1

Soluciones Ejercicios Nicholson (Novena Edición)

Capítulo 8: Funciones de Costos

Marcelo Caffera

1. EJERCICIO 8.3 a. J 30 = J900 = q 5.05.0 Si 25 = J 150 = q , y J = 100 cuando q = 300, y J = 225 cuando q = 450.

b. Costos totales = 3*900+12*J

J = q2/900 CTC = 2700+12q2/900

75

2q =

900

24q =

dq

dCTC = CMC

q = 150 CM = 4

q = 300 CM = 8 q = 450 CM =12

2. EJERCICIO 8.4

q = min(5K, 10L), v = 1, w = 3,

CT = vK + wL = K + 3L

a. En el largo plazo, 5K = 10L, K = 2L

2

. 2

1

q

q

q

CT(q) = CM

2

1 =

q

q

q

CT = CMe

qqCT(q)

qLLqComo

5L = 3L + 2L = CT

=∂

∂=

∂∂

×=

=×=

==

2

1

2

2105

que lopor ,10/ ,10

b. K = 10 q = min(50, 10L)

Si 5, < L

10

3q + 10 = 3L + 10 = CT

10L = q ,

10

3=CM

10

3 +

q

10 = CMe

Si L ≥ 5,

q = 50

CT = 10 + 3L

50

3L + 10 = CMe

CM es infinito ya que K está fijo y mayor L no aumenta q.

CM(q=10) = 3/10 (Ver resultados anteriores).

CM(q=50) = CM(q=100) es infinito.

3

3. EJERCICIO 8.5 (12.6 Octava Edición - 12.7 Sexta

Edición)

a. A corto plazo, si 100, = K

L20 = q L 1002 = L K2 = q ••

400

q = L

20

q = L

2

100

q + 100 =

400

q4 + 1(100) = wL+ vK = CTC

22

100

q +

q

100 =

q

CTC = CMeC

b. 50

q = CMC

106,25 = 10025 + 100 = 25, = q

2

CTCSi

50 = 50

25 = CMC 254 =

100

25 +

25

100 = CMeC ,0,

Si q = 50, CTC = 100 + 125 = 100502

1 = 50

50 = CMC 502 =

100

50 +

50

100 = CMeC ,

Si q = 100, CTC = 100 + 200 = 1001002

4

. 2 = 50

100 = CMC 2 =

100

100 +

100

100 = CMeC

Si q = 200, CTC = 100 + 500 = 1002002

4 = 50

200 = CMC 502 =

100

200 +

200

100 = CMeC ,

c. GRÁFICOS AQUÍ d. Mientras la CMC está por debajo de la CMeC, CMeC baja ya que los

CMe decrecen. Similarmente, si la CMC está por encima del CMeC ésta debe subir ya que CM mayores a los CMe hacen subir los CMe. Por lo tanto, la CMC debe cortar a la CMeC en el punto mínimo. Estas partes que siguen eran el 12. 7 de la Octava Edición - 12.8 Sexta Edición

e. K4 /q = L K4 = q , 22 L LK2 = q

K/4 wq + Kv = wL+ Kv = CT 2 f.

vw 2

q = K

,

5.05.0

2

−

−∂

∂0 = K/4wq v =

K

CT 2

g.

5

( )

v qw

= v w 2

q + vw

2

q

wvw 2

q

wv

= wL+ vK = CT

5.05.0

5.05.05.05.0

5.05.0

25.05.0

25.05.0

vw 2

q4

q

K4 /qvw 2

q

××+

=×+

×

−

−

h. Si w = 4 v = 1, CT = 2q

/100q + 100 = 100) = K( CTC 2 ; CTC = CT para q = 100

/200q + 200 = 200) = KCTC( 2 ; CTC = CT para q = 200

/400q + 400 = 400) = KCTC( 2 ; CTC = CT para q = 400

6

1. EJERCICIO 8.6 (Ejercicio 12.8 Octava edición) a. q + q = 21totalq

L10 = q L5 = L25 = q 22111

/100 q + 100 = C /25 q + 25 = L + 25 = C222

2111

100

q +

25

q + 125 = C + C =

22

21

21totalC

Min. cost: L = c + λ (q ! q1 ! q2 )

0 = 25

q2 =

q

L 1

1

λ−∂∂

q = q4 21

0 = 100

q2 =

q2

2

λ−∂∂L

b. q 4/5 = q q 1/5 = q q = q4 2121

Sustituyendo estas expresiones en C total, se obtiene, luego de unas cuentas:

125

q +

q

125 = AC

125

2q = MC

125

q + 125 = C

2

$1.60 = 125

200 = (100) MC

MC(125) = $2.00 MC(200) = $3.20

c. In the long run, can change K so it doesn't really matter. Could split evenly or produce all output in one location, etc.

