software libre en ciencias e ingenier´ıas. simulaci´on num´erica … · 2012-09-08 · software...

Software libre en Ciencias e Ingenierıas.Simulacion Numerica con FreeFem++.

Adaptacion del manual de Frederic Hecht

Eliseo Chacon VeraDepartamento de Ecuaciones Diferenciales y Analisis Numerico,

Facultad de Matematicas, Universidad de Sevilla

Cadiz, 6 de Julio de 2011

1

1 FREEFEM 2D

1. FreeFem 2d

Gramatica similar a C/C++

Ejemplo aritmetica.edp:

real x=3.14,y;

int i,j;

complex c;

cout<< " x = "<< x << "\n";

x=1;y=2;x=y;i=0;j=1;

cout<< 1+3 << " " << 1./3 << "\n";

cout<< 10^10. << "\n";

cout<< 10^-10. << "\n";

cout<< -10^-2.+5 << "==4.99 \n";

cout<< 10^-2.+5 << "==5.01 \n";

cout<< " 8^(1/3) = "<< (8)^(1./3.) <<"\n";

cout<< "-------------complex ---------- \n";

cout<< 10-10i <<"\n";

cout<< " -1^(1/3) = "<< (-1+0i)^(1./3.) <<"\n";

2 FreeSoft in Cadiz:Freefem++

1 FREEFEM 2D

Ciclo for: for.edp:

int i;

for (i=0;i<10;i=i+1)

cout <<i <<"\n";

Ciclo mientras: while.edp:

int i;

i=0;

real eps=1;

while (eps+1!=1)

{

eps=eps/2;

i++;

if(eps+1==1) break;

cout <<" iter = "<< i <<"; eps = "<<eps<<

"; eps+1= "<<eps+1<<"\n";

}


2 TRIANGULACIONES 2D

2. Triangulaciones 2D

Rectangulo, ejemplo: rectangle.edp

border a(t=0,2){x=t;y=0;label=1;};border b(t=0,1){x=2;y=t;label=2;};border c(t=0,2){x=2-t;y=1;};border d(t=0,1){x=0;y=1-t;label=4;};int n=5;mesh th=buildmesh(a(2*n)+b(n)+c(2*n)+d(n));plot(th,wait=1,ps=”rectangulo.eps”);

Triangulacion no uniforme generada con rectangle.edp

Palabras clave:

border define una parte del contorno

label= asigna una etiqueta (condiciones decontorno)

mesh tipo de la variable th (como int o real)

buildmesh genera la triangulacion



Ejemplo tworectangles.edp

real x0=1.2,x1=1.8;

real y0=0.,y1=1.;

int n=5,m=20;

mesh Th=square(n,m,[x0+(x1-x0)*x,y0+(y1-y0)*y]);

mesh th=square(4,5);

plot(Th,th, cmm="dos rectangulos");

dos rectangulos

Triangulaciones generadas por tworectangles.edp

square da una triangulacion uniforme. Observar suformato general y los papeles de x0, x1,y0,y1:

x0 ! x ! x1, y0 ! y ! y1.



Ejemplo hueco.edp

real pi=4*atan(1.0);

border a(t=0,2*pi){x=2*cos(t);y=sin(t);label=1;}

border b(t=0,2*pi){x=.3+.3*cos(t);y=.3*sin(t);label=2;}

mesh thwithouthole=buildmesh(a(50)+b(30));

mesh thwithhole=buildmesh(a(50)+b(-30));

plot(thwithouthole,wait=1,cmm="th sin hueco");

plot(thwithhole,wait=1,ps="thconhueco.eps");

Dos mallas complementarias generadas con hueco.edp

Malla con hueco generada con hueco.edp



Ejemplo ele.edp

border a(t=0,1){x=t;y=0;label=1;};

border b(t=0,0.5){x=1;y=t;label=1;};

border c(t=0,0.5){x=1-t;y=0.5;label=1;};

border d(t=0.5,1){x=0.5;y=t;label=1;};

border e(t=0.5,1){x=1-t;y=1;label=1;};

border f(t=0,1){x=0;y=1-t;label=1;};

int n=5;

mesh rh=buildmesh(a(n)+b(n)+c(n)+d(n)+e(n)+f(n));

plot(rh,wait=1);

savemesh(rh,"ele.msh");

mesh th=readmesh("ele.msh");

plot(th,wait=1,ps="ele.eps");

Triangulacion de L ele.edp

Observa uso de savemesh y readmesh.



