CAPTULO IV 21

RELACIN ENTRE NGULOS Y ARCOS DE CIRCUNFERENCIA

Conocimientos previos:

Suponemos conocido que:

a) La suma de los ngulos interiores de un tringulo es dos rectos.

b) Un ngulo exterior de un tringulo es igual a la suma de los interiores no adyacentes.

c) El tringulo issceles tiene 2 ngulos iguales. d) En una circunferencia, un ngulo central y el arco que abraza se pueden

medir ambos en la misma unidad (gra dos o radianes): y tienen la misma medida: un ngulo central mide lo mismo que el arco que abarca.

Teorema IV-1 Un ngulo inscrito en una circunferencia vale la mitad del arco que abarca.

(ngulo inscrito es el que tiene su vrtice en la circunferencia y cuyos lados pasan por los extremos de un arco de la misma).

Dem.: Consideremos 3 posibilidades:

a) Un lado pasa por el centro O de la circunferencia:

El ngulo NVM vale a

El ngulo OMV vale a

(por ser OMV issceles). NOM vale a + a = 2a por ser, ngulo exterior. Luego NVM vale la mitad del central NOM que abarca el mis mo arco.

22 b) el centro O es interior al ngulo.

Descomponiendo el ngulo en suma de dos se obtiene el mismo resultado

a = a 1 + a 2 = 21

arco MP + 21

arco PN = 21

arco MN

c) el centro O es exterior al ngulo

a = a 1 + a 2 = 21

arco MP - 21

arco NP = 21

arco MN

Corolario: el ngulo inscrito vale la mitad del ngulo central que abarca el mismo arco.

Teorema I V -2 Un ngulo semi inscrito en una circunferencia vale la mitad del arco que abarca. (ngulo semi inscrito es aquel que tiene su vrtice en la circunferencia y uno de sus lados es tangente y el otro secante a la misma).

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Dem.: Trazando la perpendicular OH desde O a VM y uniendo O con V y M se observa que los ngulos VOH y HOM son iguales; luego cada uno vale la mitad del arco VM.

El ngulo semi inscrito vale lo mismo que VOH, porque los dos tienen el mismo complemento HVO, ya que el radio OV es per pendicular a la tangente en V.

Teorema IV- 3 El ngulo interior a una circunferencia, vale la semisuma de los arcos que abarca

F I G . I V - 5

Dem.: A =1 + 2 por ser exterior del ngulo ANQ

1 = 21

arco PQ 2 = 21

arc MN

A = 2

arcoMnarcoPQ +

Teorema IV - 4 El ngulo exterior a una circunferencia, cuyos lados la cortan o son tangentes a ella, vale la semidiferencia de los arcos que abarca.

Dem: 1 = A + 2 A = 1 - 2 =21

arco MN -21

arco PQ

A = 2

arcoPQarcoMN +

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Teorema IV-5 (Teorema del arco capaz) El lugar geomtrico de los puntos del plano desde los que se ve un segmento

dado bajo un ngulo dado, es una figura formada por dos arcos de circunferencia, que tienen los mismos extre mos que el segmento, radios iguales, y estando cada uno de ellos en cada semiplano def inido por el segmento. Cada uno de estos arcos es llamado arco capaz del ngulo dado respecto al segmento.

Explicacin: Recordemos que "lugar geomtrico" es el conjunto de puntos que cumplen una determinada condicin. En nues tro caso, dicha condici n es "ver un segmento dado bajo un n gulo dado"; que expresa que las semirrectas trazadas desde el punto a los extremos del segmento han de formar el ngulo dado (estando el segmento en el interior de dicho ngulo).

Dem.:

Sea el segmento AB y el ngulo a ; sea P un punto que cumple la condicin,

en el semiplano superior. La circunferencia que pasa por A, B y P, tiene su centro O

en la media triz de AB y el ngulo MOA debe ser a . Cualquier punto del arco APB cumplir la condicin; mientras que, en el semiplano superior, un punto no situado en el arco APB no puede cumplir la, por ser exterior o interior y por tanto no vale la mitad del arco AB del semiplano inferior.

