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Respuesta a los ejercicios de matemáticas de inecucionesTRANSCRIPT
SOLUCIONARIO:INECUACIONES NO LINEALES
Camilo Andres Ramırez SanchezPolitecnico [email protected]
Modalidad Virtual
Bogota. 2013
SOLUCIONARIO: INECUACIONES NO LINEALES Indice
Indice
1. Ejercicio 15 2
Introduccion
Estimado estudiante.
El presente documento se ha realizado con el proposito de que sea un apoyo en el proceso de formacion del modulo.
Aquı encontraras las soluciones y los procedimientos de los ejercicios y problemas de la lectura nueve, ten en cuenta que loaquı planteado y desarrollado no es la la unica manera en que se puede abordar un problema por lo tanto puedes llegar a lamisma respuesta justificandola de manera diferente.
En el desarrollo de estos ejercicios se ha optado por ser lo mas minucioso posible, es decir, en algunos ejercicios encontraraspaso a paso el procedimiento junto con la justificacion.
Es recomendable que antes de ver las soluciones y procedimientos de algun ejercicio aquı planteado lo intentes desarrollarcon el proposito de que primero te enfrentes a este, lo pienses y resuelvas y luego verifiques la respuesta y en caso de quehayas cometido algun error puedas identificarlo y corregirlo.
1
SOLUCIONARIO: INECUACIONES NO LINEALES Ejercicio 15
1. Ejercicio 15
1. Encontrar el intervalo solucion, si es posible.
a. (x− 3)(2x− 5) < 0
Desarrollo
Primera parte: Solucion de la ecuacion asociada (x− 3)(2x− 5) = 0
x− 3 = 0 2x− 5 = 0
x = 3 x =5
2
Segunda parte: Reemplazar en los intervalos
i.
(−∞,
5
2
)Considerando el 0 en este intervalo, al evaluarlo en la expresion queda: (0 − 3)(0 − 5) = 15, como 15 > 0 ladesigualdad es falsa.
ii.
(5
2, 3
)Considerando el 2.6 en este intervalo, al evaluarlo en la expresion queda: (2.6 − 3)(2(2.6) − 5) = −0.08, como−0.08 < 0 la desigualdad es verdadera.
iii. (3,∞)Considerando el 10 en este intervalo, al evaluarlo en la expresion queda: (10−3)(2(10)−5) = 105, como 105 > 0la desigualdad es falsa.
Respuesta: El conjunto solucion es el intervalo
(5
2, 3
)
b.4x− 3
5x− 1> 4
Desarrollo
Primera parte: Solucion de la ecuacion asociada4x− 3
5x− 1= 4
4x− 3
5x− 1= 4 restriccion x 6= 1
5
4x− 3 = (4)(5x− 1)4x− 3 = 20x− 4
4x− 20x = −4 + 3−16x = −1
x =1
16
Segunda parte: Reemplazar en los intervalos (teniendo en cuenta la restriccion)
i.
(−∞,
1
16
)Considerando el 0 en este intervalo, al evaluarlo en la expresion queda:
0− 3
0− 1= 3, como 3 < 4 la desigualdad
es falsa.
2
SOLUCIONARIO: INECUACIONES NO LINEALES Ejercicio 15
ii.
(1
16,
1
5
)Considerando el 0.1 en este intervalo, al evaluarlo en la expresion queda:
4(0.1)− 3
5(0.1)− 1=
46
5, como
46
5> 4 la
desigualdad es verdadera.
iii.
(1
5,∞)
Considerando el 10 en este intervalo, al evaluarlo en la expresion queda:4(10)− 3
5(10)− 1=
5
7, como
5
7< 4 la
desigualdad es falsa.
Respuesta: El conjunto solucion es el intervalo
(1
16,
1
5
)
c. (x− 3)x < 4(x + 2)
Desarrollo
Esta desigualdad se puede escribir:(x− 3)x < 4(x + 2)x2 − 3x < 4x + 8
x2 − 3x− 4x− 8 < 0x2 − 7x− 8 < 0
Primera parte: Solucion de la ecuacion asociada x2 − 7x− 8 = 0
x =7±
√(−7)2 − 4(1)(−8)
2(1)
x =7±√
49 + 32
2
x =7±√
81
2
x =7± 9
2
x =7 + 9
2x =
7− 9
2
x =16
2x =
−2
2
x = 8 x = −1
Segunda parte: Reemplazar en los intervalos
i. (−∞,−1)Considerando el −2 en este intervalo, al evaluarlo en la expresion queda: (−2)2 − 7(−2)− 8 = 10, como 10 > 0la desigualdad es falsa.
ii. (−1, 8)Considerando el 0 en este intervalo, al evaluarlo en la expresion queda: (0)2 − 7(0) − 8 = −8, como −8 < 0 ladesigualdad es verdadera.
iii. (8,∞)Considerando el 10 en este intervalo, al evaluarlo en la expresion queda: (10)2 − 7(10)− 8 = 22, como 22 > 0 ladesigualdad es falsa.
