solucionario e.d hom. no hom laplace etc

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Ecuaciones Diferencialesespinoza ramostemas:E. D. L. Homogneas de Coeficientes Constantes. E.D.L. No Homogneas de Coeficientes Constates. Sistema de Ecuaciones Diferencias de Coeficientes Constantes. La Transformada de Laplace. Aplicaciones de la Transformada de Laplace.

Flores Palomino, Rene

Flores Palomino, Rene

E CUACIONES DIFERENCIALES

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN n1.

d2y dy 3 2y ! 0 2 dx dxRESOLUCIN El polinomio caracterstico, correspondiente a la ecuacin diferencial: d2y dy 3 2y ! 0 2 dx dx 2 P t ! t 3t 2 ! t 2 t 1 ! 0 De donde: t ! 1, t ! 2 Luego el sistema fundamental de soluciones: y ! c1e x c2 e 2 x Rpta: y ! c1e x c2 e 2 x d2y dy 4 4y ! 0 2 dx dx RESOLUCIN El polinomio caracterstico, correspondiente a la ecuacin diferencial: d2 y dy 4 4y ! 0 2 dx dx P t ! t 2 4t 4 ! t 2 ! 0 De donde: t ! 2 de multiplicidad 2 Luego el sistema fundamental de soluciones: y ! c1e2 x c2 xe2 x ! e2 x c1 c2 x Rpta: y ! e 2 x c1 c2 x 2

2.

3.

d2y y!0 dx 2RESOLUCIN El polinomio caracterstico, correspondiente a la ecuacin diferencial:

DOC

R

:

M RC

DIVAR

INGENIER A DE SISTEMAS

Flores Palomino, Rene

E CUACIONES DIFERENCIALES

d2y dy 4 4y ! 0 2 dx dx 2 P t ! t 1 ! 0De donde: t ! i, t ! i Luego el sistema fundamental de soluciones:

y ! c1 cos x c2 sen xRpta: y ! c1 cos x c2 sen x4.

d y dy y!0 dx 2 dxRESOLUCIN El polinomio caracterstico, correspondiente a la ecuacin diferencial: d 2 y dy y!0 dx 2 dx t ! t 2 t 1 ! 0 1 3 1 3 De donde: t ! i, t ! i 2 2 2 2 Luego el sistema fundamental de soluciones: x x 3 3 2 2 y ! c1e cos x c2 e sen x 2 2 x 3 3 y ! e 2 c1 cos x c2 sen x 2 2 x 3 3 Rpta: e 2 c1 cos x c2 sen x 2 2

2

5.

d2y dy 2 2y ! 0 2 dx dxRESOLUCIN El polinomio caracterstico, correspondiente a la ecuacin diferencial: d2y dy 2 2y ! 0 2 dx dx 2 P t ! t 2t 2 ! 0

t ! 1 i De donde: t ! 1 i, Luego el sistema fundamental de soluciones: y ! c1e x cos x c2 e x sen xy ! e x c1 cos x c2 sen x

DOCENTE: ING. ELMER C

IYAURI

SALDIVAR

INGENIER A DE SISTEMAS

Flores Palomino,Rene

E CUACIONES DIFERENCIALES

Rpta: e x c1 cos x c2 sen x 6. y ''' 2 y '' y ' 2 y ! 0

RESOLUCIN El polinomio caracterstico, correspondiente a la ecuacin diferencial: y ''' 2 y '' y ' 2 y ! 0

t ! t 3 2t 2 t 2 ! t 1t 1t 2 ! 0De donde: t ! 1, t ! 1, t ! 2 Luego el sistema fundamental de soluciones: y ! c1e x c2 e x c3 e2 x Rpta: y ! c1e x c2 e x c3 e2 x7.

y ''' 3 y '' 3 y ' y ! 0RESOLUCIN

y ''' 3 y '' 3 y ' y ! 0 Ecuacin irresoluble excepto si: y ''' 3 y '' 3y ' y ! 0 El polinomio caracterstico, correspondiente a la ecuacin diferencial:y ''' 3 y '' 3 y ' y ! 0 P t ! t 3 3t 2 3t 1 ! t 1t 2 4t 1! 0

De donde: t ! 1, t ! 2 3, t ! 2 3 Luego el sistema fundamental de soluciones: 2 3 x 2 3 x c3 e y ! c1e x c2 e 2 3 x 2 3 x Rpta: y ! c1e x c2 e c3 e 8. y ''' y '' y ' y ! 0

RESOLUCIN El polinomio caracterstico, correspondiente a la ecuacin diferencial: y ''' y '' y ' y ! 0

P t ! t 3 t 2 t 1 ! t 1t 2 1! 0De donde: t ! 1, t ! i, t ! i Luego el sistema fundamental de soluciones:

