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Examen UNI 2014 – IMatemática

SOLUCIONARIO

MATEMÁTICA PARTE IPregunta 01

Las notas obtenidas por tres postulantes hacen un promedio de 15. La relación entre las notas del primero y el segundo es 4/5 y la relación entre el segundo y tercero es 5/6. Calcule la diferencia entre la mayor y menor nota.

A) 6

B) 8

C) 9

D) 10

E) 12

Resolución 01

Promedios

Las notas están en relación de:

A= 4k

B= 5k

C= 6k

Como el promedio de las 3 notas es 15, entonces la suma de estas es 45:

4k+5k+6k= 45 → k= 3

∴ A= 4(3)= 12; B= 5(3)= 15; C= 6(3)= 18

Piden: C – A= 6

Rpta.: 6

Pregunta 02

Si se cumple que abc= ab+bc+ca, calcule el valor de a+b–c, sabiendo que a, b, c son positivos.

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

Resolución 02

Cuatro operaciones

abc= ab + bc + ca

a00= ab + ca

Por criptoaritmética ab +

ca

a00 abc

a b c198

2===

+ − =4⇒

Rpta.: 2

Pregunta 03

Una persona dispone de cierto capital, el cual es dividido en dos partes. La mayor parte la impone al 14% anual y la otra parte al 8% semestral. Si al cabo de un año los montos obtenidos son iguales, determine el capital inicial, sabiendo que las partes se diferencian en 1200. Todas las cantidades están en nuevos soles.

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Examen UNI 2014 – ISOLUCIONARIO – Matemática

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A) 128 000

B) 132 000

C) 136 000

D) 138 000

E) 140 000

Resolución 03

Interés simpleC: Capital

C1 C2

14% anual 16% anual

Al cabo de un año se obtienen montos iguales.

M1 = M2

114% C1 = 116%C2

CC

5758

21 =

C kC k

5857

12

==

C1 – C2= 1200 → k= 1200

∴ C1+C2= 115k= 138 000

Rpta.: 138 000

Pregunta 04

Si una cadena de 16 kilates cuyo peso de metal ordinario es 32 gramos se funde con un lingote de oro de 104 gramos con ley 0,65. De cuántos kilates es la aleación obtenida.

A) 0,651

B) 0,658

C) 15,600

D) 15,792

E) 34,442

Resolución 04

Mezcla

Primera aleación

32Ley w g de metal ordinario

w g2416

32

31

96

&= = =

=

Liga

Segunda aleación

Ley= 0,65 y w= 104 gr

La ley de la unión de estas aleaciones

La ley en kilates sería:

(0,658)24=15,792 kilates

( ) , ( ) ,

,

L

L96 104

96 0 65 104200

131 6

0 658

23

m

m

=+

+=

=

Rpta.: 15,792

Pregunta 05

Un comerciante tiene que formar paquetes diferentes de 8 unidades de frutas, para ello debe escoger entre plátanos y peras. Cada plátano cuesta S/. 0,20 y cada pera S/. 0,50. ¿Cuál es el promedio de la venta de los paquetes?

Asúmase que hay suficientes plátanos y peras.

A) 2,77

B) 2,79

C) 2,80

D) 3,00

E) 3,10

CENTRAL: 6198–100 3

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Resolución 05

Promedios

Total de frutas: 8

N. Plátanos (x)

N. Peras (8–x)

Precio de c/u S/. 0,20 S/. 0,50

• Para

x= 0; 1; 2; ...; 8

⇒ x= 4

Pv= 0,20(x) + 0,50(8–x)

Pv= 0,20(x) + 0,50(8–x)

Pv= 0,20(4) + 0,50(8–4)

Pv= 2,80

Pv: precio de venta promedio

x: promedio de los x (x= 0, 1, 2, ..., 8)

Rpta.: 2,80

Pregunta 06

Indique la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F) según el orden dado; donde P indica la probabilidad.

