SOLUCIÓN DE LA HIPÓTESIS DE RIEMANN FUNCIÓN ZETA

Elaborado por: DARIO SANABRIA CRUZ Master en administración

Ingeniero en Minas

COLOMBIA BOGOTA, 2007

TABLA DE CONTENIDO

Pág.

1. SOLUCIÓN DE LA HIPÓTESIS DE RIEMANN FUNCIÓN ZETA.......................3 2. HIPÓTESIS DE RIEMANN ......................................................................................5 2.1 NÚMEROS PRIMOS .................................................................................................6 2.2 PRUEBA DE LA HIPÓTESIS ...................................................................................8 2.2.1 Determinación de los ceros no triviales - función simétrica ......................................9 2.2.2 Determinación del valor limite de sigma “σ ” ........................................................24 2.2.3 Solución por planos conjugados...............................................................................25 2.2.4 Determinación de los ceros no triviales – función asimétrica .................................26 2.2.5 Modelamiento de la función zeta ..............................................................................39 2.3 SOLUCIÓN ..............................................................................................................41 2.3.1 Línea critica ..............................................................................................................41 3. CONCLUSIONES ....................................................................................................43 4. BIBLIOGRAFÍA ......................................................................................................44 5. ANEXOS ..................................................................................................................45

1. SOLUCIÓN DE LA HIPÓTESIS DE RIEMANN FUNCIÓN ZETA Introducción Bernhard Riemann (1826 – 1866), matemático alemán trabajo en el análisis geométrico y del plano complejo. Dentro de sus trabajos se destaca la función zeta de Riemann, la cual es objeto de estudio. Después de su muerte se descubrieron trabajos de Riemann (manuscrito, 1859), en el cual se establece la hipótesis sobre la función zeta. La hipótesis manifiesta que todos los ceros no triviales de la función zeta están alineados a una parte real Re = ½ . Como soporte de sus investigaciones matemáticas, en 2002 C.L. Siegel, examinando sus papeles encontró que Riemann había realizado cálculos de los ceros pequeños de la función zeta a varios dígitos decimales. Durante 148 años, la hipótesis a soportado grandes desarrollos matemáticos por expertos en la materia, apoyados con herramientas tecnológicas, pero no se ha podido demostrar su certeza. Lo cierto es que mediante computadores se han logrado calcular alrededor de 1013 ceros no triviales y han utilizado “zetagrif” para su modelamiento (gourdon, 2004). Esta investigación utiliza como prueba fehaciente el manuscrito, pero no desconoce toda la argumentación de otros autores, al contrario, sus investigaciones ayudaron a descarta caminos que no debía seguir. La investigación concluye con la demostración de la hipótesis de Riemann y su certeza extendida a los ceros no triviales puros, indicando que los argumentos de Riemann en su manuscrito son verdaderos. La prueba requirió de un conocimiento mas avanzado de varias investigaciones que se adelantan desde 1990 aproximadamente, sobre teorías de la congelación de espacio y tiempo. Objetivo Dar solución a la hipótesis de Riemann - función zeta sobre la alineación de los ceros no triviales en el plano complejo. Metodología Para probar la hipótesis fue necesario dejar de lado toda la argumentación existente sobre la conjetura por identificar errores de fondo e iniciar de ceros. Primero se partió de encuadrar el problema y sus imágenes para poder desglosarlo utilizando técnicas muy simples. Cada

vez que se avanzaba en la solución se utilizaba la ley de los contrarios para probar su certeza, soportado con conocimientos de interrelación de espacio y tiempo, relación espacial, mecánica espacial y cuántica referente a teorías nuevas de congelación de espacio y tiempo con planos complejos conjugados. Desarrollo de algunos algoritmos en Visual Basic, modelamiento y simulación en Derive. Campos obligatorios de conocimiento: Análisis complejo, teoría Riemannian - Weirstrass – Einstein. Superficies, ecuaciones y series Cauchy – Riemann Series e integrales de Fourier y Jacobianos Trabajos de aplicación Euler – Cauchy Teorema de Stokes`s Trabajos sobre series y teoría del número de Dirichlet Teoría, formulación e integración de Poisson`s Teoría de variación y polinomios de Legendre Para poder atacar el problema se realizo un estudio del número primo llegando a su formulación y correlación logarítmica, luego realizamos el estudio de la función simétrica determinando su comportamiento y tendencia parte real e imaginaria. Con estas bases se estudia la función asimétrica concluyendo con la misma tendencia de la parte real e imaginaria comprobando así la hipótesis de Riemann. Debido a que no poseemos las herramientas tecnológicas adecuadas, retomamos el modelamiento de la función zeta de la página web de MathWorld por hallarse mas completa con los atributos de la función (http://mathworld.wolfram.com).

2. HIPÓTESIS DE RIEMANN La hipótesis de Riemann indica que los ceros no triviales de la función zeta )(sζ están alineados en s = ½ + it correspondiente a una línea critica, tales que 0)( =sζ en el plano complejo. La función zeta de Riemann viene dada por:

(2.1) )(sζ = ∑∝

=

−

1n

sn para S > 1

Desde 1837, Euler dedujo el comportamiento de los números primos basados en el cociente de los productos y los correlaciono con los cocientes de los números enteros positivos, según la siguiente expresión:

(2.2) ∏ −−−p

sp 1)1( = ∑∝

=

−

1n

sn para S > 1

Riemann en su manuscrito de 1859, definió )(sζ a todos los números complejos de “s” mediante extensión analítica, excepto para S = 1, obteniendo la expresión: (2.3) )(tξ = ∏ )2/(s (s-1)π 2/s− )(sζ , para s = ½ + it

De donde la parte real Re = ½ y la parte imaginaria es Im = t. Pero Riemann, en su manuscrito asegura que la función )(tξ = 0 para la parte imaginaria

i2/1± , también afirma que es probable que todos los ceros reales estén en la región π2 i. Un análisis de la ecuación (2.3) muestra que )(tξ es directamente proporcional al producto de la función de los números primos por la función zeta. Bajo este principio Riemann considero que la superficie del plano complejo es la conjugación de los dos planos complejos, el de los números primos y la función zeta propiamente dicha. Este punto tiene gran relevancia para la solución de la hipótesis.

2.1 NÚMEROS PRIMOS Desde Euclides (300 a.c), los números primos han fascinado a todos los investigadores matemáticos en especial a Euler (1749) y a Riemann (1859). Euler logro demostrar que la secuencia de los productos de los primos converge en la secuencia numérica natural y que estos son infinitos. De igual forma Riemann centro las investigaciones sobre la extensión analítica del comportamiento de la secuencia del número primo en un intervalo (1, x) a partir de las formulas de Euler, ecuación (2.2). Luego Legrende y Gauss se interesaron por el problema y determinaron el siguiente comportamiento para obtener la cantidad de números primos:

(2.4) )(xπ = 08366,1)log( −x

x , para un número “x” suficientemente grande.

Luego Gauss (1792) afirmo que la cantidad de números primos consecutivos en cada mil números de la sucesión natural se diferenciaba poco de la integral:

(2.5) Li = ∫=

n

t tdt

2 )log(, de donde Li ≈ )(xπ

Al realizar esta investigación sobre el comportamiento del número primo y apoyado en un computador, se logro diseñar un algoritmo para su determinación, claro esto duro aproximadamente unos cinco días. Llegando a identificar la cantidad de números primos

)(nπ mediante la siguiente formulación:

(2.6) )(nπ = )ln()ln( kn

n−

, en el intervalo (2, n)

En un computador se realizaron las simulaciones de la variable “k” para valores de

000.620=n , determinando que no es correlacionable para n < 10.000, su correlación logarítmica esta alrededor de r = ½. Para n >10.000 “k” varia en un rango de 2,84 a 3,0 obteniéndose un promedio de k = 2,95293977 y su logaritmo es 1,08280126, de igual forma su correlación es r = ½. En la Figura 2.1 se muestra dicha variación. Para obtener la formulación de (2.6) partimos de la sumatoria de la secuencia natural (n), la cual es igual a la suma de los números primos (p) más la suma de números compuestos (c). Veamos: ∑n = ∑ p + ∑c n = p + c

En cierta cantidad de números “n”, existe una cantidad de primos “cp” la cual nos determina una escala de la forma n/cp con un comportamiento logarítmico, luego el valor de “n” se puede expresar de la siguiente forma: (2.7) n = ken/cp

De donde la variable “k” es una variable recurrente la cual depende del valor de “n” y del valor de “cp” y “e” es la base del logaritmo natural. Sacando logaritmo natural en ambos costados de la ecuación determinamos que la cantidad de números primos se expresa por la ecuación (2.6) Realizando un desarrollo sobre la ecuación (2.7) de la siguiente forma: elevamos a la potencia “s” y pasamos a dividir los miembros de la igualdad y sacamos sumatorias, la ecuación se transforma en la función zeta de Riemann:

(2.8) ∑∝

=1

1n

sn = ∑

∞

=2/.

1n

cpnssek

De esta forma igualamos la función zeta con la función del comportamiento del número primo, de tal forma que si la función zeta es analítica para todo S > 1, la función del número primo también lo es.

k

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

0 1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000 7.000 8.000 9.000 10.000

k

Figura 2.1 Variación de la variable “k” para n < 10.000

n

s

)(sζF1

Figura 2.2 Representación del potencial

2.2 PRUEBA DE LA HIPÓTESIS Certeza: El autor manifiesta y confirma que la hipótesis de Riemann es cierta al comprobar que todos los ceros no triviales de la función zeta )(sζ están alineados en s = ½ + it . Prueba: Imaginemos el plano de la función zeta )(sζ y pensemos que esta llena por la continuidad de infinitos puntos, y que cada uno de estos puntos (Fn) tiene información sobre el comportamiento de sus variables “n, s y t”, el valor que tome la función )(sζ en este punto lo llamaremos potencial. Entonces la sumatoria de todos los potenciales puntuales será igual al potencial total de la función zeta. La representación de un potencial puntual es (Figura 2.2): Entonces la función la podemos expresar por: (2.9) F1 = n-s Graficando la función para “s” constante y “n” variable; y luego invirtiendo para “n” constante y “s” variable obtenemos todas las curvas posibles en el plano D2, las cuales se cortan en los puntos: (2.10) (f, n) = (1,-1), (-1, -1), (1, 1), (-1, 1) Hasta aquí sabemos que todas las curvas en D2, se cortan a una elevación de 45 grados con una pendiente de m = 1 y desconocemos su orientación.

