En este estudio se analizaron las estrategias de la multiplicación y la división en problemas con palabras durante dos años. El estudio siguió a 70 niños de tercero y segundo desde el tiempo que ellos no habían recibido instrucción formal en la multiplicación y la división a la etapa donde ellos se les había enseñado echó al monte privativos. Ni el problema de estructura, en copa la multiplicación y cinco para división fueron clasificados de la base de diferencias en la estructura semántica. Los resultados indicaron que el 75% de los niños podía resolver los problemas usando una variedad estrategias incluso más allá aunque ello no había recibido instrucción formal en multiplicación al división en el segundo año. En libertad realización se incrementó en cada fase de las entrevistas, pero poca diferencia fueron encontradas entre lo problema de multiplicación y división este hecho para los problemas de tipo cartesiano y factor. Las estrategias de solución fueron clasificadas tanto para multiplicación y para división en tres niveles:

1. Modelización directa con conteo.2. No modelización directa, con conteo, estrategía aditiva o substractiva.3. Uso de hecho derivados (adición, multiplicación).

Una variedad amplia de estrategias de conteo fueron clasificadas como contarlo todo, contar a saltos, y conteo doble. El análisis de los modelos intuitivos reveló la preferencia por el modelo de la suma repetida para la multiplicación y un building-up modelo de la división.

En años anteriores se había investigado como los niños desarrollan conceptos y procesos…

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Mientras muchas de estas investigaciones se habían enfocado en la escuela secundaria había sido también importante buscar desarrollo en la adquisición de conceptos específicos y habilidades. ….

El constructivismo ha dado una nueva dirección para la investigación matemática por enfocarse en los procesos de pensamiento matemático desde el punto de vista de los niños.

Estrategias formales e informales:

Parece que la ausencia de conexiones induce a un mayor de aproximamiento significativo frente a los mecánicos y no significativos que una vez que los niños habían aprendido los procedimientos de artimética formal ellos habían dejado de analizar los problemas de adicion y substracción que ellos previamente habían sido capaces de resolver.

Problemas de adición y substracción

En la resolución de problemas simples de adicion y substracción los niños pueden usar una variedad de estrategias informales tales como modelar y contar que reflejan la estructura semántica del problema. Estos estudios han contribuido a hacer un retrato más coherente de cómo los niños desarrollan los procesos de adicion y substracción en conjunto con otros estudios.

Los investigadores también han estado involucrados en la construcción de modelos explícitos de estructuras de conocimiento y procesos de solución que subyacen en la resolución de problemas en la suma y la resta.

El desarrollo de estos modelos ha indicado que hay complejas variaciones en los procesos de resolución de los niños, pero esos procesos quizás no sean siempre consistentes con un modelo particular. Sin embargo las estrategias de resolución han sido clasificadas y descritas en términos de modelación y abstracción de los procesos matematicos envueltos y eso ha dado más visión al desarrollo de los procesos de la adición y la substracción.

Problemas verbales de multiplicación y división

Intentos de construir esquemas han estado basados en las diferencias de las estructuras semánticas, la estructura matemática, el tamaño de las cantidades usadas y los modelos intuitivos de los estudiantes.

Más recientemente los estudios han analizado las estrategias de solución para los problemas de multiplicación y división. Estos estudios han obtenido evidencias complementarias sobre que la estructura semántica de los problemas y el desarrollo de estrategias de conteo, agrupación y aditivas influencian en la solución del proceso.

Esta investigación busca:

1. Desarrollar una clasificación general esquema para los problemas de multiplicación y división para niños jóvenes.

2. Clasificar las estrategias entre niveles de modelaje, conteo y abstracción.3. Analizar la relación entre la estructura del problema, la condición del problema y la

estrategia usada.4. Aportar evidencias de los modelos intuitivos para la multiplicación y la división.

Metodología

La metodología estuvo basada esencialmente en Carpenter y Moser (1984). Un esquema de clasificación para la estructura de los problemas y las estrategias de solución fue desarrollado. El diseño de la investigación de Carpente y Mose fue apropiado para este estudio porque permitia a los investigadores examinar directamente las estrategias de solución y como habían cambiado en ese período de 2 años.

