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Sociedad Mexicana de Ingeniería EstructuralSociedad Mexicana de Ingeniería Estructural

MODELO DE CARGA PARA INDIVIDUOS EJECUTANDO CARGAS POR REBOTE

Ernesto Duarte Ramírez1 y Tianjian Ji2

RESUMEN

Se ha observado que el público en graderías de estadios ejecuta el movimiento de rebote en conciertos de música pop; éstos mueven su cuerpo hacia arriba y abajo, sin despegar sus pies del piso. El objetivo de la presente investigación es establecer un modelo para cargas por rebote inducida por un individuo, el cual puede ser utilizado para predecir la respuesta estructural de graderías. El rango de frecuencias que los humanos pueden ejecutar coordinadamente dicho movimiento es entre 1.0 y 3.1 Hz. Los resultados muestran que la carga pudo ser definida con series de Fourier y que tanto teoría como experimento coincidieron aproximadamente. Los coeficientes de Fourier para cada componente son determinados por medio de teoría de vibraciones.

ABSTRACT

It has been observed that people often bounce on grandstands during pop concerts, i.e. they move their body up-and-down, but their feet keep touch with seating decks. The current research aims to establish a model of bouncing load for an individual, which can be used for predicting structural response of grandstands. The range of frequencies at which human can physically bounce with coordination is between 1.0 and 3.1 Hz. Results indicated that the load could be defined using Fourier series and that experiment and theory matched very close. Vibration theory was used to identify the Fourier coefficients for each load component.

1 INTRODUCCIÓN

Durante las últimas dos décadas el público tiende a ejecutar el movimiento de rebote en estadios,

tales como pisos y graderías durante conciertos, eventos sociales y deportivos. Es ya conocido que estas cargas pueden inducir niveles intolerables de vibración cuando éstas son ejecutadas ya sea por un individuo o masas sincronizadas. Con respecto al tema, ya se han llevado a cabo varias invetigaciones en el Reino Unido. Dichas publicaciones han proporcionado modelos matemáticos, ya sea para una persona o grupos, de los movimientos más comunes que actualmente se presentan en graderías. Sin embargo, los autores han limitado sus estudios a cargas periódicas por salto debido a que estás son las más severas generadas por humanos. Cuando cargas periódicas por salto son aplicadas en graderías, tomando en cuenta las especificaciones propuestas en el Anexo A del BS 63991, resulta siempre en respuestas estructurales mucho más elevadas que las que se generan en campo (IStructE 20015). Ésto lleva a una sobrestimación de dichas estructuras, debido a que los ocupantes de graderías no ejecutan cargas tan significantivas como las de salto. Últimamente se ha observado que durante conciertos de música pop las personas sí saltan sobre superficies, tales como pisos o entrepisos, pero raramente saltan en graderías. La tendencia más común es mover el cuerpo hacia arriba y abajo, doblando ambas rodillas y sin despegar los pies de las gradas. Este tipo de movimiento es denominado en la práctica como cargas por rebote. Actualmente existe poca invesigación concerniente a cargas por rebote y hasta el momento no hay disponible un model matemático.

1 Estudiante de segundo año de doctorado en la University of Manchester Institute of Science and Technology (UMIST), Centre for Civil and Construction Engineering, PO Box 88, Manchester, UK, M60 1QD [email protected]. 2 Senior Lecturer in Structural Engineering at UMIST, Centre for Civil & Construction Engineering, PO Box 88, Manchester, UK, M60 1QD, [email protected].

2

XIV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Acapulco, Gro., 2004

El objetivo principal de este estudio es investigar las cargas por rebote inducidas por personas individualmente, el cual nos proporcionará un mejor entendimiento de las características de dicha carga y sus componentes dinámicas. Así, la simulación de cargas por rebote proveerá a ingenieros estruturales y grupos de estudio pertinentes, una herramienta útil para el diseño de graderías. 2 TEORÍA

Durante competencias deportivas o conciertos musicales el público se involucra en el éxtasis del evento manifestando diferentes movimientos, tales como saltar, rebotar, bailar, aplaudir, balancear, etc. Las estructuras expuestas a este tipo de movimientos son las graderías en estadios y particularmente cargas por rebote ha llegado a ser muy popular entre el público, especialmente en conciertos de música pop. Es este tipo de carga la que se investigará en el presente artículo. En la mayoría de los casos, ésta es sincronizada con el ritmo de cantos de club o música tocada ya sea por artistas en vivo o grabaciones. De esta manera, música y cargas por rebote se relacionan cercanamente. En resumen, cargas por rebote se ejecuta desde una posición de pie (ver figura 1a), manteniendo los pies en contacto a una superficie plana y doblando ambas rodillas al mismo tiempo hacia abajo, (ver figura 1b) para finalmente regresar a la posición inicial siguiendo el ritmo de la música. El ciclo se repite formando cargas por rebote.

