ndice

Unidad didctica 1: Interaccin gravitatoria ........................................................................ 3 Unidad didctica 2: Campo gravitatorio ............................................................................ 19 Unidad didctica 3: Movimiento vibratorio ......................................................................... 39 Unidad didctica 4: Movimiento ondulatorio ..................................................................... 54 Unidad didctica 5: Fenmenos ondulatorios mecnicos ................................................ 69 Unidad didctica 6: Campo elctrico ................................................................................ 82 Unidad didctica 7: Campo magntico ............................................................................. 97 Unidad didctica 8: Induccin electromagntica ............................................................ 113 Unidad didctica 9: La luz y sus propiedades ................................................................ 127 Unidad didctica 10: ptica geomtrica ......................................................................... 141 Unidad didctica 11: La fsica del siglo XX .................................................................... 156 Unidad didctica 10: Fsica nuclear ................................................................................ 177

Unidad didctica 1 Interaccin gravitatoria

Soluciones unidad 1: Interaccin gravitatoria 2 Bachillerato 2008 SOLUCIONES UNIDAD 1. INTERACCIN GRAVITATORIA CUESTIONES INICIALES 1. De que formas se ha explicado la posicin de la Tierra en el Universo a lo largo del tiempo? Segn el modelo geocntrico, la Tierra est inmvil y situada en el centro del Universo. Los astros giran en torno a ella con movimiento circular uniforme. En el modelo heliocntrico, es el Sol el que est situado en el centro del Sistema Solar y la Tierra, junto a los planetas, giran a su alrededor. 2. Representa en un esquema todas las fuerzas que actan sobre el sistema formado por la Tierra y por la Luna. Las dos fuerzas tienen el mismo mdulo y la misma direccin y sus sentidos son opuestos, pues son un par de fuerzas de accin y reaccin. 3. El Sol est situado a una distancia media de 150 millones de km. Cul es la velocidad y aceleracin media de la Tierra en torno al Sol? Representa los vectores anteriores sobre la trayectoria de la Tierra alrededor del Sol. a) La velocidad de traslacin de la Tierra es:v= 2 R 2 150 109 m = = 29 886 m/s T 365 das 24 h/da 3 600 s/h

Su direccin es la de la tangente a la trayectoria y su sentido el del movimiento. El movimiento nicamente posee aceleracin normal, ya que slo se modifica la direccin del vector velocidad.an =2 2 v = (29 886 m/s ) = 5,9 - 3 m/ 2 10 s R 150 109 m

Su direccin es la de la recta que une los centros de los astros y su sentido hacia el Sol.

ACTIVIDADES FINALES 1. Si se descubriera un planeta situado a una distancia del Sol diez veces mayor que la distancia a la que se encuentra la Tierra, Cuntos aos terrestres tardara en recorrer su rbita?2 2 Aplicando la tercera ley de Kepler: TTierra = TPlaneta 3 3

RTierra

RPlaneta

Sustituyendo:

(1ao ) = TPlaneta = 31,62 aos terrestres (1U . A . )3 (10 U.A.)3

2

2 TPlaneta

2. Calcula la masa del Sol sabiendo que la constante de la tercera ley de Kepler para los planetas del sistema solar tiene el valor de 3,35 1018 m3/s2. La tercera ley de Kepler tambin se puede expresar como:r3 T2 = 3,35 1018 m3 s2

4

Soluciones unidad 1: Interaccin gravitatoria 2 Bachillerato 2008 Para calcular la masa del astro central se aplica la segunda ley de Newton al movimiento circular del planeta:r r G Mastro mplaneta v 2 G Mastro 4 2 r 2 F = m a n ; = mplaneta ; = 2 r r r T2 4 2 r 3 4 2 m3 Despejando: Msol = = 3,35 1018 2 = 1,98 1030 kg GT2 6,67 10 11 N m 2 / kg2 s

3. La masa de Jpiter es 318 veces la de la Tierra, su radio medio es 10,85 veces el terrestre y su distancia media al Sol es 5,2 veces la de la Tierra. Con estos datos calcula el perodo orbital en torno al Sol en relacin a un ao terrestre y el valor de la gravedad en su superficie en relacin al de la Tierra. El perodo de Jpiter se calcula aplacando la tercera ley de Kepler:2 TT 3 rT 2 2 TJ 1ao 2 TJ ; = TJ = 11,86 aos 3 3 rJ rT (5,2 rT ) 3

=

La expresin de la aceleracin de la gravedad en la superficie de un astro es:gJ = G MJ2 RJ

=G

318 MT (10,85 R T )2

=

318 G MT 10,852

R2 T

= 2,7 g0,T = 26,5 m / s 2

4. Dos satlites de comunicaciones A y B (mA > mB) giran alrededor de la Tierra en rbitas circulares de distinto radio (RA < RB). Se pide: a) )Cul de los dos se mover con mayor velocidad lineal? b) Cul de los dos tendr mayor perodo de revolucin? Aplicando la segunda ley de Newton a un satlite que gira en torno a la Tierra en una rbita de radio r, resulta que la relacin entre la velocidad y el radio de la rbita es:r r G m T ms v2 F = m a n ; = ms v= r r2G mT rrB T rA

De lo que se deduce que cuanto pequeo es el radio de la rbita ms deprisa se mueve el satlite vA > vB. Aplicando la tercera ley de Kepler a los dos satlites, resulta que:2 TA 3 rA

=

2 TB 3 rB

2 3 2 3 TA rB = TB rA

De donde se deduce que si rB > rA entonces TA < TB, es decir que cuanto menor es el radio de la rbita menos tiempo se tarda en recorrerla, por lo que: TA < TB. 5. Dos satlites de igual masa orbitan en tomo a un planeta de masa mucho mayor siguiendo rbitas circulares coplanarias de radios R y 3 R y recorriendo ambos las rbitas en sentidos contrarios. Calcula la relacin entre sus periodos y entre sus momentos angulares (mdulo, direccin y sentido). a) Sea A el satlite que sigue la rbita de menor radio y B el de la de mayor radio. Los perodos de los satlites y los radios de sus rbitas estn relacionados por la tercera ley de Kepler.2 TA

R3 A

=

2 TB 3 RB

;

2 TA

R

3

=

2 TB

(3 R)

3

;

2 TA 2 TB

=

R3 27 R 3

TB = 27 TA = 3 3 TAr r r

b) El momento angular de un satlite respecto del planeta es: L = r x m v es un vector perpendicular al plano de la rbita y su sentido est determinado por la regla de Maxwell.

5

Soluciones unidad 1: Interaccin gravitatoria 2 Bachillerato 2008 Su mdulo es: L = r m v sen y como la rbita es circular, resulta que:L = r m v sen 90 r2 L = 2 m 2 r T v= T

Como las rbitas son coplanarias la direccin de los dos momentos angulares es la misma, la de la perpendicular al plano de la rbita. Al recorrer las rbitas en sentidos contrarios, los sentidos de los momentos angulares son opuestos. La relacin entre los mdulos, como tienen la misma masa, es:2 L A R 3 3 TA 3 = = 2 LB 3 (3 R) TA

LA = LB

2 m A 2 mB

2 rA TA 2 rB TB

=

R 2 TB A2 R B TA

Sustituyendo:

6. Se tienen dos satlites iguales, de la misma masa, uno gira en una rbita circular alrededor de la Tierra y el otro en torno a Marte. Cul es la relacin entre los radios de las rbitas si ambos tienen en mismo perodo? Su pongamos ahora que los dos satlites giran en rbitas del mismo radio, cada uno alrededor de su planeta. Cul es la relacin entre los momentos angulares correspondientes? Datos: mMarte = 0,11 mTierra; RMarte = 0,5RTierra Sobre los satlites acta la interaccin gravitatoria con su planeta correspondiente. Aplicando la segunda ley de Newton y como las rbitas son circulares, se tiene:2 r m 4 2 2 r F = mS an ; G P 2 mS = mS v G mP = v 2 = 2 r r r r T

Despejando el radio de la rbita es: r = 3

G mP T 2 4 2

La relacin entre sus radios orbitales, como sus perodos son iguales es:rTierra = rMarte3

Gm Tierra T 2 42 G mMarte T 422

=3

3

m Tierra 1 =3 = 2,09 rTierra = 2,09 rMarte 0,11m Tierra 0,11

El mdulo del momento angular de un satlite respecto del planeta es: L = r m v La velocidad orbital es: v =G mplaneta r

Los radios de las rbitas son iguales y la relacin entre los mdulos de los momentos angulares es:L Tierra r msatlite v Tierra = = L Marte r m satlite v Marte Gm Tierra m Tierra r = = 3,02 L Tierra = 3,02L Marte 0,11m Tierra GmMarte r

7. Un planeta describe una rbita circular de radio 1 108 km con un perodo de rotacin 2 aos en torno a una estrella de masa mucho mayor. Calcula la masa de la estrella. La masa del astro central se aplica aplicando la dinmica del movimiento circular del planeta:r r G Mastro mplaneta v 2 G Mastro 4 2 r 2 F = m a n ; = mplaneta = ; r r r2 T2

6

Soluciones unidad 1: Interaccin gravitatoria 2 Bachillerato 2008 Despejando:Mastro = 4 2 r 3 G T 2 = 4 2 (11011 m)3 6,67 10 11 Nm 2 / kg 2 (2 aos 365 das / ao 24 h / da 3600 s / h) 2 = 1,49 10 29 kg

8. Europa, satlite de Jpiter, fue descubierto por Galileo en 1610. Sabiendo que el radio de la rbita que describe es de 6,7 105 km y su perodo de 3 das, 13 horas y 13 minutos, calcula la velocidad de Europa relativa a Jpiter y la masa del planeta. El perodo de Europa es: T 3 das 13 horas y 13 minutos = 3,07 105 s La velocidad orbital del satlite es: v =2 r 2 6,7 10 8 m = = 1,37 10 4 m / s T 3,07 10 5 s

Para calcular la masa del astro central se aplica la segunda ley de Newton al movimiento circular del planeta:r r G Mastro mplaneta v2 F = m a n ; = mplaneta 2 r r 2 4 v r (1,37 10 m / s) 2 6,7 10 8 km Despejando: Mastro = = = 1,9 10 27 kg G 6,67 10 11 Nm 2 / kg 2

9. El dimetro de la Luna es la cuarta parte del de la Tierra y su masa es 1/81 de la masa de la Tierra. )Con qu velocidad llegar a la superficie de la Luna un objeto que se deja caer desde una altura de 5 m? La relacin entre los dimetros es la misma que entre los radios. La aceleracin de la gravedad en la superficie de la Luna es:g= G mL RL2

MT 16 GMT 16 16 = = G 81 2 = go, Tierra = 9,8 m / s 2 = 1,9 m/ s2 81 R 2 81 81 RT T 4

La velocidad que adquiere el objeto en la superficie de la Luna es:v = 2 g h = 2 1,9 m/ s2 5 m = 4,4 m/s

10. Supn que la Tierra redujese su radio a la mitad manteniendo su masa. Aumentara el valor de la aceracin de la gravedad en su superficie? Se modificara sustancialmente su rbita alrededor del Sol? El valor de la aceleracin de la gravedad en la superficie es: g' =G M r'2

=

G M r 22

=

4 G M r2

= 4 g0, Tierra

Como la masa permanece constante y se considera localizada en el centro de la Tierra, la fuerza gravitatoria con la que interacciona con el Sol no se modifica y por tanto la rbita no sufre ninguna alteracin. 11. Calcula el valor de la aceleracin de la gravedad en la superficie del planeta Mercurio sabiendo que el radio de Mercurio es igual a la tercera parte del radio terrestre y que la densidad de Mercurio es 3/5 de la densidad de la Tierra.