Para identificar la pendiente y el punto de corte en D3 de todas las curvas que pasan por Fn , determinamos la pendiente con la primera derivada y el punto de corte con la segunda derivada, las cuales se expresan como:

(2.11) f´ = - 1+sns , entonces m = -1

(2.12) f´´ = 2

)1(+

+sn

ss

Ahora, por extensión analítica de )(sζ para 0>σ , se comprueba que la función zeta es analítica en 0>σ , salvo en S = 1, mediante la ecuación:

(2.13) )(sζ = 1−s

s - s { }dxx

xs∫

∞

+1

1 , { }x = fracción de “x”

Con lo anterior se demuestra que la integral en la ecuación (2.13) es la extensión analítica de la pendiente, obsérvese que la pendiente es negativa, lo cual nos representa un plano complejo pendiente a la función zeta en el punto Fn . Riemann en su manuscrito utiliza la pendiente para correlacionar el número primo mediante la ecuación:

(2.14) ln )(sζ = s dxx

xfs∫

∞

+1

1

)(

Recordemos que nuestra pendiente es negativa, es decir m = -1, Riemann la coloca positiva debido al logaritmo natural, luego esta rotando el sistema, algo favorable cuando se utiliza transformadas.

2.2.1 Determinación de los ceros no triviales - función simétrica En el espacio, se requiere viajar por una ruta alterna desde el punto A hasta el infinito, lo único que conocemos es la dirección de la ruta y el potencial, pero no conocemos sus puntos críticos, luego el viaje seria un desastre. Una analogía de la física cuántica nos dice: “para que exista una ruta alterna debe existir una imagen en cualquier lugar del espacio”, situándonos en la superficie de la función zeta de Riemann, para determinar los ceros debemos tomar una ruta alterna pero esta debe tener una imagen, y dicha imagen es la pendiente, m = -1. Entonces: Si partimos de los potenciales en función de la variable “t” y teniendo en cuenta la Figura 2.2, obtenemos:

(2.15) )(sζ .v = v1.F1 + v2.F2 + v3.F3 + ………..+ vn.Fn

)(sζ = ∑∝

=

−

1n

sn

s = σ + it s = (σ 2 + t2 )1/2

De donde “v” es un vector unitario en dirección de “m” y en función de “t”. Entonces, para determinar los ceros no triviales de la función zeta, debemos hacer el potencial igual a cero y proyectar el valor en el plano complejo con parte real e imaginaria mediante el principio de Euler:

∑= itnns 1.1)( σζ , aplicamos )ln( zww ez =

)ln().()( nites −= σζζ , de donde )(.)cos( tsenoiteit +=

(2.16) 0)))ln((.))ln()(cos(( =−+− ntsenointσζ Sí, T = t . ln(n), concluimos: (2.17) 0))(.))(cos(( =−+− TsenoiTσζ Siendo coseno(-T) la proyección de parte real y i.seno(-T) la proyección de la parte imaginaria que componen el vector direccional de cada uno de los potenciales como se estableció en la ecuación (2.15). La ecuación (2.16) representa un análisis vertical y la ecuación (2.17) representa un análisis horizontal de la función zeta, que al conjugarlos representa un plano complejo donde la función se hace cero. Mediante el proceso de tanteo obtenemos que el único valor aceptable de sigma “σ ” es aproximadamente 0,5 para que se cumpla la condición del intersecto (ver tabla 2.1). Entonces obtenemos la siguiente interpretación: Tabla 2.1 Conjugación del análisis horizontal y vertical

t1 t2 t3 t4 t5 tn t1 Intersecto t2 Intersecto t3 Intersecto t4 Intersecto t5 Intersecto tn Intersecto

Esto lo podemos también interpretar como: (2.18) )(Re sζ = 0))ln(cos()( =− ntσζ

)(Im sζ = 0))ln((.).( =− ntsenoiσζ Por el planteamiento de la ruta alterna. La función zeta es igual a un valor real, entonces los valores de i.seno(-t) y coseno(-t) deben ser iguales para que se cumpla la condición de la pendiente m = -1. En la Figura 2.3 se muestra el esquema de la proyección. El valor del vector unitario proyectado hacia el plano complejo se obtiene por: m = seno(t)/coseno(t) = -1 coseno2(t) + seno2(t) = 1, retomando Euler: el valor absoluto de eit = 1 t = 180/πθ seno2(θ ) = coseno2(θ ) = 0,5 coseno(θ ) = 2 /2 = 0,7071067812 θ = 135 ± 180n, por que m = -1 y (n = 1, 2, 3, ……… )∞ t = 2,3561945 radianes

)(σζ

t cos(t)

i.sen(t)

Figura 2.3 Representación grafica de la proyección

y

x

Entonces el periodo ππ ±4/3 n, representa los puntos de corte de la curva real y la curva imaginaria, es decir estamos en la parte alta del triangulo con coordenadas ( 2 /2, 2 /2). Para nuestro estudio requerimos los puntos de corte donde la proyección de la función seno y coseno sean iguales a cero. Los desarrollos serian los siguientes: coseno(-t ln(n)) = 0 i.seno(-t ln(n)) = 0 Para que se cumplan las ecuaciones el ángulo debe ser: t ln(n) =π * 1/2 y t ln(n) = π * 0 =π * 3/2 = π * 1 =π * 5/2 = π * 2 =π * 7/2 = π * 3 =π * (2n+1)/2 = π * n Entonces los ceros no triviales son: (2.19) T = [1/2π , 3/2π , ……., …….π (2n+1)/2] para el coseno

T = [0, π , 2π , 3π , ……..…,……..., nπ ] para el seno En el Anexo 2.1, a partir de 1/2π se realiza la proyección de los ceros no triviales en función de “T” para números positivos y negativos correspondiente al análisis vertical. Nótese que si continuamos proyectando, la cantidad de ceros es infinita. En la Tabla 2.2, se indican las diferencias entre los valores de “T” calculados por el estudio y los calculados por Riemann. Obsérvese que los ceros de Riemann tienen valores de los ángulos en grados con cifra decimal, lo que implica que corresponden a una función asimétrica, ya que no cumplirían con la condición del periodo en un recorrido 2π i. Sin embargo, algunos ceros de Riemann corresponden al punto de corte de la curva real y/o la curva imaginaria con el eje “T” (ver Figura 2.4). En la Figura 2.4, se muestra el comportamiento para la variable “T” para n = 2 y los puntos de corte para un periodo de π (2n+1)/2 radianes, las curvas del seno y el coseno van y vuelven desde ∞− hasta ∞+ . Para cada valor de σ se obtiene una secuencia infinita de valores “T”. Obsérvese que los ceros se hallan cuando la curva del seno y la curva del coseno cortan el eje del periodo donde se hacen cero, obteniéndose un valor constante de

2/2 para )(σζ . Las curvas se cortan entre si a una altura de seno²(135) = 0,5.

Tabla 2.1 Diferencias en los ceros triviales "T"

T Grados Seno (-T) Coseno (-T) Por estudio

14,137167 810,0000 -1 0 20,420352 1170,0000 -1 0 25,132741 1440,0000 0 1 29,845130 1710,0000 1 0 32,986723 1890,0000 -1 0 37,699112 2160,0000 0 1

Por Riemann

14,134725 809,8601 -0,999997 0,002442 21,02204 1204,4742 -0,824381 -0,566035

25,010858 1433,0166 0,121582 0,992581 30,424876 1743,2170 0,836602 0,547811 32,935062 1887,0401 -0,998666 0,051638 37,586178 2153,5294 0,112694 0,993630

Figura 2.4 Comportamiento de los ceros no triviales “T”

-0,8

-0,7

-0,6

-0,5

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Periodo (T)

f(R

e, Im

) 1/n^½Curva "Re"Curva "Im"

Retomando el análisis horizontal y vertical: Cuando realizamos un análisis horizontal obtenemos infinitos ceros no triviales “T” para cada valor de “n”, luego calculamos “t” mediante la expresión: T = t ln(n) Cuando realizamos el análisis vertical obtenemos infinitos valores de “n” para cada cero “T”, mediante la expresión: ln(n) = T / t De la ecuación (2.18), la función )(σζ = ∑1/nσ no determina ningún cero ya que su comportamiento es asintótico y/o creciente, luego los ceros no triviales los aporta la proyección del coseno(-T) y i.seno(-T), también observemos que la variable “T” es función directa de “σ”. En la Figura 2.5, se muestran los ceros no triviales “t” para n = 2, obsérvese que la única diferencia es el cambio de amplitud entre ceros, la cual paso a A = π /ln(2). También se obtiene un valor constante de 2/2 para )(σζ y las curvas se cortan entre si a una altura de seno²(135) = 0,5. El lector puede realizar algunos cálculos con los valores de los ceros no triviales indicados en el anexo 2.1, para comprobar dicho comportamiento y verificara por tanteo el valor de “σ ”, y notara que todas las curvas reales e imaginarias se alinean con un valor de 0,5 cuando se transita por los ceros no triviales de la función. No adjuntamos dichos cálculos por ser muy tediosos y no es el objetivo de este estudio, por consiguiente los calculamos mediante el siguiente procedimiento por ser más fácil y entendible.

Figura 2.5 Comportamiento de los ceros no triviales para n = 2

Recordemos que la imagen en 3D de la función zeta esta formada por áreas altas “picos” especialmente cuando “n” tiende a cero y por áreas onduladas típicas del comportamiento del seno y el coseno cuando aplicamos la condición del intersecto. También se forma una silla, cuando 0=σ la función toma el valor de )(σζ = 1 para todo valor de “n”, lo que implica que todas las curvas representadas en la Figura 2.6., se unen a una altura f(Re) = f(Im) = 1. También se forma una depresión en el primer cero no trivial de la función “efecto sifón”, tengamos claramente este punto por que es clave. Para que el lector tenga una imagen clara. Si a la Figura 2.7, al margen izquierdo, le empalmamos la Figura 2.6 ortogonalmente, se forma una imagen acanalada muy similar a la mano con los dedos doblados hacia atrás, donde el pulgar forma el primer pico, los demás dedos las formas onduladas y depresiones, y las intersecciones de los dedos los ceros no triviales de la función. Entonces en cada intersección de los dedos se forma el efecto sifón donde se ubican dos ceros no triviales. La mano izquierda representa la zona negativa de “T” y la derecha la zona positiva. En el Anexo 2.1, se calcularon los valores de “no” donde se ubican los ceros no triviales, el primer cero se ubica en no = 1 y el segundo cero cuando no = 1,64; y el tercero para no = 2,718, etc. De esta forma concluimos que los ceros no triviales se pueden calcular mediante la ecuación (2.20).

