ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DE CHIMBORAZO

Nombre: Elias Rivera

INTERPOLACIN DE SPLINESTerminamos este captulo, estudiando un tipo de interpolacin que ha demostrado poseer una gran finura, y que inclusive es usado para el diseo por computadora, por ejemplo, de tipos de letra. Esta interpolacin se llama interpolacin segmentaria o interpolacin por splines. La idea central es que en vez de usar un solo polinomio para interpolar los datos, podemos usar segmentos de polinomios y unirlos adecuadamente para formar nuestra interpolacin.Cabe mencionar que entre todas, las splines cbicas han resultado ser las ms adecuadas para aplicaciones como la mencionada anteriormente.As pues, podemos decir de manera informal, que una funcion spline est formada por varios polinomios, cada uno definido en un intervalo y que se unen entre si bajo ciertas condiciones de continuidad.Definicin. (Splines de grado k)Dada nuestra tabla de datos,

donde suponemos que , y dado k un nmero entero positivo, una funcin de interpolacin spline de grado k, para la tabla de datos, es una funcin tal que :i) , para toda .ii) es un polinomio de grado en cada subintervalo .iii ) tiene derivada contnua hasta de orden en .

FUNCIONES SPLINES DE GRADO 1

Una funcin spline de grado 1 que interpole los datos es simplemente unir cada uno de los puntos mediante segmentos de recta, como sigue: Claramente esta funcin cumple con las condiciones de la spline de grado 1. As, tenemos que para ested caso:

donde: i) es un polinomio de grado menor o igual que 1 ii) tiene derivada continua de orden k-1=0. iii) , para .Por lo tanto, la spline de grado 1 queda definida como :

donde es la diferencia dividida de Newton.FUNCIONES SPLINES DE GRADO 2Para aclarar bien la idea, veamos un ejemplo concreto, consideremos los siguientes datos :

Y procedamos a calcular la interpolacin por splines de grado 2.Primero que nada, vemos que se forman tres intervalos : En cada uno de estos intervalos, debemos definir una funcin polinomial de grado 2, como sigue:

Primero, hacemos que la spline pase por los puntos de la tabla de datos. Es decir, se debe cumplir que:

As, se forman las siguientes ecuaciones:

Hasta aqu, tenemos un total de 6 ecuaciones vs. 9 incgnitas.El siguiente paso es manejar la existencia de las derivadas contnuas. En el caso de las splines de grado 2, necesitamos que la spline tenga derivada contnua de orden k-1=1, es decir, primera derivada continua.Calculamos primero la primera derivada:Vemos que esta derivada est formada por segmentos de rectas, que pudieran presentar discontinuidad en los cambios de intervalo. Es decir, las posibles discontinuidades son y . Por lo tanto para que sea contnua, se debe cumplir que:,o lo que es lo mismo, Tambin debe cumplirse que:,o lo que es lo mismo, As, tenemos un total de 8 ecuaciones vs. 9 incognitas; esto nos da un grado de libertad para elegir alguna de las incgnitas. Elegimos por simple conveniencia .De esta forma, tenemos un total de 8 ecuaciones vs. 8 incgnitas. Estas son las siguientes:

Este sistema de ecuaciones tiene la siguiente forma matricial:

Usando Mathematica se obtiene la siguiente solucin:

Sustituyendo estos valores (junto con ), obtenemos la funcin spline cuadrtica que interpola la tabla de datos dada:

La grfica que se muestra a continuacin, contiene tanto los puntos iniciales de la tabla de datos, as como la spline cuadrtica. Esta grfica se gener usando Mathematica.FUNCIONES SPLINES CUBICAS

En este caso, cada polinomio P(x) a travs del que construimos los Splines en [m,n] tiene grado 3. Esto quiere decir, que va a tener la forma P(x) = ax + bx + cx + d

En este caso vamos a tener cuatro variables por cada intervalo (a,b,c,d), y una nueva condicin para cada punto comn a dos intervalos, respecto a la derivada segunda:Que las partes de la funcin a trozos P(x) pasen por ese punto. Es decir, que las dos Pn(x) que rodean al f(x) que queremos aproximar, sean igual a f(x) en cada uno de estos puntos.Que la derivada en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la funcin definida a trozos que pasa por tal punto comn.Que la derivada segunda en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la funcin definida a trozos que pasa por tal punto comn.

Como puede deducirse al compararlo con el caso de splines cuadrticos, ahora no nos va a faltar una sino dos ecuaciones (condiciones) para el nmero de incgnitas que tenemos.

La forma de solucionar esto, determina el carcter de los splines cbicos. As, podemos usar:Splines cbicos naturales: La forma ms tpica. La derivada segunda de P se hace 0 para el primer y ltimo punto sobre el que est definido el conjunto de Splines, esto son, los puntos m y n en el intervalo [m,n].Dar los valores de la derivada segunda de m y n de forma "manual", en el conjunto de splines definidos en el intervalo [m,n].Hacer iguales los valores de la derivada segunda de m y n en el conjunto de splines definidos en el intervalo [m,n]Splines cbicos sujetos: La derivada primera de P debe tener el mismo valor que las derivada primera de la funcin para el primer y ltimo punto sobre el que est definido el conjunto de Splines, esto son, los puntos m y n en el intervalo [m,n].