Solucionario del balotario de control I1 Mencione cules son los parmetros en el dominio del tiempo y muestregrfca y detalladamente la respuesta de un sistema de primer ordenante unescaln unitario, una rampa y un impulsoEscaln unitarioComo la transformada de Laplace de la funcin escaln unitario es 1/s, sustituyendo R(s)1/s!i se desarrolla C(s) en fracciones simples se o"tiene!i se toma la transformada in#ersa de Laplace de la $cuacin se o"tiene%&lantea 'ue la salida c(t) es inicialmente cero y al fnal se #uel#e unitaria( )na caracter*stica importante de tal cur#a de respuesta e+ponencial c(t) es 'ue, para t ,-, el #alor de c(t) es .(/01, o 'ue la respuesta c(t) alcan2 /0(1, de sucam"io total( $sto se aprecia con facilidad sustituyendo t ,- en c(t)( $s decir3"s4r#ese 'ue, conforme ms pe'ue5a es la constante de tiempo -, ms rpida es la respuesta del sistema( 3tra caracter*stica importante de la cur#a de respuesta e+ponencial es 'ue la pendiente de la l*nea de tangente en t, . es 1/-, ya 'ueLa salida alcan2ar el #alor fnal en t- si mantu#iera su #elocidad de respuesta inicial( 6 partir de la $cuacin (789) se o"ser#a 'ue la pendiente de la cur#a de respuesta c(t) disminuye de forma montona de 1/- en t . a cero en t ( La cur#a de respuesta e+ponencial c(t) o"tenida mediante la $cuacin (780) aparece en la :igura 781( $n una constante de tiempo, la cur#a de respuesta e+ponencial ;a ido de . a /0(1, del #alor fnal( $n dos constantes detiempo, la respuesta alcan2a 6 u(t)se5al de entradam1masa 1m1masa 1 +(t)despla2amiento de la masa m1 y(t)despla2amiento de la masa m1 A1 resorte A1resorte " Coefciente de amortiguacin y(t)se5al de salida/ Muestrelamaneracomoseo"tienelafuncindetransferenciadelsiguiente circuito el4ctrico%&L6?-6L$@$?>6 R1Resistencia () R1Resistencia () C1Condensador (:) C1 Condensador (:) ei -ensin de entrada (E) eo-ensin de salida (E) i1 corriente (6) i1 corriente (6) Solucin al ejercicioF GHu4 forma tiene el diagrama de Iode del circuito anteriorJonde los coefcientes son cantidades reales( !e supone 'ue es decir, se elimina cual'uier ra*2 cero(!i alguno de los coefcientes es cero o negati#o, ante la presencia de al menos un coefciente positi#o, ;ay una ra*2 o ra*ces imaginarias o 'ue tienen partes reales positi#as( $n tal caso, el sistema no es esta"le( !i slo interesa la esta"ilidad a"soluta, no es necesario continuar con el procedimiento( 3"s4r#ese 'ue todos los coefcientes de"en ser positi#os( $sta es una condicin necesaria, como se aprecia a partir del argumento siguiente( )n polinomio en s con coefcientes reales siempre puede factori2arse en factores lineales y cuadrticos tales como (sKa) y(s 1K"s Kc), donde a, " y c son nLmeros reales( Los factores lineales producen las ra*ces reales y los factores cuadrticos producen las ra*ces compleMas del polinomio( $l factor (s 1K "sKc) produce las ra*ces con partes reales negati#as slo si " y c son am"as positi#as( &ara todas las ra*ces 'ue tienen partes reales negati#as, las constantes a, ", c,((( de"en ser positi#as en todos los factores( $l producto de cual'uier cantidad de factores lineales y cuadrticos 'ue contengan slo coefcientes positi#os siempre produce un polinomio con coefcientes positi#os( $s importante se5alar 'ue la condicin de 'ue todos los coefcientes sean positi#os no es sufciente para asegurar la esta"ilidad(!i todos los coefcientes son positi#os, se ordenan los coefcientes del polinomio en flas y columnas de acuerdo con el patrn siguiente%$l proceso de formar flas continLa ;asta 'ue no 'uedan ms elementos( ($l nLmero total de flas es n K1() Los