"Año de la Inversión para el Desarrollo Rural y la Seguridad Alimentaria"

TRABAJO OPCIONAL

Alumno : Espinoza Pariona, Gian Carlo Paul Vicente

TEMA : Solución del capítulo 3:

Análisis en frecuencia

FACULTAD : Ingeniería

ESPECIALIDAD : Mecánico Eléctrica

CURSO : Sistemas Automáticos de Control

PROFESOR : Dr. Ing. William Ipanaqué Alama

Piura, 08 de mayo de 2013

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UNIVERSIDAD DE PIURA

UNIVERSIDAD DE PIURA

SOLUCIÓN CAPITULO 3: ANÁLISIS EN FRECUENCIA

1. Suponga un sistema con . Se le aplica una entrada

impulso de Dirac . Hallar la salida y(t) en el tiempo.

2. Ahora el impulso de Dirac se aplica a: , encontrar la salida.

3. Encontrar el diagrama de Nyquist de T(s)=s.

Cuando ω=0, I=Re=0Cuando ω= ∞, Re=0 e I= ∞

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Im

4. Demostrar que el diagrama de Nyquist de un sistema del primer orden es un semicírculo.

Para comprobar que es un semicírculo, hallaremos el módulo de G(s). Sin embargo, el diagrama de Nyquist mide el módulo desde el origen y como cuando ω=0, I=0, Re= K y cuando ω=∞, I=0, Re=0, concluimos que el grafico del círculo está desplazado hacia la izquierda K/2, por lo tanto definimos un Re’ desplazado como:

Se obtiene que el módulo de G(s) es constante y tiene un valor de K/2, por lo tanto se concluye que es un semicírculo con un radio igual a K/2.

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5. Responda, comente según el caso:

a) Diferencias entre análisis temporal y frecuencial.

El análisis temporal ayuda a visualizar las variables y el comportamiento del sistema en sus estados transitorio y estacionario.

El análisis de la respuesta en frecuencia proporciona una mejor interpretación en el estudio del comportamiento dinámico de los sistemas.

b) Los filtros de orden superior pueden tener un desfase menor que uno de orden inferior.

Sí, los filtros de orden superior tienen una pendiente mayor que uno de orden inferior y por lo tanto tienen un desfase menor que estos.

c) Mencione tres aplicaciones del análisis d frecuencia.Análisis de sistemas de comunicaciones.Filtros de frecuencias.Electrocardiografía.

d) El diagrama de Bode no es una descripción de un proceso.El diagrama de Bode sí describe un proceso.

e) Un diagrama de Bode se puede obtener sólo experimentalmente.No, también se puede obtener analíticamente.

f) Un retardo afecta la ganancia en dB de su diagrama de Bode.No afecta la ganancia, ya que el módulo de e-ts es 1.

g) EL diagrama de Nyquist, dado un diagrama de ganancia de Bode, es único.No es único, ya que el diagrama de ganancia de bode no describe completamente el sistema. El sistema puede tener un retardo y el diagrama de ganancia de bode sería el mismo al del sistema sin retardo, pero el diagrama de Nyquist sería diferente en ambos casos.

6. Explique brevemente:

a) Dado un diagrama de Nyquist de F0 de un sistema (open loop), ¿es posible para un ω en el gráfico de Nyquist encontrar la ganancia a lazo cerrado del mismo sistema?

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Sí. Considerando el punto -1 y se traza una línea hacia mi diagrama de open loop, estaría hallando el valor de 1 +C*P, si divido C*P entre esto, estaría hallando la ganancia a lazo cerrado del mismo sistema para un ω dado.

b) Las frecuencias de oscilación de un sistema dependen de la ganancia estática del mismo.No, depende la frecuencia de oscilación de la entrada.

c) Dado un diagrama de Bode solo en amplitud (dB vs. log ω) le corresponde una única función de transferencia.No necesariamente, ya que la función de transferencia puede tener un retardo y este solo afecta a la fase. También puede corresponder a un diagrama de Bode en amplitud una función de transferencia con ganancia positiva o negativa, el signo de la ganancia sólo afecta en el desfase.

d) A partir de un diagrama de Nyquist de F0, ¿cómo encontraría la ganancia estática y dinámica del sistema a lazo cerrado?Es la misma que para el lazo abierto, cuando ω=0.

e) A partir del diagrama de Nyquist puedo encontrar la ganancia a lazo cerrado para cualquier ω.Sí, como se explico en el apartado a).