7

Soluciones unidad 1: Interaccin gravitatoria 2 Bachillerato 2008 Aplicando la relacin entre las densidades se cumple que:M =3 3 MT RM 3 MM = 3 MT T ; MM = 4 5 R3 5 4 5 3 T R3 RM T 3 3

Aplicando la relacin entre los radios: RT = 3 RM, se tiene que la relacin de las masas es:MM =3 3 MT R M 1 = MT 5 (3 RM )3 45

Aplicando la segunda ley de Newton, la aceleracin de la gravedad en la superficie de mercurio es:gM = G MM RM2

1 MT 9 1 = 45 2 = gtierra = 9,8 m/ s2 = 2 m/ s2 45 5 1 RT 3 G

12. La aceleracin de la gravedad en un planeta es 5 m/s2. Si su radio es igual a la mitad del radio terrestre, calcula la relacin de su masa con la masa de la Tierra. La aceleracin de la gravedad en la superficie de un planeta es: g =G M R2

G MTierra

Comparando sus valores en los planetas, resulta que:2

2 M R 2 gPlaneta RTierra = = Tierra Planeta G MPlaneta MPlaneta R 2 gTierra Tierra 2 RPlaneta

Operando:

2 MPlaneta g Tierra R Planeta = M Tierra gPlaneta R 2 Tierra

R 5 m / s 2 Tierra 1 2 = 1 M = Planeta = M Tierra 2 2 8 8 9,8 m / s R Tierra

13. Un planeta de forma esfrica tiene un radio de 3000 km y la aceleracin de la gravedad en su superficie es 6 m/s2. Calcula su densidad media. La aceleracin en su superficie es: g =2

G m R2

m=

gR 2 G

La densidad es:

g R m 36 m / s 2 G = 3g = = = = 7158 kg / m3 V 4 4 R G 4 3 10 6 m 6,67 10 11 Nm 2 / kg 2 3 R 3

14. Un cuerpo de masa 100 kg est situado en la superficie de la Tierra. Cul es su peso? Si se duplicara el radio de la Tierra, manteniendo la masa de sta, cul sera entonces el peso del cuerpo? Si se duplicara el radio de la Tierra, manteniendo constante su densidad media, cul sera en tal caso el peso del objeto? El peso en la superficie de la Tierra es: P =G M m R2= mg = 100kg9,8 m / s 2 = 980 N

Al duplicar el radio y con la misma masa de la Tierra, se tiene que el peso sera:P1 = G M m r2

=

G M m ( 2 R )2

=

P 980 N = = 245 N 4 4

8

Soluciones unidad 1: Interaccin gravitatoria 2 Bachillerato 2008 Como la densidad permanece constante, se tiene que la masa M de la Tierra es:4 R' 3 M M' V' ( 2 R ) 3 3 = ' ; = ; M' = M = M =M = M 8 4 V V' V R 3 R 3 GM' m G8 Mm = = 2 P = 2980 N = 1960N Y el peso del objeto es: P2 = r2 (2 R) 2

15. En dos de los vrtices de un tringulo equiltero de 1 m de lado hay colocadas sendas masas de 3 kg cada una. Calcula el mdulo, la direccin y el sentido de la fuerza con la que actan sobre otra masa de 5 kg colocada en el otro vrtice. Se elige un sistema de referencia con el lado del tringulo que contiene las masas sobre el eje X y en el origen una de ellas. Se denominan m1 y m2 a las dos masas iguales y m a la otra masa. Las dos masas iguales actan sobre la masa desigual con fuerzas del mismo mdulo.F1 = F2 = Gm1 m2 r1

Y

r F1x

V 30r r F1 y F2 y

r F2 x

r F1

r F2

=

G3 kg5 kg 1m 2

60 m1 P m2 X

Las componentes en el eje X de las fuerzas anteriores se anulan por simetra y las componentes en el eje Y se refuerzan. Como los ngulos de un tringulo equiltero son de 60, resulta que la fuerza que acta sobre la masa desigual es:1m r r Vectorialmente: Ft = 1,7310 9 j N FT = 2 F1y = 2 G 3 kg 5 kg2

sen 60 = 2

6,67 10 11 N m 2 / kg2 3 kg 5 kg 1m2

sen 60 = 1,73 10 N

-9

16. Tres masas puntuales de 1 kg estn situadas en tres vrtices de un cuadrado de 1 m de lado. )Qu fuerza acta sobre una cuarta masa de 1 kg colocada en el otro vrtice? Se elige un sistema de referencia con la masa m1 colocada en el punto (0, 0), la m2 situada en (1, 0), la m3 puesta en (0,1) y la m4 localizada en (1, 1) y sobre la que se calcular la fuerza resultante. Aplicando la ley de Gravitacin Universal y si L es la longitud del lado del cuadrado, resulta que las expresiones de las fuerzas con que actan las respectivas masas con la masa m4 son:r G m2 m4 r G m2 r (- j ) = j F2 = 2 2 m1 r 24 L r G m3 m4 r G m2 r (- i ) = i F3 = 2 2 r 34 L r r r r r G m1 m4 G m2 cos (- i ) + sen (- j ) = - cos 45 i - sen 45 j ) = F1 = 2 ( 2 L )2 r14 2 G m2 r 2 G m2 r =ij 4 L2 4 L2

m3

F3 F1 45

F1x

m4 F1y F2 m2

[

]

[

]

9

Soluciones unidad 1: Interaccin gravitatoria 2 Bachillerato 2008 Sumando, las componentes de la fuerza resultante son:r r r r r r G m2 2r G m2 2r 1 + i ; Fy = F2 + F1y = 1 + j Fx = F3 + F1x = 2 2 4 4 L L 2 r r r r r Gm 2 La fuerza total es: F = Fx + Fy = - 2 1 + ( i + j) 4 L 2 2 -11 2 r r r r 6,67 10 N m / kg 1 kg 2 r -11 Sustituyendo: F = 1 + ( i + j ) = - 9,02 10 ( i + j ) N 4 1 m2

17. Dos puntos materiales de masas m y 2 m respectivamente, se encuentran la una distancia de 1 m. Dnde habr que colocar otra masa para que est en equilibrio? Sea las partculas: m1 = m, m2 = 2 m y M la masa en x 1-x equilibrio. La masa M estar en equilibrio cuando los mdulos de las fuerzas con las que interacciona con las otras masas sean iguales.F1 = F2 ; GMm1 r12

r m1 = m F1

M

r F2

m2 = 2 m

=

GMm 2 r22

;

m x2

=

2 m (1 x ) 2

Operando: (1 x)2 = 2 x2; x2 + 2 x 1 = 0 x = 0,41 m de la masa menos 18. La Luna describe una rbita circular en torno a la Tierra en 28 das. Si la masa de la Tierra es 6,0 1024 kg calcula la distancia entre los centros de la Tierra y la Luna. Cul es el valor de la masa de la Luna sabiendo que una partcula de masa m podra estar en equilibrio en un punto alineado con los centros de la Tierra y de la Luna, a una distancia del centro de la Tierra de 3,4 108 m? Aplicando la segunda ley de Newton y considerando a la rbita circular, se tiene:2 r 4 2 2 r F = mS an ; G mT 2mS = mS v G mT = v 2 = 2 r r r r T

Despejando y como g0 =r=3 G m T T 2 4 2 =3

G mT RT2

, se tiene que la distancia entre sus centros es:= 3,9 10 8 m

6,67 10 11 Nm 2 / kg 2 6,0 10 24 kg(2,42 10 6 s) 2 4 2

En ese punto se igualan las fuerzas de interaccin gravitatoria con la Tierra y con la Luna. Como dT = 3,4108 m y dL = d dT = 3,9108 m 3,4 108 m = 0,5 108 m, resulta que:G M T m d2 T = GML m2 dL

; ML =

2 M T dL

d2 T

= 6,4 10 24 kg

(0,5 108 ) 2 (3,4 10 )8 2

= 1,38 10 23 kg

19. Un planeta orbita alrededor de una estrella de masa mucho mayor. La distancia ms prxima es RPrximo = 1 108 km y la ms alejada es RAlejado = 1,8 108 km. Calcula la relacin entre las velocidades del planeta en los puntos ms prximo, P, y ms alejado, A. La interaccin gravitatoria es una fuerza central, por lo que el momento angular del planeta respecto del astro central permanece constante a lo largo de la trayectoria en mdulo, direccin y sentido.

10

Soluciones unidad 1: Interaccin gravitatoria 2 Bachillerato 2008r r r r r r Por tanto: LP = L A ; r P x m vP = r A x m v A rP vP = rA vA

La relacin entre las velocidades en los puntos P y A es:

vp vA

=

rA 1,8 108 km = = 1,8 rP 1108 km

20. Dos satlites, A y B, giran alrededor de un planeta siguiendo rbitas circulares de radios 2 108 y 8 108 m, respectivamente. Calcula le relacin entre sus velocidades tangenciales respectivas. La fuerza de interaccin gravitatoria es la que permite a los satlites describir un movimiento circular en torno al astro central. Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento circular, se tiene:r r G mastro msatlite v2 = msatlite satlite v = Fgravitatoria = m an ; r r2

G mastro r

Aplicando esta relacin a cada satlite y operando, se tiene:vA = vB = G mastro rA vA = : G mastro v B rB G mastro rA G mastro rB = rB = rA 8 108 m 2 108 m = 2 v A = 2 vB

21. La nave espacial del primer vuelo tripulado chino orbit la Tierra a una distancia de 330 km de su superficie. Calcula el perodo orbital de la nave y su velocidad en la rbita, supuesta circular. radio de la rbita es: r = RT + 330 km = 6370 103 m + 330 103 m = 6,70 106 m Aplicando la segunda ley de Newton y considerando a la rbita circular, se tiene:2 r 4 2 2 r F = mS an ; G mT 2mS = mS v G mT = v 2 = 2 r r r T r G mT Despejando y como g0 = 2 , se tiene que el perodo RT

es: = 5,5 103 s = 91 min

T = 2

3 3 (6,70 106 m )3 r r = 2 = 2 G mT g0 R2 9,8 m/ s2 (6,37 106 m )2 T

La velocidad orbital es: v =

2 r 2 6,70 106 m = T 5,5 103 s

= 7,65 103 m/s

22. Un satlite artificial describe una rbita circular de radio 2 RTierra en torno a la Tierra. Calcula su velocidad orbital y el peso del satlite en la rbita si en la superficie de la Tierra pesa 5 000 N. Dato: RTierra = 6400 km La fuerza de interaccin gravitatoria es la que permite al satlite describir un movimiento circular en torno al astro central. Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento circular y como g0 =r r G m Tierra m satlite v2 = m satlite satlite F = man ; r r2

G mT RT2

, se tiene que:

v=

G m Tierra = r

G m Tierra = 2 R Tierra

G m Tierra R Tierra 2 R 2 Tierra

=

9,8 m / s 2 6,4 10 6 m = 5 600 m / s 2

11

Soluciones unidad 1: Interaccin gravitatoria 2 Bachillerato 2008 El peso del satlite en la rbita es la interaccin gravitatoria con la Tierra. Relacionando el peso en la rbita con el peso en la superficie de la Tierra.G m Tierra m satlite Porbita R2 5 000 N 1 1 Tierra r2 = = = Porbita = Psup erfice = = 1250 N 2 4 4 Psup erfice G m Tierra m satlite (2 R Tierra ) 4 R2 Tierra

23. La distancia Tierra-Luna es aproximadamente 60 RT, siendo RT el radio de la Tierra, igual a 6 400 km. Calcula la velocidad lineal de la Luna en su movimiento alrededor de la Tierra y el correspondiente perodo de rotacin en das. La masa de la Tierra es: 5,98 1024 kg Sobre la Luna acta la interaccin gravitatoria. Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento circular de la Luna:r r G m Tierra mLuna v2 F = m a n ; = mLuna v = r r2G m Tierra = r 6,67 10 11 N m 2 / kg2 5,98 10 24 kg 60 6,4 10 6 m = 993 m / s

El perodo del movimiento es: v =

2 r 2 r 2 60 6,4 10 6 m T= = = 2,43 10 6 s = 28 das T v 993 m / s

24. Una sonda espacial orbita en torno a Marte recorriendo una rbita completa cada 7,5 horas, siendo su masa 120 kg. Sabiendo que el radio del planeta Marte es de 3 390 km y que su masa es igual a 6,4211023 kg y suponiendo que la rbita es circular, calcula su radio y la velocidad con que la recorre la sonda. En realidad, esta sonda describe una rbita elptica de forma que pueda aproximarse lo suficiente al planeta como para fotografiar su superficie. La distancia a la superficie marciana en el punto ms prximo es de 258 km y de 11 560 km en el punto ms alejado. Obtn la relacin entre las velocidades de la sonda en estos dos puntos. El perodo del movimiento es: T = 7,5 h = 7,5 h 3 600 s/h = 2,7 104 s a) Sobre la sonda espacial acta la interaccin gravitatoria con Marte que proporciona la fuerza centrpeta necesaria para describir la trayectoria circular. Aplicando conjuntamente la ley de gravitacin universal, la segunda ley de Newton y la relacin entre el perodo del movimiento y su velocidad, resulta que:r r G mMarte msonda v2 F = m a n ; = msonda 2 2 r G mMarte = 4 r r2 r T2 2 r v= T

Despejando: r = 3

G mMarte T 2 42

=3

6,67 10 11 N m 2 / kg2 6,42110 23 kg (2,7 10 4 s)2 42

= 9,2510

6

m

La velocidad con la que recorre la rbita es: v =

2 r 2 9,25 10 6 m = = 2,15 103 m / s T 2,7 10 4 s

La interaccin gravitatoria es una fuerza central, por lo que el momento angular de la sonda respecto de Marte es una cantidad constante a lo largo de la rbita.r r L cerca = Llejos

Aplicando la definicin de momento angular y como el vector de posicin es perpendicular al vector velocidad, resulta que: rcerca msonda vcerca = rlejos msonda vlejos rlejos 11 560 km v cerca = = = 44,81 v lejos rcerca 258 km

