Sr/rta. Alumno/a:El material de esta presentacin es SOLO una gua para el estudio de la Unidad 3: ONDAS MECANICAS.Para presentarse a rendir el Examen Final de la Asignatura Ud. DEBER estudiar de la bibliografa indicada al comienzo de la Unidad 3 (pgina 16 de la cartilla de Trabajos Prcticos)Ctedra de Fsica Experimental I- Fsica II - 2012

MOVIMIENTO ONDULATORIO El movimiento ondulatorio es un fenmeno muy comn: las olas en la superficie del agua, el movimiento transversal a lo largo de una cuerda tensa, la vibracin de un resorte, el sonido.Los fsicos han extendido el concepto de onda a un nmero mayor de fenmenos que no se asemejan a los mencionados. Corresponden a situaciones fsicas descritas por un campo dependiente del tiempo que se propaga en el espacio y en el tiempo

Existen varios tipos de ondas. Nosotros estudiaremos las ONDAS MECNICAS.Se trata de situaciones fsicas producidas en un punto del espacio, que se propagan a travs de ste y se perciben ms tarde en otro punto.Sea un cuerpo en equilibrio, sin deformacin. Se golpea fuertemente sobre la superficie, produciendo una deformacin instantnea en la regin del impacto (punto P). Se comprueba experimentalmente que la deformacin no permanece localizada en las vecindades de P, sino que se propaga por todo el cuerpo.

Se comprueba que la deformacin en un punto Q distante comienza un intervalo finito de tiempo despus del instante del golpe inicial. Indicando esto que: la deformacin se propaga con una velocidad finita.Este fenmeno representa la propagacin de una onda, una onda elstica. No hay transporte de materia: los puntos del cuerpo se desplazan slo muy poco de su posicin de equilibrio inicial. Lo que llega de P a Q no es materia, sino una seal. La propagacin de una onda no involucra transporte de materia, ella representa un transporte de energa. El trabajo que realizan las fuerzas externas durante la percusin inicial, se reparte en forma de energa elstica por el cuerpo a medida que la onda avanza por el, ya que cuando alcanza el punto Q debe realizar un trabajo en su entorno para producir la deformacin. Se puede realizar un trabaja a distancia.

Ondas elsticas: a) un resorte; b) un gas; c) una cuerda tensionadaLos diferentes tipos de ondas ilustrados en la figura son bsicamente ondas que resultan de una perturbacin en algn punto del medio cuando podemos ignorar su estructura molecular y suponerlo continuo. Suposicin valida siempre que la variacin espacial de la onda (determinada por su longitud de onda, ) sea grande comparada con la separacin intermolecular

= f ( x - x0)La forma de la curva no cambia, se tiene el mismo valor de para valores de x aumentados en la cantidad x0.De forma parecida, tenemos que = f ( x + x0) corresponde a un desplazamiento de la curva hacia la izquierda una longitud x0.Consideremos una funcin = f (x), representada grficamente por la curva continua de la figura.Si sustituimos x por (x-x0), obtenemos la funcin: = f (x) = f (x + x0)x = f (x - x0)0x0x0

(x , t) = f ( x v t )Describe una situacin fsica que viaja o se propaga sin sufrir deformacin a lo largo del eje x positivo o negativo. (x , t), representa una diversidad de situaciones fsicas, como la deformacin de un slido, la presin de un gas, el desplazamiento transversal en una cuerda. Si x0 = v t, donde t es el tiempo, obtenemos una curva viajera; esto es = f (x v t), representa una curva que se mueve hacia la derecha con velocidad v, conocida como velocidad de fase. De igual manera = f (x + v t), representa una curva que se desplaza hacia la izquierda con velocidad v.

Por lo tanto:

Caso interesante es cuando la funcin de onda, y (x , t) es una funcin armnica. Por ejemplo una funcin seno que avanza en la direccin de + x,y (x , t) = A sen k (x v t +) ONDAS ARMONICASLa magnitud k, tiene un significado especial. Si se reemplaza x por x + 2/k, se puede probar que:

y (x + 2/k , t) = y (x , t)

Entonces la magnitud = 2/k , se conoce como longitud de onda, es el periodo espacial de la curva que se repite cada longitud de onda .

