solucionario matemÁticas acadÉmicas 4º eso - editex.es · matemáticas 4º eso académicas...

3º ESO

UNIDAD 1: Números Reales

SOLUCIONARIO MATEMÁTICAS ACADÉMICAS

4º ESO

Matemáticas 4º ESO Académicas

UNIDAD 1: Números reales SOLUCIONARIO

2

UNIDAD 1: Funciones

EJERCICIOS Y ACTIVIDADES-PÁG. 9

1. De las siguientes expresiones indica las que son ciertas y las que son falsas. Justifica tus respuestas. a) Verdadero. El conjunto ℤcontiene a los números enteros positivos (ℕ), negativos y el cero. b) ℤ ⊂ 𝕀 Falso. Los números irracionales (𝕀) está integrado por todos los números que tiene infinitas cifras decimales y no se repite ninguna. Este no es el caso de los números enteros. c) ℚ ℤ Falso. Los números enteros son los que están incluidos dentro de los números racionales. Cualquier número

entero se puede escribir en forma de fracción. Por ejemplo

d) ℕ ℚ Verdadero. El conjunto ℚcontiene a todas las fracciones y los números naturales (ℕ) se pueden escribir en

forma de fracción. Por ejemplo: .

e) −𝟑𝛜𝕀 Falso. Los números irracionales (𝕀) está integrado por todos los números que tiene infinitas cifras decimales y no se repite ninguna. Este no es el caso del número –3. El conjunto más pequeño al que pertenece –3 es el de los números enteros (ℤ). f) ℚ

Verdadero. Este número es periódico puro y se puede escribir como una fracción:

g) ℕ

Verdadero. Si simplificamos la fracción nos queda que es un número natural.

h) ℚ

Verdadero. Si operamos nos queda que es un número entero que está contenido en los

números racionales. 2. Calcula la expresión decimal de los siguientes números racionales. Clasifícalos como decimal exacto, decimal periódico puro o decimal exacto.

a) . Al dividir 2 entre 3 obtenemos 0,66666…. que es un número periódico puro.

b) que es un número decimal exacto.

c) que es un número decimal periódico mixto.

d) que es un número decimal periódico puro.

Ì !

Ì

−2= −2

1Ì

7= 7

1

!7,1 Î

7,1! 71 7 64

9 9-

= =

183Î

183= 6

9- Î

− 9 = −3= − 3

1

23= 0,⌢6

− 7

5= −1,4

215

= 0,1⌢3

127

= 1,714285!



3

3. Halla la fracción generatriz de los siguientes números decimales.

a)

b)

c)

d)

4. Clasifica los siguientes números como racionales o irracionales. En caso de que sea racional calcula la fracción generatriz. a) –6

Es un número racional.

b)

Es un número irracional. c) 3,142114221423… Es un número irracional. La parte decimal es no periódica, después de las cifras 14 aparece 21, después 22, después 23, … d) 0,626262626262 …

Es un número racional.

e)

Es un número racional. que es un número entero y, por tanto, racional.

f) 0,500000000000…

Es un número racional, pues es un número decimal exacto. .

g) 0,100100100100…

Es un número racional pues es un decimal periódico puro.

h) 5,210432104321…

Es un número racional pues es un decimal periódico puro.

5. Calcula el valor de ayudándote de los datos de la imagen.

La proporción del número de oro nos dice que se parte el segmento en dos parte de forma que la razón que hay entre el segmento y la parte mayor es igual a la razón entre la parte mayor y la menor.

Según la imagen: , de donde multiplicando en cruz obtenemos:

Pasamos todos los términos al segundo miembro y tenemos 0 = x2– x – 1

3,4 = 34

10= 17

5

7,⌢2 = 72− 7

9= 65

9

0,18! = 18− 0

99= 18

99=:9 2

11

0,281! = 281− 2

990= 279

990=:9 31

110

−6= −6

1 24

24 = 23 ⋅3 =2 2⋅3 =2 6

0,62! = 62−0

99 = 6299

25

25 =5= 5

1

0,50000...=0,5= 5

10 = 12

0,100! = 100−0

999 = 100999

5,21043! = 521043−5

99999 = 52103899999

φ

x +1

x = x1 x +1= x 2



4

Resolviendo la ecuación de segundo grado:

Como la segunda solución es negativa y x es la medida de un segmento tenemos que el valor del número

de oro es :


6. Calcula, con ayuda de una calculadora, una aproximación de los siguientes números por truncamiento y por redondeo a las décimas, a las centésimas y a las milésimas:

a) b) c) d)

Truncamiento: Décimas Centésimas Milésimas

1,1 1,14 1,142

2,1 2,16 2,166

2,2 2,23 2,236

1,2 1,25 1,259 Redondeo:

Décimas Centésimas Milésimas

1,1 1,14 1,143

2,1 2,17 2,167

2,2 2,24 2,236

1,3 1,26 1,260 7. Comprueba con una calculadora que A partir de aquí expresa por: Una sucesión de números decimales por defecto. Una sucesión de números decimales por exceso. Una sucesión de intervalos encajados.

Una sucesión de números decimales por defecto que se aproximan a por la izquierda: 1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205… Una sucesión de números decimales por exceso que se aproximan a por la derecha: 2; 1,8; 1,74; 1,733; 1,7321; 1,73206… Una sucesión de intervalos encajados que :

x =−#−1%± #−1%2 −4 ⋅1⋅#−1%

2⋅1 = 1± 1+42 =

x1 =1+ 5

2 >0

x 2 =1− 5

2 <0

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

φ = 1+ 5

2 ≈1,61803398874989...

87= 1,142857!

136= 2,1

⌢6 5 = 2,2360679775... 23 = 1,25992104989...

87

136

5 23

87

136

5 23

3 1,732050808» ! 3

3

π

(1,2), (1,7 ;1,8), (1,73;1,74), (1,732;1,733), (1,7320;1,7321), (1,73205;1,73206), ...



5

8. Calcula el error absoluto y relativo cometido en el ejercicio 6 en el caso de redondeo a las centésimas de cada apartado.

a)

La aproximación por redondeo es y el error absoluto cometido es:

El error relativo:

b)


El error relativo:

c) La aproximación por redondeo es y el error absoluto cometido es:

El error relativo:

d) La aproximación por redondeo es y el error absoluto cometido es:

El error relativo:

87= 1,142857!

Vaprox = 1,14

Ea = 1,142857! −1,14 = 0,00285714!

Er =0,00285714!

1,142857!= 0,0025

100 ⋅Er ≈ 0,25%

136= 2,1

⌢6

1,14aproxV =

Ea = 2,1⌢6− 2,17 = 0,00

⌢3

Er =0,00⌢3

2,1⌢6

= 0,001401869...

100 ⋅Er ≈ 0,14%

5 = 2,2360679775...

Vaprox = 1,14

Ea = 5 − 2,24 = 0,0039320225...

Er =0,0039320225

5= 0,001725845...

100 ⋅Er ≈ 0,17%

23 = 1,25992104989...

Vaprox = 1,14

Ea = 23 −1,26 = 0,00007895...

Er =0,00007895

23= 0,00006266...

100 ⋅Er ≈ 0,0063%



6


9. Representa en la recta real los siguientes números racionales.

a)

Se divide el intervalo [2,3] en 3 partes iguales y se cogen 2. Como el número es positivo contamos de izquierda a derecha.

b)

Se divide el intervalo [-1,0] en 7 partes iguales y se cogen 3. Como el número es negativo contamos de derecha a izquierda.

c)

Se divide el intervalo [5,6] en 3 partes iguales y se coge 1. Como el número es positivo contamos de izquierda a derecha.

83

8÷ 3= 2,6

⌢= 2+ 2

3⇒ 8

3∈ 2,3⎡⎣ ⎤⎦

− 3

7

−3÷ 7 = −0,428571! = 0− 3

7⇒− 3

7∈ −1,0⎡⎣ ⎤⎦

5,3⌢

5,⌢3 = 5+ 0,

⌢3 = 5+ 3− 0

9= 5+ 1

3⇒ 5,⌢3∈ 5,6⎡⎣ ⎤⎦



7

d)


10. Representa los siguientes números irracionales en la recta real utilizando una sucesión de intervalos encajados adecuada. Aproxima hasta las centésimas. a) 1,23456… La sucesión de intervalos encajados es La representación gráfica será:

b) La sucesión de intervalos encajados es La representación gráfica será:

3,16⌢

3,1⌢6 = 3+ 0,1

⌢6 = 3+ 16−1

90= 3+ 15

90= 3+ 1

6⇒ 3,1

⌢6∈ 3,4⎡⎣ ⎤⎦

(1,2), (1,2 ;1,3), (1,23;1,24), (1,234;1,235), ...

−2π = −6,2831853...

(−7,−6), (−6,3; − 6,2), (−6,29; − 6,28), (−6,284; − 6,283), ...



8

c) 3,1020030004… La sucesión de intervalos encajados es La representación gráfica será:

d) La sucesión de intervalos encajados es La representación gráfica será:

11. Representa de forma exacta las siguientes raíces cuadradas en la recta real. a) Paso 1 Descomponemos el radicando como producto de dos factores. 5=5·1.Construimos la base de un triángulo rectángulo de longitud 5+1=6. El 0 marca las unidades a la derecha (5) e izquierda (1) del mismo. Trazamos la perpendicular por el punto 0.

(3,4), (3,1; 3,2), (3,10; 3,11), (3,102; 3,103), ...

− 10 = −3,16227766...

(−4,−3), (−3,2 ; − 3,1), (−3,17; − 3,16), (−3,163; − 3,162), ...

5



9

Paso 2

Trazamos la semicircunferencia de radio y centro el punto medio del segmento. El corte con la

recta perpendicular es el tercer vértice del triángulo.

Paso 3 Construimos el triángulo. La altura correspondiente a la base mide exactamente .