Lgicamente viaja ms deprisa cuanto ms cerca est de la superficie de Marte, de acuerdo con la12

Soluciones unidad 1: Interaccin gravitatoria 2 Bachillerato 2008 ley de las reas. 25. En el ao 1957 la extinta Unin Sovitica lanz al espacio el primer satlite artificial de la historia, el Sputnik 1. El satlite pesaba 83 kg y dio 1400 rbitas alrededor de la tierra con un perodo de 96,2 min. Calcula el momento angular del satlite respecto de la Tierra. Para calcular el momento angular del satlite respecto de la Tierra hay que determinar el radio de la rbita y su velocidad. Aplicando la segunda ley de Newton y considerando a la rbita circular, se tiene:2 r 4 2 2 r F = mS an ; G mT 2mS = mS v G mT = v 2 = 2 r r r T r Gm T Despejando y como g 0 = , se tiene que el radio 2 RT

de rbita es:

r =3

2 g0 R T T 2

4 2

=3

9,8 m / s 2 (6,37 10 6 m) 2 (96,2 60 s) 2 4 2

= 6,95 10 6 m

La velocidad del satlite es la rbita es: v =

2 r 2 6,95 10 6 m = = 7,6 103 m / s T 96,2 60 s

El mdulo del momento angular es: L = r m v = 6,95 106 m 83 kg 7,6 103 m/s = 4,38 1012 kg m2/s De direccin la perpendicular al plano de la rbita y sentido el indicado por la regla de Maxwell. 26. Un satlite gira alrededor de la Tierra en una orbita circular de 20 000 km de radio. Si el radio de la Tierra es igual a 6370 km y la aceleracin de la gravedad en su superficie 9,8 m/s2, calcula el valor de la aceleracin de la gravedad en la rbita y la velocidad angular del satlite. La relacin entre la aceleracin de la gravedad en la superficie y en la rbita es:G MTierra gorbita R2 R2 (6 370 km) 2 r2 T T = = 2 grbita = g0 2 = 9,8 m / s 2 = 0,99m / s 2 G MTierra g0 r r (20 000 km) 2 R2 T

La aceleracin de la gravedad en la rbita es la misma que la aceleracin normal del movimiento circular del satlite.g = an = v 2 2 r 2 = = 2 r = r r g = r 0,99 m / s 2 20 10 6 m = 2,2 10 4 m / s

27. Si la masa de Marte es aproximadamente la dcima parte de la Tierra y su perodo de rotacin en torno a su eje es aproximadamente igual al de la Tierra, calcular el radio de la rbita de un satlite geoestacionario orbitando sobre el ecuador de Marte. Para que un satlite sea geoestacionario su perodo de revolucin tiene que ser el mismo que el de Marte, es decir, T = 24 h. Aplicando la segunda ley de Newton a la rbita, de radio r, y como v =2 r 4 2 2 m r F = m an ; G mM2 = m v G mM = 2 r r r T r

2 r T

, se tiene:

13

Soluciones unidad 1: Interaccin gravitatoria 2 Bachillerato 2008 Despejando el radio de la rbita, r, resulta que: r = 3 Y como mM = mT/10, se tiene que: r = 3G mT T 2 10 4 2 G mT T 2 R 2 T 10 4 2 R 2 T G mM T 2 4 2

Multiplicando y dividiendo por el RT2, resulta que: r = 3 Y como: g0 =r =3 G mT RT2

, se obtiene que: =3

g0, Tierra T2 R2 T 10 4 2

9,8 m/ s2 (6 370 103 m )2 (8,64 104 s )2 = 1,9 107 m = 19 600 km 40 2

28. Desde un lugar situado a una distancia del centro de la Tierra igual a 5/4 del radio terrestre, se desea poner en rbita circular un satlite. Qu velocidad hay que comunicarle? Cul es el perodo del satlite? Datos: g0 = 9,8 m/s2 y RTierra = 6370 km. La fuerza de interaccin gravitatoria es la que permite al satlite describir un movimiento circular en torno al astro central. Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento circular y como g0 =r r G mTierra msatlite v2 = msatlite satlite F = m an ; r r2

G mT RT2

, se tiene que:

v=

G mTierra = r

G mTierra = 5 R Tierra 4

4 G mTierra R Tierra 5 R 2 Tierra

=

4 9,8 m / s 2 6,37 10 6 m = 7 067 m / s 5

2 r = El perodo del movimiento es: T = v

5 2 6,37 106 m 4 = 7 079 s 7 067 m / s

INVESTIGA 1. Kepler, inicialmente, buscando la armona de los cielos asoci las rbitas de los planetas conocidos hasta entones con los cuerpos slidos regulares pitagricos: cubo, tetraedro, dodecaedro, icosaedro y octaedro. Busca de qu forma intentaba Kepler encajar las rbitas de los planetas con los slidos regulares. Kepler, en su juventud, crey que haba alguna relacin entre las rbitas de los planetas y los slidos regulares pitagricos. Ide un esquema que consista en meter una esfera dentro de cada una de estas figuras y cada figura dentro de otra esfera mayor. As, la esfera exterior, que representaba la rbita de Saturno, contena al cubo, el cual contena a la esfera de Jpiter, la cual contena al tetraedro, el cual a su vez contena la esfera de Marte, y as hasta llegar a la esfera de Mercurio, contenida en el octaedro. Kepler maravillado por esta construccin, la cual consider una revelacin divina, intent construir un modelo para comprobar si las distancias entre los planetas y el Sol iban en la misma proporcin que los tamaos de las esferas.14

Soluciones unidad 1: Interaccin gravitatoria 2 Bachillerato 2008 Sin embargo estas no coincidan, pero tan convencido estaba Kepler por esta armona entre los planetas y los slidos de Pitgoras, que concluy que las observaciones deban contener algunos errores. Aunque l mismo pudo comprobar aos despus que este modelo no tena ninguna relacin con las posiciones de los planetas. 2. Recientemente se le ha quitado a Plutn la categora de planeta. Investiga cuando se tom ese acuerdo y las razones que lo motivaron. En el ao 2006 y en la ciudad de Praga los astrnomos aprobaron por unanimidad las siguientes categoras de objetos del sistema solar. Primera categora: Un planeta es un cuerpo celeste que est en rbita alrededor del Sol, que tiene suficiente masa para tener gravedad propia para superar las fuerzas rgidas de un cuerpo de manera que asuma una forma equilibrada hidrosttica, es decir, redonda, y que ha despejado las inmediaciones de su rbita. Segunda categora: Un planeta enano es un cuerpo celeste que est en rbita alrededor del Sol, que tiene suficiente masa para tener gravedad propia para superar las fuerzas rgidas de un cuerpo de manera que asuma una forma equilibrada hidrosttica, es decir, redonda; que no ha despejado las inmediaciones de su rbita y que no es un satlite. Tercera categora: Todos los dems objetos que orbitan alrededor del Sol son considerados colectivamente como cuerpos pequeos del Sistema Solar. En consecuencia, de acuerdo con esta definicin, los planetas del Sistema Solar son a partir de ahora ocho, en lugar de nueve: Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Jpiter, Saturno, Urano, Neptuno (ordenados por su cercana al Sol, de menor a mayor). Plutn, descubierto en 1930, pierde as su condicin de planeta, y contina integrando el Sistema Solar como planeta enano. TEST DE AUTOEVALUACIN 1. Contesta si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a) La Tierra se mueve alrededor del Sol ms deprisa cuando es verano en el hemisferio norte que en invierno. b) Si la rbita de un satlite es circular, su centro coincide con el de la Tierra. c) La constante de la tercera ley de Kepler solo depende de la masa del astro central. d) Cuanto ms lejos est un planeta del Sol menor es su velocidad orbital. a) Falso La rbita de la Tierra es casi circular, su distancia al Sol en el afelio de 152 millones de km y en el perihelio de 147 millones de km. Segn la segunda ley de Kepler la lnea que une al Sol con un planeta recorre reas iguale en tiempos iguales. Por tanto, un planeta se mueve ms deprisa cuando est ms cerca del Sol que cuando est ms lejos. Cuando la Tierra est en el perihelio, ms cerca del Sol, es invierno en el hemisferio norte y viaja ms deprisa que cuando est en el afelio, ms lejos del sol, que es verano en el hemisferio norte. b) Verdadero Si la rbita no contiene al centro de la Tierra, entonces el momento angular del satlite respecto de la Tierra no se conservara ya que los vectores de posicin y fuerza no seran paralelos.

15

Soluciones unidad 1: Interaccin gravitatoria 2 Bachillerato 2008 c) Verdadero La constante de la tercera ley de Kepler depende de la masa del astro central.T2 r3

=

4 2 Gm astro central

2. Completa la frase: Un satlite geoestacionario recorre su rbita con un perodo de _______ y est colocada en la vertical del ___________ y se utilizan en ___________. Un satlite geoestacionario recorre su rbita con un perodo de 24 horas y est colocada en la vertical del ecuador terrestre y se utilizan en comunicacin y meteorologa. 3. El peso de un objeto cual se eleva a una distancia igual a dos veces el radio terrestre es: a) 3 Psuperficie; b) Psuperficie/3; c) Psuperficie/9; d) Psuperficie/2. La solucin correcta es la c). Si el objeto se eleva a una distancia de 2 RTierra, su distancia desde el centro de la Tierra es igual a 3 RTierra. Por lo que el peso del objeto es:P' = G m T r2

=

Gm T Psup erficie = 9 R T 9

4. En el origen de coordenadas se sita una masa m1=1kg, en el punto A (3, 0) se coloca otra masa m2 = 2 kg y en el punto B (0, 4) una tercera m3 = 3 kg. El mdulo de la fuerza que acta sobre la masa colocada en el origen es: a) 1,94 10-11 N; b) 2,73 10-11 N c) 0 N d) 1,94 10-9 N La solucin correcta es la a) La masa m2 acta con una fuerza de direccin la del eje X y sentido positivo, hacia la masa m2. Su mdulo es:F1 = G m1 m2 N m2 1kg 2 kg = 6,67 10 11 = 1,48 10 11 N r2 kg2 (3 m)2

Y m3r F3 r Fresul tante

La masa m3 acta con una fuerza de direccin la del eje Y y sentido positivo, hacia la masa m3. Su mdulo es:F2 = G m 2 m3 r2

= 6,67 10 11

N m 1kg 3 kg = 1,25 10 11 N kg2 ( 4 m)2

2

O m1

r F2

X m2

Las dos fuerzas son perpendiculares, el mdulo de la fuerza resultante se calcula aplicando el teorema de Pitgoras.2 2 Fresul tan te = F1 + F2 = (1,48 10 11 N)2 + (1,25 10 11 N) 2 = 1,94 10 11 N

5. Una unidad astronmica, U.A, es igual a la distancia media desde la Tierra hasta el Sol. Si el planeta Saturno tarda 29,5 aos en recorrer su rbita, su distancia Sol expresada en unidades astronmicas es: a) 29,5 U.A. b) 9,5 U.A. c) 59 U.A. d) 100 U.A. La solucin correcta es la b)2 2 Aplicando la tercera ley de Kepler: TTierra = TSaturno 3 3

RTierra

RSaturno

Sustituyendo:

= (1U. A . )3

(1ao )2

(29,5 aos )2 RSaturno3

RSaturno = 9,5 U. A .

