SOLUCION DE ECUACIONES NO LINEALES

Método de bisección

El método de bisección se basa en el siguiente teorema de Cálculo:Teorema del Valor Intermedio

Sea     contínua en un intervalo    y supongamos que   . Entonces

para cada    tal que   , existe  un   tal que   . La misma conclusión se obtiene para el caso que   .

Básicamente el Teorema del Valor Intermedio nos dice que toda función contínua en un intervalo cerrado, una vez que alcanzó ciertos valores en los extremos del intervalo, entonces debe alcanzar todos los valores intermedios.

En particular, si     y    tienen signos opuestos, entonces un valor intermedio es precisamente  ,  y  por lo tanto, el Teorema del Valor Intermedio nos asegura que debe

existir    tal que  , es decir, debe haber por lo menos una raíz de    en el intervalo  .

El método de bisección sigue los siguientes pasos:

Sea    contínua,

i) Encontrar valores iniciales   ,     tales que     y     tienen signos opuestos, es decir,

 

ii) La primera aproximación a la raíz se toma igual al punto medio entre     y   :

 

iii) Evaluar   . Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos:

En este caso,  tenemos que     y     tienen signos opuestos, y por lo tanto la

raíz se encuentra en el intervalo   . 

En este caso,  tenemos que     y     tienen el mismo signo, y de aquí

que     y    tienen signos opuestos. Por lo tanto, la raíz se encuentra en el

intervalo   .

En este caso se tiene que    y por lo tanto ya localizamos la raíz.

El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que:

 

es decir,

 

Método de la Regla Falsa Modificada

Al igual que en el método de la regla falsa debemos construir una recta y luego encontrar su intersección con el eje de las abscisas. Esta intersección será nuestro nuevo punto de división para el intervalo. Como el único cambio que hicimos fue tomar la mitad del valor de la función en el primer extremo del intervalo, podemos modificar la fórmula de recurrencia obtenida anteriormente solamente dividiendo por dos en donde aparezca ƒ(xn), cuando este extremo se halla repetido dos veces. Existe una sola excepción la regla: en la

primera iteración no es necesario esperar más dos repeticiones para efectuar la división. La forma en que vamos seleccionando el intervalo con el que seguiremos el análisis sigue siendo la misma que utilizamos en los métodos de bisección y regla falsa: el producto de la función evaluada en los extremos para verificar el cambio de signo.

Método de Iteración de punto fijo

Dada una ecuación f(x) = 0, podemos transformarla, de alguna manera, en otra equivalente del tipo x = g(x) para alguna función g. En este caso se tiene que: a es raíz de f(x) = 0 ↔ f(a) = 0 ↔ a = g(a) ↔ a es raíz de x = g(x).

Definición:

Un número a tal que a = g(a) se dice un punto fijo de la función g. Cuándo una función g tiene un punto fijo, y si lo tiene, cómo encontrarlo?

Teorema de punto fijo:

Si g es una función continua en [a, b] y g(x) ε[a, b] para todo x ε[a, b], entonces g tiene por lo menos un punto fijo en [a, b]. Si además, g’(x) existe para todo x ε[a, b], y |g’(x)| ≤ K < 1 para todo x ε[a, b], K constante, entonces g tiene un único punto fijo x ε[a, b]. La sucesión {xn}, con n definida, se encuentra mediante la fórmula de iteración:

 

El comportamiento de los esquemas de punto fijo puede variar ampliamente desde la divergencia, lenta convergencia, a la rápida convergencia.

La vía más simple (aunque no más general) de caracterizar el comportamiento de la iteración de punto fijo es considerar la derivada de g en la solución x*.

Si x* = g(x*) y |g’(x*)| < 1, entonces el esquema es localmente convergente. Es decir, existe un intervalo conteniendo x*tal que el correspondiente esquema iterativo es convergente si comienza dentro del intervalo.

Método de Newton-Raphson

Este método es uno de los más utilizados para localizar raíces ya que en general es muy eficiente y siempre converge para una función polinomial.