Archivo ele.msh contiene toda la informacion sobre lamalla

60 88 30

1 0.5 1

1 0.403333333499 1

.....

1 0.113333333996 1

0.933333332821 0.371111110804 0

0.9 0.5 1

.....

.....

0.132724239102 0.90544151017 0

0.210000000497 1 1

0.113333333996 1 1

58 57 51 0

52 51 45 0

.....

.....

36 37 42 0

47 46 41 0

57 51 1

51 45 1

.....

.....

16 9 1

9 3 1

—————————–60 : number of nodes88: number of triangles30: number of edges


3 PROBLEMAS VARIACIONALES

3. Problemas variacionales

problem P(u,v) = a(u,v) - l(f,v)

+ (boundary condition);

Tres formatos problem, solve y varf

problem test()...; define un problema variacional. Seplantea y resuelve con la orden test;

solve test()...; define y resuelve.

varf construye la forma variacional. Permite obtenerla matriz y termino independiente.

Resolutores lineales: Basicamente tres.Fijados con el parametro solver=...

LU Factorizacion LU.

CG Gradiente conjugado.

UMFPACK (por defecto es el usado en MATLAB).

GMRES.

Espacios de elementos finitos: Principalmente P0,P1,P2,....haymasFijados con la orden fespace

fespace Vh(th,P0);

fespace Miespacio(th,P1);

fespace PP(th,P2);



Informacion sobre la triangulacion:

mesh Th=square(10*(n+1),10*(n+1));

int nbvertices=Th.nv;

fespace Mh(Th,P0);

Mh hhh = hTriangle;

cout << "talla triangulacion = "<< hhh[].max

<<" nb of vertices = " << nbvertices<<endl;

Dada Vh(Th,*) tenemos

hTriangle el lado de triangulo ms largo

Th.nv numero de vertices.

Vh.nt numero de elementos de Vh

Vh.ndof numero de grados de libertad de Vh, i.e.,dimension de Vh

Vh.ndofK numero de grados de libertad en cada eachelemento K de Th

Vh(i,k) numero del grado de libertad i en elemento k



Ejemplo FE.edp:

mesh Th=square(5,5);

fespace Wh(Th,P2);

cout << " dofs : " << Wh.ndof << endl;

cout << " dofs por elemento: " << Wh.ndofK << endl;

int k= 2;

int kdf= Wh.ndofK ;

cout << " df de elemento " << k << ": " ;

for (int i=0;i<kdf;i++)

cout << Wh(k,i) << " ";

cout << endl;

genera una salida

Nb Of Nodes = 121

Nb of DF = 121 F

ESpace:Gibbs: old skyline = 5841 new skyline = 1377

dofs : 121

dofs por elemento : 6

df de elemento 2: 78 95 83 87 79 92



Como ver las funciones de base

trunc trunca una triangulacion. Dos parametros

label= etiqueta contorno (1 por defecto)

split= n"n divide en n los elementos (1 por defecto).

mesh Th3 = trunc(Th,1,split=3);

divide cada triangulo de Th in 3.

Ejemplo base.edp:


fespace Vh(Th,P1);

Vh u;

int i,n=u.n;

u=0;

for (i=0;i<n;i++) // all degree of freedom

{

u[][i]=1; // the basic function i

plot(u,wait=1,ps="base"+i+".eps");

mesh Sh1=trunc(Th,abs(u)>1.e-10,split=5,label=2);

plot(Th,Sh1,wait=1,ps="trunc"+i+".eps"); // plot the mesh of

//the functions support

u[][i]=0; // reset

}



Funcion de base base.edp

Soporte de la funcion de base base.edp



Ejemplo de problema variacional Poisson-ellipse.edp

real cpu=clock();

border a(t=0,2*pi){x=2*cos(t);y=sin(t);label=5;};

mesh Th= buildmesh(a(150));

plot(Th,wait=1,ps="malla-ellipse.eps");

fespace Vh(Th,P2);