Figura 2.6 Comportamiento grafico de los ceros no triviales en función de “n”

(2.20) T = π ln(no), nc = ln(no) , nc = ½ n Recordemos que por construcción en la Figura 2.3., el valor de )(σζ = 2 /2 = 0,7071067812 el cual es igual al valor de f(Re) de la Figura 2.5. Notemos que para cada valor de “n” existen infinitos ceros no triviales y que todos se alinean para dicho valor (ver Figura 2.6 y 2.7). En la Figura 2.8, se realiza la construcción grafica de la alineación de los ceros no triviales para la curva real con “n” variable. Esto implica que para valores mayores de t = 2,266180 radianes, los ceros se alinean para f(Re) = 0 y la parte imaginaria de la función zeta toma el valor f(Im) = )(σζ = 2 /2 . Entonces el valor de sigma es:

)(σζ = σn1 = 2 /2 =

22*

21 = 5.02

1 , entonces:

σ = ½ Utilizando la misma construcción para la parte imaginaria f(Im) = 0 se obtiene: Im = ½

Figura 2.7 Comportamiento grafico de los ceros no triviales en función de “T”

Aplicando el principio de las series de potencias de Taylor para la función exponencial, la función zeta la podemos expresar como:

∑= itnns 1.1)( σζ , n = (1, 2, 3, 4, …….. ∞)

Aplicamos )ln( zww ez =

(2.21) )ln()ln()( nitn ees −−∑= σζ Recordemos que es es analítica para todo “s”, luego converge para un 1s-s o < , si

hacemos cambio de variable z = s, entonces se cumple para 1z-z o < que corresponde al desarrollo de la integral de Cauchy para un domino simple conexo D y una trayectoria cerrada C, entonces:

∫ =c

dzzf 0)( , Para doble dominio conexo: )(2)(o

o

zfidzzzzf π=

−∫

Figura 2.8. Alineación de los ceros no triviales para “n” variable

∫ =c

z dze 0 , ∫ =c

dzz 0)cos( , ∫ =c

ndzz 0 (n = 0, 1, 2, …..)

Utilizando el círculo periódico donde se deben encontrar los ceros no triviales de la función zeta generados por la proyección del coseno y el seno (ver Figura 2.9). Obsérvese que el coseno(T) y el seno(T) generan cada uno dos ceros no triviales en un recorrido 2π i. Cuando los ceros están sobre el círculo de línea continua p = 1, la función diverge a 2 , por consiguiente los ceros no se alinean sobre la trayectoria C en el dominio conexo D del plano complejo el cual contiene a so, no cumplen la fórmula de Cauchy para funciones analíticas:

01

0

- z - zz

z< 1,

01

0

- - ssss

< 1, entonces 01

0

- - σσσσ

< 1

1/2π

3/2π

1 1

Coseno(T)

2ππ

1/2π

3/2π

1

1

Seno(T)

2π π

1/2π

3/2π

2

Alineación

2π π

Figura 2.9. Circulo de convergencia de los ceros no triviales

so

1 1

so

1

1

so so so

s1

p

o

s

C

Entonces so = 1 y s1 = 2 , luego s diverge de so por ubicarse mas halla de la frontera de integración “C” Por consiguiente la función converge cuando el seno y el coseno se proyectan hacia el circulo punteado, p = 2 /2, bajo esta condición los ceros no triviales se alinean hacía la frontera interior y la función converge a 2 /2, entonces debe cumplir que: coseno²(45) + seno²(45) = 1

Coseno(45) = 2 /2 Seno(45) = 2 /2

)(σζ = σn1 = 2 /2

Entonces so = 2 /2 y s1 =1, luego s converge a so y se ubica dentro de la frontera “C” Desarrollando se obtiene las proyecciones sobre el círculo punteado donde la función converge a 2 /2, entonces: σ ² + t ² = ( 2 /2)² = 1/2 σ = t σ = 1/2 t = 1/2 Uno puede pensar en realizar otro anillo de convergencia hacia dentro, p = 1/2 , pero no es posible obtenerlo a partir p = 1 y con la ecuación de coseno²(45) + seno²(45) = 1. Utilizando la ecuación (2.20 y 2.21), la función zeta la podemos expresar en términos de los puntos de corte de los ceros no triviales (Anexo 2.1) y en términos de “π” para obtener el valor deσ , veamos:

∑ += πσζ inces

)(1)(

(2.22) ∑ −+−=+ σ

πππσζ

)())sin()(cos()(

cncc

enini

Graficando la ecuación (2.22) para diferentes valores positivos y negativos deσ , obtenemos una aproximación de X = σ = 1/2 con un potencial aproximado de Zeta = Y = 0,1054 para dicho punto, luego la función converge. En la Figura 2.10, se observa la

tendencia de la curva real (línea continua) y la curva imaginaria (línea punteada). Cuando “n” tiende a infinito el valor del exponente (parte real) se aproximara a cero tal como lo calculamos a partir de la Figura 2.9. Nótese que la función diverge para valores menores ½ cuando σ es positivo (curvas lado derecho) y también diverge para valores negativos de σ (curvas lado izquierdo), obsérvese que la parte real para un periodo de 9π/2 es cero para todo sigma (curva línea azul y negra). Recordemos entonces que por la ecuación (2.18), la función )(σζ = ∑1/nσ no determina ningún cero ya que su comportamiento es asintótico y/o creciente, tiende a cero, mas no es cero absoluto, luego los ceros no triviales en función de la parte real “σ” dependerá de un valor de precisión (concuerda con otros autores el por que no encontraron ningún cero no trivial). Si aceptamos como ceros una precisión de una altura de )(σζ = y = 0,1054 correspondiente a n = 9/2, todas la curvas de los ceros no triviales estarán por debajo de este valor tal como se observa en la Figura 2.7. Veamos los siguientes cálculos:

1054,0)(1

<+ πσ ince pero nc = ½ n

- ½ n (σ + iπ) < ln(0,1054) ½ nσ ≥ 2,25 para la parte real

Figura 2.10. Convergencia de los ceros no triviales en función de σ

x

σ = 1/2 n ≥ 9 nc ≥ 9/2 T ≥ 9/2 π Entonces, a esta altura de y = 0,1054 se encuentran alineados todos los ceros mayores e iguales 9 π /2 en el intervalo -14,13716694 ≤ T ≥ 14,13716694, tal como se puede ver en la Figura 2.7. Retomando la parte real de la ecuación (2.21), se obtiene la siguiente formula:

(2.23) 0)(

))(cos(=

−∑ σ

πcn

c

en

De donde la función coseno siempre toma el valor de cero y el denominador no llega a ser cero para valores de “nc”, por consiguiente se aplica el desarrollo del numero primo establecido al comienzo del estudio como lo extendió Riemann al plano complejo. Entonces la formula (2.7) se empalma con la formula (2.23) según su semejanza de correlación de variables (ver Tabla 2.2): Tabla 2.2. Calculo de la cantidad de números primos dado un valor de “n”

k n cp n/p 2,718282 N calculado 1,0000004 4,5364 3 1,5000 4 4,50

1,83156389 100 25 4,0000 55 100,002,59964352 1.000 168 5,9524 385 1.000,002,92602214 10.000 1.229 8,1367 3.418 10.000,002,99294783 100.000 9.600 10,4167 33.412 100.000,002,71808288 1.000.000 78.030 12,8156 367.906 1.000.000,002,71828179 10.000.000.000 454.011.971 22,0259 3.678.794.463 10.000.000.000,00

k= n / (e^(n / cp)) e^(n/cp) k * e^(n/cp) = n n*ln(k) / (ln(n)-ln(k)) = 0 0,0 ln(k) + (n/cp) = Ln(n)

De la Tabla 2.2, la formula n*ln(k) / (ln(n)-ln(k)) = 0 establece el cero para la función del numero primo, la ecuación se hace cero cuando el ln(k) = 0, es decir cuando la constante recurrente “k” converge a 1, entonces: n*ln(k) = 0. Aplicando Cauchy tenemos:

nnn

01

0

n - n -

< 1*n, de donde “n” es el exponente

½ n*k = 4,5364, para k = 1 n = 9,07

De igual forma, n = ken/cp converge para k →1, semejante a σ)( 2/ne = n correlacionado con los puntos de corte de los ceros no triviales cuando nc → ½ n de la función )cos( πcn− , complementado con la formula de Cauchy. Entonces: Sacando logaritmo y despejando σ , obtenemos:

(2.24) )ln(

2n

n=

σ y debe cumplir f(σ ) =

σ)( 2/ne ≥ n

Graficando la ecuación (2.24) para diferentes valores de “n” y “σ ” y manteniendo la condición de m = 1, se obtiene el primer cero no trivial (punto de corte) donde la función converge. Con la primera ecuación calculamos σ a partir de “n” obteniendo el comportamiento de la línea azul, luego calculamos f(σ ) dando valores a σ = 0,4 a 0,5 obteniendo las demás curvas. El punto marcado cumple la condición del intersecto para n = 9 y σ = 0,49. Entonces, por arriba de m = 1 la función zeta converge y por abajo diverge (ver Figura 2.11). Desarrollando por tanteo los valores aproximados que mas se ajustan son: n = 9 σ = 0,49

0

5

10

15

20

25

30

35

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

n

f(σ)

Zigma

f(0,4)

f(0,45)

f(0,5)

m = 1

f(1)

Diverge

Converge

Figura 2.11. Calculo del primer cero no trivial y convergencia

T ≥ 9/2 π Entonces los ceros no triviales se calculan mediante la expresión: (2.25) T ≥ ± ½ n π , con n = (9, 10, 11, 12, ………….∞) Densidad de ceros no triviales: Para calcular la densidad de ceros en dirección de σ = 0,5 y en un periodo “T”, partimos del hecho de calcular cuantas vueltas (en sentido contrario a las manecillas del reloj) hay en dicho periodo, sabiendo que en cada vuelta hay 4 ceros no triviales ( 2 imaginarios y 2 reales), menos los ceros que hay hasta un periodo 9/2 π, entonces:

Tc = 9241 −+πT

(2.26) Tc = 824

−πT “ceros totales”, Tc = 1

24

+πT “ceros teóricos”

Riemann, en su manuscrito calcula la densidad de ceros totales relacionados con el logaritmo natural mediante la ecuación:

(2.27) Tc = πππ 2

)2

ln(2

TTT−

En la Tabla 2.3, se relacionan los ceros no triviales calculados por el estudio y los ceros calculados por la ecuación de Riemann. Las diferencias resultan por que el logaritmo natural aplica en la ecuación de Riemann al comportamiento de los ceros no triviales.