I. Si los conjuntos no vacíos A y B son disjuntos, entonces

P(A∪B)= P(A)+P(B)–P(A)P(B)

II. Sean

A= {(x,y)/x∈{1,2,3,4,5,6}; y∈{1,2,3,4,5,6}}

B= {(x,y)∈A / 4<x+y≤6}

entonces P(B)= 92

III. P(E∆D)= P(E∩Dc)+P(Ec∩D)

A) VVV

B) VFV

C) FVF

D) FFV

E) FFF

Resolución 06

Probabilidades

I. Si A y B son disjuntos ⇒ A∩B= ∅

⇒ P(A∩B)= 0

Como: P(A∪B)= P(A)+P(B)–P(A∩B)

∴P(A∪B)= P(A)+P(B)

II. Como:

n(A)= 6×6= 36

B= {(1,4); (4,1); (2,3); (3,2); (1,5); (5,1); (3,3); (2,4); (4,2)}

n(B)= 9

Además B⊂A

P(B/A)= 369 = 4

1

III. Recordar

• E∆D= (E∩Dc)∪(Ec∩D)

• (E∩Dc)∩(Ec∩D)= ∅

• P(A∪B)= P(A)+P(B)–P(A∩B)

Entonces

P(E∆D)= P(E∩Dc)+P(Ec∩D)–P( )

0

QS

P(E∆D)= P(E∩Dc)+P(Ec∩D)

Luego:

I= F II= F III= V

Rpta.: F F V

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Pregunta 07

Dados abcd= 5°

+2, dabc= 9°

+2= 11°

+7,

donde dabc es el menor número con las

propiedades indicadas con d≠ 0 y a≠ 0.

Determine el valor de E= (a)(b)+(c)(d)

A) 10

B) 12

C) 14

D) 16

E) 18

F)

Resolución 07

Teoría de números

abcd= 5° +2 ....(1)

dabc= 9° +2 ....(2)

dabc= 11° +7 ...(3)

de (1): d= 2 o 7 elegiremos d= 2

de (2) y (3): dabc= 99° +29 ⇒ da+bc= 29

como dabc es el menor posible:

2a+bc= 29 ⇒ b= 0 ⇒ b= 0 ∧ a+c=9

1 8↓ ↓

Recuerde que a≠ 0

pero b si puede ser cero

dabc= 2108

∴E= (a)(b)+(c)(d)= 161×0+8×2

Rpta.: 16

Pregunta 08

Indique la alternativa correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F), según el orden dado:

I. 2 – 2 + 2 – 2 + 2 – 2 +...= 0

II. Cada número irracional se puede aproximar por un número racional.

III. Si A= ⟨0,1⟩∩Qc, entonces 21 ∈A,

donde Qc indica el complemento del

conjunto de los números racionales.

A) VVV

B) VVF

C) FVV

D) FVF

E) FFF

Resolución 08

Conjuntos numéricos

I. Sea fn = 2 – 2 2 – 2 ..." " minn t r osé

+ +1 2 344444 44444

Luego:

f1= 2 ; f2= 0; f3= 2 ; f4=0; ...

La sucesión de las sumas parciales es oscilante, por tanto, cuando “n” tiende a infinito

áLim

nfn No est definida

" 3=

II. Para todo “x” irracional, existe un “n” entero tal que

n<x<n+1

Dividiendo entre un m∈Q+

mn

mx

mn 1< < +

CENTRAL: 6198–100 5

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Donde mx es un irracional y su aproximación

por defecto es el racional mn

III. Si 21 ∈A → 2

1 0;1 21 Q

V

c

F

F

/! !1 2 344 441 2 344444 44444

S

Rpta.: F V V

Pregunta 09

Si x0 es la solución de la ecuación

x3 8

17 2 722 128 7–

++ = +

Calcular el valor de x 340 +

A) 5

B) 10

C) 15

D) 20

E) 25

Resolución 09

Racionalización

x3 8

17 2 722 128 7

++ = + −

x3 8

9 82 128 7

++ = + −

x3 8

3 82 128 7

2

++ = + −

x3 8 2 128 7+ = + −

x3 2 2 7 2 128+ + = +

x8 2 2 128+ = +

x64 2 2 128+ = +

Se cumple que:

x= 64 + 2= 66

x 34 10` + =

Rpta.: 10

Pregunta 10 Determine la intersección de los conjuntos de las inecuaciones siguientes:

( ) ( )( ) ( )

x xx x

1 23 1

0– –7 4

5 8#

+ +,

.x x

x x5 62 1

0– –3 6

7 4#

+ +.