Vh u, v;

func f=sin(x*y);

problem laplace(u,v,solver=CG,init=1,eps=-1e-8) =

int2d(Th)(dx(u)*dx(v)+dy(u)*dy(v)) //bilinear part

-int2d(Th)(f*v) // right hand side

+on(5,u=0); // Dirichlet boundary condition

laplace; //solve the pde

plot(u,wait=1,cmm="u-Poisson-ellipse",fill=1,value=1,dim=3);

cout<< " CPU = " << clock() -cpu << endl;

El tiempo de CPU se calcula con la orden clock()

real d=clock();\\Get current CPU clock time and saves in d

...

cout<< " CPU = " << clock() - d << endl; \\Gives CPU time taken

\\for the process



Comentarios despues de //

fspace Vh(Th,P1) construye espacio de nombre Vhy usa P1 funciones sobre Th.

Vh u,v,. . . define distintos elementos de Vh.

func g=. . . define funcion mediante expresion analıti-ca.

init booleano: falso o 0 construye el sistema lineal denuevo. Con init=1 no reconstruye el sistema lineal.

eps=... fija el test de parada para resolver el sistemalineal

• eps < 0 error absoluto

#Ax$ b# ! |eps|.

• eps > 0 error relativo

#Ax$ b# ! eps · #Ax0 $ b#.



Triangulacion para la elipse Poisson-elipse.edp

Solucion de Poisson-elipse.edp

Resolver el mismo problema pero con dato de Neumanncero en un trozo de arco de la elipse



Ejemplo Poisson-step.edp

real v1=4,v2=6,w=v1+v2;

border a(t=0,v1){x=t;y=0;label=1;}; // y=0, x on [0,v1]

border b(t=0,1){x=v1;y=-t;label=2;};// x=v1, y on [0,-1]

border c(t=0,v2){x=v1+t;y=-1;label=3;}; // y=-1, x on [v1,w]

border d(t=0,2){x=w;y=-1+t;label=4;};// x=w, y on [-1,1]

border e(t=0,w){x=w-t;y=1;label=5;};// y=1, x on [0,w]

border ff(t=0,1){x=0;y=1-t;label=6;};// x=0, y on [1,0]

int n=10;

mesh th=buildmesh(a(2*n)+b(n)+c(2*n)+d(2*n)+e(4*n)+ff(n));

plot(th,wait=1,ps="mesh-step.eps");

fespace Vh(th,P1);

Vh u,v;

func f=0;

problem laplace(u,v) =int2d(th)(

dx(u)*dx(v)+dy(u)*dy(v)

) // bilinear part

+int2d(th)(-f*v) // right hand side

+ int1d(th,6)(u*v)

+on(1,2,3,4,u=0)

+on(5,u=1);// Dirichlet boundary condition

laplace; //solve the pde

plot(u,wait=1,cmm="Solucion ",ps="Poisson-escalon.eps",

value=1,dim=3,fill=1);



Mesh Poisson-step.edp

IsoValue-0.05263160.02631580.07894740.1315790.1842110.2368420.2894740.3421050.3947370.4473680.50.5526320.6052630.6578950.7105260.7631580.8157890.8684210.9210531.05263

Solucion

Solution with Poisson-step.edp



int2d(th)(...) y similar se usan

con incognita y funcion test

solo con la funcion test

no se mezclan situaciones.

No es correcto

int2d(th)(dx(u)*dx(v)+dy(u)*dy(v)-f*v)

+on(1,u=0)

correcto

int2d(th)(dx(u)*dx(v)+dy(u)*dy(v)) // bilinear part

+int2d(th)(-f*v) // right hand side

+int1d(th,2)(u*v) //Robin B.C.

+on(1,u=g) //Dirichlet B.C.

Otra salida grafica es con la libreria medit de Pascal Frey.

load "medit";

.....

medit("Laplace",th,u);



Guardar/leer datos

Escritura de datos

{

ofstream u1data("u1.txt");

u1data << uu1[];

ofstream u2data("u2.txt");

u2data << uu2[];

}

lectura

{

ifstream u1data("u1.txt");

u1data >> uu1[];

ifstream u2data("u2.txt");

u2data >> uu2[];

}

Aquı uu1 y uu2 son funciones de elementos finitos y uu1[]is el vector de valores asociado.

