ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL LITORAL

FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMATICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

SOLUCION Y RUBRICA

Primera Evaluacion de ECUACIONES DIFERENCIALES5 de Julio de 2013

1. (10 puntos) Resuelva la siguiente ecuacion diferencial:

y′ + xy = x√y

.

SOLUCION:

La ecuacion y′ + xy = xy1/2 es de Bernoulli. Utilizando el cambio de variable z = y1−1/2 yreemplazando z′ = 1

2y−1/2y′ se tiene: z′ + 1

2xz = x

2

Alternativa 1:

De z′ + 12xz = 0 se tiene:

z′ = −12xz ⇒ z′

z= −1

2x ⇒ ln|z| = −x2

4+ C ⇒ z0 = Ce−

x2

4 (Solucion Homogenea).

La solucion particular es clara al observar que para z1 = 1 ⇒ z′1 = 0 ⇒ 0 + 12x(1) = x

2⇒

z = Ce−x2

4 + 1

Alternativa 2:

Resolviendo z =∫

u(x)g(x)dx+C

u(x), donde u(x) = e

∫

p(x)dx:

u(x) = e∫

12xdx = e

x2

4 ⇒ z =

∫

x2e

x2

4 dx+ C

ex2

4

=e

x2

4 + C

ex2

4

⇒ z = Ce−x2

4 + 1

1 Reconoce la ecuacion de Bernoulli 2 puntos2 Obtiene correctamente z′ + 1

2xz = x 2 puntos

3 Encuentra la solucion de la ecuacion homogenea z′ + 12xz = 0 2 puntos

4 Encuentra la solucion particular zp = 1 2 puntos5 Presenta la solucion z = zc + zp y realiza el cambio de variable 2 puntos

1

2. (10 puntos) Resuelva la ecuacion:d2y

dx2= x2y

haciendo el cambio de variable u = x2 y conociendo quedy

du= 0 para x ≤ 0.

SOLUCION:

u = x2 ⇒ du

dx= 2x

⇒ dy

dx=

dy

du

du

dx= 2x

dy

du

⇒ d2y

dx2= 2

dy

du+ 2x

d2y

du2

du

dx= 2

dy

du+ 4u

d2y

du2

Entonces se tiene: 4ud2y

du2+ 2

dy

du= uy

⇒ d2y

du2+

1

2u

dy

du− 1

4y = 0 y como

dy

du= 0,

⇒ d2y

du2− 1

4y = 0, y de la ecuacion caracterıstica correspondiente r2 =

1

4⇒ r = ±1

2

⇒ y(u) = C1e12u + C2e

− 12u ⇒ y(x) = C1e

x2

2 + C2e−x

2

2

1 Si calcula correctamente la primera y segunda derivada 3 puntos2 Sustituye correctamente la segunda derivada en la ecuacion original 2 puntos3 Aplica la hipotesis y resuelve 3 puntos4 Escribe la solucion en la variable original 2 puntos

3. (15 puntos) El “Hombre de Acero” se encuentra 100 metros por encima de Luisa Lane en elmomento en que ella es dejada caer por el General Zod desde la ventana de un edificio. En eseinstante el va en busca de ella. Superman logra atrapar y salvar a Luisa cuando ella alcanzauna velocidad de 24,542 m

seg. El aire ofrece una resistencia que es proporcional a la velocidad

instantanea con una constante α = 20 kgseg

. ¿Cuantos segundos tarda Superman en alcanzar aLuisa? ¿Que fuerza constante hacia abajo en Newtons necesito Superman? Suponga que lasmasas de Superman y de Luisa son, respectivamente, de 75 y 50 kg. Trabaje con gravedadg = 10 m

seg2

SOLUCION:

La caıda libre de Luisa y las condiciones del problema resulta en la ecuacion diferencial

mg − αv = mdv

dt

2

Resolviendo para v se obtiene:

vL(t) =mLg

α+(

��v0 −mLg

α

)

e− αt

mL

como vL(t) =dxdt, donde xL(t) es la posicion luego del tiempo t, se obtiene:

xL(t) =mLg

αt− mL

α

(

��v0 −mLg

α

)

e− αt

mL +mL

α

(

��v0 −mLg

α

)

Reemplazando los datos del problema en la ecuacion de v(t) se obtiene:

24,542 =(50)(10)

20+

(

−(50)(10)

20

)

e−2050

t ⇒ tL = 10seg

y la posicion de Luisa en el tiempo t = 10 reemplazando en la ecuacion de xL(t):

xL(10) =(50)(10)

20(10)− 50

20

(

−(50)(10)

20

)

e−(20)(10)

50 +50

20

(

−(50)(10)

20

)