16

Soluciones unidad 1: Interaccin gravitatoria 2 Bachillerato 2008 6. Si un satlite est situado en una rbita a 330 km de la Tierra, su perodo de revolucin es: a) 91 min; b) 62 min; c) 120 min; d) 1 h. La respuesta correcta es la a) Radio de la rbita es: r = RT + 330 km = 6370 103 m + 330 103 m = 6,70 106 m Aplicando la segunda ley de Newton y considerando a la rbita circular, se tiene:2 r 4 2 2 r F = mS an ; G mT 2mS = mS v G mT = v 2 = 2 r r r T r G Despejando y como g0 = mT , se tiene que el perodo 2 RT

es:

T = 2

3 3 (6,70 106 m )3 r r = 2 = 2 = 5,5 103 s = 91 min 2 2 6 G mT g0 R2 9,8 m/ s (6,37 10 m ) T

7. Un planeta posee un radio que es el doble del radio terrestre y su densidad media es la misma que la de la Tierra. El peso de los objetos en ese planeta respecto de lo que pesan en la Tierra es: a) 2 PTierrra; b) PTierrra; c) PTierrra /2; d) PTierra/4. La solucin correcta es la a) Como la densidad es la misma que la de la Tierra, la masa de se planeta es:4 R' 3 ( 2 R ) 3 V' M M' 3 = ' ; = ; M' = M = M =M = 8 M 4 R V V V' R 3 3 GM' m G8 Mm = = 2PTierra Y el peso del objeto es: P' = r2 ( 2 R ) 2

8. Completa la frase: El momento angular de la Tierra respecto del Sol es un ________ , de direccin ____ al plano de la rbita y permanece ___________ a lo largo de la trayectoria. El momento angular de la Tierra respecto del Sol es un vector, de direccin perpendicular al plano de la rbita y permanece constante a lo largo de la trayectoria. 9. Justifica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) La interaccin gravitatoria entre dos masas depende del medio en el que coloquen. b) El momento angular de una partcula no depende del origen del sistema de referencia. c) Si la rbita de un satlite es estable, su vector de posicin y el vector fuerza son paralelos d) El vector momento angular de un satlite respecto de la Tierra est contenido en el plano de su rbita. a) Falso. EL mdulo de la fuerza de interaccin gravitatoria no depende del medio en el que se coloquen los objetos, ya que el valor de G es el mismo en cualquier lugar o medio. b) Falso. El vector momento angular de una partcula depende del punto respecto del que se considere, ya que depende del vector de posicin. c) Verdadero. Ya que de otra forma no se conservara el vector momento angular del satlite respecto del planeta.17

Soluciones unidad 1: Interaccin gravitatoria 2 Bachillerato 2008 d) Falso. El vector momento angular un satlite respecto de la Tierra es perpendicular al plano de la rbita. 10. Si se duplicara la masa de la Tierra, la distancia a que habra que colocar la Luna para que girase con el mismo perodo con el que lo hace actualmente sera: a) r = 2 r; b) r ' = 3 2 r ; c) r = r/2; d) r = r. La respuesta correcta es la b) Aplicando la segunda ley de Newton a la rbita, de radio r, y como v =2 r m 4 2 2 r F = m an ; G mT 2 L = mL v G mT = 2 r r r T r

2 r T

, se tiene:

Despejando el radio de la rbita, r, resulta que: r = 3

G m T T2 4 23

La relacin de los radios en los dos supuestos es:

r' = r

G m' T T2 4 2 G m T T2 4 2

=3

3

m' T 2 m T =3 r ' = 3 2 r mT mT

18

Unidad didctica 2 Campo gravitatorio

Soluciones unidad 2: Campo gravitatorio 2 Bachillerato 2008 SOLUCIONES UNIDAD 2. CAMPO GRAVITATORIO CUESTIONES INICIALES 1. Cundo se dice que una fuerza es conservativa? Para qu sirve saber si una fuerza es conservativa o no? Una fuerza se dice que es conservativa cuando el trabajo realizado por la fuerza depende nicamente de la posicin inicial y final y no de la trayectoria seguida. Si la fuerza es conservativa se puede calcular el trabajo aplicando la ley de la energa potencial, por lo que ese trabajo es igual a la variacin de la energa potencial cambiada de signo y no hay que recurrir a la definicin de trabajo elemental. 2. A qu se denomina energa mecnica asociada a un objeto? Cundo se conserva la energa mecnica durante una transformacin? La energa mecnica asociada a un objeto es iguala a la suma de su energa cintica y de su energa potencial. La energa mecnica se conserva durante una transformacin cuando solamente actan fuerzas conservativas sobre el objeto. 3. Cunto pesa un objeto situado a una distancia igual a 3 RTierra de la superficie de la Tierra? El peso del objeto se divide por nueve:P' = m g' = m G MT (3 R T )2

=m

G M T 9 R 2 T

=m

P 9

ACTIVIDADES FINALES 1. A qu altura sobre la superficie de la Tierra se reduce a la mitad el campo gravitatorio terrestre? RT = 6400 km La relacin de los mdulos de los campos gravitatorios en la superficie y en el punto en cuestin son:G M gsup erficie gP = R 2 gsup erficie r r2 T = 2 2= ; G M gsup erficie R T RT r2 2

Operando: r = RT + h = 2 R T Despejando: h = 2 R T - RT = 6 400 km ( 2 - 1) = 2,65 103 km 2. Se eleva un objeto de masa m = 20 kg desde la superficie de la Tierra hasta una altura h = 100 km. Cunto ha incrementado su energa potencial? La variacin de la energa potencial asociada al objeto en la nueva posicin es: Ep = Ep, altura Ep, superficie = Operando: Ep = 1 1 GMT m GMT m = GMT m R r r RT T GMT m 2 r R T h = RT = g0 mR 2 T R T r R T (R T + h) R2 T

20

Soluciones unidad 2: Campo gravitatorio 2 Bachillerato 2008 Como la distancia h es mucho menor que el radio de la Tierra se puede realizar la aproximacin RT (RT + h) R 2 y por tanto: T Ep = m g0 h = 20 kg 9,8 N/kg 100 103 m = 1,96 107 J Si no se utiliza la aproximacin anterior, se tiene que: Ep =GMT m 2 r R T h RT = g0 mR T 2 R T r (R T + h) RT

Sustituyendo: Ep = 9,8 m/s2 20 kg

(6370 10 m) (100 10 m) = 1,93 107 J3 3

6370 10 m + 100 103 m3

3. En los vrtices de un tringulo equiltero de 1 m de lado se colocan tres masas de 2 kg, 3 kg y 4 kg. Calcula la energa transformada para separarlas infinitamente. La energa potencial gravitatoria del sistema representa el trabajo que realiza la fuerza gravitatoria al separar las partculas a una distancia infinita. En el caso de un conjunto de partculas, la energa potencial gravitatoria total es la suma de todas las parejas de partculas.Ep, total = Ep,12 + Ep,13 + Ep, 23 m m m m m m = G 1 2 + 1 3 + 2 3 r r13 r23 12

m3 = 4 kg

m1 = 2 kg

m2 = 3 kg

Ep, total = Ep,12 + Ep, 13 + Ep, 23 = 6,67 10 11

Nm 2 2 kg3 kg 2 kg 4 kg 3 kg 4 kg = + + 1m 1m kg 2 1m

- 1,73 10-9 J

Que lgicamente tiene signo negativo. Ya que un agente externo tiene que realizar un trbajo contra la fuerza gravitatoria que se almacena en forma de energa potencial gravitatoria. 4. En los vrtices de un tringulo equiltero de 1 m de lado hay colocadas sendas masas iguales de 3 kg cada una. Calcula el vector campo gravitatorio en el otro vrtice. Determina el vector fuerza que acta sobre una masa de 5 kg colocada en ese vrtice. Indica el valor de la energa transformada al trasladar la masa de 5 kg desde el vrtice hasta el punto medio del lado que une las masas de 3 kg. Se elige un sistema de referencia con el lado del tringulo que contiene las masas sobre el eje X y en el origen una de ellas. Se denominan m1 y m2 a los dos masas iguales y m a la masa que se traslada. Las dos masas generan un campo gravitatorio del mismo mdulo en el otro vrtice.g1 = g2 = G m12 r1

Y g1x

r

V 30r r g1 y g2 y

r g2 x

=

G 3 kg 1m2

r g1

r g2

60 m1 P m2 X

Las componentes en el eje X de los campos anteriores se anulan por simetra y las componentes en el eje Y se refuerzan. Como los ngulos de un tringulo equiltero son de 60, resulta que: g1y = g2y = g1 sen 60 =G 3 kg sen 60 1m2

El mdulo del campo gravitatorio en el otro vrtice es:G 3 kg 6,67 10 11 N m2 / kg2 3 kg sen 60 = 2 sen 60 = 2 1m 1m 2 r r Vectorialmente: gt = 3,46 1010 j N / kg gT = 2 g1 = 2

3,46 10-10 N/kg

21

Soluciones unidad 2: Campo gravitatorio 2 Bachillerato 2008 El vector fuerza que acta sobre la masa de 5kg colocada en el vrtice libre es:r r r r F = m g = 5 kg ( 3,46 10 10 j N / kg) = 1,72 10 9 j N

La energa involucrada en el proceso se resuelve a travs del clculo del potencial. El potencial gravitatorio que generan las dos masas iguales m1 y m2 en el otro vrtice es una magnitud escalar (siempre de signo negativo) y cuyo valor es: G m1 6,67 10 11 N m2 / kg2 3 kg = 2 Vv = V1 + V2 = 2 = 4,0 10 10 J / kg rV 1m

El potencial en el punto, P, medio del lado que contiene las masas iguales es: G m1 6,67 10 11 N m2 / kg2 3 kg = 2 VP = V1 + V2 = 2 = 8,0 10 10 J / kg rP 0,5 m

Aplicando las relaciones entre el trabajo que realiza la fuerza gravitatoria y el potencial, resulta que: WFgravitatoria v p = - Ep = - m V = - m (VP - VV) = = - 5 kg [- 8,0 10-10 J/kg - (- 4,0 10-10 J/kg)] = + 2,00 10-9 J El proceso es espontneo. La fuerza gravitatoria realiza un trabajo a costa de disminuir la energa potencial asociada al sistema. 5. Tres masas iguales de 1 kg cada una estn situadas en los vrtices de un cuadrado de 1 m de lado. Calcula el mdulo del campo gravitatorio en el centro del cuadrado. Determina el potencial gravitatorio en el vrtice libre y en el centro del cuadrado. Calcula el trabajo realizado al trasladar un objeto de 10 kg de masa desde el centro del cuadrado hasta el vrtice libre. La geometra del ejercicio indica que los campos creados por las masas situadas en la misma diagonal se anulan. El campo gravitatorio total es igual al creado por la masa situada en el vrtice opuesto al vrtice libre P. Este campo tiene la direccin de la diagonal que pasa por el punto P y sentido hacia la masa. Su mdulo es:g= G m r2

m1

P

r gm2

O

m3

=

6,67 10 11N m 2 / kg2 1kg 2 m 2 2

= 1,33 10 10

N kg

El potencial gravitatorio en un punto es igual a la suma de los potenciales generados por cada una de las masas en ese punto.VP = 2 2 G m G m N m 2 1kg = 6,67 10 11 + 2 1m r1 r2 kg 1 = 1,80 10 10 J kg 2m

VO = 3

G m N m 2 1 J 1kg = 3 6,67 10 11 = 2,83 10 10 r1 kg kg 2 2 m 2

Aplicando la ley de la energa potencial: WOP = - m V = - m (VP VO) = - 10 kg (- 1,80 10-10 J/kg + 2,83 10-10 J/kg) = - 1,03 10-9 J 6. Una partcula de 4 kg de masa se coloca en el punto de coordenadas A (1, 0) y otra de 9 kg de masa se coloca en el punto B (6, 0). Hay algn punto en el que se anule el campo gravitatorio? Calcula sus coordenadas. Calcula la energa involucrada en el proceso de trasladar una masa de 5 kg desde el origen de coordenadas hasta el punto C (3,0).22

Soluciones unidad 2: Campo gravitatorio 2 Bachillerato 2008 Una masa puntual genera un campo gravitatorio de direccin la radial y sentido hacia la masa considerada. El campo gravitatorio en un punto es la suma vectorial de los campos gravitatorios generados por cada una de las masas. Por tanto el campo se anula en un punto situado entre las dos masas. La distancia entre las dos masas es 5 m.Y

r g1O (0, 0) A (1, 0) m1 = 4 kg P

r g2

X B (6, 0) m2 = 9 kg

El punto P est situado sobre el eje X y dista x m del punto A y 5 x m del B. Como en ese punto los mdulos de los campos generados por cada masa son iguales, se tiene:r r G m G m2 4 kg 9 kg | g1 |=| g2 |; 2 1 = ; 2 = 2 r1 r2 x (5 x )2

Operando: 2 (5 x) = 3 x x = 2 m; por tanto, las coordenadas de P son: P (3, 0) En primer lugar se calcula el potencial gravitatorio en los puntos considerados, teniendo en cuenta que el potencial en un punto es igual a la suma de los potenciales creados por cada una de las masas. VO = VO1 + VO2 = VC = VC1 + VC2 = 4 kg 9 kg G m1 Gm 2 N m 2 kg J = 6,67 10 11 5,5 = 3,67 10 10 = G + 1m r1 r2 6m m kg kg 2 2 4 kg 9 kg G m1 Gm 2 kg J 11 N m 5 = 3,34 10 10 = G 2 m + 3 m = 6,67 10 2 r1 r2 m kg kg

Aplicando la ley de la energa potencial: WOC = - Ep = - m V = - m (VC VO) = - 5 kg (- 3,34 10-10 J/kg + 3,67 10-10 J/kg) = = - 1,65 10-10 J 7. Dos masas puntuales m1 = m2 = 10 kg estn colocadas en los puntos A (0 m, 0 m) y B (8 m, 0 m). Calcula el vector campo gravitatorio en el punto C (4 m, 3 m). Qu fuerza acta sobre una masa de m3 = 100 g colocada en C? Calcula la energa transformada al trasladar la masa m3 desde el punto C hasta el punto D (4 m, 0 m). Es espontneo el proceso, interpreta el sigo obtenido. Cada una de las masas mayores genera en el punto C un campo gravitatorio cuyo mdulo es:g=G m r2