La magnitud k = 2/ , representa el nmero de longitudes de onda que hay en la distancia 2 y se conoce como nmero de onda.Por lo tanto la funcin de onda y ( x, t), armnica que se propaga hacia la derecha a lo largo del eje x, puede escribirse tambin como:

y (x , t) = A sen k (x v t +) y (x , t) = A sen 2/ (x v t +) y (x , t) = A sen (k x t +2)

donde , es la frecuencia angular de la onda, igual a = 2 f, donde f es la frecuencia con que la situacin fsica varia en cada punto x.

= k v = 2 v/ = 2 f v = f

Relacin entre la longitud de onda, la frecuencia y la velocidad de propagacin.

Si ( = 0)yASi T es el periodo de oscilacin en cada punto, dado por T = 2 / = 1/f, la funcin de onda puede tomar la forma:

y (x , t) = A sen 2 (x/ t /T+)

Onda armnica que se propaga hacia la derecha. Recorre una distancia en un tiempo T.A medida que la situacin fsica se propaga hacia la derecha, esta se repite despus de un tiempo igual a un periodo T. Combinando f = v y T=1/f, se obtiene: = v/f.Lo que muestra que:La longitud de onda, , es la distancia que recorre el movimiento ondulatorio en un periodo, T.yTT/2T/43T/4

En el movimiento ondulatorio armnico tenemos dos periodicidades: una en el tiempo, dada por el periodo T, y la otra en el espacio, dada por la longitud de onda, .

= v T

ECUACIN DIFERENCIAL DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO

Considerando la funcin de onda que avanza en la direccin de + x,

y (x , t) = A sen (k x t)

la velocidad de la partcula en x, se obtiene derivando y (x , t) respecto a t y manteniendo x constante,

vy (x , t) = - A cos (k x t)

y la aceleracin de la misma en funcin del tiempo es:

ay (x , t) = - 2A sen (k x t) = - 2 y (x , t) ( = 0)

Las derivadas de y (x , t) respecto a x, manteniendo t constante

, ecuacin de onda

VELOCIDAD DE PROPAGACINOndas longitudinales a lo largo de una varillaCuando se produce una perturbacin en un extremo de una varilla slida, la perturbacin se propaga con una velocidad v, a lo largo de la varilla y finalmente llega al otro extremo. La velocidad v depende de las propiedades fsicas de la varilla. Si la varilla tiene seccin transversal S y esta sujeta a un esfuerzo a la largo del eje, indicado por la fuerza F. En cada seccin transversal existen 2 fuerzas iguales y opuestas: una es la fuerza de traccin ejercida sobre la parte izquierda debida a la parte derecha y la otra sobre la parte derecha ejercida por la izquierda. SSS

Bajo la accin de estas fuerzas, cada seccin de la varilla sufre un desplazamiento paralelo al eje. En el caso en que haya una deformacin, el desplazamiento varia a lo largo de la varilla, para lo cual la fuerza F tambin debe tener una variacin similar. Supongamos que la varilla esta sujeta por el extremo izquierdo y que estiramos el otro, de manera que la varilla tenga un alargamiento. La separacin entre S y S en el estado deformado es dx + dy. Por consiguiente la deformacin longitudinal ser:

= dy/dxdySSSS

Por la ley de Hooke, = E , y por definicin de esfuerzo, = F/S entonces F, toma la forma: F= E S dy/dx (donde E es el Modulo de Young del material de la varilla).Cuando la varilla no esta en equilibrio, la fuerza sobre cada seccin no es la misma a lo largo de la varilla. Como resultado de ello, la seccin de la varilla de grosor dx est sometida a una fuerza neta o resultante. As el lado S de la seccin esta sometida a la fuerza F que apunta hacia la derecha y el lado S esta sometido a la fuerza F que apunta a la izquierda.dySSSS

