Soluciones radiales singulares para un problem deDirichlet semilineal

Alfonso Castro

Harvey Mudd College—

Mexico D.F., Agosto de 2015—–

En memoria de mi gran amigo ALFREDONICOLAS CARRIZOSA

{∆u + g(u) = f (‖x‖), ‖x‖ < 1,

u(x) = 0, for ‖x‖ = 1,(1)

g(u) ∼ up for u >> 1, f ∈ L∞. (2)

I Obtenemos soluciones no acotadas que satisfacen (1) comodistribuciones.

I Si g tiene crecimiento subcrıtico entonces las soluciones enH1,2 son soluciones clasicas. Luego estas soluciones no estanen H1,2, sin embargo satisfaccen (1) en 0 < ‖x‖ ≤ 1.

Las soluciones radiales clasicas de (1) son las soluciones de

u′′ +N − 1

ru′ + g(u) = f (r), 0 < r ≤ 1,

u(0) ∈ R, u′(0) = u(1) = 0.(3)

p ∈ (N/(N − 2), (N + 2)/(N − 2)),

I Nolinealidad subcrıtica: limu→+∞g(u)up = 1,

limu→−∞

g(u)

|u|q−1u= 1, y q ∈ (1, (N + 2)/(N − 2)].

I Nolinealidad sub-super crıtica: limu→+∞g(u)up = 1,

limu→−∞

g(u)

|u|q−1u= 1, y q > (N + 2)/(N − 2).

I Nolinealidad con salto: limu→+∞g(u)up = 1,

limu→−∞

g(u)

u∈ (−∞, λ1), f (x) = h(x) + dϕ(x)

. Aquı ϕ > 0 es una funcion propia para el valor propioprincipal de −∆ con condicion de frontera de tipo Dirichlet enB ≡ {x ∈ RN ; ‖x‖ < 1}.

I Politropos singulares con radiacion: soluciones positivas paranolinealidades del tipo

g(u) = λ(up − uq), q < p, (4)

que satisfacen u(1) = 0 (equilibrio termico en la frontera).

Teorema 1. (Con V. Ardila y J.F. Caicedo [A-C-C-2010]) Si g essubcrıtica, o sub-super crıtica, entonces (1) tiene un numerocontable de continuous no degenerados de soluciones radialessingulares.

El caso particular p = q fue estudiado en [D-E-R-2002] para f = 0.

Teorema 2. (Con V. Ardila y J.F. Caicedo [A-C-C-2010]) Si g esuna nonlinealidad con saltos, entonces para cada entero positivo kexiste dk tal que si d > dk el problema (1) tiene k continuous nodegenerados de soluciones radiales singulares.

Teorema 1. (Con V. Ardila y J.F. Caicedo [A-C-C-2010]) Si g essubcrıtica, o sub-super crıtica, entonces (1) tiene un numerocontable de continuous no degenerados de soluciones radialessingulares.

El caso particular p = q fue estudiado en [D-E-R-2002] para f = 0.

Teorema 2. (Con V. Ardila y J.F. Caicedo [A-C-C-2010]) Si g esuna nonlinealidad con saltos, entonces para cada entero positivo kexiste dk tal que si d > dk el problema (1) tiene k continuous nodegenerados de soluciones radiales singulares.

Teorema 3. (Con V. Padron [C-P-2014]) Si g satisface (4) y q ≤ 1,entonces para cada entero positio k existe una familia de solucionesradiales singulares de (1) que depende de dos parametros ((a, b)))tal que u(·, a, b, (a, b))− 1 tiene exactamente k ceros en (0, 1]

Teorema 4. (Con V. Padron [C-P-2014]). Si g satisface (4), yq > 1, entonces para cada entero positivo k exite una familia desoluciones positivas de (1) que depende de tres parametros(u0, u

′0, r0) tal que u(·, u0, u

′0, λ(u0, u

′0, r0))− 1 tiene exactamente k

ceros in (0, 1].

Para p ∈ (N/(N − 2), (N + 2)/(N − 2)), N > 2, sea

θ =2

1− p, A = (−θ(θ+N−2))

1p−1 , and τ2 ∈

(θ,

2− N

2

). (5)

Como p > N/(N − 2), existe c > 0 tal que

(θA + τ2c)2

2+

(A + c)p+1

p + 1+

(N − 2)(A + c)(θA + τ2c)

2= 0.

(6)Sea τ1 ∈ (θ, τ2) tal que

(N − 2 + θ)(Aθ + cτ2) + (A + c)p − cτ1(θ − τ2) 6= 0. (7)

Sea b = b1/(θ−τ2).

Lema 1. Sea I ⊂ R un intervalo compacto. Para b ≥ 1 y a ∈ Iexiste una unica funcion u(·, a, b) : (0, 1]→ R que satisface

u′′ +N − 1

ru′ + g(u) = f (r), 0 < r ≤ 1,

u(b, a, b) = (A + c)bθ + abτ1 , and

u′(b, a, b) = (θA + τ2c)bθ−1 + τ1abτ1−1.

(8)

Mas aun, u(x) = u(‖x‖, a, b) ∈ L1(B) satisface (1) comodistribucion.

G (u) =

∫ u

0g(s)ds, and E (r) =

(u′(r))2

2+ G (u(r)) (9)

G (u) =

∫ u

0g(s)ds, y E (r) =

(u′(r))2

2+ G (u(r)) (10)

Q(r) = rN−1

(rE (r) +

N − 2

2u(r)u′(r)

),

γ1 =

(N

p + 1− N − 2

2

)> 0, γ2 =

(N

q + 1− N − 2

2

),

y Γ(u) =

{γ1u

p+1 para u ≥ 0

γ2|u|q+1 para u ≤ 0.

(11)

Lema 2. Si g es subcrıtica o sub-super subcrıtica entonces existeb1 ∈ R tal que para b > b1 las soluciones de (8) son singulares yno tienen ceros en (0, b).

Lema 3. Existen m1 > 1, b2 > b1, y K > 0 tales que

Q(m1b) ≥ Kup+1(b)bN , (12)

para b > b2, uniformemente en a ∈ I . En particular,Q(m1b)→ +∞ cuando b → +∞.

Lema 4. Existe b2 > b1 tal que si b > b1, a ∈ I , u(·, a, b) is asolution to (8) with u(1, a, b) = 0, entonces existe δ > 0 y unafunciones continuas α : (−δ, δ)→ R y β : (−δ, δ)→ R tales queu(·, a + α(t), b + β(t)) satisface (1) yu(·, a + α(t), b + β(t)) 6= u(·, a + α(s), b + β(s)) cuando s 6= t.En particular, (1) tiene un continuo no degenerado de solucionesradiales singualres.

Sea φ(r , a, b) una funcion diferenciable tal que

u(r , a, b) = ρ(r , a, b) cos(φ(r , a, b)),

u′(r , a, b) = −ρ(r , a, b) sin(φ(r , a, b)),

φ(b, a, b) = tan−1

(−u′(b, a, b)

u(b, a, b)

) (13)

Por el Lema 3, tenemos

limb→+∞

φ(1, a, b) = +∞, (14)

uniformemente para a ∈ I . Luego para cada a ∈ I existe un enteropositivo J(a) y una sucesion {bj(a)}j≥J(a) tal queφ(1, a, bj(a)) = jπ + (π/2). Por la dependencia continua enparametros de las soluciones a problemas de valor inicial, lasfunciones bj son continuas. Del Lema 4, {u(·, a, bj(a)); a ∈ I}define un continuo no degenerado de soluciones de (1).

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