DOCENTE: ING. ELMER C

UQUIYAURI

SALDIVAR

INGENIER A DE SISTEMAS

Flores Palomino,Reney ! c1e x c2 cos x c3 sen x

E CUACIONES DIFERENCIALES

Rpta: y ! c1e x c2 cos x c3 sen x9. y ''' y ! 0

RESOLUCIN El polinomio caracterstico, correspondiente a la ecuacin diferencial: y ''' y ! 0

P t ! t 3 1 ! t 1t 2 t 1! 0 1 3 1 3 t! i, t ! i 2 2 2 2 Luego el sistema fundamental de soluciones: x x 3 3 y ! c1e x c2 e 2 cos x c3 e 2 sen x 2 2 x 3 3 x 2 y ! c1e e c2 cos x c3 sen x 2 2 x 3 3 Rpta: y ! c1e x e 2 c2 cos x c3 sen x 2 2 De donde: t ! 1,10. y y ! 0iv

RESOLUCIN El polinomio caracterstico, correspondiente a la ecuacin diferencial: y iv y ! 0

P t ! t 4 1 ! t 1t 1t 2 1! 0De donde: t ! 1, t ! 1, t ! i, t ! i Luego el sistema fundamental de soluciones: y ! c1e x c2 e x c3 cos x c4 sen x Rpta: y ! c1e x c2 e x c3 cos x c4 sen x11. y y ''' 6 y '' 4y ' y ! 0iv

RESOLUCIN El polinomio caracterstico, correspondiente a la ecuacin diferencial:

!

DOCENTE: ING. ELMER C

UQUIYAURI

SALDIVAR

INGENIER A DE SISTEMAS

"

Flores Palomino,Reney iv 4 y ''' 6 y '' 4 y ' y ! 0 P t ! t 4 4t 3 6t 2 4t 1 ! t 1 ! 0De donde: t ! 1 de multiplicidad 4 Luego el sistema fundamental de soluciones: y ! c1e x c2 xe x c3 x 2 e x c4 x3 ex y ! e x c1 c2 x c3 x 2 c4 x3 4

E CUACIONES DIFERENCIALES

Rpta: y ! e x c1 c2 x c3 x 2 c4 x 3 12. 6 y ''' y '' 6 y ' y ! 0

RESOLUCIN El polinomio caracterstico, correspondiente a la ecuacin diferencial: 6 y ''' y '' 6 y ' y ! 0

1 6 Luego el sistema fundamental de soluciones:De donde: t ! 1,

13. y ''' y '' 3y ' y ! 0

RESOLUCIN El polinomio caracterstico, correspondiente a la ecuacin diferencial: y ''' y '' 3 y ' y ! 0

De donde: t ! 1, t ! 1 2, t ! 1 2 Luego el sistema fundamental de soluciones: 1 2 x 1 2 x c3 e y ! c1e x c2 e 1 2 x c e1 2 x Rpta: y ! c1e x c2 e 314. y y ! 0vi

RESOLUCIN

#

DOCENTE: ING. ELMER C

UQUIYAURI

SALDIVAR

INGENIER A DE SISTEMAS

$

%

t ! 6t 3 t 2 6t 1 ! t 1t 16t 1 ! 0t ! 1,x

t!

y ! c1e x c2 e x c3 e 6

Rpta: y ! c1e x c2 e x c3 e 6

x

P t ! t 3 t 2 3t 1 ! t 1t 2 2t 1! 0

Flores Palomino,Rene

E CUACIONES DIFERENCIALES

El polinomio caracterstico, correspondiente a la ecuacin diferencial: y vi y ! 0(15. 16.

t ! t 6 1 ! t 1t 2 t 1t 1t 2 t 1! 0

1 3 1 3 1 3 1 3 t! i, t! i, t! i, t! i 2 2 2 2 2 2 2 2 Luego el sistema fundamental de soluciones: x x 3 3 2 3 3 y ! c1e x c2 e x e 2 c3 cos x c4 sen x e c5 cos x c6 sen x 2 2 2 2 De donde: t ! 1, Rpta:x 3 3 2 3 3 y ! c1e x c2 e x e c3 cos x c4 sen x e c5 cos x c6 sen x 2 2 2 2 x 2

d3 y d2 y dy 2 2 3 ! 0 3 dx dx dxRESOLUCIN El polinomio caracterstico, correspondiente a la ecuacin diferencial: d3 y d2 y dy 2 2 3 ! 0 3 dx dx dx