La fuerza neta hacia la derecha sobre la seccin ser F- F, que produce un movimiento acelerado de la seccin de la varilla.Aplicando las leyes de Newton de la dinmica a la seccin se obtiene que el desplazamiento satisface la ecuacin diferencial de la onda si la velocidad de propagacin tiene la forma:

dy es la densidad del material de la varillaSSSS

F F = dF si = dm/dV, entonces dm = dV= S dx

La aceleracin de dm es:

y si aplicamos la 2da ley de Newton de la dinmica,

Entonces,

Reordenando,

Vimos que F = ES dy/dx. Si deriva ambos miembros respecto a x, se obtiene:

Como los primeros miembros son iguales los segundos deben serlo. Por lo cual tenemos:

Simplificando S y reordenando se obtiene:

VELOCIDAD DE PROPAGACINuna onda longitudinal en la varilla

una onda transversal en la varilla (esfuerzo corte)

una onda transversal en una cuerda(no posee elasticidad natural), si F es la fuerza aplicada y la densidad lineal (la masa por unidad de longitud)

en un fluido, una onda longitudinal tiene

EquilibrioOnda transversal en cuerda bajo tensinOnda longitudinal en un fluido

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIN Cuando varias ondas se combinan en un punto, el desplazamiento de una partcula cualquiera del medio, en determinado momento, es simplemente la suma de los desplazamientos que podran producir las ondas que actan de manera individual. Supongamos, por ejemplo, que dos ondas se desplazan simultneamente a travs de una misma cuerda estirada. Sean y1 (x,t) y y2 (x,t), los desplazamientos que experimentara si cada onda operara por su cuenta . Entonces el desplazamiento de la cuerda cuando actuan ambas ondas ser:

y (x,t) = y1 (x,t) + y2 (x,t)

En las ondas mecnicas de medios elsticos se cumple el principio de superposicin, siempre que la fuerza restauradora vare en forma lineal con el desplazamiento.

Dos pulsos de onda que viajan en sentidos opuestos.Los pulsos tan solo se mueven uno a travs de otro, desplazndose como si no existiera el otro.

IMPORTANTE:El Principio de superposicin parece demasiado obvio, pero hay casos en que no se cumple. Por ejemplo, si una de las ondas tiene una amplitud tan grande que excede el limite elstico del medio. La fuerza de restauracin deja de ser directamente proporcional al desplazamiento de una partcula del medio. Entonces, sin importar la amplitud de la segunda onda, su efecto en un punto no es una funcin lineal de su amplitud.

INTERFERENCIA DE ONDASCuando dos o mas ondas se combinan en un punto determinado, se dice que interfieren, y a este fenmeno se le conoce como interferencia.Dos trenes de ondas: rizos circulares debidos a dos perturbaciones interfieren en determinados puntos

Interferencia Constructiva(se refuerzan)Interferencia Destructiva(se cancelan)

Como ejemplo, consideremos 2 trenes de ondas cuyas ecuaciones son:y1 = A sen (kx - t +1) ; y2 = A sen (kx - t +2), entonces y = y1 + y2 Usando la trigonometra, convertimos la suma de estas 2 funciones en productos de senos y cosenos

El producto 2 A cos (1 - 2 /2) = B es la amplitud de la suma.

BATIDO O PULSACINConsideremos el caso de 2 ondas sonoras armnicas de frecuencias poco diferentes: 1 , 2. Sea 1 > 2. y1 = A sen (k1x - 1 t +1) y2 = A sen (k2x - 2t +2)Como el odo no percibe diferencias de fase podemos omitir 1 y 2 en la escritura. Por otro lado, nos conviene escribir las ecuaciones pasadas, de la forma siguiente:

Podemos simplificar an ms si anclamos el referencial ( x = 0) en el tmpano, y analizamos la oscilacin resultante:

Interpretamos este resultado como una onda senoidal de frecuencia (f1 + f2)/2, cuya amplitud es variable con el tiempo y est modulada por una funcin coseno de frecuencia (f1 - f2)/2.La intensidad del sonido es proporcional al cuadrado de la amplitud A, por lo cual y al tratarse de la combinacin de 2 ondas sonoras, el odo percibe una frecuencia dada por (f1 + f2)/2, con una intensidad variable con una frecuencia f1 - f2, que se llama pulsacin sonora o batido. El odo percibe pulsaciones si f1 - f2 < 10 Hz

