Soluciones a los ejercicios propuestos

Unidad 1. El conjunto de los números reales

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I

NÚMEROS RACIONALES Y NÚMEROS IRRACIONALES 3. Determina si los siguientes números son o no números racionales:

a) 7,555555… b) 3,034035036… c) 1,03034444444… d) 34,350350350351. SOLUCIÓN:

a) Es un número racional, se trata de un número decimal periódico. b) Es un número irracional, aunque existe una forma de construir la parte decimal, sin embargo

las infinitas cifras decimales no se repiten de forma periódica. c) Es un número racional, se trata de un número decimal periódico mixto. d) Es un número racional, se trata de un número decimal exacto, tiene un número finito de

cifras decimales. 4. Efectúa las siguientes operaciones utilizando la fracción generatriz de cada número decimal:

a) 60,0

2,16,0

b)

5,1

6,03,04

SOLUCIÓN:

a) 28

6

168

90

690

10860

90

610

12

9

6

60,0

2,16,0

b) 9

4

159

60

10

159

6

10

159

6

9

12

10

159

6

9

34

5,1

6,03,04

5. Determina si los siguientes números son racionales o irracionales:

a) 1,23234234523456... b) 1,23232323... c) 1,234235236237... d) 1,23 SOLUCIÓN:

a) Es un número irracional, ya que tiene infinitas cifras decimales que no se repiten de forma periódica.

b) Es un número racional, se trata de un número decimal periódico puro. c) Es un número irracional, tiene infinitas cifras decimales que no se repiten de forma periódica. d) Es un número racional, es un número decimal exacto.

6. Determina cuáles de los siguientes radicales son números irracionales:

a) 8 b) 3 625 c) 9 d) 5 32 e) 4 95

SOLUCIÓN:

a) Es un número irracional. b) Es un número irracional.

c) Es un número racional, 39 .

d) Es un número racional, 2325 . e) Es un número irracional.

NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL 8. Dibuja, utilizando el teorema de Pitágoras, segmentos que tengan las siguientes longitudes:

30,8,7 .

SOLUCIÓN:

Teniendo en cuenta que 22 32347 , representamos en primer lugar el número real

3 . Como 22 21213 tenemos que representar previamente el número 2 . Ya que

usamos 22 112 , obtenemos por el Teorema de Pitágoras que el punto D se corresponde con

2 . Con triángulo rectángulo de base 2 y altura 1, obtenemos el punto F que representa el

número real 3 . Finalmente con el triángulo rectángulo de base 3 y altura 2 obtenemos el punto H

que proyectado sobre la recta real nos da el punto J que es 7 .

Para representar 8 , podemos tener en cuenta que 22 228 , por tanto, si representamos un

triángulo rectángulo de base 2 y altura 2, obtenemos el punto C que proyectado sobre la recta real

nos da el punto F que representaría al número real 8 .

Como 5530 2 , teniendo en cuenta que 22 125

Construyendo el triángulo rectángulo de base 2 y altura 1, obtenemos el punto C. La hipotenusa AC

tiene longitud 5 ,

trasladando esa longitud con el compás sobre la recta real obtenemos el punto D que representa al

número 5 . Construyendo

ahora el triángulo

rectángulo de base 5 y

altura 5 obtenemos el punto E. La longitud AE es

30 . Con el compás

podemos trasladar esa longitud sobre la recta real

y obtenemos el punto G que representa el valor deseado. 9. Construye una sucesión de 10 intervalos encajados que determine los siguientes números

reales: 2,3,e .

SOLUCIÓN: Para obtener una sucesión de 10 intervalos encajados, necesitamos un total de 9 cifras decimales de cada número. Una expresión decimal del número e con 10 cifras decimales es: 2,718281828. Por tanto la sucesión de 10 intervalos encajados que define el número e es: (2;3), (2,7; 2,8), (2,71; 2,72), (2,718; 2,719), (2,7182; 2,7183); (2,71828; 2’71829), (2,718281; 2’718282), (2,7182818; 2,7182819), (2,71828182; 2,71828183), (2,718281828; 2’718281829).