Paso 4 Con ayuda de un compás proyectamos la medida sobre la parte positiva de la recta real.

b) Los pasos 1, 2 y 3 son iguales al del apartado anterior. La diferencia es que en vez de proyectar la medida sobre la parte positiva lo haremos sobre la negativa.

c) Descomponemos el radicando como producto de dos factores. 6=3·2.Construimos la base de un triángulo rectángulo de longitud 3+2=4. El 0 marca las unidades a la derecha (3) e izquierda (2) del mismo. Trazamos la perpendicular por el punto 0.

r = 5+1

2

5

− 5

6



10



Construimos el triángulo. La altura correspondiente a la base mide exactamente . Con ayuda de un compás proyectamos la medida sobre la parte positiva de la recta real.

d) Descomponemos el radicando como producto de dos factores. 8=4·2.Construimos la base de un triángulo rectángulo de longitud 4+2=4. El 0 marca las unidades a la derecha (4) e izquierda (2) del mismo. Trazamos la perpendicular por el punto 0.




r = 3+ 2

2

6

8

r = 4+ 2

2

6



11


12. Escribe como una potencia única de 2.

a)

b) c)

d)

13. Escribe sin exponentes negativos.

e)

f)

g)

h)


14. Calcula las siguientes cantidades en notación científica. a) Distancia media del Sol a Saturno es de 1 429 400 000 m. ¿Cuánto tarda en llegar, aproximadamente, un fotón de luz que parte del sol? Recuerda que la velocidad de la luz es, aproximadamente, de

Partimos de .

Despejamos el tiempo:

Tarda aproximadamente 4,75·105 s » 13h. 11 min. y 38 s b) Una bacteria Escherichia Coli se duplica cada 20 min. Si se dan las condiciones favorables, ¿cuántas bacterias, aproximadamente, habrá al cabo de 24 horas? Veamos cuantos periodos de 20 min hay en 24 horas.

18= 1

23 = 2−3

64 =26

4 ⋅2m = 22 ⋅2m = 2m+2

4x

2x−1 =22( )x

2x−1 = 22x

2x−1 = 22x−( x−1) = 2x+1

ab−2 = a

b2

ab( )−2= 1

ab( )2 = 1a2b2

3a−1b2( )2

= 3b2

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

=3b2( )2

a2 = 9b4

a2

a5b−2

c3 = a5

b2c3

3⋅106 m ⋅s−1

v = e

t

t = e

v = 1,4294 ⋅1012

3⋅106 =0,47498⋅106 ≈4,75⋅105



12

24h=24·60 min=1440 min. 1440:20 = 72 periodos de 20 minutos. La bacteria se duplicará 72 veces:

bacterias Escrito en forma decimal: 4 7203000 0002000 0001000 000 bacterias


15.De entre los 132 pasajeros del vuelo Bilbao – Málaga, 77 han embarcado con billete electrónico. ¿Qué porcentaje ha usado el billete electrónico?

La parte proporcional (el tanto por uno) de pasajeros que han usado billete electrónico ha sido : .

Multiplicando por cien obtenemos el porcentaje: . Respuesta: El porcentaje de pasajeros que han usado el billete electrónico es del 58,33% aproximadamente.

16. El 9 de agosto de 2016 la población de las Islas Baleares fue de 2 057 244 habitantes, mientras que la población a fecha 23 de Diciembre de 2016 fue de 1 110 000 habitantes. ¿Que porcentaje aumentó la población durante la etapa estival?¿Cuál fue su índice de variación? (Datos: Ibestat 2018) La parte proporcional (el tanto por uno) de la población de las Islas Baleares en verano de 2016 con respecto

al invierno es de .

Multiplicando por cien obtenemos el porcentaje: 185,3-100=85%

Respuesta: La población aumentó, aproximadamente, un 85,3%. El índice de variación fue 17. El IPC (Índice de Precios de Consumo) ha variado el último año un 2,2%. Esto quiere decir que los precios han subido una media del 2,2%. Según este dato, ¿qué precio tiene actualmente un litro de gasolina si en Julio de 2017 era de 1,359 €/litro?(Dato: INE Julio 2018) En el último año podemos suponer que el precio de la gasolina ha aumentado un 2,2%. Este quiere decir que la gasolina ha aumentado un 100%+2,2%= 102,2% El índice de variación será de Por lo tanto

Sustituyendo

Respuesta: El precio de la gasolina despumes de un año será de 1,389€/litro

18. Calcula la cantidad final que se obtiene invirtiendo 7 500 € en un banco con las siguientes opciones. a) A un interés simple del 4,5% durante 10 años.

La fórmula del interés simple si t es en años es:

En nuestro caso CI=7 500 € r =4,5 t =10 años Sustituyendo

1⋅272 ≈4,72⋅1021

77

132 =0,58⌢3

0,58⌢3⋅100≈58,33

20572441110000 ≈1,853

1,853⋅100≈185,3

Iv =1,853

Iv =1,022

CF = Iv ⋅CI

CF = 1,022 ⋅1,359 ≈1,389

CF = CI ⋅ 1+ r ⋅ t

100⎛⎝⎜

⎞⎠⎟



13

La cantidad final que se obtiene es de 10 875 €. b) A un interés compuesto del 2,5% durante 15 años. Si el interés es compuesto y los periodos de amortización son en años, después de t años se obtiene:

Sustituyendo:

La cantidad final que se obtiene es de 10 862,24 € c) A un interés compuesto de 3% durante 6 trimestres. Como el periodo de amortización es en trimestres à Un año tiene 4 trimestres. Por lo tanto la fórmula nos queda:

Sustituyendo:

La cantidad final que se obtiene es de 7 843,89 € 19. Juan tiene 3 000 € y quiere depositarlos en un banco durante tres años en una entidad financiera, donde le ofrecen estas dos opciones. 1ª Opción: Durante tres años con un interés simple anual del 3,35%. 2ª Opción: Durante 36 meses con un interés compuesto anual del 3,25%. ¿Qué opción debería tomar Juan? Vamos a calcular la cantidad final en ambos casos: 1ª opción:

El interés es simple y los periodos de amortización son anuales, por lo tanto

Sustituyendo:

2ª opción: El interés es compuesto y los periodos de amortización son mensuales (un año tiene 12 meses), por lo tanto

Sustituyendo:

Juan debería tomar la segunda opción y recibirá una cantidad final de 3 306,80 €

CF = 7500 ⋅ 1+ 4,5⋅10

100⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 10875

Ct = CI ⋅ 1+ r

100⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

t

C15 = 7500 ⋅ 1+ 2,5

100⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

15

= 10862,23625

Ct = CI ⋅ 1+ r

100 ⋅4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

t

C6 = 7500 ⋅ 1+ 3

100 ⋅4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

6

= 7843,891763

CF = CI ⋅ 1+ r ⋅ t

100⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

CF = 3000 ⋅ 1+ 3,35⋅3

100⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 3301,50

Ct = CI ⋅ 1+ r

100 ⋅12⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

t

C36 = 3000 ⋅ 1+ 3,25

100 ⋅12⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

36

= 3306,798482



14

EJERCICIOS Y ACTIVIDADES-PÁG.19

20. Escribe las siguientes expresiones como una única potencia de 5.

a)

b)

c)

d) 21. Escribe las siguientes expresiones en la forma donde a es un número primo y x es un número racional.

a)

b)

c)

d)

22. Calcula el valor de las siguientes potencias:

a)

b)

c)

d)


23. Ordena los siguientes radicales de menor a mayor, reduciéndolos previamente a índice común. a) El mínimo común múltiplo de los índices es: m.c.m (3,2,4)=12 Los reducimos a índice común:

Por lo tanto:

b) El mínimo común múltiplo de los índices es: m.c.m (4,3,6)=12 Los reducimos a índice común:

Por lo tanto:

54 = 514

154= 1

514

= 5−1

4

55 = 515

5 5 = 5⋅515 = 5

1+15 = 5

65

ax

113 = 1113

165 = 245 = 245

819 = 349 = 349

11254

= 1

534= 1

534

= 5−3

4

8

43 = 23( )

43 = 2

3⋅43 = 24 = 16

25

32 = 52( )

32 = 5

2⋅32 = 53 = 125

9−1

2 = 32( )−12 = 3

−2⋅12 = 3−1 = 1

3

27

−43 = 33( )−

43 = 3

−3⋅43 = 3−4 = 1

34 = 181

43 , 5, 74

43 , 5, 74 = 4412 , 5612 , 7312 = 25612 , 1562512 , 34312

43 < 74 < 5

a34 , a43 , a76

a34 , a43 , a76 = a912 , a1612 , a1412

a34 < a76 < a43



15

24. Calcula las siguientes operaciones con radicales, simplifica el resultado cuando sea posible:

a)

b) Como tienen distinto índice lo reducimos a índice común calculando el m.c.m. de los índices: m.c.m.(3,4)=12.

c) Para poder multiplicar los radicandos lo reducimos a índice común calculando el m.c.m. de los índices: m.c.m.(2,3)=6.

d)

De nuevo reducimos a índice común para poder operar con los radicales. m.c.m.(4,3,2)=12

25. Extrae todos los factores posibles de los siguientes radicales. Recuerda que tienes que factorizar el radicando.

a)

b)

c)

d)

26. Expresa bajo un único radical. Simplifica cuando sea posible.

a)

b)

c)

d)

27. Calcula las siguientes operaciones con radicales. a)

b)

c)