Representa una onda viajera cuya amplitud vara en el tiempof1 = 401 Hz, f2 = 400 Hz

f1 = 400,5 Hz, f2 = 400 Hzf1 = 410 Hz, f2 = 400Hzf1 = 440 Hz, f2 = 400Hz

ENERGIA DE LA ONDAQu se propaga en el movimiento ondulatorio?Se propaga o transfiere energa y momentumSupongamos tener una onda armnica simple longitudinal que se propaga a lo largo del eje x por un medio slido

y (x , t) = A sen (k x t) (1)

Una porcin del medio en la que se propaga esta onda posee energa cintica y energa potencial elstica debida a la deformacin que experimenta el medio perturbado por la onda. La energa cintica de la porcin del medio, de volumen , es Ec = m vy2 , donde m es la masa del elemento de volumen considerado, y vy la velocidad con que se estn desplazando sus partculas.Como vy = dy/dt , por (1) tenemos que, vy = dy/dt = -A cos (kx - t), lo que permite escribir la energa cintica como:

Ec = A22 cos2 (kx - t) (2)

La energa potencial de un slido elstico, sometido a esfuerzos de compresin y traccin por lo que experimenta deformaciones relativas L/L, puede escribirse en funcin del mdulo de elasticidad E.La energa potencial elstica de una porcin de longitud L y seccin S esEp = (ES/L) L2. Multiplicando y dividiendo por L queda, Ep = (ESL)( L/L)2 , pero SL es el volumen , de modo que podemos escribir la energa potencial como Ep = E ( L/L)2 Pero L/L puede escribirse, en el caso de la deformacin producida por la onda, como dy/dx, de modo que derivando (1) con respecto a x, y reemplazando, podemos escribir finalmente la Ep como sigue:

Ep = (E A2 2 /v2 ) cos2 (kx - t) (3)

donde v es la velocidad de propagacin de la onda

Ec = A22 cos2 (kx - t) (2)

Ep = (E A2 2 /v2 ) cos2 (kx - t) (3)

Observando las expresiones (2) y (3) obtenidas, comprobamos que la energa cintica y la energa potencial varan en fase, alcanzando simultneamente sus valores mximos y mnimos.

Esta es una diferencia fundamental con lo que ocurre para el caso de una partcula aislada que oscila con MAS, para la cual la energa mecnica se mantiene constante, alternndose los valores mximos y mnimos de la Ec y de la Ep. En el caso de un medio continuo, como vemos, la energa de una porcin del medio no se mantiene constante y se traslada a otra parte vecina, explicndose as el transporte de energa que caracteriza a los fenmenos ondulatorios.

La energa mecnica de la porcin del medio considerada resulta ser, EM = Ec + Ep

EM = A22 cos2 (kx - t) + (E /v2 ) A22 cos2 (kx - t)

Pero como la velocidad de propagacin v es igual a , la energa mecnica del elemento de volumen es proporcional a , A2 y 2 , e igual a :

EM = A22 cos2 (kx - t) = f (, A2, 2) (4)

La rapidez con que se transmite la energa mecnica por el medio es la POTENCIA: P = dEM/dt.

Si se considera una cuerda tensionada, la potencia transmitida a traves de un elemento de la misma en la posicion x es:

P = A2 k F cos2 (kx - t)

La potencia no es constante, varia con la posicion en la cuerda y tambien con el tiempo.

Por otro lado, la potencia sumistrada a la cuerda se considera a menudo como la media en un periodo del movimiento.

Donde T es el periodo. Usando el hecho de que el valor promedio del sen 2 , o de cos 2 , en un ciclo es , obtenemos en el caso de la cuerda,

Es un resultado que no depende ni de la posicin x, ni de t.

La velocidad v en una cuerda es , entonces la potencia media es:

El hecho de que la potencia depende del cuadrado de la amplitud de la onda y del cuadrado de su frecuencia es generalmente valido, y se cumple en todos los tipos de ondas.

La onda transporta potencia en la direccin de su propagacin.