Una expresión decimal del número 3 con 9 cifras decimales es: 1,732050807 Por tanto la sucesión

de intervalos encajados que define este número es: (1;2), (1,7; 1,8), (1,73; 1,74), (1,732; 1,733), (1,732; 1,7321), (1,73205; 1,73206), (1,73205; 1,732051), (1,7320508; 1,7320509), (1,7320508; 1,73205081), (1,732050807; 1,732050808).

Una expresión decimal del número 2 con 9 cifras decimales es: 1,414213562. La sucesión de intervalos encajados pedida es: (1;2), (1,4; 1,5), (1,41; 1,42), (1,414; 1,415), (1,4142; 1,4143), (1,41421; 1,41422), (1,414213; 1,414214), (1,4142135; 1,4142136), (1,41421356; 1,41421357), (1,414213562; 1,414213563). ORDENACIÓN EN R. INTERVALOS Y ENTORNOS. 12. Dados los siguientes conjuntos de números reales, ordénalos de menor a mayor:

a) 2

7,

12

1,

4

3,

3

2 y

6

1 b) 867'1,76'1,,

y 869'1

c) 839,3,38,3,83,3,4,3

y 140,3

SOLUCIÓN:

a) Reducimos a común denominador los números y tenemos: 12

8

3

2 ,

12

9

4

3 ,

12

1,

12

42

2

7

,12

2

6

1 por lo tanto

2

7

4

3

3

2

6

1

12

1 .

b) 869,1867,176,1

c) 140,34,3839,383,338,3

13. Intercala tres números reales de forma ordenada entre los pares de números siguientes:

a) 103,1,20,1

b) 203,3,20,3

.

SOLUCIÓN:

a) 103,1025,1024,1023,120,1

b) 20,30313,30314,30315,3203,3

14. Realiza las siguientes operaciones con intervalos y representa el resultado obtenido:

a) [-5,5] (0,6)

b) [-5,5] (0,6)

c) (4,9](5,8] d) (4,9]∩(5,8]

e) (-,0)(-1,4]

f) (-,0)(-1,4]

g) (-3,4](2,+)

h) (-3,4](2,+) SOLUCIÓN:

a) [-5,6) b) (0,5] c) (4,9] d) (5,8] e) ]4,( f) (-1,0) g) ),3( h) (2,4]

VALOR ABSOLUTO 19. Efectúa las siguientes operaciones: a) ||-4+7|-|7+4||-3| b) ||-4||-5|-|-20|| c) ||4| (-2) – 4 |-2|| SOLUCIÓN:

a) |3-11 3|=|3-33|=30. b) |4 5-20|=0 c) |-8-8|=16

20. Calcula: a) |37| b) |48| c) |2| e d) || e

SOLUCIÓN:

a) 73 b) 84 c) e-2 d) e

21. Resuelve las siguientes ecuaciones, en el caso de que tengan solución:

a) |4x+5|=3 b) 5-|3+x|=8 c) |-4x+7|+8=10 d) |3x+5|=10 SOLUCIÓN:

a) 3543|54| xx ó 24354 xx ó 2/184 xx ó 2x

b) |3|38|3|5 xx ¡Sin solución!

c) 2742|74|108|74| xxx ó 54274 xx ó 4/594 xx ó 4/9x

d) 105310|53| xx ó 531053 xx ó 3/5153 xx ó 5x

22. Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) 7|3| x b) 8|4| x c) 2|1| x d) 8|12| x

SOLUCIÓN:

a) )4,10(4107377|3| xxxx

b) 848|4| xx ó 84 x 12 x ó ),12()4,(4 xx

c) ]1,3[132122|1| xxxx

d) 8128|12| xx ó 72812 xx ó 2/792 xx ó

.,2/72/9,2/9 xx

APROXIMACIONES DECIMALES. ERRORES 26. Aproxima por truncamiento y por redondeo a las décimas, centésimas, milésimas y

diezmilésimas de lo siguientes números reales utilizando la calculadora:

a) 5 b) 256 c) 7

SOLUCIÓN:

Truncamiento Décimas Centésimas Milésimas Diezmilésimas

5 2,2 2,23 2,236 2,2360

256 12 12 12,002 12,0021

7 10,1 10,14 10,141 10,1415

Redondeo Décimas Centésimas Milésimas Diezmilésimas

5 2,2 2,24 2,236 2,2361

256 12 12 12,002 12,0022

7 10,1 10,14 10,142 10,1416

27. Dados los siguientes números reales: a) 27 b) 3 3 c) 5 d) . e6

Utiliza la calculadora para: 1. Aproximar por redondeo a las diez milésimas. 2. Determinar los errores absolutos y relativos de las aproximaciones. 3. Obtener los intervalos de aproximación de las aproximaciones. 4. Calcular el orden del error relativo cometido en cada aproximación.

SOLUCIÓN:

Redondeo diezmilésima

Error absoluto

Error relativo Intervalo de aproximación Orden del error relativo

27 5,1962 0,0000475 0,000009156

( 27 0,00005, 27 0,00005) 0,0009156 %

3 3 1,4422 0,0000495 0,000034370

( 33 0,00005, 33 0,00005) 0,0034370 %

5 15,708 0,0000367 0,000002338

(5 0,00005, 5 0,00005) 0,0002338 %

e6 16,3097 0,0000090 0,000000553

(6e 0,00005, 6e 0,00005) 0,0000553 %

28. Utilizando la calculadora, redondea el resultado de las siguientes operaciones:

a) Con un error menor que 1 centésima b) Con un error menor que 1 diezmilésima

1) 24275 2) 612313 3) 3

213

SOLUCIÓN: a) Para obtener un error menor que 1 centésima es decir 0,01 debemos redondear a la milésima pues en ese caso el error máximo que se comete es de 0,005: 1) 20,324 2) 18,762 3) 2,939 b) Para obtener un error menor que 1 diezmilésima es decir 0,0001 debemos redondear a la cienmilésima pues en ese caso el error máximo que se comete al redondear es de 0,00005: 1) 20,32391 2) 18,76188 3) 2,93888

29. Con ayuda de la calculadora, redondea los siguientes números con el número de cifras

significativas que se indican:

a) 27 con cinco cifras significativas.

b) 20 con seis cifras significativas.

c) 30

7 con cuatro cifras significativas.

SOLUCIÓN:

a) Como ...2315377,127 entonces la aproximación por redondeo con cinco cifras

significativas es 1,2315.

b) Como ...472135955,420 entonces la aproximación por redondeo con seis cifras

significativas es 4,47214.

c) Como 32,020

7 entonces la aproximación por redondeo con seis cuatro cifras significativas

es 0,2333. NOTACIÓN CIENTÍFICA 31. Realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado en notación científica:

a) )1015,91087,3(:)1034,41054,1( 4456

b) 565 1045,3)103405,110234,7(

SOLUCIÓN:

a) 45455 1002,13:10)34,44,15(10)15,987,3(:)1034,4104,15(

494624,8108494624,01002,13:06,11 .

b) 555 1045,3)1013405,010234,7( = 55 1045,310)13405,0234,7( =

.1054197725,2104197725,251045,336805,7 91010

POTENCIAS Y RADICALES. PROPIEDADES 37. Realiza las siguientes operaciones con potencias:

a)

22

22

14

31

5

4

b) 23344 )8/3()34(:)53( c)

41

3

3

543

zy

y

zx

zyx

SOLUCIÓN:

a)