2 ⋅ 44 = 2 ⋅ 224 = 2 ⋅ 2 = 22 = 2

323 ⋅ 274

323 ⋅ 274 = 323 ⋅ 334 = 3812 ⋅ 3912 = 38 ⋅3912 = 31712

a ⋅ a23

a ⋅ a23 = a36 ⋅ a46 = a3 ⋅a46 = a76 = a a6

a4

a3 ⋅ a

a4

a3 ⋅ a= a312

a412 ⋅ a612= a3

a4 ⋅a612 = a3

a1012 = 1

a712

18 = 2 ⋅32 = 3 2

2163 = 23 ⋅333 = 2 ⋅3= 6

1900

= 122 ⋅32 ⋅52 = 1

2 ⋅3⋅5= 1

30

0,1253 = 125

10003 = 53

1033 = 5

10= 1

2

13 = 134

3 3 = 32 ⋅3 = 33 = 334

643 = 646 = 266 = 2

7 ⋅ 7233⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

6

= 73 ⋅7233⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

6

= 756( )6

= 7306 = 75

6 3 − 4 3 + 3 − 2 3 = (6− 4+1− 2) 3 = 3

3 5 − 1

35 + 3

25 = 3− 1

3+ 3

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

5 = 18− 2+ 96

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

5 = 256

5

54 − 150 + 24 = 2 ⋅33 − 2 ⋅3⋅52 + 23 ⋅3 = 3 2 ⋅3 −5 2 ⋅3 + 2 2 ⋅3 = 3−5+ 2( ) 6 = 0 6 = 0



16


28. Racionaliza las siguientes fracciones. Usa el método adecuado en cada caso y simplifica cuando sea posible.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)


29. Escribe los siguientes logaritmos en su forma exponencial. a)

b)

c)

d)

30. Escribe las siguientes potencias en su forma logarítmica.

a)

b)

c)

28= 2

23= 2

2 2= 1

2⋅ 2

2= 2

22= 2

2

52 10

= 52 10

⋅ 1010

= 5 10

2 102= 5 10

2 ⋅10= 5 10

20= 10

4

1+ 55

= 1+ 55

⋅ 55=

1+ 5( ) ⋅ 5

52= 5 + 52

5= 5 +5

5= 5+ 5

5

3

334= 3

334⋅ 34

34= 3 34

344= 3 34

3= 34

236= 2

36⋅ 356

356= 2 356

366= 2 356

3

4

225= 4

225⋅ 235

235= 4 235

255= 4 235

2= 2 85

11− 2

= 1

1− 2( ) ⋅1+ 2( )1+ 2( ) =

1+ 2

12 − 2( )2 = 1+ 21− 2

= 1+ 2−1

= −1− 2

32 + 3

= 3

2 + 3( ) ⋅2 − 3( )2 − 3( ) =

6 − 32

2( )2− 3( )2 = 6 − 3

2− 3= 6 − 3

−1= 3− 6

3− 23+ 2

=3− 2( )3+ 2( ) ⋅

3− 2( )3− 2( ) =

32 − 2 ⋅3⋅ 2 + 2( )2

32 − 2( )2 = 9− 6 2 + 29− 2

= 11− 6 27

log 525 = 2 ⇔ 52 = 25

log10 10000 = 4 ⇔104 = 10000

log3 3 = 1

2⇔ 3

12 = 3

log2

1

2= − 1

2⇔ 2

−12 = 1

2

2−3 = 1

8⇔ log2

18= −3

3

12 = 3 ⇔ log3 3 = 1

2

5−1 = 0,2 ⇔ log5 0,2 = −1



17

d)

31. Calcula los siguientes logaritmos. a)

b)

c)

d)

32. Calcula los siguientes valores de x. a)

b)

c)

d)


33. Aplicando las propiedades de logaritmos, escribe como un solo logaritmo las siguientes expresiones. a)

b)

c)

d)

e)

f)

34. Demuestra que: a) Partiendo de la primera igualdad llegaremos a la segunda o al revés.

b)

10

−13 = 1

103⇔ log

1

103= −1

3

log10 1000 = log10 103 = 3

log2 256 = log2 28 = 8

log5

15

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= log5 5−1 = −1

log2 2 2 = log2 2 ⋅2

12

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= log2 2

1+12

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= log2 2

32 = 3

2

log2 x = 2 ⇔ 22 = x ⇔ 4 = x

log9 x = 1

2⇔ 9

12 = x ⇔ 9 = x ⇔ 3= x

logx 27 = 3⇔ x3 = 27 ⇔ x3 = 33 ⇔ x = 3

logx 0,25 = −1⇔ x−1 = 25

100⇔ 1

x= 1

4⇔ x = 4

log8+ log2 = log(8�2) = log16

log50− log5 = log

505

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= log10 = 1

log50− 4 = log50− log10000 = log

5010000

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= log

1200

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

log 2 + log5− log100 = log

2 ⋅5100

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= log

10100

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= log

110

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= log10−1 = −1

3log 4 − log8 = log 43 − log8 = log

648

= log8

1− 3log2+ log20 = log10− log23 + log20 = log

10 ⋅208

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= log25

log49 = 2log7

log49 = log72 = 2log7

log 43 = 2

3log2

log 43 = log 223 = log2

23 = 2

3log2



18

c)

35. Si , y escribe en función de a, b y c las siguientes expresiones. Fíjate

en el ejemplo:

Ejemplo:

a)

b)

c)

d)

36. Si , y , escribe las siguientes expresiones en función de a, b y c.

a)

b)

c)

d)

37. Calcula los siguientes logaritmos con ayuda de la calculadora:

a)

b)

c)

d)

log

15

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= log5−1 = − log5

a = log p 2 b = log p 3

c = log p 5

log p 12( ) = log p 12( )12 = 1

2log p 12( ) = 1

2log p 22 ⋅3( ) = 1

2log p 22 + log p 3( ) =

= 12

2log p 2+ log p 3( ) = log p 2+ 12

log p 3= a + 12

b

log p 10 = log p (2 ⋅5) = log p 2+ log p 5 = a + c

log p 18 = log p 2 ⋅32( ) = log p 2+ log p 32 = log p 2+ 2log p 3= a + 2b

log p 90 = log p 2 ⋅32 ⋅5( ) = log p 2+ log p 32 + log p 5 = log p 2+ 2log p 3+ log p 5 = a + 2b+ c

log p

3 52

= log p 3+ log p 5 − log p 2 = log p 3+ log p 512 − log p 2 = log p 3+ 1

2log p 5− log p 2 = b+ 1

2c − a

log5 A = a log5 B = b log5 C = c

log5 AB( ) = log5 A+ log5 B = a + b

log5

A2

C⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= log5 A2 − log5 C = 2log5 A− log5 C = 2a − c

log5 B2 ⋅ C( ) = log5 B2 + log5 C = 2log5 B + log5 C

12 = 2log5 B + 1

2log5 C = 2b+ 1

2c

log5

AC 2

B3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= log5 A+ log5 C 2 − log5 B3 = a + 2log5 C − log5 B

13 = a + 2c − 1

3log5 B = a + 2c − 1

3B

log517 = log17

log5= 1,760374428...

log7 15 = log15

log7= 1,391662509...

log11 2 = log2

log11= 0,2890648263...

log3100 = log100

log3= 2

log3= 4,191806549...



19

EJERCICIOS Y ACTIVIDADES DE FINALES-PÁG. 28 a 31

Números racionales e irracionales

1. Escribe tres fracciones que den lugar a un número decimal exacto, un número decimal periódico puro y un número decimal periódico mixto. Ejercicio de respuesta abierta. Tres fracciones que den lugar a un número decimal exacto. Para ello la fracción tiene que ser irreducible y en el denominador tiene que haber como factores, al menos, un dos, un cinco o ambos.

Tres fracciones que den lugar a un número decimal periódico puro. Para ello la fracción tiene que ser irreducible y el denominador no tiene que tener como factores ni dos, ni cinco, ni ambos.

Tres fracciones que den lugar a un número decimal periódico mixto. Para ello la fracción tiene que ser irreducible y el denominador tiene que tener como factores dos, cinco o ambos y otro número primo distinto de ellos.

2. Calcula el valor decimal de las siguientes fracciones. Escribe el resultado de forma abreviada:

a)

b)

c)

d)

3. Escribe tres números que verifiquen las condiciones siguientes: Ejercicio de respuesta abierta. a) Sean enteros y naturales. 1, 2, 3, 4, … b) Sean racionales pero no naturales.

–2, , , …

c) Sean enteros o racionales.

–2, , , …

d) Sean reales e irracionales.

4. Calcula la fracción generatriz de los siguientes números decimales:

a)

b)

32

, 75

, 2310

, 98

, 1725

, 3920

,...

37

, 73

, 2311

, 977

, 1721

, 319

,...

314

, 76

, 2315

, 935

, 1760

, 3130

,...

75= 1,4

136

= 2,1⌢6

47=0,571428!

1516

=0,9375

34

− 73

34

− 73

π ; 2; 33 ;1,2345...; ...

3,25 = 325

100= 13

4

7,3⌢= 73− 7

9= 66

9= 22

3



20

c)

d)

5.Copia y completa la siguiente tabla en tu cuaderno, marcando los diferentes conjuntos a los que pertenece cada número:

No Si Si Si

No No Si Si

Si Si Si Si 6. Clasifica los siguientes números reales, distinguiendo entre los que sean naturales, enteros, racionales o irracionales:

a) Es un número racional

b) Es un número racional

c) Es un número irracional

d) Como el número e es irracional, es un número irracional

7. Completa la siguiente tabla dando una aproximación por truncamiento y otra por redondeo:

Trunc. Red. Trunc. Red. Trunc. Red. Trunc. Red. Décimas 0,8 0,9 1,1 1,2 1,1 1,2 1,6 1,6 Centésimas 0,88 0,89 1,15 1,15 1,15 1,16 1,61 1,62 Milésimas 0,888 0,889 1,151 1,152 1,155 1,156 1,618 1,618

8. Redondea los siguientes números dejando tres cifras significativas. Calcula el error absoluto, el error relativo y el porcentaje de error que se comete con la aproximación en cada caso: a)3,145 La aproximación por redondeo es y el error absoluto cometido es:

El error relativo:

3,24! = 324− 3

99= 321

99= 107

33

3,024! = 3024− 30

990= 2994

990= 499

165

! ! ! !

−22 = −4

−2−1 = − 1

2

(−2)2 = 4

− 0,01 = − 1

100= − 1

10

169

= 43

33= 3

3⋅ 3

3= 3 3

3( )2 = 3 33

= 3

e3

e3

89= 0,⌢8 1,15! 1,15

⌢ φ = 1,618033989...