Tabla 2.3. Cantidad de ceros no triviales en un periodo “T”

Estudio Riemann T Reales Imaginarios Totales Teóricos Totales 10 0,0 0,0 0,0 7,4 -0,9

100 27,3 28,3 55,7 64,7 28,1 1.000 313,8 314,8 628,6 637,6 647,7

10.000 3.178,6 3.179,6 6.358,2 6.367,2 10.142,1 100.000 31.826,5 31.827,5 63.654,0 63.663,0 138.067,7

1.000.000 318.305,4 318.306,4 636.611,8 636.620,8 1.747.144,6

En el caso hipotético de aceptar la validez de la formula de Riemann, implicaría demostrar que existen mas ceros en una región 2πi (ver Figura 2.9) que el mismo valor del “T”, a excepción de la primera vuelta que contiene 5 ceros las demás vueltas contienen 4 ceros, luego la formula de Riemann debe aplicar para el calculo en la dirección σ = 0,5 y periodo “t” que corresponde a la función asimétrica de la función zeta.

2.2.2 Determinación del valor limite de sigma “σ ” Para determinar el valor de σ debemos considerar un sistema espacial en equilibrio, sí lo hacemos en la superficie de la función zeta tendríamos que desarrollar todas las series y perdemos la objetividad en la precisión, salvo hasta que modelemos el potencial o hasta que obtengamos un resultado gráfico para poder analizar. Luego la solución que buscamos en el espacio es un plano complejo conjugado que intersecte la superficie de Riemann en cualquier punto de tal forma que haga el potencial igual a cero. Una forma es considerar la ecuación (2.15) y sobre ella realizar una transformación para que la pendiente pase a ser positiva m = 1, entonces nuestro plano conjugado será transversal al plano de Riemann, tal como lo realizo él, según la ecuación (2.14) sobre la proyección analítica de la pendiente. Un desarrollo comprensible, es solucionarlo mediante el espacio vectorial. Cada uno de los vectores F1, F2 , F3 , …… Fn tienen un vector direccional “v”, realizando el producto cruz entre ellos obtenemos un vector ortogonal “Q” con un vector direccional “q” que para nuestro caso es un vector transversal a la superficie de Riemann, todos los puntos de los vectores normales formarían la superficie del plano conjugado que buscamos. Pero, para nuestra solución utilizamos únicamente las imágenes, es decir, utilizamos la pendiente del vector normal, la cual representamos por “M”, entonces: M * m = -1, por teorema de rectas perpendiculares M = (-1) / (-1) M = 1 Tang(α ) = 1 α = 45 grados En la Figura 2.12, se indica la proyección de σ y “t”, a partir del valor de “s” para un ángulo de 45 grados, dado que realizamos una transformación de 90 grados respecto a la proyección de la Figura 2.3,. La variable “s” toma el valor del vector normal, siendo el vector normal el producto cruz entre la componente i y j, los cuales forman un ángulo de 135 grados . Entonces: S = i x j S = n k, con i, j, k las componentes del vector “S”

n = 1 1 seno(θ ) = seno(135) = 2/2

s = 2/2 M = seno(α ) / coseno(α ) = 1 σ ² + t² = s² = 0,5 σ = )cos(* αs = 2/2 * cos(45) = 2/2 * 2/2 σ = 0,5 de donde (Re = 1/2) t = )(* αsens = 2/2 * seno(45) = 2/2 * 2/2 t = 0,5 de donde (Im = 1/2)

2.2.3 Solución por planos conjugados Digamos entonces que el espacio universal esta conformado por una parte real (Re) y una parte imaginaria (Im), que implicaría la proyección de su imagen y conformarían los planos conjugados del espacio mismo. Estamos situados en un punto A, del cual parten infinitos caminos a un punto lejano B, estas rutas alternas conforman un plano conjugado de “s” regido par la función zeta de Riemann y sobre el cual tenemos que diagramar la malla del potencial de las funciones g(s) y h(s) y notemos que g(s) es nuestro plano principal. Mediante transformación conjugada debemos determinar para que valores reales e imaginarios el potencial será igual, Entonces:

σ

t

Figura 2.12 Representación grafica de la transformación

yo

xo

sα

Sea s = σ + it ; y “P” el potencial, entonces P(g) = g(σ + it)a P(h) = h(σ + it)b P(g, h) = g(σ + it)a * h(σ + it)b , pasando a igualdad de exponentes = g(σ ).g( it). h(σ ).h(it) P(f) = f(2σ ).f(2it) Ahora necesitamos retraer el plano conjugado “f” al plano principal “g”, es decir pasar nuevamente a las funciones iniciales: Así, obtenemos valores reales (Re) de σ = 1/2 e imaginarios (Im) de t = 1/2, proyectados en un recorrido 2π i.

2.2.4 Determinación de los ceros no triviales – función asimétrica Después de haber hecho una búsqueda exhaustiva de la parte real de la función zeta cuando es simétrica, se emprende un camino en búsqueda de los ceros no triviales de la función asimétrica cuando T = t*ln(n). Entonces, la ecuación (2.22) la podemos expresar en su forma general como:

(2.28) ∑∞

=

−+−=+

1)ln(

))ln(sin())ln(cos()(n

nentintit σσζ

Pretender desarrollar esta ecuación de 4 variables es muy difícil, primero por que no entendemos cual seria la relación entre variables en la medida que se realizan los cálculos y segundo por que tiene que ir formando una secuencia infinita de sumatorias para cada valor de “n” en el plano complejo, pero si la expresamos según su parte real y su parte imaginaria, la entendemos mejor:

)2ln(5.0)1ln(5.0

))2ln(sin())2ln(cos())1ln(sin())1ln(cos()5,0(e

tite

titit −+−+

−+−=+ζ

)4ln(5.0)3ln(5.0

))4ln(sin())4ln(cos())3ln(sin())3ln(cos(e

tite

tit −+−+

−+−+

)6ln(5.0)5ln(5.0

))6ln(sin())6ln(cos())5ln(sin())5ln(cos(e

tite

tit −+−+

−+−+

)ln(5.0)ln(5.0

))ln(sin())ln(cos())ln(sin())ln(cos(................... ∞∞

∞−+∞−+

∞−+∞−++

etit

etit

Con este desarrollo graficamos la función coseno obteniéndose un comportamiento muy irregular de los ceros no triviales en la medida que crece “t” (ver Figura 2.13). De igual forma se procedió para la función seno, obteniéndose una distribución irregular, pero con una cantidad de picos de menor altura que los picos de la función coseno (ver Figura 2.14). Ahora cruzamos las funciones de coseno y seno en la Figura 2.15 para determinar cual es el comportamiento de los ceros. Cuando el coseno se hace cero el seno toma un valor tendiente a la parte mas alta y viceversa (puntos 15, 20, 25 y 36) mientras que existen unos puntos donde los ceros están próximos uno de otro (alrededor del 14, 21, 30 y 37). Se realizaron una variedad de graficas para diferentes valores de “n”, en la medida que “n” es grande los ceros se desplazan respecto a los ceros de (n – n1), lo cual implica que los valores de los ceros no triviales son flotantes y siempre son números irracionales.

Figura 2.13. Distribución de los ceros no triviales parte real – función coseno

Descomponiendo en factores la ecuación (2.28):

(2.29) 0))ln(cos(1

)ln( =−∑

∞

=nne

ntσ y 0))ln(sin(

1)ln( =

−∑∞

=nne

ntiσ

Y ahora tomando valor absoluto para calcular el valor de la función zeta:

Figura 2.14. Distribución de los ceros no triviales parte imaginaria – función seno

Figura 2.15. Integración de los ceros no triviales parte real e imaginaria

(2.30) 0))ln(sin())ln(cos()(2

1)ln(

2

1)ln( =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=+ ∑∑

∞

=

∞

= nn

nn e

nte

ntit σσσζ

Y, respectivamente determinamos los ceros no triviales a partir del siguiente desarrollo para la curva real e imaginaria :

(2.31) 0))ln(cos()(2

1)ln( =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −= ∑

∞

=nne

ntσσζ , parte real

0))ln(sin()(2

1)ln( =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −= ∑

∞

=nne

ntt σζ , parte imaginaria

Aun continuamos con unas ecuaciones muy difíciles de desarrollar y de calcular. Recurramos entonces al siguiente arreglo para determinar la relación entre “t” y “n”. Luego la sumatoria de coseno y seno de la ecuación (2.31) la podemos extender en función de la variable “t” Utilizando el principio de la ecuación 2.24, determinamos cuanto se desplazan los ceros de la función zeta,

te n =)ln(5.0

0,5 ln(n) = ln(t) Ln(n) = 2 ln(t), de donde el periodo de la función asimétrica es: T = t * ln(n), entonces reemplazando:

(2.32) )ln(21 ttT =

En el estudio de la función simétrica afirmamos que la función zeta no puede obtener el cero absoluto, cuando la suma de coseno sea igual a cero, la suma de seno puede estar en la parte mas alta, y viceversa, luego debemos utilizar el concepto de precisión, la cual esta expresada por la relación que existe entre el periodo y el logaritmo natural para obtener el valor mínimo de zeta en un desplazamiento π, entonces de la ecuación (2.32) obtenemos:

)ln(2

)ln(2)ln()ln(

tt

tnnt

π

π

=

==

(2.33) )ln(2

)( 1 tPit πσζ =≤+

Pero si queremos obtener los ceros no triviales de mayor precisión, utilizamos un valor a un más decreciente para un valor de “t”:

(2.34) 2

2 ))ln(2

)( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=≤+

tPit πσζ

Entonces los ceros no triviales de la función zeta (línea azul) se ubican en una banda de menor precisión entre cero y P1 línea negra y una banda entre cero y P2 de mayor precisión línea roja (ver Figura 2.16). Los ceros no triviales para la función coseno, seno y la función zeta se observan en el Anexo 2.2 utilizando un “n = 240” finito. Cuando “t” crece, el comportamiento de los ceros es mas uniforme y tienden a ubicarse en la banda P2 – P1 generando picos bajos, medios y altos (ver Figura 2.17). Obsérvese que los ceros se alinean al nivel cero.

Figura 2.16. Alineación de los ceros no triviales - función zeta

P1

P2

En la Figura 2.18 se muestran diferentes curvas para la función zeta (“n” pequeño) donde se evidencia claramente el efecto sifón. La curva de color verde 0=σ se aleja del nivel cero, la curva azul 5,0=σ se aproxima rápidamente al nivel cero y constituye los puntos mas bajos del sifón, luego la curva roja 1=σ sube y la curva negra 2=σ se aleja a un más del nivel cero. Obsérvese que cuando 0=σ la función diverge rápidamente de cero.