Figura 1 a) persona de pie, b) persona ejecutando cargas por rebote

2.1 Expresión de Cargas por Rebote

De forma similar a la de salto, cargas por rebote también genera cargas periódicas dinámicas, por lo que series de Fourier se puede utilizar para describirla.

(1) (

++= ∑

∞

=12sin0.1)(

nnpn tnfrGtf φπ )

)

donde f(t) es la fuerza que varía con el tiempo t es el tiempo G es el peso estático de la persona fp es la frequencia de rebote rn es el n-ésimo factor de carga (coeficiente de Fourier) φn es el n-ésimo ángulo de fase Ji y Ellis (1994)6 y Ellis y Ji (2002)2 utilizando mediciones de respuestas dinámicas de laboratorio, derivaron la expresión para calcular los factores de carga y ángulos de fase. La respuesta de un sistema de un grado de libertad (1-GDL) sujeto a cargas por rebote inducida por una persona, ec.1 es

(2) (

+−+∆= ∑

∞

=12sin0.1)(

nnnpnr tnfrMtA φθπ

donde, ∆ es el desplazamiento del sistema de 1-GDL inducida por G, θn es el ángulo de fase entre la respuesta y la carga para el n-ésimo componente y Mn el factor de amplificación dinámica. Mn y θn son definidos de la siguiente manera:

( ) ( )[ ]2222 21

1

βξβ nnM n

+−= (3)

3


−

= −22

1

12tan

ββξθ

nn

n ; ff f=β (4)

donde, f es la frecuencia natural de la estructura y ξ la relación de amortiguamiento. La ec. 2 indica que la respuesta del sistema es la sumatoria del desplazamiento estático y los desplazamientos dinámicos inducidos por las funciones armónicas a frecuencias de carga discretas, fp, 2fp, 3fp, etc. Finalmente, como resultado de una manipulación algebraica de la ec. 2, se tiene que los coeficientes de Fourier se calculan con la siguiente ecuación:

n

nn M

Ar

∆= max, (5)

La ec. 5 proporciona una manera experimental de calcular rn, donde An,max y ∆ son el desplazamiento máximo dinámico para el n-ésimo componente y el éstatico, respectivamente. Ambos se obtienen de mediciones experimentales dinámicas y estáticas. 2.2 Procesamiento de Datos

Con el propósito de obtener los coeficientes de Fourier para cargas por rebote, ya sea de lecturas de aceleraciones o desplazamientos experimentales, se desarrolló un programa en MATLAB. El programa utiliza la transformada de Fourier (FFT) para convertir los datos del dominio de tiempo a dominio de frecuencias. Después en el dominio de frecuencias, se descartan las que se encuetran fuera de rango (n – 0.5)fp y (n + 0.5)fp. Por ejemplo, si la frecuencia de la carga es de 2.0 Hz, entonces el algoritmo filtrará las frecuencias entre 1.0 y 3.0 Hz para el primer componente, 3.0 y 5.0 Hz para el segundo componente y así sucesivamente para el tercero y cuarto componente. Una vez que el dominio de frecuencias es filtrado, éste se transforma al dominio del tiempo aplicando la tranformada de Fourier inversa. Para el cálculo de An,max, se decidió emplear el método de la raíz cuadrática media (rms) ya que éste promedia tanto valores positivos como negativos. Dicho método se consideró la medida de tendencia central más representativa. Los coeficientes de Fourier son calculados con la ec. 5 y el programa genera el modelo de carga utilizando la ec. 1 y la respuesta del sistema de 1-GDL con la ec. 2. 3 EXPERIMENTOS 3.1 Equipo de Laboratorio

Como estructuras de soporte se utilizaron dos vigas de concreto reforzado simplemente apoyadas. Una en el laboratorio de BRE (Building Research Establishment) y la otra en el de concreto de UMIST (University of Manchester Institute of Science and Technology). Dicho tipo de vigas fueron seleccionadas debido a que son estructuras bien definidas y su respuesta es dominada por su modo fundamental de vibrar cuando se aplica una carga en el centro de éstas. La primera viga tiene dimensiones de 0.4 x 0.08 x 3.0 m (ver figura 2), mientras que la otra es de 0.45 x 0.080 x 3.2 m (ver figura 3).