coefcientes "1, "1, "0, etc(, se e#alLan del modo siguiente%La e#aluacin de las " continLa ;asta 'ue todas las restantes son cero( !e sigue el mismo patrn de multiplicacin cru2ada de los coefcientes de las dos flas anteriores al e#aluar las c, las d, las e, etc( $s decir,$ste proceso continLa ;asta 'ue se completa la n84sima fla( $l array completo de los coefcientes es triangular( 3"s4r#ese 'ue, al desarrollar el array, una fla completa se di#ide entre, o se multiplica por, un nLmero positi#o para simplifcar el clculo num4rico su"secuente sin alterar la conclusin de la esta"ilidad(10 En que consiste el criterio de Nyquist$l criterio de esta"ilidad de ?y'uist determina la esta"ilidad de un sistema en la2o cerrado a partir de la respuesta en frecuencia en la2o a"ierto y los polos en la2o a"ierto( $sta seccin presenta el criterio de esta"ilidad de ?y'uist y su "ase matemtica( Consid4rese el sistema en la2o cerradoLa funcin de transferencia en la2o cerrado es&ara la esta"ilidad, todas las ra*ces de la ecuacin caracter*sticade"en estar en el semiplano i2'uierdo del plano s( N!e de"e se5alar 'ue, aun'ue los polos y ceros de la funcin de transferencia en la2o a"ierto O(s)P(s)pueden estar en el semiplano derec;o del plano s, el sistema slo es esta"le si todos los polos de la funcin de transferencia en la2o cerrado (es decir, las ra*ces de la ecuacin caracter*stica) estn en el semiplano i2'uierdo del plano s(Q $l criterio de esta"ilidad de ?y'uist relaciona la respuesta en frecuencia en la2o a"ierto O(Mu)P(Mu) con el nLmero de ceros y polos de 1KO(s)P(s) 'ue se encuentran en el semiplano derec;o del plano s( $ste criterio, o"tenido por P( ?y'uist, es Ltil en la ingenier*a de control, de"ido a 'ue permite determinar grfcamente la esta"ilidad a"soluta del sistema en la2o cerrado a partir de las cur#as de respuesta en frecuencia en la2o a"ierto, sin 'ue sea necesario determinar los polos en la2o cerrado( &ara el anlisis de esta"ilidad se usan tanto las cur#as de respuesta en frecuencia en la2o a"ierto o"tenidas de forma anal*tica como las o"tenidas de forma e+perimental( $sto es con#eniente de"ido a 'ue, al dise5ar un sistema de control, a menudo se desconocen las e+presiones matemticas para algunos de los componentes y slo se cuenta con sus datos de respuesta en frecuencia( $l criterio de esta"ilidad de ?y'uist se "asa en un teorema de la teor*a de la #aria"le compleMa( &ara comprenderlo,se anali2a primero la transformacin de los contornos en el plano compleMo( !e supone 'ue la funcin de transferencia en la2o a"ierto O(s)P(s) se representa como un cociente de polinomios en s( &ara un sistema 'ue puede materiali2arse f*sicamente, el grado del polinomio del denominador de la funcin de transferencia en la2o cerrado de"e ser mayor o igual 'ue el del polinomio del denominador( $sto signifca 'ue el l*mite de O(s)P(s), cuando s tiende a infnito, es cero o una constante para cual'uier sistema 'ue pueda materiali2arse f*sicamente(!e demostrar 'ue para una trayectoria cerrada continua determinada en el plano s, 'ue no pasa por ningLn punto singular, le corresponde una cur#a cerrada en el plano :(s)( $l nLmero y la direccin de los rodeos del origen del plano :(s) para la cur#a cerrada representan una funcin en particular importante en lo 'ue sigue, pues despu4s se correlacionar el nLmero y la direccin de los encierros con la esta"ilidad del sistema( &or eMemplo, consid4rese la siguiente funcin de transferencia en la2o a"ierto%La ecuacin caracter*stica es11 $+pli'ue el m4todo de Riegler (los dos casos) usados para sintoni2ar un controlador &B>(