Y

r g1x

C(4,3)r r g1 y g2 y

=G

m x +y2 2

r g1

r g2 x r g2

D(4,0) En el diagrama de la figura se observa que las componentes en X del campo gravitatorio se anulan y que las componentes en Y se refuerzan. Este campo tiene la direccin la de la recta que une los puntos C y D y su sentido es hacia el punto D. Su mdulo es:

m1 A(0,0)

m2 B(8,0)X

gtotal = 2 gy = 2 g sen = 2 G Sustituyendo: g total = 2 6,67 10 11r Vectorialmente: gtotal

m x +y22

y2

x 2 + y210 kg2 2

Nm 2

4m ( 4 m) + (3 m)2 2

kg ( 4 m) + (3 m) r = 4,2710 11 j N / kg

= 4,27 10 11 N / kg

Aplicando la definicin de intensidad del campo en un punto resulta que:r r r r F = m g total = 0,1kg(4,2710 11 j N / kg) = 4,2710 12 j N

23

Soluciones unidad 2: Campo gravitatorio 2 Bachillerato 2008 Aplicando la definicin de potencial gravitatorio en un punto. El potencial generado en un punto es igual a la suma de los potenciales generados por cada una de las masas.VC = 2 G VD = 2 G m x +y2 2

= 2 6,67 10 11

N m2 kg2

10 kg ( 4 m) + (3 m)2 2

= 2,67 10 10 J / kg

m Nm 2 10 kg = 2 6,67 10 11 = 3,34 10 10 J / kg 2 x 4m kg

Aplicando la ley de la energa potencial WFcampo CD = - Ep = - m V = - m (VD - VC) = - 0,1 kg (- 3,34 10-10 J/kg + 2,67 10-10 J/kg) = = 6,7 10-12 J El proceso es espontneo, ya que las masas estn ms cerca unas de otras en la posicin final que en la inicial. Las fuerzas del campo realizan un trabajo a costa de disminuir la energa potencial asociada a la nueva distribucin. 8. El planeta Mercurio describe una rbita elptica alrededor del Sol. En el afelio, su distancia al Sol es de 6,99 1010 m, y su velocidad orbital es de 3,88 104 m/s, siendo su distancia al Sol en el perihelio de 4,60 1010 m. En el perihelio de Mercurio calcula su velocidad orbital, su energa cintica, potencial y mecnica y los mdulos de su momento lineal y angular. De las magnitudes indicadas anteriormente, cules son iguales en el afelio? Masa de Mercurio = 3,18 1023 kg; Masa del Sol: 1,99 1030 kg; G = 6,67 10-11 N m2 kg-2. La interaccin gravitatoria es una fuerza central, por lo que el momento angular de Mercurio respecto del Sol es una cantidad constante a lo largo de la rbita.r r Lafelio = L perihelior Lr p

r v

r rSol

r F

Aplicando la definicin de momento angular y como el vector de posicin es perpendicular al vector velocidad, resulta que: rafelio vafelio = rperihelio vperihelio vperihelio = 5,90 104 m/s La velocidad orbital es un vector tangente a la trayectoria, por lo que no se conserva ni en mdulo, ni en direccin, ni en sentido. Aplicando la definicin de momento lineal: pperihelio = mmercurio v perihelio En mdulo: pperihelio = mMercurio vperihelio = 1,88 1028 kg m/s El momento lineal es un vector tangente a la trayectoria, luego no se conserva ni en mdulo, ni en direccin, ni en sentido. Aplicando la definicin de energa cintica: Ec = mmercurio v2perihelio = 5,53 1032 J Que no se conserva a la largo de la trayectoria, ya que el mdulo de la velocidad no permanece constante. La energa potencial gravitatoria asociada a esa posicin es: Ep = G mSol mmercurio = - 9,2 1032 J rperihelio

r

r

Que tampoco es constante a lo largo de la trayectoria porque la distancia no lo es. La energa mecnica es igual a la suma de las energas cintica y potencial gravitatoria. E = Ec + Ep = - 3,66 1032 J Cantidad negativa, ya que Mercurio est ligado al Sol. Esta cantidad permanece constante a lo largo de la trayectoria porque la interaccin gravitatoria es una fuerza conservativa.24

Soluciones unidad 2: Campo gravitatorio 2 Bachillerato 2008 Aplicando la definicin de momento angular y como el vector de posicin es perpendicular al vector velocidad, resulta que: r r r 38 2 L perihelio = rperihelio pperihelio Lperihelio = rperihelio pperihelio = 8,63 10 kg m /s Es un vector perpendicular al plano de la rbita y cuyo sentido es el indicado por la regla de Maxwell, que coincide con el del avance de un sacacorchos al voltear el vector de posicin sobre el vector velocidad por el camino ms corto. Este vector permanece constante a lo largo de toda la trayectoria como corresponde a una fuerza central, ya que el momento de la fuerza que acta sobre Mercurio respecto del Sol es igual a cero, el vector de posicin y el vector fuerza son paralelos. 9. Un meteorito de 60 kg de masa cae desde un punto situado a una altura igual al radio de la Tierra con una velocidad de 40 m/s. Cul ser la velocidad del meteorito al caer en la superficie terrestre si despreciamos la friccin con la atmsfera? MTierra = 5,981024 kg, RTierra = 6370 km Si se prescinde del rozamiento con el aire la nica fuerza que acta sobre el objeto es la atraccin gravitatoria, por lo que la energa mecnica del objeto se conserva durante los desplazamientos. Ec + Ep = 0; Emecnica posicin inicial = Emecnica superficieG M T m 1 G M T m G MT 2 G MT 1 2 2 ; v inicial = m v 2 = v2 m v inicial final final RT RT 2 2 R T 2 RT2 Despejando: v 2 = v inicial + final

G MT RT G M T 6,67 10 11 Nm 2 / kg 2 5,98 10 24 kg = ( 40 m / s) 2 + = 7,9 103 m / s RT 6370103 m

2 Sustituyendo: v final = v inicial +

10. Un objeto de masa m = 1000 kg se acerca en direccin radial a un planeta, de radio RP = 6000 km, que tiene una gravedad g =10 m/s2 en su superficie. Cuando se observa este objeto por primera vez se encuentra a una distancia r0 = 6 RP del centro del planeta. Qu energa potencial tiene ese objeto cuando se encuentra a la distancia r0? Determina la velocidad inicial del objeto v0, o sea cuando est a la distancia r0, sabiendo que llega a la superficie del planeta con una velocidad v = 12 km/s La energa potencial inicial asociada a la posicin del meteorito es:Ep = G Mp m r=

GMp m 6 R p

=

GMp m R P2 6 R P

=

gm R P 10 m / s 2 1000 kg 6000 103 m = = 1,0 1010 J 6 6

Si se prescinde del rozamiento con el aire la nica fuerza que acta sobre el objeto es la atraccin gravitatoria, por lo que la energa mecnica del objeto se conserva durante los desplazamientos. Ec + Ep = 0; Emecnica posicin inicial = Emecnica superficieGMP m 1 GMP m 2 G MP 2 GMP 1 2 2 m v 0 = m v 2 ; v0 = v2 final final 2 r0 2 Rp 6 R P RP2 Despejando: v 0 = v 2 final

5 GMP 5 GMP R P 5 = v2 = v 2 gR P final final 2 3 RP 3 3 RP5 3

Sustituyendo: v 0 = (12 103 m / s)2 10 m / s 2 6000 103 m = 6633 m / s

25

Soluciones unidad 2: Campo gravitatorio 2 Bachillerato 2008 11. En la superficie de un planeta de 2 000 km de radio, la aceleracin de la gravedad es de 3 m/s2. Calcula la masa del planeta. Hasta qu altura se elevar un objeto que se lance verticalmente desde la superficie del planeta con una velocidad de 2 km/s? Igualando las definiciones de peso segn la ley de gravitacin universal y la segunda ley de Newton, se tiene:P= G M m g R 2 3 m / s 2 (2 10 6 m)2 = mg M = = = 1,8 10 23 kg G R2 6,67 10 11 N m2 / kg2

Si se prescinde del rozamiento con el aire la nica fuerza que acta sobre el objeto es la atraccin gravitatoria, por lo que la energa mecnica del objeto se conserva durante los desplazamientos. Ec + Ep = 0; Emecnica superficie = Emecnica posicin final mO v2superficie Operando:G MP mO RP2 RP

=0-

G MP mO r 2 R P G MP G MP r = 2 r v sup erficie R P 2 G MP

2 v sup erficie R P 2 G MP

=

Sustituyendo: r =

2 2 10 6 m 6,67 10 11 N m2 / kg2 1,8 10 23 kg = 3 10 6 m (2 103 m / s)2 2 10 6 m 2 6,67 10 11 N m2 / kg2 1,8 10 23 kg

Con lo que la altura que alcanza es: h = r - R = 3 106 m - 2 106 m = 1 106 m 12. Se lanza un proyectil verticalmente desde la superficie de la Tierra, con una velocidad inicial de 3 km/s. Qu altura mxima alcanzar? Calcula la velocidad orbital que habr que comunicarle a esa altura para que describa una rbita circular. RT = 6 370 km Si se prescinde del rozamiento con el aire, la nica fuerza que acta sobre el objeto es la atraccin gravitatoria, por lo que la energa mecnica se conserva. Ec + Ep = 0 Ec, superficie + Ep, superficie = Ec, final + Ep, final La energa cintica y potencial en la superficie de la Tierra se transforman en energa potencial gravitatoria asociada a su posicin final.1 G MT ms G MT ms 2 =00 ms vsuperficie 2 RT RT + h 2 RT - 2 G MT v +h 2 RT G MT Operando: superficie 0 RT 0 = =2 G MT 2 G MT - v superficie RT 2 RT RT + h

Despejando: h = Como: g0 =

2 2 v superficie _ RT 2 G MT RT 0 - RT = 2 2 2 G MT - v superficie RT 2 G MT - v superficie RT

G MT RT2

0, se tiene que: h =2

v superficie 2 g0 v superficie RT2

2

=

v superficie RT2 2 g0 RT - v superficie

2

0

Sustituyendo: h =

(3 000 m/s ) 6,37 106 m 2 9,8 m/ s 6,37 10 m - (3 000 m/s )2 6 2

0 = 4,95 105 m

La interaccin gravitatoria entre la Tierra y el satlite es la fuerza centrpeta que mantiene al satlite en su rbita. Aplicando al satlite la Segunda ley de Newton, se tiene:2 r Mplaneta msatlite r F = m an ; G = msatlite v 2 r r

Despejando: v =

G Mplaneta r

=

g 0 R 2 T = r

9,8 m / s 2 (6,3710 6 m) 2 6,37 10 m + 4,95 10 m6 5

= 7,6 103 m

26

Soluciones unidad 2: Campo gravitatorio 2 Bachillerato 2008 13. Si la Tierra redujese su radio a la mitad conservando su masa, )cunto valdra la velocidad de escape desde su superficie? Un cuerpo queda desligado del campo gravitatorio creado por otro cuerpo cuando su energa mecnica asociada a una posicin es como mnimo igual a cero. En este caso llega hasta el infinito, en el que la energa potencial es cero, con velocidad nula. La energa mecnica asociada a un cuerpo en la superficie de un planeta es igual a la suma de la energa cintica y potencial. Llamando ve a la velocidad comunicada para que se escape del planeta, tenemos: Emecnica = Ecintica + Epotencial = 0;2 G mplaneta G mS mplaneta 1 2 = 0 ve = mS v e 2 Rplaneta Rplaneta

Y para la Tierra: ve,Tierra = 2 g0 RT Si ahora se reduce el radio de la Tierra a la mitad conservado su masa, entonces la velocidad de escape desde su superficie se es:ve = 2 G mplaneta Rplaneta = 2 G mT = RT /2 2 2 G mT RT = 2 2 g0,T RT = 2 v e,T

14. Desde la superficie de la Tierra se lanza verticalmente una partcula con una velocidad igual al doble de su velocidad de escape. Cul ser su velocidad cuando est muy lejos de la Tierra? En primer lugar se determina la velocidad de escape en la superficie de la Tierra. En ese punto la energa mecnica asociada a la partcula es igual a cero.GMT m 1 2 mv escape = 0 v escape = 2 RT 2GMT = 2g0 R T RT

Por lo que la velocidad inicial de la partcula es: v = 2 2g0 R T Una vez lanzada la partcula solamente acta la interaccin gravitatoria, por lo que la energa mecnica se conserva durante su desplazamiento. En puntos muy alejados de la Tierra, la energa potencial gravitatoria asociada a ella es igual a cero, por lo que aplicando la energa de conservacin de la energa mecnica entre la superficie de la Tierra y un punto muy alejado, resulta: Ec + Ep = 0;GMT m 1 GMT m 1 2 = mv 2 mv inicial final r 2 2 RT