Figura 2 Viga simplemente apoyada

en BRE

4


Figura 3 Viga simplemente apoyada en UMIST

Se emplearon transductores de desplazamiento en la parte central inferior de ambas vigas. También se colocó un acelerómetro en la misma posición en la viga de BRE. 3.2 Pruebas de Laboratorio

El propósito de las pruebas fue medir la frecuencia natural de las vigas, aceleraciones y desplazamientos dinámicos debido a cargas por rebote al centro de éstas. Un total de 465 pruebas fueron llevadas a cabo en ambas estructuras de la siguiente manera:

Tabla 1 Pruebas ejecutadas en BRE y UMIST

Equipo para emitir

frecuencias UMIST BRE Total

Metrónomo 359 32 391 Música 74 74

Compás del Metrónomo

De 0.4 a 3.2 Hz c/ incrementos de 0.2,

1.9, 2.1 y 3.1 Hz

1.8, 2.0, 2.2, 2.5, 2.8, 3.0, 3.2 Hz 465

Para las pruebas con música se seleccionaron dos canciones modernas de música pop; “Baby One More Time” de la cantante de música pop Britney Spears (Canción 1) y “Hella Good” de la banda de rock pop No Doubt (Canción 2). El análisis detallado de una de las canciones será discutido en las siguientes secciones. Antes de llevar a cabo las pruebas se le pidió a las personas que siguieran auditivamente, ya sea el compás del metrónomo o el ritmo principal de la canción (beat principal).

Figura 4 Persona ejecutando cargas por rebote en BRE

La figura 5 muestra el desplazamiento dinámico inducido por el primer componente de la carga y obtenido de una prueba típica de cargas por rebote.

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

1.10

1.20

1.30

1.40

1.50

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 5.50 6.00 6.50 7.00 7.50 8.00

Tiempo (seg)

Des

plaz

amie

nto

(mm

)

Figura 5 Desplazamiento dinámico para persona ejecutando cargas por rebote a 2.2 Hz Adicionalmente se ejecutaron pruebas de impacto con el fin de determinar la frecuencia natural de las vigas. Dichas frecuencias naturales fueron 21.97 Hz para la viga de BRE y 11.75 Hz para la de UMIST.

5


4 FRECUENCIA DE MÚSICA

Por lo general las personas en conciertos de música pop o clases de ejercicios aeróbicos ejecutan movimientos siguiendo el ritmo de la música. Así, la frecuencia del ritmo de la canción (beat) y la frecuencia a la que las personas ejecutan el movimiento se relacionan directamente. El estudio del “beat” de la canción permitirá determinar las frecuencias a las que las personas inducirán las cargas dinámicas en graderías. 4.1 Observaciones de Campo

Ellis et al. 19943 y Littler 19987 proporcionaron espectros de aceleraciones monitoreados de movimientos verticales en dos diferentes graderías durante conciertos de música pop. Se pudo ver que las estructuras respondían al ritmo del “beat” de la música y a múltiplos de ésta. También se observó que la frecuencia a la que las personas bailaban podía ser determinada contando la frecuencia del “beat” de la canción que se tocaba en ese momento. Las canciones tocadas en los conciertos de música pop y ejercicios aeróbicos estaban compuestas normalmente de tal forma que un grupo de personas era capaz de seguir el “beat” de la música. Ginty et al. 20014 analizaron 210 canciones desde los años 60’s hasta los 90’s. Para determinar la frecuencia del “beat” de dichas canciones, contaron los “beats” (N) en un periodo determinado (t). La frecuencia de la canción (f) se pudo definir de la siguiente manera: f = N/t (6) Littler 20038 estudió los tipos de cargas inducidas por humanos en conciertos de música pop y los rangos de frecuencias del “beat” de las canciones. Las grabaciones de los conciertos, se llevaron a cabo con el fin de corroborar al frecuencia del “beat” de la música que se tocó en dichos eventos. El método que se utilizó para determinar el “beat” de las canciones fue escuchando las grabaciones y tomando el tiempo para un número determinado de “beats” (normalmente 50). El autor concluyó que la respuesta principal fue a la frecuencia del “beat”de la canción. Sin embargo, se detectaron respuestas menores a 1.5 y 4.5 Hz, lo cual indicó que algunas de las personas estaban ejecutando movimientos de una manera alternada, pero la mayoría lo hizo al ritmo de la frecuencia de la canción de 3 Hz. 4.2 Procesamiento Digital de Señales

