7/17/2019 Soluciones - 1 - Ejercicio 20

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Mecánica Cuántica. Año 2015. Grupo A.   1

20.   Una partícula está confinada en un pozo unidimensional con barreras en   x   = 0, L. Calcular, en 

aproximación de Born, la probabilidad de que la partícula pase del estado fundamental al primer excitado si 

a partir de  t  = 0 se introduce una perturbación consistente en un potencial constante  V 0  para  x  ∈  [0, L/2].

Las funciones de onda de los estados fundamental y primer excitado del pozo infinito unidimensional

con barreras en 0 y  L  son:

φ1(x) =  2L

 sen πx

L  , φ2(x) =  2

L sen

 2πx

L  ,

con autoenergías:

E 1  =  π2

 2

2mL2 , E 2  = 4

 π2 2

2mL2 .

La probabilidad de que, a tiempo   t, la partícula pase del estado fundamental al primer excitado es,

en aproximación de Born:

P 1→2(t) =  1

 2

   t0

dt eiω21t

φ2|W |φ1

2

,

donde

ω21  = E 2 − E 1

   = 3

  π2 

2mL2 ,

y el elemento de matriz de la perturbación es

φ2|W |φ1   =   V 0

   L/20

dx φ∗2

(x)φ1(x)

=   V 02

L

   L/20

dx sen 2πx

L  sen

 πx

L

=  4V 0

3π  .

Por otra parte    t0

dt eiω21t

2

=

1

iω21

(eiω21t − 1)

2

= 4sen2(ω21t/2)

ω2

21

,

con lo que finalmente

P 1→2(t) =  64V 2

0

9π2 2ω2

21

sen2 ω21t

2  , ω21  =

  3π2 

2mL2 .