Figura 2.17. Alineación de los ceros no triviales para un intervalo “t”

Figura 2.18. Alineación de los ceros de la función zeta para diferentes valores de zigma

Continuando con el desarrollo de la ecuación (2.31), debe cumplir que la sumatorias del coseno y seno debe ser cero:

(2.35) 0))ln(cos(1

=−∑∞

=n

tt y 0))ln(sin(1

=−∑∞

=ntti

0))ln(sin())ln(cos(2

1

2

1=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡− ∑∑

∞

=

∞

= nntttt

Las dos sumatorias de la ecuación (2.35), representan dos integrales fácilmente calculables entre cero y “t”:

(2.36) 1)ln(

))ln(sin()ln(cos(0 +

−−=−∫ t

ttdtttt

1)ln())ln(cos()ln(sin(

0 +−

=−∫ tttidttti

t

Reemplazando en la ecuación (2.35) obtenemos el comportamiento de todos los ceros no triviales de la función zeta en los rangos de precisión establecidos:

(2.37) 22

3 1)ln())ln(sin(

1)ln())ln(cos()( ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−==+

ttt

tttPitσζ

Cuando “t” es menor de 25 y “n” tiende a ser finito, los ceros pueden estar por debajo de la precisión de 0,50 acercándose al limite P3, por debajo de este valor no bajan mas (ver Figura 2.19). Si, deseamos que los ceros no triviales ondulen durante todo el recorrido de “t”, modificamos el denominador en la ecuación (2.37), obteniéndose una onda que no sobrepasa los limites de P1 y P2 sobre la cual pueden caer los ceros no triviales de acuerdo a la precisión con que se calcule la función zeta para “n”. Entonces la precisión modificada Pm es:

(2.38) 22

1)ln())ln(sin(

1)ln())ln(cos(

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡±

−=

mttt

tttPm

Desde el punto de vista estadístico, la ecuación (2.38) representa la desviación estándar de la función zeta y P2 la varianza. Si realizamos el arreglo de sumar 2 al denominador y elevamos las funciones coseno y seno al exponente 3, encontramos las “emes” de la función zeta, que son los intervalos de “t” posibles. La Figura 2.20, muestra el comportamiento del desplazamiento de los ceros no triviales en forma de onda para infinitos estadios de “n”, lo que implica que los ceros no se desplazan en línea recta paralela al eje “t” (eje x) y zeta (eje y). Aplicando los conceptos de integral de línea en la ecuación (2.30), para cada sumatoria obtenemos los siguientes desarrollos para “t” y “n”:

(2.39) )ln())ln(sin())ln(cos(

0 nnntdt

nttt

=−

∫

(2.40) )ln(

1)ln())ln(cos())ln(sin(

0 nni

nnntidt

ntti

t

−=−

∫

Figura 2.19. Limite inferior de los ceros no triviales para “t” pequeño

Si desarrollamos en un intervalo de ( )ππ ,− , obtenemos los ceros no triviales para la función zeta:

(2.41) ( ))ln(

)ln()ln()ln()ln(5.0

nneeidtee

nininitn

πππ

π

−

−

−− −−=∫

( ))ln(

))ln(sin())ln(cos())ln(sin())ln(cos(nn

ninnini ππππ −−−−+−=

( ))ln(

))ln(sin())ln(cos())ln(sin())ln(cos(nn

ninnn ππππ −+−+=

)ln())ln(sin(2

nnnπ

= , que nos representa todos los ceros simétricos

(2.42) 2222

1

22

1

1 )1()1(

)1())ln(sin(

)1())ln(cos()1())ln(cos(

σσ

σσσ σσ

σ −+−

−−+

+−+

−=

− −−

∫ ttnttn

tntndn

nttn

(2.43) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

−−+

−−

−+=

− −−

∫ 2222

1

22

1

1 )1()1())ln(sin()1(

)1())ln(cos())ln(sin(

σσσ

σ

σσ

tt

tntn

tnttnidn

ntti

n

Figura 2.20. Ubicación de los ceros no triviales para infinitos estadios de “n”

Si, realizamos el siguiente desarrollo de forma general, comprobamos los valores de sigma y “t” aplicando el desarrollo de Fourier para el denominador:

(2.44) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−−

−∞−−=

−−−

=−−−−∞

=+∫ 22

11

1 )1(2)1(11

111

titit

itndn

n

itit

nit σσ

σσ

σσ

σ

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−∞−=

−−

=−−∞

=∫ 2

11

1 )1(11

111

ss

sndn

n

ss

ns

011 =−∞ −− itσ

01 =−− itσ

Cuando 1→σ y t = 0, nos genera un punto de corte de la curva imaginaria con el eje del exponente donde 0)01( →+ζ para todo valor de “n” debido al ln(1) = 0, pero nos genera infinitos ceros no triviales para valores de 5,0≤σ . La alineación de los ceros no triviales ocurre cuando 01 =−− itσ donde la curva real e imaginaria se intersectan y la función se hace cero (pendiente m = 0). Utilizando Pitágoras, nos genera una ecuación cuadrática de la forma: (2.45) 0)1(22 22 =−+− sσσ

i21

21−=σ

it21

21−=

Luego todos los ceros no triviales de la función zeta se alinean cuando 5,0=σ y todos los ceros no triviales puros también se alienan cuando i5,0−=σ en el plano complejo. En la Figura 2.21, se muestra la parte real (línea fina) e imaginaria (línea gruesa punteada) de la elipse de convergencia en función de la variable compleja “s”. Obsérvese que la alineación ocurre en un intervalo 2/22/2 ≤≥− S (línea azul) y la curva de “t” se intersecta en los limites de dicho intervalo (línea roja) S = 0,5 donde la parte imaginaria de “t” construye un circulo haciendo la parte real cero. Cuando graficamos los ceros no triviales parte real e imaginaria en 3D, la curva tangente del efecto sifón es aproximadamente (por Cauchy):

11

++−+

=ttMinimos

σσ

Lo que implica que cuando t = 0, la curva pasa por el polo S = σ = 1 y zeta es asintótica a 1 cuando ∞→σ , luego los puntos mas bajos tendrán una aproximación menor a 1. Cuando t = 0,5 la curva de mínimos pasa por σ = 0,5 y la parte imaginaria se hace cero. En el Anexo 2.2, se determinaron los ceros no triviales parte real e imaginaria y los ceros de la función zeta producto del modelamiento según el software Derive. También se indica la precisión y P2 calculada para un “n” finito. Utilizando la ecuaciones (2.42 y 2.43), se diseño un algoritmo en Visual Basic para el calculo de los ceros no triviales parte real e imaginaria para un “n” finito y un “n” grande (n= 1*10^306). De igual forma se diseño otro algoritmo para calcular los ceros de la función zeta a partir de la ecuación (2.30) con resultados muy similares a los de la simulación por Derive (ver Anexo 2.3). Considerando únicamente la parte real de σ y “t”. Cuando “n” es pequeño se obtienen ceros no triviales parte real e imaginaria y la función zeta obtiene ceros con una precisión menor a 0,3 en un intervalo t2 – t1. Cuando “n” es grande (n = 1*10^306) se obtienen muchos ceros no triviales parte real e imaginaria y la función zeta no obtiene ceros en el intervalo t2 – t1 (ver Anexo 2.3). Cuando “n” tiende a infinito se obtienen infinitos ceros no

Figura 2.21. Alineación de los ceros no triviales - Elipse de convergencia

triviales parte real e imaginaria y la función zeta es absolutamente divergente ya que el limite de las sumatorias ecuaciones (2.42 y 2.43) tienden a infinito. En la Tabla 2.4 se realiza una comparación de los ceros no triviales parte real e imaginaria y para la función zeta en el intervalo t2 – t1. Obsérvese que la distribución de ceros es menor (7) cuando σ = 1,0 y concuerda aproximadamente con la distribución de Riemann (para “n” pequeño), en su manuscrito Riemann toma toda su formulación con base en “s - 1” ecuación (2.3), es decir la función se hace cero cuando “s = 1” siendo la única razón suficiente para dicho polo que σ = 1,0 y t = 0. En dirección σ = 1,0 la función zeta es más simétrica que para σ = 0,5 (ver Anexo 2.4).

Tabla 2.4. Ceros no triviales para diferentes valores de “σ” y “t”

σ = 0,5 σ = 0,5 σ = 0,5 σ = 1,0 σ = 1,0 n =1E+306 n = 1E+306 n = 240 n = 240 n = 5.000

Real Im Zeta Zeta Zeta 14,441830 14,020477 14,399100 14,445800 21,254810 21,408637 21,330400 21,246300 21,162500

25,042520 24,939400 24,913900 30,134413 30,591700 30,579100 30,696900 32,394999 32,893100 32,873000 32,924500

36,276340 37,348669 37,585300 37,600900 37,547000 40,732859 40,955600 40,962000 41,043900 Cantidad de ceros en el intervalo(14 - 40):

24 40 9 7 9 Precisión de los ceros:

< 0,3 < 0,3 < 0,4 < 1 < 1 De igual forma cuando “n” es grande, la cantidad de ceros no triviales parte real e imaginaria aumentan considerablemente debido a que el ln(n) crece rápidamente y “t” disminuye notoriamente para un periodo “ T ” en especial la parte imaginaria. Obsérvese como transitan los ceros en la medida que nos desplazamos en dirección de “n”. Existen otros ceros no triviales de los cuales Riemann no habla en su manuscrito, estos, son todos los ceros de contorno ubicados sobre todas las “V” direccionadas hasta menos infinito y alineados para todos los valores de sigma en el intervalo 5,0≤≤∞− σ . En la parte más baja donde se cortan las “W” se ubican todos los ceros no triviales de la línea crítica de Riemann. En la ecuación (2.42), cuando “n” tiende a infinito y “t” tiende a cero la parte real tiende a infinito, es decir, la función es creciente. Desarrollemos entonces el primer factor de la igualdad para la variable "t”:

(2.46) cntnttn

ntntndt

tntnt

++

−+

=+∫ 2222

02 )(ln()14(

))ln(cos(16)ln()14())ln(sin(2

14))ln(cos(2

∫ +−

=π2

0232

2

))(ln()14())ln(cos()121(16 dt

ntnttnc

Si continuamos integrando, vemos que se forma una secuencia infinita de integrales cada vez más difíciles de desarrollar, y se van encontrando factores semejantes a los desarrollos de algunos autores. De igual forma encontramos que el sistema tiende a infinito debido especialmente al periodo “t ln(n)”, luego la forma de encontrar los ceros no triviales es mediante el desarrollo de un algoritmo que aproxime la función zeta a cero. Sin embargo, el lector lo puede hacer mediante una tabla dinámica de cálculo y notara que cuando n = 65.000 los ceros no triviales tienen una precisión de Pm correspondientes a las partes bajas de la curva de la Figura 2.20 y la gran mayoría estarán por debajo de P2. Densidad de ceros: Para calcular la densidad de ceros no triviales de la función zeta asimétrica “Tcza”, retomamos la ecuación (2.32) donde el periodo es “t ln(t)”. El número de ceros en un recorrido π2 en dirección de 5,0=σ , es igual al número de ceros existentes en un valor “t” por el logaritmo natural del número de ceros menos la cantidad de ceros hasta el valor “t”.