A) [–3,1⟩

B) [–1,6⟩

C) [–1,5⟩

D) [–1,1⟩

E) [–3,5⟩

Resolución 10

Inecuaciones

I. ( ) ( –2)

( ) ( 1)0

x x

x x

1

3

– 4

8

7

5#

+ +

–3≤x<1 ∧ {x≠2; x= –1}

CS(I)= [–3,1⟩

II. ..

0x x

x x5 62 1

– –3 6

7 4#

+ +

–1≤x<6 ∧ xx

52 0– #

+

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–1≤x<6 ∧ –2≤x<5

CS(II)= [–1,5⟩

∴ CS(I) ∩ CS(II)= [–1,1⟩

Rpta: [–1,1⟩

Pregunta 11

Sea f una función definida por f(x)= (1−x3)1/3+1, x∈R . Determine la inversa f * de f.

A) f*(x)=1−(x2−1)1/3, x∈RB) f*(x)=1−(x−1)3/2, x∈[0,+∞>

C) f*(x)=(1−x3)1/3, x∈RD) f*(x)=(1−(x−1)3)1/3, x∈RE) f*(x)=(1−(x−1)1/3)3, x∈[0,+∞>

Resolución 11

Funciones

I. f(x)= x1 133 − + ; x∈R

II. Nótese que f es inyectiva con dominio R y rango R.

Obtención de la inversa:

y x1 133= − +

y x1 1 33− = −

(y–1)3= 1–x3

x3= 1–(y–1)3

( )x y1 1 33= − −

Rpta.: f * (x)=(1−(x−1)3)1/3, x Rd

Pregunta 12

Considere: Sn= i+i2+i3+... in, donde i2=−1,con n∈N . Dadas las siguientes proposiciones.

I. Sn+Sn+1= i, si n es impar.

II. Sn= Sn−1+Sn+1, si n es par.

III. Sn=−1,sintienelaforman=4k+3,con k entero no negativo.

Son correctas:

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) I y II

E) I y III

Resolución 12

Números complejos

Sn = i + i2+i3+ ... + in

( )( )( )

Si

i ii i

i i i11

11

n

n n(

$=−−

=− −

− −

Snii

11n

=+−

I. S S in n 1+ =+S S

ii

ii i

11

11n n 1

+− +

+− =

+

in + in+1 - 2 = i(i+1)

in(1+i) = -1 + i + 2

in (1+i) = (1+i)

in = 1

n = 4k (F)

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II. S S Sn n n1 1= +− +SSS

ii

ii

ii

11

11

1

n n n1 1

+− =

+− +

+

− +

i i i1 2n n n1 1− = + −− +1 2 344 44

in - 1 = 0 - 2

in = -1

n k4 2( d + (F)

III. 1Sn =−S

ii

11 1

n

+− =−

in - 1 = -i - 1

in = -1 ⇒n∈4k + 3 (V)

Rpta.: Solo III

Pregunta 13

Sean las funciones:

f(x)= c(ax) y g(x)= d(bx)

cuyas gráficas se muestran a continuación.

g(x)

f(x)

0

y

x

Indique cuál(es) de las siguientes proposiciones son correctas.