Es del conocimiento general que el tiempo entre dos máximos adyacentes en un histograma es el periodo y el inverso de éste la frecuencia. Con el fin de localizar cada máximo como se muestra en la figura 6, y calcular el periodo y frecuencia de la canción, se utilizó el procesador digital de señales de MATLAB. Se seleccionó la canción 2 para mostrar dicho procedimiento y así determinar la frecuencia del “beat”. Cabe aclarar que dicha canción tiene un “beat” muy auditivo al cual la mayoría de sus fans tiende a seguir en un concierto en vivo.

Figura 6 Procesamiento de canción 2 en MATLAB para los primeros 10 seg

6


Después de analizar auditivamente la canción 2, el “beat” más notable fue en los primeros 10 seg; por lo tanto se decidió concentrarse sólo en este periodo. Finalmente, éste fue analizado visualmente en el dominio del tiempo. 4.3 Beat Principal

El “beat” principal resulta escuchando la canción y detectando el “beat” rítmico más notorio, al cual el público típicamente reacciona. Para la canción 2, el primer “beat” inicia a los 0.155 seg y sigue hasta el 16to, el cual es ejecutado a los 7.955 seg (ver figura 6). La diferencia entre 7.955 y 0.155 es 7.840 seg. Si este tiempo se divide entre el número de periodos 15, el promedio de los periodos resulta 0.522 seg. El valor inverso de dicho tiempo da la frecuencia promedio del “beat” principal de 1.923 Hz. Otra forma de determinar el “beat” principal de la canción es tomando del procesador de señales los periodos de cada “beat”, el cual sus valores inversos nos dará las frecuencias. Dichas frecuencias se promedian para finalmente obtener el “beat” principal. 4.4 Segundo Beat Principal

En la figura 6 se puede ver un segundo “beat” principal más pequeño en magnitud el cual el público pudiera seguir, ejecutando el movimiento de rebote. Debido a que éste es más rápido que el “beat” principal, se decidió analizar un periodo de tiempo más corto. El método para determinar el segundo “beat” principal fue el mismo que se utilizó para detectar el “beat” principal. El periodo de tiempo para el segundo “beat” principal fue de 0.155 a 3.801 seg y tiene 14 periodos, el cual dio una frecuencia de 3.82 Hz. Cabe recalcar que al momento de analizar ambas canciones se detectó que los componentes de frecuencia de cada una pudo ser determinado más fácilmente utilizando el archivo de las canciones visualmente. 5 FRECUENCIAS DE CARGAS POR REBOTE 5.1 Procesamiento de Frecuencias de Cargas por Rebote

Se ha mostrado que la gente responde al “beat” de la música, pero éstos quizás no puedan seguir con precisión el “beat” por un periodo tiempo. En las siguientes pruebas se utilizó un metrónomo para simular el “beat” de la música. Un total de 465 pruebas fueron analizadas para observar la respuesta de las personas al “beat” del metrónomo o música, al ejecutar cargas por rebote. Éstas fueron llevadas a cabo para frecuencias de 0.4 a 3.2 Hz con incrementos de 0.2 Hz, 1.9, 2.1, 2.5 y 3.1 Hz. Para música, se consideraron las canciones 1 y 2 (ver sección 3.2). Las frecuencias resultantes fueron normalizadas a la frecuencia ya sea del metrónomo o del “beat” principal de la canción. Una vez que las frecuencias fueron normalizadas, se determinaron rangos discretos con el fin de interpretar más claramente los datos experimentales. Dichos rangos se emplean para el conteo de frecuencias normalizadas (Nf) que caen dentro de valores determinados. 5.2 Distribución de Frecuencias

En la figura 7 se puede ver el análisis estadístico en MATLAB de las frecuencias normalizadas para todas las pruebas de cargas por rebote.

