SOLUCIONES

EJERCICIOS DERIVADAS

         Ejercicio nº 1.­

Calcula  f '(2),  utilizando la definición de derivada, siendo:

f (x) = 2x2 + 5x

Solución:

( ) =−++++=−+++=−+=→→→ h

hhhlímh

hhlímh

fhflímfhhh

18510)44(218)2(5)2(2)2()2(2'

2

0

2

00

13)132()132(13218510288

00

2

0

2

0=+=+=+=−++++=

→→→→hlím

hhh

límh

hhlím

hhhh

límhhhh

Ejercicio nº 2.­

Halla la ecuación de la recta tangente a la curva  f (x) = 2x2 ­ 3x + 1,  que es paralela a la recta 2x + 3y ­ 1 = 0.

Solución:

:pendiente misma la tendrá  ,3

120132  recta la a paralela es Si

+−=→=−+• xyyx

32

'−=y

( )127

37

432

34' =→=→−=−= xxxxf

• Ordenada en el punto:

725

127 −=

f

• Ecuación de la recta tangente:

7223

32

127

32

725 +−=→

−−−= xyxy

Ejercicio nº 3.­

Considera la función:

f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1

a) Estudia su crecimiento y halla sus máximos y mínimos.

b) Estudia su curvatura y obtén sus puntos de inflexión.

Solución:

a) f '(x) = 6x2 + 18x + 12

f '(x) = 0   →   6 (x2 + 3x + 2) = 0

−=

−=→±−=−±−=

2

12

132

893

x

xx

• Signo de  f '(x):

f (x)  es creciente en  (­∞, ­2) ∪ (­1, +∞);  es decreciente en  (­2, ­1). Tiene un máximo en  (­2, ­3) y un mínimo en  (­1, ­4).

b) f ''(x) = 12x +18

( )23

1218

018120''−=−=→=+→= xxxf

• Signo de  f ''(x):

( ) de punto un Tiene.,23

  en cóncava es;23

,  en convexa es  

∞+−

−∞−xf

.27

,23

  en inflexión

−−

Ejercicio nº 4.­

( ) [ ]., hx

xf ++−= 22  intervalo el en  3

1  función la de T.V.M. la Hallaa)2

b) Con el resultado obtenido, calcula  f '(2).

Solución:

[ ] =++++−=

−−++−

=−+=+hhh

h

h

hfhfh

331)44(3

)3(3

1)2()2()2(

2,2 T.V.M.a)2

2

34

3)4(

3444 2 h

hhh

hhh −−=−−=+−−−=

( ) ( )34

3)4(2)2(

2b)00

−=−−=−+=→→

hlímh

fhflímf'hh

Ejercicio nº 5.­

Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva  f (x) = 4x3 ­ 2x + 1  que son paralelas a la recta  y = 10x + 2.

Solución:

• Si son paralelas a la recta  y = 10x + 2,  tienen la misma pendiente; es decir, ha de ser:

f '(x) = 10

( )

=

−=→=→=→=−=

1

11121210212' 222

x

xxxxxf

• Ordenadas en los puntos:

f (­1) = ­1;   f (1) = 3

• Ecuaciones de las rectas tangentes:

­ En  x = ­1   →   y = ­1 + 10 (x + 1)   →   y = 10x + 9

­ En  x = 1   →   y = 3 + 10 (x ­ 1)   →   y = 10x ­ 7

Ejercicio nº 6.­

Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función:

f (x) = (x ­2)2 (x + 1)

Di dónde es creciente, decreciente, cóncava y convexa.

Solución:

• Derivada:

f '(x) = 2 (x ­ 2) (x + 1) + (x ­ 2)2 = (x ­ 2) [2 (x + 1) + x ­ 2] = 

= (x ­ 2) (2x + 2 + x ­ 2) = 3x (x ­ 2) = 3x2 ­ 6x

( ) ( )

=

=→=−→=

2

00230'

x

xxxxf

• Signo de  f '(x):

f (x)  es creciente en  (­∞, 0) ∪ (2, +∞);  es decreciente en  (0, 2). Tiene un máximo en (0, 4) y un mínimo en  (2, 0).

• Segunda derivada:

f ''(x) = 6x ­ 6

f ''(x) = 0   →   6x ­ 6 = 0   →   x = 1

• Signo de  f ''(x):

f (x)  es convexa en  (­∞, 1);  es cócava en  (1, +∞). Tiene un punto de inflexión en  (1, 2).