(2.47) πππ 2

)2

ln(2

tttTcza −=

Entonces hemos concluido la misma formula de Riemann deducida en su manuscrito Si retomamos los desarrollos de la sección del número primo y multiplicamos por “t”, podemos calcular la cantidad de ceros no triviales de la siguiente forma:

tkntcpnt )ln()ln( −= , homologando “n” con “t”

tktttcp

)ln()ln(1 2 −= , pasando a un periodo π2

(2.48) πππ 2

08280126,1)2

ln(2

tttTcza −=

La cantidad de ceros no triviales para un valor de “t” se indica en la Tabla 2.3.

2.2.5 Modelamiento de la función zeta He extractado el modelamiento de los ceros no triviales de la pagina web de MathWorld por hallarse mas completa con los atributos de la función zeta (http://mathworld.wolfram.com), ya que se grafico la función en diferentes software especializado para modelamiento de variables complejas en 3D y los resultados son sorprendentes “todas son diferentes” pero se mantienen algunos atributos de control, además, por que no es fácil graficar la función por los diferentes recursos de memoria y del número de procesadores matemáticos que requiere el computador para procesar para un “n” finito (faltan recursos tecnológicos). Por consiguiente los modelos representativos se quedan acotados al valor de las variables “t” y “n” y no representan para las variables cuando llegan a infinito. Un atributo de control que se utiliza es el acanalamiento y el efecto sifón que se observa en la Figura 2.22 comparado con la Figura 2.7 y 2.18 del estudio que representa un corte por σ = 0,5. En la medida que nos alejamos de cero las alturas de las ondulaciones deben ir disminuyendo y no deben sobrepasar la curva de la función zeta. Si cumple, por que en la figura del lado derecho(zeta inversa) los picos representan el efecto sifón y las alturas de las ondulaciones van disminuyendo. Otro punto de control es que cuando t = 0 la función diverge a 2 en la función simétrica y en la asimétrica es completamente divergente. En la Figura 2.23, se aprecia que para esta condición la función zeta es aproximadamente 2 que no corresponde para la función asimétrica, sin embargo en la medida que nos alejamos de cero las alturas de las ondulaciones aumentan, caso que se evidencia en la figura 2.22. Otro punto es considerar la precisión, en el periodo 0 - 9/2 π no debe haber ceros no triviales, si cumple. Si hacemos coincidir la escala de la Figura 2.22 con la Figura 2.23, vemos que si corresponde con las ondulaciones, pero no cumple con la Figura 2.18 cuando “t” tiende a cero la función zeta es creciente.

Figura 2.22 Función zeta e inversa en tres dimensiones (fuente: MathWorld)

En ingeniería cuando utilizamos los planos topográficos del terreno y realizamos cortes a una cierta elevación, quedan dibujadas las curvas de nivel (contornos) del terreno. Al tomar todas las curvas de los contornos podemos nuevamente representar el terreno en tres dimensiones. En la Figura 2.24 se observan las curvas a una elevación de cero las cuales deben corresponder al grafico de la Figura 2.22.

Figura 2.23 Corte transversal de la función en dirección deσ = 0,5 (fuente: MathWorld)

Figura 2.24 Distribución en planta de los ceros no triviales (fuente: MathWorld)

Cuando y = 0 se observa una curva correspondiente al primer pico, luego por la regla de las “uve”, en cada cero no trivial debe existir una “uve” formada por el efecto sifón, si cumple. Notemos que la proyección de las curvas de las “uve” van y vienen de la parte negativa de “x” y que están distribuidas paralelamente, caso en que la Figura 2.22 no tiene dicha extensión, no cumple. Sin embargo es la figura que mas se ajusta a los cálculos. Acotemos, que los ceros no triviales se generan cuando se realiza un corte horizontal a una elevación aproximada de cero y que por construcción isométrica las curvas real e imaginaria se cortan. En la Figura 2.7, si colocamos de forma horizontal dos “uve” acoplado al plano vertical sobre el eje “T”, notaremos que se cortan las “uve” en los puntos próximos a los vértices formando una “W”, ya que la curva imaginaria y real están desfasadas un periodo “t”. Este efecto hace que los vértices de las curvas reales (líneas azules) formen una campana sobre el plano horizontal muy similar a la distribución normal (campana de Gauss). El lector puede realizar algunos cálculos con los valores de los ceros no triviales indicados en el anexo 2.1 y 2.2, y notara que la pendiente en cada punto es igual a cero. Luego realizara cálculos para comprobar dicho comportamiento y verificara por tanteo el valor de “σ ”, y notara que todas las curvas reales e imaginarias se alinean con un valor de 0,5 cuando se transita por los ceros no triviales de la función. No adjuntamos dichos cálculos por ser muy tediosos y no es el objetivo de este estudio.

2.3 SOLUCIÓN

2.3.1 Línea critica Entonces, la función que representa los ceros no triviales queda expresada por: (2.49) s = ½ + it Y la función se alinea cuando la parte imaginaria tiende a los valores de la región i2/1± , entonces “s” se relaciona como: (2.50) s = ½ ± ½ i Realizando el siguiente desarrollo encontramos los posibles valores de “n” para los cuales el potencial es igual, veamos: La ecuación de la segunda derivada la igualamos con la ecuación del potencial total, obtenemos:

2

)1(+

+sn

ss = sn1

Desarrollando pasamos a la siguiente ecuación: (2.51) )1( +ss = n² Esta ecuación es fundamental, ya que el potencial depende de la sumatoria de sus exponentes. Si consideramos a “n” como la velocidad elevada a una potencia creciente “s” y multiplicamos en ambos extremos por la masa, encontramos la ecuación fundamental de la energía de Einstein. E = mc². Entonces será mucha coincidencia que Einstein se basara en los trabajos de Riemann para fundamentar la teoría de la relatividad y la forma del espacio. Si realizamos la transformación y dividimos por 2, entonces E = ½ m*s(s+1), lo que implica que en el espacio la energía en el infinito es igual a la sumatoria de la proyección de la velocidad a la cual se llegara. Veamos: Por la ecuación (2.51), calculamos “n”:

s = 0,707106 n = 1,0987 σ = 0,5

Potencial = 0,9540 E = 0,6035 * m C = 0,7768 km/seg

El potencial corresponde a la parte mas alta de la Figura 2.6 del punto de inicio y la velocidad de llegada es diferente de cero. Luego una interpretación es considerar el espacio como complejo en movimiento más no estático, entonces podemos considerar que el espacio se mueve a 0,7768 km/seg con un potencial de 0,9540 (unidades por definir). Otra alternativa es comparar el potencial con la función Gama y curvarlo según el tamaño de la masa “m”. Entonces, la forma del espacio de Einstein es homologó al de la figura 2.10. Solución: Hasta aquí hemos demostrado que todos los ceros no triviales de la función zeta de Riemann están alineados por una parte real Re = 1/2 y una parte imaginaria Im = it; y la función se alinea cuando la parte imaginaria tiende a Im = 1/2 y la función 0)( =tζ en un recorrido iπ2 . Entonces la hipótesis de Riemann es verdadera.

3. CONCLUSIONES Se comprobó la certeza de la hipótesis de Riemann sobre los ceros no triviales de la función zeta, estos están alineados en una parte real (Re = ½ ) y una parte imaginaria (Im = ½). La solución de la hipótesis de la función zeta de Riemann se puede expresar por

01 =−− itσ donde la curva real e imaginaria se intersectan y la función toma el valor de

cero absoluto (pendiente m = 0), de donde i21

21−=σ ; y it

21

21−= .

Se constato que los ceros no triviales de la función zeta se ubican en el intersecto del plano real y el plano imaginario. Por consiguiente existen la misma cantidad de ceros triviales y ceros no triviales. La función zeta simétrica tiene infinitos ceros no triviales al proyectarse con periodo π (2n+1)/2 y nπ con (n = 0, 1, 2, 3, ……..,∞), en un recorrido 2π i y la función asimétrica tiene mayor cantidad de ceros debido al periodo “t ln(n)” Existe una cantidad infinita de ceros no triviales correspondiente a las extensiones de las “V” en dirección de −∞=σ de las curvas real e imaginaria, los cuales no fueron contemplados por Riemann. La densidad de ceros de la función zeta esta correlacionada con la formula del número primo y el valor de σ es muy aproximado al índice de correlación de las curvas logarítmicas del número primo (r = 1/2). Algunos investigadores matemáticos buscando la solución de la hipótesis de Riemann concluyeron que la solución posible estaba correlacionada con el promedio. Esta idea se debe descartar. La solución de la hipótesis correlaciona el espectro numérico desde ∞∞ hasta −∞∞ en dos planos (el real e imaginario) y nos muestra que tan lejos estamos de poderlo calcular, de igual forma aplicando el concepto de potencial nos indica que el limite de la frontera del espacio es inalcanzable (infinito). El aporte científico de la solución de la hipótesis radica en que existen más puntos de vista para entender la relación de espacio y tiempo correlacionados con los trabajos de la relatividad y diseño del espacio de Albert Einstein.

