soluciones periodicas ciclos limite y estabilidad global

7/23/2019 Soluciones Periodicas Ciclos Limite y Estabilidad Global

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Soluciones Periódicas, Ciclos Limite Y Estabilidad Global

Algunas veces, se pueden utilizar vario resultados paraestablecer que no existen soluciones periódicas en unaregión R dada del plano. Supondremos que P(x,y) y (x,y)tienen primeras derivadas parciales continuas en R y que Resta simplemente conectado. Si existe una soluciónperiódica X!X(t) en R, entonces R contendr" todos lospuntos en el interior de la curva resultante.

Si un sistema autónomo plano tiene una solución periódicaX!X(t) en una región R simplemente conectada, entoncesel sistema posee al menos un punto critico dentro de lacorrespondiente curva cerrada simple #. Si existe un solopunto critico de #, entonces dic$o punto no puede ser unpunto de equilibrio.

Si una región R simplemente conectada no tiene puntoscr%ticos de un sistema autónomo plano o tiene un solo

punto de equilibrio, entonces no existen solucionesperiódicas en R.

Criterio negativo de Bendixson.Si div V!&P'&x +¿ &'&y no varia en signo en una región Rsimplemente conectada entonces el sistema autónomoplano no tiene solución en R.

Criterio negativo de Dulac.

Si δ (x,y) tiene primeras derivadas parciales continuas enuna región R simplemente conectadas y &( δP¿ '&x +¿ &(δQ¿ '&y no varia el signo de R, entonces el sistema

autónomo plano tiene soluciones no periódicas en R.

Región Invariante.na región R se llama región invariante de un sistemaautónomo plano si, siempre que X0 este en R , la soluciónX!X(t) que satisace X(*)!X0 permanece en R. na región

invariante tipo + esta acotada por una curva cerrada simple#, y el u-o en el limite denido por el campo vectorial



V(x,y)!(P(x,y), (x,y)) siempre esta dirigido al interior laregión. /sto evita que una part%cula atraviese el limite. naregión invariante tipo ++ es una región anular acotada por lascurvas cerradas simples #0 y #1, y el u-o en la rontera de

nuevo esta dirigido $acia el interior de R.Si n(x,y) expresa un vector normal en la rontera queapunta $acia adentro de la región, entonces R ser" unaregión invariante para el sistema autónomo plano siempre ycuando V(x,y) ∙ n(x,y) ≥0 para todos los puntos (x, y)situados en el limite.

Teoría de Poincare-Bendixson./l teorema Poincare 2endixson es un resultado avanzado

que describe el comportamiento de largo alcance de unasolución acotada a un sistema autónomo plano.

Sea R una región invariante de un sistema autónomoplano, y suponga que R no tiene puntos cr%ticos en sulimite.

a) Si R es una región tipo + que tiene un solo nodoinestable o un punto espiral inestable en su interior,entonces existe al menos una solución periódica en R.

b) Si R es una región tipo ++ que no contiene puntoscr%ticos del sistema, entonces existe al menos unasolución periódica en R.

/n cualquiera de los dos casos, si X!X(t) es una soluciónno periódica en R, entonces X(t) realiza una espiral $acia unciclo que es una solución del sistema. /sta soluciónperiódica se llama ciclo limite.

Sea R una región invariante del tipo + de un sistema

autónomo plano que no tenga soluciones periódicas en R.a) Si R tiene un numero nito de nodos o de puntos enespiral, entonces, dada cualquier posición inicial X* en R,limt→∞

X (t ) !X1 para alg3n punto critico X0.

b) Si R tiene un 3nico nodo estable o punto espiralestable X0 en su interior y no tiene puntos cr%ticos en su

limite, entonces limt→∞

X ( t ) !X0 para todas las posiciones

iniciales X* en R.

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