P t ! t 3 2t 2 3t ! t t 2 2t 3! 0De donde: t ! 0, t ! 3, t ! 1 Luego el sistema fundamental de soluciones: y ! c1 c2 e x c3e 3 x Rpta: y ! c1 c2 e x c3e 3 x

d3 y d2 y dy 4 2 4 !0 3 dx dx dxRESOLUCIN El polinomio caracterstico, correspondiente a la ecuacin diferencial: d3 y d2 y dy 4 2 4 !0 3 dx dx dx De donde: t ! 2, de multiplicidad 2; t ! 0, Luego el sistema fundamental de soluciones:)

t ! t 3 4t 2 4t ! t t 2

2

!0

&

DOCENTE: ING. ELMER C

UQUIYAURI

SALDIVAR

INGENIER A DE SISTEMAS

'

E CUACIONES DIFERENCIALES

y ! c1 c2 e 2 x c3 xe2 x y ! c1 e 2 x c2 c3 x

Rpta: y ! c1 e2 x c2 c3 x

d4 y !y 17. dx 4RESOLUCIN El polinomio caracterstico, correspondiente a la ecuacin diferencial: d4 y y!0 dx 4

P t ! t 4 1 ! t 1t 1t 2 1! 0De donde: t ! 1, t ! 1, t ! i, t ! i Luego el sistema fundamental de soluciones: y ! c1e x c2 e x c3 cos x c4 sen x Rpta: y ! c1e x c2 e x c3 cos x c4 sen x

18.

d4 y d2y 2 2 y!0 dx 4 dxRESOLUCIN El polinomio caracterstico, correspondiente a la ecuacin diferencial: d4 y d2 y 2 2 y !0 dx 4 dx

t ! t 4 2t 2 1 ! t 2 1

2

De donde: t ! i, de multiplicidad 2, t ! i de multiplicidad 2 Luego el sistema fundamental de soluciones: y ! c1 cos x c2 sen x c3 x cos x c4 x sen x y ! c1 c3 x cos x c2 c4 x sen x Rpta: y ! c1 c3 x cos x c2 c4 x sen x

19.

RESOLUCIN

0

DOCENTE: ING. ELMER C

UQUIYAURI

SALDIVAR

INGENIER A DE SISTEMAS

1

2

!0

d4 y d2 y 3 2 4y ! 0 dx 4 dx

E CUACIONES DIFERENCIALES

El polinomio caracterstico, correspondiente a la ecuacin diferencial: d4 y d2 y 3 2 4y ! 0 dx 4 dx De donde: t ! 1, t ! 1, t ! 2i, t ! 2i Luego el sistema fundamental de soluciones: y ! c1e x c2 e x c3 cos 2 x c4 sen 2 x Rpta: y ! c1e x c2 e x c3 cos 2 x c4 sen 2 x520. 21. 2

t ! t 4 3t 2 4 ! t 1t 1t 2 4 ! 0

d4 y d3 y d2 y 2 3 2 !0 dx 4 dx dxRESOLUCIN El polinomio caracterstico, correspondiente a la ecuacin diferencial: d4 y d3 y d2 y 2 3 2 !0 dx 4 dx dx

!0 De donde: t ! 0, de multiplicidad 2, t ! 1, de multiplicidad 2 Luego el sistema fundamental de soluciones:y ! c1 c2 x c3e x c4 xe x y ! c1 c2 x c3 c4 x e x

RESOLUCIN El polinomio caracterstico, correspondiente a la ecuacin diferencial: d3y d2y dy 2 3 2 2 y!0 dx dx dx 3 2 P t ! 2t t 2t 1 ! t 1t 12t 1 ! 0 De donde: t ! 1,

Luego el sistema fundamental de soluciones:3

DOCENTE: ING. ELMER C

UQUIYAURI

SALDIVAR

INGENIER A DE SISTEMAS

4

6

t ! t 4 2t 3 t 2 ! t 2 t 1

2

Rpta: y ! c1 c2 x c3 c4 x e x

d3y d2y dy 2 2 y !0 3 dx dx dx

t ! 1, t !

1 2

E CUACIONES DIFERENCIALES

x

y ! c1e x c2 e x c3 e 2Rpta: y ! c1e x c2 e x c3 e 2x

d3y d2y 22. 2 3 7 2 2 y ! 0 dx dxRESOLUCIN El polinomio caracterstico, correspondiente a la ecuacin diferencial: d3y d2y 2 3 7 2 2y ! 0 dx dx923.

t ! 2t 3 7t 2 2 ! t 2 2t 2 4t 1! 0t ! 1

2 2 , t ! 1 2 2 Luego el sistema fundamental de soluciones:De donde: t ! 2, y ! c1e2 x

c2 e

2 1 x 2

c3 e

2 1 x 2 2 1 x 2 2 1 x 2

Rpta: y ! c1e

2 x

c2 e

c3 e

d4 y d2 y 1