UNIVERSIDAD DE PIURA

Facultad de Ingenieríax2

Curso: Análisis Matemático IIPráctica # 6Lunes, 11 de Junio de 2012 hora: 3 pmDuración: 2 hSin libros ni apuntes, solo calculadoras no programables

1. Enunciar y demostrar el Teorema Fundamental del Cálculo par Integrales de Línea de Campos Vectoriales. El alumno deberá fundamentar sus afirmaciones y hará los gráficos que crea conveniente y por último se pide que explique cuales son las ventajas de este teorema. (3p)

Si consideramos a ∇ f (vector gradiente) de una función de f, como una especie de derivada de f , entonces el teorema siguiente puede considerarse como una versión del teorema fundamental para integrales de línea

TEOREMA:Sea C una curva suave dada por la función vectorial . Sea f una función diferenciable de dos o tres variables cuyo vector gradiente es continuo en C. Entonces:Dice que podemos calcular la integral de un campo vectorial conservativo cuando F = ∇ f Esta integral de línea de ∇ f es el cambio total en f.Si función z=f(x, y) y C es una curva plana:

Si f es una función de tres variables f(x, y, z) y C una curva en el espacio que une los puntos P y Q, entonces:DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA

y curva plana C P=(x1, y1) P=(x2, y2) 0 x

2. Enunciar y demostrar el Teorema de Green, el alumno demostrará una de las dos sub-tesis, concretamente la que no se ha desarrollado en las diapositivas. Luego diga que ventajas tiene. (5p)

Sea una curva C suave a trozos, cerrada, simple y positivamente orientada del plano, y sea D la región limitada por C. Si P y Q tienen derivadas parciales contínuas en una región abierta que contiene a D entonces:

C

D

dAy

P

x

QQdyPdx

La notación C

QdyPdx se utiliza para indicar que la integral de línea

se calcula usando la orientación positiva de la curva cerrada.

Otra notación:

DD

QdyPdxdAy

P

x

Q

D indica orientación positiva de la curva frontera Esta ecuación comparada con el enunciado del Teorema Fundamental del Cálculo

b

aaFbFdxxF )()()('

Los eros1 miembros comprenden las derivadas dy

dP

dx

dQxF ,),(' y el segundo

los valores de las funciones originales F, Q, P solo en la frontera. Demostración del Teorema de Green para los casos en que D es una región tipo I o II

z P=(x1, y1, z1) Curva en el espacio=r(t)=(x,y,z)

Q=(x2, y2, z2)

C

∇ f .dr=a

b∇ f (r ( t )). r ' ( t )dt

=a

b [∂ f∂ x∂ x∂ t

+∂ f∂ y

∂ y∂ t

+∂ f∂ z

∂ z∂ t ]dt

Como : f ( x , y , z ) y r ( t )=( x ( t ), y ( t ) , z ( t ))

Entonces : ∂∂ t

f (r ( t ) )=∂ f∂ x

∂ x∂ t

+∂ f∂ y

∂ y∂ t

+∂ f∂ z

∂ z∂ t

C

∇ f .dr =a

b ∂∂ t

f (r ( t ))dt=a

b∂ f (r ( t ))= f (r ( t ))|a

b

C

∇ f .dr =f (r (b ))− f (r ( a))

Si )()(,/),( 21 xgyxgbxayxD Región tipo I

Tenemos que

C

D

dAy

P

x

QQdyPdx

C

D

dAy

PPdx

)1(

y

C

D

dAx

QQdy

)2(

De (1)

b

a

xg

xgD

b

a

xg

xgdy

y

yxPdxdydx

y

yxPdA

y

P )(

)(

)(

)(

2

1

2

1

),(),(=

D

b

adxxgxPxgxPdA

y

P))(,())(,( 12

Vamos a demostrar el Teorema de Green considerando una situación particular, luego iremos generalizando su aplicación.

3. Dadas las superficies S1: el paraboloide z = 4 +x2+ y2; S2: el cilindro

x2+ y2=2 x ,S 3: el plano z=x. Se pide (4p)

a) Las regiones de integración.

Descomponiendo C en 4321 ,,, CyCCC calcularemos

C dxyxP ),( en c/u de ellas

4

1

),(),(i

CC i

dxyxPdxyxP

En 1C : Si tenemos como parámetro )(1 xgyxx

1

))(,(),( 1

C

b

adxxgxPdxyxP

bxa

z=xx2+ y2=2 x ,

z = 4 +x2+ y2

Z

8

4

E

X 2 1 0

X 2 1 0

y

D

De los esquemas grométricos se tiene que la región está dada por:

E={( x , y , z )/ ( x , y )∈D; x≤z≤4+x2+ y2 }D={(x , y )/ 0≤x≤2 ; −√2x−x2≤ y≤√2 x−x2 }

b) El área lateral del sólido.

4. Use el teorema de Green para evaluar la integral: C

( x3− y3 )dx+( x3+ y3 )dyC es la

frontera SI C es la curva frontera de la corona circular, entre los círculos:

x2+ y2=1 y x2+ y2=9 (3p)

5. Si F(x, y) = e2 y i +(1+2 x e2 y ) j y C: r(t)= te t i +(1+t) j en done 0≤ t ≤1, se pide: (5p)

a) Saber si F es conservativo.

b) En caso afirmativo determine la función potencial f.

c) Evalúe la integral C

❑

F .dr