Escogiendo un punto P' en el semiplano inferior, se completa la demostracin

del teorema.

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25 Construccin del arco capaz de un ngulo

Sobre el origen A del segmento AB se construye el ngulo a , hacia abajo (as se halla el arco capaz del semiplano superior). Se traza una perpendicular al 2 lado de a ; el punto O de interseccin de ella con la mediatriz de AB, es el centro del arco capaz.

La construccin se justifica por el apartado anterior

EJERCICIOS CAPTULO IV

Ejercicios resueltos

IV -1. Construir un tringulo conociendo a, A ma. Suponindolo resuelto:

A est en el arco capaz del ngulo

A respecto BC tam bin est en la circunferen cia de centro M (punto medio de BC) y radio ma. La interseccin de las dos circunferen- cias dar A,

Datos Construccin:

o es el centro del arco capaz. Dos soluciones congruentes.

IV -2. Construir un tringulo conociendo a, A y b + c.

Suponindolo resuelto:

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27 Se prolonga b y sobre la prolongacin se coloca C, obteniendo CA' = b + c.

El tringulo AA'B es issceles, por lo que x + x = A x = 2A

.

Luego en el tringulo CA'B conocemos un lado (a), su ng ulo opuesto ( A /2), y otro lado (b + c); y podemos construirl o. Una ve z construido, A est en CA' y en la mediatriz de BA'.

I V -3.- Dadas 2 circunferencias secantes a y b y un segmento r, trazar una circunferencia

tangente a a y b de radio r. Anlisis: La distancia del centro X a A y B debe ser: ra + r rb + r si X es tangente exterior. O bien:ra r rb r

si es tangente interior

o, si es tangente interior a una y exterior a la otra: ra r rb r X debe hallarse en la interseccin de las circunferencias de:

Centro A, radio y

Centro B, radio

Construccin:

ra r rb r

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(Para tangente exterior. De forma similar en los dems casos). IV -4. Construir una circunferencia que pase por un punto P dado, tenga un

radio r conocido, e intercepte sobre una recta a un segmento de

longitud dada 1 .

Suponindolo resuelto:

X est en una circunferencia de radio r y centro P (1er lugar geomtrico). X est a una distancia d (altura de un tringulo de lados conocidos) de a. Por tanto, est en una paralela a a a distancia d (segundo lugar geomtrico). La interseccin dar X (mximo 2 soluciones).

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Construccin Datos

Ejercicios propuestos

IV - 5 Construir un tringulo conociendo a, A y ha

IV - 6 Idem conociendo a, b c A ( S i b > c).

IV - 7 Idem conociendo A , B , b c

IV - 8. Idem conociendo A , B , r (radio de la circunferencia inscri ta).

IV - 9 Idem conociendo A, B, R (radio de la circunferencia cir cunscrita).

IV - 10. Idem conociendo a, hb, bc.

IV - 11. Idem conociendo a, b, m c.

IV - 12. Idem conociendo A , b, mc.

30 IV -13. Dados una recta a, una circunferencia b y un segmento r , trazar una

circunferencia x tangente a a y b y de radio r. IV -14. En una circunferencia, el radio del punto de contacto de una tangente es

perpendicular a ella. Usando esta propiedad, trazar tangentes a una circunferencia desde un punto exterior.

IV -15. Dada una circunferencia a de centro A y un punto P interior a ella, hallar el lugar

geomtrico de los puntos medios de todas las cuerdas que pasan por P. (R.: una circunferencia de dimetro AP).

IV -16. Desde un punto P situado en el interior de un tringulo e quiltero ABC, se trazan

los segmentos: PM paralelo a AB hasta que corte a AC PM paralelo a BC hasta que corte a AB PQ paralelo a AC hasta que corte a BC

Demostrar que PM + PN + PQ es igual al lado del tringulo. IV -17. Dada una circunferencia c , una recta r secante y un punto A en el interior de la

circ unferencia, trazar por A una cuerda que sea bisecada p or r (o sea, dividida en 2 partes iguales por r).

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