Vaprox = 3,15

Ea = 3,145− 3,15 = 0,005

Er =0,0053,145

= 0,0015898...

100 ⋅Er ≈ 0,16%



21

b)


El error relativo:

c) La aproximación por redondeo es y el error absoluto cometido es:

El error relativo:

9. Calcula una cota del porcentaje de error cometido en las siguientes frases: F a) La bicicleta circulaba a 30 km·h-1 Si decimos que la bicicleta circulaba a 30 km·h-1 quiere decir que hemos aproximado el número 30 por redondeo. Esto implica que . Es decir, el error absoluto cometido es menor que 5 km·h-1.

El error relativo:

b) El camión llevaba una carga de 20 000 kg de naranjas. Como el camión llevaba una carga de 20 000 kg y este número es redondeado y suponemos que la única cifra significativa es el 2, quiere decir que . Es decir, el error absoluto cometido es menor que 5000 kg.

El error relativo:

56= 0,8

⌢3

Vaprox = 0,833

Ea = 0,8⌢3− 0,833 = 0,000

⌢3

Er =0,0003

⌢

0,83⌢ = 0,0004

100 ⋅Er ≈ 0,04%

6 = 2,4494897...

Vaprox = 2,45

Ea = 6 − 2,45 = 0,00051...

Er =0,00051

6= 0,0002082

100 ⋅Er ≈ 0,02%

25 <Vaprox < 34,9

Ea < 5

Er <5

30= 0,1

⌢6 < 0,17

100 ⋅Er <17%

15000 <Vaprox < 24999

Ea < 5000

Er <500020000

= 0,25

100 ⋅Er < 25%



22

Los números reales. La recta real 10. Representa en la recta real, con ayuda del Teorema de Thales, los siguientes números:

a)

Se divide el intervalo [0,1] en 5 partes iguales y se cogen 3. Como el número es positivo contamos de izquierda a derecha.

b)


c)

Se divide el intervalo [-1,0] en 6 partes iguales y se coge 1. Como el número es negativo contamos de derecha a izquierda.

d)

35

3÷5 = 0,6 = 0+ 3

5⇒ 3

5∈ 0,1⎡⎣ ⎤⎦

174

17 ÷ 4 = 4,25 = 4+ 1

4⇒ 17

4∈ 4,5⎡⎣ ⎤⎦

−16

−1÷ 6 = −0,1

⌢6 = − 1

6⇒− 1

6∈ −1,0⎡⎣ ⎤⎦

− 22

5

−22 ÷5 = −4,4 = −4− 2

5⇒− 22

5∈ −5,−4⎡⎣ ⎤⎦



23

Se divide el intervalo [-5,-4] en 5 partes iguales y se cogen 2. Como el número es negativo contamos de derecha a izquierda.

11. Representa los siguientes números irracionales en la recta real utilizando una sucesión de intervalos encajados adecuada. Aproxima hasta las centésimas: a) La sucesión de intervalos encajados es La representación gráfica será:

b) La sucesión de intervalos encajados es La representación gráfica será:

c) La sucesión de intervalos encajados es La representación gráfica será:

10 = 3,16227766... (3,4), (3,1; 3,2), (3,16;3,17), (3,162;3,163), ...

53 = 1,709975947...

(1,2), (1,7 ;1,8), (1,70;1,71), (1,709;1,710), ...

3+ 7 = 5,645751311...

(5,6), (5,6; 5,7), (5,64;5,65), (5,645;5,646), ...



24

12. Representa de forma exacta las siguientes raíces cuadradas en la recta real: a) Descomponemos el radicando como producto de dos factores. 10=5·2.Construimos la base de un triángulo rectángulo de longitud 5+2=7. El 0 marca las unidades a la derecha (5) e izquierda (2) del mismo. Trazamos la perpendicular por el punto 0.




b) Descomponemos el radicando como producto de dos factores. 18=6·3.Construimos la base de un triángulo rectángulo de longitud 5+2=7. El 0 marca las unidades a la derecha (6) e izquierda (3) del mismo. Trazamos la perpendicular por el punto 0.



10

r = 5+ 2

2

10

− 18

r = 6+ 3

2



25

Construimos el triángulo. La altura correspondiente a la base mide exactamente . Con ayuda de un compás proyectamos la medida sobre la parte negativa de la recta real.

c) Descomponemos el radicando como producto de dos factores. 48 = 8 · 6.Construimos la base de un triángulo rectángulo de longitud 8 + 6 = 14. El 0 marca las unidades a la derecha (8) e izquierda (6) del mismo. Trazamos la perpendicular por el punto 0.



Construimos el triángulo. La altura correspondiente a la base mide exactamente . Con ayuda de un

compás proyectamos la medida sobre la parte positiva de la recta real.

18

48

r = 8+ 6

2

48



26

d) Descomponemos el radicando como producto de dos factores. 7=7·1.Construimos la base de un triángulo rectángulo de longitud 7+1=8. El 0 marca las unidades a la derecha (8) e izquierda (6) del mismo. Trazamos la perpendicular por el punto 0.




13. Escribe en forma de conjunto, en forma de intervalo o semirrecta y represéntalos gráficamente: a) Los números mayores que 0 y menores o iguales que 5

b) Los números que están entre , ambos inclusive.

c) Todos los números que son menores que 7.

14. Representa gráficamente y expresa en forma de intervalo o semirrecta los siguientes conjuntos: a)

b)

7

r = 7 +1

2

7

( ] { }0,5 R / 0 5x x= Î < £

− 3

4 y 5

163 5 3 5, R /4 16 4 16

x xé ù ì ü- = Î - £ £í ýê úë û î þ

( ) { },7 R / 7x x-¥ = Î <

{ } ( ]R / 2 5 2,5x xÎ - < £ = -

2 2R / ,3 3

x x-ì ü æ öÎ < = - +¥í ý ç ÷î þ è ø



27

c)

d)

15. Escribe en forma de conjunto y expresa en forma de intervalo o semirrecta los siguientes conjuntos: a)

b)

c)

d)

16. Representa los siguientes intervalos o semirrectas en forma de intervalo y expresa en forma de conjunto: a)

b)

c)

d)

e)

{ } ( ]R / 3 ,3x xÎ £ = -¥

{ } [ ]R / 3 4 3,4x xÎ £ £ =

{ } ( ]R / 5 3 5,3x xÎ - < £ = -

{ } ( )R / 5 ,5x xÎ < = -¥

{ } [ )R / 5 5,x xÎ ³ = +¥

{ } ( )R /1 2 1,2x xÎ < < =

( ) { }1, R / 1x x+¥ = Î >

( ] { }3,1 R / 3 1x x- = Î - < £

2 2, R /3 3

x xæ ù ì ü-¥ - Î £ -í ýç úè û î þ

{ }2,1 2 R / 2 1 2x xé ù+ = Î £ £ +ë û

( ) { }5,3 R / 5 3x x- = Î - < <



28

f)

17. Dados los intervalos y , calcula .

: La unión de dos conjuntos son los elementos que están en I o en J

Por lo tanto

: La intersección de dos conjuntos son los elementos que están en I y en J

La intersección 18. Sea escribe un intervalo B que cumpla: a) Para que la intersección sea vacía no deben tener elementos en común, quiere decir que tenemos que coger cualquier intervalo que no contenga ningún elemento de [–1,7). Por ejemplo (9,10) b) Como la solución está contenida en el intervalo A, esto quiere decir que la intersección es el conjunto más pequeño, en este caso B = [–1,3). c) De nuevo la solución está contenida en el conjunto A, esto quiere decir que la unión es el conjunto más grande, es decir, B=(–15,9). d) Como la unión es uno de los conjuntos, esto quiere decir que A es el conjunto mayor y A contiene a B. Por lo tanto B es cualquier intervalo que esté contenido en A, por ejemplo [0,2). 19. Representa los intervalos , y . A continuación, calcula: a) La solución será el conjunto de todos los elementos que están en A o en B:

En este caso la solución es el intervalo [–2, 5)

) { }5, R / 5x xé- +¥ = Î ³ -ë

I = −3,1[ ] J = −1,6( ] I∪J y I∩J

I∪J

I∪J= −3,6[ ]

I∩J

I∩J= −1,1( ]

A = −1,7[ )

A∩B =∅

A∩B = −1,3[ )

A∪B = −15,7( )

A∪B = A

A = −2,4[ ) B = −1,5( ) C = 4,7[ ] A∪B



29

b) La solución será el conjunto de todos los elementos que están en A y en B:

La solución es el intervalo (–1, 4) c) La solución será el conjunto de todos los elementos que están en B y en C:

En este caso la solución es el intervalo [4, 5) d) Primero calculamos la intersección de A y B. Apartado b)

La solución es el intervalo (–1, 4) A continuación calculamos la unión de este intervalo con C:

La solución final es el intervalo (–1, 7] 20. Encuentra los valores de x que cumplen las siguientes desigualdades. Expresa la solución en forma de intervalo y en forma de entorno. a) Los valores de x que verifican esta desigualdad son aquellos que son más pequeños que 3 pero mayores que –3.

La solución es el intervalo cerrado . Date cuenta que es un intervalo abierto

centrado en el 0 y de «radio» 7, es decir, es el entorno abierto

b) Los valores de x que verifican esta desigualdad son aquellos que son más pequeños o iguales que 7 pero mayores o iguales que –7.

A∩B

B ∩C

A∩B( )∪C

x <3

x < 3⇒−3< x < 3

( ) { }3,3 R / 3 3x x- = Î - < <

E 0,3( )

x ≤ 7

x ≤ 7 ⇒−7 ≤ x ≤ 7



30

La solución es el intervalo abierto . Si te fijas, es un intervalo cerrado centrado

en el 0 y de «radio» 3, es decir, es el entorno cerrado

c) Aplicando el mismo razonamiento de los aparatados anteriores:

Despejando el 3 de ambas desigualdades, como esta restando, pasará a los otros dos miembros sumando.