3
SOLUCIONARIO: INECUACIONES NO LINEALES Ejercicio 15
Respuesta: El conjunto solucion es el intervalo (−1, 8)
d.−3
2x− 1− 1
2>
3
8Desarrollo
Primera parte: Solucion de la ecuacion asociada − 3
2x− 1− 1
2=
3
8
− 3
2x− 1− 1
2=
3
8restriccion x 6= 1
2
− 3
2x− 1=
3
8+
1
2
− 3
2x− 1=
7
8
(−3)(8) = (7)(2x− 1)
−24 = 14x− 7
14x− 7 = −24
14x = −24 + 7
14x = −17
x = −17
14
Segunda parte: Reemplazar en los intervalos (teniendo en cuenta la restriccion)
i.
(−∞,−17
14
)Considerando el −2 en este intervalo, al evaluarlo en la expresion queda: − 3
2(−2)− 1− 1
2=
1
10, como
1
10<
3
8la desigualdad es falsa.
ii.
(−17
14,
1
2
)Considerando el 0 en este intervalo, al evaluarlo en la expresion queda: − 3
2(0)− 1− 1
2=
5
2, como
5
2>
3
8la
desigualdad es verdadera.
iii.
(1
2,∞)
Considerando el 10 en este intervalo, al evaluarlo en la expresion queda: − 3
2(10)− 1− 1
2=
25
38, como
25
38<
3
8la desigualdad es falsa.
4
SOLUCIONARIO: INECUACIONES NO LINEALES Ejercicio 15
Respuesta: El conjunto solucion es el intervalo
(−17
14,
1
2
)
2. Determinar los valores reales que puede asumir la variable x para que cada una de las siguientes expresiones sea negativa.
a. −x2 + 4x− 5
Desarrollo−x2 + 4x− 5 < 0
Primera parte: Solucion de la ecuacion asociada −x2 + 4x− 5 = 0
x =−4±
√42 − 4(−1)(−5)
2(−1)
x =−4±
√16− 20
−2
x =−4±
√−4
−2
La ecuacion asociada no tiene solucion, por lo tanto solo hay intervalos para dividir, es decir que se estudia elcomportamiento en el conjunto completo de los numeros reales (−∞,∞).
Segunda parte: Reemplazar en el intervalo
i. (−∞,∞)Considerando el 0 en este intervalo, al evaluarlo en la expresion queda: −(0)2 + 4(0)− 5 = −5, como −5 < 0 ladesigualdad es verdadera.
Respuesta: El conjunto solucion es el intervalo (−∞,∞)
b.−6x
−5x + 4Desarrollo
−6x
−5x + 4< 0
Primera parte: Solucion de la ecuacion asociada−6x
−5x + 4= 0
−6x
−5x + 4= 0 restriccion x 6= 4
5
−6x
−5x + 4= 0
−6x = 0
x = 0
Segunda parte: Reemplazar en los intervalos (teniendo en cuenta la restriccion)
5
SOLUCIONARIO: INECUACIONES NO LINEALES Ejercicio 15
i. (−∞, 0)
Considerando el −2 en este intervalo, al evaluarlo en la expresion queda:−6(−2)
−5(−2) + 4=
6
7, como
6
7> 0 la
desigualdad es falsa.
ii.
(0,
4
5
)Considerando el 0.5 en este intervalo, al evaluarlo en la expresion queda:
−6(0.5)
−5(0.5) + 4= −2, como −2 < 0 la
desigualdad es verdadera.
iii.
(4
5,∞)
Considerando el 1 en este intervalo, al evaluarlo en la expresion queda:−6(1)
−5(1) + 4= 6, como 6 > 0 la desigualdad
es falsa.
Respuesta: El conjunto solucion es el intervalo
(0,
4
5
)
c.4
10+
3
10
(x2− 10
) 2
3Desarrollo
4
10+
3
10
(x2− 10
) 2
3< 0
4
10+
(3
10
)(2
3
)(x2− 10
)< 0
4
10+
2
10
(x2− 10
)< 0
2
5+
1
5
(x2− 10
)< 0
2
5+
1
5
(x2
)− 1
5(10) < 0
x
10+
2
5− 10
5< 0
x
10− 8
5< 0
x
10<
8
5
x <(8)(10)
5
x < (8)(2)x < 16
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SOLUCIONARIO: INECUACIONES NO LINEALES Ejercicio 15
Respuesta: El conjunto solucion es el intervalo (−∞, 16)
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