Ejercicio nº    7.­   

Un heladero ha comprobado que, a un precio de 50 céntimos de euro la unidad, vende una media de 200 helados diarios. Por cada céntimo que aumenta el precio, vende dos helados menos al día. Si el coste por unidad es de 40 céntimos, ¿a qué precio de venta es máximo el beneficio diario que obtiene el heladero? ¿Cual será ese beneficio?

Solución:

Llamamos  x  al número de céntimos en los que aumenta el precio. Así, cada helado costará 50 + x  céntimos; y venderá  200 ­ 2x  helados diarios.

Por tanto, por la venta de los helados obtendrá unos ingresos:

I (x) = (50 + x) (200 ­ 2x)

Pero tiene unos gastos de:  G (x) = (200 ­ 2x) ∙ 40

Luego, el beneficio será de:

B (x) = I (x) ­ G (x) = (50 + x) (200 ­ 2x) ­ (200 ­ 2x) ∙ 40 = (200 ­ 2x) (50 + x ­ 40) =

= (200 ­ 2x) (x + 10) = ­2x2 + 180x + 2 000

Hallamos  x  para que el beneficio sea máximo:

B '(x) = ­4x + 180

B '(x) = 0   →   ­4x + 180 = 0   →   x = 45

B ''(x) = ­4;   B ''(45) < 0   →   en  x = 45  hay un máximo

Por tanto, obtendrá el máximo beneficio vendiendo cada helado a 50 + 45 céntimos de euro. En este caso, el beneficio sería de  B (45) = 6 050 céntimos, es decir, de 60,50 euros.

Ejercicio nº 8.­

( ) [ ]., hx

xf ++

= 11  intervalo el en  1

3  función la de T.V.M. la Hallaa)

b) Con el resultado obtenido, calcula  f '(1).

Solución:

[ ] =++−

=−

+=−

++=−+=+h

hh

hh

hh

hfhfh )2(2

)2(36

23

23

23

113

)1()1(1,1 T.V.M.a)

)2(23

)2(23

)2(2636

+−=

+−=

+−−=

hhhh

hhh

( ) ( )43

)2(231)1(

1b)00

−=+

−=−+=→→ h

límh

fhflímf'

hh

Ejercicio nº 9.­

.2  en  63  curva la a tangente recta la de ecuación la Halla 02 −=+−= xxxy

Solución:

• Ordenada en el punto:

( ) 4162 ==−y

• Pendiente de la recta:

( )632

3232∙

632

1'

22 +−

−=−+−

=xx

xx

xxy

( )87

2'−=−y

• Ecuación de la recta:

( )49

87

287

4 +−=→+−= xyxy

Ejercicio nº 10.­

Halla los intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos de la función:

( )1

222

−+−=

xxxxf

Solución:

• Dominio = R − {1}

• Derivada:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2

2

2

22

2

2

12

1222222

122122

'−−=

−−+−+−−=

−+−−−−=

xxx

xxxxxx

xxxxxxf

( ) ( )

==

=−→=−→=20

02020' 2

xx

xxxxxf

• Signo de  f' (x).

f (x)  es creciente en  (−∞, 0) ∪ (2, +∞);  es decreciente en  (0, 1) ∪ (1, 2).  Tiene un máximo en (0, −2)  y un mínimo en  (2, 2).

Ejercicio nº 11.­

La producción de cierta hortaliza en un invernadero  (Q(x)  en kg) depende de la temperatura (x  en °C) según la expresión:  Q(x) = (x + 1)2 (32 ­ x)

a) Calcula razonadamente cuál es la temperatura óptima a mantener en el invernadero.

b) ¿Qué producción de hortaliza se obtendría?

Solución:

a) Buscamos el máximo de la función  Q(x):

Q '(x) = 2 (x + 1) (32 ­ x) + (x + 1)2 ∙ (­1) = (x + 1) [2 (32 ­ x) ­ (x + 1)] =

= (x + 1) [64 ­ 2x ­ x ­ 1] = (x + 1) (63 ­ 3x)

( )

=→=−

−=→=+→=

210363

1010'

xx

xxxQ

Q ''(x) = (63 ­ 3x) + (x + 1) ∙ (­3) = 63 ­ 3x ­ 3x ­ 3 = ­6x + 60

Q ''(­1) = 66 > 0   →   en  x = ­1  hay un mínimo.

Q ''(21) = ­66 < 0   →   en  x = 21  hay un mínimo.