I. c= d

II. 0<a<b<1

III. a+b>1

A) Solo I

B) Solo II

C) I y II

D) I y III

E) II y III

Resolución 13

Funciones

f(x)=cax; g(x)=dbx ⇒Porteoría:a>0;b>0

∴ I) V

II) F

III) F

Observamos en la gráfica:

g(x)

f(x)

0

y

x

i)f(x)>0 x Rd6 ⇒c>0

g(x)>0 x Rd6 ⇒d>0

ii) f(0)=g(0) ⇒ c=d

iii)f(x)>g(x)6x>0cax>cbx; 6x>0

1; 0ba x> >x

6` j ⇒ba >1

⇒a>b⇒0<b<a<1

Rpta.: Solo I

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Pregunta 14

Sea la matriz A12

13

= e o . Si AX=AT; halle 32 XT.

A) / /

/4 32

2 32 3

--

e o

B) / /

/4 3

24 32 3- -

e o

C) / /4 31

2 31

--

e o

D) /

//

12 3

1 31 3-

e o

E) / /2 31

2 31

--

e o

Resolución 14

Matrices

A A12

13

32

11

1$= =

−−−e eo o

En la ecuación:

.

AX A

X A A

T

T1

=

= −

X32

11

11

23

=−

−e eo o

X21

31

= − −e o

X23

11

T =−−

e o

/ //

X32 4 3

22 32 3

T` =−−

e o

Rpta.: / /

/4 32

2 32 3

--

e o

Pregunta 15

Sea X una matriz de orden 2×2 que cumple con:

(AX A−1)t=3(A−I),dondeAac

bd

= = G

a, b, c, d Rd , I matriz identidad.

SilatrazadeXes−6.Calcule(a+d)(b+c).

A) −2

B) −1

C) 0

D) 1

E) 2

Resolución 15

Matrices

Se tiene: Ax A-1 = (3(A - I))T

traz ((Ax)A-1) = 3 traz (A - I)T

Propiedad: ( ) ( )traz AB traz BA=traz(A-1.(Ax))=traz(x) = 3traz(A - I)T

-6 = 3traz(AT - I)

-2 = a+d - 2 a+d=0

∴ (a+d) (b+c)=0

Rpta.: 0

Pregunta 16

Al resolver el sistema:

xyx y

xy+ =34 ...(1)

x−y=12...(2)

se puede obtener soluciones enteras para x y para y; luego y es igual a:

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A) 16

B) 8

C) 4

D) 2

E) 1

Resolución 16

Sistemas de Ecuaciones

34 ... (1)

12 ... (2)

xyx y

xy

x y

+ =

− =*

de (1)

x2+y2=34 xy ...(3)

de(2)

(x–y)2=122

x2+y2–2xy=144...(4)

Reemp (3) en (4)

34 xy –2xy=144

xy 2–17 xy +72=0

( xy –9)( xy –8)=0

→ xy =9 ∧ xy =8xy=81 xy=64

Se tiene:

12

81

x y

xy

− ==

) → no hay soluciones enteras

12

64

x y

xy

− ==

) → x=16 ∧ y=4

Rpta.: 4

Pregunta 17

Dada la región admisible R del problema de programación lineal.

−5 0

QR

R1

Determine la función objetivo del problema, de modo que, tanto el punto R como el punto Q sean soluciones mínimas.

A) x+4y

B) −x+7y

C) x+10y

D) −x−3y

E) x−5y

Resolución 17

Programación lineal

Se observa que la función objetivo pertenece a la familia de las rectas que pasa por los puntos (-5;0) y (0;1), cuya ecuación es:

xy

51 1=

−

x y5 5= −

x y5 5− =−

∴ f(x;y)=x–5y

Rpta.: x−5y

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Pregunta 18

Dada la sucesión (an) definida por:

an=sen ( ) ,n

n n4

1 8N

n!

r + −c m

Entonces podemos afirmar que:

A) (an) converge a 2 /2

B) (an) converge a 1

C) (an) converge a 0

D) (an) converge a p/4

E) (an) no converge

Resolución 18

Sucesiones

n→∞

n→∞

; " "

; " "

senn

nn par Lim sen

n

n

senn

nn impar Lim sen

n

na 4

8

4

8

2

2

4

8

4

8

2

2n

"

"

r r

r r=

+ + =

− + =

` `

` `

j j

j j

Z

[

\

]]

]]

Notamos que el límite de cada subsucesión es igual a /2 2

⇒Lim an=22

∴an Converge a 22

Rpta.: (an) converge a /22

Pregunta 19

Sea la función f(x)= , x3 1

3 1x

x$

+.