Figura 7 Distribución de frecuencias normalizadas de cargas por rebote

7


De acuerdo a los resultados de la figura 7, el radio más alto fue en 1.0 y la mayoría de éstos caen entre 0.9 y 1.1. Esto confirma que las frecuencias en las pruebas fueron adecuadas, así como también que el público tiende a seguir el “beat” muy cercanamente. 5.2 Rango de Frecuencias para Cargas por Rebote

El estudio de la carga requiere de la estimación del rango de frecuencias que la gente puede alcanzar físicamente. Se tomaron 5 personas para ser examinadas cuando realizan cargas por rebote al compás del metrónomo, el cual emitía frecuencias entre 0.1 e ∝ Hz. Dichos participantes fueron instruidos para que realizaran el movimiento lo más coordinadamente posible con la frecuencia del metrónomo. Las personas fueron dos mujeres y tres hombres de edades entre los 27 y 38. Adicionalmente se analizaron 320 video grabaciones de individuos realizando el mismo movimiento en la viga de UMIST (ver sección 3.1) a frecuencias entre 0.4 y 3.2 Hz (con incrementos de 0.2 Hz) y 3.1 Hz. El nivel de confort para cargas por rebote fue clasificado en las siguientes categorías: Lento; la carga era tan lenta que las personas tenían que adivinar el “beat”. Moderado y ralajado; la persona podía seguir el “beat” fácilmente y no se requería mucho esfuerzo para ejecutar el movimiento. Rápido y sincronizado con el “beat”; la persona podía seguir el “beat”, pero se requiería un esfuerzo significativo para ejecutar el movimiento. Rápido y no sincronizado con el “beat”; el movimiento era imposible de ejecutar al ritmo del “beat”. Los resultados mostraron una tendencia similar para todos los participantes de la siguiente manera;

Lento < 0.9 Hz Moderado y relajado de 1.0 a 2.3 Hz

Rápido y sincronizado con el “beat” de 2.4 a 3.1 Hz Rápido y no sincronizado con el “beat” > 3.2 Hz

Para frecuencias arriba de 3.2 Hz los participantes podían realizar cargas por rebote, pero era extremadamente difícil seguir el “beat” y sólo coincidieron en periodos de tiempo cortos. También, aún que las personas estuvieran concentradas, al poco tiempo se sentían agotadas y cansadas. Esto indicó que más allá de frecuencias de 3.2 Hz, era difícil ejecutar el movimiento de rebote de una manera sincronizada y por un periodo de tiempo largo; por lo tanto, las frecuencias para cargas por rebote de una manera sincronizada con el “beat” es entre 1.0 a 3.1 Hz. 6 COEFICIENTES DE FOURIER 6.1 Cargas de Rebote Generadas con Metrónomo

Con el propósito de determinar los coeficientes de Fourier (CF), se corrió el programa en

MATLAB de la sección 2.2. Para todos los cálculos se tomó ξ = 1.81 %. Los resultados para el primer CF extraido de mediciones experimentales se muestran en la figura 8.

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

1.10

1.20

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 2.20 2.40 2.60 2.80 3.00 3.20

Frequencia (Hz)

Coe

ficie

nte

de F

ouri

er

1er CF

Regresión Lineal

Figura 8 Regresión lineal para 1er CF mediante el método de los mínimos cuadrados

8


La figura 8 muestra el mejor ajuste lineal del modelo junto con el primer CF obtenido del mediciones experimentales. Se puede ver que hay un comportamiento lineal ascendente para el primer CF. Esto es debido a que el público que ejecuta cargas por rebote a frecuencias bajas no ejerce una carga considerable. También se puede observar que la carga más severa se realiza a frecuencias entre 1.8 y 2.4 Hz. Es interesante enfatizar que el segundo, tercero y cuarto CF se mantuvieron casi constante para todas las frecuencias. La regresión lineal que se muestra en la figura 8, se hizo mediante el método de los mínimos cuadrados con en fin de encontrar la relación entre el primer CF y la frecuencia de la carga. El modelo final correspondió a la siguiente ecuación: 1er CF 038.02062.0 −= pf (7)

En otras palabras, si se requiere calcular el primer CF de cargas por rebote para cualquier frecuencia, se puede utilizar la ec. 7. Para el resto de los CF (2do , 3ro y 4to) se calculó la media aritmética debido a la similitud de los valores. El paso siguiente fue calcular la respuesta de la vigas de laboratorio sujetas a un individuo realizando cargas por rebote con las ecs. 2, 3, y 4. Hasta este momento, se hizo imperante saber los ángulos de fase φn. Con el fin de obtener el model matématico completo, sólo los valores teóricos φ1 y φ2 para cargas por salto fueron adoptados de Ji y Ellis (1994)6 y Ellis y Ji (2002)2. Los CF y álgulos de fase finales para cargas por rebote con metrónomo se muestran en la Tabla 2.