Se requiere que las funciones sean diferenciables, y por tanto, continuas, para poder aplicar este método.

Se debe partir de  un valor inicial para la raíz: xi , este puede ser cualquier valor, el método convergirá a la raíz mas cercana.

Si se extiende una tangente desde el punto   , el punto donde esta tangente cruza al eje x representa una aproximación mejorada de la raíz.

 

La fórmula de Newton-Raphson se deduce a partir de la fórmula de la pendiente de una recta.

Pendiente de una recta:

Hay que determinar un número máximo de iteraciones

Normalmente esto se hace considerando una “tolerancia” , esto es:

El valor absoluto de la diferencia de la   debe ser menor que la tolerancia o el resultado de alguna fórmula de error debe ser menor que la tolerancia dada.

Una de las fórmulas de error más útiles es la del error relativo porcentual aproximado:

x100 %

El método de Newton-Raphson es convergente cuadráticamente, es decir, el error es aproximadamente al cuadrado del error anterior.

Esto significa que el numero de cifras decimales correctas se duplica aproximadamente en cada interacción.

Cuando el método de Newton-Raphson converge, se obtienen resultados en relativamente pocas interacciones, ya que para raíces no repetidas este método converge con orden 2 y el error Ei+1 es proporcional al cuadrado del resultado anterior Ei.

Supóngase que el error en una iteración es 10-n el error en la siguiente, (que es proporcional al cuadrado del  error anterior) es entonces aproximadamente 10-2n, el que sigue será aproximadamente 10-4n etc.

De esto puede afirmarse que de cada iteración duplica aproximadamente el numero de dígitos correctos.

Sin embargo el método de Newton-Raphson algunas veces no converge, sino que oscila. Esto ocurre si no hay raíz real, si la raíz es un punto de inflexión o si el valor inicial está muy alejado de la raíz buscada  y alguna otra parte de la función “atrapa” la iteración

Método de la secante

El principal inconveniente del método de Newton estriba en que requiere conocer el valor de la primera derivada de la función en el punto. Sin embargo, la forma funcional de f(x) dificulta en ocasiones el cálculo de la derivada. En estos casos es más útil emplear el método de la secante.

El método de la secante parte de dos puntos (y no sólo uno como el método de Newton) y estima la tangente (es decir, la pendiente de la recta) por una aproximación de acuerdo con la expresión:

 

Sustituyendo esta expresión en la ecuación del método de Newton, obtenemos la expresión del método de la secante que nos proporciona el siguiente punto de iteración:

      

Figure: Representación geométrica del método de la secante.

  

En la siguiente iteración, emplearemos los puntos x1 y x2para estimar un nuevo punto más próximo a la raíz de acuerdo con la ecuación

En general, el método de la secante presenta las mismas ventajas y limitaciones que el método de Newton-Raphson explicado anteriormente.

Método de Horner

El método de horner también es llamo Algoritmo de Horner, sirve para evaluar de forma eficiente funciones polinómicas de una forma monomial. El algoritmo de Horner se usa a menudo para convertir entre distintos sistemas numéricos posicionales — en cuyo caso x es la base del sistema numérico, y los coeficientes así son los dígitos de la representación del número dado en la base x — y puede usarse también si x es una matriz, en cuyo caso la carga computacional se reduce aún más.

El método de Horner no es el único que existe, también existe el método de Ruffini. Su diferencia en esta es que en el método de horner se pueden resolver las divisiones de cualquier grado en el divisor pero el método de Ruffini es aconsejable utilizarse solo para exponentes de grado 1.

Ceros de un polinomio

En matemática, se conoce como raíz (o cero) de un polinomio o de una función (definida sobre cierto cuerpo algebraico) f(x) a todo elemento x perteneciente al dominio de dicha función tal que se cumpla:

F(x) = 0

Por ejemplo, dada la función:

F(X) = x² - 6(x) + 8

Planteando y resolviendo la ecuación:

0 = x² -6(X) + 8

Se tiene que 2 y 4 son raíces, ya que f(2) = 0 y f(4) = 0.