LTC = K + L = 2q

LAC = 2 = LMC

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d. Si hay retornos decrecientes a escala con funciones de producción idénticas, entonces se debe repartir la producción entre ambas plantas en partes iguales.

1. EJERCICIO 8.9 (12.10 Octava Edición)

2/3 1/3CT qw v=

a. 2/3

1

3

CT wK q

v v

∂ = = ∂

1/32

3

CT vL q

w w

∂ = = ∂

b. Despejando w/v de L: 1/3

3

2

L v

q w =

=> 3

2

3

w q

v L =

Sustituyendo en K:

2/33 21 2 1 2

3 3 3 3

q qK q q

L L

= = => ( )2/31/3 1/3 1/3 2/3

1/3

33 3

4K L K L q= =

la cual es una function de producción Cobb-Douglas.

12.5 a. LK = q βα

La minimización de costos exige:

1L

1K

KPM K LRST = w/v = = = LPM K L

α β

α β

β βα α

−

−

αβαβ vK

= wL

,L

K =

v

w

b. C = wL + vK

ββαβα +

L = ) / + (1 L = w

vK + L =

w

C

8

αβααβ +

K = )/ + (1 K = K +v

wL =

v

C

αβα

ββα α

ααβ

ββ

+ K =

v

C

+ L =

w

C

q B = +

+

LK = v

C

w

C ′

αβα

ββα αβ

βααβ

v w Bq = C +/+/+/1 βααβαββααββα or vqw B = C + ′

donde ) B( = B +1/ βα′ .

c. Si α + β = 1, C = Bqwβvα . Esto es una función de costos Cobb-Douglas. El costo es proporcional a q, dados w y v.

d. v w bq = C +/+/+1/ βααβαββα

( ) ( )1/ + 1 / + / +CCM = = (1/ + ) q w v

qα β β α β α α βα β −∂

∂

Recordando que los exponentes representan las elasticidades esto da:

CM , w = e +

βα β

.

Similarmente,

CM, v = e +

αα β

.

9

1. 12.8 Octava Edición - 12.9 Sexta Edición

a. q + q = 21totalq , L10 = q L5 = L25 = q 22111

/100 q + 100 = C /25 q + 25 = L + 25 = C222

2111

100

q +

25

q + 125 = C + C =

22

21

21totalC

Min. cost: L = 2 21 2q q

125 + + 25 100

+ λ (q - q1 - q2 )

(1) 0 = 25

q2 =

q

L 1

1

λ−∂∂

(2) 0 = 100

q2 =

q2

2

λ−∂∂L

De donde sale que q = q4 21 (esta relación es lo mismo que decir que los costos

marginales en ambas empresas son iguales. Calcular CM1 y CM2 y comprobarlo)

b. q 4/5 = q q 1/5 = q q = q4 2121

2 2q 125 qqC = 125 + CM = CMe = +

125 125 q 125

200CM (100) = = $1.60

125

CM (125) = $2.00 CM (200) = $3.20

c. En el largo plazo K puede cambiar. Por lo que en realidad no importa como la distribuye. Puede producir mitad y mitad o producir todo en una (tener una sola planta), etc.

CTL = K + L Minimizando con respecto a la función de producción te queda como

condición que K = L. Eso significa C = 2L y q = L, de donde sale que CTL = 2q

CMeL = 2 = CML

d. Si hubiera rendimientos decrecientes a escala con funciones de producción idénticas, entonces debería repartir de forma igual la

10

producción en cada planta (mitad y mitad). CMeL y CML ya no son constantes, sino que creciente en q.

2. Ejercicio 12.11 Sexta Edición

( )0,5 0,5CT v vw w q= + +

a. 1

0,5 /2

CTK w v q

v

∂ = = + ∂

1/ 0,5

2

CTL v w q

w

∂ = = + ∂

b.De la demanda de L sale que:

21 /

Lv w

q− =

21 1

0,5 0,52 2 2 2

q qK q q

L q L q

= + = + − −

=>

22 22 4 2 2

22

( )

qK q KL Lq Kq q q

L qKL

qL K

− = => − − + = −

=+