Determine el rango de f.

A) [0,∞>

B) [1/2,∞>

C) [1,∞>

D) [3/4,1>

E) [2,∞>

Resolución 19

Funciones

;f x x13 1

1 1x $= −+

^ h

Del dominio:

3 3x $

3 1 4x $+

3 11

41

x +0 < #

41

3 11

x +0<#− − → 4

3 13 1

1 1<x# −+

f <# x43

1^ h → ;Ranf 43 1= 8

Rpta.: [3/4,1>

Pregunta 20

En el siguiente proceso de construcción tenemos inicialmente un triángulo equilátero de área 1, del cual vamos retirando paulatinamente los triángulos equiláteros como se muestra en la figura. Determine el área total de los triángulos retirados.

(1) (2)

...

A) 4/8

B) 5/8

C) 6/8

D) 7/8

E) 1

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Resolución 20

Sumatorias

Sea: Sn el área de los triángulos retirados en la n-ésima figura.

⇒S0 = O

⇒S1 = 41

⇒S2 = 41 3 4

1 2+ ` j

⇒S3 = 41 3 4

1 9 412 3

+ +` `j j

⇒S4 = 3 9 2741

41

41

412 3 4

+ + +` ` `j j j

` Sn = ...41 3 4

1 9 41 27 4

12 3 3+ + + +` ` `j j j

⇒Sn = 41

43+ ...4

1 3 41 9 4

1

S

2 3

n

+ + +` `c j j m1 2 3444444 444444

Rpta: 1

MATEMÁTICA PARTE 2Pregunta 21

Dado un cuadrado ABCD de lado a > 6,exterior a un plano P. Si las distancias de A, B y C al plano P son 3 u, 6 u y 7 u respectivamente, halle la distancia de D al plano P (en u).

A) 3

B) 3,5

C) 4

D) 4,5

E) 5

Resolución 21

Geometría del espacio

Piden: distancia.

del punto D al plano

P

A

x

B C

D7

3

6

* Propiedad en las regiones paralelográmicas

3+7=6+x

x=4

Rpta.: 4

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Pregunta 22

El gráfico muestra una pirámide regular.

B

P

A

M

C

D

E

Si ED = 6 u, PM // BC, PBAP = 2, m∠BAE = 60°

y la distancia de A al plano que contiene los

puntos P, M y D es 3 u, calcule el volumen en

u3 de la pirámide A-PMDE.

A) 2 27

B) 3 27

C) 4 27

D) 5 27

E) 6 27

Resolución 22


A

C

D

E

B

P

M

4

2

66

60º

3

4

* En ∆ equilátero ABE:

2

1

3

60º

3 3

EA

B

P

PE 2 7=

* Trapecio isósceles EPMD:

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P 4 M

DE6

1

2 7 2 7

27

∴ .V 31

24 6 27 3 5 27A PMDE

= + =− ` j8 BRpta.: 5 27

Pregunta 23

En la figura BC = 16, AB = 12, E y F puntos medios. Determine el área del cuadrilátero sombreado.