INTENSIDAD DE LA ONDAIntensidad de la ondaes la energa que fluye por unidad de tiempo a travs de un rea perpendicular a la direccin de propagacin. I = 2 2 f2 A2 va) Onda plana. Los planos representan frentes de onda separados por una longitud de onda, las flechas representan los rayos. b) Onda esfrica. Los frentes de ondas separados por una longitud de onda son superficies esfricas.a )b)

Variacin de I con la distancia a la fuenteSi un foco puntual emite ondas uniformemente en todas direcciones, la energa a una distancia r del mismo estar distribuida uniformemente sobre una corteza esfrica de radio r y superficie 4r2. Si la potencia media emitida por el foco es P, la potencia por unidad de rea a una distancia r del foco ser P/ (4r2), que es la intensidad I de la onda. El movimiento de los frentes de ondas se pueden representar mediante rayos perpendiculares a los f. de onda

Frentes de onda circulares que divergen a partir de un foco puntual en una cubeta de ondas

Reflexin de ondasFenmeno de la reflexin: Tiene lugar cuando una onda que se propaga en un medio incide en la superficie de separacin con otro medio diferente. Reflexin de ondas mecnicas que se propagan en cuerdas, membranas, columnas de aire,... Reflexin de una onda transversal que se propaga en una cuerda tensaReflexin depende de las condiciones de borde o de contorno, y de las caractersticas fsicas y mecnicas del medio.

Anclaje fijo extremo fijoAnclaje mvil extremo libre

Extremo fijo: onda reflejada que viaja en la direccin opuesta a la onda incidente. Inversin de fase de .Extremo libre: onda reflejada con desplazamiento en la misma direccin de la onda incidente. No hay inversin de fase.

ONDAS ESTACIONARIAS Cuando las ondas estn confinadas en el espacio (cuerda de piano, ondas sonoras en un tubo de rgano, o luminosas en un laser) se producen reflexiones en ambos extremos, por lo cual existen ondas que se mueven en ambos sentidos.Cuerda fija en su extremo izquierdo y el extremo derecho se coloca un dispositivo que genere un M.A.S.

Segn el Principio de Superposicin, el movimiento resultante de la combinacin de ambas ondas que viajan en sentidos opuestos es una onda estacionaria.

Onda viajera: - amplitud constante - configuracin de la onda se mueve con una rapidez igual al de la onda

Onda estacionaria: - amplitud varia - configuracin de la onda permanece en la misma posicin en la cuerda

Si aumenta la frecuencia f de la oscilacin, disminuye la longitud de onda, Nodos: Desplazamiento resultante cero. Interferencia Destructiva

Antinodos o vientres: Mximo desplazamiento. Interferencia Constructiva

Consideremos el eje x coincidente con la posicin de equilibrio de la cuerda, los desplazamientos se miden en el eje y. Las ondas incidente y reflejada son de la forma siguiente:y1 (x , t) = A sen (k x + t) y2 (x , t) = A sen (k x - t) y1 onda que viaja hacia la izquierda, o. incidentey2 onda que viaja hacia la derecha, o. reflejadaSumando ambas expresiones y aplicando las relaciones trigonomtricas necesarias, obtenemos:y (x , t) = 2A sen k x cos t

ONDA ESTACIONARIA en una cuerda con extremo fijo

La amplitud de la onda estacionaria es 2 veces la amplitud A de cualquiera de las ondas viajeras. Otra forma de escribirla es:y (x , t) = 2A sen (2/) x cos (2/T) t

Esta expresin tiene 2 factores: una funcin de x y una funcin de t. El factor 2A sen k x indica que en cada instante la forma de la cuerda es una curva senoidal y permanece en la misma posicin, oscilando verticalmente segn el factor cos t. Cada punto de la cuerda oscila con un M.A.S., pero todos los puntos que estn entre cualquier par sucesivo de nodos oscilan en fase, a diferencia en una onda viajera en que hay una diferencia de fase entre las oscilaciones de puntos adyacentes.