Por tanto, la temperatura ha de ser de  21 °C.

b) La producción en este caso sería de:

Q(21) = 5 324 kg

Ejercicio nº 12.­

Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente función. Halla sus máximos, mínimos y puntos de inflexión:

( ) 1912

234

+−−= xxxxf

Solución:

• Derivada:

( ) xxxxf 233

'23

−−=

( ) ( )

+±=→=−−

=

=−−=−−→=

22411

06

0

03

63

60'

2

223

xxx

xxxxxxxxf

=

=

3

0

x

x

• Signo de  f' (x):

f (x) es decreciente en  (−∞, −2) ∪ (0, 3);  es creciente en  (−2, 0) ∪ (3, +∞). Tiene

( ).1,0  en máximo un Tiene  .417

,3  en otro  y 97

,2  en mínimo un

−

−−

• Segunda derivada:

( ) 23

2'' 2 −−= xxxf

( )

≈−≈±=+±=→=−−→=79,1

12,16

7626

724206230'' 2

xx

xxxxf

• Signo de f '' (x):

f (x) es decreciente en  (−∞; −1,12) ∪ (1,79; +∞);  es convexa en  (−1,12; 1,79).  Tiene dos puntos de inflexión:

(−1,12; 0,03)  y  (1,79, −1,99)

Ejercicio nº 13.­

Una huerta tiene actualmente 24 árboles, que producen 600 frutos cada uno. Se calcula que, por cada árbol adicional plantado, la producción de cada árbol disminuye en 15 frutos. ¿Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para que la producción sea máxima? ¿Cuál será esa producción?

Solución:

Llamamos  x  al número de árboles que se plantan. Tenemos que el número de frutos sería:

f (x) = (24 + x) (600 − 15x) = −15x2 + 240x +14 400

Buscamos  x  para que  f (x)  sea máxima:

f ' (x) = −30x + 240

( ) 8830

2400240300' =→==→=+−→= xxxxf

Veamos que es un máximo:

f '' (x) = −30 ; f '' (8) = −30 < 0   →    en  x = 8  hay máximo. (Como  f (x)  corresponde a una parabola invertida, en  x = 8  está el máximo absoluto).

Por tanto, se deben plantar 8 árboles. Así, habrá un total de  24 + 8 = 32  árboles, que producirán 15 360 frutos.

Ejercicio nº 14.­

Halla la derivada de la función  f (x),  en  x0 = ­1,  utilizando la definición de derivada:

( )2

14 2 += xxf

Solución:

( ) ( ) =−++−

=−++−

=−−+−=−→→→ h

hh

límh

h

límh

fhflímf'hhh

25

21)21(4

25

21)1(4

1)1(1

2

0

2

00

4)42(2

)42(22

842

5148400

2

0

2

0−=−=−=−=−++−=

→→→→hlím

hhh

límh

hhlím

hhh

límhhhh

Ejercicio nº 15.­

el con corte de punto el en  12  curva la a tangente recta la de ecuación la Obtén

+−=

xxy

eje de abscisas.

Solución:

• Punto de corte con el eje  X:

( )0,2  Punto20212

0 →=→=−→+−→= xx

xxy

• Pendiente de la recta:

222 )1(3

)1(21

)1()2(1

'+

=+

+−+=+

−−+=xx

xxx

xxy

( )31

93

2' ==y

• Ecuación de la recta tangente:

( )32

31

231 −=→−= xyxy

Ejercicio nº 16.­

Estudia los intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos de la función:

( )22

124)( −

−=xx

xf

Solución:

• Dominio = R ­ { 2 }

• Derivada:

( ) =−

−−−−=−

−−−−=44

2

2)(x])124(2)2(4[)2(

)2()2(2∙)124()2(4

'xxx

xxxxxf

33 )2(164

)2(24884

−+−=

−+−−=

xx

xxx

f '(x) = 0   →   ­4x + 16 = 0   →   x = 4

• Signo de  f '(x):

f (x)  es creciente en  (­∞, 2) ∪ (4, +∞);  es decreciente en  (2, 4). Tiene un máximo en  (4, 1).

Ejercicio nº 17.­

Un depósito abierto de latón con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros, ¿qué dimensiones debe tener para que su fabricación sea lo más económica posible?

Solución:

Llamamos  x  al lado de la base e  y  a la altura del depósito. Así, el volumen es:

232 0004

dm 0004x

yyxV =→==

La superficie total del depósito (recordemos que está abierto) será:

0;000160004

∙44 222

2 >+=+=+= xxx

xx

xxxyA

Buscamos  x  para que  A  sea mínima:

2

3

2

2000162

00016'

xxx

xA +−=+−=

A' = 0   →   −16 000 + 2x3 = 0   →   2x3 = 16 000   →

dm2000080008200016 33 ==→==→ xx

Veamos que es un mínimo:

( ) mínimohay   20  en020'',200032

''3

=→>+= xAx

A

Por tanto, el lado de la base debe medir  x = 20 dm  y la altura,  y = 10 dm.