Muestra:60 niñas.

Procedimiento: 261 entrevistas individuales.

En el tiempo de la entrevista final todos los niños habían sido instruíos en los hechos básicos de la multiplicación pero no en los hechos de la división.

Los problemas con nmeros grandes fueron solo preguntados si el niño tenia éxito en los problemas con números pequeños. Cada entrevista duraba de 15 a 55 minutos.

Si el niño era incapaz de resolver la suma repetida, la matriz o partición problemas con pequeños números un dibujo representando el problema era presentado al niño.

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Estructura de los problemas

En cada entrevista el niño era preguntado para resolver diez tipos de problemas diferentes. Fueron desarrollados esquemas de clasificación diferentes. Las subcategorías representan una variación en términos lingüísticos o semánticos fueron usado en algunos tipos de problemas porque hubo diferencias en las estrategias de resolución en los estudios piloto. Había 14 numeros prequeños y 11 grandes números preguntados en total.

Condiciones de los problemas

Todos los números representaban cantidades discretas. Los problemas fueran presentados utilizando dos tamaños de grupos de números diferentes, por ejemplo, aquellos cuyos productos y hechos de la división entre el 4 y el 20 para pequeños números y entre 20 y 40 para combinaciones más grandes. En las ternas 0 y 1, números cuadrados o múltiplos de 10 fueron no incluidos. Para cada estructura de problema, las ternas constantes durante las 4 entrevistas así que las diferencias en la actuación y uso de estrategias podían ser atribuidos a otros factores.

Resultados

El 75% de los niños fue capaz de resolver muchos de los problemas a alguna edad, incluso en el período en que no habían sido instruidos en la multiplicación o la división en casi todo el segundo año. Hay pocas diferencias entre el nivel de actuación y las estrategias entre los problemas de multiplicación y división, excepto que el nivel de actuación fue más bajo para los problemas cartesianos y de factor.

En comparación entre los problemas de números pequeños y grandes, hay una diferencia decreciente global para los números grandes con muchos niños revertiendo a modelación directa y procedimientos de conteo.

El 25% fue incapaz de resolver 2 o mas de los 11 problemas mas fáciles con números pequeños en cualquier fase de la entrevista. Muchos de estos niños realizaban en estrategias inmaduras tanto como las palabras clave, mirando el tamaño de los números para elegir la operación o aplicando los hechos numéricos incorrectamente. Estas estrategias mostraron que los niños eran incapaces de analizar y dar sentido a la variedad de situaciones y combinaciones de números requeridas. Esto fue consistente con los hallazgos de Sowder y Carpenter.

Estrategias primarias usadas en los problemas de y fases de entrevistas

Hubo una amplia variedad de estrategias utilizadas para resolver los diez problemas diferentes. Estas eran ampliamente basadas en agrupar, contar y procedimientos aditivos, y el incremento de sumas conocidas y hechos multiplicativos en las entrevistas de la tercera y cuarta etapa. Había unas pocas diferencias entre las estrategias de solución para la multiplicación y división excepto para compartir, uno a varios correspondencia, y ensayo y error usado exclusivamente para la división.

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Las estrategias primarias fueron usadas en el 10% o más del total de respuestas correctas en cada nivel. Las estrategias están dispuestas en orden predominante de uso:

Mirar página 7 de la investigación

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La tabla 3 indica la amplia gama de diferencias en el uso de estrategias a través de 4 estructuras de problemas multiplicativos. Las estrategias usad para el quinto problema, el de producto cartesiano se no muestran como su actuación fue mínima.

Tabla3 mirar página 8

La ausencia de contar a saltos para el problema de suma repetida puede ser explicado posiblemente por la naturaleza de la combinación de los números usados donde era mas común sumar 4 y 4 son 8. Contar a saltos no era apropiado aquí, así la predominación de los hechos de la adicción.

