Ejercicio 7

Una sinusoide continua en el tiempo x(t) con un perıodo fundamental de Tp =1

F0se muestrea a una frecuencia Fs = 1/T , con el fin de generar una sinusoide

discreta en el tiempo x[n] = x(nT ).

a) Demuestre que x[n] es periodica si T/Tp = k/N (es decir, T/Tp es unnumero racional).

b) Si x[n] es periodica. ¿Cual es su perıodo fundamental Td en segundos?

c) Explique la siguiente afirmacion: x[n] es periodica si su perıodofundamental Td, en segundos, es igual al un numero entero de perıodos dex(t).

Jorge A. Rodrıguez Ejercicios Para el Primer Parcial

Solucion:

a) De una senal periodica cualquiera se sabe que

x[n] = x[n+N ]

cos[2πf0(N + n) + θ] = cos(2πf0n+ θ)

Esta afirmacion es cierta solo si existe un entero k tal que

2πf0N = 2kπ

o lo que es lo mismo

f0 =k

N

por lo tanto

f0 =T

Tp

=k

N

Es decir, la relacion TTp

debe ser un racional.

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b) si x[n] es periodica, luego f0 = k/N donde N es el perıodo. Entonces

Td =

(

k

f0T

)

= k

(

Tp

TT

)

= kTp

Por lo tanto, se necesitan k periodos de la senal continua para obtener unperıodo de la senal discreta.

c) Del anterior punto se puede comprobar facilmente esta afirmacion ya que kes por definicion un numero entero.

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Ejercicio 8

Una senal continua contiene frecuencias hasta 10KHz

1 ¿Cual es el rango de frecuencias de muestreo que permite la construccionexacta de la senal a partir de sus muestras?

2 Suponga que muestreamos esta senal a una frecuencia de muestreoFs = 8KHz. Examine lo que ocurre con la frecuencia F1 = 5KHz.

3 Repita el apartado (b) para una frecuencia F2 = 9KHz.

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Solucion:

1 Segun el criterio de Nyquist la frecuencia debe ser al menos 2 veces mayorque la frecuencia maxima de la senal, es decir

Fs ≥ 2Fmax ⇒ Fs ≥ 20KHz

2 Si Fs = 8KHz se pueden representar senales con una frecuencia maximade Fs/2 = 4KHz por lo tanto la senal de 5KHz es un alias de 3KHz

3 Con F2 = 9KHz es un alias de 1KHz

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