7. Efectuar los diagramas de Bode y Nyquist de los siguientes sistema T(s) = Nu(s)/De(s); de cada uno mencione en base a los diagramas de Bode encontrados sus principales características que se deducen de un análisis de frecuencia:

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a) Nu(s) = s (s + 3) (s + 2) ; De(s) = (s + 5) (3s + 5) (4s + 1).

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b) Nu(s) = (s + 10) (2s + 4) ; De(s) = s (s + 5) (s + 100) (3s + 2)

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c) Nu(s) = -10 (s + 1) ; De(s) = (s -2) (s + 50)

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8. Encontrar T(s):

La función de transferencia sería:

9. Se desea diseñar un regulador proporcional por asignación de polos. Asigne Ud. los polos del sistema a lazo cerrado y resuelva su sistema. Las especificaciones mínimas son: estabilidad y error nulo. El proceso viene definido por un proceso de la forma:

Los polos determinan la estabilidad del sistema, por lo tanto las raíces del numerador de 1+CP deben ser negativas.

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Resolviendo la ecuación para raíces no negativas tenemos que:

0<3K<15

0<K<5

Cabe resaltar que valores negativos de K también cumplen. Sin embargo, el Controlador no puede asumir valores negativos, salvo que el proceso tenga ganancia negativa. Otra posibilidad es un K=0, pero los controladores no pueden asumir este valor.

10.Para el proceso de la Figura, asuma que el gráfico corresponde a la respuesta frente a una señal manipulable de variación 3V dada en t = 1. Como el controlador da una señal de baja potencia, se pone en serie un amplificador de potencia realizado con un Opamp. Al amplificador le corresponde una ganancia estática de 4.Diseñe un regulador proporcional para el sistema completo tal que el error estacionario no exceda el 10%. Diga Ud. como aseguraría la estabilidad del sistema a lazo cerrado, fundamente bien su respuesta.

R=3V aplicada en 1s, por lo tanto observamos que t0=4-1=3s. El gráfico nos brinda información sobre el proceso. De esto podemos determinar que:Kp=30/3=10Tau=5.33

Por lo tanto:

Pero el Opamp es un amplificador, por lo tanto Ko=4.

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Se pide determinar un Kc, de manera que el error no exceda el 10%.

Para asegurar la estabilidad a lazo cerrado

11.La longitud de un cable ¿afecta su frecuencia de corte? ¿En caso positivo de qué forma? ¿En caso negativo qué factor afecta la frecuencia de corte de un conductor?

Sí. Un cable tiene una parte resistiva, una parte capacitiva y una inductiva. Por lo tanto afecta la frecuencia de corte ya que actúa como un filtro.

12.Un diagrama de Bode tiene la forma de un filtro pasa banda, con frecuencia de corte ω 1 = 100 kHz, ω 2 = 600 kHz. a) Encuentre la función de transferencia real (asuma, si fuera necesario datos que considere conveniente, use pendientes mínimas (-20 dB).b) Encuentre la ganancia en dB a un ω = 300 kHz; c) Hay una señal en el espacio etéreo que tiene una amplitud de 100 (no en DB) a ω = 90m cuyo efecto se desea atenuar en 12 dB más. ¿Qué soluciones propondría Ud.? Realice los cálculos oportunos.

a)

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b)

Para un ω=2*π*300000 rad/s

c) Como se desea atenuar en 12 dB lo que podemos hacer es restar 12dB al filtro anterior y esto se logra multiplicando por un k a T(s), cuyo valor se halla de la siguiente forma:

13.Un diagrama de Bode tiene la siguiente forma:

Encuentre la función de transferencia. ω 1 = 0.1; ω 2 = 1; ω 3 = 100 rad/s.

14.Dibuje el diagrama de Nyquist de un sistema de tercer orden con fase de Cero no mínima.

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15.Hallar las funciones de transferencia de los sistemas cuyos diagramas de Bode se muestran e n la Figura:

a)

a) c)

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