Por lo tanto la solución es el intervalo abierto . La solución es un intervalo abierto

centrado en el 3 y de «radio» 2, es decir, es el entorno abierto

d)

Operamos en la desigualdad:

Despejando el 5 de ambas desigualdades, como esta sumando, pasará a los otros dos miembros restando.

Por lo tanto la solución es el intervalo abierto . La solución es un intervalo

abierto centrado en el –5 y de «radio» 2, es decir, es el entorno abierto

Potencias de Exponente entero. Propiedades 21. Aplicando las propiedades de las potencias, escribe las siguientes expresiones de la forma : a)

b)

c) d)

e)

f)

g)

h)

[ ] { }7,7 R / 3 3x x- = Î - £ £

E 0,7⎡⎣ ⎤⎦

x −3 < 2

x − 3 < 2⇒−2 < x − 3< 2

−2+ 3< x < 2+ 3⇒1< x < 5

( ) { }1,5 R /1 5x x= Î < <

E 3,2( )

x +5 < 2

x +5 < 2⇒−2 < x +5 < 2

−2−5 < x < 2−5⇒−7 < x < −3

( ) { }7, 3 R / 7 3x x- - = Î - < < -

E −5,2( )

3x

9 = 32

127

= 133 = 3−3

1= 30

9 ⋅3p = 32 ⋅3p = 32+ p

81m = 34( )m

= 34m

3⋅9x = 3⋅ 32( )x

= 3⋅32x = 32x+1

93n = 32

3n = 32−n

9k+1

31−k =32( )k+1

31−k = 32k+2

31−k = 32k+2− 1−k( ) = 32k+2−1+k = 33k+1



31

22. Escribe las siguientes expresiones sin exponentes negativos:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

23. Expresa el resultado de las siguientes expresiones en la forma , donde :

a)

b)

c)

d)

e)

f) 24. Expresa las siguientes expresiones como potencias de 2, 3 y/o 5, sin denominadores:

a)

b)

c)

d)

25. Realiza las siguientes operaciones aplicando las propiedades de las potencias, dejando el resultado sin denominadores:

a)

b)

2uv −1 = 2u

v

2k −3 = 2

k 3

a2b−1

c3 = a2

b ⋅c3

p3q −2

r −1 = p3rq2

1

x −5 = x 5

t −2

s3 = 1t 2 ⋅s3

ab QaÎ

−11( )3⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

2

= −11( )6= 116

(−7)3 ⋅73 = −73 ⋅73 = −76

(−5)2 ⋅53 ⋅5 = 52 ⋅53 ⋅5 = 52+3+1 = 56

66

(−6)−5 = 66 ⋅(−6)5 = 66 ⋅(−65) = −66+5 = −611

−23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3

: 23= − 2

3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3

: 23= − 2

3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3−1

= − 23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

a−13 ⋅a−13 = a−13+(−13) = a−26

35= 3⋅5−1

12512

= 53

22 ⋅3= 53 ⋅2−2 ⋅3−1

2t

72= 2t

23 ⋅32=2t ⋅2−3 ⋅3−2 =2t−3 ⋅32

6n

75=

2⋅3( )n3⋅52

=2n ⋅3n ⋅3⋅52 =2n ⋅3n+1 ⋅52

3−2 ⋅34 ⋅3−5

3−4 ⋅3−7 ⋅3= 3−2+4−5

3−4−7+1= 3−3

3−10= 3−3 ⋅310 = 37

22 ⋅32 ⋅ 32( )264

= 22 ⋅32 ⋅34

2⋅3( )4= 22 ⋅36

24 ⋅34=22 ⋅36 ⋅2−4 ⋅3−4 =2−2 ⋅32



32

c)

d)

26. Escribe en notación científica los siguientes números, redondea a tres cifras significativas: a) b) c) 27. Calcula las siguientes sumas y restas. Deja el resultado en notación científica: a) b)

c)

d)

28.Realiza las siguientes operaciones dejando el resultado en notación científica:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

29. La luz viaja a una velocidad aproximada de . Un rayo de luz que salió del sol hace 1 día, ¿a qué distancia está del sol? Nota: Redondea la velocidad de la luz a las centenas de millón de metro. Redondeamos la velocidad de la luz: Calculamos cuantos segundos tiene un día 1 día = 24 h= 24 ·3600 s = 86 400 s Por lo tanto la distancia después de un día de trayecto es de La distancia al Sol será de 2,6·1013 m = 2,6·1010 km = 26 0001000 000 km

24 ⋅2−3 ⋅52

102= 2⋅52

22 ⋅52==21−2 ⋅52−2 =2−1 ⋅50 =2−1 ⋅1=2−1

a−2( )−3 ⋅ a ⋅b−1( )3a ⋅b( )⋅ a ⋅b−1( ) = a6 ⋅a3 ⋅b−3

a ⋅b ⋅a ⋅b−1= a9 ⋅b−3

a2 ⋅b0= a9−2 ⋅b−3−0 = a7 ⋅b−3

31256 000000000= 3,13⋅1013

428600000000= 4,29⋅1011

0,000000001354=1,35⋅10−9

9,1⋅109 +5,2⋅109 = (9,1+5,2)⋅109 =14,3⋅109 =1,43⋅1010

6 ⋅109 −5,2⋅109 = (6−5,2)⋅109 = 0,8⋅109 = 8⋅108

6,21⋅10−10 +3,89⋅10−9 =6,21⋅10−10 +0,389⋅10−10 = 6,21+0,389( )⋅10−9 =6,599⋅10−9

6,21⋅1011 −3,88⋅1010 =6,21⋅1011 −0,388⋅1011 = 6,21−0,388( )⋅1011 = 5,822⋅1011

1,2⋅108( )⋅ 4⋅1012( ) = 1,2⋅4( )⋅ 108 ⋅1012( ) = 4,8⋅1020

6 ⋅107( )⋅ 4⋅1015( ) = 6 ⋅4( )⋅ 107 ⋅1015( ) =24⋅1022 =2,4⋅1023

9⋅10−9( )⋅ 5⋅10−5( ) = 9⋅5( )⋅ 10−9 ⋅10−5( ) = 45⋅10−14 = 4,5⋅10−13

3,6 ⋅10−7( ): 3⋅10−19( ) = 3,6 :3( )⋅ 10−7 :10−19( ) =1,2⋅1012

4⋅10−9( ): 5⋅105( ) = 4:5( )⋅ 10−9 :105( ) = 0,8⋅10−14 = 8⋅10−13

1,2⋅109( ): 6 ⋅1015( ) = 1,2:6( )⋅ 109 :1015( ) = 0,2⋅10−6 =2⋅10−5

-1299 792 45 · s8m

-× » × ×1 8 -1s299 792 458m m3 10 s

3⋅108 ⋅86400=259200⋅108 ≈2,6 ⋅1013



33

Matemática financiera 30. Un vendedor recibe una comisión del 8% de las ventas efectuadas. Si un mes obtuvo 848 € de comisiones, ¿cuál fue el importe de las ventas? Recuerda que . En nuestro caso, el y la .

Sustituyendo en la fórmula obtenemos:

Despejando:

Respuesta: El importe de las ventas fue de 10 600 € 31. Un jugador de baloncesto tiene un 60% de acierto en tiros de 2 puntos. Si hoy ha conseguido 24 puntos en canastas de 2, ¿cuántas veces ha lanzado a canasta? 24 puntos corresponden a 24:2= 12 canastas de 2 puntos. Esta cifra corresponde a la cantidad final de aciertos. Como tiene un 60% de aciertos quiere decir que

Sustituyendo en la fórmula obtenemos:

Despejando:

Respuesta: Ha lanzazdo 20 veces a canasta. 32. Al comprar un coche de 9600€ nos hacen una rebaja del 3,60%. a) ¿Cuál es el índice de variación? Aplicamos la rebaja al 100% de su valor y nos queda: 100% – 3,60% = 96,4% Esto quiere decir que el índice de variación es del b) ¿Cuál es el precio final del coche? Sustituyendo en , nos queda: El coche tiene un precio final de 9254,40 € 33. Un litro de gasolina que hace un mes costaba 1,249€ hoy cuesta 1,289€. a) Calcula el índice de variación. Sabemos que , como conocemos la cantidad inicial y la final despejamos el índice de variación y sustituimos los valores conocidos:

b) ¿Qué porcentaje ha subido la gasolina? Como es mayor que uno quiere decir que ha aumentado de precio y que el porcentaje del precio con respecto al inicial es de 1,032·100=103,2 103,2% – 100% = 3,2% Respuesta: Ha aumentado un 3,2 % 34. Juan va a comprar un billete de avión por internet que le cuesta 180 €. Al ir a pagar la página web le informa que le precio es sin el 21% IVA. Además, por pagar con tarjeta de débito tiene un incremento del 2%. a) ¿Qué porcentaje se incrementa el billete?

CF = IV ⋅CI IV = 0,08 CF = 848

848= 0,08⋅CI

CI =

8480,08

=10600

IV = 0,6

12= 0,6 ⋅CI

CI =

120,6

=20

IV = 0,964

CF = IV ⋅CI CF = 0,964⋅9600= 9254,40

CF = IV ⋅CI

IV =

CF

CI

= 1,2891,249

≈1,032



34

Como son porcentajes encadenados, el índice de variación total será ,donde:

• que corresponde al aumento del IVA.

• que corresponde al incremento por pago con tarjeta de débito.

Por lo tanto:

A partir de lo anterior deducimos que el porcentaje de aumento es del 23,42%. b) ¿Cuál es el precio final del billete? El precio final del billete será: La respuesta será 222,16 €. Recuerda que cuando trabajamos con euros hay que redondear a la centésima. 35. Calcula la cantidad final que se obtiene al ingresar una cierta cantidad en una entidad financiera en las siguientes condiciones: a) 35000€ a un interés simple del 5% anual durante 3 años.