Tabla 2 Coeficientes de Fourier y ángulos de fase para cargas por rebote con metrónomo

Componente y desviación estándar con metrónomo 1er σ1 2do σ2 3er σ3 4to σ4

CF Ec. 7 - 0.1287 0.0664 0.0352 0.0305 0.0165 0.0171 Angulo de fase π/6 - -π/6 - 0 - 0 -

6.2 Cargas por Rebote Generadas con Música

Las canciones que se tocaron en las pruebas, con el fin de determinar los CF de cargas por rebote, son las mencionadas en la sección 3.2. El análisis de dichas canciones arrojó que la canción 1 tenía un “beat” principal de 1.55 Hz y la otra de 1.92 Hz. Se utilizó el mismo procedimiento de la sección 2.2 para extraer los CF. El primer CF para cargas de rebote siguiendo el “beat” de las canciones se muestra en la figura 9. Para la canción 1, todos los primeros CF fueron promediados y se presentan en la Tabla 3.

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

1.10

1.20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Número de Prueba

Coe

ficie

nte

de F

ouri

er

Canción 1

Canción 2

Figura 9 Primer CF de cargas por rebote para canción 1(f = 1.55 Hz) y 2 (f = 1.92 Hz)

9


Tabla 3 Coeficientes de Fourier y ángulos de fase para cargas por rebote con canción 1

Componente y desviación estándar para canción 1 1er σ1 2do σ2 3er σ3 4to σ4

CF 0.2779 0.1725 0.1794 0.0765 0.0421 0.0266 0.0158 0.0093 Angulo de Fase π/6 - -π/6 - 0 - 0 -

Particularmente, el primer CF de las pruebas 2 y 3 fueron mayores de 0.6 Hz. Sin embargo, las frecuencias a las que los participantes ejecutaron el movimiento fueron de 2.35 y 2.25 Hz, respectivamente. Lo cual indicó que las personas realizaron la carga a frecuencias más altas que las de la canción, generando una respuesta más energética. Los restultados para la canción 2 fueron muy similares a los de la canción 1.

Tabla 4 Coeficientes de Fourier y ángulos de fase para cargas por rebote con canción 2

Componente y desviación estándar para canción 2 1er σ1 2do σ2 3er σ3 4to σ4

CF 0.3232 0.1272 0.1435 0.0636 0.0293 0.0212 0.0099 0.0044 Angulo de Fase π/6 - -π/6 - 0 - 0 -

Es importante recalcar que si la ec. 7 se aplica para las frecuencias de las canciones 1 y 2 (1.55 and 1.92 Hz, respectivamente), los primeros CF coinciden aproximadamete (0.282 and 0.358, respectivamente) con los obtenidos en las Tablas 3 y 4. Esto confirma la validez del modelo para cualquier frecuencia de carga por rebote. Además, el segundo, tercero y cuarto CF para música y metrónomo son muy aproximados. 6.3 Comparativa entre Mediciones y Teoría

Aplicando la ec. 2 y los valores de las Tablas 5 y 6, condujo a resultados muy cercanos a los experimentales. La figura 10 muestra una comparativa entre la medición y la respuesta calculada con respecto al tiempo para una de las pruebas en la viga de BRE, mientras que la figura 11 para la viga de UMIST.

Figura 10 Comparativa entre datos experimentales y modelo propuesto, para carga por rebote con metrónomo (2.2 Hz) en la viga de BRE

10


Figura 11 Comparativa entre datos experimentales y modelo propuesto, para carga por rebote con canción 1 (1.55 Hz) en la viga de UMIST

Tabla 5 Datos de las pruebas para comparativa y generar modelo de carga

Datos Figura 10 Figura 11 fp (Hz) 2.2 1.55

Frequencia de muestreo (Hz) 1000.0 71.0 Desplazamiento estático debido a la

persona (mm) 0.576 1.412

ξ (%) 1.81 1.81 f (Hz) 21.97 11.75

Peso de la persona (Kg) 79.9 63.8

Finalmente tomando la ec. 1, los CF de la Tabla 6 y los datos de la figura 11 (Tabla 5), es possible generar el modelo de carga en la figura 12.