Como en C/C++

{

....

}

separa variables locales de globales.


4 PROBLEMAS DE EVOLUCION EN TIEMPO

4. Problemas de evolucion en tiempo

Ecuacion del calor

!tu$ "!u = f, (x, t) % "" (0, T )

u(x, 0) = u0, x % "u(x, t) = g, (x, t) % #D " (0, T )

!nu(x, t) = 0, (x, t) % #N " (0, T )

siendo !" = #N &#D. Usamos elementos finitos en espacioy diferencias finitas en tiempo. Para n ' 0 usamos

1

!t

!

!un+1v + "

!

!(un+1(v =

1

!t

!

!unv

Ejemplo: Con u(x, y, t) = sin(x) cos(y)et, f = (1+2") )uel problema es:

!tu$ "!u = f (x, y, t) % "" (0, T ),

u(x, y, 0) = sin(x) cos(y) (x, y) % ",u(x, y, t) = sin(x) cos(y)et (x, y, t) % !"" (0, T ).

con " = (0, 1)" (0, 1) y T = 3.



Ejemplo calor.edp:


fespace Vh(Th,P2);

Vh u,v,uu,f,g;

real dt=0.1, nu=0.001,error;

problem dcalor(u,v) =

int2d(Th)( u*v+dt*nu*(dx(u)*dx(v) + dy(u)*dy(v)))

+int2d(Th)(-uu*v-dt*f*v)

+ on(1,2,3,4,u=g);

real t=0;

uu=sin(x)*cos(y)*exp(t);

for (int m=0;m<=5/dt;m++)

{

t=t+dt;

f=(1+2*nu)*sin(x)*cos(y)*exp(t);

g=sin(x)*cos(y)*exp(t);

dcalor;

plot(u,wait=0,value=1);

error=sqrt(int2d(Th)((u-sin(x)*cos(y)*exp(t))^2));

uu=u;

cout<< "t= "<< t << " L2-Error = " << error << endl;

};

plot(u,wait=1,value=1,ps="dcalor.eps");



IsoValue3.4709510.412917.354824.296731.238638.180545.122452.064359.006265.948172.8979.831986.773893.7157100.658107.6114.541121.483128.425135.367

Solucion final obtenida con evolucion.edp



Ejemplo aplicado:Distribucion de temperatura en unaplaca 3D de seccion rectangular " = (0, 6)" (0, 1). La pla-ca recibe y mantiene una fuente de calor u = u0 desde susextremos laterales y esta rodeada de aire a temperaturaambiente uc. La temperatura cambia poco con la coorde-nada z y por lo tanto podemos considerar el problema como2D.Si ponemos #1 = {y = 0, y = 1} y #2 = {x = 0, y = 6},entonces se plantea como resolver la ecuacion del calor

!tu$( · (#(u) = 0, (x, t) % "" (0, T )

u(x, y, 0) = u0, x % "

con condiciones de contorno

#!nu+ $(u$ uc) = 0, (x, t) % #1 " (0, T )

u = u0 (x, t) % #2 " (0, T )

y en donde el coeficiente de difusion # toma dos valores,# = 0.2 sobre y = 0.5 y # = 2 bajo y = 0.5.Aplicamos el metodo de Euler implıcito y tendremos

((un $ un$1)/dt, v)! + (k(un,(v)! + ($(un $ uc), v)"1 = 0



Ejemplo termico.edp:

func u0 =10+90*x/6;//temp. inicial

func k = 1.8*(y<0.5)+0.2;

real ue = 25;//temp. exterior

real alpha=0.25, T=10, dt=0.1;

mesh Th=square(30,5,[6*x,y]);//[0,6]x[0,1]

plot(Th,wait=0);

fespace Vh(Th,P2);

Vh u=u0,v,uold;

problem thermic(u,v)=

int2d(Th)(u*v/dt+k*(dx(u)*dx(v) +dy(u) * dy(v)))