En nuestro caso CI=35 000 € r=5% t=3 años Sustituyendo

La cantidad final que se obtiene es de 40 250 €. b) 4350 € a un interés simple del 6,75 % anual durante 7 trimestres.

La fórmula del interés simple si t es en trimestres (un año tiene 4 trimestres) es:

En nuestro caso CI = 4 350 € r = 6,75 t = 7 trimestres Sustituyendo

La cantidad final que se obtiene, redondeando a los céntimos de euro, es de 4 863,84 €. c) 15 000€ a un interés simple del 3,6% anual durante 18 meses. Como el periodo de amortización es en meses à Un año tiene 12 meses. Por lo tanto la fórmula nos queda:

Sustituyendo

La cantidad final que se obtiene es de 15 810 €

IV = IV1 ⋅IV2

IV1 =1,21

IV2 =1,02

IV = IV1 ⋅IV2 =1,21⋅1,02=1,2342

CF = IV ⋅CI =1,2342⋅180=222,156

CF = CI ⋅ 1+ r ⋅ t

100⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

CF = 35000 ⋅ 1+ 5⋅3

100⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 40250

CF = CI ⋅ 1+ r ⋅ t

100 ⋅4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

CF = 4350 ⋅ 1+ 6,75⋅7

100 ⋅4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 4863,84375

CF = CI ⋅ 1+ r ⋅ t

100 ⋅12⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

CF = 15000 ⋅ 1+ 3,6 ⋅18

100 ⋅12⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 15810



35

d) 72 000€ a un interés simple del 4% durante 150 días. Como el periodo de amortización es en días à Para un banco, un año tiene 12 meses de 30 días (360 días), por lo tanto:

Sustituyendo

La cantidad final que se obtiene es de 73 200 € 36. Por 3000 € ingresados en una entidad bancaria durante 4 años a un interés simple, obtenemos 3540€ al finalizar el periodo. ¿Qué rédito anual le dio el banco?


Sustituyendo nos queda:

Haciendo cálculos para despejar r obtenemos:

Por lo tanto, el rédito anual es del 4,5% 37. Repite el ejercicio 35 cambiando el interés simple por el compuesto en todos los casos. a) 35000€ a un interés compuesto del 5% anual durante 3 años.

La fórmula del interés compuesto si t es en años es:

En nuestro caso CI=35 000 € r = 5% t = 3 años Sustituyendo

La cantidad final que se obtiene, redondeando a céntimos de euro, es de 40 516,88 €. b) 4350 € a un interés compuesto del 6,75 % anual durante 7 trimestres.

La fórmula del interés simple si t es en trimestres (un año tiene 4 trimestres) es:

En nuestro caso CI = 4 350 € r = 6,75 t = 7 trimestres Sustituyendo

La cantidad final que se obtiene, redondeando a los céntimos de euro, es de 4 890,60 €.

CF = CI ⋅ 1+ r ⋅ t

100 ⋅360⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

CF = 72000 ⋅ 1+ 4 ⋅150

100 ⋅360⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 73200

CF = CI ⋅ 1+ r ⋅ t

100 ⋅4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3540 = 3000 ⋅ 1+ r ⋅4

100⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3540 = 3000 ⋅ 1+ r ⋅4

100⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⇔ 3540

3000= 1+ r ⋅4

100⇔1,18−1= 4r

100⇔ 0,18 ⋅100 = 4r ⇔ 18

4= r ⇔ 4,5 = r

Ct = CI ⋅ 1+ r

100⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

t

C3 = 35000 ⋅ 1+ 5

100⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3

= 40516,875

Ct = CI ⋅ 1+ r

100 ⋅4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

t

C7 = 4350 ⋅ 1+ 6,75

100 ⋅4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

7

= 4890,601187



36

c) 15 000€ a un interés compuesto del 3,6% anual durante 18 meses. Como el periodo de amortización es en meses à Un año tiene 12 meses. Por lo tanto la fórmula nos queda:

Sustituyendo:

La cantidad final que se obtiene es de 15 830,99 € d) 72000€ a un interés compuesto del 4% durante 150 días. Como el periodo de amortización es en días à Para un banco, un año tiene 12 meses de 30 días (360 días), por lo tanto:

Sustituyendo:

La cantidad final que se obtiene es de 73 209,99 € 38. Cuando nació Paula, sus abuelos le hicieron un ingreso en el banco de 5000€ a un interés compuesto del 3,75% anual. ¿Qué cantidad tendrá al cumplir 20 años?


En este caso sus abuelos ingresaron: CI=5 000 € r=3,75% t=20 años Sustituyendo

La cantidad final que tendrá al cumplir los 20 años será de 10 440,76 €. 39. Al ingresar una cierta cantidad en un banco a un interés compuesto del 4,4% durante dos años, obtenemos un capital final de 9809,42€. ¿Qué cantidad se ingresó?


Sustituimos y despejamos CI

Por lo tanto: Respuesta: Se ingresaron 9 000 € Potencias de exponente fraccionario. Radicales

Ct = CI ⋅ 1+ r

100 ⋅12⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

t

C18 = 15000 ⋅ 1+ 3,6

100 ⋅12⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

18

= 15830,98923

Ct = CI ⋅ 1+ r

100 ⋅360⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

t

C150 = 72000 ⋅ 1+ 4

100 ⋅360⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

150

= 73209,98801

Ct = CI ⋅ 1+ r

100⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

t

C20 = 5000 ⋅ 1+ 3,75

100⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

20

= 10440,75998

Ct = CI ⋅ 1+ r

100⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

t

9809,42 = CI ⋅ 1+ 4,4

100⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

⇔ 9809,42 = CI ⋅ 1,044( )2⇔ 9809,42 = CI ⋅1,089936 ⇔ 9809,42

1,089936= CI

CI = 8999,99633≈ 9000



37

40. Calcula, si existe, el valor de los siguientes radicales. Justifica la respuesta en cada caso.

a) . Existe y su valor es 7.

b) . La raiz cuadrada de un número negativo no existe.

c) . Existe y su valor es –3.

d) . Existe y su valor es 2.

e) . Existe y su valor es .

f) . Existe y su valor es .

g) . Existe y su valor es .

h) . No existe la raiz cuadrada de un número negativo.

41. Escribe las siguientes potencias de exponente fraccionario en forma radical: F

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

42. Escribe en forma de potencia única de exponente negativo y/o fraccionario:

a)

b)

c)

d)

49 = 72 = 7

−36

−273 = −3( )33 = −3

164 = 244 =2

8125

3 = 23

533 = 2

5

25

0,25 = 25

100= 1

4= 12

22= 12

12

0,0083 = 8

10003 = 23

1033 = 2

10= 15

15

−14

212 = 2

−314 = − 34

523 = 523

794 = 794 = 72 ⋅ 74

11

−12 = 1

11

13

−13 = 1

133

−17

−34 = − 1

1734

19

−75 = 1

1975= 1

19 1925

x3 = x32

1

x3= 1

x32

= x−32

x3 = x13

a

a= a

a12

= a1−1

2 = a12



38

e)

f)

43. Simplifica los siguientes radicales:

a)

b) c)

d) 44. Ordena de mayor a menor los siguientes radicales:

a) Reducimos a índice común. m.c.m.(2,5,10)=10

Por lo tanto:

b) Reducimos a índice común. m.c.m.(2,3,4,6)=12

Por lo tanto 45. Extrae todos los factores posibles de los siguientes radicales:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

46. Expresa como un solo radical:

a)

b) Reducimos a índice común para poder multiplicar: m.c.m(2,3)=6

c) Reducimos a índice común para poder dividir: m.c.m(3,2)=6

a2

a34= a2

a34

= a2−3

4 = a54

a23

a= a

23

a12

= a23−12 = a

16

32:24:2 = 3

212:618:6 = 223

57:714:7 = 5

36:33:3 = 32

3, 155 , 22010

3, 155 , 22010 = 3510 , 15210 , 22010 = 24310 , 22510 , 22010

22010 < 155 < 3

5, 183 , 494 , 3006

5, 183 , 494 , 3006 = 5612 , 18412 , 49312 , 300212 = 1562512 , 10497612 , 11764912 , 9000012

5 < 3006 < 183 < 494

8 = 23 =2 2

813 = 343 = 3 33

274

= 33

22 = 3 32

72 = 23 ⋅32 =2⋅3 2 =6 2

a7 ⋅b124 = a ⋅b3 a34

a7 ⋅b12

c15= a3 ⋅b6

c7ac

5 5 = 52 ⋅5 = 53

2 ⋅ 223

2 ⋅ 223 = 236 ⋅ 246 = 23 ⋅246 = 276

43 : 2



39

d)

Reducimos a índice común para poder dividir: m.c.m(4,6)=12

e)

Reducimos a índice común para poder dividir: m.c.m(6,4)=12

f) Reducimos a índice común para poder multiplicar: m.c.m(2,3,4)=12

g) Reducimos a índice común para poder multiplicar: m.c.m(2,3)=6

h)

Reducimos a índice común para poder dividir: m.c.m(4,3,2)=12

i)

47. Efectúa las siguientes operaciones:

a)

b)

c)

d)