Sustituyendo la velocidad inicial por su valor y operando, resulta que:1 1 42g0 R T g0 R T = v 2 0 v final = 6g0 R T = 69,8m / s 2 6,37106 m = 19400 km final 2 2

15. Desde la superficie de la Luna se lanza un objeto con una velocidad igual a su velocidad de escape, calcula a qu distancia del centro de la Luna se ha reducido su velocidad a la mitad. RLuna = 1 738 km; g0, Luna = 1,62 m/s2. Para que un objeto se escape de la atraccin lunar la energa mecnica en su superficie tiene que ser igual a cero. Ec, superficie + Ep, superficie = 0; Despejando: v escape =G MLuna mobjeto 1 2 mobjeto v escape =0 2 RLuna

2 G MLuna = 2 g0,Luna R Luna R Luna

27

Soluciones unidad 2: Campo gravitatorio 2 Bachillerato 2008 En el movimiento del objeto desde la superficie de la Luna hasta el punto P que dista una distancia r del centro de la Luna en el que la velocidad del objeto se reduce a la mitad se conserva la energa mecnica asociada al objeto. Ec, supercie + Ep, superficie = Ec, posicin + Ep, posicinG MLuna mobjeto 1 G MLuna mobjeto 1 2 2 mobjeto v sup erficie = mobjeto v posicin 2 R Luna 2 r

La velocidad en la superficie es la de escape y la velocidad en la posicin r es la mitad de la anterior, por tanto:2 v escape 1 1 1 1 3 2 1 2 v = GM ; v escape = GMLuna Luna escape R 8 R 4 2 Luna r Luna r

Sustituyendo la velocidad de escape por su valor: 1 3 2 G MLuna 1 3 1 1 1 1 = G MLuna ; = ; = R 8 RLuna r 4 RLuna RLuna r r 4 R Luna Luna

Por tanto la distancia pedida es: r = 4 RLuna 16. Un satlite artificial est situado en una rbita circular en torno a un planeta. Por qu valor hay que multiplicar su velocidad para que se escape de la atraccin gravitatoria en esa posicin? La interaccin gravitatoria entre la Tierra y el satlite es la fuerza centrpeta que mantiene al satlite en su rbita. Aplicando al satlite la Segunda ley de Newton, se tiene:2 r G Mplaneta Mplaneta msatlite r F = m an ; G = msatlite v v = 2 r r r

Que es la velocidad del satlite cuando la rbita es estable. Para que el satlite se escape desde esa posicin se tiene que cumplir que su energa mecnica es igual a cero. Emecnica = Ecintica + Epotencial =G MPlaneta m 1 2 =0 m v escape 2 r

v escape =

2 GMPlaneta r

Comparando los dos valores de la velocidad:

v escape v

=

2 G MPlaneta r = 2 v escape = 2 v G MPlaneta r

Si se multiplica la velocidad orbitad por 2 el satlite se escapa desde su posicin. 17. El radio de un planeta es la tercera parte del radio terrestre y su masa la mitad. Calcule la gravedad en su superficie y la velocidad de escape del planeta, en funcin de sus correspondientes valores terrestres. La aceleracin de la gravedad en la superficie del planeta es:g= Gm R2

MTierra 9 GMTierra 9 2 = = g0, Tierra = 2 2 R2 2 R Tierra Tierra 3 G

Se denomina velocidad de escape a la que hace igual a cero a la energa mecnica de una partcula situada en la superficie del planeta. Emecnica = Ecintica + Epotencial =GMPlaneta m 1 m v 2 =0 2 R Planeta

v escape =

2 GMPlaneta R Planeta

28

Soluciones unidad 2: Campo gravitatorio 2 Bachillerato 2008 La velocidad de escape en la superficie de la Tierra es:v escape, Tierra = 2 G MTierra = R Tierra 2 G MTierra R Tierra R2 Tierra = 2 g0, Tierra R Tierra

Y la velocidad de escape en el planeta es:v escape = 2 G MPlaneta = R Planeta 2 G MTierra 2 = 3 G MTierra = R Tierra 3 G MTierra R Tierra R2 Tierra = 3 g0, Tierra R Tierra

R Tierra 3

Y en funcin de la velocidad de escape de la Tierra:2 v escape = 3 g0, Tierra R Tierra = 2 3 v escape, Tierra 2

18. Un satlite de 350 kg de masa se encuentra en una rbita circular de 15000 km de radio alrededor de la Tierra. Calcula la energa del satlite en la rbita. RT = 6370 km La interaccin gravitatoria entre la Tierra y el satlite es la fuerza centrpeta que mantiene al satlite en su rbita. Aplicando al satlite la Segunda ley de Newton, se tiene:2 r m r F = m an ; G MTierra 2 satlite = msatlite v r r

v=

G MTierra r

El satlite en su rbita tiene energa cintica y energa potencial gravitatoria.E rbita = Ep, rbita + Ec, rbita = G MTierra msatlite 1 2 + msatlite v orbita 2 r

Sustituyendo la velocidad orbital por su valor:E orbita = G MTierra msatlite 1 G 1 G MTierra msatlite + msatlite MTierra = r 2 r 2 r

Operando y sustituyendo:Erbita = 1 g0 R2 msatlite 1 350 kg tierra = - 9,8 m/ s2 (6,37 106 m )2 = - 4,64 109 J 2 r 2 15000 103 m

19. Una estacin espacial se encuentra en rbita circular alrededor de la Tierra. Su masa es de 10000 kg y su velocidad de 4,2 km/s. Calcula el radio de la rbita y la energa potencial gravitatoria de la estacin. MT = 5,98 1024 kg; RT = 6370 km La interaccin gravitatoria entre la Tierra y el satlite es la fuerza centrpeta que mantiene a la estacin en su rbita. Aplicando al satlite la Segunda ley de Newton, se tiene:2 r m r F = m an ; G MTierra 2 satlite = msatlite v r r

Despejando: r =

GM T v2

=

6,67 10 11 Nm 2 / kg 2 5,98 10 24 kg ( 4,2 10 3 m / s) 2

= 2,26 10 7 m

La energa potencial gravitatoria asociada a la posicin de la nave es:Ep = G MT m 6,67 10 11 N m 2 / kg 2 5,98 10 24 kg 10 000 kg = = 1,76 1011 J 7 r 2,26 10 m

29

Soluciones unidad 2: Campo gravitatorio 2 Bachillerato 2008 20. Para observar la Tierra, un satlite de 1000 kg de masa, que est inicialmente en una rbita circular a 630 km de la superficie, pasa a otra que est solo a 130 km. Calcula el cociente entre los perodos de revolucin en cada rbita. El cambio en la energa potencial del satlite debido al campo gravitatorio terrestre. La energa potencial, aumenta o disminuye? RT = 6370 km; MT = 6 1024 kg Aplicando la tercera ley de Kepler a las dos rbitas del satlite:2 T1 3 r1

=

2 r3 T2 T1 (6370 10 3 m + 630 10 3 )3 = 1 = = 1,12 ; 3 3 r2 (6370 10 3 m + 130 10 3 )3 r2 T2

La energa potencial gravitatoria en las respectivas rbitas es:Ep 1 = Ep 2 = GM T m 6,67 10 11 Nm 2 / kg 2 6 10 24 kg10 00 kg = = 5,72 1010 J 3 3 r1 6370 10 m + 630 10 m G M T m 6,67 10 11 Nm 2 / kg 2 6 10 24 kg10 00 kg = = 6,16 1010 J r2 6370 10 3 m + 130 10 3 m

La variacin de la energa potencial gravitatoria es: Ep = Ep2 Ep1 = - 6,16 1010 J + 5,72 1010 J = - 4,4 109 J La variacin es negativa ya que la energa potencial gravitatoria disminuye segn se acerca el objeto a la superficie de la Tierra. 21. Qu relacin existe entre las energas cintica y potencial gravitatoria de una satlite que gira en una rbita circular en torno a un planeta? Cul es la relacin entre la energa potencial gravitatoria y la energa mecnica? La velocidad de un satlite que describe una rbita circular de radio r, alrededor de un planeta tal como la Tierra, se determina aplicando la segunda ley de Newton.r G Mplaneta v2 r G Mplaneta msatlite F = msatlite an ; = msatlite rbita v rbita = 2 r r r G Mplaneta 1 1 La energa cintica del satlite es: E c = msatlite v 2 = msatlite 2 2 r G Mplaneta msatlite La energa potencial gravitatoria en la posicin de la rbita es: Ep = r

La energa cintica siempre tiene el signo positivo, mientras que la energa potencial gravitatoria tiene siempre signo negativo. Dividiendo ambas expresiones, se tiene:G Mplaneta 1 m E c 2 satlite 1 1 r = = E c = Ep GMplaneta m satlite Ep 2 2 r

La energa mecnica es igual a la suma de la energa cintica y la potencial gravitatoria. ETotal = Ec + Ep = Ep + Ep = Ep 22. Un pequeo satlite de 1500 kg de masa, gira alrededor de la Luna orbitando en una circunferencia de 3 veces el radio de la Luna. Si la masa de la Luna es de 7,35 1022 kg y su radio 1740 km, calcula la energa mecnica asociada al satlite en su rbita. Cunto vale la velocidad de escape desde la superficie de la Luna? La masa de la Luna es 7,35 1022 kg y su radio 1740 km.301 2 1 2

Soluciones unidad 2: Campo gravitatorio 2 Bachillerato 2008 a) Aplicando la ley de Gravitacin Universal y la segunda ley de Newton al movimiento circular, se tiene, con M la masa de la Luna:2 r r GMm GM F = m an ; =m v = v2 2 r r r

Utilizando la relacin entre la velocidad y el perodo: v =T = 2 3 3 R Luna (3 R L )3 r3 = 2 = 6 G M GMLuna GMLuna

2 r T

,

La energa mecnica asociada al satlite en su posicin, energa de enlace, es igual a la suma de su energa cintica y de su energa potencial gravitatoria. Emecnica = Ecintica + Epotencial = Sustituyendo:1 G M m 1 G M G M m 1 G M m m v 2 = m = 2 2 2 r r r r 1 G MLuna msatelite Emecnica = 6 R Luna

Se denomina velocidad de escape a la que hace igual a cero a la energa mecnica de una partcula situada en la superficie de la Luna.1 G M m 2 = 0 v escape = m v escape 2 r 2 G MLuna R Luna

23. Un satlite de masa 200 kg se encuentra en rbita circular de radio r alrededor del centro de la Tierra. Si la energa potencial a esa distancia es de 2 109 J. Calcular la velocidad del satlite. Datos: RT = 6 400 km. La energa potencial gravitatoria de un satlite a una distancia r del centro de la Tierra es:Ep = G M T m G M T m R 2 gm R 2 T T = = 2 r r r R T gm R 2 9,8 m / s 2 200 kg(6400 10 3 m) 2 T = = 4,0 10 7 m Ep 2 10 9 J

Despejando: r =

La velocidad de un satlite que describe una rbita circular de radio r, alrededor de un planeta tal como la Tierra, se determina aplicando la segunda ley de Newton.r v2 G MT r G m F = msatlite an ; MT 2 satlite = msatlite rbita v rbita = r r r

Operando: v rbita =

G MT = r

G MT R 2 T r R 2 T

=

g R 2 T = r

9,8 m / s 2 (6400 10 3 m) 2 4,0 10 7 m

= 3,17 103 m / s

24. Se desea poner en rbita un satlite geoestacionario de 25 kg. Calcula el radio de la rbita y las energas cintica, potencial y mecnica del satlite en la rbita. MT = 5,98 1024 kg Se denomina rbita geoestacionaria a la rbita en la que el perodo de traslacin de un satlite es igual al perodo de rotacin de la Tierra. T = 24 h = 8,6 104 s Estos satlites mantienen su posicin relativa respecto de un punto de la Tierra, por lo que se utilizan como repetidores de las seales electromagnticas en comunicacin. Aplicando la segunda ley de Newton a la rbita, de radio r, y como: v = tiene que:r r m m m v2 4 2 r 2 F = m an ; G Tierra = m G Tierra = 2 r r r T22 r T

y g0 =

G mTierra RTierra2

, se

31

Soluciones unidad 2: Campo gravitatorio 2 Bachillerato 2008 Despejando: r3 = T2 g R2 G mTierra T2 r = 3 0 Tierra 4 2 4 2

Sustituyendo se tiene que el radio de la rbita es:r =3 9,8 m/ s2 (6 370 103 m )2 (8,64 104 s )2 4 2

= 4,22 107 m = 42 200 km

El valor de la energa cintica es:Ec = 1 1 G M T 1 6,67 10 11 Nm 2 / kg 2 5,98 10 24 kg m v 2 = m = 50 kg = 1,18 10 8 J 2 2 r 2 42 200 10 3 m