Para determinar las posiciones de los nodos, son los puntos en que sen k x = 0, de modo que el desplazamiento es siempre cero. Esto se da para:

kx = 0, , 2 , 3 , etc, entonces:x = 0, /k, 2/k, 3/k, etc, ox = 0, /2, 2/2, 3/2, etc.Hay un nodo en x =0, como deba ser ya que es un punto fijo. Dos nodos adyacentes estn separados /2, as que la longitud L de la cuerda debe ser:L = /2; 2 /2; 3 /2; 4 /2;

n = 1, 2, 3,

n = 1, 2, 3,

Existen ondas con distribucin estable de nodos y vientres

Si n tambin pueden existir ondas, pero no con distribucin estable de nodos y vientres.

Por lo tanto, la frecuencia del ensimo armnico es:

n = 1, 2, 3,...Relacin entre frecuencias de resonancia con la velocidad de onda en la cuerda y la longitud de la misma

Por consiguiente a ciertas frecuencias se obtienen patrones de ondas estacionarias. Las frecuencias que producen estos patrones se denominan frecuencias de resonancia del sistema de la cuerda. Cada una de estas frecuencias y la funcin de onda que la acompaa se llama modo de vibracin.La f. ms baja se llama frecuencia fundamental f1 (modo fundamental o 1er armnico), la 2da. ms baja f2, tiene una frecuencia que es el doble de f1, y se denomina 2do armnico.n = 1, 2, 3,...

El conjunto de todas las frecuencias resonantes de la cuerda se denomina espectro de frecuencias de resonancia. No todas las frecuencias reciben la denominacin de armnicos sino nicamente aquellas del espectro de frecuencias resonantes que son un mltiplo entero de la frecuencia fundamental (Si n tambin pueden existir ondas, pero no con distribucin estable de nodos y vientres)Un oscilador armnico simple con fuerza impulsora armnica, posee slo una frecuencia natural, mientras que una cuerda vibrante posee una serie armnica.

Las frecuencias de resonancia tambin se denominan frecuencias naturales de la cuerda. Cuando la frecuencia del dispositivo que genera el M.A.S., no coincide con ninguna frecuencia de las frecuencias naturales de la cuerda vibrante, no se producen ondas estacionariasEl viento produjo ondas estacionarias en el puente de Tacoma Narrows. Nov 1940.

Una onda estacionaria a diferencia de una onda viajera, no transfiere energa de un extremo a otro. No hay flujo de energa de un punto a uno vecino.

EFECTO DOPPLERCuando la fuente de una onda y el observador estn en movimiento relativo con respecto al medio en que se propaga la onda, la frecuencia de las ondas observadas es diferente de la frecuencia de la fuente. Este fenmeno se denomina efecto Doppler, en honor a Christian Doppler (1803-1853), quien fue el primero en observarlo en ondas sonoras.Ej.: cambio de tono de la bocina de un auto cuando ste se acerca o se aleja de nosotros.

Efecto Doppler debido a una fuente en movimiento. La foto ilustra el efecto en una superficie lquida. Los frentes de onda se encuentran ms prximos delante de la fuente o foco y ms separados detrs de l. En (b), los frentes de onda sucesivos emitidos por un foco puntual que se mueve hacia la derecha con una velocidad uf. Los f. de onda numerados fue emitido cuando el foco esta- ba en la posicin a la que corresponde el mismo nmero.

Si todos los movimientos se consideran relativos al medio, se puede probar que la frecuencia f que percibe el observador, si se encuentra en reposo (fuente en movimiento, con velocidad uf) est dada por :

En el caso en que el observador se encuentra en movimiento, con velocidad vo, pero la fuente est en reposo, se puede probar que la frecuencia f que percibe el observador est dada por :

relativo al medio.

Signos:La eleccin correcta del signo se determina recordando que la frecuencia tiende a aumentar cuando el foco se mueve hacia el observador o cuando ste se mueve hacia el foco.Ej.: Si el observador se mueve hacia el foco en el numerador se selecciona el signo positivo, lo cual tiende a incrementar la frecuencia recibida. Si el foco se aleja del observador se aplica al denominador el signo positivo, lo cual induce que la frecuencia recibida sea menor.En el caso general en el que observador y la fuente estn ambos en movimiento la frecuencia f que percibe el observador es:

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