4. BIBLIOGRAFÍA APOSTOL, Tom M,. Cálculos, calculo con funciones de una variable con algebra lineal. México 2002. BOMBIERI. E,. Problemas del milenio. Hipótesis de Riemann. Documento Instituto Clay. Web: claymath.com. Año 2007. CALDERON, Catalina. La función zeta de Riemann. Real academia de Zaragoza. Departamento de matemáticas, Universidad del país Vasco. España 2002. INSTITUTO CLAY. Publicaciones adscritas al tema de los problemas del milenio. Hipótesis de Riemann. Web: claymath.com. Año 2007 . INSTITUTO CLAY - MathWorld. Publicaciones adscritas al tema de los problemas del milenio. Hipótesis de Riemann. Web: (http://mathworld.wolfram.com), ttp://claymath.com. Año 2007 . KREYSZING, Edwin. Advance engineering mathematics. Jhon Wiley. New York. 1964 KREYSZING, Edwin. Matemáticas avanzadas para ingeniería. Tomo I y II, Editorial Limusa Willey. México 2001. RIEMANN, George F,. Manuscrito original de la hipótesis. Alemania 1859. SARNAK, Peter,. Documento números primos, problemas del milenio. Documento Universidad de Princeton, departamento de matemáticas. Año 2006. SARNAK, Peter,. Hipótesis de Riemann, problemas del milenio. Documento Universidad de Princeton, departamento de matemáticas. Año 2004. KASMIER, Leonardo. Estadística Aplicada a la Administración y a la Economía. Editorial Mcgraw-Hill, tercera edición. México 2001.

5. ANEXOS

ANEXO 2.1 Calculo de los ceros no triviales función zeta simétrica σ = 0,5

T Grados no Coseno(-T) Seno(-T) -42,41150083 -2430 1,37096E-06 0 -40,84070450 -2340 2,26033E-06 0 -39,26990818 -2250 3,72665E-06 0 -37,69911185 -2160 6,14421E-06 0 -36,12831552 -2070 1,01301E-05 0 -34,55751919 -1980 1,67017E-05 0 -32,98672287 -1890 2,75364E-05 0 -31,41592654 -1800 4,53999E-05 0 -29,84513021 -1710 7,48518E-05 0 -28,27433389 -1620 0,00012341 0 -26,70353756 -1530 0,000203468 0 -25,13274123 -1440 0,000335463 0 -23,56194491 -1350 0,000553084 0 -21,99114858 -1260 0,000911882 0 -20,42035225 -1170 0,001503439 0 -18,84955592 -1080 0,002478752 0 -17,27875960 -990 0,004086771 0 -15,70796327 -900 0,006737947 0 -14,13716694 -810 0,011108997 0 -12,56637062 -720 0,018315639 0 -10,99557429 -630 0,030197383 0 -9,42477796 -540 0,049787068 0 -7,85398164 -450 0,082084999 0 -6,28318531 -360 0,135335283 0 -4,71238898 -270 0,22313016 0 -3,14159265 -180 0,367879441 0 -1,57079633 -90 0,60653066 0 0,00000000 0 1 0 1,57079633 90 1,648721271 0 3,14159265 180 2,718281828 0 4,71238898 270 4,481689069 0 6,28318531 360 7,389056096 0 7,85398164 450 12,18249396 0 9,42477796 540 20,08553691 0

10,99557429 630 33,11545194 0 12,56637062 720 54,59815 0 14,13716694 810 90,01713123 0 15,70796327 900 148,413159 0 17,27875960 990 244,691932 0

18,84955592 1080 403,4287931 0 20,42035225 1170 665,1416323 0 21,99114858 1260 1096,633157 0 23,56194491 1350 1808,042412 0 25,13274123 1440 2980,957983 0 26,70353756 1530 4914,768833 0 28,27433389 1620 8103,083915 0 29,84513021 1710 13359,72681 0 31,41592654 1800 22026,46576 0 32,98672287 1890 36315,50261 0 34,55751919 1980 59874,1416 0 36,12831552 2070 98715,77082 0 37,69911185 2160 162754,7911 0 39,26990818 2250 268337,286 0 40,84070450 2340 442413,391 0 42,41150083 2430 729416,3682 0 43,98229716 2520 1202604,281 0 45,55309348 2610 1982759,259 0 47,12388981 2700 3269017,364 0 48,69468614 2790 5389698,462 0 50,26548246 2880 8886110,496 0 51,83627879 2970 14650719,39 0 53,40707512 3060 24154952,68 0 54,97787144 3150 39824784,28 0 56,54866777 3240 65659968,94 0 58,11946410 3330 108254987,4 0 59,69026043 3420 178482300,4 0 61,26105675 3510 294267565,1 0 62,83185308 3600 485165193,8 0 64,40264941 3690 799902174,7 0 65,97344573 3780 1318815730 0 67,54424206 3870 2174359546 0 69,11503839 3960 3584912833 0 70,68583471 4050 5910522041 0 72,25663104 4140 9744803408 0 73,82742737 4230 16066464657 0 75,39822370 4320 26489122022 0 76,96902002 4410 43673178917 0 78,53981635 4500 72004899033 0 80,11061268 4590 1,18716E+11 0 81,68140900 4680 1,9573E+11 0 83,25220533 4770 3,22704E+11 0 84,82300166 4860 5,32048E+11 0 86,39379798 4950 8,77199E+11 0 87,96459431 5040 1,44626E+12 0

89,53539064 5130 2,38447E+12 0 91,10618697 5220 3,93133E+12 0 92,67698329 5310 6,48167E+12 0 94,24777962 5400 1,06865E+13 0 95,81857595 5490 1,7619E+13 0 97,38937227 5580 2,90488E+13 0 98,96016860 5670 4,78935E+13 0

100,53096493 5760 7,8963E+13 0 102,10176126 5850 1,30188E+14 0 103,67255758 5940 2,14644E+14 0 105,24335391 6030 3,53887E+14 0 106,81415024 6120 5,83462E+14 0 108,38494656 6210 9,61966E+14 0 109,95574289 6300 1,58601E+15 0 111,52653922 6390 2,61489E+15 0 113,09733554 6480 4,31123E+15 0 114,66813187 6570 7,10802E+15 0 116,23892820 6660 1,17191E+16 0

" ∞

Suma de Coseno 0 Suma de Seno 0

Anexo 2.2. Ceros no triviales parte real e imaginaria y función zeta asimétrica - Modelamiento n = 240 y σ = 1/2 “t” curva coseno “t” curva seno Curva Zeta Precisión P2

0,404 0 1,05555 0,762626 1,6464 1,338384 2,2121 1,9343

2,83333 2,5151 3,409 3,126263

4,0707 3,7373 4,5909 4,3333 5,2373 4,9242 5,5656 5,3737 6,2575 5,9393 6,7373 6,4696

7,51019 7,1414 7,9898 7,7333

8,419192 8,9848 8,979798 0,14 0,51 9,515152 9,8939

10,9019 10,41919 11,13636

11,29293 11,68182 12,15152 12,4697

12,6464 12,9444 13,4292

13,8 13,80808 0,1 0,3614,1111 14,7222 14,3585 15,4242 15,16667 15,9393 15,58081

16,5303 16,8737 17,7373

20,0656 20,4343 20,6717 20,99495 20,49495 0,42 0,2721,3585 21,5303 21,7828 23,06061

23,7727 24,6767 24,1919

25,29798 24,9697 27,6767 23,75758 0,32 0,25

29,3737 29,8888 29,90909 0,16 0,2130,4343 30,6111 30,62626 0,18 0,2130,7777 31,33838

31,76768 31,7778 0,5 0,2133,2828 32,21212 32,707 32,93434 32,87879 0,5 0,20

35,62121 37,2474 37,5454 37,57576 0,32 0,1940,7676 39,1414 41,1969 41 41,0101 0,26 0,1843,0454 42,5 43,5909 43,24243 43,20202 0,42 0,17

45,55052 47,3838 47,86869 48,101 48,5101

49,33838 49,25253 0,18 0,1649,9545 49,71717 49,87879 0,1 0,1650,2373 51,75758

52,69697 52,68687 0,14 0,1655,8585 54,69697

56,17172 0,28 0,1556,0505 56,74747 56,80808 0,4 0,15

57,62626 58,9343 59,3983 59,26269 59,29293 0,14 0,15

59,91919 61,1414 60,40909 60,4242 0,08 0,15

61,13131 0,26 0,1561,8283 63,12121 64,5808 65,06566 65,13131 0,32 0,1465,2222 65,70202 67,0656 67,3989 67,16667 67,15152 0,1 0,1469,4191 68,45455 69,8484 69,5656 69,56566 0,2 0,1471,8989 71,15152 72,2777 72,02525 72,0101 0,16 0,13

73,63636 74,9444 75,51516 75,61616 0,24 0,13

75,66162 75,99495 76,9596 78,7424 77,26263 0,16 0,13

79,4596 79,4494 79,45455 0,02 0,1380,02525 81,12121

82,3838

82,93434 82,9899 0,06 0,13 83,00505 83,71717

84,40709 84,8585 84,64646 84,65657 0,28 0,13

87,58586 87,59596 0,04 0,12 88,46465 88,86869 0,33 0,12

88,8232 88,97475 89,5505

92,00505 90,75758 92,60605 92,48485 92,53535 0,26 0,12

93,11111 94,7222 94,70707 0,06 0,12 95,35859

95,7777 95,85354 95,80808 0,09 0,1296,42929 97,72222

98,80808 98,80808 0,1 0,12 99,98485 101,3838 101,3838 0,1 0,12 102,2677

103,601 103,7879 103,7879 0,02 0,11103,7576 104,5303 105,3636 105,3737 105,3737 0,01 0,11105,4242

107,1818 0,16 0,11

Anexo 2.3. Ceros no triviales parte real e imaginaria y función zeta asimétrica- Algoritmo σ = 0,5

n = 240 240 240 1E+306 1E+306 1E+306 1E+306 Real Im Zeta Real Im Real Im 0,400310 0,763943 8,8437 0,00671 0,0313 3,56234 5,151944 1,071770 1,357583 10,0335 0,02012 0,044714 3,60693 5,312463 1,662860 1,972383 11,2383 0,04248 0,058128 3,65152 5,753889 2,255620 2,532337 12,4536 0,05589 0,062599 3,82542 6,159643 2,832090 3,135477 15,5417 0,07825 0,076013 3,99486 6,440549 3,414480 3,689647 20,5892 0,09166 0,089426 4,28469 6,614443 3,988250 4,289659 21,3304 0,12296 0,098368 4,44967 7,091536 4,567120 4,841838 29,8514 0,1319 0,111781 4,4898 7,185171 5,140080 5,440572 30,5917 0,14531 0,125193 4,57006 7,207465 5,717280 5,991835 31,8188 0,15425 0,129664 4,81084 7,345688 6,289950 6,589925 32,8931 0,16319 0,138605 4,8911 8,143813 6,866190 7,140692 37,5853 0,17213 0,147546 4,93123 9,463614 7,438760 7,738412 40,9556 0,18107 0,152016 5,16755 9,606295 8,014400 8,288880 43,2537 0,19001 0,169897 5,20768 9,869363 8,586930 8,886368 48,003 0,19895 0,187777 5,47967 9,909492 9,162160 9,436643 49,089 0,20789 0,205656 5,5956 9,98975 9,734700 10,033976 49,8915 0,2213 0,214595 5,71153 10,070008