⇒ xL(10) = 188,65

Por lo tanto, el tiempo que le toma a Superman llegar a Luisa y la posicion de superman enel tiempo t, son respectivamente tS = 10seg y xS(10) = 100 + 188,65 = 288,65

Para Superman las condiciones del problema nos llevan a la siguiente ecuacion diferencial:

(mg + F )− αv = mdv

dt

donde F es la fuerza que imprime Superman para alcanzar a Luisa,

Resolviendo para v se obtiene:

vS(t) =mSg + F

α+

(

��v0 −mSg + F

α

)

e− αt

mS

y nuevamente resolviendo para xS(t) se obtiene:

xS(t) =mSg + F

αt− mS

α

(

��v0 −mSg + F

α

)

e− αt

mS +mS

α

(

��v0 −mSg + F

α

)

Reemplazando los datos de Superman del problema en la ecuacion de xS(t) se obtiene:

288,65 =(75)(10) + F

20(10)− 75

20

(

−(75)(10) + F

20

)

e−(20)(10)

75 +75

20

(

−(75)(10) + F

20

)

⇒ F = 886,6966− 750 ⇒ F = 136,6966N

3

1 Plantear la ecuacion diferencial para Luisa en terminos de la velocidad 1 punto2 Encontrar que toma t = 10seg que Luisa sea atrapada por Superman 3 puntos3 Calcular la distancia que recorre Luisa en su caıda de x = 188,65 metros 4 puntos4 Plantear la ecuacion diferencial para Superman en terminos de la velocidad 2 puntos5 Encontrar la fuerza constante F = 136,7 Newtons 5 puntos

4. (10 puntos) Resuelva la siguiente ecuacion diferencial:

y′′′ − 7y′′ + 16y′ − 12y = xe2x

SOLUCION:

y′′′ − 7y′′ + 16y′ − 12y = xe2x (1)

Resolviendo la ecuacion homogenea:

y′′′ − 7y′′ + 16y′ − 12y = 0

Considerando:yc(x) = erx

y′c(x) = rerx

y′′c (x) = r2erx

y′′′c (x) = r3erx

Reemplazando y simplificando se tiene que:

erx(r3 − 7r2 + 16r − 12) = 0

de donde se tiene que:(r3 − 7r2 + 16r − 12) = 0

resolviendo la ecuacion anterior se tiene las raıces r1 = 2, r2 = 2, r3 = 3 por lo que:

yc(x) = c1e2x + c2xe

2x + c3e3x

Encontramos una solucion particular por el metodo de coeficientes indeterminados de laforma:

yp(x) = (Ax+B)e2xxs

donde s = 2 por lo que:yp(x) = (Ax3 + Bx2)e2x

entonces:

y′p(x) = (3Ax2 + 2Bx)e2x + 2(Ax3 + Bx2)e2x (2)

y′′p(x) = (6Ax+ 2B)e2x + 4(3Ax2 + 2Bx)e2x + 4(Ax3 +Bx2)e2x (3)

4

y′′′p (x) = 6Ae2x + 6(6Ax+ 2B)e2x + 12(3Ax2 + 2Bx)e2x + 8(Ax3 + Bx2)e2x (4)

Reemplazando las ecuaciones (2),(3) y (4) en la ecuacion (1) y simplificando se tiene que:

−(6Ax+ 2B)e2x + 6Ae2x = xe2x

⇒ −6Axe2x + (−2B + 6A)e2x = xe2x

por lo que:

−6A = 1 ⇒ A = −1

6

−2B + 6A = 0 ⇒ B = −1

2

entonces una solucion particular de la ecuacion 1 es:

yp(x) = (−1

6x3 − 1

2x2)e2x

y la solucion general de la ecuacion 1 es

y(x) = c1e2x + c2xe

2x + c3e3x + (−1

6x3 − 1

2x2)e2x

1 Plantea la ecuacion homogenea y su respectiva ecuacion caracterıstica 1 punto2 Encuestra las tres raıces de la ecuacion caracterıstica r1 = 2, r2 = 2, r3 = 3 2 puntos3 Expresa la solucion de la ecuacion homogenea yc(x) = c1e

2x + c2xe2x + c3e

3x 2 puntos4 Plantea la solucion particular yp(x) = (Ax+ B)e2xx2 1 puntos5 Deriva, reemplaza y calcula A = −1

6y B = −1

22 puntos

6 Presenta la solucion y = yc + yp 2 puntos

5. (15 puntos) Encuentre la solucion de la siguiente ecuacion diferencial en potencias de x:

(x− 1)2y′′ + (x− 1)y′ − y = 0

Ademas, utilizando artificios algebraicos que correspondan, determine a que funciones sen-cillas convergen las soluciones.