+ int1d(Th,1,3)(alpha*u*v)

- int1d(Th,1,3)(alpha*ue*v)

- int2d(Th)(uold*v/dt)

+ on(2,4,u=u0) ;

for(real t=0;t<T;t+=dt){

uold=u;

thermic;

plot(u,wait=0);

};

plot(u,wait=1,value=1,ps="termico.eps");



Solucion final obtenida con termico.edp



Otro problema es la ecuacion del calor con una turbina.Archivo turbina.edp:

border a(t=pi/2,2*pi){x=1.5*cos(t);y=1.5*sin(t);

label=1;};//exterior

border b(t=1.5,4){x=t;y=0;label=1;};//exterior

border c(t=0,1.5){x=4;y=t;label=2;};//salida turbina

border d(t=4,0){x=t;y=1.5;label=1;};//exterior

border e(t=2*pi,0){x=0.25*cos(t);y=0.25*sin(t);

label=3;};//Interior de turbina

mesh Th= buildmesh (a(20)+b(10)+c(6)+d(10)+e(20));

plot(Th,wait=1,ps="malla-turbina.eps");

fespace Vh(Th,P1);

Vh u, v,uold,f,g,s,ue=1;

func u0 =0, k=1;

int N=100;

real T=5*pi, dt=T/N;

uold=u0;

problem turbina(u,v)= int2d(Th)(

u*v/dt +k*(dx(u)*dx(v)+dy(u)*dy(v))

)

- int2d(Th)(uold*v/dt)

+on(1,u=ue)+ on(3,u=g);

for(real tt=0;tt<T;tt+=dt)

{

g=abs(sin(tt+pi/2));

turbina;

uold=u;

plot(u,wait=0,value=0);

};

plot(u,wait=1,fill=0,value=1,ps="u-turbina.eps");



Red inicial obtenida con turbina.edpIsoValue0.9600240.9620740.9641240.9661740.9682240.9702750.9723250.9743750.9764250.9784750.9805250.9825750.9846250.9866750.9887250.9907750.9928250.9948750.9969250.998975

Solucion obtenida con turbina.edp


5 FLUIDOS INCOMPRESIBLES: ECUACIONES DENAVIER-STOKES

5. Fluidos incompresibles: Ecuaciones de Navier-Stokes

Buscamos un campo de velicidades u y una presion pcon

$!u+(p = 0, "

div(u) = 0, "

+ C.C., !"

La formulacion variacional es!

!(u ·(v $

!

!p div(v) = 0

!

!div(u) q = 0

+C.C.

Las lıneas de corriente son las trayectorias de las particulastangentes al vector velocidad: curvas de nivel de $ tal que

rot($) = u, o mejor $!$ = rot(u) = !yu1 $ !xu2.

Problema de la cavidad para Stokes en [0, 1] " [0, 1] con(P2,P1).



Ejemplo Stokes2dCavity.edp:


fespace Xh(Th,P2);

fespace Mh(Th,P1);

Xh u1,v1,u2,v2;

Mh p,q;

real eps=1e-10;

solve Stokes ([u1,u2,p],[v1,v2,q]) =int2d(Th)(

(dx(u1)*dx(v1)+dy(u1)*dy(v1)+

dx(u2)*dx(v2)+dy(u2)*dy(v2)

)+p*q*eps

-p*dx(v1)-p*dy(v2)-dx(u1)*q-dy(u2)*q

)

+on(1,2,4,u1=0,u2=0)+on(3,u1=1,u2=0) ;

plot(coef=.5,cmm=" Velocidad [u1,u2] ",value=true,[u1,u2],

wait=1,ps="Stokes-vel.eps");

plot(cmm=" Presion ",p,value=true,wait=1,ps="Stokes-pres.eps");

plot([u1,u2],p,wait=1,value=true,coef=0.5,

ps="Stokes-velypres.eps");

//

// obtencion de las lineas de corriente

//

Xh psi,phi;

solve streamlines(psi,phi) =

int2d(Th)(dx(psi)*dx(phi) + dy(psi)*dy(phi))

+int2d(Th)( -phi*(dy(u1)-dx(u2)))