10,309630 10,584118 53,0932 0,23024 0,259286 6,01919 10,110137 10,882180 11,181343 56,3162 0,26152 0,263755 6,24659 10,408875 11,456890 11,731390 59,3618 0,26599 0,299502 6,39819 10,587226 12,029470 12,328536 60,5534 0,28833 0,308438 6,54979 11,273877 12,604000 12,878513 60,9893 0,2928 0,362048 6,88866 11,603826 13,176600 13,475599 65,1311 0,33301 0,370982 6,96446 13,342745 13,751000 14,025523 67,1592 0,33748 0,429046 7,07593 13,418544 14,323630 14,622564 69,5537 0,35088 0,437978 7,15173 13,926843 14,897910 15,172446 72,0149 0,37768 0,442444 7,2632 14,020477 15,470560 15,769451 75,6493 0,38215 0,460307 7,56194 14,395013 16,044750 16,319301 77,2904 0,40448 0,478169 7,78488 14,488647 16,617430 16,916277 79,4077 0,40895 0,482634 8,70785 15,696971 17,191540 17,466100 82,8969 0,44021 0,49603 9,51489 16,214187 17,764240 18,063052 84,6739 0,45361 0,509425 9,88051 16,343491 18,338280 18,612854 87,3963 0,46254 0,51389 10,09899 16,49063 18,911010 19,209787 88,8369 0,55184 0,59425 10,2818 17,409134 19,484990 20,356488 92,5293 0,56077 0,634424 10,53595 17,574108 20,057730 20,906256 94,7397 0,57416 0,643351 11,00858 18,122535 20,631660 21,503160 95,8508 0,60541 0,652278 11,22706 18,305344 21,204430 22,052916 98,8299 0,6188 0,679058 12,13219 19,397739 21,778310 22,649808 0,64112 0,746002 12,42201 19,634053 22,924940 23,199553 0,6679 0,804014 12,78317 20,160186 23,497740 23,796435 0,69468 0,875407 13,14433 20,450005 24,071550 24,346171 0,74377 0,879869 13,57683 20,739824

26,937570 25,492772 0,75716 0,915563 13,93799 21,408637 28,084150 26,639359 0,76162 0,991408 13,97366 22,166625 28,657850 27,236219 0,77501 1,004792 14,44183 22,616959 29,804400 27,785933 0,77947 1,027098 14,4775 23,085128 32,097470 28,382787 0,79732 1,067248 14,94567 23,642472 33,243990 28,932496 0,85979 1,07617 15,52085 24,271156 33,816900 29,529345 0,8821 1,085092 15,55652 25,04252 34,390510 30,079049 0,96241 1,147544 16,1317 25,060355 36,109950 31,225593 0,96687 1,165387 16,88523 26,045739 36,683530 31,822434 1,03379 1,178769 17,63876 27,940708 39,549480 35,811699 1,03825 1,192151 18,64198 27,958543 40,123030 36,408527 1,12301 1,214454 18,67765 27,976378 41,842480 38,104718 1,12747 1,352727 19,71654 27,994213 42,416010 39,251221 1,18992 1,392869 19,75221 30,134413 44,135470 41,544215 1,25683 1,41517 21,25481 30,152248 44,708980 42,690707 1,26575 1,41963 21,29048 30,170083 45,855460 44,434011 1,27021 1,678307 21,32615 30,187918 47,001940 46,130165 1,39956 1,731824 23,25679 32,394999 49,294890 46,726978 1,40848 1,763042 23,29246 33,692495 52,734300 47,276646 1,4174 1,7898 23,32813 33,71033 53,307310 49,019935 1,42186 1,838856 36,16933 34,793806 53,880770 54,155489 1,43078 1,883452 36,205 35,716767 56,173700 54,752295 1,4397 1,914669 36,24067 56,746720 55,301957 1,44862 2,066292 36,27634 37,348669 61,332580 57,045228 1,5735 2,186696 39,6962 64,198920 59,338156 1,58242 2,235749 39,73187 67,064880 59,887815 1,59134 2,249127 42,72369 40,732859 68,784740 60,484618 1,60026 2,275883 42,75936 45,155937 70,504250 66,766570 1,60472 2,347232 45,32314 46,163614 72,797160 67,913026 1,61364 2,427499 47,81558 47,612707 73,370550 70,205936 1,62256 2,48101 50,05833 49,02613 74,517000 70,802735 1,78757 2,65046 52,30108 51,26888 75,663450 72,498843 1,79203 2,788694 54,36548 54,693198 76,236520 75,938199 1,90352 3,033945 56,46555 55,522525 76,809900 77,681447 1,90798 3,091913 58,42294 77,382970 79,377550 1,99271 3,163258 60,416 60,7080479 77,956350 81,120796 2,08636 3,167717 62,30205 79,102800 85,706588 2,15325 3,261357 64,22377 64,5158179 83,688590 88,549133 2,2246 3,265816 66,03848 85,408120 90,842025 2,22906 3,73847 67,92453 87,127930 94,878155 2,35838 4,028302 69,70357 89,420820 2,36284 4,095186 71,51828 71,1058459 89,993910 2,42081 4,157611 73,26165 91,713710 2,53675 4,376098 75,04069 76,4072959 95,726140 2,54121 4,469735 76,74839 76,7595369 97,445930 2,86227 4,514324 80,19946 78,1506659

98,019030 3,00942 4,558913 81,94283 80,5628479 3,05847 4,643632 83,61486 82,9571949 3,15211 4,683762 85,32256 3,20116 4,723892 88,66662 3,33939 4,799693 90,30298 3,38398 4,875494 93,61137 85,6681129 3,42857 4,982507 95,2834 86,0025189 98,55612 97,9519598 99,5883198 ALGORITMO PARA CALCULAR CEROS DE LA FUNCIÓN ZETA (Hoja Excel) Sub cerosZeta() z = 0.5 f = 5 SUC = 0 SUS = 0 minimo = 1000000 For t = 0.01 To 100 Step 0.0001 For n = 1 To 240 SUC = Cos(-t * Log(n)) / n ^ z + SUC SUS = Sin(-t * Log(n)) / n ^ z + SUS Next n zeta = ((SUC) ^ 2 + (SUS) ^ 2) ^ 0.5 If minimo < zeta Then If zeta < 0.5 Then If c = 1 Then Sheets("ceros").Cells(f, 7) = t Sheets("ceros").Cells(f, 8) = zeta f = f + 1 c = 2 End If End If Else c = 1 End If SUC = 0 SUS = 0 minimo = zeta Next t End Sub

Anexo 2.4. Ceros no triviales función zeta asimétrica- Algoritmo σ = 1,0 n =240 n =240 n = 5.000 Zeta Precisión Zeta Precisión Zeta Precisión 1,03970 0,09833328 131,02390 0,60866341 0,6916 0,06511023 2,09350 0,20383032 133,61160 0,59706892 1,3862 0,13202305 3,16730 0,32503458 134,55600 0,69711804 2,0861 0,20300609 4,26100 0,470078 138,32410 0,76901479 2,7922 0,28049207 5,37270 0,64325675 139,77050 0,47454338 3,5043 0,36685892 6,50180 0,84066932 140,96580 0,5225476 4,2222 0,46399242

12,63950 0,84994232 143,00840 0,91909839 4,9453 0,57284572 13,69380 0,37380976 146,17480 0,80381512 5,6734 0,69294468 14,39910 0,3225371 147,36770 0,71086668 6,4063 0,82179859 21,24630 0,4462248 150,70700 0,40816915 7,1442 0,95424679 24,93940 0,45734407 156,38920 0,73846236 12,4892 0,87086087 30,57910 0,43276574 157,69260 0,45594141 13,2457 0,55739547 32,87300 0,43930018 158,69540 0,52670599 13,8935 0,28759224 37,60090 0,61167675 161,19980 0,87682849 14,4458 0,33173041 40,96200 0,46357488 165,66690 0,82015258 20,7229 0,50675876 43,23170 0,56217317 167,19240 0,6089069 21,1625 0,39625264 48,07070 0,47612144 169,24700 0,40949947 24,9139 0,46016096 49,77700 0,45473915 174,76660 0,59717801 30,2978 0,47795289 52,93740 0,76041632 176,38860 0,65054911 30,6969 0,46505394 56,48030 0,73236352 178,40050 0,68904028 31,4587 0,68129249 59,41020 0,41220636 179,78840 0,8356238 32,9245 0,44365805 60,53050 0,4815278 185,40730 0,33265541 37,547 0,62181566 65,19850 0,65247824 187,08030 0,67197934 41,0439 0,47693908 67,10600 0,5271486 192,96130 0,59434974 43,2693 0,56196879 69,53270 0,62412096 195,35100 0,68289216 48,0081 0,49880132 72,00170 0,83687932 196,90220 0,54632164 48,3695 0,51492533 75,82840 0,50997139 202,49630 0,55066526 49,8046 0,44875958 77,07880 0,44182363 204,22500 0,52110931 52,9322 0,72339334 79,23420 0,7477633 209,54980 0,95912102 56,536 0,70743324 83,04710 0,73639837 211,78800 0,76379637 59,5165 0,41559172 84,67240 0,60317771 213,44460 0,51418658 60,3271 0,49543073 87,56080 0,51958872 214,38500 0,53642832 60,7654 0,49799275 88,66320 0,59473248 216,00370 0,98036053 65,2943 0,67665674 92,59820 0,79776496 219,28750 0,91315541 67,0148 0,51928178 94,80010 0,40969158 220,96340 0,37460225 69,5388 0,65195806 95,71040 0,45432922 224,21250 0,62549346 72,0382 0,83444984 98,83580 0,95285045 229,40320 0,85162691 75,8755 0,48840123

101,36310 0,85077067 231,53900 0,36252325 77,1408 0,42501706 103,83950 0,58257391 233,48750 0,93756381 79,2885 0,73313082 105,38390 0,51741502 237,75020 0,69911332 107,04430 0,77343173 239,58170 0,67754681 111,74190 0,38814868 241,01460 0,68299363

114,31960 0,66683581 242,83780 0,71283848 116,17750 0,81758576 243,72670 0,90372611 118,81070 0,99552505 248,08360 0,46819735 121,48250 0,58934944 249,52150 0,54262093 122,99030 0,43794725 250,84440 0,77062147 129,64140 0,61530581 255,53600 0,7352833