Método de Bairstow

En análisis numérico, el método de Bairstow es un algoritmo eficiente de búsqueda de las raíces de un polinomio real de grado arbitrario. El algoritmo apareció por primera vez en el apéndice del libro “Aerodinámica Aplicada”, escrito por Leonard Bairstow y publicado en1920. El algoritmo se diferencia de otros métodos en que encuentra tanto las raíces reales como las imaginarias (en parejas complejas conjugadas), utilizando únicamente aritmética real.

El método de Bairstow, Es un método iterativo relacionado con los métodos de Müller y Newton Raphson. El método consiste en el cálculo de las raíces de un polinomio buscando factores cuadráticos x^2-rx-s del mismo, es decir, tales que:

Evidentemente, si x^2-rx-s no es un factor cuadrático de p(x) se tendrá:

Tomando el polinomio en orden descendente y los coeficientes del mismo en orden ascendente:

Si en términos generales se tiene un polinomio descrito de la forma:

Y para efectos del ejemplo se tiene:

Si se asume como valor inicial para r=1 y s=1, se tiene que el polinomio factor cuadrático será:

Si se divide entre pc dará como resultado p1(x) y residuo Ax+B.

De manera general se puede bosquejar así:

Donde Ax+B es el residuo de la división. Siendo A y B funciones de r y de s, de forma que el método consiste en encontrar los valores de r y s que hacen:

Para ello se aplica el método de newton Raphson en la forma conocida, lo que conlleva la evaluación de la matriz jacobiana del sistema anterior, así como de las funciones A y B,

en cada iteración. Un modo de realizar estas evaluaciones, ya que la forma explícita de las funciones A(r,s) y B(r,s) no es conocida explícitamente, es construir el siguiente algoritmo:

Y encontrar los valores de A, B, A1 y B1 mediante el proceso similar al de Hörner siguiente que se obtiene al desarrollar los productos e identificar los coeficientes:Sean:

Resumiendo

Dado un polinomio de n potencia se encuentran dos factores, un  polinomio cuadrático y un polinomio de grado n-2.

La principal diferencia de este método, respecto a otros, es que permite calcular todas las raíces de un polinomio (reales e imaginarias).

Recuerde la forma factorizada de un polinomio por ejemplo:

Si se divide entre un factor que no es una raíz (por ejemplo, x+6), el cociente podría ser un polinomio de cuarto orden. Sin embargo, en este caso, podría haber residuo. Con estas bases se puede elaborar un algoritmo para determinar la raíz de un polinomio:

Suponiendo que el valor inicial de la raíz es x = t;

Al dividir el polinomio entre el factor x – t,

Determinando si existe un residuo, si no el valor es perfecto y la raíz es igual a t.

Si hay un residuo, el valor puede ser ajustado sistemáticamente y el procedimiento repetirse hasta que el residuo desaparezca y la raíz sea localizada.

El método de Bairstow se basa por lo general en esta aproximación. El proceso matemático depende de dividir el polinomio entre un factor.

Por ejemplo, Tomando el polinomio general con coeficientes iguales se tiene el polinomio general así:

Consecuentemente el proceso matemático depende de dividir el polinomio fn(x) entre un factor, tomando en cuenta la discusión del polinomio de deflación como sigue a continuación.

Supóngase que se tiene la raíz de orden n-esimo, y teniendo un adecuado procedimiento para eliminar la raíz encontrada, a este procedimiento de eliminar la raíz se le llama deflación polinomial.

Tomando el polinomio y coeficientes en Orden Ascendente de la forma general de un polinomio de orden n:

Se tiene un polinomio:

Ahora suponga que se divide la función polinomial de quinto orden por un factor de manera que se elimine una de sus raíces por ejemplo el factor (x+3) y se tiene una función de cuarto orden:

Con residuo cero para este caso.

