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Unidad 9. Problemas métricos en el plano

PÁGINA 186

■ Resuelve problemas

45 Para calcular la altura de un árbol, Eduardo ve la copa reflejada en un charco y toma las medidas que indica el dibujo. ¿Cuál es la altura del árbol?

1,2 m 4 m

162

cm

Por semejanza de triángulos:4

1,2 = x

1,62 8 x = 5,4 m

x

aa1,2 m

1,62 m

4 m

46 ¿Cuál es la profundidad de un pozo, si su anchura es 1,5 m y alejándote 0,5 m del borde, desde una altura de 1,7 m, observas que la visual une el borde del pozo con la línea del fondo?

Por semejanza de triángulos:

1,50,5

= x1,7

8 x = 5,1 m

x

a1,5 m

0,5 m

1,7 m

47 En un círculo de 52 cm de diámetro se traza una cuerda a 10 cm del centro. Halla el área del cuadrilátero que se forma uniendo los extremos de la cuerda con los del diámetro paralelo a ella.

x = √262 – 102 = 24 cm

A () = (48 + 52) · 102

= 500 cm210

2652

cm

x

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Unidad 9. Problemas métricos en el plano

48 Ejercicio resuelto

Hallar el radio de un arco de 100,48 m de longitud y 72° de apertura (π = 3,14).

• Calculamos la longitud de la circunferencia:

l360°

= 100,4872°

8 l = 502,4 m

• Hallamos el radio: 2πr = 502,4 m

• Despeja r y termina el problema.

2πr = 502,4 8 r = 502,42π

≈ 79,96 m

49 Calcula la medida, en grados, de un arco que mide 31,4 cm correspondiente a una circunferencia de 471 cm de longitud (π = 3,14).

l = 2π · r = 471 8 r = 4712π

= 75 cm

l = 2π · 75360°

· () = 31,4 8 = 24°

50 Se quiere renovar con material sintético, que cuesta 15 €/m2, el piso de una pista de atletismo como la que ves en la figura, compuesta por 8 calles de 1 metro de anchura. ¿Cuál es el presupuesto para la compra del material?

112 m110 m

A = π · 92 – π · 12 + 2 · (110 · 8) ≈ 2 011,33 m2

= 2 011,33 · 15 ≈ 30 170 €

51 El área de una corona circular es 20π cm2, y la circunferencia interna mide 8π cm. Calcula el radio de la circunferencia externa.

8π = 2 · π · r1 8 r1 = 8π2π

= 4 cm

20π = π · r22 – π · 42 8 r2 = √36 = 6 cm

r1r2

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Unidad 9. Problemas métricos en el plano

52 Calcula la superficie que ocupa, cerrado, el sobre que ves en la figura, sabiendo que la solapa es un triángulo equilátero y que si lo cierras, el vértice V cae exactamente sobre el cen-tro, C, del lado opuesto.

CV

15 cm

152 + ( x2 )2 = x 2 8 225 = 3

4 x 2 8 x = √300 ≈ 17,32C V

15 cm 15 cm

x

x

15

S ≈ 17,32 · 15 = 259,8 cm2

53 Calcula el área del triángulo curvilíneo comprendi-do entre tres circunferencias tangentes iguales de 5 cm de radio.

Como es un triángulo equilátero, sus ángulos son de 60°.

A ° = π · 52

360° · 60° ≈ 13,09 cm2

Aplicamos la fórmula de Herón para hallar el área del triángu-lo de lado 10 cm:

s = 302

= 15 8 A = √15 · (5)3 ≈ 43,3 cm2

A = 43,3 – 3 · 13,09 = 4,09 cm2

60°60°

60°

5 cm

54 a) A un cuadrado de 1 dm de lado le cortamos triangulitos isósceles en las cuatro esquinas. Calcula x para que el octógono resultante sea regular.

b) Calcula el área de un octógono regular de 8 cm de lado. x

x

a) √2x 2 = 1 – 2x 8 √2 · x = 1 – 2x 8

8 (2 + √2)x = 1 8 x = 12 + √2

= 0,35 dm

x 1 – 2x

À2x2

b) x 2 + x 2 = 82 8 x = √32 ≈ 5,66 cm

Lado del cuadrado = 5,66 · 2 + 8 = 19,32 cm

Área del octógono:

A = (19,32)2 ≈ 373,26 cm2 A = (5,66)2

2 = 16,02 cm2

A = 373,26 – 4 · 16,02 = 309,18 cm2

O bien:

A = Perímetro · apotema2

= 8 · 8 · (19,32 : 2)2

= 309,12 cm2

(La apotema del octógono es la mitad del lado del cuadrado).

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