Y el de la energa potencial gravitatoria es:Ep = GM T m 6,67 10 11 Nm 2 / kg 2 5,98 10 24 kg50 kg = = 2,36 10 8 J r 42 200 10 3 m

La energa mecnica es igual a la suma de la energa cintica y de la potencial gravitatoria. Etotal = Ec + Ep = 1,18 108 J 2,36 108 J = - 1,18 108 J Que tiene signo negativo ya que el satlite est enlazado con la Tierra. 25. Se desea poner en rbita circular un satlite meteorolgico de 1000 kg de masa a una altura de 300 km sobre la superficie terrestre. Calcula la velocidad, el periodo y aceleracin que debe tener en la rbita. Qu trabajo hay que realiza para poner en rbita el satlite? La interaccin gravitatoria entre la Tierra y el satlite es la fuerza centrpeta que mantiene al satlite en su rbita. Aplicando al satlite la Segunda ley de Newton, se tiene:2 r m r F = m an ; G MTierra 2 satlite = msatlite v r r G Despejando y como g0 = MTierra , se tiene 2 RTierra

que la velocidad orbital es:

v=

g R2 9,8 m/ s2 (6,37 106 m )2 G MTierra = 0 Tierra = = 7,72 103 m/s r r 6,37 106 m + 300 103 m

El perodo de revolucin es: T =

2 r 2 (6,37 106 m + 300 103 m) = = 5 429 s = 1,51horas v 7,72 103 m/s v2 (7,72 10 3 m / s) 2 = = 8,94 m / s 2 r 6,37 10 6 m + 300 10 3 m

La aceleracin normal en la rbita es: a =

b) Aplicando la ley de la conservacin de la energa entre la superficie de la Tierra y la rbita del satlite, se tiene que el trabajo realizado por los motores es igual a la variacin de la energa mecnica del satlite. Wrealizado = Ec + Ep = Emecnica final - Emecnica inicial = Erbita - Esuperficie La energa asociada al satlite en rbita es:G MTierra msatlite 1 2 + msatlite v orbita 2 r G 2 Sustituyendo la velocidad orbital por su valor: v orbital = MTierra r G MTierra msatlite 1 G MTierra 1 G MTierra msatlite =E orbita = + msatlite r 2 r 2 r E rbita = Ep, rbita + Ec, rbita = -

32

Soluciones unidad 2: Campo gravitatorio 2 Bachillerato 2008 Operando y sustituyendo:Erbita = 1 g0 R2 msatlite 1 1000 kg tierra = - 9,8 m/ s2 (6,37 106 m )2 = - 2,98 1010 J 2 r 2 6,37 106 m + 300 103 m

Si se considera que el satlite se lanza siguiendo la vertical, sin aprovechar el movimiento de rotacin de la Tierra, la velocidad inicial en la superficie de la Tierra es igual a cero y la energa asociada a la posicin del satlite sobre la superficie de la Tierra es solamente potencial gravitatoria.Esuperficie = Ep,superficie = G MTierra msatlite = - g0 RTierra msatlite RTierra

Sustituyendo: Esuperficie = - 9,8 m/s2 6,37106 m1000kg = - 6,241010 J Por tanto, la energa transformada para poner al satlite en rbita es:Wrealizado = E = Erbita - Esuperficie = - 2,981010 J ( 6,241010 J) = 3,261010 J

26. La Estacin Espacial Internacional (ISS) describe alrededor de la Tierra una rbita prcticamente circular a una altura h = 390 km sobre la superficie terrestre, siendo su masa m = 415 toneladas. a) Calcule su perodo de rotacin en minutos as como la velocidad con la que se desplaza. b) Qu energa es necesitara para llevarla desde su rbita actual a otra a una altura el doble? Cul sera el perodo de rotacin en esa nueva rbita? a) El radio de la rbita es: r = RT + 390 km = 6,37 106 m + 390 103 m = 6,76 106 m Aplicando la segunda ley de Newton y considerando a la rbita circular, se tiene:r r m m m v2 4 2 r 2 F = mISS an ; G T 2 ISS = mISS G T = v2 = r r r T2 G m Despejando y como g0 = 2 T , resulta que la velocidad RTv= G mT = r g0 R 2 g 9,8 m / s 2 T = R T 0 = 6,37 10 6 m r r 6,76 10 6 m

orbital es:

= 7,67 103 m/s

De igual forma, se tiene que el perodo de rotacin es:T = 2 r3 r3 (6,76 10 6 m)3 = 2 = 2 G mT g0 R 2 9,8 m / s 2 (6,37 10 6 m) 2 T

= 5,54103 s = 92 min

b) La energa asociada a un satlite en rbita es igual a su energa de enlace, es decir, a la suma de la energa cintica y potencial. Erbita = Ec + Ep =1 2

mISS v2 -

G m T mISS r G mT r

Sustituyendo a la velocidad orbital por v 2 =E rbita =

, y como g0 =

G mT R2 T

se tiene que:

m G m T G m T mISS 1 G m T mISS 1 1 = = g0 R 2 ISS mISS T 2 r r 2 r 2 r

Al trasladar a un satlite desde una rbita de radio r1 a otra de radio r2, se cumple que: Wcambio de rbita = E = Erbita 2 Erbita 1 == 1 1 1 m m 1 1 g0 R 2 ISS g0 R 2 ISS = g0 R 2 mISS T T T 2 r r 2 r2 r1 2 1 2

Los radios de las dos rbitas son: r1 = RT + 390 km = 6,37 106 m + 390 103 m = 6,76 106 m r2 = RT + 2 390 km = 6,37 106 m + 2 390 103 m = 7,15 106 m33

Soluciones unidad 2: Campo gravitatorio 2 Bachillerato 2008 Sustituyendo, la energa involucrada en el proceso es:Wcambio rbita = 1 1 1 9,8 m / s 2 (6,37 10 6 m) 2 415 103 kg 6,76 10 6 m 7,15 10 6 m = 2

6,7 1011 J

Lgicamente de signo positivo, la energa mecnica a asociada a una rbita es mayor cuanto ms externa es. El perodo es la nueva rbita es:T = 2 r3 g0 R 2 T = 2 (7,15 10 6 m)3 9,8 m / s (6,37 10 m)2 6 2

= 6,02 103 s = 100 min

Cuanto ms alejada est la rbita ms tiempo se tarda en recorrerla, de acuerdo con la tercera ley de Kepler. 27. La aceleracin de la gravedad en la superficie del planeta Marte es 3,7 m/s2. El radio de la Tierra es 6 370 km y la masa de Marte es el 11% de la masa de la Tierra. Calcula el radio del planeta Marte y la velocidad de escape desde su superficie. La aceleracin de la gravedad en la superficie de un planeta es: g =Gm R2

La relacin entre las aceleraciones de la gravedad en la superficie de la Tierra y la superficie de Marte es:G mTierra2 2 2 2 m R Marte mTierra RMarte 100 R Marte gTierra RTierra = = Tierra 2 = = 2 11 gMarte G mMarte mMarte R Tierra 11 R Tierra mTierra R 2 Tierra 2 100 RMarte

Despejando y sustituyendo, resulta que:R Marte = 11 gTierra R 2 R Tierra = Tierra 100 gMarte 10 11 gTierra 6 370 km 11 9,8 m / s 2 = = 3 438 km gMarte 10 3,7 m / s 2

Se denomina velocidad de escape a la que hace igual a cero a la energa mecnica de una partcula situada en la superficie de Marte.1 G M m 2 m v escape = 0 v escape = 2 r 2 G MMarte = R Marte 2 G MMarte RMarte2 RMarte

= 2 gMarte R Marte

Sustituyendo: v escape = 2 3,7 m / s 2 3,44 10 6 m = 5 045 m / s

INVESTIGA 1. Cmo se les llevan los suministros a los astronautas que estn permanentemente en rbita? Los suministros de material a la estacin se transporta con los cohetes Soyuz rusos, con los transbordadores espaciales norteamericanos o con los vehculos ATV lanzados por los cohetes Ariane de Europa.

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Soluciones unidad 2: Campo gravitatorio 2 Bachillerato 2008 2. Qu tipo de combustible utilizan los cohetes que colocan a los satlites en rbita? El cohete europeo Ariane y los transbordadores espaciales utilizan hidrgeno y oxgeno. Los Soyuz rusos usan una variante de queroseno llamada syntin. 3. Cmo es la vida en un ambiente de ingravidez? Los astronautas reciben adiestramiento para realizar todas las tareas cotidianas: trasladarse, comer, asearse, trabajar o dormir. Todos los objetos deben estar sujetos a algo, en un ambiente de ingravidez nada es ms pesado que otra cosa. TEST DE AUTOEVALUACIN 1. Contesta si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a) El potencial gravitatorio es una magnitud vectorial. b) El potencial gravitatorio es una magnitud cuyo signo es siempre negativo. c) El trabajo para transportar una masa por una superficie equipotencial es siempre positivo. d) Las superficies equipotenciales no se pueden cortar. a) Falso El potencial gravitatorio es una magnitud escalar. b) Verdadero c) Falso El trabajo para transportar un objeto por una superficie equipotencial es igual a cero, y que la diferencia de potencial entre dos puntos es cero. d) Verdadero. Si se cortaran habras puntos con dos valores del campo, perpendiculares a las superficies que se cortan. 2. Completa la siguiente frase: Las lneas de campo gravitatorio son ________ al vector campo y para una masa puntual son ________ su sentido es __________. Las lneas de campo gravitatorio son tangentes al vector campo y para una masa puntual son radiales su sentido es hacia la masa. 3. La energa necesaria para separar dos partculas de 2 kg de masa situadas a una distancia de 1 m hasta una distancia de 3 m es: a) + 1,8 10-10 J; b) 1,8 10-10 J; c) 0 J; d) 3,6 10-10 J. La solucin correcta es la b) El trabajo realizado para separar dos masas es igual a la variacin de la energa potencial gravitatoria.Ep inicial = Ep final = G Mm Nm 2 2 kg 2 kg = 6,67 10 11 = 2,7 10 10 J r 1m kg 2

GMm Nm 2 2 kg 2 kg = 6,67 10 11 = 8,9 10 11 J r 3m kg 2

W = - Ep = - (Ep final Ep inicial) = - (- 8,9 10-11 J + 2,7 10-10 J) = - 1,810-10 J El proceso no es espontneo. 4. Si la Tierra redujese su radio a la mitad conservando su masa, el mdulo del campo gravitatorio en su superficie es: a) 2 g0; b) 4 g0; c) g0/2; d) g0.35

Soluciones unidad 2: Campo gravitatorio 2 Bachillerato 2008 La solucin correcta es la b) En efecto: g' =G M r2

=

G M R 22

=4

G M R2

= 4 g0

5. La velocidad de escape desde la superficie de un planeta que tiene forma esfrica con un radio de 3 000 km en el que la aceleracin de la gravedad en su superficie es 6 m/s2 es igual a: a) 6000 m/s; b) 4000 m/s; c) 5000 m/s; d) 3000 m/s. La solucin correcta es la a) El valor numrico de la aceleracin de la gravedad en la superficie del planeta coincide con el valor de la intensidad del campo gravitatorio en su superficie.g= Gm R2 m= g R 2 G

La velocidad es escape es la que hace igual a cero a la energa mecnica de un objeto situado en la superficie del astro. Emecnica superficie = Emecnica = 0; Ec superficie + Ep superficie = 0;2 mobjeto v escape

Despejando: v escape

=0; R Gm astro = 2 = 2 gR = 2 6 m / s 2 3 10 6 m = 6 000 m/s R

G mastro mobjeto

6. El potencial gravitatorio en el punto medio del segmento que une a dos masa de 1 kg situadas a 4 m de distancia es: a) 0J/kg; b) 6,6710-11J/kg; c) 6,6710-11J/kg; d) 0,5 J/kg La solucin correcta es la c) La distancia de las masas al punto es de 2 m. El potencial gravitatorio es igual a la suma de los potenciales creados por cada una de las masas. V = V1 + V2 = 2 Gm 6,67 10 11 Nm 2 / kg 2 1kg -11 = 2 = - 6,67 10 J/kg r 2m

7. El campo gravitatorio terrestre se reduce a la mitad de su valor en la superficie de la Tierra a una distancia del centro de la Tierra de: a) RTierra/2; b) 2 RTierra; c) 2 RTierra; d) 4 RTierra. La solucin correcta es la c) La relacin de los mdulos del campo en ese punto y en la superficie de la Tierra es:g0 2 2 g r 2 = R T ; 2 = R T ; r 2 = 2 R r = 2 R = T T g0 G M r 2 g0 r2 2 RT G M