La tabla 4 indica que los patrones en estrategias fueron encontrados a lo largo de las 4 fases de las entrevistas para los problemas de división, pero las diferencias en las estrategias fueron mostrados entre los problemas de estructura multiplicativa de division. Reducir a la mitad y la suma fueron preferías para los problemas de partición A, mientras que la correspondencia uno a muchos fueron preferido para los problemas de partición B. Contar a saltos fue usado consistentemente para el problema de índice posiblemente porque a los niños les gustó el patrón de contar de 5 en 5. El problema de cuotición reveló una amplia preferencia por el modelaje directo con conteo, y partir por la mitad (usando subdivisión) fue exclusivamente usado para el problema de subdivisión. La tendencia para usar los hechos conocidos de la multiplicación en la entrevista en la fase 4 fue similar para el patrón de estrategia encontrado con los problemas de multiplicación.

Tabla 4 pag9

En resumen el análisis de las estrategias primarias mostró marcadas diferencias en estrategias entre el uso de soluciones de los problemas de multiplicación y división. Menos pronunciado fueron los cambios en el uso a lo largo de las fases en las entrevistas para cada estructura de problema, pero el uso de hechos conocidos fue encontrado para ser generalmente más común para la cuarta entrevista.

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Niveles de uso de estrategia para los problemas de multiplicación y división:

Se identificaron 3 niveles de estrategia del amplio numero de estrategias que usaron para resolver los problemas.

Los tres niveles básicos se describen como:

1. Estrategias basadas en el modelado y conteo usando contadores o dedos.2. Estrategias basadas en la adicción y sustracci´n sin modelado directo y3. Estrategias basadas en hechos de suma y hechos multiplicativos.

La tabla 5 muestra los 3 niveles básicos de uso de la estrategia incrementando los niveles de modelaje y abstracción a lo largo de 4 entrevistas. En el nivel 1 para las soluciones de la mutliplicación, las estrategias de agrupamiento y conteo fueron combinadas con que los niños formaban equivalentes representaciones d ela cantidad dada en el problema y entonces lo contaban todo (uno a uno o el total), contando a saltos o usaban conteo doble ( dos conteos hechos simultáneamente para numero de grupos o contaban cada grupo y luego lo sumaban). En el nivel 2 las estrategias eran idénticas pero el niño verbalizaba el proceso y describía su visualización del modelo de problema. Esto mostró un proceso mental mucho más avanzado.

Para la división:El agrupamiento y las estrategias de conteo eran distintas porque el tamaño de los grupos (partición, ratio, subdivisión) o el numero de grupos (quoticion) era desconocido. Los niños estimaban el numero en el grupo y entonces formaban grupos de igual medida. En muchos casos, contar todo (dividendo), contar a saltos o conteo de uno en uno acompañado del procreso de agrupación, compartir uno a uno era raramente utilizado. Si el niño no tenia éxito en su primer intento, agrupamiento en ensayo y error era utilizado donde se habían formado en las bases de cada intento. Esto era predominante para problemas de números grandes porque era mas difícil para los niños formar estimaciones de largos dividendos. Los niños eran reacios a estimar el numero de grupos para los problemas de cuotición y dependían en modelar grupos equivalentes y contar todo para comprobar el dividendo.En el nivel 3 el uso de sumas derivadas y hechos multiplicativos para la multiplicación y la división emergían claramente en las entrevistas en la fase 4.

Página 11Tabla 5 niveles de estrategia usados en problemas con números pequeños a lo largo de las 4 entrevistas

Multiplicación DivisiónNivel 1Modelado directo

Agrupamiento, contar todo Agrupamiento, contar todoCompartir uno a unoUno a varios correspondenciaAgrupación por ensayo y error.

Agrupar, doble conteo Agrupar, doble conteoAgrupar, contar a saltos Agrupar, contar a saltosAditiva y substractiva:-Suma repetida-Doblar-Hacer a la mitad-Resta repetida

Aditiva y substractiva:-Suma repetida-Doblar-Hacer a la mitad-Resta repetida

Nivel 2 Sin modelado directo

Agrupar, contarlo todo Agrupar, contarlo todoAgrupar de uno en unoUno a varios correspondencia

Agrupar, contar a saltos Agrupar, contar a saltosAgrupar, conteo doble Agrupar, conteo dobleAditiva y substractiva: Aditiva y substractiva:

-Suma repetida-Doblar-hacer por la mitad-Resta repetida

-Suma repetida-Doblar-hacer por la mitad-Resta repetida

Nivel 3Hechos conocidos

Hechos conocidos de la suma

Hechos conocidos de la multiplicaciónHechos derivados de la multiplicación

Hechos conocidos de la división

Página 12Modelos intuitivosHay una predominancia del modelo de la suma repetida para la multipliación aunque un “colocar en el grupo”, una matriz (variedad), y modelos cartesianos fueron también encontrados.Tres modelos intuitivos para la división aparecieron para el autor abarcando el método de solución: compartir uno a uno, building up aditiva, building down substractiva.Los análisis de los problemas de partición, cuotición e índice a lo largo de las cuatro fases mostraron una gran preferencia por modelo building up y este estaba basado en estrategias de contar o sumar donde los niños built up el dividendo.Por ejemplo en la quoticion A (Hay 16 niños y 2 niños están sentads en cada mesa. Cuantas mesas hay?) El niño built up grupos de 2 hasta que alcanzaba 16 y entonces verbalizaba contarlo todo, contar a saltos o conteo doble.Building down era distinto porque el niño modeló o contó el dividendo primero como: 16 me llevo, me llevo 2. Un cambio en el tipo de problema ha afectado al modelo intuitivo usado que soporta que la nocion de que el niño desarrolla más de un modelo intuitivo. Algunos niños que fueron consistentes con su modelo primitivo en los problemas tendían a ser restringidos con el building down. Esos niños que eran más exitosos a lo largo de los problemas fueron mas gustosos a la hora de cambiar sus modelos. El incremento en la estrategia build fue mostrado a lo largo de las entrevistas. Habia una clara indicación sin embargo que el modelo buiding down era usado inicialmente y cuando los niños podían relativamente aplicar estrategias aditivos o hechos multiplicativos al problema ellos recurrían al build up.

Estos hallazgos muestran dudas para los métodos de enseñanza que se apoyan en los modelos de sharing y substracción repetida para la división. Se sugiere que la rigidez de los modelos tradicionales partitivo y cuotativo quizá restrijan el proceso de resolución, aunque se construya en el pensamiento intuitivo de los niños. Se puede cuestionar si el uso de la suma y las estrategias de estimación, especialmente el uso eficiente de multiple y conteo en grupo quizás sea una manera mas efectiva de enseñanza de la división. Mas allá del análisis de la información revelará si los niños prefieren un modelo subyacente consistente o si el tipo de problema especifico afecto a su modelo intuitivo. Ello revelará si los niños cambian su modelo cada dos años.

Página 13 Implicaciones para la enseñanza

La importancia de los procedimientos aditivos en el desarrollo de la multiplicación y la división fue mostrado con el uso eficiente de conteo a saltos, conteo doble como centro de este desarrollo. En las clases la transición de conteo a estrategias mentales y entonces conocer hecho puede ser monitorizado a lo largo de una variedad de situaciones de multiplicación y división. Los programas de enseñanza podían incorporar el desarrollo de estrategias informales mas allá de enfocarse solo en controlar hechos numéricos y habilidades de calculo que quizás no están relacionadas con el desarrollo de estrategias. Los maestros podrían facilitar más aprendizaje significativo a través de establecer conexiones entre las estrategias intuitivas de los niños y la forma de enseñanza de la multiplicación, división, suma y resta. Quizás el proceso de enseñanza seria más natural si se enfocan desde situaciones de desarrollo natural que muestran los niños. Los niños podría ser ayudados a resolver problemas de multiplicación y división a través modelar con materiales o presentando o dibujando dibujos. La dificultad relativa de las diferentes estructuras de los problemas y las combinaciones de números han sido identificadas más claramente y así los maestros pueden exponerlos a los niños con una mejor comprensión de la relativa facilidad o dificultad que los niños pueden encontrar.El análisis de los modelos intuitivos para la multiplicación y la división indicó que los niños pueden desarrollar diferentes modelos emergentes para estos procesos. La amplia preferencia para el modelo de la suma repetido y building up modelo para la división puede influenciar más operaciones complejas de esas operaciones a través de la escuela primaria y el instituto.La preferencia para la estrategia aditiva en el desarrollo ……

Referencias