A

F

B CC

DE

A) 10

B) 15

C) 20

D) 21

E) 25

Resolución 23

Áreas

Piden: A MONL4

B

A L

M

FN

2n

10

O

D

C

3S

4S

3S

2S

n66

6

5

5

8 8

;OL AD L 6& = = “N” Baricentro ACD

En el AOL.S62

6 8=S = 4

∴ 5S = 20

Rpta.: 20

Pregunta 24

Sea ABCD un rectángulo, M punto medio de

BC, PM perpendicular al plano ABC, O centro

del rectángulo, si BC = 2AB = 8 y PM = AB,

entonces el área de la región triangular APO es

A) 2 6

B) 3 6

C) 4 6

D) 7 6

E) 8 6

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Resolución 24


Piden : A APO

ABC= Notable

53 /2°

&CA=4 5

OA=2 5

Luego: TEOREMA 3

CM 'P : Notable 53 /2°

'MP 54 5

& =

OBS: MPP : PITÁGORAS

4 ' 'PP PP4 55

34 302

22&+ = =c ^m h

Finalmente

A APO= .54 30

22 5

4 6=

A 4 6APO` =T

P

DC

AB

O

4

M

4

4

4

2 5

'P

Rpta.: 4 6

Pregunta 25

En un rectángulo ABCD (AB < BC), se dibuja

una semicircunferencia con diámetro AD

tangente a BC en P. Se ubica el punto Q en

PC y se traza QE perpendicular a PC donde

el punto E está sobre la semicircunferencia.

Si PQ = 1 cm y el perímetro del rectángulo

ABCD es 48 cm, entonces la longitud de AE

(en cm) es:

A) 6

B) 8

C) 9

D) 10

E) 12

Resolución 25

Relaciones métricas en el triángulo rectángulo

• Piden: AE

• Dato: 2P = 48 = 6R

OA

B C

RR

7E

8

1

1 QP

R=8R=8

D

x

R=8

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15

PRO

HIB

IDA

SU

VEN

TA

Luego: Relaciones métricas

nm

x

x2 = m.n

⇒ x2 = 16.9

∴ x = 12

Rpta.: 12

Pregunta 26

En la figura mostrada, se tiene que el perímetro del cuadrado ABCD es igual al producto de las longitudes de las circunferencias de centro O y

O'. Calcule R r1 1+ .

O

D

CB

A

R

rO'

A) 3

2π

B) 2

2π

C) 32 2π

D) 43 2π

E) p2

Resolución 26

Circunferencia

r

R

2(R+r)

R

r

L2

L1

CB

A D

Piden: R r1 1+

Dato: 2pABCD = L1 . L2

8(R+r) = (2pR)(2pr)

r R1 1

2

2` r+ =

Rpta.: 2

2π

CENTRAL: 6198–100 16

PRO

HIB

IDA

SU

VEN

TA


Pregunta 27

Calcule el perímetro de un heptágono regular

ABCDEFG, si: AE AC1 1

51+ =

A) 34

B) 35

C) 36

D) 37

E) 38

Resolución 27

Polígonos regulares

x x

x

x

x

x

x

A

B

C

D

EF

Gm

m

n

n

Piden: 2pheptágono

Dato: m n1 1

51+ =

T. Ptolomeo

* X ACDE: inscriptible

mn=nx+mx

x m n1 1 1= +

→ x1

51= →x=5

∴2pheptágono=35

Rpta.: 35

Pregunta 28

La generatriz de un cilindro oblicuo de base

circular mide igual que el diámetro del cilindro

disminuido en 10 dm. Sean M y N los centros

de las bases y AB un diámetro de la base

inferior que contiene a N. Si AM = 19 dm y

MB = 13 dm entonces el volumen del cilindro

(en dm3) es:

A) 130 p 103

B) 131 p 104

C) 132 p 105

D) 133 p 106

E) 134 p 107

Resolución 28

Cilindro

A B

19 13 h2a-10

2a-10

O

a a

22

• Cálculo de la mediana:

192+132 = 2(2a-10)2+( )a

22 2

a=11

• T. Herón: ∆AOB.

. . .h 222 27 5 14 8=

h 1112 105=

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17

PRO

HIB

IDA

SU

VEN

TA

• Vcilindro = .11 1112 1052r

• Vcilindro = 132p 105

Rpta: 132p 105

Pregunta 29

Sea ABCD un cuadrilátero donde el ángulo exterior D mide la mitad del ángulo interior B y la diagonal BD biseca al ángulo ABC. Si BC = 25 u y BD = 20 u, determine AB (en u).

