7/23/2019 Solucion Taller 3 Algebra Relacione Binaria

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Universidad de La Frontera

Facultad de Ingenierıa Ciencias y Administracion

Departamento de Matematica y Estadıstica

Solucion Taller N◦3Algebra (IME006)

Profesores: M. T. Alcalde, R. Benavides, C. Burgueno,M. Carrillo, F. Salazar, A. Sepulveda.

13 de Mayo 2008.

Problema.

En  Z se define la relacion R de la siguiente forma

aRb ⇔  a2 + b2 = 2k, para algun  k  ∈  Z.

1. Demuestre que  R  es una relacion de equivalencia.

2. Determine las clases de equivalencias del 0 y 1

3. Determine el conjunto cuociente Z/R.

Solucion.

1. Debemos mostrar que  R es reflexiva, simetrica y transitiva. En efecto,

a )   Reflexiva.  aRa ⇔  a2 + a2 = 2k,  k  ∈  Z  es verdadera para  k  = a2. Por tanto,  R  esreflexiva.

b)   Simetrıa.  Si  aRb   entonces  a2 + b2 = 2k,  k  ∈  Z, es decir,  b2 + a2 = 2k,  k  ∈  Z, portanto,  bRa. Concluimos que  R  es simetrica.

c )   Transitividad. Si  aRb y  bRc tenemos a2 + b2 = 2k, k  ∈  Z y  b2 + c2 = 2t, t  ∈  Z. Dedonde, a2 + c2 = 2 (k + t − b2), con (k + t − b2) ∈  Z. Es decir,  R  es transitiva.

Por todo lo anterior, concluimos que  R es una relacion de equivalencia.

2. Para las clases de equivalencias tenemos,

a )  Clase del  0.aR0  ⇔  a2 = 2k  con  k  ∈  Z, es decir,  a2 es un numero par, lo que implica que  a  espar. Luego,

cl (0) = {a ∈  Z |   a es par} =  {a ∈  Z |  a = 2t, t ∈  Z}

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b)  Clase del  1.

aR1 ⇔  a2 = 2k − 1 con  k  ∈  Z, es decir,  a2 es un numero impar, lo que implica quea es impar. Luego,

cl (1) = {a ∈ Z

 |   a es impar} =  {a ∈ Z

 |  a  = 2t − 1, t ∈ Z

}

3. Del punto anterior no es difıcil ver que solo hay dos clases de equivalencia, por tanto, elconjunto cuociente es,

Z/R =  cl (0) ∪ cl (1) .

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