43 : 2 =

22( )26

236= 24

236 = 26

84

46

84

46= 83

4212 =

23( )322( )2

12 = 29

2412 = 2512

276

94

276

94= 272

9312 =

33( )232( )3

12 = 36

3612 = 3012 = 112 =1

2 ⋅ 53 ⋅ 104

2 ⋅ 53 ⋅ 104 = 26 ⋅54 ⋅10312 = 26 ⋅54 ⋅ 2⋅5( )312 = 26 ⋅54 ⋅23 ⋅5312 = 29 ⋅5712

ab ⋅ a2b3

ab ⋅ a2b3 = ab( )3 ⋅ a2b( )26 = a3 ⋅b3 ⋅a4b26 = a7 ⋅b56

a4

a3 ⋅ a

a4

a3 ⋅ a= a3

a4 ⋅a612 = a3

a1012 = 1

a712 = a−712

92

3 :94

3 = 92:94

3 = 9 ⋅42⋅ 9

3 = 42

3 = 23

2 3 +3 2 + 2 −5 3 = 4 2 −3 3

3 2 +5 2 −8 2 = 3+5−8( ) 2 = 0 2 = 0

24 −5 6 + 486 = 23 ⋅3 −5 2⋅3 + 2⋅35 =2 2⋅3 −5 2⋅3 +32 2⋅3 =

=2 6 −5 6 +9 6 = 2−5+9( ) 6 =6 6

163 + 543 − 2503 = 243 + 2⋅333 − 2⋅533 =2 23 +3 23 −5 23 = 2+3−5( ) 23 = 0⋅ 23 = 0



40

e)

f)

48. Calcula, ayudándote del desarrollo de los productos notables:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

49. Escribe bajo un solo radical:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

50. Racionaliza, simplificando cuando se pueda:

a)

b)

c)

23

45 − 32

5 + 56

20 = 23

32 ⋅5 − 32

5 + 56

22 ⋅5 = 2⋅33

⋅5 − 32

5 + 5⋅26

5 = 2⋅33

⋅5 − 32

5 + 5⋅26

5 =

= 2⋅ 3

35 − 3

25 + 5⋅ 2

3⋅ 25 = 2− 3

2+ 53

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

5 = 12−9+106

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

5 = 136

5

2a 3 − 27a2 +a 12 =2a 3 − 33a2 +a 22 ⋅3 =2a 3 −3a 3 +2a 3 = 2a−3a+2a( ) 3 = a 3

2− 3( )2 =22 −2⋅2⋅ 3 + 3( )2 = 4− 4 3 +3= 7− 4 3

2 +2 3( )2 = 2( )2 +2⋅ 2 ⋅2 3 + 2 3( )2 = 2( )2 +2⋅ 2 ⋅2 3 + 2 3( )2 =2+ 4 6 +12=14+ 4 6

( 5 +1)⋅ 5 −1( ) = 5( )2 −12 = 5−1= 4

3 2 −2 3( )2 = 3 2( )2 −2⋅3 2 ⋅2 3 + 2 3( )2 =18−12 6 +12= 30−12 6

2 3 −3( )2 = 2 3( )2 −2⋅2 3 ⋅3+32 =12−12 3 +9=21−12 3

(2 2 + 3)⋅ 2 2 − 3( ) = 2 2( )2 − 3( )2 = 8−3= 5

8 = 84

2 2 = 22 ⋅2 = 84

7 = 78

5

15

43 = 54

543 = 5312 = 53:312:3 = 54

a 1

a= a2

a== a4

2 2233

256= 23 ⋅2233

256= 259

256= 210

21518 = 1

2518

3

3= 3

3⋅ 3

3= 3 3

3= 3

3

2 6= 3

2 6⋅ 6

6= 182⋅6

= 2⋅32

12= 3 2

12=:3 2

4

2+ 2

2 10=

2+ 2( )2 10

⋅ 10

10= 2 10 + 2 ⋅ 10

2 10 ⋅ 10= 2 10 + 20

2⋅10= 2 10 +2 5

20=2 10 + 5( )

20=:2 10 + 5

10



41

d)

e)

f)

51. Racionaliza, simplificando cuando sea posible:

a)

b)

c)

Logaritmo de un número 52. Aplicando la definición de logaritmo, calcula: a)

b)

c)

d)

e)

f)

53. Calcula los siguientes valores de k: F

a)

Como k es la base, k>0 Þ

10

23= 10

23⋅ 223

223= 10 223

233= 10 223

2=:2

5 223 = 5 43

21

734= 21

734⋅ 74

74= 21 74

744= 21 74

7=:7

3 74

45 123 = 4

5 123 ⋅ 1223

1223= 4 ⋅ 1223

5 1233=

4 ⋅ 22 ⋅3( )23

5 ⋅12= 4 ⋅ 24 ⋅323

60= 4 ⋅2 ⋅ 2 ⋅323

60=:4 2 ⋅ 2 ⋅323

15= 2 ⋅ 183

15

2

2 −1= 2

2 −1( ) ⋅2 +1( )2 +1( ) =

2 2 +2

2( )2 −12= 2 2 +2

2−1= 2 2 +2

1=2 2 +2

10

3 + 2= 10

3 + 2( ) ⋅3 − 2( )3 − 2( ) =

10 3 − 2( )3( )2 − 2( )2

=10 3 − 2( )

3−2=10 3 −10 2

2 −2

2+ 2=

2 −2( )2 +2( ) ⋅

2 −2( )2 −2( ) =

2 −2( )22( )2 −22

=2( )2 −2⋅ 2 ⋅2+22

2− 4= 2− 4 2 + 4

−2= 6− 4 2

−2=

=2⋅ 3−2 2( )

−2= − 3−2 2( )= −3+2 2

log216 = x⇔2x =16⇔2x =24 ⇔ x = 4

log22= x⇔2x =2⇔ x =1

log464= x⇔ 4x =64⇔ 4x = 43 ⇔ x = 3

loga1= x⇔ ax =1⇔ x = 0

log1

5

5= x⇔ 15

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x

= 5⇔ 5−1( )x = 5⇔ 5− x = 5⇔−x =1⇔ x = −1

log49 7= x⇔ 49x = 7⇔ 72( )x = 7⇔ 72x = 7⇔2x =1⇔ x = 1

2

logk16 = −2⇔ k−2 =16⇔ 1

k2=16⇔ 1

16= k2 ⇔ ± 1

16= k

116

= k⇔ 14= k



42

b)

c)

d)

Elevando al cuadrado obtenemos:

e)

f) 54. Si log4=a, aplicando las propiedades de los logaritmos, calcula en función de a: a)

b)

c)

d)

e)

f)

55. Simplifica las siguientes expresiones , escribiendo el resultado final como un solo logaritmo: a)

b)

c)

d)

e)

f)

56. Si log R=r, log S=s y log T=t, escribe las siguientes expresiones en función de r, s y t: a)

b)

log7 343= k⇔ 7k = 343⇔ 7k = 73 ⇔ k = 3

log2 k = −3⇔2−3 = k⇔ 1

8= k

logk 25 = − 1

2⇔k

− 12 = 25⇔ 1

k= 25⇔ 1

25= k

125

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= k( )2⇔ 1

625=k

log1

3

k = −2⇔ 13

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−2

= k⇔ 32 = k⇔ 9= k

logk 25= 3⇔ k3 =25⇔ k = 253

log16 = log42 =2log4=2a

log40= log 4⋅10( ) = log4+ log10= a+1

log0,25= log 25

100⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= log 1

4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= log1− log4= 0−a = −a

log2= 2log2

2= log2

2

2= log4

2= a2

log5= log10

2= log10− log2=

(d )1− a

2

log 2 = log2

12 = 1

2log2=

(d )

12⋅a2= a4

2log3+5log7= log32 + log75 = log 32 ⋅75( )

2log3−3log2= log32 − log23 = log3

2

23= log9

8

12log6 4+ log6 3= log6 4

12 + log6 3= log6 4 + log6 3= log62+ log6 3= log6 2⋅3( ) = log66 =1

13

log 127

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = log 1

27⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

13= log 1

273 = log 1

3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3− log2+2log5= log103 − log2+ log52 = log1000⋅25

2= log12500

2+ 1

2loga2− loga5= loga a

2 + loga212 − loga5= loga a

2 + loga 2 − loga5= loga

a2 25

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

log(RS2 )= logR+ logS2 = logR+2logS = r +2s

log

RST 2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= logR+ logS − logT 2 = logR+ logS −2logT = r + s−2t



43

c)

d)

57. Con ayuda de la tecla log o la tecla ln de tu calculadora averigua el valor de los siguientes logaritmos:

a)

Si lo hacemos con la tecla log Þ

b)

c)

d)

Problemas 58. ¿Verdadero o Falso? Explica la respuesta. Pon ejemplo si es necesario. a) Todo número real es racional.

Falso. Por ejemplo es un número real, pero no es racional. b) Todo número natural es entero. Verdadero. El conjunto de los números natuale está contenido en los enteros. ( ). Por ejemplo 2 es un número natural y también es entero. c) Todo número entero es racional. Verdadero. El conjunto de los números enteros está contenido en los números racionales. ( ) d) Todo número real es irracional.

Falso. Los números racionales son reales pero no son irracionales. Por ejemplo: es un número

real pero no es irracional. e) Todo número decimal es racional. Falso. Hay números decimales con infinitas cifras no periódicas que no son racionales. Por ejemplo 1,23456789101112…; 1,01001000100001…, … 59. Busca un ejemplo de dos números irracionales cuya suma no sea irracional.

Por ejemplo y son dos números irracionales cuya suma es: , que es un número natural y, por tanto, no es irracional. 60. La aproximación de a lo largo de la historia ha sido variada. En el papiro de Rhind (1800 a.C.)

aparece con un valor de . Árquimedes (s.III a.C.) dio un valor entre y . Claudio Ptolomeo (sII

d.C.) dio un valor de . Da una cota del porcentaje de error cometido en cada caso.

log

R2S3

T

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= logR2 + logS3 − log T =2logR+3logS − logT

12 =2logR+3logS − 1

2logT =2r +3s− 1

2t

log R 23 S4

T 3

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = log R 23 + log S4 − log T 3 = logR

23 + logS

14 − logT

32 = 2

3logR + 1

4logS − 3

2logT = 2

3r + 1

4s − 3

2t

log2100=

ln100ln2

=6,64385619...

log2100=

log100log2

=6,64385619...

log35=

log5log3

=1,464973521...

log5 40=

ln40ln5

=2,292029674...

log714=

log14log7

=1,356207187...