SOLUCION:

(x2 − 2x+ 1)∞∑

n=2

an(n)(n− 1)xn−2 + (x− 1)∞∑

n=1

an(n)xn−1 −

∞∑

n=0

anx2 = 0

∞∑

n=2

an(n)(n−1)xn−2∞∑

n=2

an(n)(n−1)xn−1+∞∑

n=2

an(n)(n−1)xn−2+∞∑

n=1

an(n)xn−

∞∑

n=1

an(n)xn−1−

∞∑

n=0

anxn = 0

5

∞∑

n=2

an(n)(n − 1)xn − 2∞∑

n=1

an+1(n)(n + 1)xn +∞∑

n=0

an+2(n + 1)(n + 2)xn +∞∑

n=1

an(n)xn −

∞∑

n=0

an+1(n+ 1)xn −∞∑

n=0

anxn = 0

−2a2(1)(2)x1 + a2(2)(1)x

0 + a3(3)(2)x1 + 1a1x

1 − a1x0 − a2(2)x

1 − a0x0 − a1x

1 +∞∑

n=2

[n(n−

1)an − 2an+1(n)(n+ 1) + an+2(n+ 1)(n+ 2) + nan − an+1(n+ 1)− an]xn = 0

[2a2 − a1 − a0]︸ ︷︷ ︸

a2=12a0+

12a1

x0 + [−4a2 + 6a3 + a1 − 2a2 − a1]︸ ︷︷ ︸

a3=12a0+

12a1

x1

+∞∑

n=2

[n(n− 1)an − 2an+1(n)(n+ 1) + an+2(n+ 1)(n+ 2) + nan − an+1(n+ 1)− an]︸ ︷︷ ︸

an+2=an+1(n+1+2n2+2n)+an(−n2+n−n+1)

(n+1)(n+2)=

an(n+1+2n2+2n−n2+1)(n+2)(n+1)

=an����

(n2+3n+2)

���(n+1)���(n+2)=an ;n≥2

xn = 0

⇒ y(x) = a0 + a1x+

(1

2a0 +

1

2a1

)

x2 +

(1

2a0 +

1

2a1

)

x3 +

(1

2a0 +

1

2a1

)

x4 + · · ·

⇒ y(x) = a0

(

1 +1

2x2 +

1

2x3 + · · ·

)

︸ ︷︷ ︸

1+ 12

(

x2

1−x

)

+a1

(

x+1

2x2 +

1

2x3 + · · ·

)

︸ ︷︷ ︸

x+ 12

(

x2

1−x

)

⇒ y(x) = a0

(

1 +1

2

(x2

1− x

))

+ a1

(

x+1

2

(x2

1− x

))

1 Si el estudiante nada hace o presenta incoherencias en el desarrollo del tema 0 puntos

2Se define la funcion a determinar en terminos de series y reemplaza

3 puntosen la ecuacion

4Determina correctamente la relacion de recurrencia y los valores

4 puntosde los coeficientes a2 y a3

4Genera algunos terminos de la relacion de recurrencia y determina las

3 puntosdos soluciones expresadas en series de potencias de la ecuacion dada

5Determina las dos funciones a las cuales convergen

5 puntoslas series de potencias encontradas

6. (10 puntos) Si las funciones y1 y y2 son soluciones linealmente independientes de L[y] =y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0, determine bajo que condiciones las funciones y3 = a1y1 + a2y2 yy4 = b1y1 + b2y2 tambien forman un conjunto linealmente independiente de soluciones. Jus-tifique cada paso con su demostracion.

SOLUCION:

Reduciendo el Wronskiano se tiene :

W (y3, y4) =

∣∣∣∣

a1y1 + a2y2 b1y1 + b2y2a1y

′1 + a2y

′2 b1y

′1 + b2y

′2

∣∣∣∣= (a1b2 − b1a2)(y1y

′2 − y2y

′1) 6= 0

6

y como se sabe que y1 y y2 son linealmente independientes, se tiene que

∣∣∣∣

y1 y2y′1 y′2

∣∣∣∣= (y1y

′2 − y2y

′1) 6= 0

entonces (a1b2 − b1a2) 6= 0 para que y3 y y4 sean linealmente independientes.

Por lo tanto la condicion que se busca es:

∣∣∣∣

a1 a2b1 b2

∣∣∣∣6= 0

1 Reconoce el uso del Wronskiano para resolver el problema 1 puntos2 Reduce y agrupa el Wronskiano a (a1b2 − b1a2)(y1y

′2 − y2y

′1) 6= 0 3 puntos

3 Determina que (y1y′2 − y2y

′1) 6= 0 por que y1 y y2 son Linealmente independientes 3 puntos

4 Determina las condiciones para que y3 y y4 sean linealmente independientes 3 puntos

7