunferencias secantes se cortan en los 2 puntos, habr 2 soluciones, en general. Si las circunferencias no se cortaran, no habra solucin posible.

Hecho ya el anlisis anterior, podemos pasar a la sntesis usando los datos siguientes:

a b

c

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18 Colocamos a en posicin; sus dos extremos son B y C. Desde B trazamos una circunferencia de radio c y desde C otra de radio b; en su interseccin est A, que unido con B y C, re suelve el problema:

Resolucin:

es).

Suponindolo resuelto:

Se obtienen 2 soluciones, A1 BC y A2 BC, tringulos congruentes (por tener los 3 lados respectivamente iguales).

III - 2. Construir un tringulo conociendo a, b y A.

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19 Observamos que A y C estn a distancia b; que B est en el 2 lado del ngulo A (una recta, primer lugar geomtrico de B); y que B est a distancia a de C (o sea, en una circunferencia de centro C y radio a, que es el segundo lugar geomtrico de B). Donde se corten dich a recta y dicha circunferencia, estar el punto B .

Como la interseccin de una recta con una circunferencia puede ser dos puntos, un punto, o ningn punto, puede haber dos soluciones, una, o ninguna. Datos:

Colocamos b en posicin; sus extremos son A y C; y sobre el extremo A

construimos el ngulo A Trazamos una circunferencia de centro C y radio a; corta a la recta, en nuestro caso, en 2 puntos B1 y B2, obteniendo dos soluciones: AB1 C y AB2 C, dos tringulos diferentes (y no congruentes) que cumplen las especificaciones de los datos:

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Ejercicios propuestos

Construir un tringulo conociendo:

III-3 a, b y ma .

III -4. a, b y ha .

III - 5. Construir un paralelogramo conociendo las diagonales y el ngulo que forman.

III - 6. Construir la bisectriz de un ngulo:

a) de v rtice accesible.

b) de vrtice inaccesible (los lados del ngulo se cortan fuera de los lmites del dibujo).

III -7. Trazar la perpendicular a una recta desde un punto P, usando slo la regla y el comps.

III - 8. Trazar la paralela a una recta por un punto P , usando slo regla y comps.

III - 9. Dadas 2 rectas paralelas a y b y un punto P cualquiera situado entre ellas, trazar una circunferencia tangente a a y b y que pase p or P.

III -10. Dadas 2 rectas paralelas a y b y una circunferencia c, trazar una circunferencia que sea tangente a a, b y c.

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