2

!⊂"

!⊂"

1,2= 12

10= 65

2 1− 2 2 +1− 2 =1

π

25681

22371

227

377120



44

Papiro de Rhind:

El valor aproximado es y el error absoluto cometido es:

El error relativo:

Arquímedes:

Aproximación por defecto:


El error relativo:

Aproximación por exceso:


El error relativo:

Ptolomeo:


El error relativo:

61. Desde su compra, un coche se devalúa un 5% de su valor cada año. ¿qué porcentaje se habrá devaluado después de 10 años? Si me compré un coche hace 10 años que me costó 15000€, ¿cuál será su precio actual de venta? Si un coche se devalúa un 5% cada año, esto quiere decir que su precio pasa del 100% al (100–5)%=95%. Si llamamos al índice de variación anual, entonces .

1–0,598737=0,401263 0,401263 · 100 = 40,1263

25681

≈ 3,160493827

Vaprox = 3,160493827

Ea = π − 3,160493827 ≈ 0,01890117736

Er =0,01890117736

π≈ 0,0060164304

100 ⋅Er ≈ 0,60%

22371

≈ 3,14084507

Vaprox = 3,14084507

Ea = π − 3,14084507 ≈ 0,0007475835898

Er =0,0007475835898

π≈ 0,0002379632474

100 ⋅Er ≈ 0,024%

227≈ 3,142857143

Vaprox = 3,142857143

Ea = π − 3,142857143 ≈ 0,0012644894...

Er =0,0012644894

π≈ 0,0004024994802

100 ⋅Er ≈ 0,041%

377120

≈ 3,141⌢6

Vaprox = 3,141⌢6

Ea = π − 3,141⌢6 ≈ 0,0000740130769

Er =0,0000740130769

π≈ 0,00002355909408

100 ⋅Er ≈ 0,0024%

IVi = 0,95

IV = IV1 ⋅IV2 ⋅IV3 ⋅ ! ⋅IV10 = (0,95)10 ≈ 0,598737



45

Respuesta. Se habrá devaluado un 40% aproximadamente El precio final del coche despues de 10 años será: Por lo tanto el precio de venta actual será de 8 981,06€ 62. Juan necesita 12000€ para comprarse un coche. Tiene ahorrados 9000€. El banco le ofrece ingresarlos y le da un interés simple del 6% anual. ¿Cuántos meses tiene que tener los ahorros para en el banco para poder comprarse el coche? Como el periodo de amortización es en meses à Un año tiene 12 meses. Por lo tanto la fórmula nos queda:

Sustituyendo:

Para calcular el número de periodos hay que despejar t:

Tomando logaritmos en ambos miembros:

Respuesta: Tendrán que pasar 58 meses. 63. Al ingresar 9000€ en un banco durante dos años, obtenemos un capital final de 9809,42€. ¿Qué rédito nos da el banco si el interés es compuesto? Ayúdate de las propiedades de los logaritmos. Como el periodo de amortización es en años, la fórmula es:

Sustituyendo:

Operamos para despejar r:

Sacamos raíz cuadrada:

Por lo tanto el rédito que nos da el banco es del 4,4% proximadamente. 64. Una población de ratones, en condiciones favorables, se duplica cada semana. Suponiendo que la población tiene actualmente 10 ratones averigua: a) ¿Cuántos ratones habrá dentro de 2 semanas? b) ¿Y dentro de 5 semanas?

CF =CI ⋅IV =15000⋅0,598737= 8981,055

Ct = CI ⋅ 1+ r

100 ⋅12⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

t

12000 = 9000 ⋅ 1+ 6

100 ⋅12⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

t

12000 = 9000 ⋅ 1+ 6

100 ⋅12⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

t

⇔ 120009000

= 1,005( )t⇔ 4

3= 1,005( )t

log

43= log 1,005( )t

⇔ log43= t ⋅ log1,005⇔

log43

log1,005= t ⇔ t ≈ 57,68

Ct = CI ⋅ 1+ r

100⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

t

9809,42 = 9000 ⋅ 1+ r

100⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

9809,42 = 9000 ⋅ 1+ r

100⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

⇔ 9809,429000

= 1+ r100

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

⇔ 9809,429000

= 1+ r100

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= 1,08993⌢5 ≈1,09 = 1+ r

100⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

1,09 = 1+ r

100⇔1,044 = 1+ r

100⇔ 0,044 = r

100⇔ 4,4 = r



46

c) ¿Cuántos habrá en 20 semanas? d) ¿Cuántas semanas han de pasar para que la población supere los 1000 individuos? Si la población se duplica cada semana, esto quiere decir que el Índice da variación semanal es:

a) Después de dos semanas Respuesta: Habrá 40 ratones.

b) Después de cinco semanas Respuesta: Habrá 320 ratones.

c) Transcurridas 20 semanas: Respuesta: Habrá, aproximadamente diez

millones y medio de ratones.

d) Para que la población supere los 1000 individuos:

Resolvemos la ecuación exponencial Tomamos logaritmos para despejar n=número de semanas:

Por lo tanto han de pasar, al menos, 7 semanas para que la población supere los 1000 individuos.

IV =2

CF =CI ⋅IV1 ⋅IV2 =10⋅2

2 = 40

CF =CI ⋅ IV( )5 =10⋅25 = 320

CF =CI ⋅ IV( )20 =10⋅220 =10485760

CF =CI ⋅ IV( )n =10⋅2n =1000

10⋅2n =1000⇔2n =100

2n =100⇔ log 2n( ) = log 100( )⇔ nlog2=2⇔ n= 2

log2≈6,643856...



47

DESAFÍO PISA - PÁG. 32

Desafío PISA: Apartamento turístico Cristina ha encontrado este apartamento turístico a la venta en Internet. Está pensando en comprarlo para así alquilarlo a los turistas.

Nº Habitaciones 1 salón, 1 dormitorio, 1 baño

Precio: 200 000 zeds

Superficie 60 m2 Plaza de garaje Sí Tiempo al centro de ciudad 10 minutos Distancia a la playa 350 m Ocupación media en los últimos 10 años

315 días al año

Pregunta 1: Para tasar el precio del apartamento turístico Cristina ha solicitado la valoración de un experto. Para calcular el valor de un apartamento turístico, el experto utiliza los siguientes criterios:

Precio por m2 Precio base: 2500 zeds/m2 Criterios de valor adicionales

Tiempo de viaje al centro de la ciudad

Más de 15 minutos: +0 zeds

De 5 a 15 minutos: +10 000 zeds

Menos de 5 minutos: + 20 000 zeds

Distancia a la playa

Más de 2 km: +0 zeds

De 1 a 2 km: +5000 zeds

De 0,5 a 1 km: +10 000 zeds

Menos de 0,5 km: + 15 000 zeds

Plaza de garaje

No + 0zeds

Sí + 35 000 zeds

Si el valor calculado por el experto es superior al precio de venta anunciado, se considera que el precio es «muy bueno» para Cristina como compradora potencial. Demuestra que, según los criterios del experto, el precio de venta ofertado es «muy bueno» para Cristina. Vamos a calcular el valor según los criterios del experto.

• 60 m2 a un precio de 2500 zeds hacen un total de 60x2500=150000 zeds • Distancia al centro de la ciudad 10 min à Hay que añadir 10000 zeds • Distancia a la palaya 350 m à Añadimos 15000 zeds • Plaza de garaje à Añadimos otros 35000 zeds

Según el experto el precio del apartamento turístico es de 210 000 zeds. Como el precio de venta es de 200 000 zeds, que es menor que el del experto, es un “muy buen” precio para Cristina. Pregunta 2: Cristina tenía un dinero ahorrado pero para la compra del apartamento tiene que pedir un préstamo de 100 000 zeds. El banco central de Zedlandia le ofrece una hipoteca al 1,79% de interés anual, a pagar en cuotas mensuales de 510,15 zeds. Completa la tabla de amortización del préstamo de los 4 primeros meses:



48

Préstamo Cuota Intereses pagados Capital

amortizado Capital pendiente

Mes 1 100 000 510,15 510,15–149,17= 360,98 100 000 – 360,98= 99639,02

Mes 2 99639,02 510,15 510,15–148,63= 361,52 99639,02 – 361,52=99277,50

Mes 3 99277,50 510,15 510,15–148,09= 362,06 99277,50 – 362,06=98915,44

Mes 4 98915,44 510,15 510,15–147,55= 362,60 98915,44 – 362,60=98552,84

AUTOEVALUACIÓN - PÁG. 33

TESTDEEVALUACIÓN1. Indica todos los conjuntos de números a los que

pertenece:

a) N, Z, Q, ℝ c) ℚ, ℝ b)N, Z, Q d) N, Z

2. ¿Qué número representa el punto A de la imagen?

a) c) b) d)

3. Sean A=[-5,3] y B=(-2,6]. Indica cuál de los siguientes intervalos se corresponde con el conjunto: a) c) b) d)

4. Expresa de la forma :

a) b) –6 c) d)

5. Si un artículo de 1€ primero se rebaja un 25% y después se aumenta un 25%, cuesta:

a) 1€ b) 0,98€ c) 0,94€ d) 1,02€

6. Escribe de la forma :

a) b) c) d) 7. Calcula, usando las propiedades de radicales, y

simplifica el resultado:

a) b) c) d) 8. Cuál de las siguientes igualdades es falsa:

a)

b) c) d)

100000·

0,017912

=149,17

99639,02·

0,017912

=148,63

99277,50·

0,017912

=148,09

98915,44·

0,017912

=147,55

−2−1 = − 1

2

5 7

6 8

A∩B

−2,3( ) −2,3[ ] −2,3( ] −2,3[ )

66

(−6)−5 ab

611 6−11 −611

a2

a23 ax

a12 a

32 a

43 a

83

27 − 3 + 192 −2 12

6 3 −6 3 3 − 3

log 1

2

8= −3

logx + log10= log10x

log10x − logx = 1

log 1

2

4 = 2

solucionario matemÁticas acadÉmicas 4º eso - editex.es · matemáticas 4º eso académicas...

Documents