+on(1,2,3,4,psi=0);

plot(cmm=" Lineas de corriente ",psi,wait=1,

value=true, ps="Stokes-stream.eps");



Vec Value00.05263430.1052690.1579030.2105370.2631720.3158060.368440.4210750.4737090.5263430.5789780.6316120.6842470.7368810.7895150.842150.8947840.9474181.00005

Velocidad [u1,u2]

Velocidad Stokes2dCavity.edp

IsoValue-76.4339-71.4209-66.4079-61.395-56.382-51.369-46.3561-41.3431-36.3301-31.3171-26.3042-21.2912-16.2782-11.2653-6.25231-1.239343.773638.786613.799618.8125

Presion

Presion Stokes2dCavity.edp



IsoValue0.002427880.007295460.0121630.01703060.02189820.02676580.03163330.03650090.04136850.04623610.05110360.05597120.06083880.06570640.07057390.07544150.08030910.08517670.09004420.0949118

Lineas de corriente

Lineas de corriente obtenidas con Stokes2dCavity.edp



Consideramos ahora Navier-Stokes:

!tu+ (u()u$!u+(p = 0, "

div(u) = 0, "

+ C.C., !"

La formulacion variacional es!

!

D

Dtuv +

!

!(u ·(v $

!

!p div(v) = 0

!

!div(u) q = 0

+C.C.

siendo DDtu la derivada material

D

Dtu = !tu+ (u()u.

La nolinearidad se calcula con la orden convect que resuel-ve:

!t%+ u(% = 0, %(x, t = 0) = %0(x).

Se escribe

D

Dtun+1 * 1

!tun+1 $ 1

!tun(Xn)

donde un(Xn) * un(x$ un(x)!t) se calcula como

convect([u1, u2],$!t, u1), convect([u1, u2],$!t, u2)



Ejemplo cavidad2d.edp:

real d=clock();


fespace Xh(Th,P2);

fespace Mh(Th,P1);

Xh u2,v2, u1,v1,psi,phi,up1=0,up2=0;

Mh p,q;

real nu=0.00005,dt=0.1,alpha=1/dt,eps=1e-10;

int i=0;

problem NS(u1,u2,p,v1,v2,q,solver=UMFPACK,init=1) =

int2d(Th)( alpha*(u1*v1+u2*v2)

+nu*(dx(u1)*dx(v1)+dy(u1)*dy(v1)

+dx(u2)*dx(v2)+dy(u2)*dy(v2) )

+ p*q*eps-p*dx(v1)- p*dy(v2)+dx(u1)*q+ dy(u2)*q

)

+ int2d(Th)(-alpha*convect([up1,up2],-dt,up1)*v1

-alpha*convect([up1,up2],-dt,up2)*v2 )

+on(1,2,4,u1=0,u2=0)+on(3,u1=1,u2=0);

for (i=0;i<=1000;i++)

{NS; up1=u1; up2=u2;

solve streamlines(psi,phi) =

int2d(Th)(dx(psi)*dx(phi) + dy(psi)*dy(phi))

+int2d(Th)(-phi*(dy(up1)-dx(up2)))

+on(1,2,3,4,psi=0);

Th=adaptmesh(Th,psi);

if ( !(i % 20)) plot(Th,cmm=" Lineas de corriente, iter "+i,

psi,wait=0,value=true,fill=1,ps="stream-ns.eps");

};

cout<< " CPU = "<< clock() - d << endl;



IsoValue-0.00463591-0.0003875720.002444650.005276880.00810910.01094130.01377350.01660580.0194380.02227020.02510240.02793470.03076690.03359910.03643130.03926360.04209580.0449280.04776020.0548408

Lineas de corriente, iter 1000

lineas de corriente con cavidad2d.edp

Velocidad [u1,u2]

Velocidad cavidad2d.edp



Presion

Presion con cavidad2d.edp

Observar como

if (!(i% 20)) permite dibujar cada 20 iteraciones

Th=adaptmesh(Th,psi); adapta la triangulacion al hes-siano de psi


software libre en ciencias e ingenier´ıas. simulaci´on num´erica … · 2012-09-08 · software...

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