Figura 12 Modelo de carga para una persona ejecutando cargas por rebote a 2.2 Hz en la viga de BRE

6.4 Factores de Carga Sugeridos para Cargas por Rebote

El modelo se ajustó tanto para música como para metrónomo; por lo tanto todos (música y metrónomo) los 2dos, 3eros y 4tos CF fueron promediados. El siguiente modelo es el sugerido para estimar la respuesta y generar la carga inducida por una persona ejecutando cargas por rebote.

11


Tabla 6 CF y ángulos de fase sugeridos para cargas por rebote

Componente y desviación estándar 1er σ1 2do σ2 3er σ3 4to σ4

CF Ec. 7 - 0.1342 0.0685 0.0354 0.0296 0.0159 0.0160 Angulo de Fase π/6 - -π/6 - 0 - 0 -

Futuras investigaciones se enfoncarán en el estudio del comportamiento de graderías bajo cargas por rebote. Además, la respuesta inducida por individuos en un grupo se deberá analizar con el fin de que el modelo de cargas por rebote represente lo que se observa en campo. 7 CONCLUSIONES

El artículo investigó el modelo de cargas por rebote inducido por personas (individualmente). Un total de 465 pruebas de laboratorio se llevaron a cabo con frecuencias en un rango de 0.4 y 3.2 Hz y dos canciones de música pop modernas. Los coeficientes de Fourier (factores de carga) fueron determinados basándose en el modelo teórico (ec. 2) y los datos experimentales. Las conclusions obtenidas de dicho estudio incluyen:

1. El modelo dado por la ec. 2 y todos los parámetros para definir cargas por rebote para individuos son proporcionados en las Tablas 5 y 6 .

2. La respuesta estimada de una viga sujeta a cargas por rebote inducida por una persona, coincide aproximadamente con la experimental.

3. La distribución de frecuencias normalizadas de cargas por rebote se obtuvo, la cual siguió una distribución normal con una media aritmética de 0.9823 y una desviación estándar de 0.0704. Dicha información será últil para la investigación de cargas por rebote generadas por grupos.

4. A diferencia de cargas por saltos, las personas pueden físicamente ejecutar cargas por rebote en un rango de frecuencias más amplio entre 0.4 y 3.2 Hz. Si el propósito es alcanzar una buena coordinación, ya sea con música o metrónomo, el rango de frecuencia se reduce de 1.0 a 3.1 Hz.

5. Una canción puede ser tratada como “respuesta experimental” y procesada utilzando métodos de dinámica estructural. Esto permite que ésta sea analizada visualmente, en donde el “beat” principal y el segundo pueden ser fácilmente identificados.

8 REFERENCIAS [1] British Standards Institution, BS 6399: Part 1:1996, “Loading for buildings part 1. Code of practice for dead and imposed loads”, London, BSI, September. [2] Ellis, B. R. and Ji T. (2002), “Loads generated by jumping crowds: experimental assessment”, BRE Information Paper IP4/02, Garston, CRC, February. [3] Ellis, B. R., Ji T. and Littler, J. D. (1994),“The response of grandstands to dynamic loads induced by crowds”, Proc. Australian Structural Engineering Conference, Sydney, September, pp. 21-23. [4] Ginty D., Derwent, J. M. and Ji, T. (2001), “The frequency ranges of dance-type loads”, The Structural Engineer, Vol. 79(6), 20 March, pp. 27-31. [5] IStructE (2001), “Dynamic performance requirements for permanent grandstands subject to crowd action: Interim guidance on assessment and design”. IStructE (Institution of Structural Engineers)/DTRL/Department of Culture, Media and Sport (DCMS) Working Group on Dynamic Performance and Design of Stadia Structures and Seating Decks, London, UK [6] Ji, T. and Ellis, B.R. (1994), “Floor vibration induced by dance type loads – theory”, The Structural Engineer,Vol. 72(3), 1 February, pp. 34-44. [7] Littler, J. D.,(1998), “Full-scale testing of large cantilever grandstands to determine their dynamic response”, Proc. 1st International Conference on Stadia 2000, pp. 123-134.

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[8] Littler, J. D.,(2003), “Frequencies of synchronised human loading from jumping and stamping”, The Structural Engineer, Vol. 18(22), 18 November, pp. 27-35.

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