A) 12

B) 14

C) 16

D) 18

E) 20

Resolución 29

Semejanza

Piden: AB=x

x

B

C

DAa

aa

qq

25

20

∆ABD ∼∆DBC

x20 25

20=

∴x=16

Rpta.: 16

Pregunta 30

La altura de un cono circular recto mide 15 cm y el radio de su base 8 cm. Se taladró un agujero cilíndrico de diámetro 4 cm en el cono, a lo largo de su eje, resultando un sólido como el que se muestra en la figura. Calcule el volumen de ese sólido.

A) 240 p cm3 B) 254 p cm3

C) 260 p cm3 D) 264 p cm3

E) 270 p cm3

Resolución 30

Sólidos

Piden el volumen del sólido.

2

2

6

H

CENTRAL: 6198–100 18

PRO

HIB

IDA

SU

VEN

TA


Datos:

2 6

H

MO

A

V

B

15

Semejanza: ∆VOB∼∆AMB

⇒ H

H

1568

445

=

=

Luego:

Vx=Vtronco–Vcili

Vx= .4

453r (4+64+16)–p.4.

445

Vx=315p–45p

∴Vx=270p

Rpta.: 270pcm3

Pregunta 31

En la figura, O centro de la circunferencia. Si NH=11, AM×AE=900 y m∠ANM=45º, entonces la longitud del diámetro de la circunferencia es:

H

N

BE

MO

A

A) 5 2

B) 10 2

C) 15 2

D) 20 2

E) 25 2

Resolución 31

R. Métricas en la circunferencia

Piden el diámetro=2R

H

90º

11

N

BE

MO

A

RR45º

45º45º

R 2

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19

PRO

HIB

IDA

SU

VEN

TA

* 6NHME inscriptible

* Teorema de las secantes

( ) ( ) ( )R R AM AE2 11 2 900+ = =

R 2 25=

R2 25 2` =

Rpta.: 25 2

Pregunta 32

En la figura, BF=3u y ED=4u. Calcule el valor del segmento CF(en u).

qqA B

F

E

DC

A) 4,5

B) 5

C) 5,5

D) 6

E) 6,5

Resolución 32

Congruencia

qqA

B M F

F

4

43

x

E

DC

Piden: x

• Se prolonga CE → CE=EF

• CDE ≅ EMF

→ EM = 4

• x+3 = 8

∴ x = 5

Rpta.: 5

Pregunta 33

Calcule el valor aproximado de:

E = ctg(4º) – 7

A) 7,07

B) 8,07

C) 9,07

D) 10,1

E) 11,2

CENTRAL: 6198–100 20

PRO

HIB

IDA

SU

VEN

TA


Resolución 33

I.T. para el ángulo mitad

E = ctg4º – 7

Como: ctg 2α = csca + ctga

E = csc8° + ctg8°–7

E = 5 2 + 7 – 7

E = 7,07

Rpta.: 7,07

Pregunta 34

Si tan2a=2tan2x+1, halle el valor de y=cos2a + sen2x.

A) sen2a

B) cos2a

C) 1+sen2a

D) tan2a

E) 1+cos2a

Resolución 34

Identidades trigonométricas

tg2 a= 2 tg2 x+1

sec2 a – 1 = 2(sec2 x – 1)+1

sec2 a= 2 sec2x

cos2 x = 2 cos2 a

1 – sen2 x = 2 cos2a

1 – cos2 a= cos2 a+sen2x

∴ y = sen2a

Rpta.: sen2a

Pregunta 35

Un águila se encuentra a una altura H y ve a

una liebre de altura h. Se lanza sobre la presa

a lo largo del tramo de la trayectoria descrita

por la gráfica de la función ( )f x x 11–= , x>1,

llegando a su presa. Determina la tangente del

ángulo de depresión con el cual el águila vio al

inicio a su presa.