8. Contesta si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a) El momento angular del planeta respecto de la estrella es una cantidad constante. b) La velocidad de un satlite es menor cuando pasa por la posicin ms prxima al planeta. c) La energa de enlace de un satlite es siempre positiva. d) La energa mecnica asociada a un satlite tiene su valor ms elevado cuando pasa por la posicin ms prxima al planeta. a) Verdadero. En caso contrario la rbita no sera estable.36

Soluciones unidad 2: Campo gravitatorio 2 Bachillerato 2008 b) Falso. De acuerdo con la segunda ley de Kepler, ley de las reas, la velocidad es mayor cuanto ms cerca est el satlite al planeta. c) Falso.La velocidad de un satlite que describe una rbita circular de radio r, alrededor de un planeta tal como la Tierra, se determina aplicando la segunda ley de Newton.r v2 G MTierra r G F = msatlite an ; MTierra2 msatlite = msatlite rbita v rbita = r r r

Se denomina energa de enlace de un satlite a su energa mecnica asociada a esa rbita.Erbita = Ec + Ep = 1 G MTierra msatlite 2 msatlite v rbita r 2

Sustituyendo a la velocidad por su valor en la rbita y operando:E rbita = 1 G MTierra G MTierra msatlite 1 G MTierra msatlite msatlite = 2 r r 2 r

Que es una cantidad con signo negativo porque el satlite est ligado al planeta.

d) Falso La interaccin gravitatoria es una fuerza conservativa, por ello la energa mecnica del satlite se conserva a lo largo de toda la rbita. 9. Completa la siguiente frase: Los satlites artificiales se lanzan desde __________ y hacia el _________ con el fin de aprovechar _________. Completa la siguiente frase: Los satlites artificiales se lanzan desde el ecuador terrestre y hacia el este con el fin de aprovechar el movimiento de rotacin de la Tierra. 10. Para trasladar un satlite de 100 kg de masa que esta situado en una rbita de radio 2 RTierra a una rbita de radio 5 RTierra, la energa involucrada es: a) 2,1 108 J; b) -2,1 108 J; c) 1,56 109 J; d) 4,2 108 J. La solucin correcta es la a) Clculo de la velocidad de un satlite en una rbita. La velocidad del satlite en su rbita se determina aplicando la segunda ley de Newton:r v2 G MT r G F = ms an ; MT ms = ms orbita v orbita = 2 r r r

En la rbita1 = 3RT: v orbita, 1 = G MT =3 RT

G MT R T 1 = g RT 2 3 0 3 RT 1 g RT 5 0

Operando de la misma forma en la rbita2 = 5RT es: vorbita, 2 =

Todo objeto en rbita tiene asociada una energa mecnica debido a su posicin respecto de la Tierra y a su velocidad, que se denomina energa de enlace.2 Erbita = ms v orbita

1 2

G MT ms 1 G MT G MT ms 1 G MT m s = ms =r 2 r r 2 r

Clculo de la energa intercambiada para pasar de una rbita a otra.

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Soluciones unidad 2: Campo gravitatorio 2 Bachillerato 2008 WFexterna = E = Eorbita 2 - Eorbita 1 = 1 1 G MT ms 1 G MT m s 1 1 + = G MT m s - 2 2 2 r2 r1 r1 r 2

Sustituyendo los valores de los radios de las rbitas: 1 1 1 1 5 - 3 1 G MT m s G MT ms = G MT ms = 2 3 RT 5 RT 2 15 R T 15 RT 1 Sustituyendo, se tiene que: E = g ms RT 15 0 1 m Sustituyendo las diferentes magnitudes queda: E = 9,8 2 6,38 106 m 50 kg = 2,1 108 J 15 s

E =

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Unidad didctica 3 Movimiento vibratorio

Soluciones unidad 3: Movimiento Vibratorio 2 Bachillerato 2008 SOLUCIONES UNIDAD 3. MOVIMIENTO VIBRATORIO CUESTIONES INICIALES 1. Enumera varios ejemplos de movimientos peridicos e identifica alguna de sus magnitudes caractersticas. Son ejemplos de movimientos peridicos: el movimiento de la Tierra alrededor del Sol y alrededor de s misma, el del extremo de la manecilla de un reloj, el de la lenteja de un pndulo, en de las copas de los rboles. Una magnitud caracterstica de estos movimientos es el tiempo que tardan los objetos en realizar un recorrido completo y el nmero de recorridos completos que recorren en la unidad de tiempo. 2. Dibuja las trayectorias que describen los siguientes objetos: la Luna, una pelota que bota, un cuerpo que cuelga de un muelle y oscila arriba y abajo. Dibuja los vectores velocidad y fuerza en varias posiciones de la trayectoria de los movimientos anteriores. Compara sus direcciones y sentidos. Para la Luna: el vector velocidad es siempre tangente a la trayectoria y el vector fuerza siempre est dirigido hacia la Tierra. Para la pelota: el vector velocidad tiene sentido hacia arriba al subir y hacia abajo al bajar, el vector fuerza (peso) tiene sentido siempre hacia abajo. Para el muelle: el vector velocidad puede tener sentido hacia arriba o hacia abajo, el vector fuerza siempre tiene sentido contrario al desplazamiento en torno a la posicin central de equilibrio. 3. )Cul es la misin del pndulo de un reloj? )De qu factores depende el perodo de su movimiento? La misin del pndulo es la de calibrar los mecanismos del reloj. Su perodo se mantiene estable ya que una masa, pesas, al descender compensa el rozamiento. Su perodo depende de su longitud y de la aceleracin de la gravedad. ACTIVIDADES FINALES 1. La ecuacin general del movimiento de una partcula que describe un movimiento vibratorio armnico simple, en unidades del SI, es: x = 0,10 sen ( t + /2). Cul es el valor de la amplitud y de la frecuencia del movimiento? Calcula velocidad en el instante t = 2 s. Comparando con la elucin general x = A sen ( t + 0), se tiene que: A = 0,1 m = 2 = rad/s = /2 Hz La expresin de la velocidad es: v = 0,10 cos ( t + /2) m/s vt = 2 s = 0,10 cos ( 2 + /2) = 0 m/s 2. Un objeto oscila segn un movimiento armnico simple dado por x = A sen ( t). Si el valor de la amplitud de la oscilacin es de 6 cm, y la aceleracin del objeto es 24 cm/s2 cuando la posicin es x = - 4 cm, calcula la aceleracin cuando x = 1 cm y la velocidad mxima del objeto.40

Soluciones unidad 3: Movimiento Vibratorio 2 Bachillerato 2008 Aplicando las definiciones de velocidad y aceleracin de una partcula, resulta que: v = A cos ( t); a = - A 2 sen ( t) = - 2 x Aplicando las condiciones que se indican, resulta que la pulsacin, , es: a = - 2 x; 24 cm/s2 = - 2 (- 4 cm) = 2,45 rad/s Las expresiones de la posicin, velocidad y aceleracin son: x = 6 cm sen (2,45 rad/s t); v = 6 cm 2,45 rad/s cos (2,45 rad/s t) = 14,7 cm/s cos (2,45 rad/s t) a = - (2,45 rad/s)2 x = - 6 rad/s2 x La aceleracin en la posicin pedida es: a = - 6 rad/s2 1 cm = - 6 cm/s2 La velocidad mxima es: vmxima = 14,7 cm/s 3. Un objeto que oscila con una frecuencia angular = 8,0 rad/s, se encuentra en el instante inicial, t = 0, en la posicin x0 = 4 cm y lleva una velocidad de v0 = - 25 cm/s. Escribe la expresin de la posicin x en funcin del tiempo. Las expresiones generales de la posicin y velocidad de un objeto que vibra con movimiento armnico simple son: x = A cos ( t + 0); v =dx dt

= - A sen ( t + 0)v = - tag ( t + 0) x 25 cm / s = - 8,0 rad/s tag ( 0+ 0) 4 cm

Dividiendo ambas expresiones, resulta que: Sustituyendo las condiciones iniciales:

Despejando, la fase inicial es: tag 0 = 0,78125 0 = 0,66 rad Sustituyendo en la ecuacin de la posicin inicial, resulta que la amplitud del movimiento es: 4 cm = A cos ( 0 + 0,66 rad) A = 5,08 cm La expresin pedida es: x (t) = 5,08 cos (8,0 t + 0,66) cm 4. La expresin general del movimiento de una partcula que describe un movimiento vibratorio armnico es: yt = 0,265 sen (6 t + ) en unidades del SI. Determina la amplitud, la pulsacin, el perodo, la frecuencia y la fase inicial del movimiento. Calcula la diferencia de fase entre el instante inicial y el instante 12 s. Deduce la ecuacin de la velocidad y calcula los instantes en los que adquiere su valor mximo. Comparando la ecuacin dada con la expresin general del movimiento: yt = A sen ( t + 0). A = 0,265 m; = 6 rad/s; = 6 rad / s = = 3 Hz ; 2 rad 2 rad1 1 = s; 0 3

T=

= rad

En el instante inicial la particular est en el centro de la oscilacin y se dirige hacia elongaciones negativas: y0 = 0,265 sen (6 0 + ) = 0 m La diferencia fase entre los instantes pedidos es: = - 0 = 6 12 + - (6 0 - ) = 36 2 rad en fase De otra forma multiplicando y dividiendo por el perodo: t = 12 s Han trascurrido 36 oscilaciones completas.41T = 36 T 1/3 s

Soluciones unidad 3: Movimiento Vibratorio 2 Bachillerato 2008 La ecuacin de la velocidad es: vt = 1,59 cos (6 t + ) m/s vmximo = 1,59 m/s Su valor es mximo cada vez que pase por el origen que es el instante inicial y cada medio perodo. En efecto, el valor de la velocidad es mximo si: cos (6 t + ) = 1 6 t + = n ; 6 t + 1 = n t = Y poniendo en funcin del perodo: t =n 1 T = (n 1) 32 2n 1 6

= con n = 1, 2, 3

5. Un objeto tiene que tiene una masa de 10 g pende de un muelle y describe un movimiento armnico simple con una amplitud de 10 cm y un perodo de 0,1 s. En el instante inicial el muelle est estirado y el objeto ocupa la posicin ms alejada del centro de vibracin. Deduce la expresin general de la posicin del objeto. Escribe las ecuaciones de la velocidad y de la aceleracin y calcula sus valores mximos. La ecuacin general del movimiento es: y (t) = A cos ( t + 0) Para calcular el desfase se tiene que en el instante t = 0 el objeto est en y = - A, por lo que: - A = A cos ( 0 + 0); cos 0 = - 1 0 = rad La pulsacin es: =2 rad 2 rad = = 20 rad / s T 0,1sdy dt

La expresin general de la posicin del objeto es: yt = 10 cm cos (20 rad/s t + rad) La expresin de la velocidad es: vt = = - 200 cm/s sen (20 rad/s t + rad) = - 4000 2 cm/s2 cos (20 rad/s t + rad) Y su valor mximo: vmximo = 200 cm/s La expresin de la aceleracin es: at = Y su valor mximo: amximo = 4000 2 cm/s2 6. La aguja de una mquina de coser realiza un movimiento vibratorio armnico simple con un recorrido de 8 mm y da 20 puntadas cada 10 s. Cuando se conecta el interruptor, la aguja se encuentra en la posicin ms alejada de la tela (arriba del todo). Escribe las expresiones de la posicin, velocidad y aceleracin del extremo de la aguja e indica sus valores mximos. En primer lugar se determinan las constantes del movimiento. La amplitud es igual a la mitad del recorrido completo: A = 4 mm = 4 10-3 m La frecuencia es: = 20 puntadas/10 s = 2 Hz; = 2 = 4 rad/s; T = 1/ = 2 s Si se utiliza para la descripcin del movimiento la funcin coseno la fase inicial es: 0 = 0 rad, y si se utiliza la funcin seno entonces es: `0 = /2 rad. En efecto en el instante inicial la posicin del extremo de la aguja es y0 = + A, por tanto: y0 = + A = A cos ( 0 + 0) cos 0 = + 1 0 = 0 rad y0 = + A = A sen ( 0 + 0) sen 0 = + 1 0 = /2 rad A continuacin se seguir, por sencillez, utilizando la funcin coseno. a) yt = A cos ( t) = 4 10-3 cos (4 t) m vt = at =dy dt dv dt dv dt

= 4 10-3 4 [- sen (4 t)] = - 16 10-3 sen (4 t) m/s = - 16 10-3 4 cos (4 t) = - 64 10-3 2 cos (4 t) m/s242

Soluciones unidad 3: Movimiento Vibratorio 2 Bachillerato 2008 b) Sus valores mximos son: ymximo = 4 10-3 m; vmximo = 16 10-3 m/s; amximo = 64 10-3 2 m/s2 7. Representa grficamente el movimiento vibratorio armnico simple de una partcula que queda descrito por la ecuacin: y = 5 cos (10 t + /2), en unidades SI. Representa grficamente otro que tenga una