2

2

22

2

222

22

2

13

4

5

541

4

31

5

4

.5

32

5

3

5

9

3

25

5

9

3

34

5

25164

4

4

4

4

22

2

2

2

2

2

222

2

b) 26

1243

23

3243

2

2

3

423344

32

253

34

4853

3

8

4

53)8/3()34(:)53(

c)

x3y4z 5

x3zy3

y1z 4 y4z 4 y4z 4 0

38. Clasifica los siguientes radicales en racionales o irracionales:

a)

33753 b)

2689125 c)

25924 d)

180 e)

51036 f)

62505 SOLUCIÓN: Efectuamos la descomposición factorial de cada uno de los radicandos para intentar sacar factores del radical:

a)

33753 33 533

15, luego es un número racional.

b)

2689125 24 755

7 245

, es por tanto un número irracional.

c)

25924 25 344

6 24 , es un número irracional.

d)

180 22 32 5 6 5 , es un número irracional.

e)

51036 36 76

3 76 , es un número irracional.

f)

62505 2555

5 25 , es un número irracional. 39. Ordena de mayor a menor los siguientes radicales:

a) 8 16 , 125 , 4 49 b) 43 16,345,34

SOLUCIÓN: Para ordenarlos debemos reducirlos a índice común:

a) Como m.c.m. (8,2,4)=8, reducimos los radicales a índice 8: 8 16 , 8 88 4 104414,2125125 , 88 24 24014949 , luego

8 16 > 4 49 > 125

b) Como m.c.m.(3,2,4)=12, reducimos los radicales a índice 12:

343 34412

133634012 , 345 345612

1,6862101512 , 164 16312

409612

luego: 3453416 34

40. Efectúa y simplifica las siguientes expresiones, racionalizando si fuese necesario:

a) 5

555 b) 3

4

3 5

15

32 c) 3

35

35

d) 24152943150216 e)

7

6

4

135

45

f) 4

652

55

3553

g) 3333 40

7

1216

7

13201352

SOLUCIÓN:

a) 5255

51025

5

5)1055(

5

1055

5

5555

5

555

b) 15

1532

15

1532

15

1532

15

32

15

32

15

3236 3320636 3336 2036 612 119 56

12

9 56

3 4

3 3 5

3

4

3 5

5

532

15

5323

15

533236 3317636 3317636 3333206

c)

6

6

66

2

63

2

1528

2

31525

35

)35(

35

35

35

35

2

)154(2

2

1522

2

2)1528(

2

215286 66 686 56 56

66

1542

1542

.

d) 621567365624152943150216 2223

626)302156(6306216566 .

e)

12 7

7

1226

367

122

37

12 2

12 37

6

4

553

53

135

45

135

45

135

45

.

f)

)55(4

)55)(652(320512

4

652

55

3553

)55(4

5420320512

)55(4

)305651010(320512

255

)55)(53552(

55

53552

)55(4

2032058

20

3251555515

20

255532515551010

4

351553

g) 3 33 333 63 33333 25

7

132

7

15235240

7

1216

7

13201352

7

65

7

725

7

2

7

65456 3333

41. Racionalizar los denominadores de:

a) 75

75

b)

532

735

c)

3

5

492

57 d)

5

4

)3(5

250.1)3(

x

x

SOLUCIÓN:

a) 3562

35212

2

73525

75

)75)(75(

75

75

b) 7

5731415530

512

)532)(735(

532

735

c)

7 55

2 4937 55 492

3

2 4955 743

2 77 55 73

1455 73

2

537515

2

d)

(x 3) 12504

5 (x 3)5(x 3)5 24

5 (x 3)5(x 3) 24 (x 3)45

(x 3) 24 (x 3)45

42. Simplifica las siguientes expresiones:

a)4 2

3

5

1254

a

a b) 4 333 yxyxx c)

44 84 5 223 ayayay

SOLUCIÓN:

a) 442

2

4 2

4 22

4 24 2

33

4 2

3

25425

454

5

520

5

54

5

1254a

a

aa

a

aa

a

aa

a

a

a

a

b) 12 712 131912 9912 4412 64 333 yxxyyxyxxyxyxyxx

c) 223)223(223223 44424442444 84 5

yyayayyyyayayayyayayay

LOGARITMOS 47. Halla utilizando la definición y sin el uso de la calculadora los siguientes logaritmos:

a) 000001,0log b)

log10000000 c) 243log3 d)

log21024

e) 401.2log7 f) 4

1log 2/1 g)