A) h1

B) h H

C) hH

D) hH h–

E) H hH h–

+

Resolución 35

Ángulos verticales

y

x

H

h

10 x2x1

q

q

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21

PRO

HIB

IDA

SU

VEN

TA

Piden:

tgx xH h2 1

i = −−

Ahora:

yx 1

1=−

x y1 1− =

x h1 12 − =

x x HhH h

x H1 1

2 1

1

− = −

− =

Luego:

tgq=hH

Rpta.: hH

Pregunta 36

En la función: y(t) = 2cos2t + 4 2 sen2t; la amplitud y el periodo son respectivamente:

A) 4 2 y p

B) 4 2 y 2p

C) 6 y p

D) 6 y 2p

E) 2 + 4 2 y p

Resolución 36

Funciones trigonométricas

y(t) = 2 cos2t+4 2 sen2t

( ) 6 ( 2 2 )cosy t t sen t62

64 2= +

Como:

4 2

26

f

y(t) = 6Sen(2t+f)

Amplitud = 6

Periodo = 22r

r=

Rpta.: 6 y π

Pregunta 37

Si x∈ ,0–3 , entonces el rango de la función

( )arctan cot

f xx arc x2

5π=+ , es:

A) ,0 1

B) ,1 2

C) ,0 2

D) ,2 5

E) ,5 3+

Resolución 37

Funciones trigonométricas inversas

( )f xarcTgx arcCtgx2

5r=+

Como–∞<x<0

– 2π <arcTg(x)<0

2π <arcCtg(x)<p

Entonces:

f(x)=arcTgx arcCtgx2

5–

r+

CENTRAL: 6198–100 22

PRO

HIB

IDA

SU

VEN

TA


f(x)= ( )f xarcTgx arcTgx2

2

5

– –rr=

+ ` j

f(x)= arcTgx35

–rr

Ahora:

0<–3arcTgx< 23π

p< p–3arcTgx< 25π

2<arcTgx35

–rr <5

2<f(x)<5

Ranf(x) = ;2 5

Rpta.: <2; 5>

Pregunta 38

Si i = 1– y ( )

( ) ( )

i

i iA1

1 1 1–40

20 20

+

+ += , entonces

(A + 500) es igual a:

A) –12

B) –10

C) –8

D) 10

E) 12

Resolución 38

Números complejos

En su forma exponencial:

2 .i e1 /i A+ = r ; 1 .i e2 /i 4− = r−

Reemplazando:

.. .

ee e

A22 2 1

i

i i

20 10

10 5 10 5+ =r

r r−

^

^ ^

h

h h

A22 2 1

20

10 10− − =

A=–29

Pide: A+500=–29+500

=–12

Rpta.: –12

Pregunta 39

De un disco de cartulina de radio 6 cm, se corta un sector circular de ángulo central q=120º. Con la parte restante, uniendo los bordes se forma un cono. Determine el coseno del ángulo en el vértice del cono construido.

A) 0

B) 22

C) 21

D) 51

E) 91

Resolución 39

Resolución de triángulos oblicuángulos

RRP Q

V

a6 cm 6 cm

RRAD34π

6cm

q=120°A B

l

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23

PRO

HIB

IDA

SU

VEN

TA

Perímetro de la base

l = RAD34πc m (6cm) = 8pcm

Además: La base es un círculo

8pcm = 2pR → R = 4cm

Enel∆VPQ

Por ley de cosenos

. .( )

cosR

2 6 66 6 2–2 2 2

α =+

∴cos 91α =

Rpta.: 91

Pregunta 40

Halle el valor de ( ) ,–3 840°–2tan

E sen 750 1 53

°= +

A) 21

B) 22

C) 23

D) 3

E) 2

Resolución 40

Reducción al primer cuadrante

• tan(840º) = tan(720º+120º) = tan120º

= –tan60º=– 3

• sen(750º) = sen(720º+30º) = sen(30)= 21

Reemplazando en E:

,

( )E

21 1 5

3 3 2 323=

+

− − −=

Rpta.: 23

solucionario-uni2014i-matematica

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