Así se tiene que la forma general de un polinomio entre un factor x-t dará un segundo polinomio de un orden más bajo:

con residuo R=b0 en donde los coeficientes son obtenidos por la relación de recurrencia:

Para permitir la evaluación de raíces complejas este método divide la función entre el factor cuadrático:

Aplicándolo en la ecuación 

Resultando: 

Con residuo: 

Y aplicando la relación de recurrencia se obtiene los siguientes coeficientes para la ecuación anterior:

Se introduce el factor cuadrático para la determinación de las raíces complejas, porque si los coeficientes del polinomio original son reales, las raíces complejas se presentan en pares conjugados.

Si   es un divisor exacto del polinomio, las raíces complejas pueden ser determinadas con la formula cuadrática, por lo que el método cuadrático se reduce solo a determinar r y s que provocan que el factor cuadrático sea un divisor exacto y por consiguiente se obtiene un residuo igual a cero.

Entonces si   deben ser cero. Esto para que los valores de inicio al evaluar r y s conduzcan a este resultado, se debe de aplicar un camino para los valores iniciales o de inicio de manera que b0 y b1 tiendan a cero para ello se utiliza una técnica similar a la de Newton-Raphson.Pues b0 como b1 son funciones de r y s y se expanden utilizando la serie de Taylor:

Los valores de la parte izquierda de la igualdad son evaluados en r y s. Observe que el segundo término y el término de orden superior se han despreciado. Ya que en forma implícita – r y – s son muy pequeños y los términos de orden superior pueden ser despreciados, pero otra consideraciones que los valores de inicio de son tan cercanos a los valores de r y s de las raíces.

Para dar un valor inicial que se acerque a las raíces es el colocar las ecuaciones anteriores igual a cero y que resulte:

Si las variables ∆r y ∆s forman un sistema de ecuaciones de dos incógnitas y el método de Bairstow muestra que las derivadas parciales pueden resolverse por división sintética de las b en forma similar al camino en que las b en sí mismas fueron derivadas:

Entonces las derivadas parciales se obtienen por división sintética de las b, y las b con las derivadas parciales son sustituidas en las ecuaciones:

Y se obtiene:

Estas ecuaciones pueden ser resueltas para mejorar los valores de r y s, se podría utilizar el error aproximado para cada paso pero no es para nuestro caso realmente utilizado pero quedaría de la siguiente forma:

Cuando los dos valores fallan bajo un criterio especificado las raíces pueden determinarse con la siguiente ecuación:

Aquí pueden caber tres posibilidades:

El cociente es un polinomio de tercer orden o mayor. Para este caso, el método de Bairstow podría aplicarse al cociente para evaluar un nuevo valor de r y s. Los valores anteriores de r y s pueden servir como valores iniciales de para esta aplicación.

El cociente es cuadrático. Para este caso, el residuo de las raíces puede evaluarse con la

ecuación: 

El cociente es un polinomio de primer orden. Para este caso, el residuo es una sola raíz que puede evaluarse simplemente como: x=-s/r

Método cociente-diferencia

La manera más conocida para calcular la representación de Newton del polinomio interpolante, está basada en el método de diferencias divididas. Una gran ventaja sobre la forma clásica del método de Lagrange es que podemos agregar más nodos a la tabla de datos y obtener el polinomio interpolante sin tener que recalcular todo. Comparado con la forma modificada de Lagrange, no hay ganancia y más bien esta última forma es más estable. Aún así, el método de diferencias divididas tiene aplicaciones adicionales en otros contextos. Podemos calcular los ais usando el hecho de que P(xi ) = yi.

Si yk= f (xk), la fórmula anterior nos muestra que cada ak depende de x0, x1,…, xk. Desde muchos años atrás se usa la notación ak= f [ x0, x1,…, xk] para significar esta dependencia.Al símbolo f [ x0, x1,…, xn] se le llama diferencia divida de f . Usando esta nueva notación tendríamos que la forma de Newton del polinomio interpolante es

donde f [ x0 ] = y0  y  f [ x0,…, xi] es el coeficiente principal de la forma de Newton del polinomio que interpola la función f en los nodos x0, x1,…, xi.

El nombre “diferencia divida” viene del hecho de que cada f [xk,xk+1,…, xk+j] se puede expresar como un cociente de diferencias.