8

27log 3/2 h) )81(log3

i) 0001,0log 1,0 j)

log 0, 31000

27 k) 25,0log 4/1 l)

log1/ 2125

1000

SOLUCIÓN:

a)

log 0,000001 log106 6

b)

log10000000 log107 7

c)

log3 243 log3 35 5

d)

log21024 log2 210 10

e)

log7 2401 log7 74 4

f)

log1/ 21

4 log1/ 2

1

2

2

2

g)

log 2 / 327

8 log 2 / 3

33

23 log 2 / 3

3

2

3

log 2 / 32

3

3

3

h) )81(log3 ¡no existe el logaritmo de un número negativo!

i) .4

10

1log

000.10

1log0001,0log

4

10/110/11,0

j) .3)3,0(log10

3log

3

10log

27

000.1log 3

3,0

3

3,0

3

3,03,0

k) .2

2

1log

10

5log

100

25log25,0log

2

2/1

2

2/12/12/1

l) .3

2

1log

10

5log

1000

125log

3

2/1

3

2/12/1

48. Utiliza las propiedades de los logaritmos y su definición para obtener:

a) 5

625log

3

27log256log 5

3 23

32 b)

357 2 10

001,0log

125

1log

1ln

e

c) )5ln(216

8log636log 7

62

5

6 e

d)

001,0

10log

ln

5

3 e

e

SOLUCIÓN:

a) 5

625log

2

13log27log256log

3

1

5

625log

3

27log256log 5

3 2

33253 2

33

2

5log2

15log

2

13log

3

23log2log

3

15

4

53

3

3

8

2

.12

25

4

12

3

23

3

8

b) 355

7 2

357 2

10log001,0log125log1logln1ln10

001,0log

125

1log

1ln e

e

10log3

110log5log

2

10ln

7

20 33

5e

42

89

3

13

2

3

7

2 .

c)

)5ln(2

16

8log636log 7

62

5

6 e

)ln5(ln216log8log6log36log 76

22

5

66 e

eln145ln216log6

12log6log

2

56log 2

3

26

2

6

.6

715ln2145ln2

6

43

2

52

d) .48

5

35

1

)3

11(

2

1

10log10log5

1

)ln(ln2

1

001,0log10log

ln2

1

001,0

10log

ln

3

3

5

3

5

3

eee

e

e

e

49. Utiliza la calculadora para obtener una aproximación por redondeo a la centésima de:

a) 72log5 b) 745log6 c) 17log2

SOLUCIÓN:

a) .66,2

5log

72log72log5

b) 69,3

6log

745log745log6

c) .09,4

2log

17log17log2

50. Si 7,0log7 x , 2,1log7 y y 183,110log7 , calcula, usando las propiedades de los logaritmos:

a)

3

25

3

7

7log

yx

xy b) 3

2

5

logyx

yx

SOLUCIÓN:

a)

25

7

3

777

25

7

3

7

3

25

3

7 log2

1loglog7log

3

1log7log

3

17log yxyxyxxy

yx

xy

2

7

5

777 loglog2

1log3log1

3

1yxyx

yxyx y 777 log

2

2log

2

5log3log1

3

1

783,0)2,17,02

52,137,01(

3

1 .

b) 256

2

5

32

5

loglog6

1loglog yxyx

yx

yx

yx

yx

(*)log2log2

1log

5

1log

6

1loglogloglog

6

1 25

yxyxyxyx

Como 59.0183,1

7,0

10log

loglog

7

7 x

x y 014,1183,1

2,1

10log

loglog

7

7 y

y

Entonces:

(*) 1

60,59

1

51,014

1

20,59 21,014

0,255